山东大学电气学院电路课件：第十五章

可见[A]与图建立了一 一对应关系， 可表征电路的拓扑性质 可表征电路的拓扑性质。 可见 与图建立了一 一对应关系，[A]可表征电路的拓扑性质。
回路矩阵[B]: 描述支路与回路之间的关联性质。 描述支路与回路之间的关联性质。 二. 回路矩阵 设有向图的独立回路数为l，支路数为 ， 设有向图的独立回路数为 ，支路数为b，且所有的回路与支 路均加以编号，则回路矩阵 是一个 是一个l 阶矩阵. 路均加以编号，则回路矩阵[B]是一个 ×b阶矩阵. 独 立 回 路
割集 Q1(4,5,6)
3 KCL适用于割集 （这是第2点的自然结果） 适用于割集 这是第2点的自然结果） 属于同一割集的所有支路电流应满足KCL，故可用割集写出 ， 属于同一割集的所有支路电流应满足 电路的KCL方程。 方程。 电路的 方程
2. 独立割集组 对应一组线性独立的KCL方程的割集。 方程的割集。 独立割集组 — 对应一组线性独立的 方程的割集 单树支割集(基本割集) 单树支割集(基本割集)： a) 选一个树 选一个树T; b) 移去 的一条树支，T被分成两个部分 1和T2; 移去T的一条树支 的一条树支， 被分成两个部分 被分成两个部分T c) 连接 1、T2的所有连支加上移去的这条树支便构成了一割集。 连接T 的所有连支加上移去的这条树支便构成了一割集。 这样得到n-1个割集，每一割集对应一条树支，故称单树支割集。 这样得到 个割集，每一割集对应一条树支，故称单树支割集。 个割集 例1：选支路 选支路(4,5,6)构成树 构成树T 构成树 1 2 4 G 5 3 Q2 6 4 割集Q 割集 2(1,2,4) Q3 2 5 1 3 6 Q1 割集Q1(1,3,6) 割集
关联矩阵A的作用 关联矩阵 的作用
表示矩阵形式的KCL方程； 方程； ①用关联矩阵A表示矩阵形式的 用关联矩阵 表示矩阵形式的 方程
T 条支路电流列向量为： 设b条支路电流列向量为： [i ] = [i1 , i2 , L , ib ] 条支路电流列向量为
则：
节点1上的∑ i 0 节点2上的∑ i 0 [A][i ] = = M M 节点4上的∑ i 0
有 向 图
连通图 图 不连通图 + 抽象 不连通图
+ 二 . 名词和定义 1. 图 G={支路，节点} 支路，节点 支路
抽象 连通图 ① １ ② 允许孤立节点存在
2.子图 子图
路径：从图 的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 路径：从图G的一个节点出发沿着一些支路连续移动到达 另一节点所经过的支路构成路经。 另一节点所经过的支路构成路经。 3. 连通图 图G的任意两节点间至少有 的任意两节点间至少有 一条路经时称G为连通图 为连通图。 一条路经时称 为连通图。 4.有向图 有向图 图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向 关联参考方向。 电流关联参考方向。
例： 1 2 [Aa ] = 3 4
2 1 2 3 4 5 6 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 −1 −1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 − 1 − 1 0 3 1 2 1 4 6
4 3 5
特点
+1， ①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个 每一列只有两个非零元素，一个是+1 的每一列元素之和为零。 是-1，Aa的每一列元素之和为零。 行中导出， ②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只 矩阵中任一行可以从其他 行中导出 行是独立的。 有n-1行是独立的。 行是独立的
第十五章 电路方程的矩阵形式
本章重点： 本章重点：
1. 电路的计算机辅助分析 2. 电路的关联性质和基尔霍夫定律的矩阵表示 3. 结点电压方程的矩阵形式 4. 状态方程
关于图的有关概念的复习
i1
i2
i3
i1
抽象 i2 i3
i1 i2 i3
Σi = 0 + 抽象 一. 图的基本概念 L uS R1 R2 C 抽象 抽象 无 向 图 支路
支路b 支路
注意
每一行对应一个独立回路， 每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。 每一列对应一条支路。
[B]=
l ×b
l
[B]的任一元素 jk定义如下： ]的任一元素b 定义如下： bjk＝1 支路k与回路 关联(在回路上) 且方向一致。 与回路j 支路 与回路 关联(在回路上)，且方向一致。 bjk＝-1 bjk＝0 支路k与回路 关联(在回路上) 方向相反。 支路 与回路j 关联(在回路上) ，方向相反。 与回路 支路k与回路 关联（即不在回路上）。 支路 与回路j 非关联（即不在回路上）。 与回路
3 1 2 1 4 6
4 3 5
支路电压用节点电压表示出来，自动满足 支路电压用节点电压表示出来，自动满足KVL，故(2)式是 ， 式是 表出的KVL矩阵方程。 矩阵方程。 用[A]表出的 表出的 矩阵方程
逆问题：给出 ，画出图G 逆问题：给出[A]，画出图 例：已知关联矩阵[A]，求有向拓扑图。 已知关联矩阵 ，求有向拓扑图。
16个 个 树支： 树支：组成树的支路 连支：属于 而不属于 而不属于T的支路 连支：属于G而不属于 的支路 树不唯一
树支数 bt= n-1 连支数 bl=b-(n-1) 单连支回路（基本回路） 单连支回路（基本回路） 4 1 树支数 4 5 6 3 连支数 3 2 7 单连支回路 独立回路 4 1 5
15-2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 关联矩阵、回路矩阵、
图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质， 用矩阵描述图的拓扑性质 的矩阵形式。 即KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式： 和 的矩阵形式 有三种矩阵形式： 结点 回路 割集 支路 支路 支路 关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
故可用(n-1)× 阶矩阵[ ]表示，称为降阶关联矩阵 降阶关联矩阵， 故可用(n-1)×b阶矩阵[A]表示，称为降阶关联矩阵，简称 (n 关联矩阵。 关联矩阵。
结 1 2 [Aa]= 3 4
支
1 -1 0 1 0
2 3 -1 1 0 -1 0 0 1 0
4 0 -1 1 0
5 0 0 1 -1
ห้องสมุดไป่ตู้
6 0 1 0 -1
§15-1 割集 1. 割集的概念 定义：连通图G的一个割集是 的一个支路集合， 的一个割集是G 1定义：连通图 的一个割集是 的一个支路集合，把这些支路 移去将使G 分离成两部分，但是若少移去一条支路图G 移去将使 分离成两部分，但是若少移去一条支路图 仍是连通的，常用Q表示。 仍是连通的，常用 表示。 表示 这些支路移去将使G 分离成两部分; a) 这些支路移去将使 分离成两部分 b) 但是若少移去一条支路图 仍是连通的。 但是若少移去一条支路图G仍是连通的 仍是连通的。 1 1 2 4 G 5 3 2 6 4 Q2(4,5,6) 5 3 4 6 Q1(1,3,6) 5 6 2 3
(2)
2
u1 − 1 0 1 u2 − 1 0 0 u3 1 − 1 0 = u4 0 − 1 1 u 0 0 1 5 1 0 u6 0
− un1 + un 3 − un1 un1 un1 − un 2 un 2 = − u + u n3 un 3 n 2 u n3 un 2
− 1 − 1 1 0 0 0 [A] = 0 0 − 1 − 1 0 1 1 0 0 1 1 0
2 解： 1 2 [Aa ] = 3 4 1 2 3 4 5 6 0 0 0 − 1 − 1 1 0 0 −1 −1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 − 1 − 1 1 2 1 4 3 6 5 4 3
不是回路
二 . 树 (Tree)
是连通图G的一个子图 树T是连通图 的一个子图，具有下述性质： 是连通图 的一个子图，具有下述性质： (1)连通； 连通； 连通 (2)包含 的所有节点和部分支路； 包含G的所有节点和部分支路； 包含 (3)不包含回路。 不包含回路。 不包含回路 树是连接全部结点所需最少支路的集合。 树是连接全部结点所需最少支路的集合。
支路集合Q 支路集合 ： 例： 1
1 2 4 G 1 2 5 4 G 6 3 移去支路集合(3,4,5,6) ，图G虽被分为两 移去支路集合 虽被分为两 个部分，但少移去支路3图 仍被分为两 个部分，但少移去支路 图G仍被分为两 个部分。所以支路 (3,4,5,6)非割集。 个部分。 非割集。 非割集 5 3 6 移去支路集合(3,5,6) ，图G未被分为 移去支路集合 未被分为 非割集。 两个部分， 所以支路(3,5,6)非割集。 两个部分， 所以支路 非割集
一.关联矩阵[A]：描述支路与结点之间的关联关系 关联矩阵[ ] 关联：支路 与节点j 相连，则称支路k与节点 关联， 关联：支路k 与节点 相连，则称支路 与节点j关联，否则为 非关联。 非关联。
支路b 支路 结 [Aa]= 点 n
注意
每一行对应一个结点， 每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。 每一列对应一条支路。
支路b 支路 结 [Aa]= 点 n-1
(n-1) ×b
的某些列只具有一个+1或一个 的某些列只具有一个 或一个－1， 特点 A的某些列只具有一个 或一个 ，这样 的列对应与划去结点相关联的一条支路。 的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的 行对应的结点可以当作参考结点。 行对应的结点可以当作参考结点。
即矩阵形式的KCL：[A][i]=0 即矩阵形式的 ：
(1)
2 3 1 2 1 4 6
4
5
i1 0 3 i 2 0 0 0 0 − 1 − 1 1 0 i 3 = 0 [A][i ] = 0 − 1 − 1 0 1 i4 0 1 0 0 1 1 0 0 i5 i6 0