复数的概念与运算

考点总结之复数的概念与复数的运算

【原题】已知2iz,则

izz

（）

A.62iB.42iC.62iD.42i

【答案】C

【解析】

解法一：因为2iz,所以2iz,

所以



2i2i22i=4+4i2i2i62izz

故选C.

解法二：因为2iz

,2

ii=5+2i+1=6+2izzzz

,故选C.

【就题论题】去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一,今年把共轭复数与复数的运算结

合在一起考查,背景有所创新,为降低难度,把除法运算改为乘法运算,可见新高考试卷入手依然比较容易.

【命题意图】本题考查共轭复数及复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一

是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除

运算.

【得分秘籍】

1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题

(1)复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有

关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解．

(2)(其中a,b∈R),|z|表示复数z对应的点与原点的距离．|z

1－z

2|表示两点的距离,即表示

复数z

1与z

2对应的点的距离．

2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作

另一类同类项,分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关

定义解答．

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合

复数的基本概念与基本运算

一、《考试说明》中复数的考试内容 (1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）； (2)复数的代数表示与向量表示； (3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方； (4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。 二、考试要求 （1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换； （2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义； （3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法． （4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力． （5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育． 三、学习目标 (1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识； ?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) ,

OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念； (4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合； 复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角 数 实数集 集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根 纯虚数集 ω的性质；模及共轭复数的性质； (6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）； (7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。 四、本章知识结构与复习要点 1．知识体系表解 1 1/16页

2．复数的有关概念和性质： (1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R． (2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：． abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页 复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，， 向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)． (7)复数与实数不同处 ?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． ?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 3．有关计算： ?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，） ，，，，1313?,,,，i、,,,,i是1的两个虚立方根，并且：

2013届高三数学文科第一轮复习No.54

复数的概念及运算

【本课目标】理解复数的有关概念；掌握复数相等的充要条件；了解复数代数表示法及几

何意义；会进行复数代数形式的四则运算.

【预习导引】

1、复数22ii的虚部为，共轭复数为.

2、若(1)(1)zmmmi

为纯虚数，则实数m的值为.

3、220081iii_____.

4、若实数,xy

满足(1)(1)2ixiy

，则xy

.

5、在复数范围内分解因式225xx

.

6、复数614

3i

i

的模=.

7、复数z满足（1+2i

）z

=4+3i，那么z=____.

8、复数2

()

12mi

zmR

i



在复平面上对应点不可能位于第象限.

【典型例题】课中练一练、听一听；注重规范、总结规律.

例1、已知mR

，复数2(1)(23)zmmmmi

，当m

为何值时

（1）z∈R；（2）z为纯虚数；

（3）z对应的点位于复平面的第四象限；（4）z对应点在30xy.2013届高三数学文科第一轮复习No.54

例2、若

122,,34zaiaRzi

，

①解不等式

12||2||zz

；②若1

2z

z为纯虚数，求a

的值.

例3、①已知2

||

2i

zz

i

，求z；②已知2724zi

，求z.

例4、已知关于x的方程2(2)20xkixki

，

①有实根，求实数k及实根；②有一根1

1

i

，求k.2013届高三数学文科第一轮复习No.54

复数的概念及运算

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1、238238iiii

.

2、若3()miR

，则实数m=.

3、设,xyR，且5

11213xy

iii

，则x+y=.

4、复数z

满足(33)3izi

，则||z

.

5、设1

2i

z



，则100501zz=.

6、对于实数a、b，以下四个命题均成立：①1

0a

a

；②222()2abaabb

；③

若||||ab

，则ab

；④22||aa

复数的概念与运算

【知识点精讲】

1． 虚数单位i：i2=–1，实数可以与它进行四则运算，原有的加、乘运算律仍成立；i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i；I具有周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（nN）.

2． 复数的代数形式：z=a+bi（a,bR）， a叫实部，b叫虚部.掌握复数（集C）的分类：为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数biazabizabiazb，zbaazbRbabiaz000000),(

NZQRC

3.复数相等：设a,b,c,dR，则a+bi=c+dia=c,b=d；a+bi=0a=b=0；利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法；

4.共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数.如：a+bi和a–bi（a,bR）；

5．复数的模：22||||||zabiOZab，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；

6．复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

7．掌握复数的和、差、积、商运算法则：z1±z2=(a+bi) ±(c+di)=(a±c)+(b±d)i；(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i；(a+bi)÷(c+di)=2222dcadbcdcbdac i（实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数，并化简）.

复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.