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第10章相交线、平行线与平移10.1相交线第1课时对顶角及其性质知识要点基础练知识点1对顶角的概念1.如图,∠1和∠2是对顶角的是(B)2.如图,在所标识的角中,互为对顶角的两个角是(A)A.∠2和∠3B.∠1和∠3C.∠1和∠4D.∠1和∠2知识点2对顶角的性质3.直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC.已知∠BOE=65°,则∠AOD的度数是(D)A.32.5°B.65°C.110°D.130°4.如图,已知直线AB,CD,EF相交于点O,∠1=95°,∠2=32°,则∠BOE=53°.5.直线AB,CD,EF相交于点O,如图.(1)写出∠AOD,∠EOC的对顶角;(2)已知∠AOC=50°,求∠BOD的度数;(3)若∠BOD+∠COF=140°,求∠BOE的度数.解:(1)∠AOD的对顶角是∠BOC,∠EOC的对顶角是∠DOF.(2)∠BOD=50°.(3)因为∠BOE=∠EOD+∠BOD,∠EOD=∠COF,所以∠BOE=∠BOD+∠COF=140°.综合能力提升练6.如图,当光线从空气射入水中,光线的传播发生了改变,这就是折射现象.∠1的对顶角是(A)A.∠AOBB.∠BOCC.∠AOCD.都不是7.下列说法:①两条直线相交,有公共顶点的角是对顶角;②对顶角相等;③相等的两个角是对顶角;④两个角互为对顶角,这两个角度数之和不会超过180°.其中正确的有(A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.如图所示,直线AB交CD于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠COB,∠AOD∶∠BOE=4∶1,则∠AOF 等于(B) A.130° B.120° C.110° D.100°9.如图,直线AB,CD相交于点O,∠DOF=90°,OF平分∠AOE,若∠BOD=28°,则∠EOF的度数为62°.10.如图,有两堵墙,要测量地面上形成的∠AOB的度数,但人又不能进入围墙,只能站在墙外.如何测量?并说明理由.解:延长AO,BO分别至点C,点D,测量∠COD的度数即可.理由:对顶角相等.11.如图,直线AB与CD相交于点O,OD恰为∠BOE的平分线.(1)请直接写出和∠AOD互补的角;(把符合条件的角都写出来)(2)若∠AOD=142°,求∠AOE的度数.解:(1)∠AOC,∠BOD,∠EOD.(2)由(1)知∠DOE=∠BOD=180°-∠AOD=38°,∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=104°.12.如图,直线AB,CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE∶∠EOC=2∶3.(1)求∠AOE的度数;(2)若OF平分∠BOE,问:OB是∠DOF的平分线吗?试说明理由.解:(1)∠AOE=30°.(2)OB是∠DOF的平分线.理由:∵∠AOE=30°,∴∠BOE=180°-∠AOE=150°,∵OF平分∠BOE,∴∠BOF=75°,又∵∠BOD=75°,∴∠BOD=∠BOF,∴OB是∠DOF的平分线.13.如图,已知直线AB与CD交于点O,OE平分∠BOD,OF平分∠AOB.(1)若∠BOE=40°,求∠AOF与∠COF的度数;(2)若∠BOE=x(x<45°),请用含x的代数式表示∠COF的度数.解:(1)∵OE平分∠BOD,∠BOE=40°,∴∠BOD=80°,∴∠BOC=100°.∵OF平分∠AOB,∴∠AOF=∠BOF=90°,∴∠COF=100°-90°=10°.(2)∠COF=180°-2x-90°=90°-2x.拓展探究突破练14.观察下列图形,寻找对顶角(不含平角).(1)两条直线相交于一点,如图①,共有2对对顶角;(2)三条直线相交于一点,如图②,共有6对对顶角;(3)四条直线相交于一点,如图③,共有12对对顶角;…(4)根据填空结果探究:当n条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系;(5)根据探究结果,求2019条直线相交于一点时,所构成的对顶角的对数.解:(4)n(n-1).(5)2018×2019=4074342.。
10.1相交线一、教材分析相交线是平面内两条直线的位置关系中的一种，这部分内容小学有接触过，学生在七年级上册又学习了线段、射线、直线与角等相关知识，根据学生的认知水平，本节课进一步探究平面内两条直线的相交情况。
在学生用小棒摆几何图形的活动中抽象出其中的一种特殊情况——相交线，而后探究两直线相交所成的角的位置和大小关系，给出对顶角的定义得出“对顶角相等”的性质。
二、学情分析学生在学习本内容之前已经学习了直线、角、互补等简单的几何知识，本节课将引出几何中的文字语言、图形语言和符号语言的表达方法并通过在本章的学习进一步体会和掌握。
三、教学目标1．在具体情境中认识对顶角，经历观察、测量、推理、交流等探究活动利用邻补角的定义和同角的补角相等得出“对顶角相等”这个性质。
2.运用对顶角的性质进行运算以及解决一些相关实际问题。
3.学生通过探究活动来发现结论，培养学生挖掘题目中隐含条件的能力，在合作交流的过程中体验成功的快乐。
四、教学重点对顶角概念、对顶角性质。
五、教学难点对顶角的性质的探究六、教学准备多媒体、吸管、图钉、泡沫板、学习任务单等七、教学方法问题情境——独立思考——合作探究法八、教学过程（一）动手操作、活动导入活动要求：请用两支小棒在桌面上摆出一个几何图形？若把每根小棒看成直线那么请将你所摆出的图形画在任务单上。
(1) （2）(2)（4）问题1:像（4）这样的两条直线位置上有何关系呢？导出课题：其实我们的生活中也蕴藏着大量的相交线。
今天这节课我们就一起来研究相交线的有关知识。
（板书课题）【设计意图】在活动中学生从自己的研究成果中获取数学知识，激发了学生的数学兴趣，同时还认识到数学问题来源于生活实际。
(二) 回顾旧知 引入概念 图形变化：问题2：我们学过最基本的几何元素是什么？（点） 点动成什么？（线）由一点出发的两条射线组成什么图形？（角）观察思考：（1） 仔细观察∠AOB 的OA 边发生了怎样的变化？从O 点出发的射线OC 是射线OA 的（？）（反向延长）（2）形成的∠BOC它们是一对什么类型的角？（邻补角） （3）那你能回忆出“邻补角”的定义吗？邻补角：如果两个角有公共的顶点和一条公共边，并且他们的另一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。
《相交线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在通过《相交线》的学习，使学生掌握相交线的基本概念、性质及判定方法，能够运用所学知识解决简单的实际问题，提升空间想象能力和逻辑思维能力。
二、作业内容1. 基础知识巩固- 复习相交线的定义，掌握直线相交时的基本特点。
- 熟记相交线的性质，如“对顶角相等”、“同位角相等”等。
- 练习判断题和选择题，巩固相交线的基本概念。
2. 实践应用练习- 绘制简单的相交线图形，标出相关角度和线段，并利用所学知识进行计算和证明。
- 解决与相交线相关的实际问题，如利用相交线性质解决角度计算问题等。
- 通过具体实例，学习相交线在生活中的应用，如道路交通、建筑图纸等。
3. 拓展提升训练- 探究不同情境下相交线的变化规律，培养学生的空间想象力。
- 设计一些较复杂的图形，要求学生分析其中的相交线关系并解决问题。
- 鼓励学生运用所学知识进行创新设计，如设计一幅与相交线有关的图案等。
三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 基础题部分要求学生必须掌握并正确解答。
3. 实践应用练习部分需结合实际生活情境进行解答，注重知识的应用性。
4. 拓展提升训练部分鼓励学生自主探究和创新，可适当增加难度和深度。
5. 作业需在规定时间内完成并按时提交。
四、作业评价1. 评价标准：基础题部分正确率、实践应用练习部分的解题思路与答案准确性、拓展提升训练部分的创新性及深度。
2. 教师评阅：对每位学生的作业进行细致评阅，给予相应的评分和点评。
3. 鼓励表扬：对表现出色的学生给予表扬和鼓励，激发学生的学习积极性。
4. 个性化指导：针对学生在作业中暴露出的问题，给予个性化的指导和建议。
五、作业反馈1. 对学生的作业情况进行汇总分析，了解学生的学习情况和存在的问题。
2. 将作业中出现的共性问题在课堂上进行讲解和指导。
3. 根据学生的作业表现调整教学计划和教学方法，更好地满足学生的学习需求。
《相交线》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本次《相交线》作业设计的主要目标是使学生：1. 理解相交线的概念，能够准确描述相交线的特征。
2. 掌握相交线的基本性质，包括角的关系及性质。
3. 通过练习，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
4. 增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、作业内容1. 基础知识练习：（1）相交线的基本定义及性质。
（2）练习判断两条直线是否相交及相交后形成的角的类型。
（3）练习计算相交线形成的角度，并掌握其性质。
2. 实践应用题：（1）设计题目让学生通过画图理解相交线的性质，如已知两条相交线，求出各角度的度数。
（2）创设实际情境，让学生运用相交线知识解决日常生活中的问题，如根据建筑物的窗户设计，分析相交线的应用。
3. 综合提升题：（1）通过多条相交线的复杂图形，考察学生对相交线性质的综合运用能力。
（2）设置具有一定难度的探究题，引导学生自主探究相交线与其他几何知识的联系。
三、作业要求1. 基础知识练习部分要求学生熟练掌握，必须独立完成，不得抄袭。
2. 实践应用题要求学生结合所学知识，通过画图或文字描述的方式完成。
3. 综合提升题旨在提升学生的综合运用能力，学生可自主选择是否挑战，但需在教师的指导下进行。
4. 作业需在规定时间内完成，并保持字迹清晰、格式规范。
5. 鼓励学生自主探索，尝试用多种方法解决问题。
四、作业评价1. 基础题部分主要评价学生对相交线基础知识的掌握情况。
2. 实践应用题的评价主要看学生是否能够正确运用所学知识解决实际问题。
3. 综合提升题的评价关注学生的综合运用能力和创新思维。
4. 教师根据学生作业的完成情况、正确性及解题思路给予相应的评价和指导。
五、作业反馈1. 教师通过批改作业，了解学生的学习情况，及时给予指导和帮助。
2. 对共性问题进行课堂讲解，对个别问题单独辅导。
3. 鼓励学生之间互相交流学习，分享解题思路和方法。
4. 定期总结学生的学习进步和存在的问题，及时调整教学策略，提高教学效果。
相交线【教材分析】：本章是在学习了直线、射线、线段、角的基础上来研究两条直线的两种位置关系统：相交与平行。
由于两条直线的位置关系与它们所成的角有直接的关系，所以我们首先要研究两条直线相交成有公共顶点的四个角的关系，即：对顶角与邻补角。
为后面学习垂线、三线八角以及空间里的垂直关系打好基础。
然后研究两条直线被第三条直线所截而形成的没有公共顶点的三角的关系，为研究平行线做好准备。
对顶角相等的性质是证明角相等的一个重要的依据，并在以后的推理过程中有着广泛的应用。
所以要求学生熟练掌握。
同时，在教学过程中，要培养学生的识图能力和几何语言的表达能力，从而初步引入几何推理的格式，让学生知道推理要步步有据。
因此，本节课的重点是：“对顶角相等”的性质及应用。
难点是学生的识图能力的培养与几何推理格式的初步引入。
【教学目标】：根据《课标》，结合素质教育的要求，确定本节课的教学目标如下：认知目标：（1）知道对顶角和邻补角的意义，能找出图中一个角的对顶角和邻补角。
（2）能说出：“对顶角相等”的性质，会用它进行简单的推理和计算。
能力目标：（1）通过电教手段的应用，让学生感受到直观图形，培养学生的识图能力。
（2）训练学生几何语言的表达能力，能进行简单的一步推理。
情感目标：（1）借助情感因素，营造亲切、和谐、活泼的课堂氛围，促进学生思维的发展。
（2）电教手段的应用，使学生感受到几何来源于实践，与我们的生活密切联系，从而培养学生对几何学习的兴趣。
（3）通过相互讨论，使学生体会到“合作”成功之后的愉悦。
（4）引导学生多观察，勤思考，培养学生勇于探索的思维的品质。
【教法设计】：教学目标的达成需要优选教学方法，本节课采用的基本方法是：启发式教法，其基本思路为：电教直观引入第二章→学生举出生活中的实例→学生动手操作→动画演示导入新课→教师创设问题情境→学生观察、分析、讨论、回答→教师适时点拨→学生理解消化→习题巩固训练→目标达成测试。
整个教学充分体现了教师为主导，学生为主体，问题为主线的“三为主”的教学原则，充分调动学生学习的积极性，也培养学生的观察能力、想象能力、思维能力、表达能力，从而使学生的智能得到充分的开发。
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21(1)
《相交线》
一、判断
1.顶点相同并且相等的两个角是对顶角.（ ）
2.相交直线构成的四个角中若有一个角是直角，就称这两条直线互相垂直.（ ）
3.直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离.（ ）
4.如图1，∠2和∠8是对顶角.（ ）
5.O 是直线AB 上一点，D 分别在AB 的两侧，且∠DOB=∠AOC， 则C ，O ，D 三点在同一条直线上.（ ）
l
a 7568
432
1b
(3)
5
643
21
A
B N
M P
(4)
O
Q
42
1
D A
B
(5)
O
F E
二、填空
6.如图3，直线L 截直线a ，b 所得的对顶角_____对，它们是_____.
7.如图4，∠2的对顶角是__________.
8.如图5，直线AB ，CD 相交于O ，OE 平分∠AOD，FO⊥OD 于O ，∠1=40°，则∠2=___ __，∠4=______. 9.如图6，AB⊥CD 于O ，EF 为过点O 的直线，MN 平分∠AOC，若∠EON=100°，那么∠EOB=_____，∠BOM=_____. 10.如图7，AB 是一直线，OM 为∠AOC 的角平分线，ON 为∠BOC 的角平分线，则OM ，ON 的位置关系是_______. 11.直线外一点与直线上各点连结的线段中，以_________为最短. 12.从直线外一点到这条直线的____ ____叫做这点到直线的距离.
D
C A B N
M (6)
O F
E C A
B
N M (7)
O D C A
B
(8)
三、选择.
13.两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ） . A.1 B.2 C.3或2 D.1或2或3
14.如图10，PO⊥OR，OQ⊥PR，能表示点到直线（或线段）的距离的线段有（ ） . A.1条 B.2条 C.3条 D.5条
(10)
P
Q
D C
A
B
(11)
O
D C
A
B
(12)
F
E
15.如图，OA⊥OB，OC⊥OD，则（ ） .
A.∠AOC=∠AOD
B.∠AOD=∠DOB
C.∠AOC=∠BOD
D.以上结论都不对 16.下列说法正确的是（ ） .
A.在同一平面内，过已知直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条
B.连结直线外一点和直线上任一点，使这条线段垂直于已知直线
C.作出点P 到直线的距离
D.连结直线外一点和直线上任一点的线段长是点到直线的距离 17.如图12，与∠C 是同旁内角的有（ ）. A.2 B.3 C.4 D.5 18.下列说法正确的是（ ）.
A.两条直线相交成四个角，如果有三个角相等，那么这两条直线垂直.
B.两条直线相交成四个角，如果有两个角相等，那么这两条直线垂直.
C.两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角互余，那么这两条直线垂直.
D.两条直线相交成四个角，如果有两个角互补，那么这两条直线垂直. 19.如果∠1与∠2互为补角，且∠1>∠2，那么∠2的余角是（ ） . A.
21（∠1+∠2） B. 21∠1 C. 21 （∠1-∠2） D. 2
1
∠2 20.已知OA⊥OC，∠AOB：∠AOC=2：3，则∠BOC 的度数是（ ） . A.30° B.150° C.30°或150° D.以上答案都不对下图中共有 四、作图题
21.如图，按要求作出： （1）AE⊥BC 于E ； （2）AF⊥CD 于F ；
（3）连结BD ，作AG⊥BD 于G.
22.如下左图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 分别是位于公路AB 两侧的村庄，（1）现在公路AB 上修建一个超市C ，使得到M 、N 两村庄距离最短，请在图中画出点C （2）设汽车行驶到点P
D
C
A
B
位置时离村庄M 最近；行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中公路AB 上分别画出P 、Q 两点的位置.
（1） （2）
五、解答题.
23.如图，已知∠ABC=90°，∠1=∠2，∠DCA=∠CAB，求证：（1）
CD⊥CB；（2）CD•平分∠ACE.
24.如图，OE ，OF 分别是∠AOC 与∠BOC 的平分线，且OE⊥OF，求证：A ，
O ，B•三点在同一直线上.
C A
B
O
F E
25.如图已知∠AOB 与∠BOC 互为邻补角，OD 是∠AOB 的平分线，OE 在∠BOC 内，∠BOE=2
1
∠EOC， ∠DOE=72°，求∠EOC 的度数.
26.如图直线AB 、CD 相交于点O ，OM⊥AB. （1）若∠1=∠2，求∠NOD 的度数. （2）若∠1=
2
1
∠BOC ， 求∠BOD 的度数.
初中数学试卷
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D C
A B
E。
