初中数学《图形的剪拼》讲义及练习

几何第06讲_几何图形剪拼几何图形剪拼主要包括图形的分割与拼接两方面．无论是分割还是拼接，图形的面积都是保持不变的，既不能凭空多出一块，也不能有任何一块无故消失．本讲主要考察对于图形的直观感觉与判断，所以大家要勤于动手，勇于实践，擅于总结规律，这才是解决图形剪拼问题的法宝．重难点：分割时注意审题．题模一：分割例1.1.1请把下图沿格线分成形状、大小都相同的五部分，使得每部分都恰好含有一个“○”．其中的一个部分应是一下哪种情况：（）．○○○○○A．B．C．例1.1.2给定一个正六边形，用不相邻的顶点所连的线段可以将这个正六边形分割为4个三角形，例如，下图所示的是两种不同的分割方法．那么，不同的分割方法一共有_________________种．例1.1.3从一张边长为10厘米的正方形纸片中，最多能裁出__________个长4厘米、宽2厘米的长方形纸条．例1.1.4如图，将正方形纸片沿对角线对折一次，得到一个等腰直角三角形；再对折一次，得到一个较小的三角形；最后，再对折一次，然后将所得的小等腰直角形用剪刀沿斜边上的高线剪开．那么展开后，原来的正方形纸片一共被剪成了几片？都是什么图形？A、B、C、D各一个．例1.1.64个选项之中各有4个碎片，用碎片将下图铺满选项（）是不能将下图恰好不重不漏地铺满的（碎片可以旋转、翻转）图1图2图3图4A．图1B．图2C．图3D．图4题模二：先分割后填补例1.2.1手工课上，小红要将一块长15厘米，宽6厘米的布剪成两块，然后拼成一块长10厘米，宽9厘米的布粘在她的布艺画上，你知道她是怎么剪的吗？（在下图中表示出来）（6分）例1.2.2阅读下列材料：小明遇到一个问题：5个同样大小的正方形纸片排列形式如左图所示，将他们分割后拼接成一个新的正方形，他的做法是：按右图所示的方法分割后，将三角形纸片①绕AB的中点O旋转至三角形纸片②处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形DEFG．请你参考小明的方法解决下列问题：（1）现有5个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如下图左所示，请将其分割后拼接成一个平行四边形，要求：在图中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可）；（2）如下图右，在面积为2的平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，分别连AF、BG、CH、DE得到一个新的平行四边形MNPQ，请在图4中探究平行四边形MNPQ面积的大小（画图并直接写出结果）例1.2.3左图是一块2549⨯（单位：厘米）的长方形纸片．现在要沿虚线将它分割成三部分，再拼成右图所示的边长为35厘米的正方形纸片．情在左图中画出分割线，在右图中画出拼接线．在这里，虚线划分的小长方形的大小均为57⨯（单位：厘米）．随练1.1如图所示，在一块长方形纸片中有一个正方形的空洞．现在要求用一条直线，把纸片分成面积相等的两部分，下面哪种分法是正确的：（）．A．连接长方形和正方形的中心点．B．连接正方形和长方形的某个顶点随练1.2将等边三角形纸片按图1所示步骤折叠3次（图1中的虚线是三边的中点的连线），然后沿过两边的中点的直线减去一角（如图2）．将剩下的纸片展开，平铺，得到剪去，不要图2图1甲乙丙丁随练1.3如图，将下面的图形分割成形状、大小都相同的四部分，使得每一块中都含有一随练1.4从一张边长为7厘米的正方形纸片中，最多能裁出多少个长4厘米、宽1厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法．随练1.5将左图分割成三部分，拼成右图的正方形．请在左图中画出分割线，在右图中画出拼接线．147433随练1.6如图，请沿格线将下图分为两部分，并将这两部分拼成一个正方形．请在图中画出分割线．16cm9cm随练1.7用两个完全相同的、各边长分别为5、12、13的直角三角形纸片，可以拼成多少种不同的（1）等腰三角形？（2）平行四边形？作业1将一个正方形纸片剪成形状、大小都相同的四块，有（）种不同的剪法．A ．1B ．2C ．3D ．4种及以上作业2如图，请把图形沿格线分割成形状、大小都相同的四个部分（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的形状、大小是相同的），其中的一个部分应是以下哪种情况：（）．BC作业3作业4从一张长10厘米、宽8厘米的长方形纸片中，最多能裁出多少个长5厘米、宽3厘米的长方形纸条？请画图说明剪裁方法．8厘米10厘米作业5如图，将下面的图形沿图中的网格线（包括斜线）分割成四个大小、形状相同的图形，并且使得每一个图形中正好包含ABC三个字母各一个．A AAA CCCCB BB B作业6下列矩形中，按虚线剪开后，既能拼出平行四边形和梯形，又能拼出三角形的是图形是________（请填图形下面的代号）．（改自2014年6月22日考试真题）作业7请沿格线将下图分为两部分，并将这两部分拼成一个正方形．请在图中画出分割线．25cm16cm作业8如图，一张有20个小正方形组成的硬纸板，请把它分成4部分，使得每部分都能拼成一个有底无盖的正方形盒子．在图中用粗线画出分割方法．。

一、选择题5．（2021•嘉兴）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．矩形D．菱形D【解析】如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，由折叠可知CA＝AB，∴△ABC是等腰三角形，又△ABC和△BCD关于直线CD对称，∴四边形BACD是菱形．10．（2021•宁波）如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张矩形纸片EFGH的面积为S3，FH与GE相交于点O．当△AEO，△BFO，△CGO，△DHO的面积相等时，下列结论一定成立的是（）A．S1＝S2B．S1＝S3C．AB＝AD D．EH＝GHA【解析】如图，连接DG,AH,过点O作OJ⊥DE于J．∵四边形EFGH是矩形，∴OH＝OF,EF＝GH,∠HEF＝90°.∵OJ⊥DE,∴∠OJH＝∠HEF＝90°,∴OJ∥EF.∵HO＝OF,∴HJ＝JE,∴EF＝GH＝2OJ.∵S△DHO=12•DH•OJ,S△DHG=12•DE•GH,∴S△DGH＝2S△DHO,同法可证S△AEH＝2S△AEO.∵S△DHO＝S△AEO,∴S△DGH＝S△AEH.∵S△DGC=12•CG•DH,S△ADH=12•DH•AE,CG＝AE,∴S△DGC＝S△ADH,∴S△DHC＝S△ADE,∴S1＝S2.6．（2021•江西6题）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5B【解析】观察图象可知，能拼接成不同轴对称图形的个数为3个．3．(2021·枣庄)将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（）A. B. C. D.D二、填空题15．（2021•金华）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是．(−√2414,2+√24)【解析】如图，作AH⊥x轴于H,过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K,延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a,则OC＝a,CD＝2a,在Rt△ADH中，∠ADH＝45°,∴AH＝DH＝a,∴OH＝4a.∵点A 的横坐标为1，∴4a ＝1,∴a =14.在Rt △FPQ 中，PF ＝FQ ＝2a =12,∴PQ =√2PF =√22.∵FK ⊥PQ ,∴PK ＝KQ ,∴FK ＝PK ＝QK =√24. ∵KJ =14，PT ＝1+(√22−12)=12+√22,∴FJ =√24+14,KT ＝PT ﹣PK =12+√22−√24=12+√24,∴F (−√24−14,2+√24)．16．(2021·安顺、贵阳) 在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上．小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形．则这两个正三角形的边长分别是 ． {答案}2262-，2{解析}①当等边三角形的一个顶点E 与A 重合时，F ，G 分别在BC ，CD 上，此时边长最大，∴面积最大在Rt △ABF 和Rt △ADG 中，⎩⎨⎧==AF AG ABAD ，∴Rt △ABF ≌Rt △ADG （HL ），∴BF=DG ，∴CF=CG ，∴△CFG是等腰直角三角形，设CF=x ，则BF =2－x ，FG=AF =x 2，在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2，∴222)2()2(2x x =-+，解得，2321-=x ，2322--=x （舍去），AF =2262)232(22-=-=x ；②当等边三角形的一个顶点E 与在AD 的中点时，F ，G 分别在AB ，CD 上，此时边长最小，面积最小，易证△AEF ≌△DEG ，∴AF=DG ，∴BF=CG ，∵BF ∥CG ，∴四边形BCGF 是平行四边形，∵∠B =90°，∴四边形BCGF 是矩形，∴FG=BC =2，因此本题答案是2262-，2．16．（2021•温州）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d 的值为 ；记图1中小正方形的中心为点A ，B ，C ，图2中的对应点为点A ′，B ′，C ′．以大正方形的中心O 为圆心作圆，则当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 ．6﹣2√3 (16﹣8√3)π【解析】如图，连接FH ,由题意可知点A ′,O ,C ′在线段FH 上,连接OB ′,B ′C ′,过点O 作OH ⊥B ′C ′于H ．∵大正方形的面积＝12，∴FG ＝GH ＝2√3, ∵EF ＝HK ＝2,∴在Rt △EFG 中，tan ∠EGF =EF FG=2√3=√33, ∴∠EGF ＝30°,∵JK ∥FG ,∴∠KJG ＝∠EGF ＝30°,∴d ＝JK =√3GK =√3(2√3−2)＝6﹣2√3, ∵OF ＝OH =12FH =√6,C ′H =√2,∴OC ′=√6−√2,∵B ′C ′∥QH ,B ′C ′＝2,∴∠OC ′H ＝∠FHQ ＝45°, ∴OH ＝HC ′=√3−1,∴HB ′＝2﹣(√3−1)＝3−√3, ∴OB ′2＝OH 2+B ′H 2＝(√3−1)2+(3−√3)2＝16﹣8√3, ∵OA ′＝OC ′＜OB ′,∴当点A ′，B ′，C ′在圆内或圆上时，圆的最小面积为(16﹣8√3)π． 15．（2021•丽水）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中FM ＝2EM ，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即AB ，CD 之间的距离是 ．133【解析】如图2中，过点E 作EI ⊥FK 于I ，过点M 作MJ ⊥FK 于J ．由题意，△ABM ，△EFK 都是等腰直角三角形，AB ＝BM ＝2，EK ＝EF ＝2√2，FK ＝4，FK 与CD 之间的距离为1，∵EI ⊥FK ，∴KI ＝IF ，∴EI =12FK ＝2，∵MJ ∥EI ，∴MJEI =FM EF=23，∴MJ =43，∵AB ∥CD ，∴AB 与CD 之间的距离＝2+43+1=133，故答案为：133． 15．（2021•资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O ）沿直径MN 对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB 剪开，再将△AOB 展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE ＝75°，则∠OBA 的度数为 135° ．135°【解析】由题知，∠AOB =16×180°＝30°，由翻折知∠OAB =12∠DCE ，CD ＝CE ， ∵∠CDE ＝75°，∴∠DCE ＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠OAB =12∠DCE =12×30°=15°， ∴∠OBA ＝180°﹣∠AOB ﹣∠OAB ＝180°﹣30°﹣15°＝135°，18．（2021•烟台）综合实践活动课上，小亮将一张面积为24cm 2，其中一边BC 为8cm 的锐角三角形纸片（如图1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形BCDE （如图2），则矩形的周长为 cm ．18．22 解析：延长AT 交BC 于点P ，∵AP ⊥BC ，∴12•BC •AP ＝24，∴12×8×AP ＝24，∴AP ＝6（cm ），由题意，AT ＝PT ＝3（cm ），∴BE ＝CD ＝PT ＝3（cm ），∵DE ＝BC ＝8cm ，∴矩形BCDE 的周长为8+8+3+3＝22（cm ）．三、解答题23．（2021·齐齐哈尔）综合与实践数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．图1 图2 图3折一折：将正方形纸片ABCD 折叠，使边AB 、AD 都落在对角线AC 上，展开得折痕AE 、AF ，连接EF ，如图1．（1）∠EAF ＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；转一转：将图1中的∠EAF 绕点A 旋转，使它的两边分别交边BC 、CD 于点P 、Q ，连接PQ ，如图2． （2）线段BP 、PQ 、DQ 之间的数量关系为 ；（3）连接正方形对角线BD ，若图2中的∠P AQ 的边AP 、AQ 分别交对角线BD 于点M 、点N ，如图3，则CQBM＝ ；剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD 剪开，如图4．图4（4）求证：BM 2+DN 2＝MN 2．解： （1）∠EAF ＝45°；△BAC ；△CAD ；△AEF ；△CEF ； （2）延长CD 至P ′使得DP ′＝BP ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠ADP ′， ∴△ABP ≌△ADP ′，∴AP ＝AP ′，∠BAP ＝∠DAP ′. 又∵∠P AQ ＝45°，∴∠QAP ′＝45°.又∵AQ ＝AQ ，∴△APQ ≌△AP ′Q ，∴PQ ＝P ′Q ＝DQ ＋DP ′＝DQ ＋BP .FB APA QPAQA（3）在正方形ABCD 中，∠BAC ＝∠ABM ＝∠ACQ ＝45°. 又∵∠P AQ ＝45°，得到∠BAM ＝∠CAQ ，∴△ABM ∽△ACQ ，∴CQ ACBM AB==. （4）作AN ′⊥AN ，且AN ′＝AN ，∴∠DAN ＝∠BAN ′， ∴△DAN ≌△BAN ′，∴∠D ＝∠ABN ′＝45°，DN ＝BN ′，∴∠MBN ′＝90°. 又∵∠MAN ＝45°＝∠MAN ′，∴△MAN ≌△MAN ′， ∴MN ＝MN ′，∴BM 2+DN 2＝MN 2．BDQN'。

第十一讲图形的剪拼⑴〈精讲〉知识要点把一个几何图形剪成几块形状相同的图形，或者将某些较复杂或不规则的图形分解成若干个简单图形，或拼成另一种满足某种条件的图形．完成这样的图形剪拼，需要考虑图形剪开后各部分的形状、大小以及它们之间的关系．因此图形的剪拼可以增强我们对几何图形的直观感觉和判断能力，丰富我们的想象力，从而培养同学们的思维能力和创造力．【例1】在下面的图形中作一条线段，把原图分成：⑴图（a）是两个面积相等的梯形；⑵图（b）是一个平行四边形和一个梯形．【例2】在一张长方形纸上画一条直线，能把这张纸分成几部分？画两条直线最多能分成几部分？画三条、四条、五条、六条呢？请把结果填在表中．直线数 1 2 3 4 5 6最多分成的部分数【例3】如右图所示是由三个正方形组成的图形，请把它分成大小、形状都相同的四个图形．【例4】试将右图中（a）、（b）两个图形剪两刀，然后拼成一个正方形．六年级第十一讲第1 页【例5】小慧用一张正方形纸片做剪纸练习．先把它从中间剪开得到两个长方形，再把其中一个长方形从中间剪开得到两个正方形，再把其中一个正方形从中间剪开得到两个长方形，……照这样剪了11次，一共剪成多少个长方形？多少个正方形？【例6】右面是一张正方形纸，正好分成25个大小一样的小正方形．请分成五份，每份都有5个连着的小正方形，折起来都可以成为一个没有盖的正方体．（用笔在右面方格纸上把自己的分法画出来）图形的剪拼⑴〈精练〉1．在下面的图形中作一条线段，把原图分为：⑴图（a）两个等腰梯形；⑵图（b）一个三角形，一个梯形．六年级第十一讲第2 页六年级 第十一讲 第 3 页2．把一个等边三角形8块形状大小都一样的三角形．3．将一张长11厘米、宽7厘米的长方形纸沿直线剪开，每次必须剪出正方形，这样最多剪（ ）次，剪出（ ）个正方形．4．把下图切成一个正方形．（先在图（a ）画出切割示意图，再在图（b ）画出拼成的正方形示意图）5．有一种长12厘米，宽8厘米的长方形玻璃．如果用这种玻璃拼成一个正方形，最少需要几块？学校姓名 成绩图形的剪拼⑴〈作业〉1．下图是由五个正方形组成的图形，请你把它分成大小、形状都相同的四个图形．2．把下面图中两个图形中的某一个分成三块，最后都拼在一起，使它成为一个正方形．3．把一张长8厘米，宽5厘米的长方形纸片剪成两张，一张是正方形，一张是长方形，再把其中长方形纸片剪成两张，又是一张正方形，一张长方形；再把其中的长方形纸片剪成两张，还能剪成一个长方形，一个正方形吗？4．如图，每个小方格的面积是1平方厘米，请经过图中A点画一条直线，将图形分成面积相等的两部分．5．用一张正方形的纸沿线剪成如图1的七巧板，然后把这七块拼成图3的“火箭”图，画上轮廓线．（图2是已经画好轮廓线的小凳子图）图形的剪拼⑴参考答案：【精讲】1、2、2，4，7，11，16，22六年级第十一讲第4 页3、4、5、7个长方形，5个正方形6、【精练】1、2、3、5次，6个4、5、6块【作业】1、2、3、不能4、六年级第十一讲第5 页。

图形的分割与剪拼练习题一．夯实基础：1. 下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？你能想出几种方法？2. 把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．3. 一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？4. 用下面的3个图形，拼成右边的大正方形．二． 拓展提高：5. 把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？6. 图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？7. 下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．8. 下面哪些图形自身用4次就能拼成一个正方形？三．超常挑战：9. 下图是一个34 的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．2060402010. 试用图a 中的8个相等的直角三角形，拼成图b 中的空心正八边形和图c 中的空心正八角星．11. 将下图分成两块，然后拼成一个正方形．四．杯赛演练：12. (第九届“中环杯”小学生思维能力训练活动初赛)如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是 厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差 厘米．13. (2003年《小学生数学报》数学邀请赛)如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．第3题答案：1. 如果不考虑分成的四个图形的形状，只考虑它们的面积，这就要求把原来五个正方形分成四个面积相等的图形，每个图形的面积应是1个多正方形．我们把每个正方形各分成四个面积相等的小正方形，分成的每块图形应有五个这样的小正方形．根据图形的对称性，我们很快就能得到如左下图图的分法．也可以将中间的正方形分成四个小正方形，如右下图．2. 总格数为12，用总格数除以8，得到每个小图形应该是一个半小正方形，根据平均一个小图形的格数作图，如下图．3. 由于土地的形状为正三角形，由题意可知，把大三角形的面积分成四份，每一块占一份，且形状与原三角形相同，于是我们想到取大正三角形的各边中点，依次连接各边中点，即可将这块大正三角形的土地分成与它相等的四份，如下图所示．4. 首先数一数所有的空格数，一共只有16个，只能组成44⨯的正方形，使用目标倒推法，在右边的大正方形中拼图，仍然使用染色法，相当于把已知图形往右边的大正方形中放，这样就很容易拼合了，如下图：5. 先把图形分成2040⨯相等的两块，每一块中再分成相等的两份，这样就不难分成四块了，如右上图．（答案不唯一）206. 这道题的要点在于通过计算解决问题，要求把原来三个正三角形分成四个大小、形状都相同的四个梯形，先不考虑形状，大小相同也就是面积相等，即把整个梯形的面积分成四份，分割后的每一个梯形占一份，可以考虑把每一个三角形的面积分成四份，再把三个正三角形中的每一个小三角形合成要求的梯形，这种类型的题目可以从中点入手，找到每个正三角形的中点并连接，如下图．7. 通过计算，18÷6=3，说明基本形状是由三个小正方形组成，三个正方形有两种形式：与，通过观察，上面的图形具有对称性，不可能分成6个，分法如下图：8. 用4块图(4)和图(5)那样的图形显然能够拼成一个大正方形．其实用图(1)、图(2)、图(3)也能拼成一个大正方形，拼法见下图．(6)(7)拼不成。

- 1 -图形的分割与剪拼（2）1.现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一个操作）。

如图甲（虚线表示折痕）。

除图甲外，请你再给出三个不同的操作（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作。

如图乙和图甲是相同的操作）。

（甲）（乙）2.已知：如图（1），在ABC∆中，︒=∠=36,A AC AB ，直线BD 平分ABC ∠交AC 于点D 。

求证：ABD ∆与DBC ∆都是等腰三角形。

（1） （2） （3）（2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图（2）、（3）也具有这种特性。

请你在图（2）、（3）中分别画出一条直线，把他们分成两个小等腰三角形并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；3.（1）已知ABC ∆中，︒=∠︒=∠5.67,90B A ，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形。

ABC- 2 -（2）已知ABC ∆中，C ∠是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求ABC ∠与C ∠之间的关系。

4.操作与探究：（1）图①是一块直角三角形纸片．将该三角形纸片按如图方法折叠，使点A 与点C 重合，DE 为折痕．试证明△CBE 等腰三角形；（2）再将图①中的△CBE 沿对称轴EF 折叠(如图②)．通过折叠，原三角形恰好折成两个重合的矩形，其中一个是内接矩形，另一个是拼合(指无缝无重叠)所成的矩形，我们称这样的两个矩形为“组合矩形”．你能将图③中的△ABC 折叠成一个组合矩形吗？如果能折成，请在图③中画出折痕；（3）请你在图④的方格纸中画出一个斜三角形，同时满足下列条件：①折成的组合矩形为正方形；②顶点都在格点(各小正方形的顶点)上；（4）有一些特殊的四边形，如菱形，通过折叠也能折成组合矩形(其中的内接矩形的四个顶点分别在原四边形的四条边上)．请你进一步探究，一个非特殊的四边形(指除平行四边形、梯形外的四边形)满足何条件时，一定能折成组合矩形？ABCBBCC F图①图②图③图④- 3 -5．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，M 为射线CA 上一点，ME ⊥BC 于点E ，∠AME 的平分线MF 交AB 于点F(1)如图1，若∠ABC ＝40°，M 为边CA 上一点，试探究BD 与FM 的位置关系，并说明理由 (2)如图2，若∠ABC ＝α， M 为边CA 延长线上一点，①图2中∠ABC 的平分线BD 未画，请补画出来（“尺规作图”，不写作法，但要保留作图痕迹）．②试探究BD 与FM 的位置关系，并说明理由．A BC图1 图2- 4 -6.如图，A 、E 、F 、C 四点在同一直线l 上，AC ＝8，AE ＝CF ＝1，过E 、F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，且DE ＝BF ，连接AD 、BC ，连接BD 交AC 于点O ， (1)请直接判断AD 、BC 的关系．(2)试说明O 为AC 的中点．(3)若△BFC 固定不动，将△ADE 沿直线l 平移到△A ’D ’E ’(A 、D 、E 的对应点分别为A ’、D ’、E ’)，连接BD ’交直线l 于点O ’，试探究如何平移△ADE ，使得OO ’=1.2？请直接写出△ADE 的平移方向和距离．备用图备All。

第4讲几何圆形剪拼内容概述与图形的剪切、拼接有关的问题。

学会利用对称性和面积计算对剪拼问题进行分析；了解某些特殊的剪拼办法。

典型问题兴趣篇1．如图4-1，将一个正方形纸片剪成大小、形状都相同的4块，可以怎么剪？请大家出尽量多的图形．（如果两个图形通过旋转或翻转后重合，就认为它们的大小、形状是相同的）答案:解析：要把一个图形平均分成4部分，可以先把图形平均分成2份，再把平均分成的2份再一分为二即可，如答案第一、第二行的5种分法．再观察答案第三行前2个图发现，它们都是利用穿过正方形中心的两条直线把正方形分成了4块，考虑到正方形的对称性，知道正方形是一个旋转对称图形，利用这个特性旋转上面两条直线，发现过的两条互相垂直的直线．都可把正方形分成大小、形状都相同的4决．更一般地，从中心出发向边界连出一条曲线，再把它依次旋转90。

，同样可以把正方形分成形状、大小都相同的4块，如答案第三行的第3种分法，从上面的分析可以看出，满足要求的方法实际上有无穷多种．2．如图4-2，在一块正嘉纛凳墓中有一个正方形的空洞．现在要求用一条经过大正形中心点的线段，把纸片分成面积相等的两部分，应该怎么分？答案：解析：先考虑纸片无洞的情形．由正方形的对称性可知，经过大正方形中心点的任意一条直线，都可以把纸片分成面积相等的两部分，再考虑有空洞的隋形．如果空洞刚好处于合适的位置，如图1所示，这时就可以利用对称性来分．当空洞处于一般位置的时候，不再具备对称性．因为题目中并没有要求分成的两部分形状相同，所以只需要考虑面积的因素．如图2所示，如果分割线不通过空洞．正方形纸片被分成本身的面积是相等的两部分，但是其中一部分中有一个正方形空洞，所以这种剪法不行．如图3所示，如果分割线通过空洞，但空洞没有被平分，因为大正方形分成的两部分面积仍然相同，所以各自挖去空洞的一部分后剩下的面积还是不同，这种剪法仍然不行．从上面这2种剪法可以看出：要使分成的两部分面积相等，这条直线必须把空洞也分成面积相等的两部分，因为空洞的形状也是正方形，同样由对称性，过空洞中心的任意一条直线也可以把空洞分成面积相等的两部分，因此网时经过空洞正方形的中心与大正方形的中心的直线就可以把以上图形划分为面积相等的两部分，即过这2个中心点的直线．3．如图4-3，三角形和六角星的每条边长都相等．那么用多少个三角形可以拼成六角星？请在图中表示出来．答案：12个解析;因为六角星的每条边和正三角形的边相等，所以它突出来的6个角都可以用1个三角形填满，如图所示：剩下的中间部分是一个正六边形，也不难用三角形填满，如答案所示，共可数出12个三角形可拼成六角星.4．如图4-4，在正方形边上的40个点中，选出6个点，连出3条线段，将正方形分成6个部分，使得每个部分都恰好有1个三角形、2个小正方形。

图形的折叠、剪拼与分割一页普通的纸，童年时我们用稚气的双手把它折成有趣的动物，民间艺人可以把它剪成美丽的图案．折纸与剪纸是最富于自然情趣而又形象生动的实验，是丰富想象力与心灵手巧的结合．对图形进行折叠与剪拼，是学习几何不可或缺的重要一环，通过折叠与剪拼图形，我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的．把图形或部分沿某直线翻折叫图形的折叠，对图形通过有限次的剪裁再重新拼接成新的图形叫图形的剪拼．解与图形折叠或剪拼相关的问题，利用不变量解题是关键，在折叠过程中，线段的长度、角的度数保持不变；在剪拼过程中，新图形与原图形的面积一般保持不变．例题求解【例1】如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于．(南通市中考题)思路点拨设CD=x，由折叠的性质实现等量转换，将条件集中到Rt△BDE中，建立x的方程．注图形折叠与剪拼问题可考壹我们的动手操作能力和分析推理能力，解题时需要把计算、推理与合情想象结合起来．折叠问题可以对称观点认识：(1)折痕两边是全等的；(2)对应点连线被折痕垂直平分．解折叠问题常用到勾股定理、相似形、方程思想等知识与方法．【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 D10 C．8 D．6 (2004年武汉市选拔赛试题)思路点拨只需求出AF长即可．【例3】取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图3．利用展开图4探究：(1)△AEF是什么三角形?证明你的结论．(2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由．(山西省中考题)思路点拨本例没有现成的结论，需经历实验、观察、猜想、证明等数学活动，从而探究得到结论．【例4】如图，是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后，剩下的一块下脚料．工人师傅要将它作适当地切割，重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等，接缝尽可能短的正方形工件．(1)请根据上述要求，设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线，以及拼接后所得到的正方形，保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案，哪种更好一些?说说你的看法和理由．（山东省中考题)思路点拨 拼接后正方形的边长为221030 ㎝，它恰是以30cm 和10cm 为两直角边的直角三角形的斜边的长，为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30㎝和l0cm 的直角三角形，这是解本例的关键． 注 有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，应该通过观察、实验、操作、猜测、验证、推理等数学活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，从而使知识得到内化，形成能力． 近年中考中涌现的设计新颖、富有创意的折叠、剪拼与分割等问题，注重对动手实践操作、应用意识、学习潜能的考查．【例5】 用10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正方形，可以拼接成一个矩形．(1)求这个矩形的长和宽； (2)请画出拼接图．思路点拨 利用拼接前后图形面积不变求矩形的长和宽；运用矩形对边相等这一性质画拼接图． 【例6】 如图，已知△ABC 中，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC 分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)．(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法) (温州市中考题)思路点拨 充分运用几何计算、推理和作图，综合运用动手操作、空间想象、解决问题．学力训练1． 将一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕(图中虚线)，继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕．(2002年南宁市中考题)2．一张直角三角形的纸片，像图中那样折叠，使两个锐角顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，则折痕DE 的长等于 ． (三明市中考题)3．如图，将一块长为12的正方形纸片ABCD 的顶点A 折至DC 边上的点E ，使DE ＝5，折痕为PQ ，则线段PM= ．4．在△ABC 中，已知AB=20，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小三角形ACD 与三角形BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的41，有如下结论：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于223a ；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等，其中，正确结论有 个． (天津市中考题)5．将四个相同的矩形(长是宽的3倍)，用不同的方式拼成一个大矩形，设拼得大矩形的面积是四个小矩形的面积和，则大矩形周长的值只可能有( )A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种 (2003年南昌市中考题)6．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( ) A ．∠A=∠1+∠2 B ．2∠A ＝∠1+∠2 C ．3∠A ＝2∠1+∠2 D ．3∠A=2(∠l+∠2) (北京市海淀区中考题)7．将一张矩形纸对折再对折(如图)，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分．将①展开后得到的平面图形是( )A ．矩形B ．三角形C ．梯形D ．菱形 (陕西省中考题)8．如图1，小强拿一张正方形的纸，沿虚线对折一次得图2，再对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角，再打开后的形状是( ) (济南市中考题)9．如图，东风汽车公司冲压厂冲压汽车零件的废料都是等腰三角形的小钢板，其中AB=AC，该冲压厂为了降低汽车零件成本，变废为宝，把这些废料再加工成红星农业机械厂粉碎机上的零件，销售给红星农业机械厂，这些零件的形状都是矩形．现在要把如图所示的等腰三角形钢板切割后再焊接成两种不同规格的矩形，每种矩形的面积正好等于该三角形的面积，每次切割的次数最多两次(切割的损失可忽略不计)．(1)请你设计两种不同的切割焊接方案，并用简要的文字加以说明；(2)若要把该三角形废料切割后焊接成正方形零件(只切割一次)，则该三角形需满足什么条件? (十堰市中考题)10．如图，ABCD是矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA＝5：3，EC=155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，求AB、BC的长．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，则折痕的长是． (四川省竞赛题)12．如图，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A，处，第二次过A，再折叠，使折痕DE∥BC，若AB=2，AC=3，则梯形BDEC的面积为．( “宇振杯”上海市竞赛题)13．如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于． ( “希望杯”邀请赛试题)14．要剪切如图l(尺寸单位mm)所示的两种直角梯形零件，且使两种零件的数量相等．有两种面积相等的矩形铝板，第一种长500mm，宽300mm(如图2)；第二种长600mm，宽250mm(如图3)；可供选用．(1)填空：为了充分利用材料，应选用第种铝板，这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共个，剪出这些零件后，剩余的边角料的面积是 mm2．(2)画图，从图2或图3中选出你要用的铝板示意图，在上面画出剪切线，并把边角余料用阴影表示出来．15．如图，EF为正方形ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠使它的顶点A落在EF上的G点，则∠DKG为( ) A．15° B．30° C．55° D．75°16．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt△ABC的长都不小于5cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ． 26D ．27 (山东省济南市中考题)17．如图，若将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，设a ＝1，则这个正方形的面积为( )A ．2537+ B ．253+ C ．251+ D ．2)21(+ (2003年山东省竞赛题)18．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，沿过点月的一条直线BE 折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点为D ，要使点D 恰为AB 的中点，问在图中还需添加什么条件? (1)写出两个满足边的条件； (2)写出两个满足角的条件；(3)写出一个满足除边角以外的其他条件． (黄冈市竞赛题)19．如图，正方形纸片ABCD 中，E 为BC 的中点，折叠正方形，使点A 与点E 重合，压平后，得折痕MN ，设梯形ADMN 的面积为S 1，梯形BCMN 的面积为S 2，求21S S 的值20．已知一个三角形纸片ABC ，面积为25，BC 的长为l0，∠B 、∠C 都为锐角，M 为AB 边上的一动点(M 与A 、B 不重合)，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，设MN=x ． (1)用x 表示△AMN 的面积；(2)△AMN 沿MN 折叠，使△AMN 紧贴四边形BCNM(边AM 、AN 落在四边形BCNM 所在的平面内)，设点A 落在平面BCNM 内的点A ′，△A ′MN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ． ①用的代数式表示y ，并写出x 的取值范围．②当x 为何值时，重叠部分的面积y 最大，最大为多少?。

29 图形的剪拼阅读思考把一张纸经过数次折叠后, 用剪刀剪去其中一部分, 往往能得到美丽的图案·把一个图形通过分割后再重新拼接, 常常能得到一个新的图形.图形的剪拼, 是学习平面几何过程中重要一环, 通过对图形的剪拼, 我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的.解图形的剪拼问题, 可借助现成材料, 动手操作, 观察思考, 得出结论. 但由于考场条件和环境的限制, 我们常需要运用对称、全等, 利用不变量等知识方法解决相关问题.问题解决例l现有一张长5cm、宽1cm的矩形纸, 请你将它分成5块, 再拼合成一个正方形画在横线上_________·试一试先求出拼合成的正方形的边长, 将计算与剪拼相结合.例2如图, 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下, 则得到的图形是( ).试一试把原题中折剪的过程倒过来, 再利用对称知识, 可得到展开过程.例3正方形通过剪切可以拼成三角形, 方法如下:仿上用图示的方法, 解答下列问题:(1)如图(2), 对直角三角形, 设计一种方案, 将它分成若干块, 再拼成一个与原三角形等面积的矩形.(2)如图(3), 对任意三角形, 设计一种方案, 将它分成若干块, 再拼成一个与原三角形等面积的矩形.(安徽省中考题) 试一试题目要求拼成矩形, 而矩形四个角都是直角及对边相等, 故在设计剪拼方案时, 应充分利甩线段的中点及垂直关系, 图中已有的要充分利用, 图中没有的要先作出.例4 如图, 是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后, 剩下的一块下脚料. 工人师傅要将它作适当地切割, 重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等, 接缝尽可能短的正方形工件.(1)请根据上述要求, 设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形, 保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案, 哪种更好一些?说说你的看法和理由.(山东省中考题)试一试 拼接后正方形的边长为221030 cm, 它恰是以30cm 和10cm 为直角边的直角三角形的斜边的长, 为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30cm 和10cm 的直角三角形, 这是解本例韵关键.例5 如图, 现有两个边长之比为1:2的正方形ABCD 与A ’B ’C ’D ’. 已知点B 、C 、B ’、C ’在同一直线上, 且点C 与点B ’重合, 请你利用这两个正方形, 通过截割、平移、旋转的方法, 拼出两个相似比为l:3的三角形.(山东省烟台市中考题)试一试设小正方形的边长为1, 则大正方形的边长为2, 两者的面积之和为12+22=5. 从面积入手, 利用图形分割中面积的不变性, 结合相似三角形性质确定小三角形面积, 这是解本例的关键.数学冲浪1. 将一个无盖正方体纸盒展开(如图①), 沿虚线剪开, 用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图②). 则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是___________.2. 要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm 的大菱形(如图②所示), 需要图①中的菱形的个数为__________.3. 如图, 已知四边形纸片ABCD, 现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片. 如果限定裁剪线最多有两条, 能否做到:__________(用“能”或“不能”填空). 若填“能”, 请确定裁剪线的位置, 并说明拼接方法；若填“不能”, 请简要说明理由.(2006年天津市中考题)4. [尝试]如图①, 把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线(裁剪线)剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个四边形A ’BCD, 如图②(以下有画图要求的, 工具不限, 不必写画法和证明).(1)猜一猜:四边形A ’BCD 一定是___________；(2)试一试:按上述的裁剪方法, 请你拼一个与图①不同的四边形, 并在图②中画出示意图.[探究]在等腰Rt△ABC中, 请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.(1)想一想:你能拼得的特殊四边形分别是___________(写出两种)；(2)画一画:请分别在图④、图⑤中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.[拓广]在等腰Rt△ABC中, 请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.(1)变一变:你确定的裁剪线是_______(写出一种), 拼得的特殊四边形是________；(2)拼一拼:请在图⑥中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.(2006年荆门市中考题) 5. 如图(1), 小强拿一张正方形的纸, 沿虚线对折一次得到图(2), 再对折一次得到图(3), 然后用剪刀沿图(3)中的虚线剪去一个角, 再打开后的形状为( ).6. 如图, 一张长方形纸沿AB对折, 以AB中点O为顶点将平角五等分, 并沿五等分的折线折叠, 再沿CD剪开, 使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形), 则∠OCD的值为( ).A. 108○B. 144○C. 126○D. 129○(浙江省绍兴市中考题) 7. 如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形, 两直角边的长分别为a和b, 斜边长为c. 图②是以c为直角边的等腰直角三角形. 请你开动脑筋, 将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图, 写出它是什么图形；(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图①中的直角三角形有若干个, 你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明).(济南市中考题) 8. 请阅读下列材料:问题:现有5个边长为1的正方形, 排列形式如图①, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形. 要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.小东同学的做法是:设新正方形的边长为x(x>0). 依题意, 割补前后图形的面积相等,有x2=5, 解得x=5. 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长. 于是, 画出如图②所示的分割线, 拼出如图③所示的新正方形.请你参考小东同学的做法, 解决如下问题:现有10个边长为1的正方形, 排列形式如图④, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形. 要求:在图④中画出分割线, 并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形(说明:直接画出图形不要求分析过程. ).9. 操作示例:对于边长均为以的两个正方形ABCD和EFGH, 按图①所示的方式摆放, 再沿虚线BD, EG 剪开瑶, 可以按图中所示的移动方式拼接为图①中的四边形BNED.从拼接的过程容易得到结论:①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.实践与探究:(1)对于边长分别为a, b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH, 按图所示的方式摆放, 连结DE, 过点D作DM⊥DE, 交AB于点M, 过点M作MN⊥DM, 过点E作EN⊥DE, MN与EN相交于点N.①证明四边形MNED是正方形, 并用含a, b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图②中, 将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后, 能够拼接为正方形MNED. 请简略说明你的拼接方法(类比图①, 用数字表示对应的图形).(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形, 能否通过若干次拼接, 将其拼接为一个正方形?请简要说明你的理由.(2005年河北省中考题) 10. 如果有四个多边形A、B、C、D如图所示, 你能否使A拼上B后与C拼上D的轮廓相同；同时还能使A拼上C后与B拼上D后的轮廓也相同；甚至使A拼上D后与B拼上C 后的轮廓也相同吗?(俄罗斯萨温数学竞赛题)。

第十讲图形的剪拼（二）
类似棋盘图形的剪拼问题更需要我们认真的思考、周密的分析，虽然有的问题难度较大，但通过我们的探索，还是能寻找到规律性的.
例1 如右图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有A、B、C、D、E五个字母.
例2 如右图所示.请将这个正方形切成四块，使得它们彼此之间的形状和大小都相同，而且每块当中都含有A、B、C、D四个字母.
例3 如右图所示的正方形是由36个小正方格组成的.如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子.试问如何切割？
例4 如下页图，甲、乙是两个大小一样的正方形.要求把每一个正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○.
例5 如右图所示，请将这个正方形分成大小和形状都一样的四块，并且使每一块都有A、B、C、D四个字母.
例6 如下图长方形的长、宽分别为120厘米、90厘米，正中央开有小长方形孔，长为80厘米，宽为10厘米，要拼成面积为100平方厘米的正方形.问如何切分，能使划分的块数最少.。

《图形剪拼》教案第一章：教学目标1.1 知识与技能让学生了解和掌握图形的剪拼方法。

培养学生运用图形剪拼创作简单图形的能力。

1.2 过程与方法培养学生观察、分析图形的能力。

培养学生动手操作、合作交流的能力。

1.3 情感态度与价值观培养学生对图形剪拼活动的兴趣。

培养学生创新意识和审美能力。

第二章：教学内容2.1 教学主题：图形剪拼的基本方法2.2 教学重点：掌握图形的剪拼方法。

2.3 教学难点：运用图形剪拼创作简单图形。

第三章：教学准备3.1 教师准备：教学课件、图形卡片、剪刀、胶水等。

3.2 学生准备：剪刀、胶水、彩色纸等。

第四章：教学过程4.1 导入：通过展示图形剪拼作品，激发学生的学习兴趣。

4.2 新课：讲解图形剪拼的基本方法，示例演示。

4.3 实践：学生分组进行图形剪拼活动，教师巡回指导。

4.4 展示：学生展示自己的作品，互相评价。

第五章：教学评价5.1 学生自评：评价自己在图形剪拼活动中的表现。

5.2 同伴评价：互相评价对方的作品。

5.3 教师评价：对学生的作品进行评价，给予鼓励和建议。

第六章：教学拓展6.1 教学目标引导学生运用图形剪拼方法创作更具挑战性的图形。

培养学生创新思维和解决问题的能力。

6.2 教学内容介绍更复杂的图形剪拼技巧。

学生尝试创作复杂的图形剪拼作品。

6.3 教学过程教师展示复杂的图形剪拼作品，激发学生创作欲望。

学生自主探索，尝试创作复杂的图形剪拼作品。

教师巡回指导，解答学生创作过程中遇到的问题。

第七章：作业布置7.1 作业类型：实践性作业7.2 作业内容：请学生回家后，运用所学图形剪拼方法，创作一幅家庭成员的肖像画。

7.3 作业要求：充分发挥创意，注意观察家庭成员的容貌特征，用图形剪拼表现出他们的特点。

第八章：课堂小结8.1 回顾本节课所学内容：图形剪拼的基本方法及其应用。

8.2 强调图形剪拼在生活中的实际意义，激发学生课后继续探索的热情。

8.3 提醒学生关注家庭成员，体会亲情的美好，将所学知识与生活实际相结合。

29 图形的剪拼阅读思考把一张纸经过数次折叠后, 用剪刀剪去其中一部分, 往往能得到美丽的图案·把一个图形通过分割后再重新拼接, 常常能得到一个新的图形.图形的剪拼, 是学习平面几何过程中重要一环, 通过对图形的剪拼, 我们可以发现一些几何结论并知晓这些结论是怎样被证明的.解图形的剪拼问题, 可借助现成材料, 动手操作, 观察思考, 得出结论. 但由于考场条件和环境的限制, 我们常需要运用对称、全等, 利用不变量等知识方法解决相关问题.问题解决例l现有一张长5cm、宽1cm的矩形纸, 请你将它分成5块, 再拼合成一个正方形画在横线上_________·试一试先求出拼合成的正方形的边长, 将计算与剪拼相结合.例2如图, 把一个正方形三次对折后沿虚线剪下, 则得到的图形是( ).试一试把原题中折剪的过程倒过来, 再利用对称知识, 可得到展开过程.例3正方形通过剪切可以拼成三角形, 方法如下:仿上用图示的方法, 解答下列问题:(1)如图(2), 对直角三角形, 设计一种方案, 将它分成若干块, 再拼成一个与原三角形等面积的矩形.(2)如图(3), 对任意三角形, 设计一种方案, 将它分成若干块, 再拼成一个与原三角形等面积的矩形.(安徽省中考题) 试一试题目要求拼成矩形, 而矩形四个角都是直角及对边相等, 故在设计剪拼方案时, 应充分利甩线段的中点及垂直关系, 图中已有的要充分利用, 图中没有的要先作出.例4 如图, 是从边长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm、宽为10cm的矩形后, 剩下的一块下脚料. 工人师傅要将它作适当地切割, 重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等, 接缝尽可能短的正方形工件.(1)请根据上述要求, 设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案(在图2和图3中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形, 保留拼接的痕迹)；(2)比较(1)中的两种方案, 哪种更好一些?说说你的看法和理由.(山东省中考题)试一试 拼接后正方形的边长为221030 cm, 它恰是以30cm 和10cm 为直角边的直角三角形的斜边的长, 为此可考虑设法在原钢板上构造两直角边长分别为30cm 和10cm 的直角三角形, 这是解本例韵关键.例5 如图, 现有两个边长之比为1:2的正方形ABCD 与A ’B ’C ’D ’. 已知点B 、C 、B ’、C ’在同一直线上, 且点C 与点B ’重合, 请你利用这两个正方形, 通过截割、平移、旋转的方法, 拼出两个相似比为l:3的三角形.(山东省烟台市中考题)试一试设小正方形的边长为1, 则大正方形的边长为2, 两者的面积之和为12+22=5. 从面积入手, 利用图形分割中面积的不变性, 结合相似三角形性质确定小三角形面积, 这是解本例的关键.数学冲浪1. 将一个无盖正方体纸盒展开(如图①), 沿虚线剪开, 用得到的5张纸片(其中4张是全等的直角三角形纸片)拼成一个正方形(如图②). 则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是___________.2. 要拼出和图①中的菱形相似的较长对角线为88cm 的大菱形(如图②所示), 需要图①中的菱形的个数为__________.3. 如图, 已知四边形纸片ABCD, 现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片. 如果限定裁剪线最多有两条, 能否做到:__________(用“能”或“不能”填空). 若填“能”, 请确定裁剪线的位置, 并说明拼接方法；若填“不能”, 请简要说明理由.(2006年天津市中考题)4. [尝试]如图①, 把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线(裁剪线)剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个四边形A ’BCD, 如图②(以下有画图要求的, 工具不限, 不必写画法和证明).(1)猜一猜:四边形A ’BCD 一定是___________；(2)试一试:按上述的裁剪方法, 请你拼一个与图①不同的四边形, 并在图②中画出示意图.[探究]在等腰Rt△ABC中, 请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.(1)想一想:你能拼得的特殊四边形分别是___________(写出两种)；(2)画一画:请分别在图④、图⑤中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.[拓广]在等腰Rt△ABC中, 请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀, 把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.(1)变一变:你确定的裁剪线是_______(写出一种), 拼得的特殊四边形是________；(2)拼一拼:请在图⑥中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.(2006年荆门市中考题) 5. 如图(1), 小强拿一张正方形的纸, 沿虚线对折一次得到图(2), 再对折一次得到图(3), 然后用剪刀沿图(3)中的虚线剪去一个角, 再打开后的形状为( ).6. 如图, 一张长方形纸沿AB对折, 以AB中点O为顶点将平角五等分, 并沿五等分的折线折叠, 再沿CD剪开, 使展开后为正五角星(正五边形对角线所构成的图形), 则∠OCD的值为( ).A. 108○B. 144○C. 126○D. 129○(浙江省绍兴市中考题) 7. 如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形, 两直角边的长分别为a和b, 斜边长为c. 图②是以c为直角边的等腰直角三角形. 请你开动脑筋, 将它们拼成一个能证明勾股定理的图形.(1)画出拼成的这个图形的示意图, 写出它是什么图形；(2)用这个图形证明勾股定理；(3)假设图①中的直角三角形有若干个, 你能运用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明).(济南市中考题) 8. 请阅读下列材料:问题:现有5个边长为1的正方形, 排列形式如图①, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形. 要求:画出分割线并在正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形.小东同学的做法是:设新正方形的边长为x(x>0). 依题意, 割补前后图形的面积相等,有x2=5, 解得x=5. 由此可知新正方形的边长等于两个小正方形组成的矩形对角线的长. 于是, 画出如图②所示的分割线, 拼出如图③所示的新正方形.请你参考小东同学的做法, 解决如下问题:现有10个边长为1的正方形, 排列形式如图④, 请把它们分割后拼接成一个新的正方形. 要求:在图④中画出分割线, 并在图⑤的正方形网格图(图中每个小正方形的边长均为1)中用实线画出拼接成的新正方形(说明:直接画出图形不要求分析过程. ).9. 操作示例:对于边长均为以的两个正方形ABCD和EFGH, 按图①所示的方式摆放, 再沿虚线BD, EG 剪开瑶, 可以按图中所示的移动方式拼接为图①中的四边形BNED.从拼接的过程容易得到结论:①四边形BNED是正方形；②S正方形ABCD+S正方形EFGH=S正方形BNED.实践与探究:(1)对于边长分别为a, b(a>b)的两个正方形ABCD和EFGH, 按图所示的方式摆放, 连结DE, 过点D作DM⊥DE, 交AB于点M, 过点M作MN⊥DM, 过点E作EN⊥DE, MN与EN相交于点N.①证明四边形MNED是正方形, 并用含a, b的代数式表示正方形MNED的面积；②在图②中, 将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后, 能够拼接为正方形MNED. 请简略说明你的拼接方法(类比图①, 用数字表示对应的图形).(2)对于n(n是大于2的自然数)个任意的正方形, 能否通过若干次拼接, 将其拼接为一个正方形?请简要说明你的理由.(2005年河北省中考题) 10. 如果有四个多边形A、B、C、D如图所示, 你能否使A拼上B后与C拼上D的轮廓相同；同时还能使A拼上C后与B拼上D后的轮廓也相同；甚至使A拼上D后与B拼上C 后的轮廓也相同吗?(俄罗斯萨温数学竞赛题)。

（1）第二讲图形的剪拼姓名______ 本讲主要是学习图形分与拼，通过剪拼，培养学生的动手操作能力。

体会图形中整体与部分的关系、规则图形与不规则图形的联系等。

在拼图形、分图形时要先观察图形，从图形的特点入手来解决问题。

1、如果要把左边的图形剪成相应的右边的图形，应该怎样剪？请你在左边的图形中画出这条虚线。

2、照左边图的样子，在右图中用笔描出来。

3、想一想，下面左边的图形是由右边哪几个图形拼成的？4、按要求拼一拼。

（1）用下图四个同样的等腰直角三角形拼成一个大的直角三角形。

（2）用四个大小一样的直角三角形可以拼出一个长方形，如下右图所示，你还可以拼出与它不同的长方形吗？5、下面有一个正方形，请你用自己的方法把它剪成四个大小、形状完全一样的图形。

（至少画出4种方法）6、要把左边的图形剪成相应的右边的图形，应该沿哪一条线剪？请你在左边的图形中画出这条虚线。

7、找出下列各图形中所缺的部分，并把编号写在相应的括号里。

A. B. C. D.（）（）（）（）①②③④8、一块正方形玻璃被撞下一块，请你观察下图，（）号图形是左边图形中所缺的部分。

12349、用下面的两个完全一样的直角三角形拼出一个长方形和一个三角形，将拼好的图形画在框内。

长方形三角形三角形长方形10、把下面的长方形剪成完全相同的四部分，你会怎样剪呢，试一试。

11、下面图形中的阴影部分是一个直角三角形，那么（）号图形是由6个小三角形拼成的。

①②③QS（1）第二讲回家作业姓名______1、如果要把左边的图形剪成相应的右边的图形，应该沿哪一条线剪？请你在左边的图形中画出这条虚线。

2、如果要把左边的图形剪成相应的右边的图形，应该怎么剪？请你在左边的图形中画出这条虚线。

3、在右图中用笔描出左边两个图形。

（1）（2）4、在右边5个图形中，各选出两个拼成左边的图形。

在选出的图形上打“√”。

5、、观察下列左图，它是由右边的哪几个图形拼成的，请在右边的方框中圈出来。