2017届人教A版 基本不等式及其应用 检测卷

3.4基本不等式2ba ab +≤（检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．已知直线l 1：a 2x ＋y ＋2＝0与直线l 2：bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为 ( )A ．5B ．4C ．2D ．1[解析] 由条件知，直线l 1与l 2的斜率存在，且l 1⊥l 2，k 1＝－a 2，k 2＝ba 2＋1，∴k 1k 2＝－a 2b a 2＋1＝－1，∴b ＝a 2＋1a 2>0，∴|ab |＝|a 2＋1a |＝|a |＋1|a |≥2，等号成立时|a |＝1|a |，∴a ＝±1，b ＝2，∴|ab |的最小值为2. 答案 C2．已知a >0，b >0，且2是2a 与b 的等差中项，则1ab的最小值为 ( )A ．14B ．12C ．2D ．4[解析] ∵2是2a 与b 的等差中项，∴2a ＋b ＝4.又∵a >0，b >0，∴2ab ≤(2a ＋b 2)2＝(42)2＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号．∴1ab ≥12.故选B ．答案 B3．若a >0，b >0且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是 ( )A ．1ab >12B ．1a ＋1b ≤1C ．ab ≥2D ．1a 2＋b 2≤18[解析] ∵a >0，b >0，a ＋b ＝4，∴ab ≤a ＋b 2＝2，∴ab ≤4，∴1ab ≥14，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故A 、B 、C 均错，故选D ．答案 D4．已知a >b ，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于 ( )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] ∵a >0，b >0，不等式2a ＋1b ≥m 2a ＋b 恒成立，∴m ≤[(2a ＋b )(2a ＋1b )]min .∵(2a ＋b )(2a ＋1b )＝5＋2(b a ＋ab )≥5＋2×2b a ×ab＝9，当且仅当a ＝b 时取等号．∴m 的最大值等于9.答案 C5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，sin A ＋2sin B ＝2sin C ，b ＝3，当内角C 最大时，△ABC 的面积等于 ( )A ．9＋334B ．6＋324C ．326－24D ．36－324[解析] 根据正弦定理及sin A ＋2sin B ＝2sin C 得a ＋2b ＝2c ，∴c ＝a ＋322，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋9－a 2＋62a ＋1846a ＝a 8＋34a －24≥2a 8·34a －24＝6－24，当且仅当a 8＝34a，即a ＝6时，等号成立，此时sin C ＝6＋24，S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×3×6＋24＝9＋334. 答案 A6．实数x 、y 满足x ＋2y ＝4，则3x ＋9y 的最小值为 ( )A ．18B ．12C ．2 3D ．43[解析] ∵x ＋2y ＝4，∴3x ＋9y ＝3x ＋32y ≥23x ·32y ＝23x ＋2y＝234＝18，等号在3x ＝32y 即x ＝2y 时成立．∵x ＋2y ＝4，∴x ＝2，y ＝1时取到最小值18. 答案 A二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正实数a 的最小值为 .[解析] ∵a >0，∴(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋xay ≥1＋a ＋2a ，由条件知a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥4.故a 的最小值为4.答案 A8．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，则实数a 的取值范围为[解析] 解法1：首先a ＝0时不满足题意；若a ≠0则由题意得：Δ＝1－8a 2≤0，且a >0，解得a ≥24. 解法2：首先若a ＝0，显然不合题意，若a <0，显然x ＝0满足不等式；∴a >0. 令t ＝|x |，则t ≥0，原不等式化为at 2－t ＋2a <0，由题意知at 2－t ＋2a <0在[0，＋∞)上无实数根．从而at 2－t ＋2a ≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≥t t 2＋2.∵t >0时，t t 2＋2＝1t ＋2t ≤12t ·2t ＝24，等号成立时，t ＝2t ，即t ＝2，又t ＝0时t t 2＋2＝0，∴a ≥24.答案 [24，＋∞). 三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．(如图)某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？[解析] 设矩形的一边长为x m ，则另一边长为800x m ，因此种植蔬菜的区域宽为(x －4)m ，长为(800x－2)m.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4>0，800x －2>0，得4<x <400，所以其面积S ＝(x －4)·(800x－2)＝808－(2x ＋3200x)≤808－22x ·3200x＝808－160＝648(m 2)．当且仅当2x ＝3200x，即x ＝40∈(4,400)时等号成立．因此当矩形温室的两边长为40m,20m 时蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648m 2.10．(1)已知a 、b 、c ∈R ＋，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .(2)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . [证明] (1)∵a 、b 、c ∈R ＋，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，又a 2b＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ，b 2c ＋c ≥2b 2c·c ＝2b ，c 2a＋a ≥2c 2a·a ＝2c ，(当且仅当a ＝b ＝c 时上式等号成立) 三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .(2)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca . 由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故三个等号不能同时成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .。

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2017春高中数学第3章不等式综合检测新人教A版必修5一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3）,则有错误!( A ）A．M＞N B．M≥NC．M＜N D．M≤N［解析]M－N＝(2a2－4a＋7)－（a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋错误!)2＋错误!＞0，∴M＞N。

故选A．2．（2016·浙江文，5）已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若log a b>1，则错误!（ D )A．(a－1）(b－1）〈0 B．(a－1)(a－b)〉0C．(b－1）(b－a）<0 D．(b－1）（b－a)〉0[解析]根据题意，log a b〉1⇔log a b〉log a a⇔错误!或错误!.当错误!时,0<b<a〈1，∴b－1<0，b－a<0；当错误!时，b〉a〉1,∴b－1>0，b－a>0。

∴（b－1)(b－a)>0，故选D．3．（2016·哈三中一模)已知数列｛b n}是等比数列,b9是1和3的等差中项，则b2b16＝错误! ( D ）A．16 B．8C．2 D．4［解析]由题意，得2b9＝1＋3，b9＝2.因为{b n｝是等比数列，所以b2b16＝b错误!＝4.故选D．4．（2016·北京文,7）已知A（2,5）,B(4，1）．若点P(x，y)在线段AB上，则2x－y的最大值为错误!（ C ）A．－1 B．3C．7 D．8［解析]依题意得k AB＝错误!＝－2，∴线段l AB:y－1＝－2(x－4），x∈[2，4]，即y＝－2x＋9，x∈[2，4］,故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2,4］，设h（x）＝4x－9，易知h(x)＝4x－9在[2,4］上单调递增，故当x＝4时，h(x）max＝4×4－9＝7。

A 组 考点能力演练1．(2016·汉中一模)“a ≥0，b ≥0”是“a ＋b2≥ab ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a ≥0，b ≥0可得a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．反之，若a ＋b2≥ab ，则ab ≥0，可得a ≥0，b ≥0，故选C.答案：C2．(2016·杭州一模)设a >0，b >0.若a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值是( )A ．2 B.14 C ．4D ．8解析：由题意1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ×a b ＝4.当且仅当b a ＝ab，即a ＝b ＝12时取等号，所以最小值为4. 答案：C3．若a >0，b >0且a ＋b ＝7，则4a ＋1b ＋2的最小值为( )A.89 B ．1 C.98D.10277解析：本题考查利用基本不等式求最值．因为b ＝7－a ，所以4a ＋1b ＋2＝4a ＋19－a ＝19(a＋9－a )·⎝⎛⎭⎫4a ＋19－a ＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋1＋4(9－a )a ＋a 9－a ≥19(4＋1＋4)＝1，当且仅当4(9－a )a ＝a 9－a 时取得等号，故选B.答案：B4．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由a x ＝b y ＝2得x ＝log a 2＝1log 2 a ，y ＝log b 2＝1log 2 b ，2x ＋1y ＝2log 2 a ＋log 2 b ＝log 2(a 2·b )≤log 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝2(当且仅当a 2＝b ＝2时取等号)．答案：B5．若直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)过曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心，则1a ＋2b 的最小值为( )A.2＋1 B ．4 2 C ．3＋2 2D ．6解析：本题考查三角函数的性质与基本不等式．注意到曲线y ＝1＋sin πx (0<x <2)的对称中心是点(1,1)，于是有a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ·(a ＋b )＝3＋b a ＋2a b ≥3＋22，当且仅当b a ＝2ab ，即b ＝2a ＝2(2－1)时取等号，因此1a ＋2b的最小值是3＋22，故选C.答案：C6．(2016·济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是________．解析：设a ＝2x ，b ＝2y ，则a >0，b >0，由条件得a 2＋b 2＝2(a ＋b )，∵(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，当且仅当a ＝b 时取等号，∴(a ＋b )2≤4(a ＋b )，∴a ＋b ≤4，又(a ＋b )2－2(a ＋b )＝2ab >0.∴a ＋b >2，∴2<a ＋b ≤4，即2<t ≤4.答案：(2,4]7．(2015·郑州二模)已知a ，b 均为正数，且2是2a ，b 的等差中项，则1ab 的最小值为________．解析：由于2是2a ，b 的等差中项，故2a ＋b ＝4，又a ，b 均为正数，故2ab ≤⎝⎛⎭⎫2a ＋b 22＝4，当且仅当2a ＝b ＝2，即a ＝1，b ＝2时取等号，所以1ab 的最小值为12.答案：128．已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋yn－4＝0(m >0，n >0)上，则m ＋n 的最小值为________．解析：由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋yn －4＝0上，∴1m ＋1n ＝4，∵m >0，n >0，∴m ＋n ＝14(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫2＋n m ＋m n ≥14⎝⎛⎭⎫2＋2n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∴m ＋n 的最小值为1.答案：19．已知x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8. 证明：因为x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1，所以1x －1＝1－x x ＝y ＋z x >2yz x ，①1y －1＝1－y y ＝x ＋z y >2xz y ，② 1z －1＝1－z z ＝x ＋y z >2xy z，③ 又x ，y ，z 为正数，由①×②×③，得⎝⎛⎭⎫1x －1⎝⎛⎭⎫1y －1⎝⎛⎭⎫1z －1>8.10．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由形状为长方形A 1B 1C 1D 1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．(1)若设休闲区的长和宽的比|A 1B 1||B 1C 1|＝x (x >1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S (x )的解析式；(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？ 解：(1)设休闲区的宽为a 米，则长为ax 米，由a 2x ＝4 000，得a ＝2010x .则S (x )＝(a ＋8)(ax ＋20)＝a 2x ＋(8x ＋20)a ＋160＝4 000＋(8x ＋20)·2010x ＋160＝8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160(x >1)． (2)8010⎝⎛⎭⎫2x ＋5x ＋4 160≥8010×22x ×5x＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，当且仅当2x ＝5x，即x ＝2.5时，等号成立，此时a ＝40，ax ＝100. 所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米，宽40米．B 组 高考题型专练1．(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 答案：C2．(2014·高考重庆卷)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：由log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，得12log 2(3a ＋4b )＝12log 2(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，即3b ＋4a＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫3b ＋4a ＝3a b ＋4b a ＋7≥43＋7，当且仅当3a b ＝4ba ，即a ＝23＋4，b ＝3＋23时取等号，故选D.答案：D3．(2015·高考陕西卷)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r <pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r >p解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，即q >p ，∵r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B4．(2015·高考山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x >0，y >0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x >0，y >0，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ＝12⎝⎛⎭⎫x y ＋2y x ≥2，当且仅当x y ＝2yx，即x ＝2y 时取等号．故x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为 2.答案： 2。

（时间:40分钟 满分:75分） 一、选择题（每小题5分,共30分）1.若正数a, b 满足3a+4b=ab,则a+b 的最小值为（ ） A.6+23 B.7+23 C.7+43 D.7－43 解析:∵正实数,a b 满足34a b ab +=,∴()343434743a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭,当且仅当34341a bb ab a⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 即23+4b 323a ⎧=⎪⎨=+⎪⎩时,取等号, 故选C.2.当点(x ,y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时,表达式3x ＋27y ＋1的最小值为( )A.3B.5C.1D.73.若a ＞0,b ＞0,且ln(a ＋b )＝0,则1a ＋1b的最小值是( )A.14 B.1 C. 4 D.84.已知函数f (x )＝lg )545(m x x ++的图像与x 轴有交点,则m 的取值范围是( )A.(－4,＋∞)B.－4,＋∞)C.(－∞,－4)D.(－∞,－4]5.已知,a b R +∈,且22a b +=,则使得12a b+取得最小值的,a b 分别是（ ） A.2,2 B.1,12 C.13,42 D.11,22解析:由题可知:由基本不等式知,ab b a 2≥+,等号成立的条件b a =,因此本题将22a b +=代入,得出ba ab b a a b b b a a ba b a 22222222121⋅≥++=+++=+,等号成立的条件是b a a b 22=,解得1,21==b a 6.若不等式(x ＋y ))1(y ax +≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A.2B.4C.9D.16二、填空题（每小题5分,共15分）7.若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长,则14a b+的最小值为 .解析:由题意可知,圆心()21，在直线220(,0a x b y a b +-=>上,所以1a b +=,又()1414455249b aa b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 8.若a ,b ,c ＞0,且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4,则2a ＋b ＋c 的最小值为__________.9.已知f (x )＝log 2(x －2),若实数m ,n 满足f (m )＋f (2n )＝3,则m ＋n 的最小值为__________.三、解答题（每小题10分,共30分）10.在三角形ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a b c 、、且222b c bc a +=+（1）求∠A ；（2）若3a =,求22b c +的取值范围. 解析:（1）由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-==0A π<<,3A π∴=（2）方法一:3a =且222b c bc a +=+,223b c bc ∴+=+2202b c bc +<≤ ,226b c ∴+≤,（当且仅当3b c ==时取等号）2239b c ∴<+≤方法二、由正弦定理32sin sin sin sin 3b c a B C A π====2sin ,2sin b B c C == 2224sin sin 34sin sin()32sin 23sin cos 33b c B C B B B B B π∴+=+=++=++ =3sin 2cos242sin(2)46B B B π-+=-+因为203B π<<,所以72666B πππ-<-< 所以1sin(2)126B π-<-≤即2239b c ∴<+≤.11.已知a ,b ,c 都是正实数,且满足log 9(9a ＋b )＝log 3ab ,求使4a ＋b ≥c 恒成立的c 的取值范围.12.设a,b,c均为正实数,求证:111111. 2a2b2c b c c a a b ++≥+++++。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作《基本不等式》同步测试一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若a ∈R ，下列不等式恒成立的是 （ ）A ．21a a +>B ．2111a <+ C ．296a a +> D ．2lg(1)lg |2|a a +>2. 若0a b <<且1a b +=，则下列四个数中最大的是 （ ）Ａ．12Ｂ．22a b + Ｃ．2ab Ｄ．a3. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ） Ａ．3 Ｂ．332- Ｃ．3-23 Ｄ．－14. 设,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则的最小值是( )A. 10B. 63C. 46D. 183 5. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1166. 若a , b , c ∈R ，且ab +bc +ca =1, 则下列不等式成立的是 （ ）A ．2222a b c ++≥B ．2()3a b c ++≥C ．11123abc++≥ D ．3a b c ++≤7. 若x >0, y >0,且x +y ≤4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥ C ．2xy ≥ D ．11xy ≥ 8. a ,b 是正数，则2,,2a babab a b++三个数的大小顺序是 （ ） Ａ．22a b ab ab a b +≤≤+ Ｂ．22a b abab a b+≤≤+ Ｃ．22ab a b ab a b +≤≤+ Ｄ．22ab a bab a b +≤≤+ 9. 某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则有（ ）Ａ．2p q x += Ｂ．2p q x +< Ｃ．2p q x +≤ Ｄ．2p qx +≥ 10. 下列函数中，最小值为4的是 （ ）Ａ．4y x x =+Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上. 11. 函数21y x x =-的最大值为 .12. 建造一个容积为18m 3, 深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m 2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.13. 若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是 .14. 若x , y 为非零实数，代数式22228()15x y x yy x y x+-++的值恒为正，对吗？答 .三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15. 已知：2222,(,0)x y a m n b a b +=+=>, 求mx +ny 的最大值.16. 设a , b , c (0,),∈+∞且a +b +c =1，求证：111(1)(1)(1)8.a b c ---≥17. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab+的最小值.18. 是否存在常数c ,使得不等式2222x y x yc x y x y x y x y+≤≤+++++对任意正数x , y 恒成立？试证明你的结论.专题五《基本不等式》综合检测一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A B C D C A B C C C 二．填空题11. 1212.3600 13.212-14.对三、解答题15．ab16.略17. (1)10,4⎛⎤⎥⎝⎦(2)17418．存在，23c=。

人教新课标A版必修5数学3.4 基本不等式同步检测A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共17题；共34分)1. （2分）若a>0,b>0且a+b=4,则下列不等式恒成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋9y2－z＝0，则当取得最大值时，的最大值为（）A . 1B .C . -1D . 33. （2分）已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+ ，β=b+ ，则α+β的最小值为（）A . 8B . 9C . 10D . 124. （2分）已知，则“”是的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）下列各式中，最小值等于2的是（）A .B .C .D .6. （2分）设， ,,,,则M与N、P与Q的大小关系为（）A . ,B . ,C . ,D . ,7. （2分） (2018高二上·大港期中) 已知，且，则的最小值为（）A . 100B . 10C . 1D .8. （2分）若，则下列不等式①a+b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④中，正确的不等式有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）若不等式在上恒成立,则的取值范围是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高三上·清远期末) 半圆的直径，为圆心，是半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是（）A . 2B . 0C . -2D . 411. （2分）(2019·浙江模拟) 已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时，（）A .C .D .12. （2分）(2017·山西模拟) 锐角三角形ABC的三边长a，b，c成等差数列，且a2+b2+c2=21，则实数b 的取值范围是（）A .B .C .D . （6，7]13. （2分） (2019高一下·上海月考) 函数在上恒为正数，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .14. （2分） (2016高二上·上海期中) 对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+ ，且a+b=1，则的上确界为（）A .C .D . ﹣415. （2分） (2019高二上·南宁月考) 已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且| PF2 |>| PF1 |，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，，则的最小值为（）A . 4B . 6C .D . 816. （2分）在等差数列{an}中，an＞0，且a1+a2+a3+…+a8=40，则a4•a5的最大值是（）A . 5B . 10C . 25D . AB=4,5017. （2分） (2019高一上·金华月考) 已知函数满足，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)18. （1分） (2017高一上·建平期中) 若a＞0，b＞0，3a+2b=1，则ab的最大值是________．19. （1分） (2017高一下·淮安期中) 函数y=x+ （x＞1）的最小值是________．20. （1分）设a＞，b＞0且满足2a+3b=6，则 + 的最小值为________．21. （1分）(2020·淮南模拟) 已知函数，满足（，均为正实数），则的最小值为________22. （1分） (2017高一下·卢龙期末) 若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．23. （1分） (2016高二上·宁远期中) 函数的最小值为________．三、解答题 (共2题；共15分)24. （10分） (2016高一下·岳池期末) 为了提高产品的年产量，某企业拟在2013年进行技术改革，经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元（m≥0）满足x=3﹣（k为常数）．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产均能销售出去，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍（生产成本包括固定投入和再投入两部分资金）（1）试确定k的值，并将2013年该产品的利润y万元表示为技术改革费用m万元的函数（利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用）；（2）该企业2013年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润．25. （5分） (2016高三上·嘉兴期末) 已知等差数列的首项，前项和为．（Ｉ）求及；（Ⅱ）设，，求的最大值．参考答案一、选择题 (共17题；共34分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、二、填空题 (共6题；共6分) 18-1、19-1、20-1、21-1、22-1、23-1、三、解答题 (共2题；共15分) 24-1、24-2、25-1、。

课时达标检测（十九）基本不等式：一、选择题1．下列不等式中正确的是（）A．a＋错误!≥4B．a2＋b2≥4abC.错误!≥错误!D．x2＋错误!≥2错误!解析:选D a＜0，则a＋错误!≥4不成立，故A错;a＝1,b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错;a＝4，b＝16,则错误!＜错误!，故C错；由基本不等式可知D项正确．2．已知0＜x＜1，则x（3－3x）取得最大值时x的值为( ）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!解析：选B 由x(3－3x）＝3·x（1－x)≤3错误!2＝错误!,当且仅当x＝1－x，即x＝错误!时,等号成立．3．设a,b是实数，且a＋b＝3,则2a＋2b的最小值是（)A．6 B．4错误!C．2错误!D．8解析：选B ∵a，b是实数，∴2a＞0，2b＞0，于是2a＋2b≥22a·2b＝2错误!＝2 错误!＝4错误!，当且仅当a＝b＝错误!时取得最小值4错误!。

4．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x）（1＋y)的最大值为( ) A．16 B．25C．9 D．36解析：选B （1＋x)(1＋y)≤错误!2＝错误!2＝错误!2＝25,因此当且仅当1＋x＝1＋y即x＝y＝4时，(1＋x)·（1＋y）取最大值25,故选B.5．若－4〈x〈1，则f（x）＝错误!( )A．有最小值1 B．有最大值1C．有最小值－1 D．有最大值－1解析：选D f(x）＝错误!＝错误!错误!，又∵－4<x〈1，∴x－1〈0.∴－（x－1)>0。

∴f（x）＝－错误!错误!≤－1。

当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时，等号成立．二、填空题6．已知x ，y 都是正数．（1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________；（2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．解析：（1)x ＋y ≥2xy ＝2错误!，即x ＋y 的最小值是2错误!；当且仅当x ＝y ＝错误!时取最小值．（2）xy ≤错误!2＝错误!2＝错误!,即xy 的最大值是错误!.当且仅当x ＝y ＝152时xy 取最大值． 答案：(1）215 (2）错误!7．若对任意x 〉0,错误!≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析:因为x >0，所以x ＋1x≥2。

河北省人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式同步测试姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共15题；共30分)1. （2分） (2017高一下·宿州期中) 在下列函数中，最小值为2的是（）A . y=2x+2﹣xB . y=sinx+ （0＜x＜）C . y=x+D . y=log3x+ （1＜x＜3）2. （2分）设等差数列的公差为d，若的方差为2，则d等于（）A . 1B . 2C . ±1D . ±23. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（）A .B .C .4. （2分） (2015高一下·湖州期中) 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A .B .C . 5D . 65. （2分） (2017高二下·平顶山期末) 已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞ }，则f（10x）＞0的解集为（）A . {x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B . {x|﹣1＜x＜﹣lg2}C . {x|x＞﹣lg2}D . {x|x＜﹣lg2}6. （2分） (2018高二上·玉溪期中) 已知m，n R，且m﹣2n+6=0，则的最小值为（）A .B . 4C .D . 37. （2分） (2017高一下·晋中期末) 若b＞a＞0，则的最小值为（）B . 3C .D . 28. （2分）已知等比数列中，公比，若，则的最值情况为（）A . 有最小值B . 有最大值C . 有最小值12D . 有最大值129. （2分）已知正数x,y满足，则的最小值为（）A . 8B . 4C . 2D . 010. （2分）(2020·普陀模拟) 若直线：经过第一象限内的点，则的最大值为（）A .B .C .D .11. （2分）若，则的最小值为（）A .B .C .D .12. （2分） (2017高二下·温州期中) 设正实数a，b满足a+b=1，则（）A . 有最大值4B . 有最小值C . 有最大值D . a2+b2有最小值13. （2分） (2018高二上·泰安月考) 关于的不等式的解集是空集，则实数的范围为（）A .B .C .D .14. （2分）设a= ，c=x+y，若对任意正实数x，y都存在以a，b，c为三边的三角形，则实数p的取值范围是（）A . （1，3）B . （0，1）∪（3，+∞）C . （2，4）D . （2，3）15. （2分）已知，设函数的零点为m，的零点为，则的最大值为（）A . 8B . 4C . 2D . 1二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高二上·湖州期末) 已知x，y为正实数，且x+2y=1，则的最大值是________，的最小值是________．17. （1分） (2016高三上·江苏期中) 已知正数a，b满足 = ﹣5，则ab的最小值为________．18. （1分） (2018高一下·芜湖期末) 已知函数，，则的最小值是________．19. （1分） (2019高三上·嘉兴期末) 已知正实数，满足，则的最大值为________.20. （1分） (2018高一下·双鸭山期末) 已知，若恒成立，则实数的取值范围________；三、解答题 (共5题；共25分)21. （5分） (2019高二上·郑州期中) 在中，内角，，的对边分别是，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）点满足，且线段，求的最大值.22. （5分） (2017高一上·定州期末) 2015年春，某地干旱少雨，农作物受灾严重，为了使今后保证农田灌溉，当地政府决定建一横断面为等腰梯形的水渠（水渠的横断面如图所示），为减少水的流失量，必须减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面的面积设计为定值S，渠深为h，则水渠壁的倾斜角α（0＜α＜）为多大时，水渠中水的流失量最小？23. （5分） (2016高一下·霍邱期中) 解答（1）已知正数x，y满足x+2y=1，求 1 x + 1 y 的最小值（2）已知x＞1，求：y=x+最小值，并求相应的x值．24. （5分）如图，一矩形铁皮的长为8m，宽为3m，在四个角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起，可以制成一个无盖的长方体容器，所得容器的容积V（单位：m3）是关于截去的小正方形的边长x（单位：m）的函数．（1）写出关于x（单位：m）的函数解析式；（2）截去的小正方形的边长为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？25. （5分）解关于x的不等式 +1＜0（k≥1）．参考答案一、单选题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共25分) 21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、第11 页共11 页。

学业分层测评（十七）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列不等式：①x 2>0；②－x 2－x ≤5；③ax 2>2；④x 3＋5x －6>0；⑤mx 2－5y <0；⑥ax 2＋bx ＋c >0.其中是一元二次不等式的有( )A ．5个 B ．4个C ．3个D ．2个【解析】　根据一元二次不等式的定义知①②正确．【答案】　D2．(2015·开封高二检测)二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为全体实数的条件是( )A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!【解析】　结合二次函数的图象(略)，可知若ax 2＋bx ＋c <0，则Error!【答案】　D3．已知不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，则a ，b 的值等于( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝2，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝2D ．a ＝－2，b ＝1【解析】　因为不等式ax 2＋3x －2>0的解集为{x |1<x <b }，所以方程ax 2＋3x －2＝0的两个根分别为1和b ，根据根与系数的关系，得1＋b ＝－，b ＝－，所以a ＝－1，b ＝2.3a 2a 【答案】　C4．(2016·晋江高二检测)若不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (x )的图象为( )【解析】　因为不等式的解集为(－2,1)，所以a <0，排除C ，D ，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B.【答案】　B5．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为Error!，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}【解析】　由题意知，一元二次不等式f (x )>0的解集为Error!.而f (10x )>0，∴－1<10x <，12解得x <lg ，即x <－lg 2.12【答案】　D二、填空题6．(2015·广东高考)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)【解析】　由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.【答案】　(－4,1)7．设函数f (x )＝Error!则不等式f (x )>f (1)的解集是________.【导学号：05920075】【解析】　f (1)＝12－4×1＋6＝3，当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1；当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．【答案】　(－3,1)∪(3，＋∞)8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________．【解析】　A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2}，B ＝{x |x <a }．若B ⊆A ，如图，则a ≤1.【答案】　(－∞，1]三、解答题9．求下列不等式的解集：(1)x 2－5x ＋6>0；(2)－x 2＋3x －5>0.12【解】　(1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3，或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m <0.【解】　∵原不等式等价于(x －m )(x －m －1)<0，∴方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的两根分别为m 与m ＋1.又∵m <m ＋1.∴原不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．[能力提升]1．已知0<a <1，关于x 的不等式(x －a )>0的解集为( )(x －1a )A.Error!B ．{x |x >a }C.Error!D.Error!【解析】　方程两根为x 1＝a ，x 2＝，1a ∵0<a <1，∴>a .相应的二次函数图象开口向上，故原不等式的解集为Error!.1a 【答案】　A2．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为( )A ．[1,3)B ．(1,3)C ．(－∞，1)D ．(3，＋∞)【解析】　原不等式转化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，<x <，由题意知b1－a b a ＋10<<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤<－2.整理，b a ＋1b 1－a 得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a .∴a <3，从而有1<a <3.综上可得a ∈(1,3)．【答案】　B3．(2015·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．【解析】　∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.【答案】　{x |－1＜x ＜2}4．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．【解】　原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0，由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >.32若a <－1，则－2a ＋3－＝(－a ＋1)>5，a ＋1252所以3－2a >，a ＋12此时不等式的解集是Error!；若a >，由－2a ＋3－＝(－a ＋1)<－，32a ＋125254所以3－2a <，a ＋12此时不等式的解集是Error!.综上，当a <－1时，原不等式的解集为，当a >时，原不等式(a ＋12，3－2a )32的解集为.(3－2a ，a ＋12)。