导数探讨函数图像的交点问题 2

由2006年高考看如何用导数探讨函数图象的交点问题2006年高考数学导数命题的方向基本没变，主要从五个方面(①与切线有关的问题②函数的单调性和单调区间问题③函数的极值和最值问题④不等式证明问题⑤与函数的单调性、极值、最值有关的参数问题)考查了学生对导数的掌握水平。

但是，2006年高考数学导数命题在方向基本没变的基础上，又有所创新。

福建理科卷第21题研究两个函数的交点个数问题，福建文科卷第19题研究分式方程的根的分布问题，湖南卷第19题研究函数的交点问题，四川卷第21题研究函数图象的交点个数问题。

从以上试卷我们可以发现导数命题创新的两个方面：一是研究对象的多元化，由研究单一函数转向研究两个函数或多个函数，二是研究内容的多元化，由用导数研究函数的性质（单调性、最值、极值）转向运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。

试题“以能力立意”的意图表现明显，试题注重了创新、开放、探究性，以所学数学知识为基础，对数学问题进行深入探讨，从数学角度对问题进行探究。

考查了学生综合与灵活地应用所学的数学思想方法，进行独立的思考、探索和研究，创造性地解决问题的能力。

如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？下面我们先看一看今年的高考题。

例1（福建理科第21题）已知函数f(x)=－x 2+8x,g(x)=6lnx+m （Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m ，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？ 若存在，求出m 的取值范围；，若不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）略（II ）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∴令f(x)= g(x) ∴g(x)－f(x)=0∵x>0 ∴函数ϕ(x)=g(x)－f(x) = 2x－8x+6ln x+m 的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。

高中数学导数与函数图像的关系分析与讲解在高中数学中，导数与函数图像是密不可分的。

导数是函数在某一点上的变化率，而函数图像则是函数在整个定义域上的变化规律的图形表示。

理解导数与函数图像之间的关系对于学习和应用数学知识都具有重要意义。

本文将通过具体的题目举例，分析导数与函数图像的关系，并给出解题技巧和使用指导。

一、导数与函数图像的关系导数与函数图像之间有着密切的联系。

函数的导数可以帮助我们确定函数图像的特征，如函数的增减性、极值点、拐点等。

下面通过几个具体的题目来说明导数与函数图像的关系。

例题1：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求函数在$x=1$处的导数。

解析：首先我们需要求出函数$f(x)$的导函数$f'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$f'(x)=3x^2-6x+2$。

然后，我们将$x=1$代入导函数中，得到$f'(1)=3(1)^2-6(1)+2=-1$。

这个结果告诉我们，在$x=1$处，函数$f(x)$的导数为-1。

通过这个例题，我们可以看出，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为-1。

这意味着函数$f(x)$在$x=1$处的斜率为-1，即函数图像在该点的切线的斜率为-1。

这个信息可以帮助我们更好地理解函数图像的特征。

例题2：已知函数$g(x)=x^2-2x$，求函数$g(x)$的极值点。

解析：为了求函数$g(x)$的极值点，我们需要先求出函数$g(x)$的导函数$g'(x)$。

根据导函数的定义，我们可以得到$g'(x)=2x-2$。

然后，我们令$g'(x)=0$，得到$2x-2=0$，解得$x=1$。

这意味着函数$g(x)$的导数在$x=1$处为0，即函数图像在该点的切线的斜率为0。

通过这个例题，我们可以看出，函数$g(x)$的极值点出现在$x=1$处。

这个点处的切线斜率为0，意味着函数图像在该点处有一个极值。

这个极值可以是最大值或最小值，需要通过进一步的分析来确定。

探究函数x y a =与log a y x =图象的交点个数问题函数xy a =与log a y x = (0,1)a a >≠且互为反函数，在同一坐标系中，它们的图象的交点个数取决于a 的取值．在此，笔者以函数与方程的思想为指导，运用导数的知识来探究它们图象的交点个数问题．探究 由log xa y a y x ⎧=⎨=⎩， 得（1）当1a >时①+②，得yxy a a x +=+. 令(),0.xf x a x x =+> 则()()f y f x =,即()()xf a f x =.∵1a >, ∴()f x 为增函数, ∴x a x =. 两边取自然对数,得ln ln xa x =,即ln ln 0x a x -=. 令()ln ln ,0g x x a x x =->. 求导,得1()ln g x a x '=-． 令()0g x '=,得1ln x a=． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：x1(0,)ln a1ln a1(,)ln a+∞ ()g x '— 0 + ()g x↘极小值↗由上表可知,当1ln x a =时,()=g x 极小值()11ln 1ln ln ln a a-=+． ∵()g x 只有一个极值,∴ ()min ()1ln ln g x a =+.(ⅰ) 当()1ln ln 0a +>，即1ea e >时，方程()0g x =无解，此时函数xy a =与log a y x =的图象没有交点；(ⅱ) 当()1ln ln 0a +=，即1ea e =时，方程()0g x =有一解，此时函数xy a =与log a y x =的图象有一个交点；(ⅲ) 当()1ln ln 0a +<，即11ea e <<时，由于()g x 在()0,+∞内连续，且当0x +→时，()g x →+∞；当x →+∞时，()g x →+∞，∴方程()0g x =有两解，此时函数x y a =与log a y x=的图象有两个交点．（2）当01a <<时 由①、②，消去y ，得xa ax = ③由于0xa >，且01a <<，故0<xa a 1<,即01x <<．(0,0)x y >>其中 ①②xyy aa x⎧=⎪⎨=⎪⎩对③式两边取自然对数，得ln ln x a a x =，即ln ln xxa a=． 两边取自然对数，得ln ln ln ln xx a a=． 令()ln ()lnln ,0,1ln x h x x a x a =-∈． 求导，得1()ln ln h x a x x'=-． 由()0h x '=，得1ln ln x x a =． 令1()ln ,(0,1)ln x x x x a ϕ=-∈．则()ln 1x x ϕ'=+．由()0x ϕ'=，得1x e =． 当1(0,)x e ∈时，()0x ϕ'<；当1(,1)x e∈时，()0x ϕ'>．∴当1x e =时，min 111()()ln x e e a ϕϕ==--．(ⅰ) 当110ln e a --≥，即1e a e ≥时，()0x ϕ≥恒成立．∴1ln ln x x a ≥，∵01a <<，01x <<，∴1ln 0ln a x x -≤，即()0h x '≤，当且仅当1e a e =，且1x e=时取“＝”号． ∴()h x 在(0,1)内是减函数． 又∵当0x +→时，()h x →+∞；当1x -→时，()h x →-∞，且()h x 在(0,1)内连续，∴方程()0h x =恰有一解，此时函数xy a =与log a y x =的图象有一个交点．(ⅱ) 当110ln e a --<，即10e a e <<时，∵011lim ()lim ()0ln x x x x aϕϕ+-→→==->，且()x ϕ在(0,1)内连续，∴存在11(0,),(,1)m n e e∈∈，使得()()0m n ϕϕ==，∴()()0h m h n ''==.当x 变化时，(),()h x h x '的变化情况如下表：(0,)m(,)m n(,1)n()h x '－ + － ()h x↘↗↘由上表可知，()h x 在(0,)m 内是减函数，在(,)m n 内是增函数，在(,1)n 内是减函数.下面证明,1()0eh a <,1()0h e>.111ln ()ln ln ln eee a h a a a a =-11ln e a a =--,10e a e <<. 令()F a =11ln e a a =--,10e a e <≤.则当10e a e<<时, ()F a '=11111ln e e a a a e a ---⋅111(ln 1)e a a e -=-+>1111(ln 1)e e a e e --+0=.∴()F a 在1(0,)e e 内是增函数, 又∵()F a 在1(0,]e e 上连续, ∴当10e a e<<时, x1()()0e F a F e<=,即1()0e h a <.1ln11()ln ln ln e h a e a e=-1ln(ln )ln a a e =---,10e a e <<. 令()G a 1ln(ln )ln a a e =---,10e a e <≤.易证它为减函数, ∴当10e a e <<时,1()()0e G a G e >=,即1()0h e>.∵10e a e<<, ∴1101e a e <<<, 又∵当0x +→时，()h x →+∞； 当1x -→时，()h x →-∞，且()h x 在(0,1)内连续，结合()h x 的单调性, ∴()h x 在区间1(0,)e a ,11(,)ea e,1(,1)e内各有一个解. ∴此时函数x y a =与log a y x =的图象有三个交点． 综上所述, 函数xy a =与log a y x =(0,1)a a >≠且图象的交点有如下情况： 当1ea e >时，没有交点； 当1e a e =时，有一个交点； 当11e a e <<时，有两个交点；当11e a e≤<时,有一个交点； 当10e a e<<时，有三个交点．。

如何确定两个函数图象的交点及其延伸在同一直角坐标系中,判断两个函数的图象有无交点、交点的个数以及交点的坐标时,可以将问题转化为方程或方程组的解的情况.对于两个函数()x f y =和()x h y =,若它们对应的方程组()()⎩⎨⎧==x h y x f y 有解,则它们的图象有交点,并且解的个数等于交点的个数,x 的解是交点的横坐标,y 的解是交点的纵坐标;若方程组无解,则它们的图象无交点. 注意:（1）上面的思想方法即数形结合思想.（2）用方程或方程组的解的情况来说明两个函数的图象的交点情况,这是“以数助形”.数形结合思想包括两个方面:“以形助数”和“以数助形”.（3）在解方程或方程组时,我们也可以从方程或方程组中抽象出两个函数（即构造两个函数）,把方程或方程组的解的问题转化为两个函数图象的交点问题,这是“以形助数”.（4）在解二元一次方程组时,我们可以构造两个一次函数,根据它们的图象来确定二元一次方程组的解的情况:若两个一次函数的图象有交点,则二元一次方程组有解;若两个一次函数的图象无交点（此时两个函数的图象互相平行）,则二元一次方程组无解.因为两个一次函数的图象如果有交点,交点只有一个,所以二元一次方程组有解时只有一组解,且交点的坐标就是方程组的对应解.特别地,如果两个一次函数的图象重合,那么二元一次方程组有无数个解. （5）关于x 的一元一次方程0=+b kx 的解,就是一次函数b kx y +=的图象与x 轴（直线0=y ）的交点的横坐标.例 1. 已知二元一次方程组⎩⎨⎧-=+-=-225y x y x 的解为⎩⎨⎧=-=14y x ,则在同一直角坐标系中,直线5:1+=x y l 与直线121:2--=x y l 的交点坐标为_________.分析:方程组⎩⎨⎧-=+-=-225y x y x 所对应的两个函数为5+=x y 和121--=x y ,所以方程图（3）组的解⎩⎨⎧=-=14y x 即为两个函数的图象的交点坐标,其中4-=x 为交点的横坐.习题 1. 如果直线33-=x y 与直线323+-=x y 的交点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛a ,34,那么=a _________,方程组⎩⎨⎧=+=+-632033x y x y 的解是__________.习题 2. 如图（1）所示是一次函数b kx y +=与n mx y +=的图象,则二元一次方程组⎩⎨⎧+=+=n mx y bkx y 的解是__________.图（1）图（2）x ) = 13∙x + 1) = x 1例2. 方程x x 3111=--的解为__________. 分析:由x x 3111=--得:1311+=-x x ,构造两个函数:1-=x y 和131+=x y ,它们的图象如图（2）所示,观察图象的交点情况,交点的个数即为方程解的个数,交点的横坐标即为方程的解. 另解:分为两种情况:（1）当x ≥1时,得x x 3111=--,解之得:3=x ,（2）当1<x 时,得x x 3111=--,解之得:0=x ,综上所述,该方程的解为0=x 或3=x .我们把本题中的方程叫做绝对值方程.习题3. 一次函数b kx y +=的图象如图（3）所示, 则方程0=+b kx 的解为 【 】（A ）2=x （B ）2=y （C ）1-=x （D ）1-=y习题 4. 直线12-=x y 与直线32-=x y 的位置关系是__________,所以方程组⎩⎨⎧-=+=3212x y x y 的解的情况是__________. 利用一次函数的图象解二元一次方程组在两个一次函数11b x k y +=和22b x k y +=的图象的交点处,自变量的取值和对应的函数值同时满足这两个函数关系式,交点的坐标就是方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解,其中交点的横坐标就是x 的解,交点的纵坐标就是y 的解,因此我们可以利用函数的图象求方程组的解.注意:（1）任何一个二元一次方程组都对应两个一次函数,从“数”的角度看,求方程组的解就是求当自变量为何值时两个函数的值相等;从“形”的角度看,解二元一次方程组就是求两条直线的交点坐标.所以在解二元一次方程组时,可以在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象,找到交点的坐标即可获得方程组的解.（2）如果两个一次函数的图象平行（无交点）,那么二元一次方程组无解;如果两个一次函数的图象重合,那么二元一次方程组有无数个解;如果两个一次函数的图象相交（有一个交点）,那么二元一次方程组有唯一解.习题5. 利用一次函数的图象,求二元一次方程组⎩⎨⎧-=++=225y x x y 的解.解:如图（4）所示,分别作出一次函数=y ____________和=y ____________的图象,得到它们的交点坐标是_________,即方程组⎩⎨⎧-=++=225y x x y 的解为__________.习题6. 利用函数的图象解方程组:⎩⎨⎧-=+=-522y x y x .解:如图（5）所示,在同一直角坐标系中分别作出函数=y ____________和=y ____________的图象,得到它们的交点坐标为_________,所以方程组⎩⎨⎧-=+=-522y x y x 的解为__________.图（4）图（5）习题7. 如图（6）所示,直线1:1+=x y l 与直线n mx y l +=:2相交于点()b P ,1. （1）求b 的值;（2）不解关于y x ,的方程组⎩⎨⎧+=+=n mx y x y 1,请你直接写出方程组的解; （3）直线m nx y l +=:3是否也经过点P ?请说明理由.图（6）。

在微积分中，导数是一个至关重要的概念。

它提供了函数在不同点上的斜率或变化率的信息。

函数的图像则是通过绘制函数的曲线来呈现函数的全貌。

本文将探讨导数与函数图像之间的密切关系。

首先，我们来回顾一下导数的定义。

对于一个给定的函数f(x)，在点x处的导数可以通过以下公式计算得到：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h导数的几何解释是函数在该点的切线的斜率。

这意味着如果我们在点(x, f(x))处绘制切线，那么切线的斜率就是导数f'(x)。

根据这个定义，我们可以得出一些与函数图像有关的结论。

首先，导数提供了函数图像的局部信息。

通过计算导数，我们可以了解函数曲线在特定点的陡峭程度。

如果导数为正，那么函数曲线在该点上升；如果导数为负，那么函数曲线在该点下降。

导数的绝对值表示曲线的斜率的大小，即曲线的陡峭程度。

因此，导数可以帮助我们确定函数曲线在特定点的行为。

其次，导数提供了函数图像的全局信息。

通过计算导数，我们可以确定函数曲线在整个定义域内的变化规律。

如果导数始终为正，那么函数曲线将一直上升；如果导数始终为负，那么函数曲线将一直下降。

导数为零的点则表示函数曲线的极值点或拐点。

通过分析函数的导数，我们可以推断函数的整体行为，包括最大值、最小值和凹凸性等。

此外，导数还可以用于绘制函数的图像。

绘制函数的图像是通过连接许多点来得到的。

这样做的问题是，我们只能得到离散的点，而无法得到具体点之间的信息。

然而，通过计算导数，我们可以得到函数在每个点的斜率。

这些斜率可以帮助我们绘制更平滑的曲线，而不是简单地连接离散点。

因此，导数在绘制函数图像时起到了至关重要的作用。

最后，我们要注意到导数并不是函数图像的一切。

有些函数可能在某些点上没有导数，即导数不存在。

例如，函数在某些点上可能有间断或不可导的奇点。

在这种情况下，导数无法提供关于函数图像的任何信息。

因此，在分析函数图像时，我们应该综合考虑导数以及函数的其他特性。

导数中的图像关系问题一、常见基本题型：（1）已知图像交点个数，求参数的取值范围，例1. 已知3x =是函数2()16ln(1)10f x x x x =++-的一个极值点．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若直线y b =与函数()y f x =的图像有三个交点，求b 的取值范围．解：(1) f (x )＝16ln(1＋x )＋x 2－10x ，x ∈(－1，＋∞)， 2243()1x x f x x-+'=+. 当x ∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，()0f x '>；当x ∈(1,3)时，()0f x '<.∴()f x 的单调增区间是(－1,1)，(3，＋8)；()f x 的单调减区间是(1,3)，（2）由(1)知()f x 在(－1,1)单调增加，在(1,3)单调减小，在(3，＋∞)上单调增加，且当x ＝1，或x ＝3时，f ′(x )＝0，∴f (x )的极大值为f (1)＝16ln2－9，极小值为f (3)＝32ln2－21.∵f (16)＞162－10×16＞16ln2－9＝f (1)， f (e －2－1)＜－32＋11＝－21＜f (3)，∴在f (x )的三个单调区间(－1,1)，(1,3)，(3，＋∞)，直线y ＝b 与y ＝f (x )的图像各有一个交点，即f (3)＜b ＜f (1)．∴b 的取值范围为(32ln2－21,16ln2－9).例2.已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最值；（2）说明是否存在实数)1(≥a a 使)(x f y =的图象与2ln 85+=y 无公共点. 解：（1）函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=的定义域是（1，+∞）当a=1时，1)23(21112)('--=---=x x x x x x f ， 所以)(x f 在)23,1(为减函数，在),23(+∞为增函数，所以函数)(x f 的最小值为2ln 43)23(+=f .（2）1≥a 时，由（1）知)(x f 在（1，+∞）的最小值为2ln 14)22(2a a a a f -+-=+， 令2ln 14)22()(2a a a a f a g -+-=+=在［1，+∞）上单调递减， 所以2ln 43)1()(max +==g a g ，则,081)2ln 85()(max >=+-a g 因此存在实数)1(≥a a 使)(x f 的最小值大于2ln 85+，故存在实数)1(≥a a 使y=)(x f 的图象与y=2ln 85+无公共点.(2)已知图像的位置关系求参数的取值范围例 3.已知二次函数2()(0)h x ax bx c c =++>，其导函数()y h x '=的图象如图所示，()ln ()f x x h x =-．若函数2ln y x x =-, ([1,4])x ∈的图象总在函数()y f x =的图象的上方，求c 的取值范围．解：由题意可知，2x －ln x >x 2－3x －c ＋ln x 在x ∈[1,4]上恒成立，即当x ∈[1,4]时，c >x 2－5x ＋2ln x 恒成立设g (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，x ∈[1,4]，则c >g (x )max .易知()g x '=＝2x －5＋2x ＝2x 2－5x ＋2x =(21)(2)x x x--. 令()0g x '=得，x ＝12或x ＝2. 当x ∈(1,2)时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当x ∈(2,4)时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．而g (1)＝12－5×1＋2ln 1＝－4，g (4)＝42－5×4＋2ln 4＝－4＋4ln 2，显然g (1)<g (4)，故函数g (x )在[1,4]上的最大值为g (4)＝－4＋4ln 2，故c >－4＋4ln 2. ∴c 的取值范围为(－4＋4ln 2，＋∞)．二、针对性练习1．已知函数21()ln 12f x x x =+-.，求证：在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数 32()3g x x =的图象的下方. 证明：令2312()()()ln 123F x f x g x x x x =-=+-- 则2322112(1)(1)'()2x x x x x F x x x x x x+--++=+-== ∵当1x >时'()0F x <，∴函数()F x 在区间(1,)+∞上为减函数∴12()(1)1023F x F <=--< 即在(1,)+∞上，()()f x g x <∴在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方。

高中数学-函数的交点问题及例题解析函数的交点问题是高中数学中的重要概念之一。

交点是指两个函数图像相交的点，这些点的坐标可以用于求解关于函数的各种问题。

本文将对函数的交点问题进行解析，并提供几个例子来帮助理解。

交点的定义函数的交点是指两个函数图像在坐标平面上相交的点。

它们的坐标可以表示为$(x, y)$，其中$x$为横坐标，$y$为纵坐标。

解析交点的方法要求解函数的交点，可以使用以下几种方法：1. 图像法：将两个函数的图像绘制在坐标平面上，通过观察交点的位置来确定其坐标。

2. 代数法：将两个函数表示为方程，然后通过联立方程组的方法求解交点的坐标。

3. 近似法：使用数值方法（如迭代法、二分法等）求解交点的近似值。

例题解析下面是几个例题的解析：例题1已知函数$f(x) = 2x + 3$和$g(x) = x^2 - 1$，求解它们的交点坐标。

解析：首先，将两个函数表示为方程：$2x + 3 = x^2 - 1$。

然后，可以将方程变形为二次方程：$x^2 - 2x - 4 = 0$。

通过求解这个二次方程，可以得到两个交点的横坐标：$x_1 = -1$，$x_2 = 4$。

将横坐标代入任意一个方程中，可以求得相应的纵坐标：$y_1 = 1$，$y_2 = 11$。

所以，交点的坐标分别为$(-1, 1)$和$(4, 11)$。

例题2已知函数$h(x) = \sin(x)$和$k(x) = \cos(x)$，求解它们的交点坐标。

解析：观察函数$h(x)$和$k(x)$的图像可以发现它们是周期性的函数，并且在$x = \frac{\pi}{4}$和$x = \frac{5\pi}{4}$两个点相交。

所以，交点的坐标分别为$\left(\frac{\pi}{4},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$和$\left(\frac{5\pi}{4}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。

导数与函数图像的关系分析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

而函数图像则是函数在平面上的可视化展示。

导数与函数图像之间存在着密切的关系，通过对导数与函数图像的分析，我们可以深入理解函数的性质与行为。

一、导数的定义与计算方法导数的定义是函数在某一点的变化率，可以通过极限的概念进行定义。

对于函数f(x)，其在点x处的导数可以表示为f'(x)，即f'(x) = lim Δx→0 (f(x+Δx) - f(x))/Δx。

这个定义可以理解为当Δx趋近于0时，函数在x点附近的变化率。

计算导数的方法有多种，其中最常见的是使用导数的基本公式。

对于常见的函数类型，我们可以通过这些公式来计算导数。

例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a为常数，n为整数，其导数为f'(x) = anx^(n-1)。

对于指数函数f(x) = e^x，其导数为f'(x) = e^x。

对于对数函数f(x) = ln(x)，其导数为f'(x) = 1/x。

二、导数与函数的增减性导数与函数的增减性密切相关。

通过导数的正负可以判断函数在某一点的增减性。

当导数大于0时，函数在该点上是递增的；当导数小于0时，函数在该点上是递减的；当导数等于0时，函数在该点上取得极值。

通过导数与函数的增减性，我们可以推导出函数的极值点和拐点。

当函数的导数从正变为负时，函数在该点上取得极大值；当函数的导数从负变为正时，函数在该点上取得极小值。

而函数的拐点则是导数的变号点，即导数从正变为负或从负变为正的点。

三、导数与函数的凹凸性导数还可以用来判断函数的凹凸性。

通过导数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

二阶导数表示导数的导数，可以表示为f''(x)。

当二阶导数大于0时，函数在该点上是凹的；当二阶导数小于0时，函数在该点上是凸的；当二阶导数等于0时，函数在该点上可能是拐点。

通过导数与函数的凹凸性，我们可以推导出函数的凹凸区间和拐点。

导数与函数图象的交点（方程根）个数
把方程转化为函数，利用导数研究函数图象与x轴的交点情况，就可以得到方程解的情况，例1 （2015年全国卷工理第21题）
分析与解
解题反思
第(2)题的难点在于分类，第一次分类是要确定h(x)的具体解析式，第二次分类是要判断f(x)的导数的符号，比较而言，利用数形结合更简单一些．
发散训练
~例2 （2015年江苏第19题）w
8分析与解
解题反思
第(2)题解1是把零点问题转化为不等式问题，又转化为方程解的问题，但不是直接解方程，由于通过条件知道方程的解，就转化为验证是否是方程的解，有效回避解高次方程．解2是通过“两边夹”的方法得到c的值，再验证其是唯一满足条件的值，解3利用3/2为重根构造关于a的4次不等式，通过待定系数法求出c，相对简单．
发散训练
例3 （2016年江苏第19题）
分析与解
发散训练。