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10.平面向量数量积的物理背景及其含义

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平面向量数量积的物理背景及其含义 课件

平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
a·b (3)cos θ＝ |a||b| ；
(4)|a·b| ≤ |a||b|.
并证明第(4)条性质． 证明 |a·b|≤|a||b|. 设 a 与 b 的夹角为 θ，则 a·b＝|a||b|cos θ. 两边取绝对值得：|a·b|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 当且仅当|cos θ|＝1， 即 cos θ＝±1，θ＝0 或 π 时，取“＝”． 所以|a·b|≤|a||b|.
例如，|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则 a 在 b 方
向上的投影为 －1 ，b 在 a 方向上的投影为 －12 .
问题 2 向量 b 在 a 方向上的投影不是向量，而是数量，它的 符号取决于夹角 θ 的范围. θ 范围 θ 是锐角 θ 是直角 θ 是钝角
图形
符号 |b|cos θ > 0 |b|cos θ＝0 |b|cos θ < 0
3．数量积的几何意义 a·b 的几何意义是数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影_|b_|_c_o_s_θ_的乘积．
探究点一 平面向量数量积的含义 已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0.
问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所 做的功 W＝_|F_|_|s_|c_o_s__θ_＝_F_·s_.
问题 2 向量的数量积是一个数量，而不再是向量．
对于两个非零向量 a 与 b. 当 θ∈__0_，___π2___时，a·b>0； 当__θ_＝__2π____时，a·b＝0，即 a⊥b； 当 θ∈__π2__，__π___时，a·b<0.

平面向量数量积的物理背景及其含义 课件

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向量数乘的结果是一个向量,其长度是原向量长度的倍数;两个实
数的积是一个实数.
(2)从运算的表示方法上看,两个向量a,b的数量积称为内积,写成
a·b;大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量
积,因此书写时要严格区分,符号“·”在向量运算中既不能省略,也不
能用“×”代替;向量的数乘的写法同单项式的写法;实数的乘法的写
a·b;(2)求|x a+y b|2=x2|a|2+2xy a·b+y2|b|2;(3)求|x a+y b|.
题型三
求两向量的夹角
【例 3】 已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,求 a 与 b 的夹角 θ.
分析:求出 a,b 的数量积 a·b,代入夹角公式求得 cos θ,从而确定
形.
的|λ|倍;在实数的乘法中,ab的几何意义就是数轴上ab到原点的距
离等于a,b到原点的距离的积.
题型一
求向量的数量积
【例1】 已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=|b|=4,则b·(3a+b)的
值为
.
解析:b·(3a+b)=3a·b+|b|2=3|a||b|cos 120°+16=-8.
答案:-8
在向量的数量积中,一般(a·b)c≠a(b·c);在向量的数乘
中,(λm)a=λ(ma)(λ∈R,m∈R);在实数的乘法中,有(ab)c=a(bc).
(4)从几何意义上来看,在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的
长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积;在向量的数乘中,λa的
几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小到原来

平面向量数量积的物理背景及其含义 PPT

平面向量数量积的物理背景及其含义 PPT
ab
解：a b a b cos120 o
2 4 ( 1) 10 2
练习：课本 104页 1
2020/7/25
10
向量的数量积是一个数量，那么它何时 为正，何时为负，何时为零？
a b | a || b | cos
当_0_______9_0__ 时a b 为正；
当_9_0______1_8_0_ 时 a b 为负;
B
b
O
a B1A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b cos b
b
a
B
O
A
b cos b
2020/7/25
15
平面向量数量积的几何意义:
B
b
O | b | cos
a b a b cos
a
A
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
(2)两个向量的数量积称为内积，写 20/7/25
ab
8
注意： (3) 向量的数量积和实数与向量的积
(数乘)不是一回事．
数量积 a b | a || b | cos 的结果是一个 数量(实数)；
实数与向量的积(数乘)还是一个向量．
2020/7/25
9
例1:已知 a 5，b 4，a与b的夹角为120 o，求
当_____9_0_时 a b 为零;
当_____0_时a b =|a||b|;
此时两向量
垂直即a b
当___1_8_0_时 a b | a || b | .
2020/7/25
练习：课本 106页 211

人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件

人教版数学 平面向量数量积的物理背景及其含义 (共15张PPT)教育课件

有些人经常做一些计划，有的计划几乎 不去做 或者做 了坚持 不了多 久。其 实成功 的关键 是做很 坚持。 上帝没 有在我 们出生 的时候 给我们 什么额 外的装 备，也 许你对 未来充 满迷惑 ，也许 你觉得 是在雾 里看花 ，但是 只要我 们不停 的去做 ，去实 践，总 是可以 走到一 个鲜花 盛开的 地方， 也许在 那个时 候，你 就能感 受到什 么叫柳 暗花明 。走向 成功的 过程就 好像你 的起点 是南极 ，而成 功路径 的重点 在北极 。那么 无论你 往哪个 方向走 ，只要 中途的 方向不 变，最 终都会 到达北 极，那 就在于 坚持。
迁安市第三中学 玄立莲
a
静心自学 (1)已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量 a•bcos叫
做向量a与b的数量积，记作a • b ，即 a•babcos (θ为a， b的夹角)．
规定：零向量与任一向量的数量积为 0 问题1、向量的数量积与数乘向量的运算结果有何区别？
数量积的结果是实数，数乘的结果是向量
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

平面向量数量积的物理背景及其含义 课件

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例2.我们知道，对任意a，b∈R，恒有(a+b)2=
a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 a，b 是否也有下面类似的结论？
（2）(a) b (a b) a (b)；
(3)(a b) c a c b c.
注意：(1) (a b ) c a (b c )； (2)不满足消去律.
【即时训练】
若a，b，c是非零向量，且a·c＝b·c，则a＝b一定成 立吗？
提示：不一定．由a·c＝b·c可得c·(a-b)＝0⇔a-b ＝0或c⊥(a-b)．
当 a与 b 反 向 时 ，a b | a || b |; 特 别 地 ， a a | a |2 或 | a | a a .
(3) | a b || a || b | .
【即时训练】
已知向量 a ，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( B )
A．| a |＝ a ·a
B．| a ·b |＝| a ||b |
上的投影 b cos 的乘积.
还有其他说法吗？ 提示: 向量 a与 b 的数量积等于 b 的长度 b 与a在 b
的方向上的投影 a cos 的乘积.
【即时训练】 投影是向量还是数量？
提示：投影是数量而不是向量，它可正、可负、 可为零．
向量数量积的性质 思考2:由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论？
(3) | a b || a || b | .
提示:
因为 | a b || a || b || cos |, | cos | 1,
所以 | a b || a || b | .
向量数量积的性质
设a，b 是非零向量，
(1)a b a b 0 . (2)当 a与 b同 向 时 ，a b | a || b |;

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． × 3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 × × 4．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0． 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c ×
二、已知 ABC 中， AB a , AC b , 当a b 0 或a b 0时，试判断 ABC 的形状。
2 2 a a b cos 6 b
6 6 4 cos 60 6 4 72
2 2

例已知|a|=3， |b|=4， 且a与b不共线， k为何值时，向量a+kb与a-kb互相 垂直
练习：
一、判断下列各命题是 否正确，并说明理由
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √
| a || b |
r r r r (2)a b a b 0
检测：1.已知： a与b是非零向量
(1) a b 的结果还是一个向量 2 (√) (2) a a | a | (3) | a b || a || b | (4) a b 0 a b
(5) a b a b 0 (6)a // b a b | a || b |
(× ) (√)
(× )
(√)
(× )
例1.已知 a 5, b 4, a与b的夹角 120 ，求a b.
解： a b a b cos
5 4 cos120 1 5 4 ( ) 10 2

变式一
二、数量积的几何意义：
（1）投影的概念：
| b | cos (或 | a | cos )
叫做向量 b 在 a 方向上

平面向量数量积的物理背景及其含义(教案

平面向量数量积的物理背景及其含义教案章节：一、向量数量积的定义及计算公式【教学目标】1. 了解平面向量数量积的定义及其物理意义；2. 掌握平面向量数量积的计算公式；3. 能够运用向量数量积解决实际问题。

【教学内容】1. 向量数量积的定义：两个向量相乘的结果称为向量数量积，记作a·b，其中a、b为平面向量。

2. 向量数量积的物理意义：表示两个向量在空间中的投影长度乘积。

3. 向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|、|b|分别为向量a、b的长度，θ为向量a、b之间的夹角。

【教学过程】1. 引入新课：通过讲解物理中力的作用效果，引导学生思考力的方向和大小对作用效果的影响，从而引出向量数量积的概念。

2. 讲解向量数量积的定义：结合图形，解释向量数量积的含义，让学生理解它是两个向量在空间中的投影长度乘积。

3. 推导向量数量积的计算公式：引导学生利用向量的长度和夹角，推导出向量数量积的计算公式。

4. 应用实例：让学生运用向量数量积的计算公式，解决实际问题，如力的合成与分解。

【课堂练习】1. 已知两个向量a、b，长度分别为|a|=3，|b|=4，夹角为θ=60°，求向量a与向量b的数量积。

2. 如图，在直角坐标系中，向量OA=(2,3)，向量OB=(4,6)，求向量OA与向量OB的数量积。

教案章节：二、向量数量积的性质及运算规律【教学目标】1. 掌握向量数量积的性质；2. 熟悉向量数量积的运算规律。

【教学内容】1. 向量数量积的性质：（1）交换律：a·b = b·a；（2）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c；（3）数乘律：k·a = a·k（k为实数）。

2. 向量数量积的运算规律：（1）结合律：(a·b)·c = a·(b·c)；（2）分配律：(a+b)·c = a·c + b·c。

平面向量数量积的物理背景及其含义(高中数学课件)


2
2
a a ab b a bb
a 2a b b
2
2
（ 2） (a b) (a b) a a - a b b a - b b
a b
2
2
平面向量数量积的物理背景及其含义
| b | 4 ， 例2．已知 | a | 6 ， a 与 b 的夹角为 60o ，
求 (a 2b) (a 3b) . 解： (a 2b) (a 3b)
a a a b 6b b
| a |2 a b 6 | b |2 | a |2 | a || b | cos60 6 | b |2 1 6 6 4 6 4 2 72
| b | cos 叫做 b 在 a方向上的投影；
| a | cos 叫做 a在 b方向上的投影；
| a | cos
平面向量数量积的物理背景及其含义
a b | a || b | cos
平面向量数量积的几何意义
数量积 a b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 上的投 影 | b | cos 的乘积．
a b | a || b | ；
用于计算向量的模 用于计算向量的夹角,以 及判断三角形的形状.
(4) | a b | ≤
| a || b | .
平面向量数量积的物理背景及其含义
B
b
O OB | b | cos
1
a b | a || b | cos
a

B1
A
| b | cos a b |a| a b |b|
平面向量数量积的物理背景及其含义
证明分配律：
b
向量a、b、a + b在c 上的射影的数量分别 是OM、MN、 ON, 则

平面向量数量积的物理背景及其含义课件


『规律总结』 1.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此 类问题的处理方法：
(1)a＝a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a． (2)|a±b|＝ a±b2＝ a2＋b2±2a·b． 2．向量夹角公式 cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|的计算中涉及了向量运算和数量运算， 计算时要区别进行的是向量运算还是数量运算．从而保证计算结果准确无误．
(2)∵|a|＝|a－b|，∴a·b＝12|a|2， 又|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a·b＋|b|2＝ 3|a|， 设 a 与 a＋b 的夹角为 θ， 则 cosθ＝a|a·||aa＋＋bb|＝|aa2||＋a＋a·bb|＝|a|a|2|＋· 312||aa||2＝ 23， 又 θ∈[0，π]，∴θ＝π6，即 a 与 a＋b 的夹角为π6．
『规律总结』 依据向量数量积的有关知识判断平面图形的形状，关键是由已知条件建立数量积、 向量的长度、向量的夹角等之间关系，移项、两边平方是常用手段，这样可以出现数量积及向 量的长度等信息，为说明边相等、边垂直指明方向．
混淆向量的模与实数的运算
典例 5
已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求|a＋b|及|a－b|的值．
『规律总结』 求一个向量在另一个向量方向上的投影时，首先要根据题 意确定向量的模及两向量的夹角，然后代入公式计算即可．
命题方向3 ⇨利用向量的数量积解决有关模、夹角问题
典例 3 (1)已知|a|＝|b|＝5，向量 a、b 夹角 θ＝π3，求|a＋b|． (2)已知 a，b 是两个非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|.求 a 与 a＋b 的夹角．
[解析] 在△ABC 中，易知A→B＋B→C＋C→A＝0， 即 a＋b＋c＝0， 因此 a＋c＝－b，a＋b＝－c， 从而aa＋＋bc22＝＝－－bc22，， 两式相减可得 b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2， 则 2b2＋2(a·b－a·c)＝2c2， 因为 a·b＝c·a＝a·c， 所以 2b2＝2c2，即|b|＝|c|． 同理可得|a|＝|b|，故|A→B|＝|B→C|＝|C→A|，即△ABC 是等边三角形．

高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义

=5 4 cos120
1 5 4 ( ) 2 10
数量积的运算规律：
(1)a b b a; (2)( a) b (a b) a ( b); (3)(a b) c a c b c.
b
O θ B1
a
A
数量积的几何意义：
数量积 a b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的 投影 | b | cos 的乘积。
B
b
O θ B1
a
A
思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正， 什么时候为负呢？
由向量数量Байду номын сангаас的定义，试完成下面问题：
(a b) c a c b c
A
a
1
b
2
B2
B
O A c (a b) | c || a b | cos 1 c B1 C | c || a | cos 1 | c || b | cos 2 c a c b
例2.我们知道，对任意 a, b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2 ,(a b)(a b) a2 b2 . 对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？ 2 2 2 (1)(a b) a 2a b b ; 2 2 (2)(a b)(a b) a b .
其中θ 是 a 与 b 的夹角，| b | cos (| a | cos ) 叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影.并且规定，零向量与任一向量 的数量积为零，即 a 0 0 。 B
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数量积的运算律： 交换律： 数乘结合律：
a b b a
关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足乘法结合律。
(λa)· b＝ λ( b )＝ a ·(λ b) a· 分配律：
(a b ) c a c b c
思考１： a· b与b· a相等吗？为什么？ 思考２：对于非零向量a，b，c，(a· b)· c表示什么意义？(a· b)· c 与a· (b· c)相等吗？为什么？ 思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)· c表示什么意义？它与 a· c＋b· c相等吗？为什么？
问题8：对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？
cos
例：已知 a 12,
a b a b
.
b 9, a b 54 2, 求 a 与 b 的夹角.
平面向量的数量积的运算性质
设向量a、b为两非零向量，e是与b同向的单位向量：
（１）a⊥b
b=0 . (判断两向量垂直的又一依据) a·
0
（3）当 120 时a在b上的投影为 2 （4）当 120 时b在a上的投影为 4
0
平面向量的数量积运算律
问题９: 我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些 运算 律对向量是否也适用？
类比实数的乘法运算律：
交换律：a b b a 结合律：a (b c) (a b) c 分配律：a (b c) a b a c
解： a
2, b 2, 450
a b a b cos 2 2 cos 450 2
练习2: 在△ABC中a=5,b=8,C=60o, 求 BC CA = 20
思考：用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。 例3:如图所示，已知⊙O，AB为直径,C 为⊙O上任意一点。求证∠ACB=90° 分析：要证∠ACB=90°，只须证向 量AC CB ，即AC CB 0 。
(证明共线的方法)
（２）当a与b同向时，a· b＝|a|· | b |； 当a与b反向时，a· b＝ －| a | · | b |.
特别地， a a | a |2 或 | a | a a . (求模的方法) （３）a · b ≤| a | · | b |. （４） cos

证明不等式及求函数的最值
2 2 2 2
(2) a 2b a 4a b 4b 2 37
2
2
例5.已知 a 3， b 4，a与b 不共线，k为何值时， 向量a kb 与a kb 互相垂直？
解：a+kb与a-kb互相垂直的条件是 （ a+kb）·（a-kb）=0 即a2-k2b2=0 9-16 k =0 所以，k=
数量积a· b等于a的模与b在a方向上的 投影︱b︱cosθ 的乘积，或等于b的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ 的乘积.
练一练：
若 | a | 4 , | b | 8 , a与b夹角为 （1）当 30 时a在b上的投影为 2 3
0
（2）当 90 时a在b上的投影为
0 0
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 只有在位移方向上的力做功．
F θ
s
对非零向量a与b，定义| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． | a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影．
平面向量数量积的几何意义
作OA a， OB b ，过点B作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B ，则 OB1 | b | cosθ 1
b
O A a O A

O b B a
A B 若 0 ，a 与b 同向 B b O
a
若 180 ，a 与b 反向
A 90 ，a 与b 垂直， 若 记作 a b
情景引入
一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
B1

O

a
A O a A
θ为锐角时， | b | cosθ＞0
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
a· b的几何意义：数量积a · b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos的乘积。
问题4：根据投影的概念，数量积a· b=︱a|︱b︱ cosθ的几何意义是什么？
A O
C
B
解：设 AO a,OC b 则 AC a b ,CB a b ， 由此可得： AC CB a b a
2 2 2
b
2

r2 r2 0
a b | a | | b |
即 AC CB 0 ，∠ACB=90°
数量积的几何意义
a
b a+b O M
N c
则： (a + b) · c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c|
= a· c + b· c.
数量积的运算律
回顾实数运算中有关的运算律，类比数 量积得运算律:
交换律:
在实数中 ab=ba 在向量运算中
a b b a
(√ )
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a · b ，即
a b | a || b | cos
说明：
（1） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
a 0 0．
（2） a · b中间的“ · ”在向量的运算中不能省略，也不能写 成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算（外积）．
3 4
2
练习：已知 a ＝4， b ＝8， a 与 b 的夹角是120o .




1 计算 | 4 a －2 b | ；
( a ＋2 b ) (k a － b ) ? 2 当k为何值时，



利用平面向量数量积求解夹角问题
例6.已知单位向量e1 , e2的夹角为60 ，
结合律： (ab)c=a(bc)
( ×) ( a) b (a b) a (b) ( √ )
(a b) c a c b c
(a b)c a(b c)
分配律： (a+b)c=ab+bc
(√ )
消去律: ab=bc(b≠0) a=c
a b b c(b 0) a c
B b
| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影． 向量a在b方向上的投影 是什么？

O
C
a
B1
A
︱a︱cosθ
投影一定是正数吗？
数量积的几何意义 作OA a， OB b，过点B作BB1 直线OA 则 OB1 的数量是| b | cosθ （不是向量）
B B B
b
b
b

O B1 a A
（2）(a＋b)· (a－b) ＝(a＋b)· a－(a＋b)· b ＝ a· a＋ b· a－ a· b－ b· b＝ a2－ b2.
例4.已知 a 6， b 4，a与b的夹角为60。 求（1）a 2b a 3b .



(2) a 2b | .
解：（1）. (a 2b) (a 3b) a a b 6b a a b cos 6 b 72
问题3：向量的数量积运算与实数同向量积的线性运算的 结果有什么不同？ 实数同向量积的线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个实数，是一个数量 问题4：影响数量积大小的因素有哪些？
a b | a || b | cos
这个数值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
0 90 夹角 的范围 a b 的正负 正
解： e1 e2 e1 e2 cos 60 0 1 2
a b cos | a || b | 0
求向量a 2e1 e2 与b 2e1 3e2的夹角。
A
a
1
b

2
B2
B
O
A1 c B1 C
| c || a b | cos | c || a | cos1 | c || b | cos2
c (a b) c a c b
(a b) c a c b c
证明运算律(3)-分配律
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量分 别是OM、MN、 ON,
第十课时
平面向量的数量积的物理背景 及其含义
复习回顾 注意 : 两向量的夹角定义, 两向量必须 是同起点的, 范围是0 .
向量的夹角 两个非零向量a 和b ，作OA a ，OB b ，则 AOB
(0 180 ) 叫做向量a 和b 的夹角． B
a b
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。 问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一 般向量，其结果又该如何表述？
W F S cos
a b | a | | b | cos
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
平面向量的数量积的定义

a b . (求角的方法) ab
例1. 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ， ③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2