函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

函数与导数

1.已知函数 f(x) 4x 3 3tx 2 6tx t 1,x R ，其中 t R .

(I)当t 1时，求曲线y f (x)在点(0, f (0))处的切线方程； (n)当t 0时，求f (x)的单调区间；

(川)证明：对任意的t (0,

), f(x)在区间(0,1)内均存在零点.

【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零

点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分

14分。

(I)解：当 t 1 时，f(x) 4x 3 3x 2

6x, f (0) 0, f (x) 12x 2 6x 6

f (0)

6.所以曲线y f (x)在点(0, f(0))处的切线方程为y 6x.

(n)解：f (x) 12x 2 6tx 6t 2，令 f (x) 0,解得 x

t 或 x -.

2

因为t 0，以下分两种情况讨论：

(1)若t 0,则- t,当x 变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:

所以，f(x)的单调递增区间是,

|

；f(x)的单调递减区间是 屮

⑵若

t

则t ，当

x

变化时，

f(x)f(x)

的变化情况如下表:

所以，f(x)的单调递增区间是 ，t ,丄， ；f(x)的单调递减区间是 t,-

2 2

(川)证明：由(n)可知，当

t 0时，f(x)在0,1内的单调递减，在 -, 内单调

2 2

递增，以下分两种情况讨论：

(1)当-1即t 2时，f (x)在(0，1)内单调递减，

2

f (0) t 1 0, f (1) 6t 2 4t 3 6 4 4 2 3 0.

所以对任意t [2, ), f(x)在区间(0，1 )内均存在零点。

t (0,1], f

1

7t 3

t 1

7t 3

0. 2

4

4

所以f(x)在-,1

2 内存在零点。

t

若 t (1,2), f -

7t 3

t 1

厶3 1 0

2

4

4

f(0) t 1

所以f(x)在0

2

所以，对任意t (0,2), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。 综上，对任意t (0, ), f(x)在区间(0，1)内均存在零点。

2.已知函数 f (x)

2

x 1， h(x) x . 3 2

(I)设函数 F (x ) = 18f (x ) — x 2[h (x )] 2，求F (x )的单调区间与极值； 3

3

(n)设 a R ，解关于 x 的方程 lg[ f(x 1)

] 2lg h(a x) 2lg h(4 x);

2

4

*

1

(川)设 n N ，证明：f(n)h(n) [h(1)

h(2) L h(n)]

6

本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.

解：(I) F(x) 18f(x) x 2[h(x)]2 x 3 12x 9(x 0)，

2

F (x) 3x 12 .

(2)当 0

- 1,即0 t 2 时, 2

f (x)在0,-内单调递减，在

2

1,1内单调递增，若 2

f (1) 6t 2 4t 3 6t 4t 3

2t 3

0.

x 2 ( x 2 舍去).

(x) 0 ;当 x (2, F(x)为增函数；当

x 2为F (x)的极大值点，且

令 F (x) 0,得 当 x (0,2)时.F 故当x [0,2)时，

(n)方法一：原方程可化为

)时, x [2,

F (2)

8 24

3 log^ f (x

即为 Iog 4(x 1) log 2 a x log 2 4

F (x) 0 ,

)时，F(x)为减函数.

9 25 .

I ]_ log 2 ' a x ，且

1)

Iog 2h(a x) Iog 2h(4 x), ①当1 a 4时,

4a 0 ,此时

-，即 x 2 6x 4 x

6 . 20一4a ,

a, x 4,

•/ 1 x a ,

此时方程仅有一解 x 3 5 a .

②当 a 4 时，1 x 4，由x 1

若4 a 5，则 0

，方程有两解 右a 5时，则 0， 方程有 「解

若a 1 或 a 5， 原方程无解.

方法「

一：原方程可化为 Iog 4(x 1) 36 4(a 4)

20 Iog 2 h(4 4 x x a

-，得 x 2

6x x

3 5—a ; 3 ； 36 4(a 4) 20 4a ,

1

即- log 2(x

1) log 2 . 4 x log 2 a

x) log 2 h(a x), x 4 a

(x 0,

0, 0,

①当 4时，原方程有一解 .5 a ;

②当 5时，原方程有二解 ③ 当 ④ 当

x 1)(4 x)

x.

a,

(x 3)「 5.

a

5时，原方程有一解x

1或a 3;

5时，原方程无解.

(川)由已知得 h(1) h(2)

f (n)h(n) 1

6 6

L h(n)]

设数列｛a .｝的前n 项和为S n ，且 S n f(n)h(n) (nN )

从而有a S , 1，当2 k

100 时，a k

S k

S < 1

又 a k

k ![(4k 3) k (4k 1) .^1]

6

1

6 (4 k 3) -k (4 k 1) !T^

即对任意k 2时，有a k . k ，又因为a !

(4 k

4k 3

k 6

2

3) k (4 k

4k 1 k 1 . 6

2

1) (k 1) (4 k 3)、k (4 k 1) k 1

■-1，所以 a a 2 L a n -1 - 2 L • n .

则£

h(1) h(2) L h(n),故原不等式成立.