复数的基本概念与运算

考点总结之复数的概念与复数的运算

【原题】已知2iz,则

izz

（）

A.62iB.42iC.62iD.42i

【答案】C

【解析】

解法一：因为2iz,所以2iz,

所以



2i2i22i=4+4i2i2i62izz

故选C.

解法二：因为2iz

,2

ii=5+2i+1=6+2izzzz

,故选C.

【就题论题】去年新高考试卷复数考查的是复数的除法运算,考查内容单一,今年把共轭复数与复数的运算结

合在一起考查,背景有所创新,为降低难度,把除法运算改为乘法运算,可见新高考试卷入手依然比较容易.

【命题意图】本题考查共轭复数及复数的乘法运算,考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易.

【考情分析】复数是高考每年必考知识点,一般以容易题面目呈现,位于选择题的前3题的位置上,考查热点一

是复数的概念与复数的几何意义,如复数的模、共轭复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除

运算.

【得分秘籍】

1.解决复数概念问题及复数的几何意义应注意的问题

(1)复数的分类,复数的相等,复数的模,共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数概念有

关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a＋bi(a,b∈R)的形式,再根据题意求解．

(2)(其中a,b∈R),|z|表示复数z对应的点与原点的距离．|z

1－z

2|表示两点的距离,即表示

复数z

1与z

2对应的点的距离．

2.求解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作

另一类同类项,分别合并即可．

(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关

定义解答．

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合

复数的基本概念与基本运算

一、《考试说明》中复数的考试内容 (1)数的概念的发展，复数的有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模）； (2)复数的代数表示与向量表示； (3)复数的加法与减法，复数的乘法与除法，复数的三角形式，复数三角形式的乘法与乘方，复数三角形式的除法与开方； (4)复数集中解实系数方程（包括一元二次方程、二项方程）。 二、考试要求 （1）使学生了解扩充实数集的必要性，正确理解复数的有关概念．掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换； （2）掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算，并理解复数运算的几何意义； （3）掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法． （4）通过内容的阐述，带综合性的例题和习题的训练，继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力． （5）通过数的概念的发展，复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学，继续对学生进行辩证观点的教育． 三、学习目标 (1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识； ?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换：z = r(cosθ+isinθ) ,

OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念； (4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合； 复(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角 数 实数集 集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i及1的立方虚根 纯虚数集 ω的性质；模及共轭复数的性质； (6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）； (7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。 四、本章知识结构与复习要点 1．知识体系表解 1 1/16页

2．复数的有关概念和性质： (1)i称为虚数单位，规定2i,,1，形如a+bi的数称为复数，其中a，b?R． (2)复数的分类(下面的a，b均为实数) (3)复数的相等设复数，那么的充要zz,zabizabiababR,，,，,,(,,,)121112221122条件是：． abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b?R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的． 2 2/16页 复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b) abR,,，， 向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)． (7)复数与实数不同处 ?任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． ?实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻． 3．有关计算： ?**n4k，rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算？（先求n被4除所得的余数，） ，，，，1313?,,,，i、,,,,i是1的两个虚立方根，并且：

2013届高三数学文科第一轮复习No.54

复数的概念及运算

【本课目标】理解复数的有关概念；掌握复数相等的充要条件；了解复数代数表示法及几

何意义；会进行复数代数形式的四则运算.

【预习导引】

1、复数22ii的虚部为，共轭复数为.

2、若(1)(1)zmmmi

为纯虚数，则实数m的值为.

3、220081iii_____.

4、若实数,xy

满足(1)(1)2ixiy

，则xy

.

5、在复数范围内分解因式225xx

.

6、复数614

3i

i

的模=.

7、复数z满足（1+2i

）z

=4+3i，那么z=____.

8、复数2

()

12mi

zmR

i



在复平面上对应点不可能位于第象限.

【典型例题】课中练一练、听一听；注重规范、总结规律.

例1、已知mR

，复数2(1)(23)zmmmmi

，当m

为何值时

（1）z∈R；（2）z为纯虚数；

（3）z对应的点位于复平面的第四象限；（4）z对应点在30xy.2013届高三数学文科第一轮复习No.54

例2、若

122,,34zaiaRzi

，

①解不等式

12||2||zz

；②若1

2z

z为纯虚数，求a

的值.

例3、①已知2

||

2i

zz

i

，求z；②已知2724zi

，求z.

例4、已知关于x的方程2(2)20xkixki

，

①有实根，求实数k及实根；②有一根1

1

i

，求k.2013届高三数学文科第一轮复习No.54

复数的概念及运算

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1、238238iiii

.

2、若3()miR

，则实数m=.

3、设,xyR，且5

11213xy

iii

，则x+y=.

4、复数z

满足(33)3izi

，则||z

.

5、设1

2i

z



，则100501zz=.

6、对于实数a、b，以下四个命题均成立：①1

0a

a

；②222()2abaabb

；③

若||||ab

，则ab

；④22||aa

#include

#include

typedef struct fushu//抽象数据类型定义

{

float real;//数据对象

float image;

}fushu;

fushu ComplexNumberInput(float a,float b)//构造二元组

{

fushu c;

c.real=a;//实部

c.image=b;//虚部

return(c);

}

fushu ComplexNumberAdd(fushu c1,fushu c2)//求和运算

{

fushu sum;

sum.real=c1.real+c2.real;

sum.image=c1.image+c2.image;

return (sum);

}

fushu ComplexNumberSub(fushu c1,fushu c2)//求差运算

{

fushu sub;

sub.real=c1.real-c2.real;

sub.image=c1.image-c2.image;

return (sub);

}

fushu ComplexNumberMul(fushu c1,fushu c2)//求积运算

{

fushu Mul;

Mul.real=c1.real*c2.real-c1.image*c2.image;

Mul.image=c1.real*c2.image+c1.image*c2.real;

return (Mul);

}

fushu ComplexNumberDiv(fushu c1,fushu c2)//求商运算

{

fushu div;

float d1,d2,d3,d4;

d1=c1.real*c2.real+c1.image*c2.image;

d2=c2.real*c2.real+c2.image*c2.image;