【2022高考必备】2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 数列大题(原卷版及解析版)

T 专题01 集合【2021 年】1．（2021 年全国高考乙卷数学（文）试题）已知全集U={1,2,3,4,5}，集合M={1,2},N={3,4}，则U(M ⋃N ) =（）A．{5} B．{1, 2} C．{3, 4} D．{1, 2,3, 4}【答案】A 由题意可得：M N ={1, 2,3, 4}，则U (M U N )={5}.故选：A.2．（2021 年全国高考乙卷数学（理）试题）已知集合S={s s=2n+1,n∈Z}，T={t t=4n+1,n∈Z}，则S （）A．∅B．S C．T D．Z【答案】C【分析】任取t ∈T ，则t = 4n +1 = 2⋅(2n)+1，其中n ∈Z ，所以，t ∈S ，故T ⊆S ，因此，S I T =T .故选：C.3．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设集合M={1,3,5,7,9},N={x2x>7}，则M I N =（）A．{7,9} B．{5, 7,9} C．{3,5, 7,9} D．{1,3,5, 7,9}【答案】B【分析】N =⎛7, +∞⎫，故M ⋂N ={5, 7,9}，2 ⎪⎝⎭故选：B.（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）设集合M ={x 0 <x < 4}, N =⎧ 1x ≤ 5⎫，则M I N =（）⎬A．⎧x 0 <x ≤1 ⎫⎭B．⎧x1≤x < 4⎫⎨3⎬⎨3⎬⎩⎭C．{x 4 ≤x < 5}⎩⎭D．{x 0 <x ≤ 5}【答案】B【分析】因为 M ={x | 0 <x < 4}, N ={x | 1≤x ≤ 5} ，所以 M ⋂N =⎧x|1≤x < 4⎫, 3⎨3⎬⎩⎭故选：B.5．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设集合A={x-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则AIB =（）A．{2} B．{2,3} C．{3, 4} D．{2,3, 4}【答案】B【分析】由题设有A ⋂B ={2,3}，故选：B .【2012 年——2020 年】1．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合A={x|x2-3x-4<0},B={-4,1,3,5}，则A IB =（）A．{-4,1} B．{1,5}C．{3,5} D．{1,3}【答案】D【分析】由x2 -3x - 4 < 0 解得-1 <x < 4 ，所以A ={x | -1 <x < 4}，又因为B ={-4,1,3,5}，所以A I B ={1,3}，故选：D.2．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】求解二次不等式x2 - 4 ≤ 0 可得：A ={x | -2 ≤x ≤ 2}，求解一次不等式2x + a ≤ 0 可得： B = ⎧x | x ≤ -a ⎫ . ⎨ 2 ⎬ ⎩⎭由于 A ⋂ B ={x | -2 ≤ x ≤1} ，故： - a= 1，解得： a = -2 . 2故选：B.3．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则 A ∩B =（ ）A ． ∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D因为 A = {x x < 3, x ∈ Z} = {-2, -1, 0,1, 2} ，B = {x x > 1, x ∈ Z} = {x x > 1或 x < -1, x ∈ Z }，所以 AI B ={2, -2}.故选：D.4．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则 = （）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A【分析】由题意可得： A ⋃ B ={-1, 0,1, 2}，则U ( A U B ) ={-2,3} .故选：A.5．（2020 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A = {1，2，3，5，7，11} ，B = {x | 3 < x < 15} ，则 A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【分析】由题意， A⋂ B = {5,7,11}，故 A IB 中元素的个数为 3.故选：B6．（2020 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））已知集合 A ={(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }，U ( A ⋃ B )⎩ B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A I B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【分析】由题意， A I B 中的元素满足⎧y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4) ，故 A I B 中元素的个数为 4.故选：C.7．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A ={2,3, 4,5}，B ={2,3, 6, 7} ，则 B I C U AA ．{1, 6}B ．{1, 7}C ．{6, 7}D ．{1, 6, 7}【答案】C【分析】由已知得C U A = {1, 6, 7}，所以 B ⋂ C U A = {6, 7}，故选 C ． 8．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知集合M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0} ，则 M ⋂ N =A ．{x -4 < x <3}B ．{x -4 < x <-2}C ．{x -2 < x < 2}D ．{x 2 < x <3}【答案】C【分析】【详解】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3} ，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．9．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知集合 A ={x | x > -1}，B ={x | x < 2}，则 A ∩B = A ．(–1，+∞) B ．(–∞，2) C ．(–1，2) D ． ∅【答案】C【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】R A =由题知，A I B = (-1, 2) ，故选C．10．（2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【分析】由题意得， A ={x x2或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．11．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2 ≤1}，则A I B =A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【分析】Q x2 ≤ 1,∴-1 ≤x ≤ 1，∴B ={x -1 ≤x ≤1}，则A I B ={-1, 0,1}，故选A．12．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知集合A={0，2}，B={-2，-1，0，1，2}，则A I B=A．{0，2} B．{1，2} C．{0} D．{-2，-1，0，1，2}【答案】A【分析】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得A B ={0, 2}，故选A.13．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））已知集合A={x x2 -x-2>0}，则A．{x -1 <x < 2} C．{x |x <-1}⋃{x x 2} B．{x -1 ≤x ≤ 2} D．{x | x ≤-1}⋃{x | x ≥ 2}【答案】B【详解】：解不等式x2 -x - 2 > 0 得x <-1或x > 2 ，所以A ={x | x <-1或x > 2}，所以可以求得C R A ={x | -1≤x ≤ 2}，故选B.14．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文数（全国卷II））已知集合A={1,3,5,7}，B={2,3,4,5}，则 A I B =A．{3} B．{5} C．{3, 5} D．{1, 2,3, 4,5,7}【答案】C【详解】详解：Q A ={1,3,5,7}, B ={2,3, 4,5},∴A⋂B ={3,5},故选C15．（2018 年全国卷Ⅲ文数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0,1,2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1, 2} D．{0,1, 2}【答案】C【分析】：由集合 A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选C.16．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））已知集合A={(x，y)x2 +y2 ≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】Q x2 +y2 ≤ 3∴x2≤3,Q x∈Z∴x=-1,0,1当x =-1时，y=-1,0,1；当x=0时，y=-1,0,1；当x = 1 时，y =-1,0,1；所以共有9 个，故选：A.17．（2018 年全国卷Ⅲ理数高考试题）已知集合A={x|x-1≥0}，B={0，1，2}，则A I B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】详解：由集合A 得x ≥1,所以A ⋂B ={1, 2}故答案选 C.（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A= {x|x<2}，B= {x|3-2x>0}，则A ．A IB = ⎧x |x < 3 ⎫B ．A I B =∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A U B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A U B=R⎨ 2 ⎬⎩⎭ 【答案】A【详解】由3 - 2x > 0 得 x < 3 ，所以 A I 2 B ={x | x < 2}I {x | x < 3} ={x | x < 3}，选 A ．2 219．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 1 卷））已知集合A ={x |x <1}，B ={x | 3x < 1}，则A. A IB ={x | x < 0}B. A U B = RC. A U B ={x | x >1}D. A I B =∅【答案】A【解析】∵集合 B ={x | 3x< 1}∴ B = {x x < 0}∵集合 A ={x | x <1}∴ A ⋂ B = {x x < 0} ， A ⋃ B ={x | x <1} 故选A20．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标 2 卷））设集合A ={1, 2,3},B ={2,3, 4}，则 A U B = A ．{1，2，3, 4} B ．{1，2，3} C ．{2，3，4} D ．{1，3，4}【答案】A【详解】由题意 A ⋃ B = {1,2,3,4}，故选 A.21．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 2 卷））设集合 A = {1, 2, 4}， B ={x x 2 - 4x + m = 0}．若 A ⋂ B = {1}，则 B =( )A ．{1, -3}B ．{1, 0}C ．{1, 3}D ．{1, 5}【答案】C【详解】∵ 集合 A = {1，2，4}， B = {x | x 2 - 4x + m = 0}， A IB = {1}∴ x = 1 是方程 x 2 - 4x + m = 0 的解，即1- 4 + m = 0 ∴ m = 3∴B = {x | x 2- 4x + m = 0} = {x | x 2- 4x + 3 = 0}= {1，3}，故选 C2 2 2 2 3, ) 22．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））已知集合 A={1,2,3,4}，B={2,4,6,8}，则 A I B 中元素的个数为 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【详解】由题意可得 A IB ={2, 4}，故 A IB 中元素的个数为 2，所以选 B. 23．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A = {(x , y ) x 2 + y 2= 1}， B = {(x , y ) y = x } ，则 A IB 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合 A 表示以(0, 0)为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合 B 表示直线 y = x 上所有的点组成的集合，又圆x 2 + y 2 = 1 与直线 y = x⎛ ⎫ ⎛ 相交于两点, ， - , - ⎫ ，则 A I B 中有 2 个元素.故选 B. 2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭24．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A = {1,3,5, 7} ， B ={x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A ⋂ B =A ．{1,3}B ．{3,5}C ．{5,7}D ．{1,7}【答案】B【解析】试题分析：集合 与集合 的公共元素有3，5，故，故选B.25．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设集合 A ={x | x 2 - 4x + 3 < 0}，B ={x | 2x -3 > 0}，则 A I B =A ． (-3, - 3) 2B ． (- 32 3． (1, )2 3 ． ( , 3)2【答案】D【详解】：集合A = {x | ( x -1)( x - 3) < 0}= {x |1 < x < 3}，集合 ，所以C DA BA ⋂B =⎧x |3<x <⎫,故选D.⎨2 3⎬⎩⎭．2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2 卷）已知集合A={1,2,3},B ={x | x2 < 9}，则A⋂B =A．{-2, -1,0,1, 2,3} B．{-2, -1,0,1, 2}C．{1,2,3} D．{1, 2}【答案】D【解析】试题分析：由x2< 9 得-3<x<3，所以B={x|-3<x<3}，因为A={1,2,3}，所以A⋂B={1,2}，故选D.27．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={1,2,3}，B ={x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈Z}，则 A⋃B =A．{1}B．{1，2} C．{0，1，2，3}D．{-1，0，1，2，3}【答案】C【详解】试题分析：集合B ={x | -1 <x < 2, x ∈Z} ={0,1}，而A ={1, 2,3}，所以A⋃B ={0,1, 2,3}，故选C.（2016 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3 卷））设集合A={0,2,4,6,8,10},B={4,8}，则=A．{4,8}B．{0，2,6}C．{0，2，6,10}D．{0，2，4，6，8,10}【答案】C【详解】试题分析：由补集的概念，得A B ={0, 2, 6,10}，故选C．29．（2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3））设集合S ={x|(x - 2)(x -3) ≥ 0},T ={x|x > 0} ，则S ⋂T=A．[2,3] B．（−∞,2] ⋃[3,+ ∞）C．[3,+ ∞）D．（0,2] ⋃[3,+ ∞）【答案】D【详解】：由(x - 2)(x -3) ≥ 0 解得x ≥ 3 或x ≤ 2 ，所以S ={x | x ≤ 2或x ≥ 3}，所以S ⋂T ={x | 0 <x ≤ 2或x ≥ 3}，故选D．30．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合A ={x | x = 3n + 2, n ∈N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A⋂B 中的元素个数为A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【详解】由已知得 A⋂B中的元素均为偶数，∴n应为取偶数，故 A⋂B ={8,14}，故选D.31．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ））已知集合A ={x | -1 <x < 2},B ={x | 0 <x < 3}, 则A U B =（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【详解】因为A ={x | -1<x < 2}, B ={x | 0 <x < 3},所以A U B={x | -1 <x < 3}. 故选A. 32．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅱ））已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B ={x | (x -1)(x +2) <0},则A I B =（）A．{-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【详解】已知得B={x|-2<x<1}，因为A=｛-2，-1,0，1,2｝，所以A⋂B={-1,0}，故选A．33．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知集合M ={x | -1<x < 3}, N ={x | -2 <x <1}，则 M ⋂N =A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据集合的运算法则可得：M ⋂N ={x | -1 <x < 1}，即选B．34．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ卷））已知集合，则A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：由已知得，A ={x | x ≤-1或x ≥ 3}，故A⋂B ={x | -2 ≤x ≤-1}，选A．35．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设集合A ={-2, 0, 2},B ={x | x2 -x - 2 = 0} ,则 A⋂B =A．∅B． C．{0}【答案】B【详解】：由已知得，B={2，-1}，故A⋂B={2}，选B．D．{-2}36．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1 卷））已知集合A=｛1，2，3，4｝，B ={x | x =n2 , n ∈A} ，则A∩B=A．｛1,4｝B．｛2，3｝C．{9，16} D．｛1,2}【答案】A【分析】依题意，，故A⋂B ={1, 4}.37．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1 卷）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|—5 ＜x＜5 }，则()．A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【答案】B【详解】依题意 A ={x | x 0或x2}，又因为B＝{x|－5 ＜x＜5 }，由数轴可知A∪B＝R，故选B.38．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=A．｛-2，-1，0,1｝B．｛-3，-2，-1，0｝C．{-2，-1，0} D．{-3，-2，-1 }【答案】C【详解】因为集合M=，所以M∩N=｛0，-1，-2｝，故选C.39．（2013 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2} C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【详解】：由（x﹣1）2＜4，解得：﹣1＜x＜3，即M={x|﹣1＜x＜3}，∵N={﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故选A40．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，则A． B．C．A=B D．A∩B=Æ【答案】B【详解】集合，又，所以B 是A 的真子集，选B.41．（2012 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）已知集合A={1,2,3,4,5}, B ={(x, y) x ∈A, y ∈A, x -y ∈A},则B 中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10【答案】D【详解】列举法得出集合B={(2,1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)，(5，3)，(5，4)}，共含10 个元素．故答案选D .。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 算法与框图（精解精析）一，选择题1．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)执行如图所示地程序框图,假如输入地ε为0.01,则输出s 地值等于( )．( )A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-【结果】D 【思路】11.0,01,0.01?2x s s x ===+=< 否1101,0.01?24s x =++=< 否611101,0.01?22128s x =++++=< 是输出76761111112121=21222212s -⎛⎫=++⋯+==-- ⎪⎝⎭-,故选D ．【点评】循环运算,何时满足精确度成为关键,在求和时地项数应准确,此为易错点．2．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)右图是求112122++地程序框图,图中空白框中应填入( )A ．12A A =+B ．12A A =+C ．112A A=+D ．112A A=+【结果】A 思路：111112221222A A A =→=→=+++,故图中空白框中应填入12A A =+．3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)为计算11111123499100S =-+-++-,设计了右侧地程序框图,则在空白框中应填入( )A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+【结果】B 思路：由11111123499100S =-+-++-,得程序框图是先把奇数项累加,再把偶数项累加,最后再相减．因此在空白框中应填入2i i =+,故选B ．4．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)右面程序框图是为了求出满足]地最小偶数,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A ．和B ．和321000nn->n 1000A >1n n =+1000A >2n n =+C ．和D ．和【结果】 D【思路】由题意,因为,且框图中在“否”时输出,所以在判定框内不能输入,故判定框内填,又要求为偶数且初始值为,所以矩形框内填,故选D ． 【考点】程序框图【点评】解决此类问题地关键是读懂程序框图,明确顺序结构，款件结构，循环结构地真正含义．本题巧妙地设置了两个空格需要填写,所以需要抓住循环地重点,偶数该怎样增量,判断框内怎样进行判断,可以依据选项排除．5．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)执行右面地程序框图,为使输出地值小于,则输入地正整数地最小值为( )A ．B ．C ．D ．【结果】 D【思路】该程序框图是直到型地循环结构,循环体完成地功能是实现地累加,地累除1000A ≤1n n =+1000A ≤2n n =+321000nn->1000A >1000A ≤n 02n n =+S 91N 5432S M进入循环休内循环次数0是1是2否为使输出地值小于,则输入地最小正整数,故选D ．【考点】程序框图【点评】利用循环结构表示算法,一定要先确定是用当型循环结构,还是用直到型循环结构．当型循环结构地特点是先判断再循环,直到型循环结构地特点是先执行一次循环体,再判断．注意输入框，处理框，判断框地功能,不可混用．赋值语句赋值号左边只能是变量,不能是表达式,右边地表达式可以是一个常量，变量或含变量地运算式．6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)执行右面地程序框图,假如输入地,则输出地( )A ．2B ．3C ．4D ．5【结果】 B【命题意图】本题考查程序框图地知识,意在考查考生对循环结构地理解与应用．【思路】解法一：常规解法∵ ,,,,,∴ 执行第一次循环：﹑﹑。

2012-2021十年全国卷高考真题分类精编 函数（精解精析）一、选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)设2ln1.01a =，ln1.02b =，．则( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 解析：, 所以;下面比较与的大小关系．记()()2ln 11f x x =+,则,()2121x f x x -='=+ 由于()()2214122x x x x x x +-+=-=-所以当0<x <2时，()21410x x+-+>,()1x >+,,所以在上单调递增， 所以,即,即;令()()ln 121g x x =+,则,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<, 所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即,即b <c ; 综上，, 故选：B ．【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的．2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数，则下列函数中为奇函数的是 ( )A ．B ．C ．D ．()11f x ++【答案】B解析：由题意可得12()111x f x x x-==-+++，对于A ，不是奇函数； 对于B ，是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，，定义域不关于原点对称，不是奇函数． 故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题．3．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，当时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】D解析：因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-， 令，由①得：，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手． 所以．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．4．(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为( )( 1.259≈)A ．1．5B ．1．2C ．0．8D ．0．6【答案】C解析：由5lg L V =+，当时，， 则10.110110100.81.259V --===≈≈． 故选：C ．5．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设2()2log x f x x =+，则为增函数，因为 所以()(2)f a f b -=2222log (2log 2)aba b +-+=，所以()(2)f a f b <，所以．2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log b b b --，当时，2()()20f a f b -=>，此时2()()f a f b >，有当时，2()()10f a f b -=-<，此时2()()f a f b <，有，所以C 、D 错误． 故选：B ．【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C )的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )AB ．C ．D ．ln y a b x =+ 【答案】D【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率和温度的回归方程类型的是ln y a b x =+． 故选：D ．【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题． 7．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若2233x y x y ---<-，则 ( )A ．B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<【答案】A解析：由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-， 令()23t t f t -=-，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数， ，，，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误； 与的大小不确定，故CD 无法确定． 故选：A ．【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想． 8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数，则f (x )( )A ．是偶函数，且在单调递增B ．是奇函数，且在单调递减C ．是偶函数，且在单调递增D ．是奇函数，且在单调递减 【答案】D 解析：由()ln 21ln 21f x x x =+--得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC ； 当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B ； 当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0．05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0．95，则至少需要志愿者 ( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B解析：由题意，第二天新增订单数为，设需要志愿者x 名， ，,故需要志愿者名． 故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题．10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则 ( )A a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b 【答案】A解析：由题意可知、、，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得． 综上所述，． 故选：A ．【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题．11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：，其中K 为最大确诊病例数．当I ()=0．95K 时，标志着已初步遏制疫情，则约为 ( )(ln19≈3)A ．60B ．63C ．66D ．69【答案】C解析：，所以，则()0.235319te *-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得． 故选：C ．【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题． 12．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】是上的偶函数，．230323log 412220--∴>=>>>，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C ．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小是解决本题的关键． 13．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数在的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)822f -⨯=≈+，排除选项A 、D ，故选B ．【点评】本题通过判断函数的奇偶性，缩小选项范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．在解决图象类问题时，我们时常关注的是对称性、奇偶性，特殊值，求导判断函数单调性，极限思想等方法。

全国卷历年高考数列真题归类分析(含答案)全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案）（10个小型和3个大型，分析型）一、等差、等比数列的基本运算（8小1大）1.（2022年第3卷第1卷）已知的算术序列？一前9项的总和是27，A10？8，那么100？（a） 100（b）99（c）98（d）97【解析】由已知,??9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,选c.A.9d？8.一2．（2021年1卷4）记sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，s6?48，则{an}的公差为a、一,【解析】：s6?b、二,c．4d、八,48a1a616a4a5a1a824，2.作差a8?a6?8?2d?d?4故而选c.，3．（2021年3卷9）等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则6.a1？a6？？一前六项之和为（）a．?24b、 ?。

？三c．3d、八,2?a2?a6，即【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则a3?a1?2d?2.a1？Da1？5d∵ A1？1.用上述公式代入D2？2d？0，以及∵ D0，然后是d？？二6?56?5d?1?62???24，故选a.∴s6?6a1?224.（2021年2卷15）等差数列?an?的前项和为sn，则a3?3，s4?10，sk？1n1k？。

a12d3a11【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以?，解得?，4?3d?14a1?d?102所以an?n,sn?nn?1?n?121??1，那么，那么??22snn?n?1??nn?1?1??1??11?1??1?2n?1?.?21?......21??nn?1n?1?n?1k?1sk??2??23?5.（2022年第17卷第2卷）Sn是一个等差序列吗？一A1呢？1，s7？28.注BN？？莱根其中呢？十、表示不超过x的最大整数，例如？0.9?? 0 lg99？？1.（I）找到B1、B11、B101；（ⅱ）求数列?bn?的前1000项和．a4？a1？1，3∴一a1？（n？1）d？n。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编 计数原理（精解精析）一，选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同地分配方案共有( )A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种【结果】C思路：依据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人,组成一个小组,有25C 种选法。

然后连同其余三人,看成四个圆素,四个项目看成四个不同地位置,四个不同地圆素在四个不同地位置地排列方式数有4！种,依据乘法原理,完成这件事,共有254!240C ⨯=种不同地分配方案,故选：C ．【点睛】本题考查排列组合地应用问题,属基础题,关键是首先确定人数地分配情况,然后利用先选后排思想求解．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)25()()x x y xy ++地展开式中x 3y 3地系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．20【结果】C【思路】5()x y +展开式地通项公式为515r rr r T C xy -+=（r N ∈且5r ≤）所以2y x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭地各项与5()x y +展开式地通项地乘积可表示为：56155r rrr rrr xT xC xy C xy --+==和22542155r r rr r r r T C x y xC y y y x x --++==在615rrr r xT C xy -+=中,令3r =,可得：33345xT C x y =,该项中33x y 地系数为10,在42152r r r r T C x x y y -++=中,令1r =,可得：521332T C y x xy =,该项中33x y 地系数为5所以33x y 地系数为10515+=故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式地通项公式,还考查了赋值法，转化能力及思路能力,属于中档题．3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)24121x x ++()()地展开式中3x 地系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．24【结果】A【思路】因为2442412112=1x x x x x +++++()()()(),所以3x 地系数为314424812C C +=+=,故选A ．【点评】本题主要考查二项式定理,利用展开式通项公式求展开式指定项地系数,是常规考法。

专题10数列考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：等差数列基本量运算2023年全国Ⅰ卷、2024年全国Ⅱ卷2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题高考对数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．等差数列、等比数列以选填题的形式为主，数列通项问题与求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查.考点2：等比数列基本量运算2023年全国Ⅱ卷、2023年天津卷2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题考点3：数列的实际应用2024年北京高考数学真题2023年北京高考数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点4：数列的最值问题2022年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考北京数学高考真题考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年北京高考数学真题考点6：等差数列与等比数列的综合应用2022年新高考浙江数学高考真题2022年新高考全国II卷数学真题2024年北京高考数学真题考点7：数列新定义问题2022年新高考北京数学高考真题2024年上海夏季高考数学真题2023年北京卷、2024年北京卷考点8：数列通项与求和问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年天津高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考天津数学高考真题考点9：数列不等式2023年天津高考数学真题2023年全国Ⅱ卷、2022年全国I卷考点1：等差数列基本量运算1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．(1)若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；(2)若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．2．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =．3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若264810,45a a a a +==，则5S =（）A ．25B ．22C ．20D ．154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列{}n a 的公差为23π，集合{}*cos N n S a n =∈，若{},S a b =，则ab =（）A ．－1B ．12-C ．0D ．125．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（）A ．2-B ．73C ．1D ．296．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知510S S =，51a =，则1a =（）A ．72B ．73C ．13-D ．711-7．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n T ．8．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若347a a +=，2535a a +=，则10S =.9．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件考点2：等比数列基本量运算10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（）A ．158B ．658C ．15D ．4012．（2023年天津高考数学真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()112,22N n n a a S n *+==+∈，则4a =（）A ．16B ．32C ．54D ．16213．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A ．14B ．12C ．6D ．314．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和．若6387S S =，则{}n a 的公比为．15．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知{}n a 为等比数列，24536a a a a a =，9108a a =-，则7a =.考点3：数列的实际应用16．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为mm ，升量器的高为mm ．17．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =；数列{}n a 所有项的和为．18．（2022年新高考全国II 卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.919．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（）A ．15b b <B ．38b b <C ．62b b <D ．47b b <考点4：数列的最值问题20．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．21．（2022年新高考北京数学高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件考点5：数列的递推问题（蛛网图问题）22．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n n S a +=-.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n S 的前n 项和.23．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线()22:0C x y m m -=>，点()15,4P 在C 上，k 为常数，01k <<．按照如下方式依次构造点()2,3,...n P n =：过1n P -作斜率为k 的直线与C 的左支交于点1n Q -，令n P 为1n Q -关于y 轴的对称点，记n P 的坐标为(),n n x y .(1)若12k =，求22,x y ；(2)证明：数列{}n n x y -是公比为11kk+-的等比数列；(3)设n S 为12n n n P P P ++ 的面积，证明：对任意正整数n ，1n n S S +=.24．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（）A ．100521002a <<B ．100510032a <<C ．100731002a <<D ．100710042a <<25．（2023年北京高考数学真题）已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+= ，则（）A ．当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立B ．当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立C ．当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立D ．当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立考点6：等差数列与等比数列的综合应用26．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．(1)若423260S a a -+=，求n S ；(2)若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．27．（2022年新高考全国II 卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．28．（2024年北京高考数学真题）设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是.考点7：数列新定义问题29．（2022年新高考北京数学高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．30．（2024年上海夏季高考数学真题）无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=-∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．31．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列．(1)写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j -可分数列；(2)当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13-可分数列；(3)从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j -可分数列的概率为m P ，证明：18m P >．32．（2023年北京高考数学真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r iB A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值；(2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=- ，求n r ；(3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >>使得t p s q A B A B +=+．33．（2024年北京高考数学真题）已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．考点8：数列通项与求和问题34．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．35．（2024年天津高考数学真题）已知数列{}n a 是公比大于0的等比数列．其前n 项和为n S ．若1231,1a S a ==-．(1)求数列{}n a 前n 项和n S ；(2)设11,2,kn n k k k n a b b k a n a -+=⎧=⎨+<<⎩，*k ∈N ．（ⅰ）当12,k k n a +≥=时，求证：1n k n b a b -≥⋅；（ⅱ）求1nS i i b =∑．36．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．37．（2022年新高考天津数学高考真题）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122331a b a b a b ==-=-=．(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()1111n n n n n n n S a b S b S b +++++=-；(3)求211(1)nk k k k k a a b +=⎡⎤--⎣⎦∑．考点9：数列不等式38．（2023年天津高考数学真题）已知{}n a 是等差数列，255316,4a a a a +=-=．(1)求{}n a 的通项公式和()1212N n n ii a n --*=∈∑．(2)设{}n b 是等比数列，且对任意的*N k ∈，当1221k k n -≤≤-时，则1k n k b a b +<<，（Ⅰ）当2k ≥时，求证：2121kk k b -<<+；（Ⅱ）求{}n b 的通项公式及前n 项和．39．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n na nb a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．40．（2022年新高考全国I 卷数学真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．。

2022届全国高考数学真题分类（数列）汇编一、选择题1.（2022∙全国乙（文）T10）已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ）A. 14B. 12C. 6D. 32.（2022∙全国乙（理）T8） 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ）A. 14B. 12C. 6D. 33.（2022∙全国乙（理）T4） 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b α=+，212111b αα=++，31231111b ααα=+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k α*∈=N ．则（ ）A 15b b <B. 38b b <C. 62b b <D. 47b b <4.（2022∙新高考Ⅱ卷T3） 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举， 1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）的.A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.95.（2022∙浙江卷T10） 已知数列{}n a 满足()21111,3n n n a a a a n *+==-∈N ，则（ ） A. 100521002a <<B.100510032a << C. 100731002a <<D.100710042a << 二、填空题1.（2022∙全国乙（文）T13）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．2.（2022∙北京卷T15） 己知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅== ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列； ③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项． 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题1.（2022∙全国甲（文T18）(理T17）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2.（2022∙新高考Ⅰ卷T17） 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：121112na a a +++< ． 3.（2022∙新高考Ⅱ卷T17）已知{}n a 为等差数列，{}nb 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数． 4.（2022∙北京卷T21） 已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n+++++++= ，则称Q 为m -连续可表数列．（1）判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由； （2）若12:,,,k Q a a a 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；（3）若12:,,,k Q a a a 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥． 5.（2022∙浙江卷T20） 已知等差数列{}n a 的首项11a =-，公差1d >．记{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N．（1）若423260S a a -+=，求n S ；（2）若对于每个n *∈N ，存在实数n c ，使12,4,15n n n n n n a c a c a c +++++成等比数列，求d 的取值范围．参考答案一、选择题 1.【答案】D 【答案解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【过程详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾， 所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D .2.【答案】D 【答案解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【过程详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠， 若1q =，则250a a -=，与题意矛盾， 所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以5613a a q ==. 故选：D . 3. 【答案】D 【答案解析】 【分析】根据()*1,2,k k α∈=N …，再利用数列{}n b 与k α的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【过程详解】解：因为()*1,2,k k α∈=N ，所以1121ααα<+，112111ααα>+，得到12b b >，同理11223111ααααα+>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11αααα>++112233411111ααααααα++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111αααα>++…，得26b b<，故C 错误；11237264111111αααααααα>++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.4. 【答案】D 【答案解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【过程详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++， 所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D 5. 【答案】B 【答案解析】【分析】先通过递推关系式确定{}n a 除去1a ，其他项都在()0,1范围内，再利用递推公式变形得到1111133n n n a a a +-=>-，累加可求出11(2)3n n a >+，得出1001003a <，再利用11111111333132n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+ ⎪-+⎝⎭-+，累加可求出()111111113323n n a n ⎛⎫-<-++++ ⎪⎝⎭ ，再次放缩可得出10051002a >． 【过程详解】∵11a =，易得()220,13a =∈，依次类推可得()0,1n a ∈ 由题意，1113n n n a a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即()1131133n n n n na a a a a +==+--， ∴1111133n n n a a a +-=>-， 即211113a a ->，321113a a ->，431113a a ->，…，1111,(2)3n n n a a -->≥， 累加可得()11113n n a ->-，即11(2),(2)3n n n a >+≥， ∴()3,22n a n n <≥+，即100134a <，100100100334a <<, 又11111111,(2)333132n n n n a a a n n +⎛⎫-=<=+≥ ⎪-+⎝⎭-+， ∴211111132a a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，321111133a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，431111134a a ⎛⎫-<+ ⎪⎝⎭，…，111111,(3)3n n n a a n -⎛⎫-<+≥ ⎪⎝⎭， 累加可得()11111111,(3)3323n n n a n ⎛⎫-<-++++≥ ⎪⎝⎭ ， ∴10011111111133334943932399326a ⎛⎫⎛⎫-<++++<+⨯+⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100140a <，∴100140a >，即10051002a >； 综上：100510032a <<． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用递推关系进行合理变形放缩.二、填空题 1. 【答案】2 【答案解析】【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【过程详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++，即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2. 2. 【答案】①③④ 【答案解析】 【分析】推导出199n n n a a a -=-，求出1a 、2a 的值，可判断①；利用反证法可判断②④；利用数列单调性的定义可判断③.【过程详解】由题意可知，N n *∀∈，0n a >，当1n =时，219a =，可得13a =；当2n ≥时，由9n n S a =可得119n n S a --=，两式作差可得199n n n a a a -=-，所以，199n n n a a a -=-，则2293a a -=，整理可得222390a a +-=， 因为20a >，解得2332a -=<，①对； 假设数列{}n a 为等比数列，设其公比为q ，则2213a a a =，即2213981S S S ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，2213S S S =，可得()()22221111a q a q q+=++，解得0q =，不合乎题意，故数列{}n a 不等比数列，②错；是当2n ≥时，()1119990n n n n n n n a a a a a a a ----=-=>，可得1n n a a -<，所以，数列{}n a 为递减数列，③对；假设对任意N n *∈，1100n a ≥，则10000011000001000100S ≥⨯=， 所以，1000001000009911000100a S =≤<，与假设矛盾，假设不成立，④对. 故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：本题在推断②④的正误时，利用正面推理较为复杂时，可采用反证法来进行推导.三、解答题 1. 【答案】（1）证明见答案解析； （2）78-． 【答案解析】【分析】（1）依题意可得222n n S n na n +=+，根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差即可得到11n n a a --=，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出1a ，即可得到{}n a 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得． 【小问1过程详解】 解：因为221nn S n a n+=+，即222n n S n na n +=+①， 当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----， 即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈， 所以{}n a 是以1为公差的等差数列． 【小问2过程详解】解：由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+， 又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，的即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-， 所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭， 所以，当12n =或13n =时()min 78n S =-． 2. 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见答案解析 【答案解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭，进而证得. 【小问1过程详解】 ∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+, 即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯ ()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--， 显然对于1n =也成立， ∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；【小问2过程详解】()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3. 【答案】（1）证明见答案解析； （2）9． 【答案解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出； （2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出． 【小问1过程详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证． 【小问2过程详解】 由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．4. 【答案】（1）是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列． （2）证明见答案解析． （3）证明见答案解析． 【答案解析】【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【小问1过程详解】21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表数列；易知，不存在,i j 使得16i i i j a a a +++++= ，所以Q 不是6-连续可表数列．【小问2过程详解】若3k ≤,设为:Q ,,a b c ,则至多,,,,,a b b c a b c a b c ++++，6个数字，没有8个，矛盾； 当4k =时,数列:1,4,1,2Q ，满足11a =，42a =，343a a +=，24a =，125a a +=，1236a a a ++=，2347a a a ++=，12348a a a a +++=， min 4k ∴=．【小问3过程详解】12:,,,k Q a a a ，若i j =最多有k 种，若i j ≠，最多有2C k 种，所以最多有()21C 2k k k k ++=种， 若5k ≤，则12,,,k a a a …至多可表()551152+=个数，矛盾, 从而若7k <,则6k =，,,,,,a b c d e f 至多可表6(61)212+=个数， 而20a b c d e f +++++<，所以其中有负的，从而,,,,,a b c d e f 可表1~20及那个负数（恰 21个），这表明~a f 中仅一个负的，没有0，且这个负的在~a f 中绝对值最小，同时~a f中没有两数相同,设那个负数为(1)m m -≥ ，则所有数之和125415m m m m m ≥++++++-=+ ，415191m m +≤⇒=，{,,,,,}{1,2,3,4,5,6}a b c d e f ∴=-，再考虑排序，排序中不能有和相同，否则不足20个，112=-+ （仅一种方式）， 1∴-与2相邻，若1-不在两端,则",1,2,__,__,__"x -形式，若6x =，则56(1)=+-（有2种结果相同，方式矛盾）， 6x ∴≠， 同理5,4,3x ≠ ，故1-在一端，不妨为"1,2,,,"A B C D -形式，若3A =,则523=+ （有2种结果相同，矛盾），4A =同理不行，5A =，则6125=-++ （有2种结果相同，矛盾），从而6A =，由于7126=-++,由表法唯一知3,4不相邻,、故只能1,2,6,3,5,4-，①或1,2,6,4,5,3-，②这2种情形，对①：96354=+=+，矛盾，对②：82653=+=+，也矛盾，综上6k ≠7k ∴≥．【点睛】关键点睛，先理解题意，是否为m -可表数列核心就是是否存在连续的几项（可以是一项）之和能表示从1到m 中间的任意一个值．本题第二问3k ≤时，通过和值可能个数否定3k ≤；第三问先通过和值的可能个数否定5k ≤，再验证6k =时，数列中的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．5. 【答案】（1）235(N )2n n n S n *-=∈ （2）12d <≤【答案解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n 项和公式化简条件，求出d ，再求n S ；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求d 的范围.【小问1过程详解】因为42312601S a a a -+==-，，所以()()46211260d d d -+--+-++=，所以230d d -=，又1d >，所以3d =，所以34n a n =-，所以()213522n n a a n n n S +-==， 【小问2过程详解】因为n n a c +，14n n a c ++，215n n a c ++成等比数列，所以()()()212415n n n n n n a c a c a c +++=++， ()()()2141115n n n nd c nd d c nd d c -+=-+-+-+++， 22(1488)0n n c d nd c d +-++=， 由已知方程22(1488)0n n c d nd c d +-++=的判别式大于等于0，所以()22148840d nd d ∆=-+-≥，所以()()168812880d nd d nd -+-+≥对于任意的n *∈N 恒成立，所以()()212320n d n d ----≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦对于任意的n *∈N 恒成立，当1n =时，()()()()21232120n d n d d d ----=++≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 当2n =时，由()()2214320d d d d ----≥，可得2≤d 当3n ≥时，()()21232(3)(25)0n d n d n n ---->--≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 又1d >所以12d <≤。

专题07 数列及其应用【2021年】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】A【分析】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∵2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∵24S =，42642S S -=-= ∵641S S -=， ∵641167S S =+=+=. 故选：A.二、解答题2．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <． 【答案】（1）11()3n n a -=，3n n n b =；（2）证明见解析.【分析】因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.（2）证明：由（1）可得11(1)313(1)12313nn n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++，∵231112133333n n n n nT +-=++++，∵ ∵-∵得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(1)4323n n n n T =--⋅， 所以2n n S T -=3131(1)(1)043234323n n n n n n----=-<⋅⋅， 所以2n n ST <.3．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列; （2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩. 【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠, 取1n =,由11S b =得132b =, 由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---， 所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈ 所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列; （2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+, 22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==, 当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立, ∵()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列. 【答案】证明见解析. 【分析】∵数列是等差数列，设公差为d(n =-=，()n *∈N∵12n S a n =，()n *∈N∵当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-， ∵{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∵()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦ ∵{}n a 是等差数列.5．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面∵∵∵中选取两个作为条件，证明另外一个成立．∵数列{}n a 是等差数列：∵数列是等差数列；∵213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【分析】选∵∵作条件证明∵：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+， 当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n aa n =-，所以213a a =.选∵∵作条件证明∵：因为213a a =，{}n a 是等差数列， 所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+==，)1n +=所以是等差数列.选∵∵作条件证明∵：(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b -=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-； 当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列； 当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.6．（2021年全国新高考∵卷数学试题）已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数 （1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式； （2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5b b ==；（2）300.【分析】（1）由题设可得121243212,1215b a a b a a a ==+===+=++=又22211k k a a ++=+，2122k k a a +=+，*()k N ∈故2223k k a a +=+，即13n n b b +=+，即13n n b b +-= 所以{}n b 为等差数列，故()21331n b n n =+-⨯=-. （2）设{}n a 的前20项和为20S ，则2012320S a a a a =++++，因为123419201,1,,1a a a a a a =-=-=-，所以()20241820210S a a a a =++++-()1291091021021023103002b b b b ⨯⎛⎫=++++-=⨯⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.【2012年——2020年】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A ．12 B ．24C ．30D ．32【答案】D【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.2．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．15【答案】C【分析】根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4k j j i -=-=．∵1,5,8i j k ===；2,6,9i j k ===；3,7,10i j k ===；4,8,11i j k ===；5,9,12i j k ===． 原位小三和弦满足：4,3k j j i -=-=．∵1,4,8i j k ===；2,5,9i j k ===；3,6,10i j k ===；4,7,11i j k ===；5,8,12i j k ===． 故个数之和为10． 故选：C ．3．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【分析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B.4．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【分析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C5．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C【分析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=， 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++⋅-⋅-∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =.故选：C.6．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【分析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∵25n a n =-，故选A ． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【分析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．8．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10-C ．10D ．12【答案】B【详解】：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222d d d ⨯⨯⨯+⋅=⨯++⨯+⋅， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.9．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 10．（）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24- B ．3-C ．3D ．8【答案】A【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A11．（2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 A ．18个 B ．16个 C ．14个 D ．12个【答案】C 【详解】试题分析：由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：,01010011;010101011,共14个12．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a = A ．172B ．192C ．10D ．12【答案】B【详解】：由844S S =得()11828446a d a d +=+，解得1101119,922a a a ==+=.13．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标∵））设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】A 【详解】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A.14．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标∵））已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A ．2B ．1C ．12D ．18【答案】C【详解】：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.15．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标∵））已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】B 【详解】由a 1+a 3+a 5=21得242421(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2135()22142q a a a ++=⨯=，选B.16．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））设首项为1，公比为23的等比数列{}n a的前n 项和为n S ，则 A ．21n n S a =- B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-【答案】D 【详解】S n ＝()111na q q--＝11n a q a q -⋅-＝21313na -＝3－2a n .17．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】{}n a 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=， ∵公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．18．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））设∵A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，∵A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则 A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列【答案】B【详解】1112b a c =-且11b c >，1112a c c ∴->，11a c ∴>， 111111120b a a c a a c ∴-=--=->，111b a c ∴>>，又111b c a -<，11112a c c a ∴--<，112c a ∴>，∴112a c >， 由题意，112n n n n nbc b c a ++++=+，1112(2)2n n n n n n b c a b c a ++∴+-=+-， 1112b c a +=，11120b c a ∴+-=，20n n n b c a ∴+-=，122n n n b c a a ∴+==，12nn b c a +∴=，由此可知顶点n A 在以n B 、n c 为焦点的椭圆上， 又由题意，112n n n n c b b c ++--=，∴111112(2)2n n n n n a b bb a b a b ++----==-， 1111()2n n b a a b +∴-=-，111()2n n b a -∴-=-，∴11111()()2n n b a b a -=+--，1111112()()2n n n c a b a b a -=-=---， ∴21111111111111333311()[()()][()()]222222n n n a a a a S a a b a a b a --=------+-- 2212111131[()()]424n a a b a -=--单调递增（可证当1n =时22111()0)4a b a --> 故选：B ．19．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2））等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1= A ． B ．- C ． D ．-【答案】C 【详解】由S 3 = a 2 +10a 1得，1a +a 2 +a 3= a 2 +10a 1，即a 3= 9a 1，即21a q = 9a 1，解得2q = 9，又因为a 5 = 9，所以41a q =9，解得119a =，故选C. 20．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学））数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，则{a n }的前60项和为（ ） A ．3690 B ．3660C ．1845D ．1830【答案】D 【详解】由于数列{a n }满足a n+1+（﹣1）n a n =2n ﹣1，故有 a 2﹣a 1=1，a 3+a 2=3，a 4﹣a 3=5， a 5+a 4=7，a 6﹣a 5=9，a 7+a 6=11，…a 50﹣a 49=97．从而可得 a 3+a 1=2，a 4+a 2=8，a 7+a 5=2，a 8+a 6=24，a 9+a 11=2，a 12+a 10=40，a 13+a 15=2，a 16+a 14=56，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列． {a n }的前60项和为 15×2+（15×8+）=1830，故选D ．21．（2012年全国普通高等学校招生统一考试）已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7 B ．5C ．5-D ．7-【答案】D【分析】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D.二、填空题22．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________. 【答案】7【分析】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=.故答案为：7.23．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【分析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =.故答案为：25.24．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 【答案】58. 【分析】：设等比数列的公比为q ，由已知223111314S a a q a q q q =++=++=，即2104q q ++= 解得12q =-， 所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---．25．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】1213. 【分析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 26．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【分析】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 27．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 【答案】4.【分析】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 28．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．【答案】63-【分析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.29．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑____________． 【答案】21n n + 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑．30．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷））设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】-8【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由②①可得：2q =-，代入∵可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.31．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为___________． 【答案】64【详解】：设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.32．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标∵））数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n =_______. 【答案】6【解析】：由题意得，因为12n n a a +=，即12n na a +=，所以数列{}n a 构成首项12a =，公比为2的等比数列，则2(12)12612n n S -==-，解得6n =．33．（2015年全国普通高等学校招生统一考试）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________． 【答案】1n-【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111nn n S =-+--=- ，即1n S n=- .34．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国∵卷））数列满足，则________．【答案】12． 【详解】：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，．35．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1））若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式是a n =______.【答案】1(2)n n a -=-；【详解】：解：当n=1时，a 1=S 1=23a 1+13，解得a 1=1,当n≥2时，a n =S n -S n -1=（2133n a +）-（12133n a -+）=23n a -123n a -整理可得13a n ＝−23a n−1，即1n n a a -=-2，故数列{a n }是以1为首项，-2为公比的等比数列，故a n =1×（-2）n -1=（-2）n -1故答案为（-2）n -1．36．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷））等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________． 【答案】－49【详解】由条件得1323a d =-⎧⎪⎨⎪⎩＝nS n ＝321033n n -，对f (x )＝321033x x -求导可得f (x )在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在20,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，分别计算n ＝6和n ＝7可得，当n ＝7时nS n ＝321033n n -最小为－49.37．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（课标卷））等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q=_______ 【答案】【详解】 显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得.38．（2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为____ 【答案】1830 【解析】：()()11121211n nn n n n a a n a n a +++--∴---＝，＝，令1414243444143434242412n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a a a +++++++++++=++++=+--=，（）（），424444434342168n n n n n n a a a a a a n +++++++=-++=+（）（），则14142434443424141616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+，即数列{}n b 是以16为公差的等差数列，{}n a 的前60项和为即为数列{b n }的前15项和1123415141010151618302b a a a a S ⨯=+++=∴⨯+⨯=＝三、解答题39．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9nn n S -+-=. 【分析】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-=，1,2q q ≠∴=-；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++-，∵23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+-，∵∵-∵得，2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--， 1(13)(2)9nn n S -+-∴=. 40．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））设等比数列{a n }满足124a a +=，318a a -=． （1）求{a n }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3a n }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ． 【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =. 【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩， 所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-， 所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=， 整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，41．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【分析】（1）由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+， 证明如下：当1n =时，13a =成立； 假设n k =时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立. 则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立； （2）由（1）可知，2(21)2nnn a n ⋅=+⋅231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∵ 23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅，∵由∵-∵得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.42．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n N *≤≤∈.【分析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈43．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标∵））已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）212n na -=；（2）2n S n =.【分析】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a ，12a =， 所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q ，212a a qq ，所以22416qq ，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n ，12n nb b ，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，21212n nS n n ．44．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标∵））已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+ ，1434n n n b b a +-=-. （1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122nna n，1122nnb n．【分析】(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b ，111a b -=，所以1144323442nn n n n n n n a b a b b a a b ，即1112n n n n a b a b ，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，112n n n a b ， 因为11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ，所以112nn n n a b a b ，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n na b n ．(2)由(1)可知，112n n n a b ，21n na b n ，所以111222nnn n n na ab a b n，111222nn n n n nb a b a b n．45．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷））已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=． （1）求123b b b ，，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅. 【分析】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =． 将2n =代入得，323a a =，所以，312a =． 从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =， 所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列； （3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅． 46．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【详解】：（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．47．（2018年全国卷∵文数高考试题）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -= .（2）6m =.【详解】：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =． 故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nnS --=．由63m S =得()2188m-=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．48．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列． 【答案】（1）(2)n n a =-；（2）见解析.【详解】：（1）设{}n a 的公比为q .由题设可得()()1211216a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩ ，解得2q =-，12a =-. 故{}n a 的通项公式为()2nn a =-. （2）由（1）可得()()111221133nn nn a q S q+-==-+--. 由于()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.49．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11a =，11b =，224a b +=. （1）若337a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若313T =，求5S .【答案】（1）12n n b -=；（2）5或75.【分析】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为()0q q ≠有()14d q ++=，即3d q +=. （1）∵()2127d q ++=，结合3d q +=得2q =，∵12n n b -=.（2）∵23113T q q =++=，解得4q =-或3，当4q =-时，7d =，此时55457752S ⨯=+⨯=； 当3q =时，0d =，此时5155S a ==.50．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式 （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【分析】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∵()212n n a -= ∵221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立 ∵221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∵数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和 1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++ 51．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国1））已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，．（∵）求{}n a 的通项公式； （∵）求{}n b 的前n 项和． 【答案】(∵)3n-1;(∵)见解析.【详解】：（∵）由已知，1221121,1,,3a b b b b b +===得12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为31n a n =-.（∵）由（∵）和11n n n n a b b nb +++= 得13n n b b +=，因此{}n b 是首项为1，公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ，则111()313.122313nn n S --==-⨯-52．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=. （∵）求{n a }的通项公式；（∵） 设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2. 【答案】（∵）235n n a +=；（∵）24. 【解析】：（∵）设数列{}n a 的公差为d ，由题意有112+54,+53a d a d ==. 解得121,5a d ==. 所以{}n a 的通项公式为235n n a +=. （∵）由（∵）知235n n b +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤<=； 当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，2345,45n n b +≤<=. 所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.53．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.（∵）求111101,,b b b ；（∵）求数列{}n b 的前1000项和.【答案】（∵）1111010,1, 2.b b b ===（∵）1893.【详解】：（∵）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（∵）因为0,110,1,10100,{2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<≤<=≤<=所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=54．（2016年全国普通高等学校招生统一考试数学）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（∵）求23,a a ； （∵）求{}n a 的通项公式. 【答案】（∵）；（∵）．【详解】：（∵）由题意，得.（∵）由得.因为的各项都为正数，所以.故是首项为，公比为的等比数列，因此.55．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学）已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+，其中0λ≠．（∵）证明{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （∵）若53132S =，求λ． 【答案】（∵）；（∵）1λ=-．【详解】：（∵）由题意得，故，，. 由，得，即.由，得，所以.因此{}n a 是首项为，公比为的等比数列，于是.（∵）由（∵）得.由得，即.解得1λ=-.56．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标∵）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +.（∵）求{n a }的通项公式； （∵）设11n n n b a a +=,求数列{n b }的前n 项和. 【答案】（∵）21n （∵）11646n -+ 【分析】：（I ）由a n 2+2a n ＝4S n +3，可知a n +12+2a n +1＝4S n +1+3 两式相减得a n +12﹣a n 2+2（a n +1﹣a n ）＝4a n +1， 即2（a n +1+a n ）＝a n +12﹣a n 2＝（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ）， ∵a n ＞0，∵a n +1﹣a n ＝2， ∵a 12+2a 1＝4a 1+3， ∵a 1＝﹣1（舍）或a 1＝3，则{a n }是首项为3，公差d ＝2的等差数列， ∵{a n }的通项公式a n ＝3+2（n ﹣1）＝2n +1：（∵）∵a n ＝2n +1，∵b n ()()111121232n n a a n n +===++（112123n n -++）， ∵数列{b n }的前n 项和T n 12=（11111135572123n n -+-++-++）12=（11323n -+）11646n =-+. 57．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标∵））已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程的根.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422n n n S ++=-. 【分析】方程x 2－5x ＋6＝0的两根为2，3.由题意得a 2＝2，a 4＝3.设数列{a n }的公差为d ，则a 4－a 2＝2d ，故d ＝12，从而得a 1＝32. 所以{a n }的通项公式为a n ＝12n ＋1. （2）设2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为S n ， 由（1）知2n n a ＝122n n ++， 则S n ＝232＋342＋…＋12n n +＋122n n ++， 12S n ＝332＋442＋…＋112n n ++＋222n n ++， 两式相减得12S n ＝34＋311122n +⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭－222n n ++ ＝34＋111142n -⎛⎫- ⎪⎝⎭－222n n ++， 所以S n ＝2－142n n ++.58．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标∵））已知数列{}n a 的前n 项和为11,1,0,1n n n n n S a a a a S λ+=≠=-，其中λ为常数．（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）4λ=.【详解】：（I ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-．两式相减得，121()n n n n a a a a λ+++-=． 由于10n a +≠，所以2n n a a λ+-=．（II ）由题设，11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（I ）知，31a λ=+．令2132a a a =+，解得4λ=． 故24n n a a +-=，由此可得，{}21n a -是首项为1，公差为4的等差数列，211(1)443n a n n -=+-⋅=-； {}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，23(1)441n a n n =+-⋅=-．所以21n a n =-，12n n a a +-=．因此存在4λ=，使得{}n a 为等差数列．59．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国∵卷））已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(1)证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)证明： 121113 (2)n a a a +++<. 【答案】（1）证明见解析，113322n n a -+=；（2）证明见解析. 【详解】：（1）证明：由131n n a a +=+得1113()22n n a a ++=+，所以112312n n a a ++=+，所以12n a ⎧+⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，首项为11322a +=，公比为3，所以12n a +=1332n -⋅，解得n a =312n -.（2）由（1）知：n a =312n -，所以1231n na =-， 因为当1n ≥时，13123n n --≥⋅，所以1113123n n -≤-⋅，于是11a +21a +1n a 111133n -≤+++=31(1)23n -32<， 所以11a +21a +1n a 32<.60．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和． 【答案】(1)2n a n =-；（2）12n n-. 【分析】：（1）由等差数列的性质可得1133054552a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩， 即11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得a 1＝1，d ＝﹣1， 则{a n }的通项公式a n ＝1﹣（n ﹣1）＝2﹣n ； （2）()()()()21211111321221232n n a a n n n n -+===⨯----（()()()21232123n n n n -----）12=（112321n n ---）， 则数列{21211n n a a -+⨯}的前n 项和S n 12=（11111132321n n --+-++---） 12=（﹣1121n --）12n n=-． 61．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷））已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1=25，且1a ，11a ，13a 成等比数列.（∵）求{}n a 的通项公式； （∵）求1a +a 4+a 7+…+a 3n -2.【答案】（∵）227n a n =-+；（∵）2328n n -+.【详解】(1)设{a n }的公差为d.由题意， a 112＝a 1a 13， 即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. 由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31， 故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝2n (a 1＋a 3n －2)＝2n (－6n ＋56)＝－3n 2＋28n.。

2012-2021十年全国卷高考真题分类精编 函数（原卷版）一，选择题1．(2021年高考全国乙卷理科)设2ln1.01a =,ln1.02b =,1c =-．则( )A ．a b c <<B ．b c a<<C ．b a c<<D ．c a b<<2．(2021年高考全国乙卷理科)设函数1()1xf x x-=+,则下面函数中为奇函数地是( )A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++3．(2021年高考全国甲卷理科)设函数()f x 地定义域为R ,()1f x +为奇函数,()2f x +为偶函数,当[]1,2x ∈时,2()f x ax b =+．若()()036f f +=,则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )A ．94-B ．32-C ．74D ．524．(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注地问题,视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法地数据L 和小数记录表地数据V 地满足5lg L V =+．已知某同学视力地五分记录法地数据为4．9,则其视力地小数记录法地数据为( )( 1.259≈)A ．1．5B ．1．2C ．0．8D ．0．65．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若242log 42log aba b +=+,则( )A ．2a b>B ．2a b<C ．2a b >D ．2a b <6．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子地发芽率y 和温度x (单位：°C )地关系,在20个不同地温度款件下进行种子发芽实验,由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面地散点图：由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 地回归方程类型地是( )A y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+7．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若2233x y x y ---<-,则( )A ．ln(1)0y x -+>B ．ln(1)0y x -+<C ．ln ||0x y ->D ．ln ||0x y -<8．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--,则f (x )( )A ．是偶函数,且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数,且在11(,22-单调递减C ．是偶函数,且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数,且在1(,2-∞-单调递减9．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单地配货,由于订单量大幅增加,导致订单积压．为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天地新订单超过1600份地概率为0．05,志愿者每人每天能完成50份订单地配货,为使第二天完成积压订单及当日订单地配货地概率不小于0．95,则至少需要志愿者( )A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名10．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84,134<85．设a =log 53,b =log 85,c =log 138,则( )A a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领城．有学者依据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 地单位：天)地Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+,其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0．95K 时,标志着已初步遏制疫情,则*t 约为( )(ln19≈3)A ．60B ．63C ．66D ．6912．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)设()f x 是定义域为R 地偶函数,且在()0,∞+单调递减,则( )A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)函数3222x xx y -=+在[]6,6-地图像大约为( )..A ．B ．C ．D ．14．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数()f x 地定义域为R ,满足(1)2()f x f x +=,且当(]0,1x ∈时,()(1)f x x x =-．若对任意(],x m ∈-∞,都有8()9f x -≥,则m 地取值范围是( )A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦15．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业得到又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决地一个关键技术问题是地面与探测器地通讯联系．为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点地轨道运行．2L 点是平衡点,位于地月连线地延长线上．设地球质量为1M ,月球质量为2M ,地月距离为R ,2L 点到月球地距离为r ,依据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程：()()121223M M M R r r R R r +=++．设r R α=．由于α地值很小,因此在近似计算中()345323331ααααα++≈+,则r 地近似值为( )ABCD16．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)函数2sin ()cos x xf x x x +=+在[,]ππ-地图象大约为( )17．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)函数422y x x =-++地图象大约为( )18．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞地奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =,则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L ( )A ．50-B ．0C ．2D ．5019．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)函数()2x xe ef x x --=地图象大约为( )20．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数()(),0()ln ,0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,()()+g x f x x a =+．若()g x 存在2个零点,则a 地取值范围是( )A ．[)1,0-B ．[)0,+∞C ．[)1,-+∞D ．[)1,+∞21．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设为正数,且,则( )A ．B ．C ．D ．22．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)函数在单调递减,且为奇函数．若,则满足地地取值范围是( )A ．B ．C ．D ．23．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知函数有唯一零点,则( )A ．B ．C ．D ．24．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)某城市为了解游客人数地变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)地数据,绘制了下面地折线图．依据该折线图,下面结论错误地是( )A ．月接待游客量逐月增加B ．年接待游客量逐年增加C ．各年地月接待游客量高峰期大约在7,8月D ．各年1月至6月地月接待游客量相对7月至12月,波动性更小,变化比较平稳25．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知432a =,254b =,1325c =,则( )A ．b a c <<B ．a b c<<C ．b c a<<D ．c a b<<26．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)某旅游城市为向游客介绍本地地气温情况,绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温地雷达图.图中A 点表示十月地平均最高气温约为15︒C ．B 点表示四月地平均最低气温约为5︒C ．下面叙述错误地是( )A ．各月地平均最低气温都在0︒C 以上B ．七月地平均温差比一月地平均温差大C ．三月和十一月地平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20︒C 地月份有5个,,x y z 235x y z ==235x y z<<523z x y <<352y z x <<325y x z<<()f x (,)-∞+∞(11)f =-21()1x f --≤≤x [2,2]-[1,1]-[0,4][1,3]211()2()x x f x x x a ee --+=-++a =12-1312127．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-,若函数1x y x+=与()y f x =图像地交点为1122(,),(,),,(,)m m x y x y x y ⋅⋅⋅,则1()mi i i x y =+=∑( )A ．0B ．mC ．2mD ．4m28．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若101a b c >><<，,则( )(A )c c a b <(B )c c ab ba <(C )log log b a a c b c <(D )log log a b c c<29．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)函数22xy x e =-在[–2,2]地图像大约为( )30．(2015高考数学新课标2理科)如图,长方形ABCD 地边2AB =,1BC =,O 是AB 地中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=．将动P 到A ，B 两点距离之和表示为x 地函数()f x ,则()y f x =地图像大约为( )( )31．(2015高考数学新课标2理科)设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( )A ．3B ．6C ．9D ．1232．(2014高考数学课标1理科)如图,圆O 地半径为1,A 是圆上地定点,P 是圆上地动点,角地始边为射线,终边为射线,过点作直线地垂线,垂足为,将点到直线地距离表示为地函数,则=在[0,]上地图像大约为( )AB( )CD33．(2014高考数学课标1理科)设函数,地定义域都为R ,且是奇函数,是偶函数,则下面结论正确地是( )A ．是偶函数B ．||是奇函数C ．||是奇函数D ．||是奇函数34．(2013高考数学新课标2理科)设357l og 6,l og 10,l og 14,a b c ===则( )x OA OP P OA M M OP x ()f x y ()f x πx0PM A()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g x ()f x ()g xA ．c b a >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>35．(2012高考数学新课标理科)设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为( )A ．1ln 2-Bln 2)-C ．1ln 2+Dln 2)+36．(2012高考数学新课标理科)已知函数1()ln(1)f x x x=+-,则()y f x =地图象大约为( )二，填空题37．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知()f x 是奇函数,且当0x <时,()axf x e =-．若(ln 2)8f =,则a = ．38．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数,则满足地地取值范围是 ．39．(2015高考数学新课标1理科)若函数()ln(f x x x =+,则a =40．(2014高考数学课标2理科)已知偶函数f x ()在[0,)+∞单调递减,f (2)0=．若f (x 1)0->,则x地取值范围是__________．41．(2013高考数学新课标1理科)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++地图像有关直线x =－2对称,则()f x 地最大值是______．10()2 0xx x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，1()12f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭x。

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编（理科）不等式选讲（精解精析）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知函数()3f x x a x =-++．(1)当1a =时,求不等式()6f x ≥地解集;(2)若()f x a >-,求a 地取值范围．【结果】（1）(][),42,-∞-+∞ ．（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．思路：（1）当1a =时,()13f x x x =-++,13x x -++表示数轴上地点到1和3-地距离之和,则()6f x ≥表示数轴上地点到1和3-地距离之和不小于6,故4x ≤-或2x ≥,所以()6f x ≥地解集为(][),42,-∞-+∞ ．（2）依题意()f x a >-,即3a x a x -+>-+恒成立,333x a x x a a x -++-+=≥++,故3a a +>-,所以3a a +>-或3a a +<,解得32a >-．所以a 地取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】解绝对值不等式地方式有零点分段法，几何意义法．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．(1)画出()y f x =地图像。

(2)求不等式()(1)f x f x >+地解集．【结果】（1）详解思路。

（2）7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【思路】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩,作出图象,如图所示：（2）将函数()f x 地图象向左平移1个单位,可得函数()1f x +地图象,如图所示：由()3511x x --=+-,解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+地解集为7,6⎛⎫-∞-⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数地图象,以及利用图象解不等式,意在考查学生地数形结合能力,属于基础题．3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+．(1)当2a =时,求不等式()4f x …地解集。

2012-2021十年全国卷高考真题分类汇编 集合（精解精析）1．(2021年高考全国乙卷理科)已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ,{}41,T t t n n ==+∈Z ,则S T Ç=( )A ．∅B ．SC ．TD ．Z【结果】C思路：任取t T ∈,则()41221t n n =+=⋅+,其中n Z ∈,所以,t S ∈,故T S ⊆,因此,S T T = ．故选：C ．2．(2021年高考全国甲卷理科)设集合{}104,53M x x N xx ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭,则M N = ( )A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【结果】B思路：因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤,所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B ．【点睛】本题考查集合地运算,属基础题,在高考中要求不高,掌握集合地交并补地基本概念即可求解．3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0},B ={x |2x +a ≤0},且A ∩B ={x |–2≤x ≤1},则a =( )A ．–4B ．–2C ．2D ．4【结果】B【思路】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤,求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭．由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤,故：12a-=,解得：2a =-．故选：B ．【点睛】本题主要考查交集地运算,不等式地解法等知识,意在考查学生地转化能力和计算求解能力．4．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知集合U ={−2,−1,0,1,2,3},A ={−1,0,1},B ={1,2},则()U A B ⋃=ð( )A ．{−2,3}B ．{−2,2,3}C ．{−2,−1,0,3}D ．{−2,−1,0,2,3}【结果】A思路：由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-,则(){}U 2,3A B =- ð．故选：A【点睛】本题主要考查并集，补集地定义与应用,属于基础题．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ,{(,)|8}B x y x y =+=,则A B 中圆素地个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【结果】C思路：由题意,A B 中地圆素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩,且*,x y N ∈,由82x y x +=≥,得4x ≤,所以满足8x y +=地有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),故A B 中圆素地个数为4．故选：C ．【点晴】本题主要考查集合地交集运算,考查学生对交集定义地理解,是一道容易题．6．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知集合{}1,0,1,2A =-,2{|1}B x x =≤,则A B =( )A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【结果】A 【思路】因为{}1,0,1,2A =-,{}11B x x =-≤≤,所以{}1,0,1A B =- ,故选A ．【点评】本题考查了集合交集地求法,是基础题．7．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设集合{}2560A x x x =-+>,{}10B x x =-<,则A B =( )A ．(),1-∞B ．()2,1-C ．()3,1--D ．()3,+∞【结果】A.【思路】{}{25602A x x x x x =-+>=≤或}3x ≥,{}{}101B x x x x =-<=<,故{}1A B x x =< ,故选A ．【点评】本题主要考查一圆二次不等式,一圆二次不等式地解法,集合地运算,属于基础题．本题考点为集合地运算,为基础题目,难度偏易．不能领会交集地含义易致误,区分交集与并集地不同,交集取公共部分,并集包括二者部分．8．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)已知集合{42}M x =-<<,2{|60}N x x x =--<,则M N =( )A ．{|43}x x -<<B ．{|42}x x -<<-C ．{|22}x x -<<D ．{|23}x x <<【结果】C 思路：2{|60}{|(2)(3)0}{|23},{|22}N x x x x x x x x M N x x =--<=+-<=-<<∴=-<< ．9．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知集合{}|10A x x =-≥,{}0,1,2B =,则A B = ( )A ．{}0B ．{}1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【结果】C思路：{}{}|10|1A x x x x =-≥=≥,{}0,1,2B =,故{}1,2A B = ,故选C ．10．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ，≤，，,则A 中圆素地个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4【结果】A 思路：(){}{}223(1,1),(1,0),(1,1),(0,1),(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)A x y xy x y =+∈∈=-------Z Z ,≤,,,故选A ．11．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)己知集合{}220A x x x =-->,则R A =ð( )A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．{}{}12x x x x <-> D ．{}{}12x x x x ≤-≥ 【结果】B思路：集合{}220A x x x =+->,可得{}12A x x x =<->或,则{}-12R A x x =≤≤ð,故选：B ．地．【思路】解法一：常规解法∵ ∴ 1是方程地一个根,即,∴ 故 解法二：韦达定理法∵ ∴ 1是方程地一个根,∴ 利用伟大定理可知：,解得：,故 解法三：排除法∵集合中地圆素必是方程方程地根,∴ ,从四个选项A ﹑B ﹑C ﹑D 看只有C 选项满足题意．【知识拓展】集合属于新课标必考点,属于函数范畴,常与解方程﹑求定义域和值域﹑数集意义相结合,集合考点有二：1．集合间地基本关系。