复数的基本概念和运算

1 第一讲 复数的概念与运算

1. 复数的分类

复数Rbabia,是纯虚数  ；

复数Rbabia,是实数  ；

例1.复平面内，若immmmz23222所对应的点在虚轴上，则实数m= .

例2. 设复数ixxxxz6log5log3loglog3232323，

当x为何值时，复数z为： （1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数

例3．若z为虚数，且1z，求证：11zz为纯虚数

2 例4. 复数与实数的异同点

以下哪些结论对于实数成立，但对于虚数不成立？写出其序号

（1）02x （2）yxyx0 （3）yxyx0

（4）0022yxyx （5）2222yxyxyx （6）22xx

2. 两个复数相等

若12zz ；

例1：复数z满足izz2__，求复数z。

例2. 已知实数yxa,,满足0222iyxxyaia，求点yx,的轨迹方程。

例3. 已知方程02122ipxix有实根，则实数p=

3 3. 复数运算中的常用量

（1）101011ii= 。

（2）当z=21i时，z100＋z50＋1的值等于

（3） 20061()1ii=

（4） 当n取遍正整数时，nnii可表示 个不同值。

（5）i表示虚数单位，则2008321iiii的值是

复数的基本概念与运算法则

复数是数学中的一种数形。它由实部和虚部组成，可以表示在二维平面上的点。复数的形式为a+bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

一、复数的基本概念

1. 实部和虚部：复数的实部和虚部分别用Re(z)和Im(z)表示，其中z是一个复数。例如，对于复数2+3i来说，实部为2，虚部为3。

2. 共轭复数：对于复数z=a+bi，它的共轭复数z*定义为z的实部不变，而虚部取相反数，即z*=a-bi。例如，对于复数2+3i来说，其共轭复数是2-3i。

3. 复数的模：复数z=a+bi的模表示为|z|，定义为实部和虚部的平方和的平方根，即|z| = √(a^2+b^2)。例如，对于复数2+3i，它的模为√(2^2+3^2)=√13。

4. 平面表示：复数可以在复平面上表示为一个点。复平面中，实轴表示实部，虚轴表示虚部。因此，复数a+bi对应于复平面上的点(a, b)。

二、复数的运算法则

1. 加减法：复数的加减法涉及实部和虚部的运算。例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的和为z+w = (a+c) + (b+d)i，差为z-w =

(a-c) + (b-d)i。 2. 乘法：复数的乘法涉及实部、虚部和虚数单位的运算。例如，对于复数z = a+bi和复数w = c+di，它们的乘积为zw = (ac-bd) + (ad+bc)i。

3. 除法：复数的除法一般涉及共轭复数和模的运算。例如，对于非零复数z = a+bi和非零复数w = c+di，它们的商为z/w =

(ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i。

4. 乘方：复数的乘方涉及实部、虚部和幂指数的运算。例如，对于复数z = a+bi和非零正整数n，它们的乘方为z^n = (a+bi)^n =

r^n(cos(nθ) + isin(nθ))，其中r = |z|，θ为z的辐角。

复数的基本概念与运算例题和知识点总结

一、复数的基本概念

复数是指形如 ＄a ＋ bi$ 的数，其中 ＄a$ 和 ＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足 ＄i^2 ＝ －1$。

在复数 ＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作 ＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作 ＄Im(z)＄。

当 ＄b ＝ 0$ 时，复数 ＄a ＋ bi$ 就变成了实数 ＄a$；当 ＄a ＝

0$ 且 ＄b ＼neq 0$ 时，复数 ＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。

复数的模长定义为：对于复数 ＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为 ＄｜z| ＝

＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

复数的辐角定义为：以 ＄x$ 轴正半轴为始边，向量 ＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中 ＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数 ＄z ＝ a ＋

bi$ 对应的点）为终边的角 ＄＼theta$ 叫做复数 ＄z$ 的辐角。

二、复数的运算

（一）复数的加法

设 ＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋

z_2 ＝ （a ＋ c) ＋ （b ＋ d)i$ 。 例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则 ＄z_1 ＋ z_2 ＝ （2 ＋

1) ＋ （3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。

复数加法满足交换律和结合律，即 ＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋ （z_2 ＋ z_3)＄ 。

（二）复数的减法

设 ＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2

＝ （a c) ＋ （b d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则 ＄z_1 z_2 ＝ （5 2) ＋

（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。

（三）复数的乘法

复数的知识点总结

一、基本概念

复数是指由实数和虚数构成的数，形式为 a + bi，其中

a 和 b 都是实数，i 是虚数单位，满足 i² = -1。实数是指具有有限位小数的数或无理数，而虚数是不能用实数表示的数。

二、复数的表示法

复数有一般式、三角式和指数式三种表示法。

1. 一般式：a + bi

其中 a 表示实部，b 表示虚部。

2. 三角式：r(cosθ + i sinθ)

其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角或幅角。

3. 指数式：re^(iθ)

其中 r 表示复数的模，e 是自然对数的底数，θ 表示复数的幅角。

三、基本运算

1. 加法

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

即实部相加，虚部相加。

2. 减法

(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

即实部相减，虚部相减。

3. 乘法

(a + bi) × (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

即实数部分按照常规乘法规则计算，虚数部分交叉相乘。 4. 除法

(a + bi) ÷ (c + di) = (ac + bd)/(c² + d²) +

(bc - ad)/(c² + d²)i

即分子分母同除以 c + di，然后将分子分母分别展开并化简。

5. 共轭复数

(a + bi) 的共轭复数为 (a - bi)，

共轭复数满足以下性质：

a. 它们的实部相等。

b. 它们的虚部相等，但符号相反。

c. 一个复数与它的共轭复数的积等于这个复数的模的平方。

d. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积。

四、复数的模和幅角

1. 复数模|r|

复数的模是指复数与原点之间的距离，可以用勾股定理求出。

|r| = √(a² + b²)

2. 复数的幅角θ