八年级上册等腰三角形数学

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模型构建专题：共顶点的等腰三角形

——明模型，悉结论

◆类型一 共直角顶点的等腰直角三角形

1．如图，已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形．

(1)求证：AD＝CE；

(2)猜想：AD和CE是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不用写理由．

◆类型二 共顶点的等边三角形

2．如图①，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.

(1)△DBC和△EAC会全等吗？请说明理由；

(2)试说明AE∥BC的理由；

(3)如图②，将(1)中动点D运动到边BA的延长线上，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？证明你的猜想．

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参考答案与解析

1．(1)证明：∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，

∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE(SAS)，∴AD＝CE.

(2)解：垂直．理由如下：如图，延长AD分别交BC和CE于G和F.∵△ABD≌△CBE，∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE.

2．解：(1)△DBC和△EAC全等．理由如下：∵△ABC和△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，∴△DBC≌△EAC(SAS)．

(2)∵△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.

(3)仍有AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC和△EAC中，∵BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，CD＝CE，∴△DBC≌△EAC(SAS)，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC.

人教版八年级数学上册 13.3 等腰三角形的判定（教案）

一、教学内容

本节课选自人教版八年级数学上册第十三章第三节，主要教学内容包括：

1. 等腰三角形的定义：两边相等的三角形称为等腰三角形；

2. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，底边上的中线、高和角平分线互相重合；

3. 等腰三角形的判定定理：在同一三角形中，若两边相等，则这两边所对的角相等。

二、核心素养目标

本节课的核心素养目标包括：

1. 培养学生的逻辑推理能力：通过等腰三角形的判定定理的探究，使学生能够运用逻辑推理方法证明几何问题，提高解决问题的能力；

2. 培养学生的空间想象能力：在学习等腰三角形的性质时，引导学生通过观察、思考和实际操作，培养空间想象力，加深对几何图形的理解；

3. 培养学生的数学建模素养：让学生在实际问题中运用等腰三角形的性质和判定定理，建立数学模型，提高解决实际问题的能力；

4. 培养学生的合作交流能力：通过小组讨论、合作探究等教学活动，引导学生学会倾听、表达和协作，培养团队精神。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 理解并掌握等腰三角形的定义：这是学习等腰三角形性质和判定的基础，需要学生准确理解两边相等的三角形称为等腰三角形。

- 掌握等腰三角形的性质：包括底角相等、底边上的中线、高和角平分线互相重合，这些性质是解决相关几何问题的关键。

- 熟练运用等腰三角形的判定定理：学生需要能够运用定理判断一个三角形是否为等腰三角形，并能够应用于解决实际问题。

举例：在教学过程中，教师可以通过以下方式强调重点：

- 通过动态几何软件展示等腰三角形的性质，使学生直观感受性质的含义；

- 通过典型例题，演示如何运用判定定理来判断三角形的类型；

- 设计实践任务，让学生在实际操作中加深对等腰三角形性质和判定的理解。

2. 教学难点

- 理解等腰三角形性质的应用：学生在理解性质本身后，往往难以将其应用到具体的几何问题中。

第 1 页 共 1 页 八年级数学上册 等腰三角形学案 新人教版

一、学习目标

1、用定义、定理识别三角形是等腰三角形；

2、鼓励学生自主探索,寻求证明方法, 通过同学之间相互交流,获得各种不同的思路；

二、使用方法：先由学生自学课本，经历自主探索总结的过程，并独立完成学案，然后学习小组讨论交流，让同学们进行展示，小组间互相点评，补充之后由教师进行点拨。最后通过当堂检测，巩固知识。

三、自主学习合作探究（30分钟）一、复习旧知：等腰三角形的性质的是什么？

（二）、组织学习任务一（等腰三角形的识别）

1、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)、 已知：如图，△ABC中，∠B=∠

C、 求证：AB=A

C、注意：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆、

（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形、

第 1 页 共 1 页 2、推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形、 推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形、小结：证明三角形是等腰三角形的方法：①等腰三角形定义；②等腰三角形判定定理、

（三）、组织学习任务三（判定应用） 例

1、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是 等腰三角形、 已知：求证：对应练习ABC

D、已知：如图，AB=AD，∠B=∠

D、 求证：CB=C

D、拓展延伸: 如图，在△ABD中，C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC = BC = CD 求证：(1)

△BAD是等腰三角形； (2)

AB⊥AD 小结：求线段相等一般在三角形中求解，添加适当的辅助线构造三角形，找出边角关系、达标测试：已知：在 中，

的平分线与 的外角平分线交于D，过D作DE//BC交AC与F，交AB于E，求证：EF=BE-CF、

八年级数学上册等腰三角形练习题

【评测练习】

1．选择题：

（1）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（ ）

A．底角大于相邻外角 B．底角小于相邻外角

C．底角大于或等于相邻外角 D．底角小于或等于相邻外角

（2）等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）

A．40°，40° B．100°，20°

C．50°，50° D．40°，40°或100°，20°

（3）等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（ ）

A．50°，50°，80° B．80°，80°，20°

C．100°，100°，20° D．50°，50°，80°或80°，80°，20°

（4）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（ ）

A．45° B．40° C．55° D．50°

（5）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）

A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的2倍 D．底角的一半

2．填空题：

（1）若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为______．

（2）已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为______．

（3）在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是45°，则△ABC的面积为________．

（4）等腰三角形的一个角是100°，它的另外两个角的度数是 。

（5）等腰三角形的底边长为7cm，一腰长的中线把周长分为两部分，其差为3cm，则等腰三角形的腰长为 。

3．等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．