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工程电磁场导论课后答案【篇一：工程电磁场导论习题课南京理工大学】图示真空中有两个半径分别为r1和r2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净电荷q1和q2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求：(1）导体球壳内、外电场强度e的表达式；(2）内导体球壳(r?r1)的电位?。
2.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内，有体密度 ??10 mcr?3cm, r?4cm处m均匀分布的电荷。
求：r?2cm,3的电场强度e。
3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器，其间充满介电常数??2r的电介质。
设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的?值。
?afm4.一同轴线内圆柱导体半径为a，外圆柱导体半径为b，其间填充相对介电常数?r?质，当外加电压为u(外导体接地）时，试求：(1)介质中的电通密度（电位移）d和电场强度e的分布； (2)介质中电位?的分布；5. 图示空气中一输电线距地面的高度h?3m，输电线的半径为a?5mm，输电线的的介轴线与地面平行，旦对地的电压为u?3000v，试求地面上感应电荷分布的规律。
(?0?8.85?10?12fm)h6. 已知半径为r的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为?0，则在其轴线上产生的电场强度为ey???0??0ey。
一个带有均匀分布的电荷体密度为?0的半圆柱，半径也为r，问它在轴线上产生的电场强度是多少？7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为?，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质(?2?4?0)相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。
半无8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为r1、r3，其间充满介电常数分别为?1、?2的两种介质,其分界面是半径为r2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量?q，外导体内表面单位长度所带电荷量? q，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。
工程电磁场导论课后答案【篇一：工程电磁场导论习题课南京理工大学】图示真空中有两个半径分别为r1和r2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净电荷q1和q2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求：(1）导体球壳内、外电场强度e的表达式；(2）内导体球壳(r?r1)的电位?。
2.真空中有一个半径为3cm的无限长圆柱形区域内，有体密度 ??10 mcr?3cm, r?4cm处m均匀分布的电荷。
求：r?2cm,3的电场强度e。
3.内导体半径为2cm和外导体的内半径为4cm的球形电容器，其间充满介电常数??2r的电介质。
设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的?值。
?afm4.一同轴线内圆柱导体半径为a，外圆柱导体半径为b，其间填充相对介电常数?r?质，当外加电压为u(外导体接地）时，试求：(1)介质中的电通密度（电位移）d和电场强度e的分布； (2)介质中电位?的分布；5. 图示空气中一输电线距地面的高度h?3m，输电线的半径为a?5mm，输电线的的介轴线与地面平行，旦对地的电压为u?3000v，试求地面上感应电荷分布的规律。
(?0?8.85?10?12fm)h6. 已知半径为r的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为?0，则在其轴线上产生的电场强度为ey???0??0ey。
一个带有均匀分布的电荷体密度为?0的半圆柱，半径也为r，问它在轴线上产生的电场强度是多少？7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为?，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质(?2?4?0)相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。
半无8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为r1、r3，其间充满介电常数分别为?1、?2的两种介质,其分界面是半径为r2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量?q，外导体内表面单位长度所带电荷量? q，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。
1)理想介质是指电导率为无穷大的导体，2)电场强度和磁感应强度均为零。
3)表面上，一般存在自由电荷和自由电流。
设区域2为理想导体，区域1为介质，有 ,,均为零，得nD 2tE 2n B 2t H 2注意：理想介质和理想导体只是理论上存在。
在实际应用中，某些媒质的电导率极小或极大，则可视作理想介质或理想导体进行处理。
电磁场的边界条件可总结归纳如下：1)在两种媒质分界面上，如果存在面电流，使 H 切向分量不连续，其不连续量由式 确定若分界面上不存在面电流，则 H 的切向分量是连续的。
2)在两种媒质的分界面上，E 的切向分量是连续的。
3)在两种媒质的分界面上，B 的法向分量是连续的。
4)在两种媒质的分界面上，如果存在面电荷，使 D 的法向分量不连续，其不连续量由 确定。
若分界面上不存在面电荷，则D 的法向分量是连续的。
n B ⋅= 1Sn H J ⨯= t SH J =0n B =⇒1Sn D σ⋅=0t E =⇒⇒10n E ⨯=⇒n SD σ= 12()Sn H H J ⨯-=12()n D D σ⋅-=：积分形式：积分形式微分形式：微分形式：电磁场的基本方程和边界条件12()0n B B ⋅-=B ∇⋅= 积分形式：微分形式：积分形式：12()0n B B ⋅-=D ρ∇⋅= 0SB d S ⋅=⎰A SD d S q⋅=⎰A 微分形式：基本方程10n B ⋅= 12()n D D σ⋅-=12()0n D D ⋅-=10n D ⋅= 边界条件积分形式。
(335)3.3.1 导电媒质分界面衔接条件(1) 左图示出两导电媒质分界面上的入射和折射情况，分界面的正法线方向仍按静电场这章的约 定：由媒质1指向媒质2。
依据恒定电场基本方程 的积分形式（］E d \ = 0，S J d S 二0 ）采用如 同静电场中推导分界面衔接条件的方法，在导电 媒质分界面上，可分别导得关于电场强度和电流 密度的两个齐次衔接条件:e (E-E )= o (331) 从量值上来分析，有e n (JJ)= 0(332)E1t " E 2t (333) J1n 二 J 2n(334)即在媒质分界面上电场强度的切向分量连续，电流密度的法向分量连续若媒质是各向同性、线性的，上面两式可分别写为E 1sinE 2sin ： 2 1E 1cos' 2E 2cos 2以上两式相除即得tan- 1 _ 1tan ： 223.3导电媒质分界面衔接条件在不同导电媒质分界面上，可能有自由面电荷，还可能有极化面电荷，它们的 存在造成分界面两侧场矢量不连续。
研究场矢量E 、J 的分布，就必须研究场矢量的 分界面衔接条件。
两导电媒质分界面衔接条件2(336)（2）良导体与不良导体的分界面情况设良导体和不良导体相界，良导体的电导率 「•2。
只要入射角〉90°，不论r 的丫2大小如何，由折射定律 tan 〉2二一ta ， tan 〉2很小，〉2也一定很小，以至于紧靠媒 质分界面处，不良导体侧的电流线可近似看 成与分界面垂直。
比如金属导体接地情况：钢 （^5 106S/m ）与土壤（2 =10‘S/m ） 的分界面上，当 「二89°59' 50''时计算得:2=8''。
这正好说明在恒定电场中良导体和 不良导体相界，在紧靠媒质分界面不良导体 侧，电场强度和电流密度矢量近似与分界面 垂直，分界面可近似为一等位面，这对于分析实际问题带来了很大的便利3.3.2损耗介质中的恒定电场及媒质分界面衔接条件（1）损耗介质中的恒定电场在静电场中定义电介质时，忽略了其微弱的导电性，视为理想介质。
第一套题一、填空题：1. 麦克斯韦方程组的微分形式是： 、 、 和 。
2. 静电场的基本方程积分形式为： 、 。
3. 理想导体（设为媒质2）与空气（设为媒质1）分界面上，电磁场的边界条件为： 、 、 和 。
4. 线性且各向同性媒质的本构关系方程是： 、 、 。
5. 电流连续性方程的微分形式为： 。
6. 电位满足的泊松方程为 ； 在两种完纯介质分界面上电位满足的边界条件为 、 。
7. 应用镜像法和其它间接方法解静态场边值问题的理论依据是 。
8. 电场强度E 的单位是 ，电位移D的单位是 。
9．静电场的两个基本方程的微分形式为 、10、一个直流电流回路除受到另一个直流电流回路的库仑力作用外还将受到 。
二、选择题1.在分析恒定磁场时，引入矢量磁位A，并令B A =∇⨯ 的依据是（ ）a. 0;B ∇⨯=b.;B J μ∇⨯=c.0B ∇=2. “某处的电位0=ϕ，则该处的电场强度0=E”的说法是（ ）。
a. 正确的b. 错误的c. 不能判定其正误3. 自由空间中的平行双线传输线，导线半径为a , 线间距为D ，则传输线单位长度的电容为（ ）。
a. )ln(1aa D C -=πεb. )ln(201aaD C -=πε c. )ln(2101aa D C -=πε4. 点电荷产生的电场强度随距离变化的规律为（ ）。
2111...lna b c rrr5. N 个导体组成的系统的能量∑==Ni i i q W 121φ，其中iφ是（ ）产生的电位。
a ．所有导体b ．除i 个导体外的其他导体c ．第i 个导体6.为了描述电荷分布在空间流动的状态，定义体积电流密度J ，其国际单位为（ ）3A /m a 、 2A /m b 、 A/m c 、7. 应用高斯定理求解静电场要求电场具有（ ）分布。
a 、 线性 b 、 对称性 c 、 任意 8. 如果某一点的电场强度为零，则该点电位的（ ）。
a 、 一定为零b 、 不一定为零c 、 为无穷大9. 真空中一个电流元在某点产生的磁感应强度d B 随该点到电流元距离变化的规律为（ ）。
1.2 媒质分界面衔接条件和边界条件1.2.1 媒质分界面衔接条件在求解电磁场问题时，必然要用不同媒质分界面上场矢量的衔接条件，已学过的有 电场： ()012=-⨯E E n()σ=-⋅12D D n磁场： ()S J H H n =-⨯12()012=-⋅B B n电流场 (恒定电场)： ()012=-⨯E E n()012=-⋅J J n下面进一步分析媒质分界面上场矢量发生突变的一般情况。
1. 面散度场源可能引起场量法向分量的突变在电场中，存在散度场源)(r b D==⋅∇ρ。
设电场中两种媒质之间存在一个过渡层，媒质电磁特性参数由1ε、1μ、1γ连续变化为2ε、2μ、2γ，厚度h 很小，取h 为一扁盒圆柱面的高，ρ为过渡层内体自由电荷密度。
图示规定向。
由高斯通量定理()⎰⎰∆=⋅⋅∇=∆-⋅=∆⋅+∆⋅=⋅VS s h dV D s D D n s D s D s d D ρ121122h D D n ρ=-⋅)(12讨论：(1) 若ρ为有限值，则当0→h ，即媒质参数发生跃变时，扁盒内的电荷量q ∆=0→h ρ()012=-⋅D D n⇒ n n D D 12=(2) 若当0→h 时，q ∆保持定值不变，即0→h ，ρ不断增大，使h ρ保持定值，定义它为面自由电荷密度)(lim 0h h ρσ→=2ε 1ε上面的边界条件式变为：)(lim )(lim )(012D h h D D n h h⋅∇==-⋅→→ρ即D的法向分量突变，也可用标量电位表示为()σϕεϕε-=∇-∇⋅1122n推广到一般矢量场F中，成为一普遍性边界面衔接条件())(lim )(lim 0012F h hb F F n h h⋅∇==-⋅→→ 称上述极限突变值为面散度源，可知“矢量场的面散度源可能引起场的法向分量改变，无散场的法向分量一定连续(如果没有偶极矩)”。
2. 面旋度源可能引起场矢量切向分量的突变设磁场中两种媒质间存在一过渡层，其厚h 很小。
跨分界面作狭窄矩形闭合曲线l ，其长边为l ∆，宽边为h ，且n 、 t 和n'呈右旋关系n n t ⨯'=。
由斯托克斯定理()s d r c s d F l d F l S S ⋅=⋅⨯∇=⋅⎰⎰⎰)( 有1122d l H l H l H l∆⋅+∆⋅=⋅⎰()lh n r c s r c sH l t H H SS∆'⋅=⋅=⋅⨯∇=∆⋅-=⎰⎰∆∆)()()(d d 12hr c n H H n n H H n n H H t )()()()()(⋅'=-⨯⋅'=-⋅⨯'=-⋅1212120])()([12=--⨯⋅'h r c H H n n因l 回路的任意性，上式成立，在h →0时，必有)]([lim )]([lim )]([lim )(00012tD J h H h r c h H H n h h h ∂∂+=⨯∇==-⨯→→→式中D以及t D ∂∂ 总是有限的，0→h ，0→∂∂t D h 。
以两种形式分析： (1) 若J为有限值，0→Jh0)(12=-⨯H H nt t H H 21=(2) 若0→h 过程中，l 所围面积s ∆中通过的电流总量不变，J h趋于一定值，电流εn区压缩成为薄片，定义它为自由面电流密度)(lim 0J h J h S→=有S J H H n =-⨯)(12导致的H切向分量突变的突变值S J 称为面旋度源。
对任意矢量场F，可推广得到普遍应用公式：)]([lim )]([lim )(0012F h r c h F F n h h⨯∇==-⨯→→ 可用判断矢量场F在媒质分界面上的场量切线分量是否突变。
得：“面旋度源可能引起场矢量切向分量突变，无旋场的切向分量一定连续(如果没有偶极矩存在)” 1.2.2边界条件上述分析表明：场源的某种分布对不同媒质分界面上场矢量的连续性产生重要的影响，而且场源的分布也是确定域内场量的前提。
根据唯一性定理，场的唯一确定，还有赖于给定场域适合的边界约束条件，而这种条件也等价于一定分布的场源。
下面就对一、二类边界条件分别进行讨论。
1. 第二类边界条件等价于一个单层源(1) 在电场中，如果媒质分界面上存在有面自由电荷密度，则分界面衔接条件为σ=-⋅)(12D D n或σϕεϕε=∇-∇⋅)(2211n如果在所求场域1V 边界以外场强均为零(例如导体区域)，即02=∇ϕ则σϕεϕε=∂∂=∇⋅nn 1111σ-=⋅1D n如图所示，说明S 面上有负电荷存在。
所以这样的第二类边界条件，就相当于在场域边界上有一层自由电荷。
也即是说第二类边界条件等价于面自由电荷密度。
(2) 在磁场计算中，若存在磁化体，由Maxwell 方程组计算磁化体产生的磁场22)(M H B o+=μ0=⋅∇'Bm o M H M H ρμ=⋅∇'-=⋅∇'⇒=+⋅∇')(式中：m ρ是假想的体磁荷密度，用它来等效地反映媒质磁化的影响，要确定H，还必须计算它的旋度。
在磁化体中一般没有自由电流0==⨯∇'J H由此引入标量确位m ϕ：m H ϕ-∇=，有m m m M H ρϕϕ=⋅∇'-=-∇=∇⋅-∇=⋅∇' 2由上可知：磁化体中的m ϕ满足标量泊松方程，其体磁荷密度为M m⋅-∇=ρ。
对于均匀磁化体：0=⋅∇'M，上式成为拉普拉期方程。
若按(1)中方法分析，可以从磁荷体密度m ρ中求出媒质分界面上的面磁荷密度m σ，它也是一种面散度源。
如图中两媒质分界面上，正法线方向n从21μμ→，设有一媒质过渡层，高为h ，跨分界面作一扁圆柱面S ，h 为高，由B 的连续性原理，有)(121122=∆-⋅=∆⋅+∆⋅=⋅⎰s B B n S B S B s d B S又⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-⋅112212M B M B n H H n o o μμ)(())(11212M M n B B n o-⋅--⋅=μ[]m h h M h H h M M n σ=⋅∇'-=⋅∇'=-⋅-=→→)(lim )(lim )(0012如果02=H，即在∞=μ的铁质内，有m nm m n H n σϕϕ-=∂∂=∇⋅=-⋅)(1可见：磁化体表面的第二类非齐次边界条件与磁荷面密度等价。
n2. 第一类边界条件等价于一个双层源在静电场中，一个电偶极子(其偶极矩d q p=)在p 点产生的电位r e p rqd o r o '⋅='='πεπεθϕ44cos 2现在要分析边界两侧有相同分布的正、负电荷层的情况，其间距离极小为d ，称为偶层，设面电荷密度为σ±，则面电偶极矩密度(层强) dστ=，它的正方向由负电荷指向正电荷。
取边界面上正法向单位矢量n 与τ 的正方向一致，则偶层元ds τ在P 点产生的电位ds r ds rds r r e ds d o o o o r 2222cos 41)cos(41cos 414θτπεθπτπεθτπεπετϕ-='--='=⋅= 式中2cos r ds θ是面元ds 对于场点所张的立体角Ωd 。
如果场点到面元ds 的矢径r与ds 的正法向矢量n e的夹角为锐角， Ωd 为正，为钝角则为负。
于是整个偶层在P 点产生的电位为⎰⎰ΩΩ-='-=d ds ro S o τπεθτπεϕ41cos 412 若层强是常数，则Ω-=Ω-=⎰Ωoo d πετπετϕ44 如果偶层分布在一个闭合面S 上，S 面内任意一点的电位为oo ετππετϕ-=⋅=-44 在S 闭面外任一点的电位0=+ϕ以上两式表明：ϕ=定值的第一类边界条件，等价于面偶极矩分布的双层源。
应注意：①偶层的每一个面上no ∂∂ϕε都发生突变(突变量为σ)，两次突变等值异号。
从偶层一侧到另一侧，n D 保持不变，但双层源两侧有电位差o ετϕϕ=--+说明双层源引起了电位的突变。
② 偶层的存在，如果层强不均匀，还可能引起t E 不连续。
P分析图示偶层两侧对应点的电位差：1、2两点之间电位差为o ετϕϕ121=-4、3两点之间的电位差为oετϕϕ234=-21ττ≠，则3421ϕϕϕϕ-≠-即3241ϕϕϕϕ-≠--+=∆-≠∆-=t t E ll E 3241ϕϕϕϕ 可见由于层强的不均匀导致电偶层两侧E的切向分量不相等。
这也说明：在没有偶层分布的无旋场中，才有场矢量的切向分量连续。
由以上的分析，可以归纳为：1. 在无偶层源存在的情况下，媒质分界面上矢量场遵循的分界面衔接条件 ())(lim 012F h F F n h⨯∇=-⨯→())(lim 012F h F F n h⋅∇=-⋅→2. 第一类边界条件可等效为双层源，第二类边界条件可等效为单层源。
3. 分析场的问题，无论场域内、分界面或场域的边界上，都是场与源(等效源)的问题，仍然是由源和媒质分布决定场的分布，反映Helmholtz 定理的正确性。
4. 提供了一个按等效源处理边界条件、分界面衔接条件的方法。
1-t R τ234+t R +–。
