成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案#(精选.)

20XX年成人高考专升本高等数学一考试真题及参考答案
一、选择题：每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

第1题设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的( )
A.高阶无穷小量
B.等价无穷小量
C.同阶但不等价无穷小量
D.低阶无穷小量
参考答案：D
参考答案：C
第3题函数f(x)=x3-12x+1的单调减区间为( )
A.(-∞,+∞)
B.(-∞,-2)
C.(-2,2)
D.(2,+∞)
参考答案：C
参考答案：A 第5题
参考答案：B
参考答案：D 第7题
参考答案：B
参考答案：A
参考答案：B
参考答案：A
二、填空题：本大题共10小题。

每小题4分，共40分，将答案填在题中横线上。

参考答案：1
参考答案：2
第13题设y=x2+e2，则dy=________
参考答案：(2x+e2)dx
第14题设y=(2+x)100，则Y’=_________.
参考答案：100(2+z)99
参考答案：-In∣3-x∣+C
参考答案：0
参考答案：1/3(e3一1)
参考答案：y2cosx
第19题微分方程y’=2x的通解为y=__________.
参考答案：x2+C
参考答案：1
三、解答题：本大翘共8个小题，共70分。

解答应写出推理，演算步骤。

第21题
第22题
第23题
第24题
第25题
第26题设二元函数z=x2+xy+y2+x-y-5，求z的极值.
第27题
第28题。

2024年成人高考专升本《数学》考卷真题及答案一、选择题（每小题5分，共25分）1. 下列函数中，是奇函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2C. y = x^4D. y = x^2 + 12. 下列数列中，是等差数列的是（）A. 1, 3, 5, 7,B. 1, 2, 4, 8,C. 1, 3, 9, 27,D. 1, 2, 3, 4,3. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5x 1B. 3x 4 < 2x + 5C. 4x + 7 > 5x 2D. 5x 3 < 4x + 14. 下列立体图形中，是圆柱的是（）A. 圆锥B. 球体C. 长方体D. 圆柱5. 下列积分中，正确的是（）A. ∫(x^2 + 1)dx = (1/3)x^3 + x + CB. ∫(x^3 + 1)dx = (1/4)x^4 + x + CC. ∫(x^4 + 1)dx = (1/5)x^5 + x + CD. ∫(x^5 + 1)dx = (1/6)x^6 + x + C二、填空题（每小题5分，共25分）1. 函数y = x^2 4x + 3的顶点坐标是______。

2. 等差数列1, 3, 5, 7, 的前10项和是______。

3. 不等式3x 4 < 2x + 5的解集是______。

4. 圆柱的体积公式是______。

5. 积分∫(x^3 + 1)dx的值是______。

三、解答题（每小题10分，共50分）1. 解方程组：\[\begin{align}2x + 3y &= 8 \\4x 5y &= 10\end{align}\]2. 求函数y = x^3 6x^2 + 9x 1的极值。

3. 求证：等差数列1, 3, 5, 7, 的前n项和是n(n + 1)/2。

4. 求圆柱的表面积。

5. 计算积分∫(x^4 + 1)dx。

四、证明题（每小题10分，共20分）1. 证明：对于任意实数x，都有x^2 ≥ 0。

第一章 函数与极限一. 基础题1. 设映射:,,.f X Y A X B Y →⊂⊂证明 (1) ()()();f A B f A f B ⋃=⋃ (2) ()()().f A B f A f B ⊂证 (1)(),y f A B x A B ∈⇔∃∈ 使得()y f x =x A ⇔∈或x B ∈,且()y f x =()y f A ⇔∈或()y f B ∈()()y f A f B ⇔∈ .(2)(),y f A B x A B ∈⇒∃∈ 使得()y f x =x A ⇒∈且x B ∈, ()y f x =()y f A ⇔∈且()y f B ∈()()y f A f B ⇒∈ .2. 设()f x 为定义在(,)l l -内的奇函数,若()f x 在(0,)l 内单调增加,证明()f x 在(,0)l -内单调增加.证 设120l x x -<<<,则120x x l <-<-<,由()f x 在(0,)l 内单调增加得21()()f x f x -<-.又()f x 为(,)l l -内的奇函数,故21()()f x f x -<-,从而21()()f x f x >,即()f x 在(,0)l -内单调增加.3.设()ln(f x x =,讨论它的奇偶性. 解 显然()f x 的定义域是(,)-∞+∞.又因为()ln[ln(f x x x -=-+=-+ln=ln(()x f x ==-+=-.所以()f x 为奇函数.4. 设1(1),21xf x x +-=-求()f x . 解 设1,u x =-得1x u =-,于是()()()11221112u uf u u u+--==---,从而()212x f x x -=-.5. 设数列{}n x 的一般项为1sin 3n n x n π=.问lim n n x →∞=?求出N 使当n N >时n x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出N .解 lim 0n n x →∞=.我们证明如下:0,ε∀>为使110sin 3n n x n n πε-=≤<,只需1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0n x ε-<.当0.001ε=时, 取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1000==1000,此时只要1000n >,就有00.001n x -<.6. 用极限定义证明:(1)1n →∞=; (2)lim0.99991n n→∞= . (3) 21214lim 2;21x x x →--=+(4)lim 0x =证 (1)0,ε∀>为使1a nn nε=≤=<,只需an ε>.取aN ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,1ε-<,即lim 1n n→∞=.(2) 0ε∀> (不妨设1ε<),为使10.9999110n nε-=<,只需1lg n ε>.取1lg N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,就有0.99991nε-< ,即 lim0.99991n n→∞=. (3) 因为11,22x x →-≠- 0ε∀>,为使214121222()212x x x x ε--=--=--<+,只需1()22x ε--<.取2εδ=,则当10()2x δ<--<时,就有214221x x ε--<+.故21214lim 2;21x x x →--=+ (4) 因为,x →-∞所以0x <.又10x-≤≤=-,为使0ε-<只需1x ε<-.所以0ε∀>,取1X ε=,则当x X <-时, 就有0ε-<.故21214lim 221x x x →--=+. 7. 设2()f x x =.问2lim ()x f x →=?求出δ使当2x δ-<时()f x 与其极限之差的绝对值小于ε.当0.001ε=时,求出δ.解 22lim 4x x →=.我们给出如下证明.0,ε∀>由于2,x →不妨设13x <<.为使2()44(2)(2)52f x x x x x ε-=-=+-≤-<,只需25x ε-<.取5εδ=,则当2x δ-<时,就有()4f x ε-<.当0.001ε=时, 取0.0002δ=,此时只要20.0002x -<,就有()40.001f x -<. 8.证明函数()f x x =当0x →时极限为零.证明 0,ε∀>为使()000f x x x x ε-=-==-<,只需取5εδ=,则当0x δ-<时,就有0x ε-<,即0lim 0x x →=.9.求(),()x xf x x x xϕ==当0x →时的左、右极限,并说明它们的极限是存在. 解 000l i m ()l i m l i m 11,x x x x f x x +++→→→=== 000l i m ()l i m l i m 11.x x x xf x x ---→→→=== 由于0lim ()x f x +→=0lim ()x f x -→1=知0lim ()1x f x →=；0000lim ()lim lim lim11,x x x x x x x x x ϕ++++→→→→====0000lim ()lim lim lim 1 1.x x x x x x x x x ϕ----→→→→-==-=-由于lim ()x x ϕ+→≠0lim ()x x ϕ-→1=知0lim ()x x ϕ→不存在． 10．根据定义证明： （１）21(1)sin (1)y x x =--为当0x →时的无穷小； （２）12xy x+=为当0x →时的无穷大．问x 应满足什么条件，能使410y >． 证（１）0,ε∀>为使22110(1)sin 0(1)sin 1(1)(1)y x x x x x ε-=--=-≤-<--,只需取δε=,则当01x δ<-<时,就有21(1)s i n 0(1)x x ε--<-,即21(1)sin(1)y x x =--为当0x →时的无穷小. （２）0M ∀>，为使121122x M x x x +=+≥->，只要12M x->，即12x M <+． 因此，取1,2M δ=+当00x δ<-<时，就有12xM x +>．故12x y x +=为当0x →时的无穷大．当410,M =取4112102M δ==++时，就能使41210xy x +=>．11．求极限21lim x x x →∞+并说明理由．解 21lim x x x →∞+＝1lim(2)2x x→∞+=．理由：令()2f x α=+，其中1xα=．因为x →∞时，x 是无穷大，由无穷大与无穷小的关系知1xα=为无穷小．再由无穷小与极限的关系得1lim(2)2x x →∞+=．12. 计算下列极限:(1) 220()lim h x h x h→+-; (2) 22468lim 54x x x x x →-+-+;(3) 2468lim 31x x x x x →∞++-+; (4) 2lim(21)x x x →∞-+;(5) 32121lim()82x x x →---; (6)12(1)lim [()()()]n a a n ax x x n n n n→∞-++++++ ;解 (1) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h →→→+-++-==+=. (2) 2244468(4)(2)22lim lim lim 54(4)(1)13x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) 223443416868lim lim031311x x x x x x x x x x x→∞→∞++++==-+-+ (4) 因为22211lim lim 011212x x x x x x x→∞→∞==-+-+,所以2lim(21)x x x →∞-+=∞.(5) 2332222121122(2)(4)lim()lim lim 828(2)(42)x x x x x x x x x x x x x →→→---+-==----++ 2241lim 422x x x x →+==++. (6) 原式=1lim [(1)(12(1)]n an x n n n →∞-++++-=1(1)lim [(1)]2n a n n n x n n →∞--+=2ax +. 13.利用有界变量与无穷小之积仍为无穷小计算下列极限:(1)201lim cosx x x →; (2)arctan lim x xx→∞.解 (1) 因为0,x →所以2x 0→,1cos 1x≤.故201lim cos 0x x x →=.(2) 因为,x →∞所以1x 0→,arctan 2x π<.故arctan 1limlim arctan 0x x x x xx →∞→∞==. 14.利用两个重要极限计算下列极限:(1) 0sin lim(0,0)x xxααββ→≠≠; (2) 20tan(1)lim 2x x x x →-+-;(3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-; (4) lim 2sin (2nn n x x →∞为不等于零的常数) (5)120lim(13)x x x →-; (6) 21lim()xx x x→∞+. 解 (1) 00sin sin limlim .x x x x x x x x ααααβαββ→→== (2) 2000tan(1)tan(1)tan(1)11lim lim lim 2(1)(2)122x x x x x x x x x x x x →→→---==∙=+--+-+. (3) 20cos 7cos5lim sin 3x x x x →-202sin 6sin lim sin 3x x xx→-=2220sin 6sin (3)642lim 6sin 3(3)3x x x x x x x x x x →⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (4) 22sin 2lim 2sin lim 22n n n n x x x x x →∞→∞⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭.(5) 120lim(13)x x x →-=1(3)13232lim (13)e x xxx x ---→⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦.(6) 21lim()x x x x →∞+=221lim e xx x x →∞⎡⎤⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 15.当0x →时,无穷小(1)x π-和(1)31x -,(2)sin x π是否同阶?是否等价?解 (1)因为322111(1)(1)lim lim lim 1(1)(1)13x x x x x x x x x x x ππππ→→→--===--++++,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和31x -同阶,但不等价.(2) 因为111sin sin (1)sin (1)lim lim lim 1(1)(1)(1)x x x x x x x x x ππππππ→→→---===---,所以当0x →时,无穷小(1)x π-和sin x π是等价的.16.利用等价无穷小的性质,求下列极限:(1)0sin lim (,(sin )nm x x n mx →为正整数); (2)30sin tan lim sin x x x x→-;(3)0x →. 解 (1)000,,sin limlim 1,,(sin ).n n m m x x n m x x n m x x n m →→>⎧⎪===⎨∞<⎪⎩ (2) 因为332000sin tan sin (1sec )1sec lim lim lim sin sin sin x x x x x x x xx xx →→→---==,而2220002sin 1sec 1cos 112lim lim lim 1cos cos ()222x x x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 所以 233220000sin tan sin (1sec )1sec 12lim lim lim limsin 2x x x x x x x x x x x x →→→→----====-.(3)0x →=0x →201sin x x →=+ =201cos x x x →- =1114612-+=-. (21cos 12x x - ). 17.讨论下列函数的连续性:(1).()(11)f x x x =+-; (2) {,11,()1,1 1.x x f x x x -≤≤=<->或 解 (1) 222,1,(),1,,1.x x x f x x x x x ⎧-<⎪==⎨>⎪⎩当1x <或1x >时()f x 为初等连续函数,所以连续;当1x =时,有221111lim ()lim 1(1),lim ()lim(2)1(1),x x x x f x x f f x x x f ++--→→→→====-== 因此()f x 在1x =连续函数,故()f x 在定义域(,)-∞+∞内连续. (2) 显然()f x 在(,1)-∞-与(1,)-+∞内连续.而在1x =-11lim ()lim 1x x f x x ++→-→-==- ,但 11lim ()lim 11,x x f x --→-→-== 即 11lim ()lim ()x x f x f x +-→-→-≠.故()f x 在1x =-间断. 18.试确定,a b ,使函数1sin ,0,(),0,1sin .0.x x x f x b x x x x ⎧<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续.解 显然()f x 在(,0)-∞与(0,)+∞内连续.而在分断点0x =处,由于1lim ()lim sin 0.x x f x x x++→→== , 001lim ()lim (sin )1,x x f x x a a x--→→=+=+ 根据 0lim ()lim ()(0)x x f x f x f +-→→==, 得 10,a b +== 即 1,0a b =-=.19.求下列函数的间断点,并确定其类型.如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续:(1) 1e ,0,()0,0,1arctan .0.x x f x x x x ⎧⎪<⎪==⎨⎪>⎪⎩(2) ()tan x f x x =; (3)221()lim1nnn x f x x x →∞-=+. 解 (1)()f x 为分段函数,当0x ≠时, ()f x 显然连续.当0x =时,因为11lim ()lim e 0,lim ()lim 2xx x x x f x f x arctan x π--++→→→→====. 所以0x =是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点). (2) ()f x 的无定义点为(0,1,2,)2x k x k k πππ=+==±± 和.对0x =, 因为0lim 1,tan x xx→=所以0x =是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:1,,,(0,1,2,)tan 2()1,0,x x k k k x f x x πππ⎧≠+=±±⎪⎪=⎨=⎪⎪⎩则1()f x 在0x =处连续. 对(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± ,因为2lim0,tan x k xxππ→+=所以2x k ππ=+(0,1,k =±2,)± 是()f x 的第一类间断点,且为可去间断点,重新定义函数:2,,,tan 2()(0,1,2,)0,,2xx k k x f x k x k πππππ⎧≠+⎪⎪==±±⎨⎪=+⎪⎩.则2()f x 在(0,1,2,)2x k k ππ=+=±± 处连续.对(0,1,2,)x k k π==±± ,lim,tan x k xxπ→=∞所以(0,1,2,)x k k π==±± 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点)(3) 221()lim1n nn x f x x x →∞-=+,1,0,1,,1.x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪<⎩为分断函数. 在分断点1x =-处,因为1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→-→-≠.所以1x =-为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).在分断点1x =处,因为1111lim ()lim 1,lim ()lim()1x x x x f x x f x x --++→→→→===-=-,11lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以1x =为()f x 的第一类间断点(跳跃间断点).20.求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间,并求极限03lim (),lim ()x x f x f x →→-及2lim ()x f x →.解 因为()f x 在123,2x x =-=点无意义,所以123,2x x =-=这两个点为间断点.故函数()f x 的连续区间为(,3),(3,2),(2,)-∞--+∞.32200331lim ()lim 62x x x x x f x x x →→+--==+-.32222333333(1)(3)(1)8lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)5x x x x x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→-+---+-====-+-+--. 32222222233(1)(3)(1)lim ()lim lim lim 6(3)(2)(2)x x x x x x x x x x f x x x x x x →→→→+---+-====∞+-+--. 21.设函数()f x 与()g x 在点0x 处连续,证明函数{}{}()max (),(),()min (),()x f x g x x f x g x ϕψ==在点0x 处也连续.证 因为 {}1()max (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ϕ==++-, {}1()m i n (),()[()()()()]2x f x g x f x g x f x g x ψ==+--, 而连续函数的绝对值、和、差仍连续，故(),()x x ϕψ在点0x 处也连续.22.利用复合函数的极限与连续定理计算下列极限(1) 1lim1x x →- (2)sin sin limx a x a x a →--;(3)lim x →+∞;(4) x →∞(5); ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++;(6)0x →; 解(1) 12x x →→==.(2)2sin cos sinsin sin 222lim lim lim limcos cos 2x a x a x a x a x a x a x a x a x a a x a x a x a →→→→-+--+==⋅=---.(3) lim limx x →+∞=1lim2x==. (4)因为x x →∞=,而lim lim1x x →+∞==lim lim1x x →-∞==-故x →∞不存在.(5) ()()(2)()()lim ()x a x b x a b x x a x b x a b ++++→+∞++++()()()()()()lim lim ()()x a x b x a x b x x x a x b x a b x a b ++++→+∞→+∞++=⋅++++()()()()1111lim lim lim lim (1)(1)(1)(1)b a x x x x x a x b x a x b b ab a b a x a x b x a x b →+∞→+∞→+∞→+∞++++=⋅=⋅⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥++++⎣⎦⎣⎦()11e .e ea b b a-+==(6) 00x x →→=0s i n l i m n x x x →=00s i n l i m l nx x x x x →→→=⋅=22220011)11112lim lim 1)2sin 2sin 22x x x x x x →→=⋅=. 23.证明方程sin x a x b =+,其中0,0a b >>,至少有一正根,并且它不越过a b +. 证 令()sin f x x a x b =--.显然()f x 在闭区间[0,]a b +上连续,(0)0,f b =-< ()[1sin()]f a b a a b +=-+.当sin()1a b +<时,()0f a b +>.由零点定理知,存在(0,)a b ξ∈+.使()0f ξ=,即ξ为原方程小于a b +的正根;当sin()1a b +=时, ()0f a b +=,a b +为原方程的正根.综合之, 方程sin x a x b =+至少有一正根,并且它不越过a b +.24.设函数()f x 对于闭区间[,]a b 上的任意两点,x y ,恒有()()f x f y L x y -≤-,其中L 为正常数,且()()0f a f b ⋅<.证明:至少有一点(,),a b ξ∈使得()0f ξ=.证 任取0(,),0,x a b ε∈∀>取00min ,,x a b x Lεδ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭,则当0x x δ-<时,依假设有00()()f x f x L x x L δε-≤-<≤.所以()f x 在0x 点连续.由0x 的任意性知, ()f x 在(,)a b 内连续. 当0x a =或0x b =时,取Lεδ=,当0x a δ<-<或0b x δ<-<时,有()()()f x f a L x a L x a L δε-≤-=-<≤.或 ()()()f x f b L x b L b x L δε-≤-=-<≤.故()f x 在x a =右连续, ()f x 在x b =左连续,从而()f x 在闭区间[,]a b 上连续.再借助()()0f a f b ⋅<及零点定理知,存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ=.25. 若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,12n a x x x b <<<<< , 1,2,,n C C C 为任意正数,1(,)n x x 内至少有一点ξ, 使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .证 因()f x 在闭区间[,]a b 上连续,又1[,][,]n x x a b ⊂,所以()f x 在1[,]n x x 上连续.设{}{}11max (),min ()n n M f x x x x m f x x x x =≤≤=≤≤.则有 112212()()()n n nC f x C f x C f x m M C C C +++≤≤+++ .若上面不等式为严格不等号,则由介值定理知, 存在1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .若上面不等式中出现等号,如112212()()()n n nC f x C f x C f x M C C C +++=+++ ,则有1122[()][()][()]0n n C M f x C M f x C M f x -+-++-= . 于是 12()()()n f x f x f x M ==== .此时任取121,,,n x x x - 中任一点为ξ,即有1(,)n x x ξ∈,使112212()()()()n n nC f x C f x C f x f C C C ξ+++=+++ .同理可证112212()()()n n nC f x C f x C f x m C C C +++=+++ 的情形.26.证明:若()f x 在(,)-∞+∞内连续,且lim ()x f x →∞存在,则()f x 必在(,)-∞+∞内有界.证 设lim (),x f x A →∞=则给定10ε=>,可存在0X >,当x X >时,有()1f x A ε-<=.从而()()1f x f x A A ≤-+<+.由假设,显然()f x 在[,]X X -上连续,故()f x 在[,]X X -上有界,即存在K ,使[,]x X X ∀∈-,有().f x K ≤取 {}max ,1M K A =+,则(,)x ∀∈-∞+∞,有()f x M ≤.二. 提高题1. 设1,1,()0, 1.x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()e xg x =，求[()]f g x .解 因为当0x ≤时，()e 1x g x =≤；当0x >时，()e 1xg x =>．所以1,0,(())0.0.x f g x x ≤⎧=⎨>⎩2. 计算下列极限.(1)n →∞; (2)2352limsin 53x x x x→∞++; (3)1101e lim ex x xx +→-+; (4)2013sin coslim (1cos )ln(1)x x x x x x →+++;(5) x →+∞;(6))n →∞);(7) 0lim x +→(8) 11lim ln x x x x x →- (9) 120e e e lim()x x nx x x n→+++ ; (10) 2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭,求a ;(11)(0lim xx π+→;解(1)n→∞=limn→∞n==(2)当x→∞时, 有22sinx x.因此223523526lim sin lim53535x xx xx x x x→∞→∞++=⋅=++.(3)1111001e e1lim lim1e e1x xx xx xx x++-→→---==-++.(4)21 0013sin1 3sin cos cos3 lim lim(1cos)ln(1)2(1cos)ln(1)x xxxx x xx x xx xx x→→++== ++++.(5) 原式= limx→+∞lim0x→+∞==.(6))2) 1.n n nnπ→∞→∞→∞===(7) 由于当0x+→时,12x- ,21cos2xx- ,所以(200001cos1lim lim lim lim2122x x x xxxx++++→→→→-====⋅⋅+.(8) 由于当1x→时,lne1lnx x x x- ,所以xlnx1111e1lnlim lim lim1ln ln lnxx x xx x xx x x x x x→→→--===. (9) 当0x→时, 有ln(1),e1kxx x kx+-,于是22001e e e1e e elim ln lim ln(1)x x nx x x nxx xnx n x n→→++++++-=+22001e e e1(e1)(e1)(e1) lim ln lim lnx x nx x x nxx xnx n x n→→+++--+-++-==2121lim(1).2xx x nx nnnx n→++++++===+故12e e elim()x x nxxx n→+++=1(1)2e n+.(10) 因为333233l i m l i m1l i m1ex a a xx xa x aax x xx a a ax a x a x a-⋅-→∞→∞→∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以328l i m exaxx ax a→∞+⎛⎫==⎪-⎝⎭,故ln2a=.(11) ()00lim lim11)x xx xππ++→→⎡⎤=+⎣⎦2lim11)e.xπ+-→⎡=+=⎣3.比较下列无穷小:(1).当0→时，xxx++是x的几阶无穷小？(2).已知当x→1时，)(xf是1-x的等价无穷小，则)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的几阶无穷小？解：(1)81limxxxxx++→=1lim2141++→xxxxx=1所以当x→0时，xxx++是x的81阶无穷小.(2)当x→1时，)(xf 1-x,所以)]()(1ln[xxfxf+-=)()1(1ln[xfx-+ )1(-x)(xf 2)1(-x即当1x→时，)]()(1ln[xxfxf+-是1-x的二阶无穷小.4．根据条件，解答下列各题：(1)当x0→时，1)1(31-+ax与1cos-x是等价无穷小，求a；(2)已知)1(lim2baxxxx--+→=0，（ba,为常数），求ba,;(3)设)(25)(22bkxxxxxf+-+--=，若)(lim xfx∞→=0，求k与b的值；(4)已知1)sin)(1ln(lim0-+→xx axxf=3,(),1,0≠>aa求2)(limxxfx→；(5)若xx xxfx1))(1(lim++→＝e，求xx xxf1))(1(lim+→；解(１)当0→x时，1)1(312-+ax≈23xa，1cos-x≈221x-，则当213-=a即a=23-时，两者是等价无穷小．(２因为1)()1(lim2+-+--∞→xbxbaxax＝０，所以1=a，1-=-=ab．(３)由)(lim xfx∞→＝2)2)(()5(lim2+++---∞→xxbkxxxx＝225)21()1(lim2+--++--∞→xbxbkxkx＝０．得01=-k，3,121-==⇒=++bkbk（４）由已知有,xxxfxx))(1ln(lim++→＝３，所以0sin)(lim=→xxfx．从而=-+→1)sin)(1ln(lim0xx axxfaxxxfx lnsin)(lim→＝axxfx ln)(lim2→＝３，故2)(limxxfx→＝aaaxxfxln3lnln)(lim2=⋅→．（５）由若xx xxfx1))(1(lim++→＝3e，得()ln(1)lim3xf xxxx→++=．所以 0()lim()0x f x x x→+=．从而 00()()ln(1)limlim 3x x f x f x x x x x x x→→+++==．故 0()lim 2x f x x x→=，因此 0()lim0x f x x →=． 由是()1()2()()lim 1lim 1e f x x x x f x x x x x f x f x x x →→⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦．5.求下列函数的间断点,并判断其类型:(1)22(4),0,sin ()(1)0,,1x x x x f x x x x x π⎧-⎪<⎪=⎨+>⎪⎪-⎩ (2)11().1e xxf x -=- 解 (1)当0x <时,()f x 在1,2,x =-- 无定义.对于2x =-,28lim ()x f x π→-=,所以2x =-为()f x 的可去间断点.易验证1,3,4,x =--- 是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x >时, ()f x 在1x =无定义,且1lim ()x f x →=∞,所以1x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点.当0x =时,由于220000(1)(4)4lim ()lim 0,lim ()lim 1sin x x x x x x x x f x f x x x ππ++--→→→→+-====--,所以0x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.(2)0,1x x ==是()f x 的间断点.因为0011lim ()lim ,1e x x x x f x →→-==∞-所以0x =是()f x 的第二类间断点且为无穷间断点; 又11111111lim ()lim 1,lim ()lim 01e 1e x xx x x x x xf x f x ++--→→→→--====--,所以1x =是()f x 的第一类间断点且为跳跃间断点.6.设2122()lim 1n n n x ax bxf x x -→∞++=+是连续函数,求,a b 的值.解 当1x <时,有lim 0n n x →∞=,从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++. 当1x >时,有lim nn x →∞=∞,从而21222212211()lim lim 111n n n n n n na b x ax bx x x x f x x x x---→∞→∞++++===++. 当1x =时,11(1),(1)22a b a bf f ++-+-=-=. 因为()f x 是连续函数,所以11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→→==即112a ba b ++=+=.及11lim ()lim ()(1),x x f x f x f +-→-→-==- 即 112a ba b -+--=-=, 解之得0,1a b ==. 7．试确定,a b 的值，使e ()()()x bf x x a x b -=--有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．解 因为x e =是()f x 无穷间断点，所以a e =或b e =．若a e =，e ()()()x bf x x e x b -=--，再由1x =为间断点知1b =．此时11e 1lim ()lim ,()(1)x x x f x x e x →→-==∞--即1x =是()f x 无穷间断点，这与假设矛盾． 若b e =，e ()()()x ef x x a x e -=--，再由1x =为间断点知1a =．此时11e e lim ()lim ,lim ()lim ()(1)1()(1)x x x x x ex e e e ef x f x x e x e x e x →→→→--====∞-----． 因此地当1,a b e ==时， ()f x 有无穷间断点x e =，可去间断点1x =．三. 考研试题１．（９０，３分）设函数,1,1,0,1)(>≤⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f 则)](([x f f ＝ ．解 由)(x f 的定义知，当1≤x 时，有1)(=x f ．又1)1(=f ，于是当1≤x 时，复合函数1)](([=x f f ．当1>x 时，有0)(=x f ．又1)0(=f ，于是当1>x 时，复合函数1)](([=x f f ． 因此，对任意),(+∞-∞∈x ，有1)](([=x f f ．２．（03，4分）设{}n a ，{}n b ，{}n c 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ，1lim =∞→n n b ，∞=∞→n n c lim ，则必有（Ａ）n n b a <对任意n 成立． (B) n n c b < 对任意n 成立． (C)极限0lim =∞→n n n c a 不存在． (D ）极限0lim =∞→n n n c b 不存在．解 因为由数列极限的不等式只能得出数列“当n 充分大时”有相应的不等式，而不能得出“对于任意n ”成立的不等式，所以(A)、（B ）不对．又因为“无穷小与无穷大之积”是未定型，极限可能存在也可能不存在，故（Ｃ）也不对．因此应选（Ｄ）．３（92，3分）．当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限 （Ａ）等于2． （Ｂ）等于0．（Ｃ）为∞． （Ｄ）不存在但不为∞解 因为002e )1(lim e 11lim 1111121=⋅=+=---→-→--x x x x x x x ， ∞=+=---→-→++1111121e )1(lim e 11lim x x x x x x x ．所以当1→x 时，函数112e 11---x x x 的极限不存在，也不为∞．故应选（Ｄ）． ４．（00，5分）求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x xx x sin e 1e 2lim 410．解 当0→x 时，对x1e 与x ，都必须考虑左、右根限．110sin e 1e e 2lim sin e 1e 2lim 4340410=+=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++---→→++x x x x xx x x x x x ， 110102sin e 1e 2lim sin e 1e 2lim 410410=-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--→→x x x x xx x x x x ． 故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++→x x x x x sin e 1e 2lim 410＝１． 5.（93，5分）求xx xx )1cos 2(sin lim +∞→．解 )11cos 2(sin 1cos sin 1)11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim -+⋅-+∞→∞→-++=+x x x xx x x x xx x x ． 而 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x 111cos 12sin lim 111cos 2sin lim)11cos 2(sin lim2021212sinlim 2=+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=∞→x x xx x ． 故 2)11cos 2(sin 11cos 2sin 1e )11cos 2(sin 1[lim )1cos 2(sinlim =-++=+-+⋅-+∞→∞→x x x xx x x x xx x x ．６．（０３，４分）21ln(1)lim(cos )x x x +→=解 因为)1ln(1cos 1cos 10)1ln(1)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x x x x x +-⋅-→+→-+=．而212lim )1ln(1cos lim 22020-=-=+-→→x x x x x x ．故 )1ln(1cos 1cos 10)1ln(122)]1(cos 1[lim )(cos lim x x x x xx x x +-⋅-→+→-+==21e-．７．（９７，３分）求)1ln()cos 1(1cossin 3lim20x x x x x x +++→． 解 注意到,1)1ln(lim ,1sin lim00=+=→→xx x x x x 则 23)1ln()cos 1(1cossin 3lim )1ln()cos 1(1cos sin 3lim20=+++=+++→→x x x x x x x x x x x x x x ． 8．（97，3分）设{=)(x f 0,0,)(cos 2=≠-x a x x x 在0=x 处连续，求a 的值．解 1e e lim )(cos lim )(lim 0cos ln 022=====-→-→→xxx x x x x x f a ．9．（95，3分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++++++∞→n n n n n n n n 22222211lim ． 解 记=n x n n n nn n n +++++++++22222211 ，则)21(11)21(2122n n x n n n n ++++≤≤++++ ． 故由夹逼法则得21)21(11lim )21(21limlim 22=++++=++++=∞→∞→∞→n n n n n x n n n n ．四.测试题１．单项选择题：（１）设22(),(())2,x f x x f x ϕ==则()()x ϕ=（Ａ）．2x （).2x B （Ｃ）2.log x （Ｄ）．22log x ．（２）函数()log ((1)a f x x a =+>为（ ）（Ａ）．有界函数 （).B 偶函数 （Ｃ）．奇函数 （Ｄ）．非奇非偶函数（３）011lim(sin sin )()x x x x x →+=．（Ａ）．０ （B ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）．不存在．（４）0lim (xx x a x a →⎛⎫ ⎪+⎝⎭为常数)等于（ ） （Ａ）．e a - （Ｂ）．e a （Ｃ）．1e a - （Ｄ）． 1e a-（５）0ln(1sin )lim()x x x→-= （Ａ）．e Ｂ．e - Ｃ．1 Ｄ． 1- （６）设()232xxf x =+-，则当0x →时，有（ ）（Ａ）．()f x 与x 是等价无穷小 （Ｂ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小 （Ｃ）．()f x 是比x 高阶的无穷小 （Ｄ）．()f x 是比x 低阶的无穷小２．填空题（１）设函数()f x 的定义域为[1,1]-，则(ln )f x 的定义域为 ．（２）若214lim3,1x x ax x →-+=--则a = ． （３）设22,11(),1x bx x x f x a x ⎧++≠⎪-⎪=⎨=⎪⎪⎩，在点1x =处连续，则 b = ，a = ．３．计算题 （１）cos sin lim(0)cos sin 2n nn n n θθπθθθ→∞-≤≤+； （２）11021lim21xx x →-+； （３）10lim (0,0,0)3x x xxx a b c a b c →⎛⎫++>>>⎪⎝⎭； （４）()tan 2lim sin xx x π→. ３．设()lim e x x xxxn n n f x n n ---→∞-=+，研究()f x 的连续性． ５．证明下列各题：（１）设()f x 在[,]a b 连续，且a c d b <<<a c d b <<<，证明：在[,]a b 上至少存在一点ξ，使()()()()pf c qf d p q f ξ+=+其中,p q 为任意正常数．（２）设()f x 在[0,1]上连续，又设()f x 只取有理数，且1()22f =，试证()f x 在[0,1]上处处为()2f x =．测试题解答１．（１）（Ｂ）；（２）（C ）；(3) （B ）；(4) (A)；(5) （D ）；(6) （B ）. 2．（１）1[,e]e；（２）5a =；（３）1a =，3b =-；３．（１）当04πθ≤≤时，有sin limlim tan 0cos n nn n n θθθ→∞→∞==，从而 sin 1cos sin os lim lim 1sin cos sin 1os n n n n n n n n n n c c θθθθθθθ→∞→∞--==++； 当4πθ=时，有sin cos 2θθ==，从而cos sin lim 0cos sin n n n n n θθθθ→∞-=+； 当42ππθ<≤时，有cos lim lim cot 0sin n nn n n θθθ→∞→∞==，从而os 1cos sin sin lim lim 1os cos sin 1sin n n n n n n n n n n c c θθθθθθθθ→∞→∞--==-++． (2) 因为11100111212lim lim 1,11212x x x x x x++→→--==++1102101lim 10121x x x -→--==-++,所以11021lim 21x x x →-+不存在. (3) 因为1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxx x x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,而3303lim 1e 3xxx x x xab c x a b c ++-→⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭,000111limln ,lim ln ,lim ln x x x x x x a b c a b c x x x→→→---===. 故1111()1333003lim lim 133x x x x x x a b c x x xxxxx x x xa b c x x a b c a b c ---++++-→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫++++-⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11(ln ln ln )33e()a b c abc ++==.(4) 因为()()1tan (sin 1)tan sin 122lim sin lim 1(sin 1)xx x x x x x x ππ⋅-⋅-→→=+-()(sin 1)tan 1sin 12lim 1(sin 1)x xx x x π-⋅-→⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦.而 ()1s i n 12l i m 1(s i n 1)ex x x π-→+-=, 222sin (sin sin )2lim(sin 1)tan lim(sin 1)tan limsin()2x x x x x x x x x x πππππ→→→--=-=+2222sincos22limsin 222sin cos 22x x x x x x πππππ→-+=⋅++=2sin()24lim sin 0sin()24x x x x πππ→-=⋅=+. 故()tan 2lim sin 0xx x π→=.５．0x >时，有221()lim e lim e e 1x x x x x xx x xn n n n n f x n n n -------→∞→∞--===++；当0x =时，有11()lim e lim e 011x x x xxx n n n n f x n n ----→∞→∞--===++； 当0x <时，有221()lim e lim e e 1x x x x xx xx x n n n n n f x n n n -----→∞→∞--===-++． 故e ,0()0,0e ,0x xx f x x x --⎧-<⎪==⎨>⎪⎩．而0lim ()lim e 1,lim ()lim e 1x x x x x x f x f x --++--→→→→=-=-==，所以()f x 在(,)-∞+∞内除0x =为第一类间断点外，其余各点都连续．５．证（１）令()()()()()F x p q f x pf c qf d =+--，则()F x 在[,]c d 上连续，且()()()()()[()()]F c p q f c pf c qf d q f c f d =+--=-． ()()()()()[()()]F d p q f d pf c qf d q f d f c =+--=-．则当()()0f c f d -=时，可知,c d 均可取作ξ；而当()()0f c f d -≠时，又0,p >0q <，于是有2()()[()()]0F c F d p q f c f d =--<，由零点定理知，至少存在一点[,][,]c d a b ξ∈⊂，使()0F ξ=，即()()()()pf c qf d p q f ξ+=+．（２）设0x 为[0,1]上异于12的任意一点，因为()f x 在[0,1]上连续，如果01()()22f x f ≠=，则由介值定理知，()f x 必取得介于0()f x 与2之间的任何值，包括有理值和无理值．这与()f x 只取有理值矛盾，故01()()22f x f ==，因此在[0,1]上()2f x ≡.。

学历类《成考》专升本《高等数学一》考试试题及答案解析姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________1、若事件A 与B 互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于( )A 、03B 、04C 、02D 、01正确答案：A答案解析：暂无解析2、设y=x5+sinx ，则y′等于( )A 、B 、C 、D 、正确答案：A答案解析：暂无解析3、当 x→0时，sin(x +5x )与 x 比较是( )A 、较高阶无穷小量B 、较l D 、低阶无穷小量正确答案：D答案解析：暂无解析6、微分方程 y ’=2y 的通解为y=（ ）A 、B 、C 、D 、正确答案：A答案解析：暂无解析7、设z=x -3y ，则dz=（ ）A 、2xdx-3ydyB 、x dx-3dyC 、2xdx-3dy正确答案：C答案解析：暂无解析8、在空间直角坐标系中，方程x +y =1表示的曲面是（）A、柱面B、球面C、锥面D、旋转抛物面正确答案：A答案解析：暂无解析9、设y+sinx，则 y’’=（）A、-sinxB、sinxC、-cosxD、cosx正确答案：A答案解析：暂无解析10、B答案解析：暂无解析11、设y=x ，则y’=（）A、B、C、D、正确答案：C答案解析：暂无解析12、设函数z=3x2y，则αz/αy=（）A、6yB、6xyC、3xD、3X正确答案：D答案解析：暂无解析13、设函数y=3x+1,则y’=（）A、0B、1C、2D、3正确答案：A答案解析：暂无解析14、设函数y=(2+x) ，则y’=A、（2+x）C、(2+x)D、3(2+x)正确答案：B答案解析：暂无解析15、设函数 y=e-2 ,则dy=A、B、C、D、正确答案：B答案解析：暂无解析16、设函数y=2x+sinx,则y’=A、1-cosxB、1+cosxC、2-cosxD、2+cosx正确答案：D答案解析：暂无解析17、设z=ey ,则全微分dz=（）正确答案：答案解析：暂无解析18、设函数y=cos2x，求y″=（）正确答案：-4cos2x答案解析：暂无解析19、函数y=x-e的极值点x=（）正确答案：答案解析：暂无解析20、函数-ex 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) =（）正确答案：答案解析：暂无解析21、当x→0时，sin(x +5x )与x 比较是( )A、较高阶无穷小量B、较低阶的无穷小量C、等价无穷小量D、同阶但不等价无穷小量正确答案：答案解析：22、设y=x5+sinx，则y′等于( )A、B、C、D、正确答案：答案解析：23、若事件A与B互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于( )A、03B、04C、02D、01正确答案：答案解析：24、设函数y=2x+sinx,则y’=A、1-cosxB、1+cosxC、2-cosxD、2+cosx正确答案：答案解析：25、微分方程y’=x+1的通解为y= ______.正确答案：答案解析：暂无解析26、过点(1,-1,-2)且与平面2x-2y+3z=0垂直的直线方程为______.正确答案：答案解析：暂无解析27、函数y=1/3x -x的单调减少区间为______.正确答案：(-1,1)答案解析：暂无解析28、微分方程y/=3x2 的通解l正确答案：3x答案解析：暂无解析34、设函数y=x3,则y/=（）正确答案：答案解析：35、设函数y=(x-3) ,则dy=（）正确答案：答案解析：36、设函数y=sin(x-2)，则y”=（）正确答案：答案解析：37、过坐标原点且与直线（x-1）/3=(y+1)/2+(z-3)/-2垂直的平面方程为（）正确答案：答案解析：38、设函数x=3x+y2，则dz=（）正确答案：答案解析：39、微分方程y/=3x2的通解为y=（）正确答案：答案解析：40、函数y=1/3x -x的单调减少区间为______.正确答案：答案解析：41、求曲线y=x -3x+5的拐点。

2024年成人高考专升本《数学》试卷真题附答案一、选择题（每小题5分，共30分）1. 设集合A={x|x^24x+3<0}，B={x|x^24x+3≥0}，则A∪B=______。

A. RB. (∞, 3]C. (3, +∞)D. 空集2. 函数f(x)=x^33x+2的导数f'(x)的零点个数是______。

A. 1B. 2C. 3D. 43. 若等差数列{an}的通项公式为an=2n1，则数列{an^2}的前5项和是______。

A. 55B. 60C. 65D. 704. 设函数f(x)=ln(x+1)，则f(x)在区间(0, +∞)上是______。

A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增5. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a^2+b^2=c^2，则三角形ABC是______。

A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形6. 若直线y=2x+3与圆x^2+y^2=9相切，则圆的半径是______。

A. 3B. 2C. 1D. √2二、填空题（每小题5分，共20分）7. 已知函数f(x)=x^24x+3，则f(x)的极小值为______。

8. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1+a2+a3=14，a1a2a3=8，则q=______。

9. 已知抛物线y=x^24x+3的顶点坐标为______。

10. 已知直线y=2x+3与圆x^2+y^2=9相切，则切点坐标为______。

三、解答题（每小题10分，共30分）11. 解不等式组：x2y≤4，2x+y≥6。

12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+3n，求an。

13. 已知函数f(x)=x^33x+2，求f(x)的单调区间和极值。

四、证明题（10分）14. 已知等差数列{an}的公差为d，证明：an+1an1=2d。

五、应用题（10分）15. 已知一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，且满足a^2+b^2+c^2=36，求长方体的最大体积。

成人高考专升本(高等数学一)考试真题及答案一、单选题（共16题，共58分）1.当x→0时，sin(x^2 +5x^3 )与 x^2比较是( )A.较高阶无穷小量B.较低阶的无穷小量C.等价无穷小量D.同阶但不等价无穷小量2.设y=x^-5+sinx，则y′等于()A.B.C.D.3.若事件A与B互斥，且P(A)=0.5P(AUB)=0.8,则P(B)等于()A.0.3B.0.4C.0.2D.0.14.设函数y=2x+sinx,则y'=A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx5.设函数 y=e^x-2 ,则dy=A.B.C.D.6.设函数y=(2+x)^3，则y'=A.（2+x）^2B.3(2+x)^2C.(2+x)^4D.3(2+x)^47.设函数y=3x+1,则y'=（）A.0B.1C.2D.38.设函数z=3x2y，则αz/αy=（）A.6yB.6xyC.3xD.3X^29.设y=x^4，则y'=（）A.B.C.D.10.设y=x+inx,则dy=（）A.B.C.D.dxA.-sin xB.sin xC.-cosxD.cosx12.在空间直角坐标系中，方程x^2+y^2=1表示的曲面是（）A.柱面B.球面C.锥面D.旋转抛物面13.设z=x^2-3y ，则dz=（）A.2xdx -3ydyB.x^2dx-3dyC.2xdx-3dyD.x^2dx-3ydy14.微分方程 y'=2y的通解为y=（）A.B.C.D.15.设b≠0，当x→0时，sinbx是x2的()A.高阶无穷小量B.等价无穷小量C.同阶但不等价无穷小量D.低阶无穷小量16.函数f(x)=x^3-12x+1的单调减区间为()A.(- ∞,+ ∞)B.(- ∞,-2)C.(-2,2)D.(2,+ ∞)二、填空题（共13题，共52分）17.设函数 y=x3,则 y/=（）18.设函数y=(x-3)^4,则dy=（）19.设函数y=sin(x-2)，则y"=（）20.过坐标原点且与直线（x-1）/3=(y+1)/2+(z-3)/-2垂直的平面方程为（）21.设函数x=3x+y2，则dz=（）22.微分方程y/=3x2 的通解为y=（）23.函数y=1/3x^3-x的单调减少区间为______.24.过点(1,-1,-2)且与平面2x-2y+3z=0垂直的直线方程为______.25.微分方程y'=x+1的通解为y= ______.26.函数-e^-x 是 f(x) 的一个原函数，则 f(x) =（）27.函数y=x-e^x的极值点x=（）28.设函数y=cos2x，求y″=（）29.设z=e^xy ,则全微分dz=（）三、计算题（共13题，共52分）30.求曲线 y=x^3 -3x+5的拐点。

历年安徽成人高考专升本高等数学一真题及答案一、选择题：1～10小题,每小题4分,共40分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内．1.A.2/3B.1C.3/2D.3答案：C2.设函数y=2x+sinx,则y/=A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx答案：D3.设函数y=e x-2,则dy=A.e x-3dxB.e x-2dxC.e x-1dxD.e x dx答案：B4.设函数y=( 2+x）3,则y/=A.（2+x）2B.3( 2+x)2C.( 2+x)4D.3( 2+x)4答案：B5.设函数y=3x+1,则y/=A.0B.1C.2D.3答案：A6.A.e xB.e x-1C.e x-1D.e x+1答案：A7.A.2x2+CB.x2+CC.1/2x2+CD.x+C答案：C8.A.1/2B.1C.2D.3答案：C9.设函数z=3x2y,则αz/αy=A.6yB.6xyC.3xD.3X2答案：D10.A.0B.1C.2D.+∞答案：B二、填空题：11～20小题,每小题4分,共40分．把答案填在题中横线上．11.答案：e212.设函数y=x3,则y/=答案：3x213.设函数y=( x-3)4,则dy=答案：4（x-3）3dx14.设函数y=sin( x-2）,则y"=答案：-sin（x-2）15.答案：1/2ln|x|+C16.答案：017.过坐标原点且与直线（x-1）/3=( y+1)/2+( z-3)/-2垂直的平面方程为答案：3x+2y-2z=018.设函数x=3x+y2,则dz=答案：3dx+2ydy19.微分方程y/=3x2的通解为y=答案：x3+C20.答案：2三、解答题：21-28题,共70分。

解答应写出推理、演算步骤。

21.（本题满分8分）22.（本题满分8分）23.（本题满分8分）求曲线y=x3-3x+5的拐点。

2021年成人高考《高等数学（一）》（专升本）真题及答案1. 【选择题】（江南博哥）A. 2B. 1C.D. -2正确答案：A参考解析：2. 【选择题】当x→0时，tanx2为x的A. 低阶无穷小量B. 等价无穷小量C. 同阶但不等价无穷小量D. 高阶无穷小量正确答案：D参考解析：3. 【选择题】A. 2B. 1C.D. -1正确答案：A参考解析：4. 【选择题】A. e dxB. -e-1 dxC. (1+e-1)dxD. (1-e-1)dx正确答案：D参考解析：5. 【选择题】曲线y=xlnx在点(e，e)处法线的斜率为A. -2B.C.D. 2正确答案：B 参考解析：6. 【选择题】A. sinx+CB. cosx+CC. -sinx+CD. -cosx+C正确答案：B 参考解析：7. 【选择题】A. -2B. -1C. 1D. 2正确答案：D 参考解析：8. 【选择题】A.B.C.D.正确答案：A 参考解析：9. 【选择题】A.B.C. 5y4D. 5y4+arctanx正确答案：C参考解析：10. 【选择题】A. -e2x-yB. e2x-yC. -2e2x-yD. 2e2x-y正确答案：C参考解析：11. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】12. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】13. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】0【考情点拨】本题考查了函数的间断点的知识点．【应试指导】函数在x=0处无定义，故其间断点为x=0．14. 【填空题】设y=xe x，则y'=____．我的回答：正确答案：参考解析：【答案】(x+1)e x【考情点拨】本题考查了函数导数的知识点．【应试指导】y '=(xe x)'=e x+xe x=(1+x)e x．15. 【填空题】设y=y(x)是由方程y+ey=x所确定的隐函数，则y'=____．我的回答：正确答案：参考解析：【答案】16. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】x=217. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】18. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】tanx19. 【填空题】我的回答：正确答案：参考解析：【答案】20. 【填空题】过坐标原点且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程为____．我的回答：正确答案：参考解析：【答案】3x-7y+5z=0【考情点拨】本题考查了平面方程的知识点．【应试指导】已知所求平面与3x-7y+5z-12=0平行，则其法向量为(3，-7，5)，故所求方程为3(x-0)+(-7)(y-0)+5(z-0)=0，即3x-7y+5z=0．21. 【解答题】我的回答：参考解析：22. 【解答题】我的回答：参考解析：22. 【解答题】我的回答：参考解析：23. 【解答题】我的回答：参考解析：24. 【解答题】求曲线y=2x3—6x2的凹、凸的区间及拐点．我的回答：参考解析：25. 【解答题】我的回答：参考解析：26. 【解答题】求微分方程y”-3y'+2y=2的通解．我的回答：参考解析：27. 【解答题】我的回答：参考解析：28. 【解答题】将y=e x+1展开成x的幂级数．我的回答：参考解析：。

2024年成人高考专升本《数学》考试真题附答案一、选择题（每题1分，共5分）A. 牛顿B. 欧拉C. 高斯D. 希尔伯特2. 设函数f(x)在区间(∞, +∞)内连续，且f(x) = f(x)，则f(x)是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 周期函数D. 非奇非偶函数A. 交换两行B. 两行相加C. 两行互换D. 两行相乘4. 若函数y = f(x)在点x0处可导，则f'(x0)表示（）A. 曲线在点(x0, f(x0))处的切线斜率B. 曲线在点(x0, f(x0))处的法线斜率C. 函数在点x0处的极值D. 函数在点x0处的拐点5. 设A、B为两个事件，若P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，P(A∩B) =0.2，则P(A|B) = （）A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6二、判断题（每题1分，共5分）1. 任何实数的平方都是非负数。

（）2. 若矩阵A的行列式为零，则A不可逆。

（）3. 函数的极值点必定在导数为零的点处取得。

（）4. 概率论中的大数定律表明，随机事件的频率会随着试验次数的增加而稳定在概率附近。

（）5. 线性方程组的解一定是唯一的。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 若函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = _______。

2. 矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]的行列式值是 _______。

3. 在平面直角坐标系中，点(1, 2)到原点的距离是 _______。

4. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，则μ表示 _______。

5. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)·f(b) < 0，则根据闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点ξ∈(a, b)，使得f(ξ) = _______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的条件和结论。

2. 什么是矩阵的秩？如何求矩阵的秩？3. 简述导数的物理意义。

成人高考《高等数学一》章节练习题答案及解析- 1 -2021 年专升本数学一习题第一章极限、连续1.已知f(x) = � 3x + 2，x ≥0x 2 −1,x < 0。

求f（0）=2. limx→∞sinxx=3. limx→2 （x −2）sin1x−2=4. limx→0xln(3x+1)=5. limx→0sin4xx=6. limx→∞�1 +5x �x =7. limx→0tan2x2x=8. limx→0 (1 −x)1x =9. limx→0 (1 + x)−1x =10. limx→∞�1 +1x �x+2 =11. limx→0x ⋅tanx= 12. limx→0sinxsin2x =13. limx→0ln (2x+1)sin3x14. limx→1x−1x 2 −1=15. limx→4x−4√x+5−3=- 2 -- 2 -16. limx→∞2x 3 +3x 2 +5 7x 3 +4x 2 −1 = 17.设f(x) = �x −1,x < 0 0,x = 0x + 1,x > 0，求limx→0f(x)18. limx→2x 2 +x−6x 2 −4=19. limx→0x−sinxx 2 +x=20.设函数f(x) = �√x3,x < 0,x 2 + 1,x ≥0, 则在点x=0 处是否连续。

21.函数f(x) =x 2 +1x−3的间断点是（）。

22.设函数f(x) = �e x，x < 0x + a，x ≥0 在x=0 处连续，则a=（）第二章一元函数微分学1.已知f ′(2) = 2，求limΔx→0f(2−3Δx)−f(2)Δx=2.已知f ′(4) = 1，求limΔx→0f(4+2Δx)−f(4)Δx=3x + lnx在点（1，0）处切线斜率K。

4lnx在点（1,0）处的切线方程和法线方程。

5x 2 上的一点，使该点处的切线与直线y = 2x + 2平行。