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八年级上册数学讲义等腰三角形

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13.3等腰三角形-13.4最短路径

1．等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角__________（简写成“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互__________（简写成“三线合一”）

．

等腰三角形的其他性质：

（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．

（2）等腰三角形两底角的平分线相等．

（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．

（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐

角都是45°．2．等腰三角形的判定

判定等腰三角形的方法：

（1）定义法：有两边__________的三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对__________”）．

数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．

【注意】（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因

为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”

“腰”．

（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的

性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．3．等边三角形及其性质

等边三角形的概念：三边都相等的三角形是__________三角形．

等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于__________．

【注意】（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；

（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．4．等边三角形的判定

判定等边三角形的方法：

（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．

（3）有一个角是60°的__________三角形是等边三角形．5．含30°角的直角三角形的性质

一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的__________．

【注意】（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个

性质，更不能应用．

（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．

（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．

（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的

角转化后，再利用这个性质解决问题．6．最短路径问题

1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为

所求的位置．

2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，

连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．

K—重点等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质

K—难点等腰三角形中的分类讨论问题

K—易错等腰三角形“三线合一”性质的应用

一、等腰三角形的性质和判定

1． 应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平

分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合．

2．等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴．

【例1】如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是

A．△ABD≌△ACDB．∠B=∠C

C．△ABC是等腰三角形D．△ABC是等边三角形

【例2】已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是60

A．B．3060

C．D．或15030150

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．

求证：△AEF是等腰三角形．

二、等边三角形的性质和判定

判定等边三角形时常用的选择方法：

若已知三边关系，一般选用（1）；

若已知三角关系，一般选用（2）；

若已知该三角形是等腰三角形，一般选用（3）．

【例4】下列推理中，错误的是

A．∵∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形

B．∵AB=AC，且∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形

C．∵∠A=60°，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形

D．∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形

【例5】如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=__________时，△AOP为等边三角形．

三、含30°角的直角三角形的性质

含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据．

【例6】在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于

A．4 cmB．2 cm

C．3 cmD．1 cm

四、最短路径问题

通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择.

【例7】公园内两条小河MO，NO在O处汇合，两河形成的半岛上有一处景点P（如图所示）．现计划在

两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路，连通两座小桥与景点，这两座小桥应建在何处才能使修路费用最少？请说明理由．

1．等腰三角形的一个内角是，则它顶角的度数是80

A．B．或C．或D．808020805020

2．一个等边三角形的对称轴共有

A．1条B．2条C．3条D．6条

3．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于

A．30°B．40°C．45°D．36°

4．如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为

A．6B．9C．3D．8

5．如图，△ABC是等边三角形，P为BC上一点，在AC上取一点D，使AD=AP，且∠APD=70°，则

∠PAB的度数是

A．10°B．15°C．20°D．25°

6．如图，在中，为的中点，，则__________．ABC△ABACD，BC35BADC

7．等腰三角形的一腰的中线把三角形的周长分成16 cm和12 cm，则等腰三角形的底边长为______．

分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

8．如图，在△ABC中，D在边AC上，如果AB=BD=DC，且∠C=40°，那么∠A=__________°．

9．如图，已知在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，试说明：AO⊥BC．

10．如图，在△ABC中，，是边上的中线，于，试说ABACADBCBEAEE

明．CBEBAD

11．已知在△ABC中，AB=5，BC=2，且AC的长为奇数．

（1）求△ABC的周长；

（2）判断△ABC的形状．

12．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，分别以AB，AC为边作两个等腰三角形ABD和ACE，且

AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°．

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苏教版八年级数学上册等腰三角形讲义

苏教版八年级数学上册等腰三角形讲义

等腰三角形

重难点易错点解析

题面：下列说法正确的是( )

A.两腰相等的三角形是等腰三角形

B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一

C.“等边对等角”和 “等角对等边”都是等腰三角形的性质

D.等腰三角形的外角中一定有钝角

等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形 等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一

等腰三角形的判定：等角对等边

金题精讲

题一

题面：已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．

CBDA

题二

题面：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．

题三

题面：已知：如图，AB=AC，CE⊥BC，BD⊥BC.过点A的直线DE交BD于D，交CE于E.

求证：AD=AE.

BCADE

题四 题面：如图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：MD=MA．

BCADM

思维拓展 题面：如图，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF、FG、GH，···，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根．

HGFOBEA

讲义参考答案

重难点易错点解析

答案：D

金题精讲 题一

答案：略

题二

答案：30°，75°，75°或150°，15°，15°

题三

答案：略

题四

答案： 略

思维拓展

答案：5

考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合

◆类型一 一元二次方程与三角形、四边形的综合

1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（ ）

A．5 B．7 C．5或7 D．10

2．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（ ）

A．12 B．9

C．13 D．12或9

八年级数学上册《等腰三角形》教学反思

八年级数学上册《等腰三角形》教学反思

在本节课中我的困惑在于：

1、是否能够真正的调动学生积极主动地参与学习活动，而不流于形式。

2、在学生之间是否能够顺利开展活动，而学生是否又乐于与他人合作，能否清楚地表达自己的结论和建议。

3、对于学困生在探索“三线合一”的过程，仍存在问题；对于“三线合一”的理解更存在困难。

怎样才能够充分的利用有效的活动，帮助学生学会并掌握新知识。怎样才能让学生在一般与特殊的对比中运用发现法。由观察比较到验证归纳，再到推理论证；由个别形象到一般抽象；由感性认识上升到理性认识，使学生的思维由形象直观过度到抽象的逻辑演绎，层层展开，步步深入，进一步体会等腰三角形所具有的特征。揭开对“三线合一”正确理解的疑难。同时，在实施合作式学习时，教师要对“收”“放”“度”有充分的把握，否则时间分配不合理，造成拖堂。所以这些方面还值得我进一步去反思、去探究。

人教版数学八年级上册13.3《等腰三角形》要点全析

人教版数学八年级上册13.3《等腰三角形》要点全析

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下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 等腰三角形 要点全析

1．等腰三角形〔isosceles triangle〕

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．如图14-3-1，△ABC中，AB＝AC，那么△ABC是等腰三角形．相等的两条边叫腰，另一条边BC叫底边，两腰所夹的角叫顶角，如∠BAC，底边和腰的夹角∠ABC和∠ACB叫底角．

如图14-3-2中，∠C＝90°，AC＝BC，那么，AC、BC为腰，AB边为底，∠A、∠B为底角，∠C为顶角．

【说明】要理解等腰三角形的定义，需注意以下几点：

〔1〕等腰三角形的底不一定在下方，而顶角不一定在上方，如图14-3-2中，AB为底，∠C为顶角．它是根据两腰的位置来确定的．

〔2〕等腰三角形的三边仍要满足条件：任意两边之和大于第三边〔或任意两边之差小于第三边〕．假设图14-3-1中，AB＝AC＝m，BC＝a，那么2m＞a，即m＞2a时，才能构成三角形，否那么不成立．如边长分别为2，的三条线段不能构成三角形，因为2＋2＜5．

例如：〔1〕以下各组数据为边长时，能否组成三角形？

①a＝2，b＝3，c＝5；②a＝4，b＝3，c＝2；

③a＝1，b＝2，c＝2；④a＝2 005，b＝2 004，c＝2 008．

〔2〕等腰三角形的两边为6 cm，7 cm，求其周长．

〔3〕等腰三角形的两边长为2 cm，7 cm，求其周长．

解：〔1〕①由于2＋3＝5，即a＋b＝c，而不满足a＋b＞c，

∴ 不能组成三角形．

②由于2＋3＝5＞4，即b＋c＞a，所以a、b、c可以组成三角形．

③由于1＋2＞2，即a＋b＞c，所以a、b、c可以组成三角形． .

下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。 ④由于a＋b＞c，因此a、b、c可以组成三角形．

〔2〕因等腰三角形的两边长分别为6 cm、7 cm

八年级上册数学等腰三角形教学设计

八年级上册数学等腰三角形教学设计

12.3等腰三角形

1 课题：12.3等腰三角形（第一课时）

教学内容：新人教版八年级上册十二章第三节等腰三角形的第一课时

设计理念：

教学的实质是以教材中提供的素材或实际生活中的一些问题为载体，通过一系列探究互动过程，渗透分类讨论、数形结合和方程的思想方法，达到学生知识的构建、能力的培养、情感的陶冶、意识的创新。

一、教材及教学内容分析

㈠教材的地位和作用分析

等腰三角形是新人教版八年级上册十二章第三节等腰三角形的第一课时的内容。

本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。

另外，本堂课通过“活动探究”、“观察—猜想—证明”等途径，进一步培养学生的动手能力、观察能力、分析能力和逻辑推理能力，因此，本堂课无论在知识上，还是在对学生能力的培养及情感教育等方面都有着十分重要的作用。

㈡教学内容的分析

本堂课是等腰三角形的第一堂课，在认识等腰三角形的基础上着重介绍“等腰三角形的性质”。在教学设计的过程中，通过展示我国今年举办的精彩绝伦的盛会—上海世博会图片中的等腰三角形，结合云南丰富的文化资源，让学生感知生活中处处有数学，感受图形的和谐美、对称美；通过学生感兴趣的数学情景引入等腰三角形定义，提高学生的学习乐趣；让学生通过动手剪等腰三角形、对折等腰三角形等活动，探究发现等腰三角形的性质，经历知识的“再发现”过程。在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。在发现等腰三角形的性质的基础上，再经过推理证明等腰三角形的性质，使得推理证明成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延伸，有机地将等腰三角形的认识与等腰三角形的性质的证明结合起来，从中发展学生推理能力。