下载文档原格式
研究群的子群的乘积的阶内容摘要：通过对群的子群的乘积的探究，明白子群的乘积的阶和子群的阶的关系。
近世代数以具有代数运算“乘法”的集合作为主要的研究对象，研究的主要是抽象代数系统的性质与结构。
而群论是近世代数的一个重要的分支，因此群论中的许多思想方法有着重要的意义，在很多领域中有着广泛的应用，可以帮助我们解决一些复杂的问题，更好的理解群的概念，以及群的阶的概念。
我们知道，群的子群的乘积需满足一定条件时，才可确定它是子群。
那么子群的阶的乘积和子群的乘积的阶又满足怎样的关系？这次我们将探讨。
当然，除非特殊说明，本文“乘法”还是指的群中满足的代数运算。
关键字：群、子群、子群的乘积、子群的阶陪集和指数是两个重要概念，他们通过拉格朗日定理相联系，具有十分微妙的关系。
首先，我们看群的阶是如何定义的:如果一个有限群G中所包含的元素个数为n，则称n为群G的阶，并记为|G|=n。
无限群的阶称为无限，被认为是大于任意的正整数。
其实群的阶就是指群中元素的个数，利用是否属于同一左陪集可将群中元素分成若干甚至无限类，且每一类中元素个数相同。
下面我们来看。
定义：设H是群G的一个子集，a G。
则称群G的子集aH={ax|x H}为群G关于子群H的一个左陪集。
而称Ha={xa|x H}为群G关于子群H的一个右陪集。
显然，当G为交换群时，左陪集和右陪集相等。
这是一个特殊情况。
须注意，这里说的是左陪集，也就是子集而非子群，须满足一定条件才可将子集改为子群。
这在下面还将作进一步讨论。
很显然，左陪集满足如下性质。
1. a aH证明：H是子群，e H，故a=ae aH2. aH aH=H证明：设aH=H。
则由1知，a aH，所以a H。
设a H，任取ax aH，因为H为子群，所以ax H，即aH H。
同样，任取x H，又a H，则x=ex==a()aH，即H aH。
3. b aH aH=bH证明：设aH=bH，由1得b bH，所以b aH。
子群的概念和性质一、子群的定义子群是指一个群中的一部分元素构成的集合。
具体来说，设 G 是一个群，H 是 G 的一个子集，如果 H 中的所有元素都可以用 G 中元素的组合来表示，那么 H 就称为 G 的一个子群，记作 gH，其中 g 是 G 中的任意元素。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。
那么 H 就是一个子群，因为 H 中的所有元素都可以用 G 中元素的组合来表示，即 H={1,2}={1,2,3}。
二、子群的性质子群有许多重要的性质。
下面我们来介绍一下子群的交叠、子群的补集、子群的子群等。
1. 子群的交叠设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，K 是 G 的另一个子群。
那么，H 和 K 的交叠 (即 H 和 K 的交集) 是一个子群，称为 H 和K 的交叠子群。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2},K={1,3}。
那么，H 和 K 的交叠={1,2},是一个子群。
2. 子群的补集设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。
那么，H 的补集是指 G 中所有不等于 H 的子群的集合。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。
那么，H 的补集包括 G 的所有其他子群，即 G={1,2,3}。
3. 子群的子群设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群。
那么，H 的子群是指 H 中所有元素的集合，即 H 的补集。
举个例子，设 G 是一个由三个元素{1,2,3}构成的群，H={1,2}。
那么，H 的子群包括 G 的所有其他子群，即 G={1,2,3}。
三、子群的应用子群在群论中有着广泛的应用。
下面我们来介绍一下子群在群论中的三大应用。
1. 子群的交叠可以用于证明群的同构定理。
2. 子群的补集可以用于证明群的分解定理。
3. 子群的子群可以用于证明群的同态定理。
§8 子群一、子群的定义定义若群G的非空子集H对于G的乘法来说作成一个群, 则称H为G的子群, 记为H ≤G .例1 设G是一个群, 则H1 = G和H2 = { e } 都是G的子群(平凡子群).非平凡子群H也叫真子群, 记为H <G .例2 对于普通乘法来说, C*是一个群. R*是C*的一个子群.例3 在整数加群Z中, H = { 2n | n∈Z } 是一个子群.推论设H ≤G, 则H的单位元就是G的单位元e ; ∀a∈H, a 在H中的逆元就是a在G中的逆元.二、子群的判别定理1 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H⇒ab∈H；(ii )∀a∈H⇒a -1∈H.定理2 群G的非空子集H作成G的子群的充要条件是(iii) ∀a, b∈H⇒ab -1∈H.定理3 群G的非空有限子集H作成G的子群的充要条件是(i) ∀a, b∈H ⇒ab∈H.三、子群的生成设G是一个群, 取定a∈G, 作子集H = { a n | n∈Z }.则H是G的一个子群. H叫做元a生成的(循环)子群:H = ( a ) .例4 G = { 1, -1, i, -i} 关于普通乘法作成一个群( i是虚数单位) . 由元- 1 生成的循环子群为H = ( -1 ) = { 1, -1 }.例5 在模6的剩余类加群Z6中, 由元[ 2 ] 生成的循环子群为H = ( [ 2 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] }.四、循环群的子群定理4 循环群的子群仍为循环群.例6 在模6的剩余类加群Z6是循环群, 所以其子群都是循环子群. 故Z6的所有子群为H0 = ( [ 0 ] ) = { [ 0 ] };H1 = ( [ 1 ] ) = ( [ 5 ] ) = Z6= { [ 0 ], [ 1 ], [ 2 ], [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] };H2 = ( [ 2 ] ) = ( [ 4 ] ) = { [ 0 ], [ 2 ], [ 4 ] };H3 = ( [ 3 ] ) = { [ 0 ], [ 3 ] }.。
特殊线性群SL2(Z4)中的正规子群和sylowP-子群许景飞【摘要】线性群是群论研究中的重要群类,对于群的正规子群和sylowP-子群的研究可以更好的研究这个群本身的性质.本文找出了特殊线性群SL2(Z4)中所有的正规子群和所有的sylowP-子群.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2018(039)006【总页数】6页(P7-12)【关键词】共轭类;正规子群;循环群;sylowP-子群【作者】许景飞【作者单位】赣南师范大学数学与计算机科学学院,江西赣州341000【正文语种】中文【中图分类】O152.1特殊线性群SL2(Zm)的正规子群和sylowP-子群的研究目前没有一个很好的结果，本文通过研究n=2,m=4的情况，得到了一些好的结果.已知特殊线性群SL2(Z4)的阶为48，且该群中的元素按阶的分类为：1阶元：2阶元：3阶元：4阶元：6阶元：由于∀a∈SL2(Z4)有|aSL2(Z4)|=|SL2(Z4)∶NSL2(Z4)(a)|,可得SL2(Z4)的共轭分类如下:若A◁SL2(Z4)，则A一定是由SL2(Z4)中若干个共轭类组成[1].这样就可以通过对共轭类的分析可得到满足正规子群的条件，从而可以得到SL2(Z4)中的全部正规子群.再根据sylow定理和对矩阵迹的分类可构造出SL2(Z4)的所有sylowP-子群.1 SL2(Z4)的正规子群定理1[2] ∀则证明由于ad-(4-b)(4-c)=(ad-bc)-[16-4(b+c)]≡1(mod 4)，则有很容易验证：所以定理得证.定理2 若是SL2(Z4)中的一个3阶元⟺tr M=a+d=3.证明对于3阶元则当a=d时,b(2a+1)≡0(m od 4)，c(2a+1)≡0(mod 4),由于2a+1为奇数，所以b=0,c=0,又由于则当a+d+1≡0(mod 4)时,此时或或或或或或或当a-d=2时,a+d+1≡2⟺a+d=1或5，此时无解；当a-d=-2时，a+d+1≡2⟺a+d=1或5，此时无解.综上所述，我们得到了SL2(Z4)中的所有的3阶元，且给出了3阶元的一个刻画.即若是SL2(Z4)中的一个3阶元⟺tr M=a+d=3.性质1 SL2(Z4)中任意两个不同的2阶元则还是SL2(Z4)中的2阶元.证明由于2阶元满足的条件是则由于(其中i,j=1,2),所以而所以性质1成立.性质2 SL2(Z4)中任意两个的2阶元是交换的.证明又由于a1a2+b1c2≡a1a2+b2c1(mod 4)，所以性质2得证.定理3 若是SL2(Z4)中的一个4阶元⟺证明对于4阶元为SL2(Z4)的2阶元, 那么有定理4 若是SL2(Z4)中的一个6阶元⟺tr M≡1(mod 4).证明对于6阶元则为SL2(Z4)的3阶元，得a2+bc+bc+d2≡3(mod 4) ⟺a2+d2+2(ad-1)≡(a+d)2-2≡3(mod 4) ⟺(a+d)2≡1(mod 4) ⟺a+d≡1(mod 4) ⟺a+d=1或a+d=5或a+d=3, 这样得到了6阶元的等价条件：即若M为SL2(Z4)的6阶元⟺tr M≡1(mod 4).2 SL2(Z4)中的非平凡正规子群设A◁SL2(Z4)，|A|=2i3j(0≤i≤4,q≤j≤1)，由于A一定是由SL2(Z4)中若干个共轭类组成，所以可知：其中xs=|ns|,ks=0或1,2≤s≤10).性质3 当i≠0时，对于正规子群A有下面的结论：若n5,n6中只有一个是A的组成部分，那么n2一定不是A的组成部分.若n5,n6都不是或者都是A的组成部分，那么n2一定是A的组成部分.性质4 ∀则证明由于则a1+d1=3.又由于a1d1-b1c1≡1(mod 4)知：b1c1为奇数.当a2=d2=1时，有a1a2+b1c2+c1b2+d1d2≡3a2+2≡1(mod 4)；当a2=d2=3时，b2=c2=2,则a1a2+b1c2+c1b2+d1d2≡3a2≡1(mod 4)；所以又因为所以性质5 ∀则证明由于a1+d1=3，则b1c1为奇数.在n6中，当a2=d2=3时，a1a2+b1c2+c1b2+d1d2≡3a2+2≡3(mod 4); 当a1+d1=1时，a1a2+b1c2+c1b2+d1d2≡3a2≡3(mod 4), 从而知：同理可证明：∀则∀则性质6 ∀则或∈n6.证明∀则a+d≡1(mod 4).若a>d可知a为奇数，d为偶数.当a1>d1,a2>d2时，2a1a2≡2(mod 4).分情况讨论：时，有b1c1=3=b2c2,b1c2+c1b2≡2(mod 4)，a1a2+d1d2≡1(mod 4)，此时b1c2+c1b2+a1a2+d1d2≡3(mod 4)；时，有b1c1=3,b2c2≡1(mod 4)，则b1c2+c1b2≡0(mod 4), 此时b1c2+c1b2+a1a2+d1d2≡a1a2+(1-a1)(1-a2)≡3(mod 4)；时，有b1c1≡1(mod 4),b2c2=3，则b1c2+c1b2≡0(mod 4), 此时b1c2+c1b2+a1a2+d1d2≡a1a2+(1-a1)(1-a2)≡3(mod 4)；时，b1c1≡b2c2≡1(mod 4)，则b1c2+c1b2≡2(mod 4), 此时b1c2+c1b2+a1a2+d1d2≡3(mod 4).当a1>d1,a2<d2时，2a2d1≡0(mod 4),2a1d2≡0(mod 4).分情况讨论：时，b1c1=b2c2=3则b1c2≡b2c1(mod 4).此时a1a2+b1c2≡b1c2≡b2c1+d1d2(mod 4)及同时当b1c2=3时知：b1=b2,c1=c2则a1b2+b1d2+a2c1+c2d1=b1+b2≡2(mod 4), 当b1c2≡1(mod 4)时有a1b2+b1d2+a2c1+c2d1=b1+b2≡0(mod 4). 所以，此时时，b1c1=3,b2c2≡1(mod 4).则有或此时有a1a2+b1c2≡2+b1c2≡b2c1≡b2c1+d1d2(mod 4)及同时当b1c2≡1时，a1b2+b1d2+a2c1+c2d1≡b1+b2(mod 4). 当b1c2=3时，a1b2+b1d2+a2c1+c2d1≡b1+b2≡0(mod 4), 所以，此时时b1c1≡1(mod 4),b2c2=3则或此时a1a2+b1c2≡b1c2≡2+b2c1≡b2c1+d1d2(mod 4)及同时，当b1c2≡1(mod 4)时知b1=c2,a1b2+b1d2+a2c1+c2d1≡b1+b2≡0(mod 4). 当b1c2=3时知b1=b2，则a1b2+b1d2+a2c1+c2d1≡b1+b2≡2(mod 4), 所以：时，b1c1≡b2c2≡1(mod 4)，bc2≡b2c1≡1(mod 4). 此时a1a2+b1c2≡d1d2+b2c1(mod 4)及同时：当b1c2≡1(mod 4)时，a1b2+b1d2+a2c1+c2d1≡5(b1+b2)≡2(mod 4). 当b1c2≡3(mod 4)时，b1+c2≡b1+b2≡0(mod 4)，a1b2+b1d2+a2c1+c2d1≡0(mod 4), 所以：从而得证.同理可以证明：∀则或∈n6；∀则或∈n6.设集合A为SL2(Z4)中若干个共轭类的并，|A|=2i3j(0≤i≤4,q≤j≤1)，若此时A为一个群，那么A为SL2(Z4)的正规子群.定理5 SL2(Z4)中的所有的正规子群有：A=n1∪n2∪n5∪n6, |A|=8；A=n1∪n6,|A|=4；A=n1∪n2,|A|=2；A=n1∪n2∪n3∪n4∪n5∪n6,|A|=24；A=n1∪n6∪n4,|A|=12.证明我们可分如下8种情况来验证和证明，限于篇幅,本文只验证和证明第5种和第8种情况.当j=1,i=3时，此时A=n1∪n2∪n3∪n4∪n5∪n6或n1∪nλ∪n9∪n10∪n6或n1∪n2∪n3∪n4∪nt或n1∪nλ∪n6∪n7∪n8或n1∪nλ∪n6∪n9∪n10(其中λ=3,4;t=7,8,9,10)；当j=1,i=0时，|A|=3，此时A不存在.由sylow定理知：sylow2-子群的个数为4. 这样就讨论清楚了SL2(Z4)中的所有的正规子群有：A=n1∪n2∪n5∪n6, |A|=8；A=n1∪n6,|A|=4；A=n1∪n2,|A|=2；A=n1∪n2∪n3∪n4∪n5∪n6,|A|=24；A=n1∪n6∪n4,|A|=12.3 SL2(Z4)的sylowP-子群由于|SL2(Z4)|=24×3，则知：SL2(Z4)的sylow2-子群P2的阶为24，sylow3-子群P3的阶为3.对于sylow3-子群P3：由于|P3|=3，则知P3为循环群.因此SL2(Z4)的4个sylow3-子群分别是：对于sylow2-子群P2：由于|P2|=16，则P2中没有3阶元和6阶元.定理6 SL2(Z4)的sylow2-子群为：n1∪n2∪n5∪n6∪T1；n1∪n2∪n5∪n6∪T2；n1∪n2∪n5∪n6∪T3.证明∀由于所以知：a,b,c,d这四个数中最多有2个数是偶数，至少有1个数是偶数.当b,c为偶数时，的阶为2.下面对n7∪n8∪n9∪n10中元素进行讨论：∀A1,A2∈n7∪n8∪n9∪n10，易证下面结论：设则有：A1中a1,b1为偶数.当A2中只有b2为偶数时，则tr(A1A2)为奇数；当A2中只有c2为偶数时，则tr(A1A2)为奇数；当A2中a2,d2为偶数时，tr(A1A2)为偶数. A1中只有b1为偶数.当A2中只有b2为偶数时，则tr(A1A2)为偶数；当A2中只有c2为偶数时，则tr(A1A2)为奇数；当A2中a2,d2为偶数时，tr(A1A2)为奇数.A1中只有c1为偶数.当A2中只有b2为偶数时，则tr(A1A2)为奇数；当A2中只有c2为偶数时，则tr(A1A2)为偶数；当A2中a2,d2为偶数时，tr(A1A2)为奇数.从而知：A1,A2∈n7∪n8∪n9∪n10，按tr(A1A2)为偶数，把n7∪n8∪n9∪n10分成3类为：所以可知，3个sylow2-子群为：n1∪n2∪n5∪n6∪T1；n1∪n2∪n5∪n6∪T2；n1∪n2∪n5∪n6∪T3.【相关文献】[1] 徐明曜,等.有限群导引(上册)[M].(第2版)北京:科学出版社,2001.[2] M. I. Kargapolov, Ju. I. Merzljakov. Fundamentals of the Theory of Groups[M].Springer-Verlag,1979.。
（一）已完成1字母表示？A、NB、MC、ZD、W我 答案：C2成 字应关系？A、交叉 应B、一一 应C、二一 应D、一二 应我 答案：B3谁创立 ？A、柏拉图B、康托C、笛卡尔D、牛顿-莱布尼茨我 答案：D4 一 已 平行？A、没B、一C、至 2D、无我 答案：A5 表 人A、牛顿B、 马C、笛卡尔D、莱布尼茨我 答案：D6人A、牛顿B、 马C、笛卡尔D、莱布尼茨我 答案：A7一 A、 氏B、罗氏C、D、解我 答案：B8解。
我 答案：×9要环节:观察－抽象－探索－猜测－ 证。
我 答案：√10牛顿 莱布尼茨 立作者。
我 答案：√（二）已完成1表示 ？A、{6R|R∈Z}B、{7R|R∈N}C、{5R|R∈Z}D、{7R|R∈Z}我 答案：D2 一 ？A、自然B、小C、D、无理我 答案：C3例子 a,b 一子 要？A、a b6相B、a b7相C、a b7 相D、a b相我 答案：B4不包括A、确定B、互异C、无序我 答案：D5A={12}B={3,4},A∩B=A、ΦB、AC、BD、{1,2,3,4}我 答案：A6A={12}B={3,4}C={1,2,3,4}则A B C 关系A、C=A∪BB、C=A∩BC、A=B=CD、A=B∪C我 答案：A7二 交。
我 答案：√8 。
我 答案：×9小 成一 。
我 答案：×（）已完成1S 一 A B子关系 ？A、2.0B、3.0C、4.0×D、5.0我 答案：2如果～ S一 关系则应 些 ？A、反身B、 称C、传递D、我 答案：D3如果S、MSХM{（a,b)|a∈S,b∈M}称 S M ？B、牛顿C、康拓D、莱布尼茨 我 答案：A4A={1,2}B={2,3}A∪B=A、ΦB、{1,2,3}C、AD、B我 答案：B5A={1,2}B={2,3}A∩B=A、ΦB、{2}C、AD、B我 答案：B6系 人 A、牛顿B、柯西C、笛卡尔D、伽罗瓦我 答案：C7 确定 要 要 不 。
证明题1、设G 是群，a ∈G ，令C G （a ）= {x |x ∈G ，xa = ax }，证明：CG （a ）≤G 2、设G ~ G ，H ≤G ，H = {x | x ∈G ，f （x ）∈H }。
证明：H /Kerf ≌H . 3、证明：模m 的剩余类环Zm 的每一个理想都是主理想。
4、设R =cob a ，a ，b ，c ∈Z ，I =oo xo x ∈Z 。
（1）验证R 是矩阵环Z2×2的一个子环。
（2）证明I 是R 的一个理想。
5、设G 是群，u 是G 的一个固定元，定义“o ”：aob = a u 2b （a ，b ∈G ），证明（G ，o ）构成一个群.6、设R 为主理想整环，I 是R 的一个理想，证明R /I 是域I 是由R 的一个素元生成的主理想.7、证明：模m 的剩余类环Zm 的每个子环都是理想.8、设G 是群，H ≤G 。
令N G （H ） = {x | x ∈G ，xH = Hx }.C G （H ）= { x | x ∈G ，h ∈H ，hx = xh }.证明：（1）N G （H ）≤G（2）C G （H ）△N G （H ）9、证明数域 F = {a ＋b 7|a ，b ∈Q}的自同构群是一个2阶循环群.10、设R 是主理想环，I = （a ）是R 的极大理想，ε是R 的单位，证明：εa 是R 的一个素元.11、设G 与G 是两个群，G ~G ，K = Kerf ，H ≤G ，令H = {x |x ∈G ，f (x ) ∈H }，证明：H ≤G 且H /K ≌H .12、在多项式环Z [x ]中，证明：（1）（3，x ）= {3a 0＋a 1x ＋,＋a n x n|a i ∈Z }. （2）Z [x ]/(3，x )含3个元素.13、设H 是群G 的子群,令N G (H )={x |x G , xH =Hx },证明N G (H)是G 的子群．14、在整数环Z 中, a, b Z,证明(a, b )是Z 的极大理想的充要条件是a ,b 的最大公因数是一个素数。
子群总结子群概述子群，又称为群的子集，是在一个群基础上选出的一部分元素，仍然满足群的运算封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
子群是群论中的重要概念，在代数学和离散数学等领域有广泛的应用。
本文将对子群的定义、特性以及实际应用进行总结和讨论。
子群的定义与特性子群的定义设G是一个群，H是G的一个非空子集。
如果H中的元素对于群G的运算仍然封闭，即对于任意a，b∈H，ab也属于H中，并且H对于G的运算结合律、单位元和逆元等性质仍然成立，则称H为群G的子群。
子群的性质•子群必须包含群G的单位元。
•子群必须对于群G的运算封闭，即对于任意a，b∈H，ab也属于H 中。
•子群必须包含群G中每个元素的逆元，即对于任意a∈H，存在b∈H，使得ab=ba=单位元。
•子群的单位元与群G的单位元相同。
•子群必须遵守群G的运算结合律。
子群的分类根据子群的定义和特性，我们可以将子群分为以下几类：•群的本身是自己的子群，称为自身子群。
•群的单元素组成的子群，称为平凡子群。
•群中包含所有元素的子群，称为全子群。
•群中只包含单位元的子群，称为平凡子群。
•群G的除了单位元外，只有一个非单位元素的子群，称为循环子群。
子群的实际应用子群在数学和计算机科学中有广泛的应用。
以下是子群在实际中的一些应用场景：密码学在密码学中，子群被用于生成加解密密钥、密码生成和验证等领域。
子群的特性可以保证密码算法的安全性和可靠性。
编码理论在编码理论中，子群被用于生成纠错码、哈密顿码和循环码等编码方法。
子群的运算特性可以用于设计和实现各种优秀的编码算法。
图论在图论中，子群可以用于研究图的自同构性质，从而帮助解决一些图论中的难题，例如图同构和图同构的自动判定问题。
计算机图形学在计算机图形学中，子群可以用于生成和变换图形对象，例如平移、旋转和缩放等操作。
子群的性质可以保证图形变换的正确性和一致性。
总结子群是群论中的重要概念，具有丰富的定义和特性。
子群的运算封闭性、结合律、单位元和逆元等性质使其在数学、密码学、编码理论、图论和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
