概率论与数理统计习题7参考答案
习题7参考答案
7.1解：因为:
是抽自二项分布B （m ，p ）的样本，所以总体的期望为
mp X E =)(，用样本均值X 代替总体均值()E X ，得p 的矩估计为m X
p
=ˆ。
似然函数为
1
1
11
()
()(1)
(1)
()(1)m
m
i
i m m
i i x m x x m x x m x p p p m m
m
m
L p C p p C p p C p
p ==---∑
∑=--=-L ，
对它们两边求对数可得1
1
ln(())ln()ln ()ln(1),m m
p m
i
i
i i L p m C x p m x p ===+
+--∑∑对p 求导
并令其为0得
11
ln(())/()/(1)0m
m
i i i i L p x p m x p p ==∂=---=∂∑∑，得p 的极大似然估计为1
ˆn
i
i x
X
m p
m m ===∑
7.2解：0
1
()x
E X xdx e
λλλ
+∞
-=
•=
⎰
，令()X E X =，则λ的矩估计为
λ
ˆ11
()E x X
== 由概率密度函数可知似然函数为：
e e e x x x L n λ
λ
λ
λλλλ---••••=21)(e
n
i i x n
∑==-1
λ
λ
对它们两边求对数可得
∑
-=∑==-=n
i i
n
x e
n x L n
i i 1
ln )ln())(ln(1
λλλλ
λ
对λ求导并令其为0得
0))(ln(1=∑-=∂∂=n
i i x n L λλλ 即可得λ的似然估计值为x n n i i x 111ˆ1
=∑==λ
7.3解:记随机变量x 服从总体为[0,]上的均匀分布，则
2
20)(θθ=+=
X E ， 令()X E X =，故的矩估计为X 2ˆ=θ。 X 的密度函数为θ
1
)(=
x p 故它的似然函数为
I
I
X X L n i
n
n
i n
}
{
1
}
0{)(1
1
)(θθθ
θ
θ≤=≤<
==
∏要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值
应该为1，其次是θ
n
1
尽可能大。由于θ
n
1
是的单调减函数，所以的取值应该尽可
能小，但示性函数为1决定了不能小于
,因此给出的最大似然估计=θ
ˆ
（示性函数I=
，=min{
} ,
=max{
}）
7.4解:记随机变量x 服从总体为[,]上的均匀分布，则
232
2)(θθ
θ=
+=
X E , 令()X E X =,所以的矩估计为X 3
2ˆ=θ
X 的密度函数为θ
1
)(=
x p 故它的是似然函数为
()(1)
()
(1){2}
{2}
{
}
2
1
1
1
1
()x x
x x n i
n n
n
n
n
i L X I I I
θ
θθθθθθ
θ
θ
≤
≤≤
<≤≤≤
==
==∏
要使)(θL 达到最大，首先一点是示性函数的取值应该为1，其次是θ
n
1尽可能大。由
于θ
n
1是的单调减函数，所以的取值应该尽可能小，但示性函数为1决定了不能小
于
,因此给出的最大似然估计=θ
ˆ.
7.5 解:似然函数为:e
e
n
i i i n ∑-=-==-
-
-
=∏
1
2
2
2
2
)X (2
)
X (21
)L(
21
2
2
n
1
i 2
)2(μσσ
μσ
πσ
πσ
取对数得:∑---==-n i i n n L 1222
2
)X (21)ln(2)2ln(2)(
ln μσ
σσ
π
