2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三(上)期中数学试卷(理科)

一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.）1.设23(1)(1)(1)(1)nx x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A. 5B.6C.7D.8【答案】C. 【解析】试题分析：令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ． 考点：二项式定理．2.6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有( ) A.480 B.720 C.240 D.360 【答案】A.考点：排列组合． 3.在2(2n x 的展开式中含常数项，则正整数n 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D. 【解析】试题分析：根据二项展开式通项公式52()222111()2()233rr n r n r r n r rr n r r nn T C x C x -----+=-=-，令542025n r r n n -=⇒=⇒的最小整数值是5，故选D ．考点：二项式定理．4.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确．．的是( ) A ．若//m α，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥ B ．若m α⊥，n β⊥且m n ⊥，则αβ⊥ C ．若αβ⊥，//m n 且n β⊥，则//m α D ．若m α⊂，n β⊂且//m n ，则//αβ 【答案】B.考点：空间中直线平面的位置关系．5.有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为()P n ，且()P n 与时刻t 无关，统计得到1()(0)(15)()20(6)nP n P n n ⎧⋅≤≤⎪=⎨⎪≥⎩，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率(0)P 的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．3263 D ．12【答案】C. 【解析】试题分析：根据所有事件的概率和为1，从而可得125111(0)(0)[()()()]1222P P +⋅++⋅⋅⋅+=511(1)3222(0)[1]1(0)16312P P -⇒⋅+=⇒=-，故选C ． 考点：概率的性质．6.设双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的左焦点(,0)F c -，圆222x y c +=与双曲线的一条渐近线交于点A ，直线AF 交另一条渐近线于点B ，若12FB FA =，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.32【答案】A.考点：1.双曲线的标准方程及其性质；2.三角形的中位线性质．【思路点睛】关于离心率范围问题常见于选择题或填空题，有时也会设置在解答题的第一小问，解决此类问题的策略有：1.根据题意，解出a ，b ，c ，计算离心率ce a=；2.根据题意，建立一个含有a ，b ，c 的齐次方程，计算b a 或ca的值；3.如果求离心率的范围，可以找a ，b ，c 的齐次不等式. 7.已知直线1:4360l x y -+=和直线0:2=x l ，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，所求距离和为111PA PB PF PB BF FH +=-+≥-≥-=11-=，取得最小值时，点P的位置即为过F作直线4360x y-+=的垂线与抛物线的交点，故选A.考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.点到直线距离公式．【方法点睛】利用抛物线的定义和性质可解决的两类问题：1.轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线.2.距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意两者之间的转化在解题中的应用.8.如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8，26，2015等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列1a，2a，3a，……，若2015na=，则=n（）A．80 B．81 C．82 D．83【答案】D.考点：1.新定义问题；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】以数列为背景的新定义型问题主要给出了新定义一种运算、概念(如一种符号、一种图形等)、一种性质等，要求考生在短时间内理解试题所给的新型定义，进而解决问题，这种试题常以其为载体考查学生学习新知识的能力，特别是能将所学知识与方法迁移到不同情境中，进而考查学生的理性思维和数学素养，.新定义数考查方式：以一些具有特殊性质或具有特殊关系的数为背景，解题要点：抓住新定义本质特征或隐含的规律，如此题，需穷举所有2015之前的幸运数的个数，设置合理的分类讨论点是解题的关键.二、填空题（本大题共7小题，9－12小题每小题6分，13－15每小题4分，共36分）9.多项式(1)(2)(3)(4)(5)x x x x x -----的展开式中，4x 项的系数=_________，x 项的系数= ___________． 【答案】15-，274.考点：二项式定理的运用．10.在二项式1)2nx 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______. 【答案】8，1937x -. 【解析】试题分析：由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x-++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，r n C 取最大值，∴8n =，第4项为119(163)333381()72C x x +-=-．考点：二项式定理的运用．11.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积＝ ，表面积＝______.【答案】23，2考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积．12.已知抛物线23x y =上两点A ，B 的横坐标恰是方程2510x x ++=的两个实根，则直线AB 的 斜率＝ ；直线AB 的方程为 . 【答案】53-，5310x y ++=. 【解析】试题分析：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∴221212*********()333AB y y x x k x x x x x x --==⋅=+=---，直线AB 的方程为2211111151555151()(5)33333333y y x x y x x x y x x x y x -=--⇒-=-+⇒=-++⇒=--， 即5310x y ++=．考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积与体积．13.某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有 种. 【答案】576.考点：排列与组合．14.设1F ，2F 是椭圆Γ的两个焦点，S 是以1F 为中心的正方形，则S 的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有 个（S 的各边可以不与Γ的对称轴平行）． 【答案】2. 【解析】试题分析：如下图所示，不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，A 在椭圆上，由1AF B ∆是等腰直角三角形可知，11A B AF BF a ex a ex =⇒+=+，当且仅当A ，B 关于x 轴对称时，B 也在椭圆上，若C 也在椭圆上，由1212222AF AF CF CF a AF CF +=+=⇒=A C a ex a ex ⇒-=-，则A ，C 关于x 轴对称，同理，若D 在椭圆上，则A ，D 关于x 轴对称，即B ，C ，D 三点至多只能有一个在椭圆上，故可知，落在椭圆上的个数最多有2个．考点：椭圆的标准方程及其几何性质．【思路点睛】椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如：1.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，有a x a -≤≤，b x b -≤≤，01e <<等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值与最小值；2.椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a c +，最小距离为a c -，且有焦半径公式1||M MF a ex =+，2||M MF a ex =-，其中1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点.15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a >时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是1a ∈ ． 【答案】(,12][24,)-∞+∞.考点：1.古典概型；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1.基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2.注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.三、解答题 （本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某班共有36名学生，其中有班干部6名，现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，求： （1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于12，则男生比女生多几人？ 【答案】（1）27；（2）1342；（3）6．考点：1.古典概型；2.组合数公式．17.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且OA OF =，AOF ∆的面积为1（其中O 为坐标原点）． （1）求椭圆的方程；（2）若C ，D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连接CM ，交椭圆于点P ，证明：OM OP ⋅为定值．【答案】（1）22142x y +=；（2）详见解析． 【解析】试题分析：（1）利用条件OA OF =，AOF ∆的面积为1，可建立关于b ，c 的方程组，从而求解；（2）考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.平面向量数量积的坐标表示；4.椭圆中的定值问题．18.在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB AC AA ===，4BC =，BC 的中点为O ，1AO 垂直于底面ABC .(1) 证明：在侧棱1AA 上存在一点E ，使得OE ⊥平面11BB C C ，并求出AE 的长； (2) 求二面角11A B C B --的平面角的余弦值．【答案】（1）证明详见解析，AE =2）． 【解析】试题分析：（1）如下图所示，连AO ，作1OE AA ⊥于点E ，首先有1OE BB ⊥，再证BC ⊥平面1AAO ，从而可证OE ⊥平面11BB C C ，可在1Rt AOA ∆中利用射影定理，求得AE 的长；（2）分别以OA ，OB ，1OAOC 1B 1A 1CBA即所求二面角的平面角与,OE n <>互补，故所求的余弦值是.考点：1.线面垂直的判定和性质；2.空间向量求二面角．19.如图，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点为1F ，2F ，过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）若1260AF F ∠=，且 021=⋅AF AF ，求椭圆的离心率.（2）若a =，1b =，求B F A F 22⋅的最大值和最小值.【答案】（11-；（2）最大值27，最小值1-．②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为)1(+=x k y ，由⎩⎨⎧=-++=022)1(22y x x k y ，得 0)1(24)21(2222=-+++k x k x k ， ∵2880k ∆=+>，∴方程有两个不等的实数根，设),(11y x A ，),(22y x B .2221214k k x x +-=+，222121)1(2kk x x +-=⋅，∴211(1,)F A x y =-，222(1,)F B x y =-， )1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x F F22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++=22222221)214)(1(21)1(2)1(k k k k k k k +++--++-+=22271791222(12)k k k -==-++，∵20k ≥，2121k +≥，210112k<≤+， ∴227[1,]2F A F B ⋅∈-，即当直线l 垂于x 轴时，B F A F 22⋅取得最大值27 当直线l 与x 轴重合时，B F A F 22⋅取得最小值1-.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.平面向量数量积坐标表示．【方法点睛】求解范围问题的常见求法（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．20.数列{}n a 满足11a =，12222a A A =+，……，12n n n n n a A A A =++⋅⋅⋅+(*n N ∈) （1）求2a ，3a ，4a ，5a 的值；（2）求n a 与1n a -之间的关系式*(,2)n N n ∈≥；（3）求证：12111(1)(1)(1)3na a a ++⋅⋅⋅+<（*n N ∈） 【答案】（1）24a =，315a =，464a =，5325a =；（2）1n n a n na -=+；（3）详见解析．考点：1.排列数的公式；2.数列的递推公式；3.数列与不等式相结合．【方法点睛】解决数列与不等式相结合的综合题常用的解题策略有：1.关注数列的通项公式，构造相应的函数，考查该函数的相关性质（单调性，值域，有界性）加以放缩；2.重视题目设问的层层递进，最后一小问常常要用到之前的中间结论；3.数学归纳法.：。

2015—2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二(上）期中数学试卷（1班）一、选择题（本大题共8小题，共40分)1．设（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时,n等于（）A．5 B．6 C．7 D．82．6个人排成一排，其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有(）A．480种B．720种C．240种D．360种3．在（2x2﹣）n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是（) A．2 B．3 C．4 D．54．设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是(）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关,统计得到P（n)=,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P(0）的值是（)A．0 B．1 C．D．6．设双曲线﹣=1，(a＞0,b＞0）的左焦点F(﹣c,0)，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．D．7．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2:x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8,35，440，2015等均为“幸运数”）,将所有“幸运数”从小到大排成一列a1，a2，a3，…，则2015是（）A．第83个 B．第84个 C．第85个 D．第86个二、填空题（本大题共7小题，9—12小题每小题6分,13—15每小题6分，共36分）9．多项式(x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5)的展开式中，x4项的系数=，x项的系数=．10．在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n=;展开式中的第4项为．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积=，表面积=．12．已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的斜率=；直线AB的方程为．13．某种产品有4只次品和6只正品,每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有种．14．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点，S是以F1为中心的正方形，则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有个(S的各边可以不与Γ的对称轴平行）．15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜,否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．三、解答题(本大题共5小题，依次为15、15、15、15、14分，共74分）16．某班共有36名学生，其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求:（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2)至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于,则男生比女生多几人?17．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA｜=|OF|，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．（1）求椭圆的方程;（2）若C,D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明:•为定值．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,BC的中点为O，A1O垂直于底面ABC．(1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．19．如图已知,椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率；（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．20．数列｛a n}满足a1=1，a2=+，…,a n=++…+（n∈N*）（1）求a2，a3,a4,a5的值;（2）求a n与a n﹣1之间的关系式(n∈N*，n≥2）；（3）求证：(1+）（1+）…（1+)＜3（n∈N*）2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高二（上）期中数学试卷(1班）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，共40分）1．设（1+x）+(1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，当a0+a1+a2+…+a n=254时，n等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】数列的求和;二项式定理的应用．【分析】观察已知条件a0+a1+a2+…+a n=254,可令（1+x）+（1+x）2+(1+x）3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n中的x=1，可得254=2n+1﹣2，解之即可．【解答】解：∵（1+x）+（1+x)2+（1+x）3+…+（1+x）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n∴令x=1得2+22+23+…+2n=a0+a1+a2+…+a n,而a0+a1+a2+…+a n=254==2n+1﹣2，∴n=7故答案为：C2．6个人排成一排,其中甲、乙两人中间至少有一人的排法有(）A．480种B．720种C．240种D．360种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】所有的排法共有种,其中甲乙二人相邻的排法有•种，相减即得甲、乙两人中间至少有一人的排法．【解答】解：所有的排法共有=720种，其中甲乙二人相邻的排法有•=240种，故甲、乙两人中间至少有一人的排法有720﹣240=480种，故选A．3．在（2x2﹣）n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二项式定理的应用．【分析】先求得(2x2﹣)n的展开式的通项公式，则由题意可得x的幂指数等于零有解，从而求得正整数n的最小值．=•2n x2n﹣2r•(﹣）【解答】解:根据(2x2﹣)n的展开式的通项公式为T r+1r•=（﹣)r••,则由题意可得2n=有解,r=0、1、2、3…n,故正整数n的最小值为5,故选：D．4．设m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面,则下列命题中正确的是（)A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β,m∥n且n⊥β，则m∥α D．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．【解答】解:若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α,n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β,则m∥α或m⊂α,故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n,则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．5．有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻,有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为P（n），且P（n）与时刻t无关，统计得到P（n）=，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P（0）的值是（）A．0 B．1 C．D．【考点】几何概型．【分析】利用概率之和等于1可得到关于P（0）的方程，解出即可．【解答】解:∵P（1）=P（0）,P(2）=P(0），P（3)=P（0），P(4）=P（0）,P（5)=P(0）．∴P（0）=1﹣（P(1）+P（2）+P（3）+P（4)+P（5））=1﹣（1﹣（)5)P（0），∴P（0）=．故选C．6．设双曲线﹣=1，(a＞0，b＞0）的左焦点F(﹣c，0)，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A,直线AF交另一条渐近线与点B．若=，则双曲线的离心率为(）A．2 B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意,y=x与x2+y2=c2联立,可得A（a,b），求出AF的斜率，利用=，B为线段FA的中点，可得斜率之间的关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解:由题意，y=x与x2+y2=c2联立,可得A（a，b),∴AF的斜率为，∵=，∴B为线段FA的中点，∴OB⊥AF，∴•（﹣）=﹣1,∴e2﹣e﹣2=0，∵e＞1，∴e=2．故选：A．7．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2:x=0,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质．【分析】抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和转化为:抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线x=1的距离之和，x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x=﹣1的距离等于PF,抛物线y2=4x的焦点F（1，0）过P作4x﹣3y+6=0垂线,和抛物线的交点就是P，所以点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离．【解答】解：x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，则P到x=﹣1的距离等于PF，抛物线y2=4x的焦点F（1,0）过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P,所以点P到直线l1:4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2:x=﹣1的距离之和的最小值就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，所以最小值==2．直线l1:4x﹣3y+6=0和直线l2：x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是：2﹣1=1故选：A．8．如果正整数a的各位数字之和等于8，那么称a为“幸运数”（如：8，35,440,2015等均为“幸运数"),将所有“幸运数”从小到大排成一列a1,a2,a3，…，则2015是（）A．第83个 B．第84个 C．第85个 D．第86个【考点】计数原理的应用．【分析】利用“幸运数”的定义，分类列举出“幸运数”，即可得到结论．【解答】解：由题意，一位数:8；二位数时,17,26，35，44,53,62,71，80有8个三位数时：（0，0，8）有1个，（0,1，7）有4个,（0，2，6)有4个，（0,3，5）有4个，(0，4，4）有2个，（1,1，6）有3个，（1，2，5）有6个,（1,3，4）有6个，（2,2，4)，有3个,（2，3，3）有3个，合计1+4×3+2+3×3+6×2=36个，四位数小于等于2015:（0，0，1，7)有3个,(0，0，2，6）有1个,（0,1,1，6）有6个,(0，1，2，5）有7个，（0,1，3，4）有6个，（1，1，1，5）有3个，（1，1，2，4）有6个,（1,1，3，3)有3个，（1,2,2，3）有3个，合计有3×4+6×3+1+7=38个数，小于等于2015的一共有1+8+36+38=83故选:A二、填空题（本大题共7小题,9-12小题每小题6分，13—15每小题6分，共36分）9．多项式（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）(x﹣5）的展开式中，x4项的系数=﹣15，x项的系数=274．【考点】计数原理的应用．【分析】本题可通过选括号(即5个括号中4个提供x，其余1个提供常数）进行求解即可解答第一问;类似求解第二问．【解答】解：含x4的项是由（x﹣1)（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）的5个括号中4个括号出x仅1个括号出常数∴展开式中含x4的项的系数是（﹣1）+（﹣2）+(﹣3)+（﹣4）+（﹣5）=﹣15．含x的项是由（x﹣1)（x﹣2）(x﹣3）（x﹣4）（x﹣5)的5个括号中4个括号出常数仅1个括号出x，∴展开式中含x的项的系数是：1×2×3×4+2×3×4×5+1×2×4×5+1×3×4×5+1×2×3×5=274．故答案为:﹣15，27410．在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n= 8；展开式中的第4项为﹣7．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项式系数的性质求得n=8，再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的第4项．【解答】解：在二项式（﹣）n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大,则n=8．展开式中的第4项为T4=••=﹣7，故答案为：8，﹣7．11．一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积=，表面积= 2++．【考点】由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是底面为正方形，一条侧棱垂直于底面,画出图形结合图形即可求出它的体积与表面积．【解答】解：根据四棱锥的三视图,得；该四棱锥是底面是对角线为2的正方形,且一条侧棱垂直于底面,如图所示；所以,该四棱锥的体积是××22×1=；表面积是S△PBC +S△PDC+S△PAB+S△PAD+S正方形ABCD=××1+××1+××+××+×22=++2．故答案为:,2++．12．已知抛物线x2=3y上两点A，B的横坐标恰是方程x2+5x+1=0的两个实根，则直线AB的斜率=；直线AB的方程为5x+3y+1=0．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】分别设出A和B的坐标,代入抛物线解析式和方程中,分别消去平方项得到两等式，根据两等式的特点即可得到直线AB的方程．即可求出直线的斜率．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）,则把A的坐标代入抛物线解析式和已知的方程得：x12=3y1①,x12+5x1+1=0②，①﹣②整理得：5x1+3y1+1=0③;同理把B的坐标代入抛物线解析式和已知的方程，化简可得：5x2+3y2+1=0④，③④表示经过A和B的方程，所以直线AB的方程是：5x+3y+1=0．直线的斜率为：．故答案为：；5x+3y+1=0．13．某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不同且可区分,今每次取出一只测试，测试后不放回，直到4只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有576种．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题意指第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而第五次测试应算是特殊位置了，可以分步完成,第一步：第五次测试的有几种可能; 第二步:前四次有一件正品有几种可能; 第三步：前四次有几种顺序；最后根据乘法公式计算可得共有几种可能．【解答】解:对四件次品编序为1，2,3,4．第五次抽到其中任一件次品有C41种情况．前四次有三次是次品，一次是正品共有C16C33种可能．前4次测试中的顺序有A44种可能．∴由分步计数原理即得共有C14（C16C33)A44=576种可能．故答案为：576．14．设F1、F2是椭圆Γ的两个焦点,S是以F1为中心的正方形,则S的四个顶点中能落在椭圆Γ上的个数最多有2个（S的各边可以不与Γ的对称轴平行）．【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设P为正方形的顶点，且P在椭圆上，根据正方形的顶点到中心的距离相等,以及椭圆的对称性,便可得到椭圆上到F1的距离等于|PF1｜的点,只能有一个，是P关于对称轴的对称点，从而得出正方形S的四个顶点能落在椭圆上的个数最多2个．【解答】解：如图，若P是正方形的顶点,P在椭圆上；则根据椭圆的对称性，椭圆上到F1的距离等于|PF1｜的点只能为P关于对称轴的对称点P′；∴S的四个顶点中能落在椭圆上的个数最多有2个．故答案为:2．15．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1,按下列方法操作一次产生一个新的实数:由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12,这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12］∪[24，+∞)．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．【解答】解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→(2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1,∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为,∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞,12]∪［24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24,+∞)三、解答题(本大题共5小题，依次为15、15、15、15、14分,共74分）16．某班共有36名学生,其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于,则男生比女生多几人？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】(1）现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种,恰有1名班干部当选代表的C301C61种，根据概率公式计算即可；(2）没有班干部的种数C302种,根据互斥概率公式计算即可；（3）设男生有n人，则女生有36﹣n人，得到关于n的方程,解得即可．【解答】解：(1)现从36名同学中任选2名代表参加某次活动，共有C362种，恰有1名班干部当选代表的C301C61种，恰有1名班干部当选代表的概率：=，（2)没有班干部的种数C302种，故至少有1名班干部当选代表的概率为：1﹣=,（3)设男生有n人，则女生有36﹣n人，则有条件可知：=，解得n=15或n=21，而n＞18，所以n=21所以男生比女生多6人．17．已知椭圆+=1（a＞b＞0)的右焦点为F,A为短轴的一个端点,且｜OA|=|OF｜，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．(1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P,证明：•为定值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．【分析】(1）由题意可得b=c，bc=1,解方程可得b，c,由a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（2）设出直线MC的方程，代入椭圆方程，求得P的坐标，M的坐标，由向量的数量积的坐标表示计算即可得到定值4．【解答】解：（1）由题意可得b=c,bc=1，解得b=c=，a==2，即有椭圆的方程为+=1；（2)由题意直线MC的斜率存在，设其方程为y=k（x+2),代入椭圆方程x2+2y2=4，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣4=0，由x P（﹣2）=,解得x P=﹣,y P=,令x=2，解得y M=4k，即M（2,4k)，所以•=2•（﹣）+4k•=4为定值．18．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=,BC=4，BC的中点为O，A1O 垂直于底面ABC．（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；(2）求二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接AO,在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，可得OE⊥BB1．由A1O ⊥平面ABC,得A1O⊥BC，再由AB=AC，OB=OC,得AO⊥BC，进一步得BC⊥平面AA1O，则BC⊥OE,由线面垂直的判定可得OE⊥平面BB1C1C，由射影定理求得AE; (2）分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,可得平面BB1C1C的法向量是（），再求出平面A1CB1的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1﹣B1C﹣B的平面角的余弦值．【解答】(1)证明:连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，∵AA1∥BB1，∴OE⊥BB1．∵A1O⊥平面ABC,∴A1O⊥BC，∵AB=AC，OB=OC，∴AO⊥BC，得BC⊥平面AA1O，则BC⊥OE，∴OE⊥平面BB1C1C，又,，∴；（2）解：如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x,y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0）,C（0，﹣2，0），A1（0，0,2)，B（0，2,0）．由（1）可知，得点E的坐标为（），由（1）可知平面BB1C1C的法向量是(），设平面A1CB1的法向量,由，令y=1,得x=2，z=﹣1，即，∴cos＜＞==，所求二面角的平面角与＜＞互补,所求的余弦值是．19．如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l与椭圆相交于A、B两点．（Ⅰ）若∠AF1F2=60°，且，求椭圆的离心率;（Ⅱ)若，求的最大值和最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ)因为在焦点三角形AF1F2中,，所以∠F1AF2=90°，又因为∠AF1F2=60°,所以的三边关系可以找到,根据三边关系，可求出含a，c的齐次式，进而求出离心率．(II）若,则椭圆方程为两个,可以是焦点在x轴上，也可焦点在y轴上,分别写出方程，在与设出的直线l方程联立，找到横坐标之和与之积,用坐标表示，根据前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．【解答】解:（I）∵，∴AF1⊥AF2∵∠AF1F2=60°,∴F1F2=2AF1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴2a=AF1+AF2，2c=F1F2∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣（II）∵,∴c=1，点F1(﹣1,0),F2（1，0）．①若AB垂直于x轴，则,﹣﹣﹣﹣﹣﹣②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1）由消去y得：（2k2+1)x2+4k2x+2k2﹣2=0∵△=8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1）,B（x2，y2）．∴,﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴=（1+k2)（x1x2+x1+x2+1）==﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵,∴∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣综合①、②可得：．所以当直线l垂直于x时,取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．数列{a n}满足a1=1，a2=+，…,a n=++…+（n∈N＊）（1）求a2，a3，a4，a5的值;（2）求a n与a n﹣1之间的关系式（n∈N*，n≥2);（3）求证：（1+）（1+）…（1+）＜3（n∈N*)【考点】数列的求和．【分析】（1）运用排列数公式，计算即可得到所求;（2）由排列数公式，提取n，即可得到所求a n与a n﹣1之间的关系式；(3)运用（2）的结论和阶乘的定义,结合不等式的性质，即可得证．【解答】解：（1）a2=+=2+2=4,a3=++=3+6+6=15，a4=+++=4+4×3+4×3×2+4×3×2×1=64，a5=++++=5+20+60+120+120=325；(2)a n=++…+=n+n（n﹣1)+n（n﹣1）（n﹣2）+…+n!=n+n［（n﹣1）+(n﹣1）(n﹣2）+…+（n﹣1）！]=n+na n；﹣1（3）证明：由（2）可知=，所以（1+）（1+）…（1+）=•…==+++…+=+++…+=+++…+≤1+1+++…+=2+1﹣+﹣+…+﹣=3﹣＜3(n≥2)．所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．2017年1月15日。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}2．“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分条件 D．既不充分也不必要3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（1，2）D．（，2）5．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]6．点F是抛物线τ：x2=2py（p＞0）的焦点，F1是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若线段FF1的中点P恰为抛物线τ与双曲线C的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C的离心率e的值为（）A．B．C．D．7．如图，四边形OABC，ODEF，OGHI是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设=，=，已知点P在各菱形边上运动，且=x+y，x，y∈R，则x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．68．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，关于x 的不等式f（x2+a）＞a2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，4]C．（0，+∞）D．[2，+∞）二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，f（x）的周期为______，φ的值为______．10．计算：（1）=______；（2）设f（x）=，则=______．11．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为______，三棱锥D﹣BCE的体积为______．12．已知实数x，y满足约束条件时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于______，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是______．13．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则取到最小值为______．14．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转60°后得到矩形A′BC′D′，则点D′到直线AB的距离是______．15．已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n 成立，则a n=______．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），若函数f（x）=•﹣．（1）求x∈[﹣，]时，函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=，且|﹣|=2，求BC边上中线长的最大值．17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=100﹣3n•a n，求数列{|b n|}的前n项和．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．19．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．20．设已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集为U=R，集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={y|y=x2+1}，则M∩（∁U N）为（）A．{x|﹣1≤x＜1}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|1≤x≤3}D．{x|1＜x≤3}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M，再计算M∩（C U N）．【解答】解：∵M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}={x|﹣1≤x≤3}，N={y|y=x2+1}={y|y≥1}，∴∁U N={y|y＜1}，∴M∩（C U N）={x|﹣1≤x＜1}故选：A．2．“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分C．充分条件 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若α是第二象限角，则sinα＞0，tanα＜0，则sinαtanα＜0成立，若α是第三象限角，则sinα＜0，tanα＞0，满足sinαtanα＜0成立，但α是第二象限角不成立，∴“α是第二象限角”是“sinαtanα＜0”的充分不必要条件，故选：A．3．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列正确的是（）A．若m∥α，α∩β=n，则m∥n B．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系逐个判断即可得到答案．【解答】解：对于A，若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m与n异面，故A错；对于B，m⊥α，n⊂β，m⊥n，不能推出m⊂β，故B错误；对于C，∵α∥β，m⊥α，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确；对于D，若α⊥β，α∩β=m，m∥n，则n∥β或n⊂β．综上所述，正确的是C．故选C．4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，A=60°，若三角形有两解，则b的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，）C．（1，2）D．（，2）【考点】正弦定理．【分析】由a与sinA的值，利用正弦定理列出关系式，表示出a=sinA，进而得到b=sinB，得到B+C的度数，由三角形有两解确定出B的范围，利用正弦函数的值域确定出b的范围即可．【解答】解：∵△ABC中，a=1，A=60°，∴由正弦定理===，即a=sinA，B+C=120°，∴b=sinB，∵三角形有两解，∴若B≤60°，则与A互补的角大于120°，矛盾；∴60°＜B＜120°，即＜sinB≤1，∴b的范围为（1，），故选：B．5．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故选：A．6．点F 是抛物线τ：x 2=2py （p ＞0）的焦点，F 1是双曲线C ： =1（a ＞0，b ＞0）的右焦点，若线段FF 1的中点P 恰为抛物线τ与双曲线C 的渐近线在第一象限内的交点，则双曲线C 的离心率e 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】双曲线C 的渐近线方程为y=x ，代入x 2=2py ，可得P （，），利用P是线段FF 1的中点，可得P （，），由此即可求出双曲线C 的离心率．【解答】解：双曲线C 的渐近线方程为y=x ，代入x 2=2py ，可得P （，），∵F （0，），F 1（c ，0）∴线段FF 1的中点P （，），∴=， =，∴a 2=8b 2，∴c 2=9b 2，∴e==．故选：D ．7．如图，四边形OABC ，ODEF ，OGHI 是三个全等的菱形，∠COD=∠FOG=∠IOA=60°，设=， =，已知点P 在各菱形边上运动，且=x +y ，x ，y ∈R ，则x +y 的最大值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】可以O为坐标原点，GC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，可设菱形的边长为2，从而能求出D，H点的坐标，这样便可得到向量的坐标．可设P（X，Y），根据条件即可得出，这样设x+y=z，X，Y的活动域便是菱形的边上，这样根据线性规划的知识即可求出z的最大值，即求出x+y的最大值．【解答】解：如图，以GC所在直线为x轴，过O且垂直于GC的直线为y轴，建立如图所示坐标系，设菱形的边长为2，则：D（），H（）；设P（X，Y），则（X，Y）=x（）+y（）；∴；∴；设；∴，表示在y轴上的截距；∴当截距最大时，z取到最大值；根据图形可看出，当直线经过点E（）时，截距最大；∴；z=4；∴x+y的最大值为4．故选B．8．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，关于x 的不等式f（x2+a）＞a2f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2]B．（0，4]C．（0，+∞）D．[2，+∞）【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．【分析】由当x≥0时，f（x）=x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）=﹣x2，从而f （x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），再根据不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax），在x∈[a﹣1，a+1]，恒成立，利用二次函数的性质，可得不等式，即可得出答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=x2，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）=﹣x2，∴f（x）=，∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）=f（ax），∵不等式f（x2+a）＞a2f（x）=f（ax）在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，∴x2+a＞ax在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，令g（x）=x2﹣ax+a，函数的对称轴为x=，当，即a＞2时，不等式恒成立，可得g（a﹣1）=（a﹣1）2﹣a（a﹣1）+a=1＞0，恒成立；当，即﹣2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g（）=（）2﹣a（）+a＞0恒成立，解得a∈（0，2]；当，即a＜﹣2时，不等式恒成立，可得g（a+1）=（a+1）2﹣a（a+1）+a=2a+1＞0不恒成立；综上：a＞0．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，共36分．9．函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线的一部分如图所示，f （x ）的周期为 π ，φ的值为 ﹣ ．【考点】由y=Asin （ωx +φ）的部分图象确定其解析式．【分析】先把函数的图象依题意向左平移，获得新的函数的解析式，然后利用图象可知函数的周期，进而利用周期公式求得ω；把x=π代入函数解析式，化简整理求得φ的值．【解答】解：函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，所得曲线解析式为：y=Asin [ω（x +）+φ]=Asin （ωx +ω+φ），其周期为：T=4（﹣）=π，由=π，可得：ω=2，∵点（，0）在函数图象上，可得： sin （2×+2×+φ）=0，解得：φ=k π﹣，k ∈Z ，∵|φ|＜，∴φ=﹣．故答案为：π，﹣．10．计算：（1）= 2 ；（2）设f （x ）=，则= ．【考点】分段函数的应用；对数的运算性质．【分析】（1）利用对数的运算法则，可得结论；（2）当x ＜0时，f （x ）=f （x +1）+2，代入计算，即可得出结论．【解答】解：（1）原式=+=3﹣1=2；（2）当x ＜0时，f （x ）=f （x +1）+2，∴原式===f（﹣1006﹣）+2=f（﹣1005﹣）+2×2=…=f（）+2×1008=故答案为：2；．11．若如图为某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为4，三棱锥D﹣BCE的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，可得正视图的面积；证明AB⊥平面ACDE，求出四棱锥B﹣ACDE的体积、三棱锥E﹣ACB的体积，即可求出三棱锥D﹣BCE的体积．【解答】解：由题意可知，正视图为直角三角形，直角边长为2，4，故正视图的面积为=4；四棱锥B﹣ACDE中，AE⊥平面ABC，∴AE⊥AB，又AB⊥AC，且AE和AC相交，∴AB⊥平面ACDE，又AC=AB=AE=2，CD=4，则四棱锥B﹣ACDE的体积V==4，又三棱锥E﹣ACB的体积为=，∴三棱锥D﹣BCE的体积为4﹣=．故答案为：4；．12．已知实数x，y满足约束条件时，所表示的平面区域为D，则z=x+3y的最大值等于12，若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a的取值范围是a．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案；再由直线y=a（x+1）过定点（﹣1，0），结合图象求得a的取值范围．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x+3y为，由图可知，当直线过A（3，3）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为12；∵直线y=a（x+1）过定点（﹣1，0），要使直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则a≤k MA=．故答案为：12；．13．已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则取到最小值为．【考点】基本不等式．【分析】由于a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．利用构造思想，用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a+2b=1，∴3a+4b=2+a，a+3b=1+b．∴（a+2）+2（b+1）=5，利用基本不等式性质可得：当且仅当a=2b=时取等号．∴=≥=∴取到最小值=故答案为．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，AD=1，在平面内将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转60°后得到矩形A ′BC ′D ′，则点D ′到直线AB 的距离是．【考点】三角形中的几何计算；两角和与差的正弦函数；点到直线的距离公式．【分析】画出图形，利用三角函数的关系，通过两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：连结BD ，D ′B ，设∠DBA=α，由题意可知：BD=，D ′B=．tan，∠D ′BA=α+60°，sin 2（α+60°）=（sin αcos60°+cos αsin60°）2=（sin α+cos α）2=====．点D ′到直线AB 的距离：∴sin （α+60°）==，故答案为：．15．已知等差数列{a n}首项为a，公差为b，等比数列{b n}首项为b，公比为a，其中a，b都是大于1的正整数，且a1＜b1，b2＜a3，对于任意的n∈N*，总存在m∈N*，使得a m+3=b n 成立，则a n=5n﹣3．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先利用a1＜b1，b2＜a3，以及a，b都是大于1的正整数求出a=2，再利用a m+3=b n 求出满足条件的b的值即可求出等差数列{a n}的通项公式．【解答】解：∵a1＜b1，b2＜a3，∴a＜b以及ba＜a+2b∴b（a﹣2）＜a＜b，a﹣2＜1⇒a＜3，a=2．又因为a m+3=b n⇒a+（m﹣1）b+3=b•a n﹣1．又∵a=2，b（m﹣1）+5=b•2n﹣1，则b（2n﹣1﹣m+1）=5．又b≥3，由数的整除性，得b是5的约数．故2n﹣1﹣m+1=1，b=5，∴an=a+b（n﹣1）=2+5（n﹣1）=5n﹣3．故答案为5n﹣3．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知向量=（sin（x﹣），cosx），=（cosx，cosx），若函数f（x）=•﹣．（1）求x∈[﹣，]时，函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若f（A）=，且|﹣|=2，求BC边上中线长的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由平面向量数量积的运算及三角函数中的恒等变换应用化简可得f（x）=sin（2x+），由x∈[﹣，]，利用正弦函数的性质即可求得函数f（x）的值域；（2）由f（A）=sin（2A+）=，解得：sin（2A+）=，结合范围0＜A＜π，解得：A=，由题意可得，求得||||≤4，从而可求||2=（）2=（）=（4+2||||）≤3，即可得解．【解答】解：（1）∵=（sin （x ﹣），cosx ），=（cosx ，cosx ），∴f （x ）=•﹣=sin （x ﹣）cosx +cos 2x ﹣=sin2x +﹣=sin （2x +），∵x ∈[﹣，]，2x +∈[﹣，]，∴f （x ）=sin （2x +）∈[﹣，]．（2）∵f （A ）=sin （2A +）=，解得：sin （2A +）=，∵0＜A ＜π，＜2A +＜，∴2A +=，解得：A=，∵|﹣|=2，∴|﹣|2=4，即，∴，∴||||≤4，∴||2=（）2=（）=（4+2||||）≤3，∴||max =．17．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =（n ∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =100﹣3n •a n ，求数列{|b n |}的前n 项和． 【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（Ⅰ）运用n=1时，a 1=S 1，n ＞1时a n =S n ﹣S n ﹣1，结合等差数列的通项公式即可得到所求通项；（Ⅱ）求得b n =100﹣3n •a n ，设，的前n 项和，运用错位相减法可得，再讨论当1≤n ≤2，当n ≥3，即可得到所求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）由，n=1时，a1=S1=，解得a1=2；=，当n＞1时，n用n﹣1代，可得S n﹣1两式相减得，因为a n正项数列，可得，则a n为等差数列，得a n=2n．（Ⅱ）|b n|=|100﹣3n•a n|=|100﹣2n•3n|=，设，的前n项和，S n'=2•3+4•32+…+2n•3n，3S n'=2•32+4•33+…+2n•3n+1，．当1≤n≤2，S n=；当n≥3，S n=+316=．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，BC⊥平面PAB．PA=PB=AB=BC=6，点M，N分别为PB，BC的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）E在线段AC上的点，且AM∥平面PNE．①确定点E的位置；②求直线PE与平面PAB所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知推导出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能证明AM⊥平面PBC．（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，由已知推导出AM∥EF，从而得到AE=．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，则∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，由此能求出直线PE与平面PAB所成角的正切值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA=AB，点M为PB的中点，∴AM⊥PB，∵BC⊥平面PAB，AM⊂平面PAB，∴AM⊥BC，∵PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．解：（Ⅱ）①连结MC，交PN于F，则F是△PBC的重心，且MF=MC，∵AM∥平面PEN，平面AMC∩平面PEN=EF，AM⊂平面AMC，∴AM∥EF，∴AE=．②作EH⊥AB于H，则EH∥BC，∴EH⊥平面PAB，∴∠EPH是直线PE与平面PAB所成的角，∵EH=，AH=，∴PH=2，∴tan=，∴直线PE与平面PAB所成角的正切值为．19．已知抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），点R（1，2）在抛物线C上．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点Q（l，1）作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l：y=2x+2于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，求出p=2，由此能求出抛物线C的方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），设直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由已知条件推导出x M=﹣，x N=﹣，由此求出|MN|=2，再用换元法能求出|MN|的最小值及此时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵点R（1，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，∴4=2p，解得p=2，∴抛物线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2y2），直线AB的方程为x=m（y﹣1）+1，m≠0，由，消去x，并整理，得：y2﹣4my+4（m﹣1）=0，∴y1+y2=4m，y1•y2=4（m﹣1），设直线AR的方程为y=k1（x﹣1）+2，由，解得点M的横坐标，又==，∴x M==﹣，同理点N的横坐标x N=﹣，|y2﹣y1|==4，∴|MN|=|x M﹣x N|=|﹣|=2||，=8=2，令m﹣1=t，t≠0，则m=t=1，∴|MN|=2≥，即当t=﹣2，m=﹣1时，|MN|取最小值为，此时直线AB的方程为x+y﹣2=0．20．设已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a，a∈R，（Ⅰ）当x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值的表达式M（a）（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）=3有且仅有3个不等实根，且它们成等差数列，若存在，求出所有a的值，若不存在，说明理由．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的最值及其几何意义．【分析】（I）根据题意，分a≤1，1＜a≤2，2＜a≤4，a＞4四种情况讨论，从而根据分段函数及对勾函数的单调性判断函数的单调性，从而求最大值即可；（II）化简函数，从而不妨设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，从而讨论以确定a的值．【解答】解：（I）①当a≤1时，在[1，4]单调递增，∴f（x）max=f（4）=3；②当1＜a≤2时，函数在[1，a]上单调递增，[a，4]上单调递增，∴f（x）max=f（4）=3；③当2＜a≤4时，函数在[1，2]上单调递增，[2，a]上单调递减，[a，4]上单调递增，∴f（x）max=max{f（2），f（4）}=；④当a＞4时，f（x）=2a﹣x﹣在[1，2]上单调递增，[2，4]上单调递减，∴f（x）max=f（2）=2a﹣4；综上所述M（a）=；（II）函数，不妨设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3当x＞a时，f（x）=3，解得x=﹣1，x=4；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=4，∴x1=﹣6，由f（﹣6）=3，解得，满足f（x）=3在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤4，f（x）=3在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=4，所以有x1，x2是的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣3）x+4=0的两个解．得到，又由设f（x）=3的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+4，解得：，（舍去）；③a＞4，f（x）=3最多只有两个解，不满足题意；综上所述，或．2016年9月28日。

慈溪中学2015学年第一学期期中检查高三（理科）班数学试卷第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =U ，那么()U C A B I =（ ） A. ∅ B. {3}x x Z ∈≥ C . {1,2} D. {3,4}2.给出下列3个命题，其中正确的个数是 （ ） ①若“命题p q ∧为真”，则“命题p q ∨为真”；②命题“0,ln 0x x x ∀>->”的否定是“0000,ln 0x x x ∃>-≤”； ③“tanx>0”是"sin2x>0"的充要条件 . A ．1个B ．2个C. 3个D ．0个3．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值 （ ） A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3 4. 若函数()()0sin2>=ωωπx x f 的图象在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0上至少有两个最高点，两个最低点，则ω的取值范围为 （ ）A. 2>ωB. 2≥ωC. 3ω>D. 3ω≥5.已知正实数b a ,满足321=+ba ，则()()21++b a 的最小值是 （ ） A. 163 B. 950 C. 499 D. 66.定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数,x y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则m a x {4,3}z x y x y=+-的取值范围是 （ ） A. [7,10]- B. [8,10]- C. [6,8]- D. [7,8]-7．已知异面直线,a b 成60角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成45角的平面 （ ） A ．有且只有一个 B ．有且只有两个 C ．有且只有三个 D ．有且只有四个8．已知函数f （x ）=22,0(1)1,0x x x f x x ⎧+≤⎪⎨-+>⎪⎩，当x ∈时，关于x 的方程f （x ）=x 15-的所有解的和为 （ ） A ．9801 B ． 9950 C ．10000 D ．10201二、填空题：本大题共7小题，9-12题：每小题6分，13-15题：每小题4分，共36分. 9．已知双曲线C 的离心率为2，它的一个焦点是（0,2），则双曲线C 的标准方程为 ， 渐近线的方程是 .10. 已知1ln ,0()1,0x xf x x x⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，则(())f f e = ；不等式()1f x >-的解集为11.某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两夹角线段,且这两条线段与原线段两两夹角为120；……；依此规律得到n 级分形图.(II)12.已知非零向量,,21==+≥，3)()(=-⋅-的最小值是 ，最大值是13.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则该几何体表．面积．．是 2cm 。

2015-2016学年浙江省慈溪中学高一上学期期中考试数学（7-12班）试题试卷Ⅰ一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集{}{}{}4,,0,1,2,2,3,U x x x N A B =<∈==则U B C A ⋃等于 A {}3 B {}2,3 C ∅ D {}0,1,2,32.设01x <<，且有log log 0a b x x <<，则,a b 的关系是A ．01a b <<<B ．1a b <<C ．01b a <<<D ．1b a <<3.已知1sin(),(,0),232ππαα+=∈-则tan α的值为A ．-B ．C ．D 4.已知()2f x x ax =-在[]0,1上是单调函数，则实数a 的取值范围是 A (]0,∞- B [)+∞,1C [)+∞,2D (][)+∞⋃∞-,20,5．⎩⎨⎧≥-<+-=)1( , )1( ,4)13()(x ax x a x a x f 是定义在),(+∞-∞上是减函数，则a 的取值范围是A. [11,)83B. [10,3]C. (10,)3D. (1,3-∞] 6、存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有A. (sin 2)sin f x x =B. 2(sin 2)f x x x =+C. 2(1)1f x x +=+ D. 2(2)1f x x x +=+ 7．将函数f （x ）=sin （ωx+φ）的图象向左平移个单位．若所得图象与原图象重合，则ω的值不可能等于 A ．4 B ．6C ．8D ．128．在直角坐标系中, 如果两点(,),(,)A a b B a b --在函数)(x f y =的图象上，那么称[],A B 为函数()f x 的一组关于原点的中心对称点（[],A B 与[],B A 看作一组）。

2015-2016学年浙江省慈溪中学高二上学期期中考试数学（1班）一、选择题（共8小题；共40分）1. 设1+x+1+x2+1+x3+⋯+1+x n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，当a0+a1+a2+⋯+a n=254时，n等于 A. 5B. 6C. 7D. 82. 6个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有 A. 480B. 720C. 240D. 3603. 在2x23x n的展开式中含常数项，则正整数n的最小值是 A. 2B. 3C. 4D. 54. 设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A. 若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nB. 若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC. 若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD. 若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β5. 有一个公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一时刻，有n个人正在使用电话或等待使用的概率为P n，且P n与时刻t无关，统计得到P n=12n⋅P01≤n≤50n≥6，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P0的值是 A. 0B. 1C. 3263D. 126. 设双曲线x2a −y2b=1（a>0，b>0）的左焦点F−c,0，则x2+y2=c2与双曲线的一条渐近线交于点A，直线AF交另一条渐近线于点B．若FB=12FA，则双曲线的离心率为 A. 2B. 3C. 32D. 5+127. 已知直线l1：4x−3y+6=0和直线l2：x=0，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 A. 1B. 2C. 3D. 48. 如果正整数 a 的各位数字之和等于 8，那么称 a 为“幸运数”（如：8，26，2015 等均为“幸运数”），将所有“幸运数”从小到大排成一列 a 1,a 2,a 3,⋯，若 a n =2015，则 n = A. 80B. 81C. 82D. 83二、填空题（共7小题；共35分）9. 多项式 x −1 x −2 x −3 x −4 x −5 的展开式中，x 4 项的系数 = ，项的系数 = ．10. 在二项式 x 23−12x n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则 n = ______；展开式中的第 4 项 = ______．11. 一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积 = ______，表面积 = ______．12. 已知抛物线 x 2=3y 上两点 A ，B 的横坐标恰是方程 x 2+5x +1=0 的两个实根，则直线 AB的斜率 = ______；直线 AB 的方程为______．13. 某种产品有 4 只次品和 6 只正品，每只产品均不同且可区分，今每次取出一只测试，测试后不放回，直到 4 只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情形有 种．14. 设 F 1，F 2 是椭圆 Γ 的两个焦点，S 是以 F 1 为中心的正方形，则 S 的四个顶点中能落在椭圆 Γ上的个数最多有______ 个（S 的各边可以不与 Γ 的对称轴平行）．15. 甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数 a 1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把 a 1 乘以 2 后再减去 12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把 a 1 除以 2 后再加上 12，这样就可得到一个新的实数a2．对实数a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3>a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲胜的概率为34，则a1的取值范围是a1∈ ．三、解答题（共5小题；共65分）16. 某班共有36名学生，其中有班干部6名．现从36名同学中任选2名代表参加某次活动．求：（1）恰有1名班干部当选代表的概率；（2）至少有1名班干部当选代表的概率；（3）已知36名学生中男生比女生多，若选得同性代表的概率等于12，则男生比女生多几人?17. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且∣OA∣=∣OF∣，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．（1）求椭圆的方程；（2）若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P，证明：OM⋅OP为定值．18. 在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，BC的中点为O，A1O垂直于底面ABC．（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求二面角A1−B1C−B的平面角的余弦值．19. 如图，椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线l与椭圆相交于A，B两点．（1）若∠AF1F2=60∘，且AF1⋅AF2=0求椭圆的离心率．（2）若a=2，b=1，求F2A⋅F2B的最大值和最小值．20. 数列a n满足a1=1，a2=A21+A22，⋯，a n=A n1+A n2+⋯+A n n（n∈N∗）．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）求a n与a n−1之间的关系式（n∈N∗，n≥2）；（3）求证：1+1a11+1a2⋯1+1a n<3（n∈N∗）．答案第一部分 1. C 2. A 3. D 4. B 5. C6. A7. A8. D第二部分 9. −15；274 10. 8；−7x 19311. 23；2+ + 6 12. −53；5x +3y +1=0 13. 57614. 215. −∞,12 ∪ 24,+∞ 第三部分16. （1） 所求概率为：C 301C 61C 362=27；（2） 所求概率为：1−C 302C 362=1342；（3） 设男生有 n 人，则女生有 36−n 人， 则由条件可知：C n 2+C 36−n2C 362=12，解得 n =15 或 n =21，而 n >18，所以 n =21． 所以男生比女生多 6 人． 17. （1）x 24+y 22=1；（2） 由题意直线 MC 的斜率存在， 设其方程为 y =k x +2 ， 代入 x 24+y 22=1，得 1+2k 2 x 2+8k 2x +8k 2−4=0，所以 P −42k 2−22k +1,4k 2k +1，又 M 2,4k ，所以 OM⋅OP =4 为定值． 18. （1） 连接 AO ，在 △AOA 1 中，作 OE ⊥AA 1 于点 E ，因为 AA 1∥BB 1，得 OE ⊥BB 1． 因为 A 1O ⊥平面ABC ，所以 A 1O ⊥BC ，因为 AB =AC ，OB =OC ， 得 AO ⊥BC ，所以 BC ⊥平面AA 1O ，所以 BC ⊥OE ， 所以 OE ⊥平面BB 1C 1C ，又 AO = AB 2−BO 2=1，AA 1= 5， 得 AE =AO 2AA 1=55．（2）如图所示，分别以OA，OB，OA1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1,0,0，C0,−2,0，A10,0,2，B0,2,0，由1可知AE=15AA1得点E的坐标为45,0,25，由1可知平面BB1C1C的法向量是45,0,25，设平面A1B1C的法向量n=x,y,z，由n⋅AB=0n⋅A1C=0，得−x+2y=0y+x=0，令y=1，得x=2，z=−1，即n=2,1,−1，所以cos<OE,n>=OE⋅n∣OE∣⋅∣n ∣=3010，即所求二面角的平面角与<OE,n>互补，所求的余弦值是−3010．19. （1）因为AF1⋅AF2=0，所以AF1⊥AF2，因为∠AF1F2=60∘，所以离心率e=ca =2c2a=∣F1F2∣∣AF1∣+∣AF2∣=3−1．（2）因为a=2，b=1，所以c=1，点F1−1,0，F21,0．①若AB垂直于x轴，则A −1,22，B −1,−22，所以F2A= −2,22，F2B= −2,−22，F2A⋅F2B=4−12=72，②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为：y=k x+1，由y=k x+1x2+2y2−2=0，得1+2k2x2+4k2x+2k2−1=0，因为Δ=8k2+8>0，所以方程有两个不等的实数根．设A x1,y1，B x2,y2，x1+x2=−4k21+2k2，x1⋅x2=2k2−11+2k2，所以F2A=x1−1,y1，F2B=x2−1,y2，F2A⋅F2B=x1−1x2−1+y1y2=x1−1x2−1+k2x1+1x2+1=1+k2x1x2+k2−1x1+x2+1+k2=1+k22k2−11+2k2+k2−1 −4k21+2k2+1+k2=7k2−12=7−92,k2≥0，1+2k2≥1，0<11+2k2≤1，所以F2A⋅F2B∈ −1,72，所以当直线l垂直于x轴时，F2A⋅F2B取得最大值72，当直线l与x轴重合时，F2A⋅F2B取得最小值−1．20. （1）分别为4，15，64，325；（2）a n=A n1+A n2+⋯+A n n=n+n n−1+n n−1n−2+⋯+n!=n+n n−1+n−1n−2+⋯+n−1!=n+na n−1（3）由2可知1+a n−1a n =1n，所以1+1a11+1a2⋯1+1a n=1+a1a11+a2a2⋯1+a na n=1+a nn!=1n!+A n1n!+A n2n!+⋯+A n nn!=1n!+1n−1!+1n−2!+⋯+1n−n!=10!+11!+12!+⋯+1n!≤1+1+11⋅2+12⋅3+13⋅4+⋯+1n n−1 =3−1n<3n≥2,所以n≥2时不等式成立，而n=1时不等式显然成立，所以原命题成立．。

慈溪市201X 学年第一学期高三期中测试数学试题卷（理科）（时间：120分钟，满分：150分）一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案写在答题卷中相应的位置上）1．设集合2{|50}P x x x =-≤，0.22m =，则下列关系中正确的是 （ ▲ ）A 、m P ⊂B 、m P ∉C 、{}m P ∈D 、{}m P2．已知复数1z i =+（i 为虚数单位），则22z z+= （ ▲ ）A 、1i +B 、1i -C 、1i --D 、1i -+3．已知等比数列{}n a 中，公比1q >，且168a a +=，3412a a =，则116a a = （ ▲ ） A 、2 B 、3 C 、6 D 、3或64．设,a b 都是单位向量，且a 与b 的夹角为60，则||a b += （ ▲ ） A 、 3 B 、3 C 、2 D 、25．下列判断中不正确．．．的是 （ ▲ ） A 、命题“若AB B =，则A B A =”的逆否命题为真命题B 、“矩形的两条对角线相等”的否命题为假命题C 、若,,a b m R ∈，则“22am bm <”是“a b <”的充分不必要条件D 、*2,(1)0x N x ∀∈->6．将4名新分配来的教师安排到,,A B C 三所学校，每个学校至少安排1名教师，其中甲教师不能安排到B 学校，那么不同的安排方案共有 （ ▲ ） A 、54种 B 、24种 C 、18种 D 、12种 7．设函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+≠><的图像关于直线23x π=对称，且它的最小正周期为π，则 （ ▲ ） A 、()f x 的图像经过点1(0,)2B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、()f x 的图像的一个对称中心是5(,0)12π D 、()f x 的最大值为A 8．读下面的程序框图，若输出S 的值为7-，则判断框内空格处可填写 （ ▲ ） A 、6i < B 、5i < C 、4i < D 、3i <开始输出s 结束1,2i s ==否 是?2i i =+ s s i =-9．已知函数3()f x x x =--，,,a b c R ∈，且0,0,0a b b c a c +>+>+>，则()()(f a f b f c ++的值 （ ▲ ）A 、大于0B 、等于0C 、小于0D 、不确定10．集合{(,)|m n 关于x 的方程2*0(,)x mx n m n N --=∈的正根小于3}的元素个数（ ▲ ）A 、8B 、7C 、6D 、5二．填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题卷中相应的位置上） 11．在某一次唱歌比赛中，七位评委为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩数据的平均值和方差分别为 ▲ 、 ▲ ．12．在二项式25()a x x-的展开式中，含x 的系数是80-，则实数a 的值为 ▲ ．13．如右图，在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值等于 ▲ ．14．已知实数,x y 满足约束条件50,30,0,x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩则目标函数24z x y =+的最小值等于 ▲ ． 15．观察下图： 第一行：1第二行：2 3 4第三行：3 4 5 6 7第四行：4 5 6 7 8 9 10 … …CAMBP则第 ▲ 行的各数之和等于22011．16．已知函数|lg |,(0,10]()16,(10,)2x x f x x x ∈⎧⎪=⎨-+∈+∞⎪⎩，若a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则ab的值等于 ▲ ，c 的取值范围为 ▲ ． 17．设定义域为R 的函数()f x 满足：22111[(1)][()]242f x f x +-=--,且1()2f x ≥，若1(1)2f -=，则(2009)f 的值等于 ▲ ． 三．解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，把解答写在答题卷中的相应位置上）18．（本小题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知5a =，3b =，且sin 2sin C A =． （1）求c 的值； （2）求sin(2)4A π-的值．19．（本小题满分14分）在一个盒子中，放有标号分别为1,2,3的三个小球，现从这个盒子中，有放回．．．地先后随机摸出两个小球，其标号分别为,x y ，记|2|||x y x ξ=-+-． （1）求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； （2）求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ．20．（本小题满分14分）已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足：(1)0f -=，且21()(1)2x f x x ≤≤+对x R ∀∈恒成立．（1）求(1)f 的值； （2）求,,a b c 的值．21．（本小题满分15分）已知数列{}n a 的前n 项和为(n n S npa p =为常数，*)n N ∈，且12a a ≠．（1）求p 的值；（2）若21a =，试求数列{}n a 的通项公式，并指出是何种数列．22．（本小题满分15分）已知函数321()3f x x bx cx =++，,b c 为常数，且112b -<<，(1)0f '=．（1）证明：30c -<<； （2）若0x 是函数()2cy f x x =-的一个极值点，试比较0(4)f x -与(3)f -的大小．三．解答题（本大题共5小题，共72分） 18．（本小题满分14分）解（1）在ABC ∆中，sin 2sin C A = 由正弦定理可得：sin sin c aC A=, ∴2c a = ……3’ ∵5a =∴ 25c = ……4’（2）由余弦定理可得：22225cos 25b c a A bc +-== ……6’∴5sin 5A =……7’ ∴243sin 22sin cos ,cos 22cos 155A A A A A ===-= ……11’ 故 sin(2)sin 2coscos 2sin444A A A πππ-=- ……13’210=……14’ 19．（本小题满分14分）解（1）|2|||x y x ξ=-+- 且1,2,3x =，1,2,3y =∴21,2x y x -≤-≤，3ξ≤ ……2’ ∴当且仅当1,3x y ==或3,1x y ==时，3ξ=∴ξ的最大值为3， ……4’ ∴22(3)339P ξ===⨯ ……6’（2）∵ξ所有可能的取值为：0,1,2,3 ……7’ ∴11(0)339P ξ===⨯, 44(1)339P ξ===⨯,22(2)339P ξ===⨯ …… 10’ ∴随机变量ξ的分布列：ξ0 1 23P1949 29 29∴142214()012399999E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……14’21．（本小题满分15分） 解（1）数列{}n a 的前n 项和为n n S npa =∴当1n =时，111S pa a ==，∴1p =或10a = ……2’ 若1p =，∵n n S na =，则令2n =时，1222a a a +=即12a a =与已知矛盾！……3’ ∴10a = ……4’……12’又对n n S na =，令2n =，有2S =1a +222a pa =，可知20a ≠，可得12p =……7’22．（本小题满分15分）解（1）321()3f x x bx cx =++，∴ 2()2f x x bx c '=++ ……2’而(1)0f '=，则120b c ++=，即12cb +=- ……3’∵112b -<<∴11122c +-<-<， 1(1)2c -<-+<， 03c <-<， ……5’∴30c -<< ……6’（2）∵0x 是函数()2c y f x x =-的一个极值点∴0()02c f x '-=即0()2cf x '= ………8’又∵由（1）可得22()2(1)(1)()f x x bx c x c x c x x c '=++=-++=--……9’x(,)c -∞c(,1)c1(1,)+∞()f x ' +0 —0 +()f x极大极小∴()f x 的单调递增区间是：(,),(1,)c -∞+∞，递减区间：(,1)c ……12’ ∵可知0'()02cf x =< ∴01c x << ……13’。

2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面2．（4分）如图，直线y=ax+的图象可能是（）A．B．C．D．3．（4分）教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交4．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M，N关于直线2x+y=0对称，则圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=3 B．（x﹣1）2+（y+2）2=9 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=125．（4分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行6．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．7．（4分）已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2=25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（）A．15 B．10 C．D．58．（4分）已知三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的取值集合是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.9．（6分）直线l：x+y+3=0的斜率为，倾斜角α为．10．（6分）若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为、．11．（6分）在下面给出的条件中，若条件足够能推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：（1）条件：a∥b，b∥c，c⊂α，，结论：a∥α，（2）条件：α∩β=b，a∥b，a⊂β，，结论：a∥α．12．（6分）直线（m+3）x+my﹣6=0过定点，它与圆x2﹣4x+y2﹣1=0的位置关是．（填：相交、相切、相离或不确定）13．（4分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形．14．（4分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0．x2+y2的最小值为．15．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（10分）已知：A（8，﹣6），B（3，﹣1）和C（t，7）（Ⅰ）若A，B，C三点共线，试求t的值．（Ⅱ）若点C在直线AB的中垂线上，试求t的值．17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAB∥平面EFG（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的大小．18．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．19．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC 中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．20．（12分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．2015-2016学年浙江省宁波市慈溪市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8题，每题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列命题是真命题的是（）A．经过三点确定一个平面B．经过一条直线和一个点确定一个平面C．四边形确定一个平面D．两条相交直线确定一个平面【解答】解：对于A，当这三个点共线时，经过这三点的平面有无数个，故A不正确；对于B，当此点刚好在已知直线上时，有无数个平面经过这条直线和这个点，故B不正确；对于C，空间四边形不一定能确定一个平面，故B不正确对于D，根据平面的基本性质公理3的推论，可知两条相交直线可唯一确定一个平面，故D正确；故选：D．2．（4分）如图，直线y=ax+的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知a≠0．假设a＞0，则直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都大于0，则A，C，D都不符合．假设a＜0，则直线y=ax+的斜率与在y轴上的截距都小于0，只有B符合．综上：只有B正确．故选：B．3．（4分）教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在直线（）A．垂直B．异面C．平行D．相交【解答】解：由题意得可以分两种情况讨论：①当直尺所在直线与地面垂直时，则地面上的所有直线都与直尺垂直，则底面上存在直线与直尺所在直线垂直；②当直尺所在直线若与地面不垂直时，则直尺所在的直线必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直，则得到地面上总有直线与直尺所在的直线垂直．∴教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线与直尺所在直线垂直．故选：A．4．（4分）已知圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M，N关于直线2x+y=0对称，则圆的方程为（）A．（x﹣1）2+（y+2）2=3 B．（x﹣1）2+（y+2）2=9 C．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=12【解答】解：因为圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0上两点M、N关于直线2x+y=0对称，所以直线经过圆的圆心，圆x2+y2﹣2x+my﹣4=0的圆心坐标（1，﹣），所以2×1﹣=0，m=4．所以圆的半径为：=3，所以圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9故选：B．5．（4分）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C 正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选：C．6．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．7．（4分）已知过点C（6，﹣8）作圆x2+y2=25的切线，切点分别为A，B，那么点C到直线AB的距离为（）A．15 B．10 C．D．5【解答】解：如图所示：直角三角形CAO中，CO=10，半径OA=5，∴∠ACO=30°，CA==5．设点C到直线AB的距离为h=CD，直角三角形ACD中，cos∠ACO=cos30°==，∴h=CA•cos30°=，故选：C．8．（4分）已知三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0不能构成三角形，则实数m的取值集合是（）A．B．C．D．【解答】解：若三条直线有两条平行或三条直线经过同一个点，则不能构成三角形，①三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0有两条平行，则﹣m=﹣4，=﹣4，或=﹣m．解得m=4，m=﹣，或m∈∅．此时m=4，或﹣．②三条直线4x+y=4，mx+y=0，2x﹣3my﹣4=0共点，联立，解得，代入直线2x﹣3my﹣4=0，可得：3m2+m﹣2=0，解得m=，﹣1．综上可得：实数m的取值集合是．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.9．（6分）直线l：x+y+3=0的斜率为，倾斜角α为．【解答】解：由直线l：x+y+3=0，可得直线l的斜率为k=﹣．设其倾斜角为α（0≤α＜π），则tan，∴．故答案为：，．10．（6分）若圆的方程为，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径分别为（0，﹣1）、1．【解答】解：∵圆的方程为．∴r2=1﹣k2＞0，r max=1，此时k=0．∴圆心为（0，﹣1）．故答案为：（0，﹣1），1．11．（6分）在下面给出的条件中，若条件足够能推出a∥α，则在横线上填“OK”；若条件不能保证推出a∥α，则请在横线上补足条件：（1）条件：a∥b，b∥c，c⊂α，a⊄α，结论：a∥α，（2）条件：α∩β=b，a∥b，a⊂β，OK，结论：a∥α．【解答】解：∵a∥b，b∥c，c⊂α，∴由直线与平面平行的判定定理得，当a⊄α时，a∥α，∵α∩β=b，a∥b，a⊂β，则由直线与平面平行的判定定理得a∥α．故答案为：a⊄α，OK．12．（6分）直线（m+3）x+my﹣6=0过定点（2，﹣2），它与圆x2﹣4x+y2﹣1=0的位置关是相交．（填：相交、相切、相离或不确定）【解答】解：直线（m+3）x+my﹣6=0可化为m（x+y）+（3x﹣6）=0，令，解得x=2，y=﹣2，所以该直线过定点（2，﹣2），因为22﹣4×2+（﹣2）2﹣1=﹣1＜0所以直线与圆相交故答案为：（2，﹣2），相交13．（4分）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABC，此图形中有4个直角三角形．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：414．（4分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0．x2+y2的最小值为．【解答】解：x2+y2﹣4x+1=0等价为（x﹣2）2+y2=3，则圆心C（2，0），半径R=，x2+y2的几何意义为圆上的点到原点距离的平方．原点到圆心的距离d=2，则圆上点到圆的最小值为|R﹣d|=2﹣，则x2+y2的最小值为．故答案为：．15．（4分）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是．【解答】解：连结ND，取ND 的中点为：E，连结ME，则ME∥AN，异面直线AN，CM所成的角就是∠EMC，∵AN=2，∴ME==EN，MC=2，又∵EN⊥NC，∴EC==，∴cos∠EMC===．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共52分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．（10分）已知：A（8，﹣6），B（3，﹣1）和C（t，7）（Ⅰ）若A，B，C三点共线，试求t的值．（Ⅱ）若点C在直线AB的中垂线上，试求t的值．【解答】解：（Ⅰ）∵A（8，﹣6），B（3，﹣1），∴直线AB方程为y=﹣x+2，…（3分）∴C代入，可得7=﹣t+2，∴t=﹣5…（5分）（Ⅱ）∵AB的中点为（5.5，﹣3.5）∴直线AB中垂线方程为y=x﹣9…（8分）∴7=t﹣9，∴t=16…（10分）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面PAB∥平面EFG（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的大小．【解答】（本题满分10分）证明：（Ⅰ）∵在△PDC中，E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面ABP，且AB⊂平面ABP，∴EF∥平面ABP，…（2分）同理EG∥平面ABP，…（4分）又∵EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG．…（5分）解：（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，又∵AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，∴∠PAD是二面角P﹣AB﹣C的平面角…（7分）在RT△ADP中，，∵∠PAD∈[0，π）∴…（9分）∴二面角P﹣AB﹣C的大小为…（10分）18．（10分）已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2=4（a＞0）及直线l：x﹣y+3=0．当直线l被圆C截得的弦长为时，求（Ⅰ）a的值；（Ⅱ）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．【解答】解：（Ⅰ）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，则圆心到直线l：x﹣y+3=0的距离，由勾股定理可知，代入化简得|a+1|=2，解得a=1或a=﹣3，又a＞0，所以a=1；（Ⅱ）由（1）知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，圆心坐标为（1，2），圆的半径r=2由（3，5）到圆心的距离为=＞r=2，得到（3，5）在圆外，∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y﹣5=k（x﹣3）由圆心到切线的距离d==r=2，化简得：12k=5，可解得，∴切线方程为5x﹣12y+45=0；②当过（3，5）斜率不存在直线方程为x=3与圆相切．由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3．19．（10分）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形．AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．（Ⅰ）求证：BE∥平面APD；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD．【解答】证明：（1）取PD的中点F，连结EF，AF，因为E为PC中点，∴EF∥CD，且，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD（2）平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD在直角梯形ABCD中，，∴∠CBD=90°，即DB⊥BC．又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．20．（12分）已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y﹣4=0相交于M、N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，∴方程表示圆时，m＜5；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1=4﹣2y1，x2=4﹣2y2，得x1x2=16﹣8（y1+y2）+4y1y2，∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2=0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0①，由，得5y2﹣16y+m+8=0，∴，．代入①得．（3）以MN为直径的圆的方程为（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y=0，∴所求圆的方程为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

浙江省慈溪市第一学期高三数学理科期中联考试卷 人教版（本卷满分150分 考试时间为120分钟）一.选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．2(1)(2)lim42n n n n →∞-+=+┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A ．14 B ．14- C ．12 D ．12-2．p ：21x >，q ：1x >，那么p 是q 的┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．已知函数cos ,(0),()21,(0),x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩ 则[()]3f f π-的值为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( )A ．12-B ．12C ．2-D ．0 4．等差数列{}n a 中，若5612a a +=，151628a a +=，则2526a a +的值为┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A ．16 B ．26 C ．44 D ．48 5．如图，设ABC ∆的三条边的中线,,AD BE CF 相交于点G ，则下列 三个向量：AB BC CA ++，GA GB GC ++，AF BE CD ++中， 等于零向量的有┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个6．已知02παβπ<<<<，3sin 5α=，4cos()5αβ+=-，则sin β=┄┄┄┄┄┄┄( )A ．2425B ．2425-C ．0或2425D ．0或2425-7．下列结论正确的是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A ．当01x <<时，1lg 2lg x x +≥ B ．当2x ≥时，12x x+≥ C ．当1x >时，11x x +-有最小值 D ．当02x <≤时，1x x-无最大值 8．在ABC ∆中，4AB =，5BC =，6AC =，AD 是A ∠的内角平分线，那么ABD ∆的面积为（ ）AB C D E FGA B ． C D ．9．如图，画一个边长为2cm 的正三角形，再将这个三角形各边的中点 相连得到第二个正三角形，依次类推，这样一共画了10个正三角形， 那么这10个正三角形的面积和为┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄（ ）A 1024)cm --B 1022)cm --C 1024)cm --D 1022)cm --10．设(),()f x g x 分别是定义R 在上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0f x g x f x g x ''+<， 且(2)0f -=，则不等式()()0f x g x ⋅>的解集是┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄( ) A ．(2,0)(2,)-+∞ B ．(2,0)(0,2)- C ．(,2)(2,)-∞-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．11．不等式||11x xx x >--的解集是 ． 12．设数列2{}(1)n n +的前n 项和为n S ，则n S = ．13．设a ，b 是夹角为60的单位向量，则2a b +与32a b -的夹角为 ． 14．关于函数()sin(2)3f x x x R π=+∈，有下列命题：①由12()()0f x f x ==，可得12||x x -必是π的整数倍； ②函数()y f x =的表达式也可写成cos(2)6y x π=-；③函数()y f x =的图象关于点(,0)6π-对称；④函数()y f x =的图象是由正弦曲线上所有的点向左平移3π个长度单位，再把横坐标缩短到 原来的12倍得到的，其中正确的命题是 ．（把正确命题的序号填上） 三.解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．15．（本题满分14分）已知全集U R =，集合{||25|}A x x a =+<，2{|60}B x x x =-->． ⑴ 当3a =时，求A B ，()U A B ；⑵ 当A B B =时，求实数a 的取值范围．16．（本题满分14分）已知函数()2cos (sin cos ),f x x x x x R =-∈． ⑴ 求函数()f x 的最小正周期和最大值； ⑵ 求函数()f x 在[,]ππ-上的单调递减区间；⑶ 在给定的坐标系中，用列表描点画出函数()y f x =在[,]ππ-上的图象．17．（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域为R ，且2(log )(af x x a x=+为正常数)． ⑴ 当2a =时，求函数()f x 的解析式及值域； ⑵ 如果函数()f x 是偶函数，求a 的值；⑶ 当函数()f x 是偶函数时，用定义证明()f x 在(0,)+∞上是增函数．18．（本题满分14分）设{}n a 为等比数列，1231(1)(2)2n n n T na n a n a a a -=+-+-+++，已知11T =，24T =．⑴ 求数列{}n a 的首项和公比； ⑵ 求数列{}n T 的通项公式．19．（本题满分14分）已知向量(1,1)a =，向量b 与a 的夹角为34π，且1a b ⋅=-． ⑴ 求向量b ； ⑵ 设向量(2sin,cos )2x c x =，(1,0)d =，若向量d 与b 的夹角为2π， 求()||f x b c =+的最大值．20．（本题满分14分）设()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，当x ∈[1,0]-时，()(2)f x g x =-，且当x ∈[2,3]时， 3()2(2)4(2)g x a x x =---． ⑴ 求函数()f x 的表达式；⑵ 是否存在正实数a ，使函数()f x 的图象的最高点在直线12y =上，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．[参考答案]一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．B 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．A 9．C 10．D 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11．{|01}x x << 12．21nn + 13．60 14．②、③、④ 三．解答题：本大题共6小题，每小题14分，共84分．15．解：(Ⅰ)当3a =时，|25|3x -<，得41x -<<-,∴ {|41}A x x =-<<- ……2分U{|4,1}A x x x =≤-≥-或 ……3分又 {|2,3}B x x x =<->或 ……4分 ∴ {|42}A B x x =-<<- ……6分()U{|2,1}A B x x x =<-≥-或 ……8分(Ⅱ) 由AB B =，知A B ⊆ 55{|}22a a A x x +-=-<<，{|2,3}B x x x =<->或 ……10分当0a ≤时，A =∅，满足A B B =. ……11分当0a >时，522a -≤- 或 532a +-≥ 得 ……12分11a ≤ 或11a ≤-（舍）∴ 01a <≤ ……13分故当1a ≤时，有A B B =. ……14分16．解：(Ⅰ)2()2sin cos 2cos f x x x x =⋅-sin 2(1cos 2)x x =-+ ……2分)14x π=-- ……3分∴ T π= , max ()1f x = ……5分(Ⅱ) 由于 3222242k x k πππππ+≤-≤+()k Z ∈ 得 3788k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈ ……7分 由 [,]x ππ∈-，取1,0k =-得()f x 在[,]ππ-上的单调递减区间为5[,]88ππ-- ，37[,]88ππ……10分 （Ⅲ）……12分……14分17．解：(Ⅰ)设2log x t =，则2()tx t R =∈ ……1分得2()22tt f t =+， ∴ 2()22xx f x =+，()x R ∈ ……3分∴ 2()2222x x f x =+≥，当且仅当222xx =，即当12x =时，取“=”号，∴ ()f x 的值域为[22,)+∞ . ……5分(Ⅱ) 如果函数是偶函数，则有()()f x f x -=，∴ 2222xxx xa a --+=+ ……7分 ∴ 1(1)(2)02xx a --=对任意x R ∈恒成立. ∴ 1a = ……9分 （Ⅲ）当()f x 是偶函数时，1()22xx f x =+ ……10分设120x x <<，则 12121211()()2(2)22xx x x f x f x -=+-+ 21121222(22)22x x x x x x -=-+⋅122-1-2π-4π-4π2π21--21-12121(22)(1)2x x x x +=--……12分∵ 120x x <<，∴ 1222x x <，1221x x+>∴ 12220xx -<，121102x x +-<， ……13分∴ 12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <故()f x 在(0,)+∞上是增函数. ……14分 18．解：(Ⅰ)设等比数列{}n a 的公比为q ，则11212111224T a T a a a a q ==⎧⎨=+=+=⎩ ……3分∴ 11a =，2q = ……5分(Ⅱ)由(Ⅰ)得12n n a -= ……6分 ∴ 2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⨯+-⨯+-⨯++⨯+⨯ ①又23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⨯+-⨯+-⨯++⨯+⨯ ② ……8分由②-①得 21(222)2n n n T n -=-+++++ ……10分12(21)221n n n --=-++- ……12分 122n n +=--故数列{}n T 的通项公式是12(2)n n T n +=-+. ……14分19．解：(Ⅰ) 设(,)b m n =，由3,4a b π<>=，1a b ⋅=-，得3cos 141m n π⎧=-⎪⎨⎪+=-⎩ ……3分 即2211m n m n ⎧+=⎨+=-⎩……4分∴ 10m n =-⎧⎨=⎩ 或01m n =⎧⎨=-⎩ ∴ (1,0)b =-或(0,1)b =- ……6分(Ⅱ) 由b d ⊥，(1,0)d =，得(0,1)b =- ……7分 ∵ (2sin,cos 1)2xb c x +=- ……8分 ∴ 2()||()f x b c b c =+=+224sin (cos 1)2xx =+- ……10分 22(1cos )cos 2cos 1x x x =-+-+2(cos 2)1x =-- ……12分故当cos 1x =-时，max ()22f x = ……14分 20．解：(Ⅰ)当[1,0]x ∈-时，有2[2,3]x -∈∴ 33()(2)2()4()42f x g x a x x x ax =-=---=- ……2分 ∵ ()f x 在[1,1]-上是偶函数，∴ 当[0,1]x ∈时，有3()()42f x f x x ax =-=-+ ……4分故 33(10)42()(01)42x x ax f x x x ax -≤<⎧-=⎨≤≤-+⎩ ……5分 (Ⅱ)命题条件等价于max ()12f x =，因为()f x 在[1,1]-上是偶函数，所以只需要考虑[0,1]x ∈的情况： ……6分∵2()122f x x a '=-+， 令()0f x '=，得6a x =()6ax =-舍去 ……8分 当016a<<，即06a <<，∴3max ()212f x f ==-+=解得 6a =>，不合题意. ……11分1≥，即6a ≥时，有()0f x '>，∴ ()f x 在[0,1]上是增函数， ∴ max ()(1)4212f x f a ==-+= ∴ 8a = ……13分综上所述，存在8a =，使函数()f x 的图象最高点在直线12y =上. ……14分。

慈溪中学2015学年第一学期期中检查高二（2-10）班数学试卷一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积 是( )A ．902cm B ．1292cm C ．1322cm D ．1382cm2.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （ ）A.35003cm π B ．38663cm π C ．313723cm πD ．320483cm π 3．设α,β,γ是三个互不重合的平面,m ,n 是直线,给出下列命题：①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β,m ⊄β,m ∥α,则m ∥β;③若m ,n 在γ内的射影互相垂直,则m ⊥n ;④若m ∥α,n ∥β，α⊥β,则m ⊥n .其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．如图,在二面角的棱上有两个点A ，B ，线段,AC BD 分别在二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB ,=46,AB cm AC cm =，cm BD 8=,cm CD 172=,则这个二面角的度数为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 5.三棱锥O A B C -中，,,,O AO B O B O C OC⊥⊥⊥若,OA OB a OC b ===，D 是该三棱锥外部(不含表面)的一点，则下列命题正确的是（ ）① 存在无数个点D ，使OD ABC ⊥面；② 存在唯一点D ，使四面体ABCD 为正三棱锥； ③ 存在无数个点D ，使OD AD BD CD ===；④ 存在唯一点D ，使四面体ABCD 有三个面为直角三角形. A.①③ B.①④ C.①③④ D.①②④ 6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<<C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<7．如图，矩形ABCD 中,AB=2AD,E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是( )A ．｜BM ｜是定值B ．点M 在某个球面上运动C ．存在某个位置，使DE ⊥A1 C D ．存在某位置，使MB//平面A 1DE 8.如图，棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．11DC D P ⊥B ．平面11D A P ⊥平面1A APC ．1APD ∠的最大值为90 D ．1AP PD +二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每空3分，第13，14，15题每空4分，共36分．）9.已知O(0,0,0)，A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x ，-8,8),若OC ⊥AB 则x=________；若O 、A 、B 、C 四点共面,则x=___________．10．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，B 1D 与BC 1夹角的大小是________；若E 、F 分别为AB 、CC 1的中点，则异面直线EF 与A 1C 1夹角的大小是__________.11．在三棱锥A-BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ABD 的面积分别为错误！未找到引用源。