2022数学第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数导数的运算教师文档教案文

第十节 变化率与导数、导数的运算导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 li m Δx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 Δy Δx ＝li mΔx →0 f x 0＋Δx －fx 0Δx.(2)导数的几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数： 称函数f ′(x )＝li mΔx →0 f x ＋Δx －f xΔx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝fx g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题体验]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝x ′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1－1x2；(3x )′＝3xln 3；x 2cos x＝(x 2)′cosx ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ．故选B.2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝ln xe x 的导函数为________________．答案：y ′＝1－x ln xx e x2．(2018·杭州模拟)函数f (x )＝x 2＋1x的图象在点(1，f (1))处的切线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．3x －y －1＝0C ．x －y －1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选A 函数f (x )＝x 2＋1x 的导数为f ′(x )＝2x －1x2 ，可得图象在点(1，f (1))处的切线斜率为k ＝2－1＝1， 切点为(1,2)，可得图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －2＝x －1，即为x －y ＋1＝0. 故选A.考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x；(3)y ＝cos x ex ；(4)(易错题)y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2； (5)y ＝ln(2x －5)．解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′ ＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝cos x ′e x －cos x e x′e x 2＝－sin x ＋cos xex. (4)∵y ＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x＝－12sin 4x －2x cos 4x .(5)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.[谨记通法]求函数导数的3种原则[提醒] 复合函数求导时，先确定复合关系， 由外向内逐层求导，必要时可换元． 考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程 1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A ．18 B ．14 C ．12D ．1解析：选B 因为y ′＝2x ＋2，所以y ′| x ＝0＝2，所以曲线在点(0，－1)处的切线方程为y ＋1＝2x ，即y ＝2x －1，与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×|－1|×12＝14.角度二：求切点坐标2．(2018·湖州模拟)曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 0点的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(－1，－4)D ．(2,8)和(－1，－4)解析：选C 设P 0(x 0，y 0)，则f ′(x )＝3x 2＋1，即f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，所以x 0＝±1，所以P 0点的坐标为(1,0)和(－1，－4)，经检验，都符合题意．故选C.角度三：求参数的值(范围)3．(2018·宁波二模)设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．(3，＋∞)C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 解析：选D 由f (x )＝－e x －x ，得f ′(x )＝－e x －1，∵e x＋1＞1，∴1e x ＋1∈(0,1)．由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ，又－2sin x ∈[－2,2]，∴3a －2sin x ∈[－2＋3a ，2＋3a ]．要使过曲线f (x )＝－e x－x 上任意一点的切线l 1，总存在过曲线g (x )＝3ax＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．(2018·杭州质量预测)函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.2．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：∵y ＝a ln x ，∴y ′＝a x，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0， 故切点为(1,0)，∴切线方程为y ＝a (x －1)． 令y ＝0，得：x ＝1；令x ＝0，y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.答案：8一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3) B ．(－1,3) C ．(1,3)和(－1,3)D ．(1，－3)解析：选C f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，∴P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，故选C.2．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x －y －1＝0D ．x ＋y －1＝0解析：选C 曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，∴f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ， 即x －y －1＝0.3．(2018·温州模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x)＝x ＋e x，则f ′(2 017)＝( )A ．1B ．2C ．12 017D ．2 0182 017解析：选D 令e x＝t ，则x ＝ln t ，所以f (t )＝ln t ＋t ，故f (x )＝ln x ＋x .求导得f ′(x )＝1x ＋1，故f ′(2 017)＝12 017＋1＝2 0182 017.故选D. 4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0 相互垂直，则实数a ＝________.解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a2，所以1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1，解得a ＝2.答案：25．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝x 33－b2x 2＋ax ＋1(a ＞0，b ＞0)，则函数g (x )＝a lnx ＋f x a在点(b ，g (b ))处切线的斜率的最小值是________．解析：因为a ＞0，b ＞0，f ′(x )＝x 2－bx ＋a ，所以g ′(x )＝a x＋2x －b a，则g ′(b )＝a b＋2b －b a ＝a b ＋ba≥2，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，所以斜率的最小值为2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′| x ＝1＝e －1，故曲线y ＝e x —ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.2．(2018·开封模拟)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( )A ．－1B ．1C ．3D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，∴k ＝3＋m ，又k ＋1＝3,1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.3．(2018·台州测试)已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)，则f (0)等于( ) A ．2 B ．4 C ．－2D ．－4解析：选B 由已知f (x )＝x 2＋2f ′(1)，得f ′(x )＝2x ，所以f ′(1)＝2，所以f (x )＝x 2＋4， 所以f (0)＝4.故选B.4．(2018·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0， ∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2.6．(2018·浙江金华十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋b 的图象在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y －5＝0，则a ＝________，b ＝________.解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋b ，得f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意，得f ′(1)＝3＋a ＝2，解得a ＝－1.又在切线方程中，当x ＝1时，y ＝－3，所以f (1)＝13－1×1＋b ＝－3，解得b ＝－3.答案：－1 －37．如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可得曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：08．(2018·杭二期中)设函数F (x )＝ln x ＋ax(0＜x ≤3)的图象上任意一点P (x 0，y 0)处切线的斜率k ≤12恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由F (x )＝ln x ＋a x (0＜x ≤3)，得F ′(x )＝x －a x 2(0＜x ≤3)，则有k ＝F ′(x 0)＝x 0－ax 20≤12在(0,3]上恒成立，所以a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 20＋x 0max .当x 0＝1时，－12x 20＋x 0在(0,3]上取得最大值12，所以a ≥12.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 9．(2018·杭州六校联考)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋1.若对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m都不是曲线y ＝f (x )的切线，求实数a 的取值范围．解：因为对任意m ∈R ，直线y ＝－x ＋m 都不是曲线y ＝f (x )的切线， 所以f ′(x )＝x 2－a ≠－1对x ∈R 成立， 只要f ′(x )＝x 2－a 的最小值大于－1即可， 而f ′(x )＝x 2－a 的最小值为f (0)＝－a ， 所以－a ＞－1，即a ＜1.故实数a 的取值范围为(－∞，1)． 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30. 又点(1,0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.2．(2018·温州月考)已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)． (1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)． (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b ＝0，f＝－a a ＋＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.。

变化率与导数教案113第二章变化率和导数2.1.1瞬时变化率一导数教学目标：(1) 理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念(2) 会运用瞬时速度的定义求物体在某一时刻的瞬时速度和瞬时加速度⑶ 理解导数概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力，进一步掌握在一点处的导数的定义及其几何意义，培养学生转化问题的能力及数形结合思想教学过程：时速度我们是通过在一段时间内的平均速度的极限来定义的，只要知道了物体的运动方程，代入公式就可以求出瞬时速度了.运用数学工具来解决物理方面的问题，是不是方便多了.所以数学是用来解决其他一些学科，比如物理、化学等方面问题的一种工具，我们这一节课学的内容以及上一节课学的是我们学习导数的一些实际背景一、复习引入1、什么叫做平均变化率；2、曲线上两点的连线(割线)的斜率与函数f(x)在区间［X A , X B ］上的平均变化率3、如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？下面我们来看一个动画。

从这个动画可以看出，随着点P 沿曲线向点Q 运动，随着点P 无限逼近点Q 时，则割线的斜率就会无限逼近曲线在点Q 处的切线的斜率。

所以我们可以用Q 点处的切线的斜率来刻画曲线在点Q 处的变化趋势二、新课讲解1、曲线上一点处的切线斜率不妨设 P(X 1, f(x 1)) , Q(x o , f(x o ))，则割线 PQ 的斜率为 k PQ = f (xj- f (X o )X 1 — Xo设 X 1 - X o =A x ，贝U X 1 = △ x + X o ,... kP Q /X O FTS当点P 沿着曲线向点 Q 无限靠近时，割线 PQ 的斜率就会无限逼近点 Q 处切线斜率，即当△ x2、曲线上任一点(x o , f(x 0))切线斜率的求法:k = f(X o+也X)- f(X o)，当△ x 无限趋近于0时，k 值即为(x o , f(x o ))处切线的斜率。

3、瞬时速度与瞬时加速度 (1)平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度⑵位移的平均变化率：S (to+4) -s(to)(3) 瞬时速度：当无限趋近于o 时，S(t o十筑)一S(to)无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t o时的瞬时速度无限趋近于0时，k pQ怏+匆-5)无限趋近点Q 处切线斜率。

导数与函数变化率教案设计：一、教学目标1.了解导数的概念和定义，掌握基本求导公式和法则。

2.理解函数的单调性和极值，并能应用导数求解。

3.能够掌握函数的变化率的概念，应用导数求解。

4.能够运用导数的概念和方法解决实际问题。

二、教学内容1.导数的概念和定义2.求导法则3.函数的单调性和极值4.函数的变化率与导数5.应用导数解决实际问题三、教学过程第一节：导数的概念和定义1.引入教师通过引导学生想象一下：车在马路上行驶时，如果我们想知道车的速度是多少，应该怎么做？引导学生想到了导数的概念。

2.导数的定义介绍导数的定义：设函数y=f（x），若极限lim Δx→0（f（x+Δx）－f（x））/Δx存在，称为函数f（x）在点x处的导数。

3.图像解释导数通过画图来解释导数的概念，帮助学生掌握。

第二节：求导法则1.基本求导法则（1）常数函数（2）幂函数（3）指数函数（4）对数函数（5）三角函数2.综合例题分析通过综合例题来演示求导过程，让学生掌握求导的方法。

第三节：函数的单调性和极值1.函数的单调性介绍函数的单调性：设函数y=f（x）在区间（a，b）内具有一阶导数，那么如果f’（x）>0，则函数在该区间单调递增，如果f’（x）<0，则函数在该区间单调递减。

2.函数的极值介绍函数的极值：设函数y=f（x）在点x=c处连续，那么如果在（c-d，c）上f（x）≤f（c）,在（c， c+d）上f（x）≤f（c），则c为函数y=f（x）的极大值点；如果在（c-d， c）上f（x）≥f （c），在（c， c+d）上f（x）≥f（c），则c为函数y=f（x）的极小值点。

3.图像分析单调性和极值通过图像分析函数的单调性和极值，帮助学生理解。

第四节：函数的变化率与导数1.函数的变化率介绍函数的变化率：使用导数来研究函数的变化率，函数在某一点的导数就是该点的变化率。

2.应用导数求解通过例题来演示应用导数求解的过程，让学生掌握应用导数求解的方法。

导数的变化率教案一、教学目标：1. 让学生理解导数的定义和意义，掌握导数的计算方法。

2. 引导学生理解变化率的概念，并能运用变化率解决实际问题。

3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学重点：1. 导数的定义和计算方法。

2. 变化率的概念及应用。

三、教学难点：1. 导数的计算。

2. 变化率在实际问题中的应用。

四、教学准备：1. 教师准备PPT和教学案例。

2. 学生准备笔记本和笔。

五、教学过程：1. 导入：教师通过PPT展示导数和变化率的概念，引导学生回顾初中阶段的学习内容，为新课的学习做好铺垫。

2. 导数的定义与计算：教师讲解导数的定义，通过PPT展示导数的几何意义和物理意义。

教师引导学生学习导数的计算方法，包括基本函数的导数公式、导数的四则运算等。

3. 变化率的概念：教师讲解变化率的概念，引导学生理解变化率是描述函数在某一点处变化快慢的物理量。

教师通过实例讲解如何运用变化率解决实际问题。

4. 课堂练习：教师布置练习题，让学生独立完成。

练习题包括导数的计算和变化率的应用。

教师在练习过程中给予学生个别辅导，帮助学生巩固所学知识。

6. 课后作业：教师布置课后作业，让学生巩固所学知识。

作业包括导数的计算、变化率的应用等。

六、教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点和不足，为下一节课的教学做好准备。

七、教学评价：教师通过课堂表现、课后作业和课堂练习对学生进行评价，了解学生对导数和变化率的掌握情况，为下一步的教学提供依据。

八、教学计划：1. 下一节课内容：导数的应用。

2. 教学方法：讲解、案例分析、课堂练习。

3. 教学目标：让学生掌握导数的应用，能运用导数解决实际问题。

4. 教学难点：导数的应用。

5. 教学准备：教师准备PPT和教学案例，学生准备笔记本和笔。

6. 教学过程：同上。

7. 教学反思：同上。

8. 教学评价：同上。

六、教学内容：导数的应用1. 最大值和最小值问题：教师通过案例引导学生如何使用导数求解函数的最大值和最小值。

第二章 变化率与导数及导数的应用 导数的概念及其几何意义教案 北师大版选修1-1教学目标：1．导数的概念及几何意义；2．求导的基本方法；3．导数的应用.教学重点：导数的综合应用；教学难点：导数的综合应用.一.知识梳理1．导数的概念及几何意义.2．求导的基本方法①定义法：()x f '=()()xx f x x f x y x ∆-∆+=∆∆→∆0lim ②公式法：0c ='（c 为常数）;)(x n ' = 1-n nx(n∈N) ; )v (u '±=v u '±'3．导数的应用①求曲线切线的斜率及方程；②研究函数的单调性、极值、最值；③研究函数的图象形态、性状； ④导数在不等式、方程根的分布（个数）、解析几何等问题中的综合应用．二．基础训练1.函数()13++=x ax x f 有极值的充要条件是 ( ) A.0>a B.0≥a C.a<0 D.0≤a2.函数()133+-=x x x f 在闭区间[]03，-上的最大值、最小值分别是 （ ）A.1，-1B.1，-17C.3，-17D.9，-193.a>3,则方程x 3-ax 2+1=0在(0,2)上恰好有A 0个根B 1个根C 2个根D 3个根4. 设函数y=f(x)在其定义域上可导,若)(x f '的图象如图所示,下列判断:①f(x)在(-2,0)上是减函数②x=-1时, f(x)取得极小值;③x=1时, f(x)取得极小值;④f(x)在(-1,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数.其中正确的是A ①②B ②③C ③④D ②③④5. 函数f(x) =-x 3+3x 2+ax+c 在(-∞,1]上是单调减函数,则a 的最大值是A -3 B-1 C1 D36．设t≠0，点P(t ，0)是函数f(x)=x 3+ax 与y=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．(I)用t 表示a ，b ，c ；(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-l ，3)上单调递减，求 t 的取值范围．三．典型例题例1.设a 为实数，函数f(x)=x 3-x 2-x+a ．（I ）求f(x)的极值；（Ⅱ）当a 在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与x 轴仅有一个交点．例2已知f(x)=x 3+ax+b 定义在区间[-1，1]上，且．f(0) =f(1)，设x l ，x 2∈[-1，1]，且x 1≠x 2．1)求证：|f(x 1)-f(x 2)|< 2|x 1-x 2|；2)若0<x l <x 2≤1，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<1．例3已知抛物线x x y C 221+=：和a x y C +-=22：，如果直线L 同时是1C 和2C 的切线，称L 是1C 和2C 的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。

第十节变化率与导数、导数的计算知识目标：1.了解导数概念的实际背景.2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x3，y＝x的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．教学重点：求简单函数的导数，理解导数的几何意义,会求切线方程。

教学难点：能利用基本初等函数的导数公式求导数，求切线方程。

教学过程：一、（共同进行知识梳理）看课件：知识点1导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx为f(x)的导函数．知识点2基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 二、学生自己订正答案，反馈学案中的学情自测1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝( C ) A ．0B ．eC ．2eD ．e 2（安排学生课前展示）3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m /s 2B ．4 m/s 2C ．10 m /s 2D ．－4 m/s 2【答案】 A4．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．【答案】 5x ＋y ＋2＝0例1．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于________． 【解析】 易知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∴f ′(1)＝4a ＋2b ＝2， ∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2. 【答案】 －2例2．求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos xe x ； (4)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 4.【解】 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′·e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .(4)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＋1x 3， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋1＋1x 3′＝(x 3)′＋(1)′＋(x －3)′＝3x 2－3x －4＝3x 2－3x 4.（看课件，总结方法）导数计算的原则和方法只共同讲第4个，其他的三个学生当练习。

导数的变化率，导数的定义，导数的计算教学设计教学方法：1、采用：“学案导学”方式进行教学。

2、讨论法、启发式自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

教学流程：独立完成基础回顾，合作交流纠错，老师点评；然后通过题目落实双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评。

考点综述：（1）高考命题的热点仍然是根据导数的几何意义求切线的斜率及方程，但命题的形式比较灵活。

（2）导数的运算渗透到与导数有关的每一个考题中，因此要让学生熟练导数的运算。

教学过程：（一）目标导航:第一步，自主复习，学生用六分钟的时间利用《学案》将一下基础知识填充。

知识点1导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim=________=lim．____f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim＝____(2)几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点________.处________.相应地，切线方程为__________.2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝__________为f(x)的导函数．知识点2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝______f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sin xf′(x)＝______f(x)＝cos xf′(x)＝______f(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝______f(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝______f(x)＝ln xf′(x)＝______知识点3导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝__________(2)[f(x)·g(x)]′＝__________(3)[]′＝__________1．必会结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．(2)′＝－，(f(x)≠0)．(3)[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．(4)函数y ＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．2．必知联系(1)曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．(2)理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别与联系．第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞问题、难点（老师注意发现学生的问题）。

§2 导数的概念及其几何意义[对应学生用书P16]一质点按规律s ＝2t 2＋2t 做直线运动(位移单位：米，时间单位：秒)． 问题1：试求质点在前3秒内的平均速度． 提示：8米/秒．问题2：试求质点在3秒时的瞬时速度． 提示：Δs Δt＝s ＋Δt －sΔt＝14＋2Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→14，故质点在3秒时的瞬时速度为14米/秒．问题3：对于函数y ＝f (x )，当x 从x 0变到x 1时，求函数值y 关于x 的平均变化率． 提示：Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx.问题4：当Δx 趋于0时，平均变化率趋于一个常数吗？ 提示：是．导数的概念1．定义：设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数．2．记法：函数y ＝f (x )在x 0点的导数，通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝li m x 1→x 0f x 1－f x 0x 1－x 0＝li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx.问题1：函数y ＝f (x )在[x0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx ，你能说出它的几何意义吗？提示：表示过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率．问题2：当Δx 变化时，直线如何变化？ 提示：直线AB 绕点A 转动．问题3：当Δx →0时，直线变化到哪里？ 提示：直线过点A 与曲线y ＝f (x )相切位置．导数的几何意义 1．割线的定义：函数y ＝f (x )在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为ΔyΔx，它是过A (x 0，f (x 0))和B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))两点的直线的斜率，这条直线称为曲线y ＝f (x )在点A 处的一条割线．2．切线的定义：当Δx 趋于零时，点B 将沿着曲线y ＝f (x )趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l ，直线l 和曲线y ＝f (x )在点A 处“相切”，称直线l 为曲线y ＝f (x )在点A 处的切线．3．导数的几何意义：函数y ＝f (x )在x 0处的导数，是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．1．函数f (x )在点x 0处的导数就是函数的平均变化率在当自变量的改变量趋于零时的极限，若li m Δx →0ΔyΔx存在，则函数y ＝f (x )在点x 0处就有导数． 2．f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在切点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．[对应学生用书P17][例1] 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数．[思路点拨] 由所给函数解析式求Δy ＝f (Δx ＋x 0)－f (x 0)；计算Δy Δx ；求li m Δx →0 ΔyΔx . [精解详析] ∵f (x )＝4x2，∴Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝4＋Δx2－1＝－4Δx －Δx 2＋Δx 2，∴Δy Δx ＝－4－Δx ＋Δx2， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 －4－Δx ＋Δx2＝－1，∴f ′(2)＝－1. [一点通] 由导数的定义，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的方法： ①求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δx；③取极限，得导数f ′(x 0)＝li m Δx →0Δy Δx.1．函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D.1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为： f ′(1)＝li m Δx →0 ＋Δx2－1Δx＝2.答案：C2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝f ′(1)＝2，则f (2)＝________.解析：函数f (x )＝ax ＋b 在x ＝1处的导数为f ′(1)＝li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝li mΔx →0 [a＋Δx ＋b ]－a ＋b Δx ＝li m Δx →0 a ΔxΔx＝a ，又f ′(1)＝2，得a ＝2，而f (1)＝2，有a ＋b ＝2，于是b ＝0，所以f (x )＝2x ，有f (2)＝4.答案：43．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数．解：Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ， ∴li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2， 从而f ′(1)＝2.[例2] [思路点拨] 利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程． [精解详析] 因为 Δy Δx＝＋Δx2－＋Δx －2－Δx＝5＋3Δx ，当Δx 趋于0时，5＋3Δx 趋于5，所以曲线y ＝3x 2－x 在点A (1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y －2＝5(x －1)， 即5x －y －3＝0.[一点通] 求曲线在点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．4．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.14B.12C ．1D.2解析：f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0＋Δx2－1Δx＝li m Δx →0(2＋Δx )＝2. 则曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.因为y ＝2x －1与坐标轴的交点为(0，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以所求三角形的面积为S ＝12×1×12＝14.答案：A5．求曲线f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．解：∵点(－2，－1)在曲线y ＝2x上，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y ＝2x在x ＝－2处的导数．∴k ＝f ′(－2)＝li m Δx →0f －2＋Δx －f－Δx＝li m Δx →0 2－2＋Δx －2－2Δx ＝li m Δx →0 1－2＋Δx ＝－12，∴曲线y ＝2x 在点(－2，－1)处的切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，整理得x ＋2y ＋4＝0.[例3] 已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [精解详析] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2. ∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 趋于零时，ΔyΔx 趋于4x 0.即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴切线的斜率为tan 45°＝1，即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，98. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴切线的斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴切线的斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2，该点为(2,9)．[一点通] 解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标．解题时注意解析几何中直线方程知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线的平行、垂直等．6．曲线y ＝x 2－3x 在点P 处的切线平行于x 轴，则点P 的坐标为________． 解析：根据题意可设切点为P (x 0，y 0)， ∵Δy ＝(x ＋Δx )2－3(x ＋Δx )－(x 2－3x ) ＝2x Δx ＋(Δx )2－3Δx ， ∴ΔyΔx＝2x ＋Δx －3. ∴f ′(x )＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 (2x ＋Δx －3)＝2x －3. 由f ′(x 0)＝0，即2x 0－3＝0，得x 0＝32，代入曲线方程得y 0＝－94.所以点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－947．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义，易得f ′(1)＝12，由切线方程得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：38．求经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．解：可以验证点(2,0)不在曲线上，设切点为P (x 0，y 0)．由y ′|x ＝x 0＝li m Δx →01x 0＋Δx －1x 0Δx＝li m Δx →0 －ΔxΔxx 0＋Δxx 0＝li m Δx →0－1x 0x 0＋Δx ＝－1x 20.故所求直线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．由点(2,0)在所求的直线上，得x 20y 0＝2－x 0， 再由P (x 0，y 0)在曲线y ＝1x上，得x 0y 0＝1，联立可解得x 0＝1，y 0＝1， 所以直线方程为x ＋y －2＝0.求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．[对应课时跟踪训练六1．函数y ＝f (x )＝1－3x 在x ＝2处的导数为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－5D.－1解析：Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝－3Δx ，Δy Δx ＝－3，Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于－3.答案：A2．抛物线y ＝14x 2在点Q (2,1)处的切线方程为( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D.x ＋y －1＝0 解析：f ′(2)＝li m Δx →014＋Δx2－14×4Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14Δx ＋1＝1， ∴过点(2,1)的切线方程为y －1＝1·(x －2)， 即x －y －1＝0.故选A. 答案：A3.已知曲线C ：y ＝x 3的图像如图所示，则斜率等于3，且与曲线C 相切的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：由y ＝x 3得Δy Δx ＝x ＋Δx 3－x 3Δx＝x 3＋3x 2·Δx ＋3x Δx 2＋Δx3－x3Δx＝3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2，则y ′＝li mΔx →0[3x 2＋3x ·Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，由3x 2＝3，得x ＝±1，即存在2条斜率等于3且与曲线C 相切的直线，故选B.答案：B4．已知函数y ＝f (x )的图像如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：由图像易知，点A ，B 处的切线斜率k A ，k B 满足k A <k B <0.由导数的几何意义，得f ′(x A )<f ′(x B )．答案：B5．已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处切线斜率为16，则点P 坐标为________． 解析：设P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝li m Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝li m Δx →0Δx2＋4x 0Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，又∵f ′(x 0)＝16，∴4x 0＋4＝16，∴x 0＝3，∴P (3,30)． 答案：(3,30)6.如图，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝________.解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f＋Δx －fΔx＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－27．已知点P (2，－1)在曲线f (x )＝1t －x上．求： (1)曲线在点P 处的切线的斜率； (2)曲线在点P 处的切线方程． 解：(1)将P (2，－1)的坐标代入f (x )＝1t －x ，得t ＝1， ∴f (x )＝11－x .∴f ′(2)＝li m Δx →0f ＋Δx －fΔx＝li m Δx →0 11－＋Δx －11－2Δx＝li m Δx →011＋Δx＝1， 曲线在点P 处的切线斜率为1. (2)由(1)知曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2，即x －y －3＝0.8．求与曲线y ＝x 2相切，且与直线x ＋2y ＋1＝0垂直的直线方程？ 解：设切点为P (x 0，y 0)，可得所求切线的斜率k ＝li m Δx →0 x 0＋Δx 2－x 2Δx2＝li m Δx →0 (2x 0＋Δx )＝2x 0， 又直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，由所求切线与该直线垂直得(2x 0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，得x 0＝1，则y 0＝x 20＝1，所以所求切线的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.。

变化率与导数自主探究学习1．平均变化率:变化率可用式子表示，称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。

假设设，(这里看作是对于x1的一个“增量〞可用x1+代替x2，同样)，那么平均变化率为.2．导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:，我们称它为函数在出的导数，记作或，. 3．几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即。

名师要点解析要点导学1.的对于区间〔，〕上任意点处都可导，那么在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作.2.〔1〕导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；〔2〕，当时，，所以.3. 求曲线在某点处的切线方程的根本步骤:①求出P点的坐标；②求出函数在点处的变化率，得到曲线在点的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.4.在导数几何意义的应用过程中，应注意：切点在曲线上，即；②切点也在切线上；③在切点处的切线斜率为.5.曲线在P点处的切线与曲线过点P的切线不是同一个概念：前者P点为切点；后者P点可能是切点也可能不.一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点.【经典例题】例1物体在地球上作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，，假设，那么以下说法正确的选项是【】A. 0～1s时间段内的速率为B. 在1～1+△ts时间段内的速率为C. 在1s末的速率为D. 假设△t＞0，那么是1～1+△ts时段的速率；假设△t＜0，那么是1+△ts～1时段的速率【分析】理解导数的概念，导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，表示在1s末的速率.【解】C．【点拨】本例旨在强化对导数意义的理解，中的△t可正可负【例2】〔1〕求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；〔2〕求曲线y=3x2在点处的切线方程。

【分析】先求Δy=f(x0＋Δx)-f(x0)，再求，最后求，即为导数的值或x0处的切线的斜率.【解】〔1〕，。

2.2 导数的几何意义一、复习：导数的概念及求法。

二、探究新课多媒体演示，得出以下定义:1．割线及其斜率：连结曲线C 上的两点的直线PQ 叫曲线C 的割线，设曲线C 上的一点(,())P x f x ，过点P 的一条割线交曲线C 于另一点(,())Q x x f x x +∆+∆，则割线PQ 的斜率为 00()()()()()PQ f x x f x f x x f x k x x x x+∆-+∆-==+∆-∆． 2． 切线的定义：随着点Q 沿着曲线C 向点P 运动，割线PQ在点P 附近越来越逼近曲线C 。

当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，这条直线l 也称为曲线在点P 处的切线；3．切线的斜率：当点Q 沿着曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 处的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当x ∆无限趋近于0时，()()f x x f x x+∆-∆无限趋近于点(,())P x f x 处的切线的斜率．4.导数的几何意义： 函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 5.求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。

（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。

变化率问题学习目标：1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率.教学重难点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率.一、课前预习 （阅读课本1-4页） 问题1 气球膨胀率我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?分析： (1)当V 从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为(2)当V 从1增加到2时,气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 可以看出：问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系105.69.4)(2++-=t t t h .如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算: 5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 。

二、情境导入，问题引领思考: 问题1中，当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?三、合作探究1.上述问题中的变化率可用式子 表示,称为函数)(x f 从1x 到2x 的2.若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用x x ∆+1代替2x ，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212思考: 观察函数)(x f 的图象（右图）平均变化率=∆∆xf1212)()(x x x f x f --表示什么?四、典型例题例 1 已知函数x x x f +-=2)(的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-则=∆∆x y .例2 求y ＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率变式题 ：已知函数f (x )＝x 2＋2x ，求f (x )从a 到b 的平均变化率．(1)a ＝1，b ＝2； (2)a ＝3，b ＝3.1； (3)a ＝－2，b ＝1.5.五、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 . 2.物体按照43)(2++=t t t s 的规律作直线运动,求在s 4附近的平均变化率.六、课后练习，巩固提高1． 设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到xx ∆+0时，函数的改变量y ∆为（ ）A()x x f ∆+0 B()xx f ∆+0 C()xx f ∆⋅0 D()()00x f x x f -∆+2． 一质点运动的方程为221t s -=，则在一段时间[]2,1内的平均速度为（ ）A －4B －8C 6D －63． 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ∆，则球的表面积增加S ∆等于（ ）A R R ∆π8 B()248R R R ∆+∆ππ C ()244R R R ∆+∆ππ D ()24R ∆π4． 在曲线12+=x y 的图象上取一点（1,2）及附近一点()y x ∆+∆+2,1，则x y∆∆为（ ） A 21+∆+∆x x B 21-∆-∆x x C 2+∆x Dx x ∆-∆+12 5． 在高台跳水运动中，若运动员离水面的高度h （单位：m ）与起跳后时间t （单位：s ）的函数关系是()105.69.42++-=t t t h ，则下列说法不正确的是（ ） A 在10≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /6.1B 在49650≤≤t 这段时间里，平均速度是s m /0 C 运动员在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4965,0时间段内，上升的速度越来越慢D 运动员在[]2,1内的平均速度比在[]3,2的平均速度小七、总结交流、归纳提升 1、知识与方法2、结合自己掌握的情况进行总结、交流、反思导数的概念学习目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.重难点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.一、课前预习 （阅读课本4-6页） 回顾上节问题2，计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题:(1)运动员在这段时间内是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？二、情境导入，问题引领我们把物体在某一时刻的速度称为 .运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t∆趋近于0时,平均速度v有什么样的变化趋势？三、合作探究，新知学习从函数)(xfy=在0xx=处的瞬时变化率是:我们称它为函数()y f x=在0x x=处的导数,记作：说明: (1)导数即为函数)(xfy=在0xx=处的瞬时变化率;(2)0x x x∆=-,当0x∆→时,x x→,所以()()()limx xf x f xf xx x→-'=-四、典例分析例1(1)求函数23xy=在1=x处的导数.(2)求函数xxxf+-=2)(在1x=-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析:先求)()(xfxxfyf-∆+=∆=∆,再求xy∆∆,最后求xyx∆∆→∆0lim.例2将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh时,原油的温度(单位:C)为2()715(08)f x x x x=-+≤≤,计算第2h时和第6h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、课堂练习 1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.六、课后作业、巩固提高 1．自变量由0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数（ ） A 在区间],[10x x 上的平均变化率B 在x 处的变化率C 在1x 处的变化率D 在区间],[10x x 上的导数2．下列各式中正确的是（ ） A x x f x x f y x x x ∆-∆-=→∆=)()(|000'lim0 B x x f x x f x f x ∆∆-∆-=→∆)()()(000'limCx x f x x f y x x x ∆+∆+=→∆=)()(|000'lim0 D x x x f x f x f x ∆∆--=→∆)()()(0000'lim3．设4)(+=ax x f ，若2)1('=f ，则a 的值（ ）A 2B . －2C 3D －34．任一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23t t s -=，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3C －2D t 23-5．函数x x y 1+=， 在1=x 处的导数是6．13-=x y ，当2=x 时 ，=∆∆→∆xyx lim 07．设圆的面积为A ，半径为r ，求面积A 关于半径r 的变化率。