小学奥数系列：第十讲 图形的剪拼(二)

第十讲动手剪拼图形一、剪剪拼拼图形的分割与剪拼都需要一定的技巧，下面举例说明某些常用技巧的来路及依据。

例1 你能想出几种方法，将任意一个三角形分成面积相等的六个三角形？分析：把一个三角形分成面积相等的六个三角形，根据等底等高的三角形面积相等这一结论。

只要把原三角形分成六个等底等高的小三角形即可。

为此，只要把三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，问题就解决了。

另外，6=1×6=3×2=2×3。

如果我们把分得的每一个小三角形的面积看成“1”，那么1×6就可看成把原三角形的面积直接六等分，而3×2可看成先把原三角形的面积二等分，再把其中的每一份分成面积相等的三个小三角形。

同理，2×3可看成先把原三角形分成三个面积相等的三角形，再把其中的每一个三角形又分成两个面积相等的小三角形。

除了上面的几种分法外，还可以这样想，因为6=1+5=2+4=3+3。

所以对余下的三角形分成五个面积相等的小三角形。

对6=2+4而言，可先从原三角形分出的三角形和剩下的三角形分别分成2个和4个面积相等的小三角形，对6=3+3可采用与上面类似的方法进行分割。

解法1 将三角形的任一边六等分，再将分点与这边相对的顶点用线段连接起来，见图10-1。

解法2 以面积而言，先将原三角形二等分再三等分，或先将原三角形三等分再二等分。

分法见图10-2。

解法3 先将原三角形分成两个三角形，使它们面积比为1∶5或2∶4或3∶3。

再将面积为“5”、“2”、“4”、“3”的那个三角形分成5个或2个或4个或3个面积相等的小三角形，分法见图10-3。

图10-1至图10-3中，在同一三角形中，标有相同符号的线段彼此相等。

还有别的分法，请读者自己给出。

例2把图10-4两个图形中的某一个，分成三块，最后都拼在一起，正好拼成一个正方形，应怎么分与拼？分析与解：不管将图10-4中的哪一个图形如何分成三块，最后拼得的正方形面积总等于图10-4中两个图形面积之和。

图形的分割与拼接专题怎样把一个图形按照要求分割成若干部分？怎样把一个图形分割成若干部分后，再按要求拼接成另一个图形？这就是本讲要解决的问题。

例1 请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

分析与解：本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。

方法三：找出三条边上的中点，然后如左下图所示连结。

方法四：将三条边上的中点两两连结（见右上图）。

前三种方法可以看成先将三角形分割成面积相等的两部分，然后分别将每部分再分割成面积相等的两部分。

本题还有更多的分割方法。

例2 将右图分割成五个大小相等的图形。

分析与解：因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。

3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

例3 右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

分析与解：因为分割成完全相同的两块，所以每块有8个小方格，并且这两块关于中心点对称。

下面是六种分割方法。

例4 将下图分割成两块，然后拼成一个正方形。

分析与解：图形的面积等于16个小方格，如果以每个小方格的边长为1，那么拼成的正方形的边长应是4。

因为题图是缺角长方形，长为6宽为3，所以分割成两块后，右边的一块应向上平移1（原来宽为3，向上平移1使宽为4），向左平移2（原来长为6，向左平移2使长为4）。

考虑到缺角这一特点，可做下图所示的分割和拼接。

例5 有一块长4.8米、宽3米的长方形地毯，现在把它铺到长4米、宽3.6米的房间中。

请将它剪成形状相同、面积相等的两块，使其正好铺满房间。

分析与解：首先验证地毯的面积与房间的面积是否相等，然后考虑如何剪拼。

（四年级）备课教员：×××第十讲图形的拼割一、教学目标： 1. 四年级奥数（教案）第10讲：图形的拼割2. 通过观察、操作,初步感知所学图形之间的关系。

3. 通过大量拼摆图形,发现图形中由简单到复杂的变化及联系,感受图形美。

4. 通过数学活动,培养用数学进行交流、合作探究和创新意识。

二、教学重点：发现并感知图形之间的变化及联系三、教学难点：掌握基本图形的构成方式,抽象思维能力的培养,引导创新的意识。

四、教学准备：PPT；每个小组发一个信封（里面装五种“俄罗斯方块”图形各4张、四个相同正方形,六个相同的长方形,六角星1个,每个小组发一副七巧板）；一把小剪刀。

五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：出示阿尔法的小车（这个车是由三角形、长方形、正方形、圆形等图形组成的。

）师：引导学生观察：看了阿尔法的小车,你有什么发现？生：发现很多不同形状的图形。

师：揭示课题：聪明的阿尔法用一些简单的图形就拼组出了那么漂亮的小车子,今天这节课咱们也来学习——《图形的拼割》。

（板书课题：图形的拼割）二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）你玩过“俄罗斯方块”的游戏吗？如果让你用游戏中几个相同的图形去拼成一个正方形,你会怎样拼呢？（俄罗斯方块）师：你们有玩过手机游戏吗？生：有。

师：那都有玩过什么样的游戏呢？生：（自己解答）师：俄罗斯方块,不知道大家玩过没？里面都会出现哪种的图形？生：（自由回答）师：我们常见的是不是有这些？（出示俄罗斯方块）T字型闪电型 L型田字型一字型师：今天我们就来一起玩一下俄罗斯方块。

生：可以。

师：我们都知道玩俄罗斯方块的时候当凑成一排以后,会自动消失掉,现在我们改一下规则,我们用一个正方形来代替这个玩法。

师：如果要你用几个相同的图形组成一个正方形,你最少要用几个？生：因为正方形的四个边都相等,而这些图形都是由四个小正方形组成的,所以我们最少要用到四个这样的图形才能组成一个正方形。

二、探索发现授课［40分］［一］例题1：［10分］下面的十个图形都是由六个面积为1平方厘米的小正方形拼成的,但周长却不完全相同,周长等于12厘米的图形有几个？讲解重点：复习周长的概念,封闭图形一周的长度叫做周长。

然后重点介绍用平移法巧求周长。

师：同学们还记得什么叫周长吗？生：图形封闭一周的长度。

师：是的。

题目让我们找出这十个图形中周长为12厘米的图形。

那么可以怎么找呢？生：找出这些图形外围有几个小正方形的边长。

师：那么小正方形的边长是多少呢？生：已知小正方形的面积是1平方厘米,所以小正方形的边长是1厘米。

师：是的。

第一个图形的周长是多少？生：10厘米。

师：所以不符合。

第二个图形的周长是多少呢？我们用平移的方法,左边的往左移,右边的往右移……现在图形变成了什么？生：正方形。

师：不错,那这个正方形的周长是多少？生：12厘米。

师：是的,所以是符合条件的。

那么第三个呢？同学们用平移的方法看看！生：也是12厘米。

师：那么剩下的几个图形有哪几个的周长是12厘米？生：［4］、［5］、［8］师：嗯。

在做这一类题的时候,只需算出每一个图形的周长即可判断是否符合要求。

板书：［2］、［3］、［4］、［5］、［8］练习1：［5分］将一张长为5厘米,宽为3厘米的长方形纸,按如下方式进行剪切,拼成右图所示的长方形,拼成的这个长方形的周长是多少？分析：根据拼合后的长方形可知,是原来长方形纸的宽被平均分成3份,然后再用短边拼成的。

新的长方形的宽是［3÷3］厘米,长是原来长方形长的3倍。

板书：［5×3+3÷3］×2=32［厘米］答：拼成的这个长方形的周长是32厘米。

（二）例题2：［10分］用下面的3个图形,拼成右边的大正方形。

讲解重点：将几个图形拼合成一个大图形,要注意拼合前与拼合后图形的边长。

师：同学们,仔细观察图形,怎样才能用左边的三个图形拼成右边的这个大的4 ×4的正方形呢？生：……师：我们先来看大正方形的边长,它的边长是4,再来看左边有没有相同边长的图形呢？生：第三个图形有一条边是4师：是的,那么我们将第三个图形移到大正方形左下角这个位置,第一列少了一个正方形,大家看第二个图形刚好有一个正方形,我们将第二个图形顺时针旋转90度,再拼上去,刚好将第一列补全四个正方形。

四年级奥数讲座（一）目录第一讲速算与巧算（三）第二讲速算与巧算（四）第三讲定义新运算第四讲等差数列及其应用第五讲倒推法的妙用第六讲行程问题（一）第七讲几何中的计数问题（一）第八讲几何中的计数问题（二）第九讲图形的剪拼（一）第十讲图形的剪拼（二）第十一讲格点与面积第十二讲数阵图第十三讲填横式（一）第十四讲填横式（二）第一讲速算与巧算（三）例1 计算9＋99＋999＋9999＋99999解：在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.9＋99＋999＋9999＋99999＝（10－1）＋（100-1）＋（1000－1）＋（10000-1）＋（100000-1）＝10＋100＋1000＋10000＋100000-5＝111110-5＝111105.例2 计算199999＋19999＋1999＋199＋19解：此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.（如 199＋1＝200）199999＋19999＋1999＋199＋19＝（19999＋1）＋（19999＋1）＋（1999＋1）＋（199＋1）＋（19＋1）－5＝200000＋20000＋2000＋200＋20-5＝222220-5＝22225.例3计算（1＋3＋5＋...＋1989）－（2＋4＋6＋ (1988)从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是：从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990.1990×497＋995—1990×497＝995.例4 计算 389＋387＋383＋385＋384＋386＋388解法1：认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数.389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝390×7—1—3—7—5—6—4—＝2730—28＝2702.解法2：也可以选380为基准数，则有389＋387＋383＋385＋384＋386＋388＝380×7＋9＋7＋3＋5＋4＋6＋8＝2660＋42＝2702.例5 计算（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6解：认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数.（4942＋4943＋4938＋4939＋4941＋4943）÷6＝（4940×6＋2＋3—2—1＋1＋3）÷6＝（4940×6＋6）÷6（这里没有把4940×6先算出来，而是运＝4940×6÷6＋6÷6运用了除法中的巧算方法）＝4940＋1＝4941.例6 计算54＋99×99＋45解：此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可以运用乘法分配律进行简算了.54＋99×99＋45＝（54＋45）＋99×99＝99＋99×99＝99×（1＋99）＝99×100＝9900.例7 计算 9999×2222＋3333×3334解：此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律就出现了.9999×2222＋3333×3334＝3333×3×2222＋3333×3334＝3333×6666＋3333×3334＝3333×（6666＋3334）＝3333×10000＝33330000.例8 1999＋999×999解法1：1999＋999×999＝1000＋999＋999×999＝1000＋999×（1＋999）＝1000＋999×1000＝1000×（999＋1）＝1000×1000＝1000000.解法2：1999＋999×999＝1999＋999×（1000-1）＝1999＋999000-999＝（1999-999）＋999000＝1000＋999000＝1000000.有多少个零.总之，要想在计算中达到准确、简便、迅速，必须付出辛勤的劳动，要多练习，多总结，只有这样才能做到熟能生巧.习题一1.计算899998＋89998＋8998＋898＋882.计算799999＋79999＋7999＋799＋793.计算（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）4.计算1—2＋3—4＋5—6＋…＋1991—1992＋19935.时钟1点钟敲1下，2点钟敲2下，3点钟敲3下，依次类推.从1点到12点这12个小时内时钟共敲了多少下？6.求出从1～25的全体自然数之和.7.计算 1000＋999—998—997＋996＋995—994—993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—1018.计算92＋94＋89＋93＋95＋88＋94＋96＋879.计算（125×99＋125）×1610.计算3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋911.计算999999×7805312.两个10位数1111111111和9999999999的乘积中，有几个数字是奇数？习题一解答1.利用凑整法解.899998＋89998＋8998＋898＋88＝（899998＋2）＋（89998＋2）＋（8998＋2）＋（898＋2）（88＋2）－10 ＝900000＋90000＋9000＋900＋90-10＝999980.2.利用凑整法解.799999＋79999＋7999＋799＋79＝800000＋80000＋8000＋800＋80-5＝888875.3.（1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2）－（1＋3＋5＋…＋1983＋1985＋1987）＝1988＋1986＋1984＋…＋6＋4＋2-1-3-5…－1983－1985－1987＝（1988-1987）＋（1986-1985）＋…＋（6-5）＋（4-3）＋（2－1）＝994.4.1－2＋3—4＋5－6＋…＋1991-1992＋1993＝1＋（3-2）＋（5-4）＋…＋（1991-1990）＋（1993－1992）＝ 1＋1×996＝997.5.1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝13×6＝78（下）.6.1＋2＋3＋…＋24＋25＝（1＋25）＋（2＋24）＋（3＋23）＋…＋（11＋15）＋（12＋14）＋13＝26×12＋13＝325.7.解法1：1000＋999—998—997＋996＋995—994－993＋…＋108＋107—106—105＋104＋103—102—101＝（1000＋999—998—997）＋（996＋995—994－993）＋…＋（108＋107—106—105）＋（104＋103—102—101）解法 2：原式＝（1000—998）＋（999—997）＋（104—102）＋（103—101）＝2 × 450＝900.解法 3：原式＝1000＋（999—998—997＋996）＋（995—994 －993＋992）＋…＋（107—106—105＋104）＋（103—102—101＋100）－100＝1000—100＝900.9.（125×99＋125）×16＝125×（99＋1）×16＝ 125×100×8×2＝125×8×100×2＝200000.10.3×999＋3＋99×8＋8＋2×9＋2＋9＝ 3×（999＋1）＋8×（99＋1）＋2×（9＋1）＋9＝3×1000＋8×100＋2×10＋9＝3829.11.999999×78053＝（1000000—1）×78053＝78053000000—78053＝78052921947.12.1111111111×9999999999＝1111111111×（10000000000—1）＝11111111110000000000—1111111111＝11111111108888888889.这个积有10个数字是奇数.第二讲速算与巧算（四）例1 比较下面两个积的大小：A＝987654321×123456789，B＝987654322×123456788.分析经审题可知A的第一个因数的个位数字比B的第一个因数的个位数字小1，但A的第二个因数的个位数字比B的第二个因数的个位数字大1.所以不经计算，凭直接观察不容易知道A和B哪个大.但是无论是对A或是对B，直接把两个因数相乘求积又太繁，所以我们开动脑筋，将A和B先进行恒等变形，再作判断.解： A＝987654321×123456789＝987654321×（123456788＋1）＝987654321×123456788＋987654321.B＝987654322×123456788＝（987654321＋1）×123456788＝987654321×123456788＋123456788.因为 987654321＞123456788，所以 A＞B.例2 不用笔算，请你指出下面哪道题得数最大，并说明理由.241×249 242×248 243×247244×246 245×245.解：利用乘法分配律，将各式恒等变形之后，再判断.241×249＝（240＋1）×（250—1）＝240×250＋1×9；242×248＝（240＋2）×（250—2）＝240×250＋2×8；243×247＝（240＋ 3）×（250— 3）＝240×250＋3×7；244×246＝（240＋4）×（250—4）＝240×250＋4×6；245×245＝（240＋5）×（250— 5）＝240×250＋5×5.恒等变形以后的各式有相同的部分240 × 250，又有不同的部分1×9，2×8，3×7，4 ×6，5×5，由此很容易看出245×245的积最大.一般说来，将一个整数拆成两部分（或两个整数），两部分的差值越小时，这两部分的乘积越大.如：10＝1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6＝5＋5则5×5＝25积最大.例3 求 1966、 1976、 1986、 1996、 2006五个数的总和.解：五个数中，后一个数都比前一个数大10，可看出1986是这五个数的平均值，故其总和为：1986×5＝9930.例4 2、4、6、8、10、12…是连续偶数，如果五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个.解：五个连续偶数的中间一个数应为320÷5＝64，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60.总结以上两题，可以概括为巧用中数的计算方法.三个连续自然数，中间一个数为首末两数的平均值；五个连续自然数，中间的数也有类似的性质——它是五个自然数的平均值.如果用字母表示更为明显，这五个数可以记作：x－2、x—1、x、x＋1、x＋2.如此类推，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值.如：对于2n＋1个连续自然数可以表示为：x—n，x—n＋1，x－n＋2，…， x—1，x， x＋1，…x＋n—1，x＋n，其中 x是这2n＋1个自然数的平均值.巧用中数的计算方法，还可进一步推广，请看下面例题.例5 将1～1001各数按下面格式排列：一个正方形框出九个数，要使这九个数之和等于：①1986，②2529，③1989，能否办到？如果办不到，请说明理由.解：仔细观察，方框中的九个数里，最中间的一个是这九个数的平均值，即中数.又因横行相邻两数相差1，是3个连续自然数，竖列3个数中，上下两数相差7.框中的九个数之和应是9的倍数.①1986不是9的倍数，故不行；②2529÷9＝281，是9的倍数，但是281÷7＝40×7＋1，这说明281在题中数表的最左一列，显然它不能做中数，也不行；③1989÷9＝221，是9的倍数，且221÷7＝31×7＋4，这就是说221在数表中第四列，它可做中数.这样可求出所框九数之和为1989是办得到的，且最大的数是229，最小的数是213.这个例题是所谓的“月历卡”上的数字问题的推广.同学们，小小的月历卡上还有那么多有趣的问题呢！所以平时要注意观察，认真思考，积累巧算经验.习题二1.右图的30个方格中，最上面的一横行和最左面的一竖列的数已经填好，其余每个格子中的数等于同一横行最左边的数与同一竖列最上面的数之和（如方格中a＝14＋17＝31）.右图填满后，这30个数的总和是多少？2.有两个算式：①98765×98769，②98766 × 98768，请先不要计算出结果，用最简单的方法很快比较出哪个得数大，大多少？3.比较568×764和567×765哪个积大？4.在下面四个算式中，最大的得数是多少？① 1992×1999＋1999② 1993×1998＋1998③ 1994×1997＋1997④ 1995×1996＋19965.五个连续奇数的和是85，求其中最大和最小的数.6.45是从小到大五个整数之和，这些整数相邻两数之差是3，请你写出这五个数.7.把从1到100的自然数如下表那样排列.在这个数表里，把长的方面3个数，宽的方面2个数，一共6个数用长方形框围起来，这6个数的和为81，在数表的别的地方，如上面一样地框起来的6个数的和为429，问此时长方形框子里最大的数是多少？习题二解答1.先按图意将方格填好，再仔细观察，找出格中数字的规律进行巧算.解法1：先算每一横行中的偶数之和：（12＋14＋16＋18）×6＝360.再算每一竖列中的奇数之和：（11＋13＋15＋17＋19）× 5＝375最后算30个数的总和＝10＋360＋375＝745.解法2：把每格的数算出填好.先算出10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19＝145，再算其余格中的数.经观察可以列出下式：（23＋37）＋（25＋35）× 2＋（27＋33）×3＋（29＋31）× 4＝60 ×（1＋ 2＋ 3＋4）＝600最后算总和：总和＝145＋600＝745.2. ① 98765 × 98769＝ 98765 ×（98768＋ 1）＝98765 × 98768＋98765.② 98766 × 98768＝（98765＋1）× 98768＝98765 × 98768＋ 98768.所以②比①大3.3.同上题解法相同：568×764＞567×765.4.根据“若保持和不变，则两个数的差越小，积越大”，则1996×1996＝3984016是最大的得数.5.85÷5＝17为中数，则五个数是：13、15、17、19、21最大的是21，最小的数是13.6.45÷5＝9为中数，则这五个数是：3，6，9，12，15.7.观察已框出的六个数，10是上面一行的中间数，17是下面一行的中间数，10＋17＝27是上、下两行中间数之和.这个中间数之和可以用81÷3＝27求得.利用框中六个数的这种特点，求方框中的最大数.429÷3＝143（143＋7）÷2＝75 75＋1＝76最大数是76.第三讲定义新运算我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝52×3＝6都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2， 2△3；②这个运算“△”有交换律吗？③求（17△6）△2，17△（6△2）；④这个运算“△”有结合律吗？⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5 2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；②求12※（3※4），（12※3）※4；③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a ＋b）；b※a＝b×a－（b＋a）＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；3※（5※x）＝3※（4x－5）＝3（4x－5）－（3＋4x－5）＝12x－15－（4x－2）＝ 8x－ 13那么 8x－13＝3解出x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？的观察，找到规律：例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：①当m=1，n=2时：（2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：（2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3=1×4+2×3=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.如果1△2=2，则2△9=？7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：9.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+…+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？10.我们规定：符号。

第十讲图形的剪拼（必做与选做）1.用24块面积都是1平方分米的正方形木块拼成的长方形（不含正方形）中，最小的周长是（）分米。

A. 24B. 20C. 16D. 12解析：根据正方形拼组长方形的方法，把24写成几个偶数乘积的形式，即可得出答案。

24=2×2×2×3，24可以分别写成2×12，4×6，8×3，24×1四种形式，即能拼出长、宽分别为12、2；6、4；8、3或24、1四种长方形，最小周长为：（4+6）×2=10×2=20（分米）。

选B。

2.如图长方形纸片，假如按图中所示剪成四块，这四块纸片可拼接成一个正方形，那么所拼成的正方形的边长是（）厘米。

A. 12B. 13C. 14D. 15解析：先算长方形的面积，可知长方形的面积为9×（12+4）=144（平方厘米），所以拼成的正方形的面积也是144平方厘米，根据正方形的面积公式，可知边长为12厘米。

选A。

3.将6个长为2厘米、宽为1厘米的长方形拼成一个大长方形，长方形的周长最短为（）厘米。

A. 16B. 26C. 14D. 18解析：先算出6个小长方形的面积，6×2×1=12（平立厘米），12=2×2×3，12可以分别写成1×12，3×4，6×2三种形式。

即能拼出长、宽分别为12、1；4、3或6、2三种长方形，最小周长为：（3+4）×2=14（厘米）。

选C。

4.左下图是两个同样大的小方格组成的图形，我们可以用不同的方法把这两块图形拼成一个轴对称图形。

例如右下图就是这样的轴对称图形，沿虚线折叠，虚线两边的图形就完全重合了。

那么符合条件的拼法有（）种。

A. 4B. 3C. 2D. 1解析：将左图拼成轴对称图形，能拼成以下3种轴对称图形。

选B。

5.在下列图形中，图形A可以用6个如图（1）所示的图形组成，在其余图形中，图（）也可以用6个如图（1）所示的图形组成。