中考数学压轴题专题复习几何综合与探究
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中考数学压轴题专题复习几何综合与探究
近几年中考题，三问构成一个整体，相似为考查的核心，第一同对第二问有暗示作用，有的是
搭梯子，有的是方法暗示，而近两年结合了三角函数，侧重几何计算，便于操作．
一、递进型的相似问题，注意第一问的铺垫作用，第一问的结论对第二问的解答有暗示作用．
1．如图在△ABC中，AD，CG为△ABC的两条高．
（1）求证：CGAD
BCAB
（2）连DG，若，BC=10，求S△BCG的大小；4
5DG
AC
（3）如图2，若点E在AB上，EF∥BC交AC于F点，AC=6，cos∠CAG=，且AE=AD，1
3
求EF的长．
图 1 DG
CBA
图 2 FEA
BCG
D
来源学科网
解：(1）△ABD∽△CBG．
（2）由（1）知，∠B=∠B，△BDG∽△BAC，∴BG=8，∴S△BCG=24．BGDB
BCAB4
5DGBG
ACBC
(3）∵AC=6，cos∠CAG=，AG=2，CG=，而EF∥BC△AEF∽△ABC，∴1
336442-=
=sin∠B=，∴EF=CG=EFAEAD
BCABABCG
BC42
2．如图1，在△ABC中，AD为角平分线，BM⊥AD交AC于M，交AD于点F，点E为BC的中
点．
（1）连EF，求证：CM=2EF；
（2）若∠BAC=120°，BM交AE于N，求的值；BN
AD
（3）如图2，∠BAC=120°，AE平分∠BAC，AB=m，AC=n，直接写出AE的长．
NA
BDECMF
图 1 图 2 BECA
K
图 1 NFM
CEDBAAN
CEBM
图 2
证明：(1）∵BF=FM，BE=CE，∴EF∥CM，∴CM=2EF．
（2）过B点作BK∥AC，则有△AMF≌△BFK，∴，∴DN∥AB，∴EFDEEN
AMBDANFNBF
DFAF
=tan∠BAF=．∴．33BN
AD
（3）以AB，AC向外作正△ABM，△CAN．易知，，∴，∴AE=AECE
mBCAEBE
nBC1AEAE
mn
．mn
mn
3．如图，菱形ABCD，点E为CD上一动点，AD、BE相交于点F，FC交直线AB于点G．
（1）若菱形边长为a，CE=2DE，求AG；
（2）直线AE、BC交于点H，求证：CH=BG；
（3）若sin∠A=，∠BCG=45°，求的值．4
5DE
CE
图 1 EC
GBADF
图 2 HF
DEC
GBAK
ABGCEDFH
图 2
解：（1）∵CD∥AB，∴，∴BG=2a．∴AG=3a．DECE
ABBG
（2）由（1）知，又∵CH∥AD，∴，∴BG=CH．DEAB
CEBGDEAD
CECH
（3）过点G作CK⊥BC于K点，设KG=4，∴BK=3，OK=4，∴．7
5DEAB
CEBG
4．（七一周练一）如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC交BD
于P，且tan∠C＝．AP
PC
（1）求证：AD＝AB；
（2）如图2，BE⊥CD于E，交AC于F，
①若F为AC的中点，求的值；EC
DE
②当∠BDC＝75°时，请直接写出的值．EC
DE
图2A
BCD
E
FPA
BCDH
P
图1
解：（1）证明：tan∠C＝＝＝，∴AD＝AB．AB
BCAP
PCAD
BC
（2）①延长BE交AD的延长线于H点，易证BF＝FH，矩形ABCH．
设AD＝AB＝1，DH＝x，则BC＝x＋1，
△DEH∽△BCE，＝＝＝＝（x＋1）x＝1x＝，
1x
xDE
CEHDE
CEHS
S2
2DH
CH2()1x51
2
∴＝＝．CE
DE1x
x35
2
②设AB＝AD＝1，AH＝，DH＝－1，DE＝，CE＝－＝3331
223331
233
6
，
∴＝．CE
DE233
3
5．如图，△ABC中，点E、F分别在AC、BC上，FE交BA的延长线于D，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：BF＝CF；
（2）若点P为AB中点，点Q为CE中点，PQ交DE于M，若AC＝3AB时，求的值．EM
FM
图1图2F
E
DCB
AAB
C
DEFH
MKP
Q
证：（1）过C点作CH⊥DF，过B点作BK⊥DF．
易证△DBK≌△CEH，∴CH＝BK，∴CF＝BF．
（2）连PF，易证PF∥AC，设PA＝PB＝x，
CQ＝QE＝y，AE＝AD＝m．，∴y＝m，∴△PFM∽△MQE，∴＝＝22
26xmy
ymxEM
MF1
2y
ym
＝．1
3
22
3
二、模型的运用与拓展，第一问为模型，为第二问的解答提供了方向
6．如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且∠EDF＝45°．
（1）求证：△BDF∽△AED；
（2）连EF，当E，F在二边上运动时，求证：点D到EF的距离为定值．
（3）如图2，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝∠ADC＝60°，且BD平分∠ABC，
求BD的长．
图1图2A
BCDE
FABC
DEF
MN
证明：（1）略
（2）由（1）知＝，又∵∠B＝∠EDF＝45°，DE
DFAD
BF
∴△BDF∽△DFE，∴∠BFD＝∠DFE．来源学科网ZXXK]
过D作DM⊥EF，DN⊥BF，
∴DM＝DN＝BD＝AB．2
22
4
（3）过D点作EF⊥BD交直线AB，BC于E、F．
由（1）知，△ADE∽△DCF，设BE＝BF＝x，
（x－2）（x－3）＝，BD＝．2
4x5321
3
7．已知点E在BC上，线段AB、CD交直线DE于A、D二点．
（1）如图1，∠BAE＝∠CDE，BE＝CE，求证：AB＝CD；
（2）如图2，若∠BAE＝∠CDE，求证：＝；BE
CEAB
CD
（3）若cos∠BAE＝，sin∠CDE＝，＝，AB＝5，求CD．4
51
3BE
CE3
5
图1图2图3ED
CBA
CED
A
BCED
A
B
MN
MN
MN
解：（1）过B、C分别作BM⊥AE，CN⊥AE，垂足为M、N，易证BM＝CN，再证△ABM≌△
CDN．
（2）同上法，△ABM∽△CDN＝．又∵＝＝．BM
CNAB
CDBE
CEBM
CNBE
CEAB
CD
（3）同上法，易证＝，设BM＝3x，CN＝5x，sin∠BAE＝＝，BM＝3，CN＝5，BM
CN3
53
53x
AB
CD＝15．
三、结合图形中的一个相等的角，做平行线、垂线或等腰，产生另一对相等的角，构建相似三角形
8．如图，等腰直角三角形△ACB，AC＝BC，点F在CB的延长线上．
（1）如图1，BE⊥BC，∠FAE＝45°，求证：BF·BE＝2AC2；
（2）如图2，点P在FA的延长线上，∠FPC＝45°，BF＝，CP＝，求AF的长．522
图1图2MP
FCBAA
BC
EF
