2021年北京市中学生数学竞赛初赛_高一试题 答案和解析

第十八届北京高中数学知识应用竞赛初赛参考解答一、（满分20分）一片枫叶紧紧地嵌在一个矩形框内部，即矩形的各边上都有枫叶边缘上的点，如右图．假设这个矩形框的每一条边都可以伸缩，令枫叶不动，矩形框转动，依靠框的伸缩始终保持这片枫叶紧紧地嵌在它的内部，而框始终是矩形．请说明，存在一个转动位置，这时的这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形的内部．解：设转动前的矩形的长和宽的长度分别为a 和b ．若a −b =0，这个矩形就是正方形．若a −b ≠0，不妨设a −b ＜0．在矩形转动时，a −b 的值也会随之变化．当旋转90º后，得到的矩形和最初的矩形重合，但a −b ＞0了．即a −b 的值是在[0,90º]上的转动角θ的连续函数，设a −b =f (θ)，于是，f (0)＜0，f (90º)＞0，由函数的零点存在定理可知，在上述转动中，一定有一个位置θ0，使f (θ0)=0，即a −b =0，这时的矩形框就是正方形框．从而这片枫叶恰紧紧地嵌在一个正方形框内部．二、（满分20分）野外失火，火势以失火点为中心，匀速的向四周呈圆形蔓延．在火情发生t 0时间后，消防队员发现火情，随即迅速开始修建防火带．（1）消防队员修建的防火带是以失火点为圆心的圆，从该圆上的某一点同时向这点的两侧分别以火蔓延的速度的4倍修建防火带，求防火带围成的最小面积S ．（2）再给出一个修建防火带的方案？使防火带围成的面积比S 小．解：（1）设修建防火带的时间为t ，火势的蔓延速度为v ，修建的圆形防火带的半径R 不小于火势蔓延的圆的半径r ．因为πR =4vt ，r =v (t 0+t )，当面积取S 时，R =r ，即04()vt v t t π=+，得04t t ππ=−，所以，S =πR 2=24()vt ππ=22216(4)v t ππ−．（2）因为04t t ππ=−≈3.65t 0，不难得出，如果（1）的方案是从A 处开始修建，那么，向失火点方向靠近一点儿取点B （比如AB =1.5t 0，如右图），从这一点向垂直于AB 的两边修建，至C 、D 后，再修建圆弧形，即整个防火带围成的形状比圆少了一个弓形，面积缩小了．（缩小面积的方案很多，只要计算无误即算正确）三、（满分20分）广发银行推出一款理财产品“广发银行薪满益足140925版网银专属版”，42天，投资起点50,000元，高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍．销售费率0.10%—0.30%，托管费率0.03%．年化收益率预计为5.35%，发售期为2014年9月24日至2014年10月7日，收益起始日期为10月8日，收益终止日期为11月19日，单利计算利息．理财产品中途若取出，则按银行活期利率计算利息．收益公式：理财收益=申购本金×理财产品实际年化收益率×365实际理财天数其中，实际年化收益率=年化收益率−销售费率−托管费率．BA CD示例：理财本金为5万元，实际理财天数为197天，理财产品到期实际年化收益率为5.70%，则投资者的理财收益=50000×5.7%×197365=1538.22元．华夏基金公司推出一款货币型基金“华夏财富宝”，该基金的收益分配是按日结转份额的，每日收益支付方式只采用红利再投资（即红利转基金份额）方式．该货币型基金除去法定休息日外，随时可以申购和赎回，没有时间的限制．一般规定在交易日的15:00前赎回，资金到帐为2个交易日（T+2日）．日每万份基金净收益和7日年化收益率的计算方法如下：日每万份基金净收益=当日基金份额的已实现收益当日基金份额总额×100007日年化收益率（%）=365717111100% 1000010000R R⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎞⎛⎞+××+−×⎨⎬⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋯其中，R i为最近第i个自然日（包括计算当日）的每万份基金净收益．每万份基金净收益采用四舍五入保留至小数点后第4位，7日年化收益率采用四舍五入保留至百分号内小数点后第2位．表1为2014年10月8日至11月18日“华夏财富宝”的日每万份基金净收益和7日年化收益率．投资人手上恰有10万块钱，10月8日至11月19日期间想进行投资，请问：（1）为了获得最大收益，投资人是投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”还是“华夏财富宝”？两种投资的差额为多少？（2）投资人想尽可能地保持资金的流动性（保证尽可能多的资金随时可用），那么10万块对两种产品如何配置，能使得获得的收益介于两者中最高收益的95%与最小收益的110%之间？解：（1）“广发银行薪满益足140925版网银专属版”单利计算利息，投资42天，当销售费率为0.30%时，收益为42100000 5.35%0.3%0.03%577.64365×−−×=（）．“华夏财富宝”复利计算利息，投资42天，收益为12421000001111496.57100001000010000R R R ⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞×+⋅+⋅⋅+−=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⋯．因此投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”收益高．二者比较，差额为81.07元．（2）获得的收益介于两者中最高收益的95%和最小收益的110%之间，即为收益小于577.64×0.95=548.758元，大于496.57×1.1=546.227元．设分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”x 1、x 2元，列方程为1124221242546.227(5.35%0.3%0.03%)3651111548.758100001000010000100000x R R R x x x ⎧<⋅−−×⎪⎪⎪⎡⎤⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎨+⋅+⋅+⋅⋅+−<⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎪⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎣⎦⎪+=⎪⎩⋯解得1612465.43.726740x <<，但由于高于投资起点金额部分应为1000元份整数倍，因此分别投资“广发银行薪满益足140925版网银专属版”和“华夏财富宝”62000元和38000元，或63000元和37000元．四、（满分20分）储药柜的结构类似于书橱，从上到下有若干层横向隔板，每一层称为一个储药槽．每个储药槽内用竖向隔板隔开，形成若干个存放药盒的储药格．一个储药槽内只能摆放同一种药品．右图为并排的三个储药柜．为保证药品从储药格内顺利取出，要求放入药盒后，储药格内留有不小于2mm 的横向间隙，同时还要求药盒在储药格内放置时不会出现并排重叠（一个格内不能放两个药盒）、药盒不能在格内侧翻或水平旋转．假设药盒的长度＞宽度＞厚度，并且药盒在格内放置时要求（长×宽）面在左右，（宽×厚）面在前后，（长×厚）面在上下．为方便储药柜的制造，储药格的宽度类型越少越好．不同尺寸的药盒种类有成百上千种．表2所列的仅仅是20个不同的样品．请你就这20种药盒尺寸规格，给出能够存放这些药盒，且满足上述要求的储药格宽度类型最少的设计方案（无需考虑存放药盒的数量多少）．表2（度量单位：mm ）药盒编号长度宽度厚度药盒编号长度宽度厚度112076241195553321257220121086218312576211395553349171151413476205125722115955533612085201685464671173726171257533878652018116761691175656191001001010744740201317738解：药盒的长，宽，厚分别为记为a ,b ,c ．则有a ＞b ＞c ．假设用d 表示出药槽内竖隔板之间的宽度．欲使药盒在格内放置时不会出现并排重叠，必须有c ＜d ＜2c （1）欲使药盒不能在格内侧翻，必须有d（2）欲使药盒不能在格内水平旋转，必须有d（3）由（1）、（2）、（3），隔板之间的宽度必须满足c ＜d ＜min{2c,,（4）由于a ≥b ，再由（4），得c ＜d ＜min{2c,}（*）当b时，有2c ．由（*），隔板之间的宽度应取2c ．当c ≤b≤时，有2c=．由（*），隔板之间的宽度应．综上，隔板之间的宽度应取．这表明，在满足不会出现并排重叠和侧翻、或0+2的储药格内可以存放的药盒厚度c 的范围是c 0≤c0．由表2可知，药盒的厚度分布在10mm 至56mm 之间，于是，最少需要五种间隔，见表（2）．为了寻找S 与A 的关系，先将A =4×10k 变形为4A =10k ，两边取对数，得k =lg 4A，又2=10lg2,于是S =5×2k =5(10lg2)lg 4A =5(10lg 4A )lg2=5(4A )lg2=(lg 254)A lg2=3.29A lg2=3.29A 0.301．即物种的数量是岛屿的面积的函数，其表达式是S =3.29A 0.301．表（2）度量单位：mm 储药格宽度存储药盒的厚度14.1+210.0—14.120.0+214.1—20.028.2+220.0—28.240.0+228.2—40.056.4+240.0—56.4。

2021年全国中学生数学奥林匹克竞赛（初赛）暨2021全国高中数学联合竞赛加试（B 卷）参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2． 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图所示，I 是ABC 的内心，点,P Q 分别为I 在边,AB AC 上的投影．直线PQ 与ABC 的外接圆相交于点,X Y （P 在,X Q 之间）．已知,,,B I P X 四点共圆，证明：,,,C I Q Y 四点共圆．证明：记ABC 的外接圆为 ．因为90API AQI ，故,,,A P I Q 四点共圆．因此190902BPQ BPI IPQ IAQ BAC BIC ． 又由,,,B I P X 四点共圆可知BPX BIX ，故180BIX BIC BPX BPQ ，因此,,C I X 三点共线． ……………10分由,,,B I P X 共圆可知90BXI BPI ，故BX IX ，即BX CX ．因此90BAC BXC ．于是四边形APIQ 是正方形，PQ 垂直平分线段AI ． ……………20分 设Y 是 AC 的中点，则由内心熟知的结论可知Y A Y I ，因此Y 是AI 的中垂线PQ 与圆 的交点．又直线PQ 与圆 相交于,X Y 两点，且Y 显然不同于X ，故Y 与Y 重合．因此Y 是 AC 的中点． ……………30分于是,,B I Y 三点共线．因此90IYC BYC BAC IQC ，进而,,,C I Q Y 四点共圆． ……………40分二．（本题满分40分）求最大的正整数n ，使得存在8个整数1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y ，满足：0,1,,||14||14i j i j n x x i j y y i j ． 解：设n 符合要求，则整数12341234,,,,,,,x x x x y y y y 满足：0,1,,n 都属于集合X Y ，其中 ||14,||14i j i j X x x i j Y y y i j ．注意到0X Y ，不妨设0X ，则1234,,,x x x x 中必有两个数相等，不妨设12x x ．于是 {0}||24i j X x x i j ，所以134X ． 又24C 6Y ，故110n X Y X Y ，得9n ．……………20分 另一方面，令1234(,,,)(0,0,7,8)x x x x ，1234(,,,)(0,4,6,9)y y y y ，则{0,1,7,8},{2,3,4,5,6,9}X Y ，即0,1,,9 都属于集合X Y ．综上，n 的最大值为9． ……………40分三．（本题满分50分）已知,,,[0,a b c d ，满足：33332a b c d ，的最小值． 解：当0a 33a ． 当0a 3a 也成立． ……………30分 所以 33332a b c d ， ……………40分 当1,0a b c d 时上述不等式等号成立．的最小值为2． ……………50分四．（本题满分50分）设a 为正整数．数列{}n a 满足：1a a ，2120n na a ，1,2,n ． (1) 证明：存在一个非立方数的正整数a ，使得数列{}n a 中有一项为立方数．(2) 证明：数列{}n a 中至多有一项为立方数．解：(1) 注意到2314202166 ，故取14a ，则232206a a 为立方数，从而14a 满足条件． ……………10分(2) 不妨设{}n a 中存在立方数，k a 是所出现的第一个立方数．因为对任意整数m ，有0,1,2,3,4(mod 9)m ，由此知30,1(mod 9)m ，所以0,1(mod 9)k a ． ……………30分于是 21202,3(mod 9)k k a a ，221206,2(mod 9)k k a a ，232202,6(mod 9)k k a a ，以此类推知2,6(mod 9),4,5,k i a i ．于是k a 后面的项模9不为0,1 ，故都不是立方数．因此，数列{}n a 中至多有一项为立方数． ……………50分。

2021年北京市中学⽣数学竞赛复赛（⾼⼀）试题答案和解析2009年北京市中学⽣数学竞赛复赛（⾼⼀）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、填空题1．已知a 和b 都是单位向量，并且向量2c a b =+与54d a b =-互相垂直．则a 和b 的夹⾓,=<>a b ______．2．1cos 290+?______． 3．如图，过O 外⼀点M 引圆的切线切O 于点B ，联结MO 交O 于点A ，已知4MA =，MB =N 为弧AB 的中点．则曲边三⾓形（阴影⾯积）的⾯积等于______．4的值是______．5．在平⾯直⾓坐标系中，不论m 取何值时，抛物线()()22132y mx m x m =++-+都不通过的直线1y x =-+上的点的坐标是______（写出全部符合条件点的坐标）．⼆、解答题6．Rt ABC ?内切圆的半径为r ，直⾓的⾓平分线的长为t ．求证：Rt ABC ?的两条直⾓边的长a 、b 是关于x 的⼀元⼆次⽅程()22220t x x tr -+-=的根． 7．求函数:N N f ++→，使得（1）()11f =；（2）对于所有的N x y +∈、，()()()f x y f x f y xy +=++都成⽴．8．如图，在ABCD 中，BAD ∠的平分线与BC 交于点M 、与DC 的延长线交于点N ，CMN ?的外接圆O 与CBD ?的外接圆的另⼀交点为K ．证明：（1）点O 在CBD ?的外接圆上；（2）90AKC ∠=?．9．证明：任给7个实数，其中必存在两个实数x 、y 满⾜013x y xy -≤<+.参考答案1．3π【解析】【详解】设a 和b 的夹⾓,a b θ=．则根据向量垂直的条件得()()220=254=51048c d a b a b a a b a b b ?=+?-+?-?-=56cos 86cos 3θθ+-=-．由此1cos 2θ=．所以=3πθ． 2【解析】【详解】11cos290cos70+-??=4sin 70303?-?= 3．48.3π-【解析】【详解】根据条件，延长MO 交O 于点C ．设O 的半径为r ．则42MC r =+．由切割线定理得2MB MA MC =?，即 48 ()=442r +．解得 4.r =所以， 4.OC OA AM ===联结OB ．在Rt OBM ?中，sin 60MB MOB MOB OM ∠===?∠=?．因此，弧AB 的度数为60?，⽽N 为弧AB 的中点，则弧AN 的度数为30?．联结ON ．则30MON ∠=?．从⽽，111sin30=848.222MON S OM ON ?== ⽽扇形AON 的⾯积为23044=.3603ππ?? 故阴影图形的⾯积为48.3π- 4．4【解析】【详解】.x两边⽴⽅并整理得36400.x x --=观察知，4是⽅程的⼀个根．所以，()()244100.x x x -++= 由2=4410=240?-?-<，知⽅程24100x x ++=⽆实根．故⽅程36400x x --=只有唯⼀的实根 4.x =5．()()311034.22??--，，，，，【解析】【详解】由()()()()()22132312y mx m x m m x x x =++-+=+-+- 可知，抛物线⼀定过点()()1,13,5.A B ---、过点A B 、分别作y 轴的平⾏线交直线1y x =-+于点()()1,03,4.C D 、-过点A B 、的直线1y x =-+交于点31,22E ??-．则C D E 、、三点满⾜条件．6．()22220.t x x tr -+-=【解析】【详解】如图，设Rt ABC ?中，90C ∠=?，,,AB c AC b CB a ===，内切圆的圆⼼为O ．联结OA OB 、．则1.2ABC S ab ?= ①⼜()11=sin45sin45.22ABC ADC BDC S S S bt at a b =+?+?+ 故().ab a b =+ ②⽽()12ABC OBC OAC OAB S S S S r a b c =++=++ ()()()21=2=.2r a b c b r r a b r a b r r +++-+-=+- 与式①⽐较得()222.ab a b r r =+- ③联⽴式②、③得22a b ab +== 据韦达定理知，以,a b 为根的⼀元⼆次⽅程为222x x =，即()22220.t x x tr -+-=7．见解析【解析】【详解】设函数:N N f ++→满⾜题设条件．对于正整数n k 、有()()()()21.f k n f kn f n kn +=++ 令1,2,,1k m =-并相加得()()()()()221121=2m m f mn mf n m n mf n n -??=++++-+??，对所有的正整数m n 、都成⽴．特别地，当1n =时，()()1.2m m f m += ①式①定义了在正整数集合上的函数.f经检验，()()12m m f m +=是问题的唯⼀解．由函数的解析式可知函数满⾜题中的结论(1)(2).8．（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）如图，由题设知.BMA MAD BAM ∠=∠=∠因此，.BA BM =同理，.MC CN =联结OC ．则OC 平分.NCM ∠联结OB OM OD 、、．设.BAD θ∠=则()1=180=9022COD BCD OCM θθθ∠=∠+∠+?-?+， 180=18090.2BMO OMC OCM θ∠=?-∠?-∠=?+因此，.BMO OCD ∠=∠故OBM ? ≌ ODC ?．从⽽，.OBC ODC ∠=∠于是，B O C D 、、、四点共圆，也就是点O 在CBD ?的外接圆上．（2）由（1）知.OB OD =⼜KO OC =，由B K O C 、、、和D 都在同⼀个圆上，则点K C 、关于BD 的中垂线对称，且.BK CD AB ==⼜因KBD CDB ABD ∠=∠=∠，所以，点K 与A 是关于BD 的对称点，即.AK BD ⊥⼜因KC BD ，所以，AK KC ⊥，即90.AKC ∠=?9．见解析【解析】【详解】设7个实数分别为127tan tan tan θθθ，，，，且不妨设127ππ22θθθ-<≤≤≤<. 将区间ππ,22??- 平均分成6个⼦区间：ππππππππππ,,,00,,,2336666333，，，，，----- ? ? ? ? ?. 由抽屉原理，上述7个()17i i θ≤≤中必有某两个数在同⼀个⼦区间内，不妨设j θ、()116j j θ+≤≤在同⼀个⼦区间内.因1π06j j θθ+≤-<，所以，()1π 0tan tan 63j j θθ+≤-<=，即11tan tan 01tan tan j jj j θθθθ++-≤<+?. 记1tan ,tan j j x y θθ+==，即得所要证的不等式.。