新北师大版必修第一册 5.2.1 实际问题的函数刻画 同步练习

第五章函数应用课后练习1、利用函数性质判定方程解的存在性........................................................................ - 1 -2、利用二分法求方程的近似解.................................................................................... - 6 -3、实际问题的函数刻画.............................................................................................. - 11 -4、用函数模型解决实际问题...................................................................................... - 18 -1、利用函数性质判定方程解的存在性提升练习1.已知函数f(x)=则函数f(x)的零点为( )A.,0B.-2,0C. D.0【解析】选D.当x≤1时,由f(x)=0,得2x-1=0,所以x=0.当x>1时,由f(x)=0,得1+log2x=0,所以x=,不成立,所以函数的零点为0.2.函数f(x)=x2+ln x-4的零点所在的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【解析】选B.因为f(1)=12+ln 1-4=-3<0,f(2)=22+ln 2-4=ln 2>0,又函数f(x)在定义域内单调递增,所以f(x)的零点在(1,2)内.3.函数f(x)=x3-的零点个数是()A.0B.1C.2D.无数个【解析】选B.作出y=x3与y=的图象,如图所示,两个函数的图象只有一个交点,所以函数f(x)只有一个零点.4.若函数f(x)=ax2-x+2只有一个零点,则实数a的取值集合是.【解析】当a=0时,f(x)=-x+2,令f(x)=0,解得x=2,所以函数只有一个零点2,符合题意;当a≠0时,由函数只有一个零点可得Δ=(-1)2-4×a×2=0,即1-8a=0,解得a=.综上a=或a=0.答案:5.判断方程log2x+x2=0在区间上有没有实数根?为什么?【解析】设f(x)=log2x+x2,f=log2+=-1+=-<0,f(1)=log21+1=1>0,即f·f(1)<0,函数f(x)=log2x+x2的图象在区间上是连续的,因此,f(x)在区间上有零点,即方程log2x+x2=0在区间上有实根.提升练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x-a)的两个零点分别位于区间( )A.(b,c)和(c,+∞)内B.(-∞,a)和(a,b)内C.(a,b)和(b,c)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内【解析】选C.因为a<b<c,所以f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, 所以f(x)的零点分别位于(a,b)和(b,c)内.2.(2020·浙江高考)已知a,b∈R且ab≠0,若(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立,则( )A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0【解析】选C.由于ab≠0则a≠0且b≠0,根据y=(x-a)(x-b)(x-2a-b)的零点为a,b,2a+b的情况可确定是否满足(x-a)(x-b)(x-2a-b)≥0在x≥0上恒成立.若a<0,b<0,则2a+b<0,满足;若a<0,b>0,则b≠2a+b,不满足;若a>0,b>0,则2a+b>0,不满足;若a>0,b<0,则a=2a+b即a+b=0时满足,综上,只有选项C符合.3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)【解析】选C.函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x的方程f(x)=-x-a有2个不同的实根,即函数f(x)的图象与直线y=-x-a有2个交点,作出直线y=-x-a与函数f(x)的图象,如图所示,由图可知,-a≤1,解得a≥-1.【补偿训练】已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=k有两个不等的实根,则实数k的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(0,1]C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选B.作出函数f(x)的图象,由图象知,当0<k≤1时, y=k与y=f(x)的图象有两个交点,此时方程f(x)=k有两个不等实根,所以0<k ≤1.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )A.f(x1)>0B.f(x1)<0C.f(x2)>0D.f(x2)<0【解析】选BC.在同一平面直角坐标系中画出函数y=2x和函数y=的图象,如图所示,由图可知函数y=2x和函数y=的图象只有一个交点,即函数f(x)=2x+只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.三、填空题(每小题5分,共10分)5.若方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则实数a的取值范围是.【解析】由|x2-4x|-a=0,得a=|x2-4x|,作出函数y=|x2-4x|的图象,则由图象可知,要使方程|x2-4x|-a=0有四个不相等的实根,则0<a<4.答案:(0,4)【补偿训练】设函数f(x)=若函数f(x)有且仅有1个零点,则实数a的取值范围是.【解析】当x>0时,f(x)=3x+1>1,函数无零点;要使函数f(x)有且仅有1个零点,则f(x)=a-2x 在(-∞,0]上有且仅有1个零点.画出函数y=a与函数y=2x(x≤0)的图象,如图所示.因为当x≤0时,2x∈(0,1],所以a∈(0,1].答案:(0,1]6.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,-2是它的一个零点,且在(0,+∞)上是增函数,则该函数有个零点,这几个零点的和等于.【解析】因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,所以f(0)=0.又因为f(-2)=0,所以f(2)=-f(-2)=0,故该函数有3个零点,这3个零点之和等于0.答案:3 0四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x>0).(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)试确定m的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.【解析】(1)作出g(x)=x+(x>0)的图象如图:可知若g(x)=m有零点,则有m≥2e.故m的取值范围为{m|m≥2e}.(2)g(x)-f(x)=0有两个相异实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.在同一平面直角坐标系中,作出g(x)=x+(x>0)和f(x)的图象,如图.因为f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为直线x=e,开口向下,最大值为m-1+e2,故当m-1+e2>2e,即m>-e2+2e+1时, g(x)与f(x)有两个不同的交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根,所以m的取值范围是m>-e2+2e+1.2、利用二分法求方程的近似解基础练习1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求图中函数零点的是( )【解析】选B.利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号.在B中,不满足f(a)·f(b)<0,不能用二分法求零点,由于A,C,D中零点两侧函数值异号,故可采用二分法求零点.2.若函数f(x)在[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,且同时满足f(a)f(b)<0,f(a)f>0,则( )A.f(x)在上有零点B.f(x)在上有零点C.f(x)在上无零点D.f(x)在上无零点【解析】选B.由f(a)f(b)<0,f(a)f>0可知f f(b)<0,根据零点存在定理可知f(x)在上有零点,在上有无零点无法判断.3.用二分法求关于x的方程ln x+2x-6=0的近似解时,能确定为解所在的初始区间的是( )A.(2,3)B.(0,2)C.(1,2)D.(0,+∞)【解析】选A.令函数f(x)=ln x+2x-6,可判断在(0,+∞)上单调递增,所以f(1)=-4<0,f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3>0,所以根据函数的零点存在定理可得:零点在(2,3)内,即方程ln x+2x-6=0的近似解在(2,3)内.4.已知函数f(x)=x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解;(2)使用二分法,取区间的中点三次,指出方程f(x)=0(x∈[0,2])的实数解x0在哪个较小的区间内.【解析】(1)因为f(0)=1>0,f(2)=-<0,所以f(0)·f(2)<0,由函数的零点存在定理可得方程f(x)=0在区间[0,2]内有实数解.(2)取x1=(0+2)=1,得f(1)=>0,由此可得f(1)·f(2)<0,下一个有解区间为(1,2).再取x2=(1+2)=,得f=-<0,所以f(1)·f<0,下一个有解区间为.再取x3==,得f=>0,所以f·f<0,下一个有解区间为.综上所述,所求的实数解x0在区间内.创新练习一、单选题(每小题5分,共15分)1.下列关于函数y=f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为( )①若x0∈[a,b]且满足f(x0)=0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)=0的根,但f(x)=0的根不一定是函数f(x)的零点.A.0B.1C.2D.3【解析】选A.①中x0∈[a,b]且f(x0)=0,所以x0是f(x)的一个零点,而不是(x0,0),故①错误;②由于x0两侧函数值不一定异号,故②错误;③方程f(x)=0的根一定是函数f(x)的零点,故③错误.2.下列函数不宜用二分法求零点的是( )A.f(x)=x3-1B.f(x)=ln x+3C.f(x)=x2+2x+2D.f(x)=-x2+4x-1【解析】选C.因为f(x)=x2+2x+2=(x+)2≥0,不存在小于0的函数值,所以不能用二分法求零点.3.用二分法求方程ln(2x+6)+2=3x的根的近似值时,令f(x)=ln(2x+6)+2-3x,并用计算器得到表格:x 1.00 1.25 1.375 1.50f(x) 1.079 4 0.191 8 -0.360 4 -0.998 9则由表中的数据,可得方程ln(2x+6)+2=3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )A.1.125B.1.312 5C.1.437 5D.1.468 75【解析】选B.因为f(1.25)·f(1.375)<0,故根据二分法的思想,知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内,但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1,因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5,两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异,又区间的长度为0.062 5<0.1,因此1.312 5是一个近似解.【补偿训练】某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时,设f(x)=lg x+x-2,算得f(1)<0,f(2)>0;在以下过程中,他用二分法又取了4个x的值,计算了其函数值的正负,并得出判断:方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是.【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2),第二次得区间(1.75,2),第三次得区间(1.75,1.875),第四次得区间(1.75,1.812 5).答案:1.5,1.75,1.875,1.812 5二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)4.函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为( )A.(0,1)B.(1,3)C.(3,4)D.(4,8)【解析】选AD.设y1=lo x,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即函数y1与y2的图象的交点个数,作出两函数图象如图.由图知y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,当x=4时,y1=-2,y2=0;当x=8时,y1=-3,y2=-4,所以在(4,8)内两曲线又有一个交点.即函数f(x)=x+x-4的零点所在的区间为(0,1)和(4,8).三、填空题(每小题5分,共10分)5.函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法求出,则a,b的关系是.【解题指南】函数有零点,但不能用二分法,说明函数在零点两侧同号,结合二次函数的性质,说明函数f(x)的图象与x轴只有一个交点.【解析】因为函数f(x)=x2+ax+b有零点,但不能用二分法,所以函数f(x)=x2+ax+b的图象与x 轴只有一个交点,所以Δ=a2-4b=0,所以a2=4b.答案:a2=4b6.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1在区间[0,1]内的零点时,第一次经计算得f(0)<0,f(0.5)>0,f(1)>0,可得其中一个零点x0∈,第二次应计算.【解析】因为f(0)<0,f(0.5)>0,所以f(0)·f(0.5)<0,故f(x)的一个零点x0∈(0,0.5),利用二分法,则第二次应计算f=f(0.25).答案:(0,0.5) f(0.25)四、解答题7.(10分)已知函数f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,证明a>0,并利用二分法证明方程f(x)=0在区间[0,1]内有两个实根.【证明】因为f(1)>0,所以3a+2b+c>0,即3(a+b+c)-b-2c>0.因为a+b+c=0,所以-b-2c>0,则-b-c>c,即a>c.因为f(0)>0,所以c>0,则a>0.在区间[0,1]内选取二等分点,则f=a+b+c=a+(-a)=-a<0.因为f(0)>0,f(1)>0,所以函数f(x)在区间和上各有一个零点.又f(x)最多有两个零点,从而f(x)=0在[0,1]内有两个实根.3、实际问题的函数刻画基础练习1.某同学家门前有一笔直公路直通长城,星期天,他骑自行车匀速前往,他先前进了a km,觉得有点累,就休息了一段时间,想想路途遥远,有些泄气,就沿原路返回骑了b km(b<a),当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )【解析】选C.由题意可知,前进a km时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回b km,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升.C选项图象符合题意.2.甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动,丙车最先到达终点.丁车最后到达终点.若甲、乙两车的图象如图所示,则对于丙、丁两车的图象所在区域,判断正确的是( )A.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域B.丙在Ⅰ区城,丁在Ⅲ区域C.丙在Ⅱ区域,丁在Ⅰ区域D.丙在Ⅲ区域,丁在Ⅱ区域【解析】选A.由题图可得相同时间内丙车行驶路程最远,丁车行驶路程最近,即丙在Ⅲ区域,丁在Ⅰ区域.3.图A表示某年12个月中每月的平均气温,一般地,家庭用电量(kW·h)与气温(℃)有一定关系.图B表示某家庭在此年12个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中,正确的是( )A.气温最高时,用电量最多B.气温最低时,用电量最少C.5月～7月用电量随气温增加而增加D.8月～12月用电量随气温降低而增加【解析】选C.逐月分析图象的升降趋势和变化率,排除干扰选项便能确定答案.比较题干中的两图可以发现,2月份用电量最多,而2月份气温不是最高,因此排除A.同理可排除B.8月至12月份气温一直下降,但用电量有增有减,排除D.由5,6,7三个月的气温和用电量可得出C正确.4.为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况,某研究性学习小组对本地区2005年至2007年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查,根据表格及图象提供的信息,可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司数2005 302006 452007 90【解析】结合题中两个图表可得2005年消耗纸质饭盒总数=1×30=30(万个);2006年消耗纸质饭盒总数=2×45=90(万个);2007年消耗纸质饭盒总数=1.5×90=135(万个);故每年平均消耗纸质饭盒总数=(30+90+135)÷3=85(万个).答案:855.如图所示,已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4米,CD=6米.为了合理利用这块钢板,在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x米,PN=y米,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.【解析】(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,所以PQ=(8-y)米,EQ=(x-4)米.在△EDF中,=,所以=.所以y=-x+10,定义域为[4,8].(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x=-(x-10)2+50.又x∈[4,8],所以当x=8时,S取最大值48.提升练习一、单选题(每小题5分,共20分)1.李明放学回家的路上,开始和同学边走边讨论问题,走得比较慢;然后他们索性停下来将问题彻底解决;最后他快速地回到了家.下列图象中与这一过程吻合得最好的是( )【解析】选D.根据实际情况较吻合的应为D.2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系,如图所示,由图中给出的信息可知,营销人员没有销售量时的收入是( )A.310元B.300元C.290元D.280元【解析】选B.由题意可知,收入y是销售量x的一次函数,设y=ax+b(a≠0),将(1,800),(2,1 300)代入得a=500,b=300.当销售量x=0时y=300.3.某厂生产中所需一些配件可以外购,也可以自己生产.如果外购,每个配件的价格是1.10元;如果自己生产,则固定成本将增加800元,并且生产每个配件的材料和劳力需0.60元,则决定此配件外购或自产的转折点(即生产多少件以上自产合算)是( )A.1 000件B.1 200件C.1 400件D.1 600件【解析】选D.设生产x件时自产合算,由题意得1.1x≥800+0.6x,解得x≥1 600.4.拟定从甲地到乙地通话m min的电话费f(m)=1.06·(0.50[m]+1),其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.2]=6),则从甲地到乙地通话时间为5.5 min的通话费为( )A.3.71B.3.97C.4.24D.4.77【解析】选C.5.5 min的通话费为f(5.5)=1.06×(0.50×[5.5]+1)=1.06×(0.50×6+1)=1.06×4=4.24.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.00元8.4元则下列说法正确的是( )A.买小包装实惠B.买大包装实惠C.卖3小包比卖1大包盈利多D.卖1大包比卖3小包盈利多【解析】选BD.大包装300克8.4元,则等价为100克2.8元,小包装100克3元,则买大包装实惠,故B正确,卖1大包盈利8.4-0.7-1.8×3=2.3(元),卖1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),则卖3小包盈利0.7×3=2.1(元),则卖1大包比卖3小包盈利多,故D正确.6.某工厂8年来的产品年产量y与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四个结论,正确的是( )A.前3年的年产量增长速度越来越快B.前3年的年产量增长速度越来越慢C.3年后,这种产品停止生产D.3年后,这种产品年产量保持不变【解析】选AD.由题干图可知,前3年中,年产量的增长速度越来越快,后5年的年产量是不变的,所以AD正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知直角梯形ABCD,如图(1)所示,动点P从点B出发,由B→C→D→A沿边运动,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为f(x).如果函数y=f(x)的图象如图(2)所示,则△ABC的面积为.【解析】由题中图象可知BC=4,CD=5,DA=5,所以AB=5+=5+3=8,所以S△ABC=×8×4=16.答案:16【补偿训练】生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A对应;B对应;C对应;D对应.【解析】A容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水高度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线型,但C容器细,D容器粗,故水高度的变化为:C容器快,与(3)对应,D容器慢,与(2)对应.答案:(4) (1) (3) (2)8.某商人将手机先按原价提高40%,然后“八折优惠”,结果是每部手机比原价多赚144元,那么每部手机原价是元,实际售价为元.【解析】设每部手机原价是x元,由题意可得(1+40%)x·0.8-x=144,解得x=1 200.实际售价为1200+144=1 344(元).答案:1 200 1 344四、解答题(每小题10分,共20分)9.某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月本地网内打出的电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图所示,当打出电话150分钟时,这两种方式话费相差多少元?【解析】设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20,B种方式对应的函数解析式为s=k2t.当t=100时,100k1+20=100k2,所以k2-k1=.当t=150时,150k2-150k1-20=150×-20=10.答:这两种方式话费相差10元.10.某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度),经测算,若电价调至x元/度,则本年度新增用电量y(亿度)与(x-0.4)(元/度)成反比,且当x=0.65时,y=0.8.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)若每度电的成本为0.3元,则电价调至多少时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%? [收益=用电量×(实际电价-成本价)]【解析】(1)因为y与(x-0.4)成反比,所以可设y=(k≠0),把x=0.65,y=0.8代入上式,得0.8=,解得k=0.2,所以y==,所以y与x之间的函数关系式为y=(0.55≤x≤0.75).(2)根据题意,得(x-0.3)=1×(0.8-0.3)×(1+20%),整理得x2-1.1x+0.3=0,解得x1=0.5(舍去)或x2=0.6,所以当电价调至0.6元/度时,电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.4、用函数模型解决实际问题基础练习1.一等腰三角形的周长为20,底边y是关于腰长x的函数,它的解析式为( )A.y=20-2x(x≤10)B.y=20-2x(x<10)C.y=20-2x(5≤x≤10)D.y=20-2x(5<x<10)【解析】选D.由y+2x=20得y=20-2x.又得5<x<10.2.一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时,交通灯由红变绿,汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走,那么( )A.人可在7秒内追上汽车B.人可在10秒内追上汽车C.人追不上汽车,其间距最少为5米D.人追不上汽车,其间距最少为7米【解析】选D.设汽车经过t秒行驶的路程为s米,则s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25=(t-6)2+7,当t=6时,d取得最小值7.3.今有一组试验数据如表所示:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12u 1.5 4.04 7.5 12 18.01则能体现这些数据关系的函数模型是( )A.u=log2tB.u=2t-2C.u=D.u=2t-2【解析】选C.可以先描出各点(如图),并利用数据点直观地认识变量间的关系,选择合适的函数模型来刻画它.由图可知,图象不是直线上的点,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;当t=3时2t-2=23-2=6,==4,由题干中表格知当t=3时,u=4.04,模型u=能较好地体现这些数据关系.4.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁皮(如图中阴影部分)备用.当截取的矩形面积最大时,矩形的两边长x,y分别为.【解析】由三角形相似,即=,得x=×(24-y),所以S=xy=-(y-12)2+180,故当y=12时,S有最大值,此时x=15.答案:15,125.某市居民生活用水收费标准如下:用水量x/t 每吨收费标准/元不超过2 t部分m超过2 t不超过4 t部分 3超过4 t部分n已知某用户1月份用水量为8 t,缴纳的水费为33元;2月份用水量为6 t,缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y元.(1)写出y关于x的函数解析式;(2)若某用户3月份用水量为3.5 t,则该用户需缴纳的水费为多少元?(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元,求该用户最多可以用多少吨水.【解析】(1)由题设可得y=当x=8时,y=33;当x=6时,y=21,代入得解得所以y关于x的函数解析式为y=(2)当x=3.5时,y=3×3.5-3=7.5.故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元.(3)令6x-15≤24,解得x≤6.5.故该用户最多可以用6.5 t水.提升练习一、单选题(每小题5分,共25分)1.某厂原来月产量为a,一月份增产10%,二月份比一月份减产10%,设二月份产量为b,则( )A.a=bB.a>bC.a<bD.无法比较a,b的大小【解析】选B.因为b=a(1+10%)(1-10%),所以b=a[1-(10%)2]=a,所以b=a×,所以a>b.2.用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3B.4C.6D.12【解析】选A.设隔墙长度为x,如图所示,则与隔墙垂直的边长为=12-2x,所以矩形面积S=x·(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,0<x<6,所以当x=3时,S max=18.3.据调查,某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次,其中变速车存车费是每辆一次0.8元,普通车存车费是每辆一次0.5元,若普通车存车数为x辆次,存车费总收入为y元,则y 关于x的函数关系式是( )A.y=0.3x+800(0≤x≤2 000)B.y=0.3x+1 600(0≤x≤2 000)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2 000)D.y=-0.3x+1 600(0≤x≤2 000)【解析】选D.依题意存车费总收入:y=0.5x+0.8(2 000-x)=-0.3x+1 600.4.我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番,设平均每年增长率为x,则( )A.(1+x)19=4B.(1+x)20=3C.(1+x)20=2D.(1+x)20=4【解析】选D.翻两番,即从1变成4,从2000年到2020年共经过20年,即(1+x)20=4.【误区警示】翻番问题,要特别注意翻一番是由1变为2,翻两番是由1变为4.5.(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为(ln 19≈3) ( )A.60B.63C.66D.69【解析】选C.因为I(t)=,所以I(t*)==0.95K,则=19,所以0.23(t*-53)=ln 19≈3,解得t*≈+53≈66.二、多选题(共5分,全部选对的得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)6.甲乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )A.甲比乙先出发B.甲比乙跑得快C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点【解析】选BD.由题图可知两人跑的路程相同,甲比乙跑的时间少,甲比乙跑得要快,比乙先到达终点.三、填空题(每小题5分,共10分)7.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:关于x呈指数型函数变化的变量是.【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化.从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.答案:y28.(2019·北京高考)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.(1)当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;(2)在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.【解析】(1)顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,原价应为60+80=140(元),超过了120元可以优惠,所以当x=10时,顾客需要支付140-10=130(元).(2)由题意知,当x确定后,顾客可以得到的优惠金额是固定的,所以顾客支付的金额越少,优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠,最少要一次购买2盒草莓,此时顾客支付的金额为(120-x)元,所以(120-x)×80%≥120×0.7,所以x≤15.即x的最大值为15.答案:(1)130 (2)15四、解答题(每小题10分,共20分)9.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,如图的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和S与t之间的关系).根据图象提供的信息解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润S(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截至第几月末公司累积利润可达到30万元;(3)求第八个月公司所获得的利润是多少万元.【解析】(1)可设S与t的函数关系式为S=at2+bt+c.由题意,得或或无论哪个均可解得a=,b=-2,c=0,所以所求函数关系式为S=t2-2t.(2)把S=30代入,得30=t2-2t,解得t1=10,t2=-6(舍去),所以截至第10个月末公司累积利润可达到30万元.(3)把t=7代入,得S=×72-2×7==10.5(万元),把t=8代入,得S=×82-2×8=16(万元),则第八个月获得的利润为16-10.5=5.5(万元),所以第八个月公司所获利润为5.5万元.10.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现:该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数中:①y=ax2+bx;②y=kx+b;③y=log a x+b;④y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示年人均A饮料的销售量,单位:L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由;(2)若人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L,人均GDP为4千美元时,年人均A 饮料的销售量为5 L,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均A饮料的销售量最多是多少?【解析】(1)用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区人均A饮料销售量最多,然后向两边递减.而②,③,④表示的函数在区间上是单调函数,所以②,③,④都不合适,故用①来模拟比较合适.(2)因为人均GDP为1千美元时,年人均A饮料的销售量为2 L;人均GDP为4千美元时,年人均A饮料的销售量为5 L,把x=1,y=2;x=4,y=5代入y=ax2+bx,得解得a=-,b=,所以函数解析式为y=-x2+x(x∈[0.5,8]).因为y=-x2+x=-+,所以当x=时,年人均A饮料的销售量最多是L.创新练习1.把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是T1(℃),空气的温度是T0(℃),经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T=T0+(T1-T0)e-0.25t求得.把温度是90 ℃的物体,放在10 ℃的空气中冷却t分钟后,物体的温度是50 ℃,那么t的值约等于(参考数据:ln 3≈1.099,ln 2≈0.693) ( )A.1.78B.2.77C.2.89D.4.40【解析】选B.由题意可知50=10+(90-10)·e-0.25t,整理得e-0.25t=,即-0.25t=ln =-ln 2≈-0.693,解得t≈2.77.2.某校学生研究性学习小组发现,学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化,老师讲课开始时,学生的兴趣激增;接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间,随后学生的注意力开始分散.设 f(x)表示学生注意力指标,该小组发现f(x)随时间x(分钟)的变化规律(f(x)越大,表明学生的注意力越集中)如下:f(x)=(a>0,a≠1),若上课后第5分钟时的注意力指标为140,回答下列问题:(1)求a的值;(2)上课后第5分钟时和下课前5分钟时比较,哪个时间注意力更集中?并请说明理由;(3)在一节课中,学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长?【解析】(1)由题意得,当x=5时,f(x)=140,即100·-60=140,解得,a=4.(2)f(5)=140,f(35)=-15×35+640=115,由于f(5)>f(35),故上课后第5分钟时比下课前5分钟时注意力更集中.(3)①当0≤x≤10时,由(1)知,f(x)≥140的解集为[5,10];②当10<x≤20时,f(x)=340>140,成立;③当20<x≤40时,-15x+640≥140,。

实际问题的函数刻画【教学目标】1．尝试用函数刻画实际问题，感受函数与现实世界的联系，会用数学知识有意识地解决实际问题，能够找出简单实际问题中的函数关系式。

2．会用数学知识有意识地解决实际问题，会用数学知识进行实际问题的转化，并用数学知识解读实际问题。

3．培养学生用数学眼光看待问题的意识与能力。

【教学重点】知道怎样用数学知识刻画实际问题。

【教学难点】1．用数学知识解读实际问题。

2．引用数学符号建立数学模型，用数学语言表示实际问题。

【教学过程】一、阅读交流 问题1：某公司投入了15万元，用于研发设计一种新型几何模板。

经测算，每件产品的直接成本是130元，市场的合适售价是190元。

显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益。

当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？提示：（1）该问题中反映的信息中有哪些量？ （2）这几个量之间存在怎样的依赖关系？（3）数据提供的信息是什么（揭示了怎样的规律）？ （4）上述规律有什么现实指导意义？ 解：设产量为x ，总收益为y 。

（1）*60150000(N )y x x =-∈。

（2）实际中企业关注的是成本与利润之间的关系，需要对它们进行比较。

（3）数学知识诠释：①从利润关系式可见，希望有较大利润应增加产量。

若x<2500，则要亏损；若x =2500 ，则利润为零；若x >2500，则可赢利。

②单位成本P 与产量x 的关系xP 150000130+=可见，为了降低成本，应增加产量，以形成规模效应。

问题2：网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：mm ），第（1）脚长和鞋号有什么关系呢？（2）如果看到一款“30号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？ （3）一名脚长为262mm 的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？ 解：（1）在这个实际问题中出现了两个变量：一个是脚长；一个是鞋号。

从题目看出，表中的数据已经给出了几个脚长对应的鞋码；（2）从题目看出，对于每一个脚长都有唯一的鞋号与之对应，所以题目给出是一个函数关系；（3）为了使函数关系更直观，我们将表中的每一对数值在平面直角坐标系中表示出来。

实际问题的函数刻画 同步训练(30分钟 50分)一、选择题（每小题4分，共16分）1.某种生物增长的数量y 与时间x 的关系如下表：下面函数关系式中，能表达这种关系的是( ) （A ）y=x 2-1 （B ）y=2x-1 （C ）y=2x-1（D ）y=1.5x 2-2.5x+22.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩余的物质为原来的45，则经过多少年，剩余的物质是原来的64125( ) （A ）5（B ）4（C ）3（D ）23.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4x ,1x 10,x N 2x 10,10x 100,x N 1.5x ,x 100,x N ≤<∈⎧⎪+≤<∈⎨⎪≥∈⎩,其中，x 代表拟录用人数， y 代表面试人数，若应聘的面试人数为60人，则该公司拟录用人数为( ) （A ）15（B ）40（C ）25（D ）1304.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝［x ］(［x ］表示不大于x 的最大整数)可以表示为( ) （A ）y ＝［x 10］ （B ）y ＝［x 310＋］ （C ）y ＝［x 410＋］（D ）y ＝［x 510＋］二、填空题（每小题4分，共8分）5.某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是__________元．6.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为______元（用数字作答）．三、解答题（每小题8分，共16分）7.琼海市菠萝从5月1日起开始上市，通过市场调查，得到菠萝种植成本Q（单位：元/100 kg）与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述菠萝种植成本Q与上市时间t的变化关系Q=at+b;Q=at2+bt+c;Q=a·b t;Q=a·log b t.（2）利用你选取的函数，求菠萝种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.8.(易错题）甲商店某种商品9月份（30天，9月1日为第一天）的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系如图（1）所示，该商品日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系如图（2）所示.（1）写出：图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式P=f(t)，图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式Q=g(t)，及日销售金额M（元）与时间的函数关系M=h(t).（2）乙商店销售同一种商品，在9月份采用另一种销售策略，日销售金额N（元）与时间t（天）之间的函数关系为N=-2t2-10t+2 750，比较9月份每天两商店销售金额的大小.【挑战能力】(10分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.（1）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大收益是多少万元？答案解析1.【解析】选D. 把点的坐标（1,1）（3,8）代入四个选项检验，可知只有D 选项符合题意.2.【解析】选C.假设经过x 年,剩余的物质是原来的64125.由题意可知(45)x=64125.解得x=3.3.【解析】选C.若4x=60,则x=15>10，不合题意;若2x+10=60,则x=25,满足题意;若1.5x=60,则x=40<100,不合题意.故拟录用人数为25人.【举一反三】若应聘的面试人数为90人，其他条件不变，则该公司拟录用人数为( ) （A ）15（B ）40（C ）25（D ）130【解析】选B.若4x=90，则x=22.5>10，不合题意;若2x+10=90,则x=40，满足题意；若1.5x=90,则x=60<100，不合题意.故拟录用人数为40人.4.【解题指南】求解本题可抓住“当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表”这一特征，并借助特殊值法求解.【解析】选B.由题意，可用特殊值法求解，当x ＝17时，A 选项错误，当x ＝16时，［x 410＋］＝2，［x 510＋］＝2，所以C ，D 选项错误，故选B. 【方法技巧】特殊值法解选择题的方法技巧用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等,注意:特殊值法只能否定选择项，不能肯定选择项.当正确的选择对象在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略. 5.【解析】设每台彩电原价为x 元，依题意有80%·x(1＋40%)－x ＝270.解得x ＝2 250. 答案：2 2506.【解析】应付的电费应分两部分构成： 高峰部分为50×0.568+150×0.598； 低谷部分为50×0.288+50×0.318， 两部分之和为148.4． 答案：148.4【变式训练】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示.。

2.2 用函数模型解决实际问题 必备知识基础练知识点一 已知函数模型的实际应用1.单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(6－x )，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x 为多少时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．知识点二 未知函数模型的实际应用2.棰，日取其半，万世不竭”．用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完．这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为( )A ．y ＝12x (x ∈N *)B ．y ＝x 12 (x ∈N *)C ．y ＝2x (x ∈N *)D ．y ＝12x (x ∈N *)3．有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．知识点三 分段函数模型的实际应用4．某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y (单位：℃)与时间t (单位：min)近似满足一次函数关系(图象为图中的直线)；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y (单位：℃)与时间t (单位：min)近似满足函数的关系式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12-10t a ＋b (a ，b 为常数)(图象为图中的曲线)，通常这种热饮在40 ℃时口感最佳．某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示．那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为________．5．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加培训的员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1 000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元． (1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元．关键能力综合练1沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10 D ．y ＝0.2＋log 16x 2．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(单位：℃)，空气的温度是T 0(单位：℃)，经过t 分钟后物体的温度T (单位：℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)·e －0.25t 求得．把温度是90 ℃的物体放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.403．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元/件时，日均销售量减少10件，该商品在销售过程中，每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件4．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0＜a ＜12)，不考虑树的粗细．现用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u (单位：m 2)，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )5．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设I 为地震时所散发出来的相对能量程度，则里氏震级r 可定义为r ＝0.6lg I ，若6.5级地震释放的相对能量为I 1,7.4级地震释放的相对能量为I 2，记n ＝I 2I 1，则n 约等于( )A ．16B ．20C ．32D ．906．如图，有四个平面图形分别是三角形、平面四边形、直角梯形、圆，垂直于x 轴的直线l ：x ＝t (0≤t ≤a )，经过原点O 向右平行移动，l 在移动过程中扫过平面图形的面积为y (图中阴影部分)，若函数y ＝f (x )的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )7．有一批材料可以建成360 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________m 2.(围墙厚度不计)8．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．9．(探究题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系．有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中正确信息的序号是________．10．(易错题)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB ＝a (a ＞2)，BC ＝2，且AE ＝AH ＝CF ＝CG ，设AE ＝x ，绿地面积为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域．(2)当AE 为何值时，绿地面积y 最大？学科素养升级练1．(多选题)某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系式t ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示．以下结论正确的是( )A ．该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时B ．当x ∈[－6,6]时，该食品的保鲜时间t 随着x 增大而逐渐减少C ．到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内D ．到了此日15时，甲所购买的食品已过了保鲜时间2．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物2 500 mg ，设经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y mg.(1)y 与x 的关系式为________；(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg 以上时，才有疗效；而低于500 mg 时，病人就有危险．则要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过________小时．(精确到0.1)(参考数据：0.20.3≈0.6,0.82.3≈0.6,0.87.2≈0.2,0.89.9≈0.1)3．(情境命题—生活情境)某医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物．患者单次服用指定规格的该药物质，其体内的药物浓度c (mg/L)随时间t (h)的变化情况(如图所示)：当0≤t ≤1时，c 与t 的函数关系式为c ＝m (2t －1)(m 为常数)；当t ≥1时，c 与t 的函数关系式为c ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t (k 为常数)．服药2 h 后，患者体内的药物浓度为10 mg/L.这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险．(1)首次服药后，药物有疗效的时间是多长？(2)首次服药1 h 后，可否立即再次服用同种规格的这种药物？ (参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)2．2 用函数模型解决实际问题必备知识基础练 1．解析：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a 2＋10＝11，解得a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(6－x )． 设商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )元，则f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(6－x )＝2＋10(x －3)(6－x )＝－10x 2＋90x －178＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋492(3＜x ＜6)． 当x ＝92时，函数f (x )在定义域(3,6)上取得最大值，最大值为492，即当销售价格为4.5元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．2．解析：由题意可得，剩下的部分依次为12，14，18，…，因此x 天后剩下的部分y 与x 的函数关系式为y ＝12x (x ∈N *)，故选D.答案：D3．解析：设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ，则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ，所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l 23(36＋π). 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大．由6y ＞0，得0＜x ＜l 9＋π. 因为0＜2l 36＋π＜l 9＋π， 所以当x ＝2l 36＋π，y ＝l －(9＋π)x 6＝l (18－π)6(36＋π)， 即x y ＝1218－π时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l 23(36＋π). 4．解析：由题意知当0≤t ≤5时，图象是直线，当t ≥5时，图象对应的解析式为y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12-10t a ＋b ，图象过点(5,100)和点(15,60)，则得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝20，即y ＝80⎝ ⎛⎭⎪⎫12-510t ＋20，t ≥5，当y ＝40时，得80⎝ ⎛⎭⎪⎫12-510t ＋20＝40，即80⎝ ⎛⎭⎪⎫12-510t ＝20，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12-510t ＝14，得t －510＝2，得t ＝25，即最少需要的时间为25 min.答案：25 min5．解析：(1)当0≤x ≤30，x ∈N 时，y ＝400x ＋1 000x ＝1 400x ； 当30＜x ≤60，x ∈N 时，y ＝400x ＋[1 000－20·(x －30)]·x ＝－20x 2＋2 000x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 400x ，0≤x ≤30，x ∈N ，－20x 2＋2 000x ，30＜x ≤60，x ∈N .(2)当0≤x ≤30，x ∈N 时，y ≤1 400×30＝42 000元；当30＜x ≤60，x ∈N 时，y ≤－20×502＋2 000×50＝50 000元． 综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50 000元． 关键能力综合练1．解析：当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A ，故选C.答案：C2．解析：由题意可知50＝10＋(90－10)e －0.25t ，整理得e －0.25t ＝12，即－0.25t ＝ln 12＝－ln 2≈－0.693，解得t ≈2.77.答案：B3．解析：设单价为(6＋x )元，则日均销售量为(100－10x )件，日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0≤x ＜10)，所以当x ＝4时，y max ＝340.因此单价为10元/件时，利润最大．答案：B4．解析：设AD 长为x ，则CD 长为16－x ，又∵要将点P 围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12.则矩形ABCD 的面积S ＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64.若0＜a ＜8，当且仅当x ＝8时，S max ＝u ＝64；若8≤a ＜12，S max ＝u ＝a (16－a )．故函数u ＝f (a )的解析式为u ＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0＜a ＜8，a (16－a )，8≤a ＜12，画出函数图象可得其形状与B 接近，故选B.答案：B 5．解析：∵r ＝0.6lg I ，∴I ＝1053r .当r ＝6.5时，I 1＝10656，当r ＝7.4时，I 2＝10373，∴n ＝I 2I 1＝10373÷10656＝1032＝1010≈32. 答案：C6．解析：由函数的图象可知，几何图形具有对称性．选项A ，B ，D 由左向右移动过程中面积增加的先慢后快，然后相反，选项C ，后面是直线增加，不满足题意，故选C.答案：C 7．解析：如图，设每个小矩形的长为a m ，则宽为b ＝13(360－4a )m ，记面积为S m 2.则S ＝3ab ＝a (360－4a )＝－4a 2＋360a (0＜a ＜90)．∴当a ＝45时，S max ＝8 100(m 2)．∴围成场地的最大面积为8 100 m 2.答案：8 1008．解析：由题意知，第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3，以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n ·(n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *，n ≥2)．令3n 2≤150，得2≤n ≤52，又n ∈N *，得2≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：79．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应4.5，故③正确，④错误．答案：①②③10．易错分析：实际问题中涉及函数的解析式中含参数的函数最值问题，求解时要注意参数对函数最值的影响．本题中的函数解析式中含参数，因此求解其最值时，应根据参数与所给区间的关系分类讨论后求最值．解析：(1)由题可得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △DGH ＝S △BEF ＝12(a －x )(2－x )，∴y ＝S 矩形ABCD －2S △AEH －2S △BEF＝2a －x 2－(a －x )(2－x )＝－2x 2＋(a ＋2)x .由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞0，a －x ＞0，2－x ＞0，a ＞2，得0＜x ＜2.当x ＝2时，点H ，F 分别为点D ，B 重合，y ＝2a －4，满足y ＝－2x 2＋(a ＋2)x .综上，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x ，定义域为(0,2]．(2)由(1)得y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋242＋(a ＋2)28，0＜x ≤2. 当a ＋24＜2，即2＜a ＜6时，最大值在x ＝a ＋24时取得，即y max ＝(a ＋2)28；当a ＋24≥2，即a ≥6时，y ＝－2x 2＋(a ＋2)x 在(0,2]上是增函数，则x ＝2时，y max ＝2a －4.综上所述，当2＜a ＜6，AE ＝a ＋24时，绿地面积取最大值(a ＋2)28；当a ≥6，AE ＝2时，绿地面积取最大值2a －4.学科素养升级练1．解析：由题意知当x ＝4时，t ＝16，∴24k ＋6＝16＝24，∴4k＋6＝4，∴k ＝－12，∴当x ＞0时，t ＝2-+62x ，故当x ＝6时，t ＝23＝8，故A 正确．由题知当x ≤0时，t ＝64，故B 不正确．由题图知此日13时，室外温度为10 ℃，当x ＝10时，t ＝2，故此日13时甲所购买的食品已过保鲜时间，故C 不正确，D 正确．故选A 、D.答案：AD2．解析：(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物2 500 mg ，经过x 个小时后，药物在病人血液中的量为y ＝2 500×(1－20%)x ＝2 500×0.8x (mg)，即y 与x 的关系式为y ＝2 500×0.8x .(2)当该药物在病人血液中的量保持在1 500 mg 以上时，才有疗效；而低于500 mg 时，病人就有危险，∴令2 500×0.8x ≥500，即0.8x ≥0.2.∵0.87.2≈0.2，y ＝0.8x 是单调递减函数，∴x ≤7.2，∴要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时． 答案：(1)y ＝2 500×0.8x (2)7.23．解析：(1)当t ≥1时，c ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ，函数图象过点(2,10)， 所以k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝10，解得k ＝40. 所以当t ＝1时，c ＝40×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝20. 所以当0≤t ≤1时，c ＝m (2t －1)的图象过点(1,20)，所以m ＝20，所以c ＝20·2t －20.由20·2t －20≥10得2t ≥32，所以t ≥log 232＝lg 3－lg 2lg 2≈0.477－0.30.3＝0.59，则首次服药后，药物有疗效的时间为2－0.59＝1.41(h)．(2)设1 h 后再次服用同等规格的药物x 小时后的药物浓度为y .当0≤x ≤1时，y ＝20·2x －20＋40·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝20·(2x ＋2－x )－20， 此函数在[0,1]内单调递增，所以当x ＝1时，y max ＝30.当x ＞1时，y ＝40·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋40·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＝60·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜30. 因为30＜32，所以首次服药1 h 后，可以立即再次服用同等规格的这种药物．。

5.2 实际问题中的函数模型-2021-2022学年高一数学北师大版（2019）必修第一册同步课时作业1.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x 辆该品牌车的利润（单位：万元）分别为2121L x x =-+和22L x =.若该公司在两地共销售15辆该品牌车，则能获得的最大利润为( ) A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元2.某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A.6升B.8升C.10升D.12升3.渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度（以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三甲胺是一种挥发性脂肪胺，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的.三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质，进而腐败），鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏.已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为t h m a =⋅.若出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%，那么若不及时处理，打上船的这种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度（参考数据：lg20.3≈）( ) A.33分钟B.43分钟C.50分钟D.56分钟4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m/s ）可以表示为31log 2100Q v =，其中Q 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为32m/s时，它的耗氧量的单位数为( ) A.900B.1600C.2700D.81005.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.120.05≈，lg1.30.11≈，lg20.30≈）( ) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年6.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸的体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为e kt V a -=⋅.已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( ) A.125 B.100 C.75 D.507.某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：℃）满足函数关系e kx by +=（e=2.718…为自然对数的底数，k ,b 为常数）.若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( ) A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时8.一种放射性元素的质量按每年10%衰减,这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（精确到0.1，已知lg20.3010≈,lg30.4771≈）( ) A.5.2年B.6.6年C.7.1年D.8.3年9.某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停（每次上涨10%），又经历了3次跌停（每次下降10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为( ) A.略有亏损B.略有盈利C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况10.在固定电压差（电压为常数）的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I 与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( ) A.60安B.240安C.75安D.135安11.某餐厅经营盒饭生意，每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每盒盒饭的成本为15元，销售单价与日销售量的关系如下表：____________元.12.为引导居民节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，按月用电量计算，将居民家庭每月用电量划分为三个阶梯，电价按阶梯递增.第一阶梯：月用电量不超过240千瓦时的部分，电价为0.5元/千瓦时；第二阶梯：月用电量超过240千瓦时但不超过400千瓦时的部分，电价为0.6元/千瓦时；第三阶梯：月用电量超过400千瓦时的部分，电价为0.8元/千瓦时.若某户居民10月份交纳的电费为360元，则此户居民10月份的用电量为_________千瓦时.13.某企业生产某种产品时的能耗y 与所生产的产品件数x 之间的关系式为by ax x=+，其中，当2x =时，100y =；当7x =时，35y =，且此产品生产件数不超过20.则y 关于x 的解析式为______________.14.为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2020年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.（1）写出第x 年（2021年为第一年）该企业投入的资金数y （万元）与x 的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始（2021年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据：lg0.110.959≈-,lg 1.10.041≈，lg11 1.041≈，lg 20.301≈）答案以及解析1.答案：C解析：设公司在甲地销售m 辆该品牌车，则在乙地销售(15)m -辆，015m ≤≤，且m ∈N ，设公司获利为L 万元，则2222121919212(15)19303024L L L m m m m m m ⎛⎫=+=-++-=-++=--++ ⎪⎝⎭，∴当9m =或10m =时，L 取得最大值120，即该公司在两地共销售15辆该品牌车时，能获得的最大利润为120万元.故选C. 2.答案：B解析：由题表中的信息可知，2020年10月1日油箱加满了油，此时的累计里程为32000千米，到2020年10月6日，油箱加满油需要48升，说明这段时间的耗油量为48升，累计里程为32600千米，说明这段时间内汽车行驶了600千米， 则在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为4886=升.故选B. 3.答案：A解析：本题考查指数型函数模型的应用.由题意得2030(20)20%,(30)40%,h ma h ma ⎧==⎨==⎩两式相除得102,a =所以1102,0.05a m ==，所以10()0.052.t h t =⋅若使这种鱼失去50%的新鲜度，即100.0520.5,t ⋅=所以10210,t=两边取常用对数，得lg 21,10t⋅=所以t =1033,lg 2≈故选A. 4.答案：C 解析：当32v =时，有331log 22100Q =，即3log 3100Q =，所以3327100Q==，所以2700Q =. 5.答案：C解析：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2016年起，每年投入的研发资金为1(130 1.12)n -⨯万元.由1130 1.12200n -⨯>，两边取常用对数，得lg 2lg1.31lg1.12n -->,又lg 2lg1.30.300.113.8lg1.120.05--≈=，则 4.8n >，所以从2020年开始投入的研发资金超过200万元，故选C. 6.答案：C解析：由已知得504e 9ka a -=⋅,即25042e93k -⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以()315075282e 273k k a a e a a --⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭，所以75t =.故选C. 7.答案：C解析：由已知得192e b =①，222248e e e k b k b +==⋅②, 将①代入②得221e 4k =，则111e 2k =. 当33x =时，3336331eee 192242k kby +⎛⎫==⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时.故选C. 8.答案：B解析：设这种放射性元素的半衰期是x 年，则1(110%)2x -=,化简得10.92x =，即0.91lg1lg 20.30102log 6.62lg 0.92lg3120.47711x --===≈≈-⨯-（年）.故选B. 9.答案：A解析：由题意可得33(110%)(110%)0.9702990.971+-=≈<.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损.故选A. 10.答案：D解析：由已知，设比例系数为k ，则3I k r =⋅.当4r =时，320I =，故有33204k =⨯，解得320564k ==，所以35I r =.故当3r =时，353135I =⨯=（安）.故选D. 11.答案：21.5解析：由题表信息可知，销售单价为16元时，日销售量为480盒，销售单价每增加1元，日销售量减少40盒，设销售单价为x 元，则日销售量为48040(16)(112040)x x --=-盒，设这个餐厅的日销售利润为y 元，则2(15)(112040)20040172017000y x x x x =---=-+-， 所以当21.5x =时，y 取得最大值，最大值为1490， 即每盒盒饭定价为21.5元时，日销售利润最大. 12.答案：580解析：设某户居民一个月的用电量为x 千瓦时，电费为()f x 元，则当0240x ≤≤时，()0.5f x x =；当240400x <≤时，()0.52400.6(240)0.624f x x x =⨯+⨯-=-；当400x >时，()0.52400.61600.8(400)0.8104f x x x =⨯+⨯+⨯-=-. 故0.5(0240),()0.624(240400),0.8104(400),x x f x x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩根据10月份此户居民交纳的电费可知，此户居民用到了第三阶梯电量， 令0.8104360x -=，得580x =.所以此户居民10月份的用电量为580千瓦时. 13.答案：196y x x=+（020x <≤，且*x ∈N ） 解析：由题意知2100,2735,7b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩即4200,49245,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1,196,a b =⎧⎨=⎩所以所求函数的解析式为196y x x=+（020x <≤，且*x ∈N ）.14.答案：（1）第一年投入的资金数为100(110%)+万元，第二年投入的资金数为2100(110%)100(110%)10%100(110%)+++=+万元， 第x 年（2021年为第-一年）该企业投入的资金数y （万元）与x 的函数关系式为100(110%)x y =+万元，其定义域为{}*10x x ∈N ∣.（2）由100(110%)200x +>， 可得1.12x >，即lg 20.3017.3lg1.10.041x >≈≈， 即该企业从第8年开始（2021年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元.。

第五章函数应用§2 实际问题中的函数模型2.1 实际问题的函数刻画知识点1几类不同增长的函数模型1.☉%7￥@*39*6%☉(2020·巨鹿高一月考)三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如下表:则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型变化的变量依次为()。

A.y1,y2,y3B.y2,y1,y3C.y3,y2,y1D.y1,y3,y2答案：C解析：从题中表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,呈指数型函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化。

故选C。

2.☉%@#992#6#%☉(2020·南充一中高一月考)有一组数据如下表:现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()。

A.v=log2tB.v=lo g12tC.v=t 2-12D.v=2t-2答案：C解析： A中,当t=1.99时,v=log21.99<1,当t=4时,v=log24=2,显然A不满足;B中,v=lo g12t,当t=1.99,3.0,4.0,5.1,6.12时v<0,故B不满足;D显然也不满足。

故选C。

3.☉%*9@704#￥%☉(2020·新余一中高一月考)某地为加强环境保护,决定使每年的绿地面积比上一年增长10%,那么从今年起,x年后绿地面积是今年的y倍,则函数y=f(x)的大致图像是()。

图5-2-1-1答案：D解析：设今年绿地面积为m,则有my=(1+10%)x m,所以y=1.1x,故选D。

4.☉%9@97#8##%☉(2020·邢台二中高一月考)某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个,第二次由2个分裂成4个,第三次由4个分裂成8个,…,现有1个这样的细胞,经过y次分裂后得到x个细胞,则分裂的次数y与x的关系为()。

A.y=log2xB.y=2xD.y=2x-1C.y=log2x2答案：A解析：由题意,x=2y,所以y=log2x。

课时分层作业(三十一)实际问题的函数刻画(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()A BC DD[依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．]2．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格 3.0元8.4元①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A.①③B．①④C．②③D．②④D [买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100＞2.8100，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.]3．如图，矩形ABCD 的周长为8，设AB ＝x (1≤x ≤3)，线段MN 的两端点在矩形的边上滑动，且MN ＝1，当N 沿A →D →C →B →A 在矩形的边上滑动一周时，线段MN 的中点P 所形成的轨迹为G ，记G 围成的区域的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )A B C DD [由题意可知点P 的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为12的扇形．因为矩形ABCD 的周长为8，AB ＝x ，则AD ＝8－2x 2＝4－x ，所以y ＝x (4－x )－π4＝－(x －2)2＋4－π4(1≤x ≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x ＝2时，y ＝4－π4∈(3，4)，故选D.]4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A.10.5万元B ．11万元 C.43万元 D ．43.025万元C [设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]5．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H 与下降时间t 之间的函数关系的图象只可能是( )B [由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可得结果．故选B.]二、填空题6．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．24 [依题意有192＝e b ，48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，所以e 22k ＝48e b ＝48192＝14，所以e 11k＝12或－12(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24(小时).]7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0).则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大． 4 [由题意得L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ≤512－2x 2·8x ＝21.5，当且仅当x 2＝8x ，即x ＝4时等号成立．此时L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]8．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16 [当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，所以e －8b ＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24.所以再经过16 min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．]三、解答题9．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．求函数y ＝f (x )的解析式．[解] 当x ∈[0，30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎨⎧k 1＝115，b 1＝0，即y ＝115x . 当x ∈(30，40)时，y ＝2；当x ∈[40，60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎨⎧k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2. 综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈（30，40），110x －2，x ∈[40，60].10．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数以及最低种植成本．[解] (1)根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上．(2)对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120， 代入数据⎩⎪⎨⎪⎧3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以Q ＝0.01t 2－2.4t ＋224，所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg).11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是()A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于D选项：速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，故D对．]12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．3.75 [根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．]13．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．1 024 [依题意⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，∴y ＝2log 4x －2，令2log 4x －2＝8，得x ＝45＝1 024.]14．某商品在近30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)之间的函数关系式为P ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N ，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)之间的函数关系式为Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第________天．25 [设日销售金额为W (t )元，则W (t )＝P ·Q ＝{（t ＋20）（－t ＋40），0<t <25，t ∈N ，（－t ＋100）（－t ＋40），25≤t ≤30，t ∈N .令f (t )＝(t ＋20)(－t ＋40)＝－t 2＋20t ＋800(0<t <25，t ∈N )，易知f (t )max ＝f (10)＝900，令g (t )＝(－t ＋100)(－t ＋40)＝t 2－140t ＋4 000(25≤t ≤30，t ∈N )，易知g (t )max ＝g (25)＝1 125.综上，当t ＝25，即第25天时，日销售金额W (t )最大．]15．牧场中羊群的最大畜养量为m 只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y 只和实际畜养量x 只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k >0).(1)写出y 关于x 的函数解析式，并指出这个函数的定义域；(2)求羊群年增长量的最大值；(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．[解] (1)根据题意，由于最大畜养量为m 只，实际畜养量为x 只，则畜养率为x m ，故空闲率为1－x m ，由此可得y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x m (0<x <m ). (2)对原二次函数配方，得y ＝－k m (x 2－mx )＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋km 4. 即当x ＝m 2时，y 取得最大值km 4.(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x ＋y <m .因为当x ＝m 2时，y max ＝km 4，所以0<m 2＋km 4<m ，解得－2<k <2.又因为k >0，所以0<k <2.即k 的取值范围是(0，2).。

§2实际问题中的函数模型2．1实际问题的函数刻画水平11．先有实际问题，后有模型．()2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．()3．当自变量变化时，函数值的增长速度越来越快，那么该函数关系一定用指数函数模型来刻画．()4．在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义．()5．由函数模型得到的解就是实际问题的解．()【解析】1.√2．√3．提示：×.也可能是用函数y＝x2(x＞0)，y＝x3等其他函数来刻画．4．√5．提示：×.得到函数模型的解还需要通过检验符合实际意义，才是实际问题的解．·题组一利用图象刻画实际问题1．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图象中，能反映该同学的行程的是()【解析】d越来越远，所以排除B和D，又该同学先跑后走，所以一开始速度大，离开家的距离d随着时间的增加增长的较快，所以选C.2．“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当它醒来后看到乌龟已经领先了，因此它用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程——时间图象()【解析】选C.由故事内容知乌龟先达到终点，兔子醒来乌龟未达到终点，且兔子后来的速度更快．3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()【解析】选B.根据题意知，蜡烛的长度随时间的增加而减少且蜡烛的长度不可能小于0. ·题组二表格信息类建模问题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 45678910y 15171921232527A.一次函数模型B．幂函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型【解析】选A.根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分超过50至200的部分超过200的部分若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)【解析】高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元).答案：易错点图表信息理解错误电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分).试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A付话费________元，按方案B付话费________元．(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费________元．(3)通话时间在________分钟时，方案B才会比方案A优惠．【解析】由图可知M(60，98)，N(500，230)，C(500，168)，D(600，198).设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A(x)，f B(x)，则f A (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧98，0≤x ≤60，310x ＋80，x >60.f B (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧168，0≤x ≤500，310x ＋18，x >500.(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为f B (n ＋1)－f B (n )＝310(n ＋1)＋18－310n －18＝310＝0.3(元)(n >500)，所以方案B 从500分钟以后，每分钟收费0.3元． (3)由题图知，当0≤x ≤60时，有f A (x )<f B (x ). 当x >500时，f A (x )>f B (x )，当60<x ≤500时，由f A (x )>f B (x )，得x >8803，因此当通话时间大于8803分钟时，方案B 比方案A 优惠．答案：(1)116 168 (2)0.3 (3)大于8803【易错误区】解决图表信息题最容易出错的就是“挖掘图象中的信息错误”或是“理解错误”，所以这类问题应结合图象的特征，观察坐标轴所代表的含义，紧扣题目的语言描述，并把它转化为数学特征(单调性、最值、解析式等)即可解决．水平1、2限时30分钟 分值50分 战报得分______一、选择题(每小题5分，共25分)1．下表显示出函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x －2 －1 0 1 2 3 y11614141664A ．一次函数模型B ．二次函数模型C ．对数函数模型D ．指数函数模型【解析】选D.由表格数据可知符合指数函数模型．A.分段函数B．二次函数C.指数函数D．对数函数【解析】选A.由题干图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．)2．某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是()A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定【解析】选B.(1＋x)2＝1＋44%，解得x＝0.2(负值舍去)<0.22.3．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是()【解析】选D.依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．4．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克则下列说法中正确的是(①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解析】3100元，买大包装时每克费用为错误!＝错误!元，而错误!＞错误!，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多．5．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1xx 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元【解析】A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润yxx 2＋2(16－xx 2x ⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．二、填空题(每小题5分，共15分)6．某学校开展研究性学习活动， 一组同学获得了下面的一组试验数据：现有如下5①yx －0.16；②y ＝2x －3.02； ③y ＝x 2x ＋8；④y ＝log 2x ； ⑤y ＝⎝⎛⎭⎫12x＋1.74.请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________(填序号). 【解析】画出散点图如图所示．由图可知上述点大体在函数y＝log2x的图象上，故选择y＝log2x可以近似地反映这些数据的规律．答案：④7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝512－⎝⎛⎭⎫x2＋8x(x＞0).则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．【解析】由题意得L＝512－⎝⎛⎭⎫x2＋8x≤512－2x2·8x＝21.5，当且仅当x2＝8x，即x＝4时等号成立．此时L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．答案：48．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【解析】当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，所以e－8b＝12.容器中的沙子只有开始时的八分之一，即y＝a e－bt＝18a时，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24. 所以再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：16【加练备选】某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x 为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog 4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为________万元.【解析】依题意解得所以y=2log 4x-2,令2log 4x-2=8,得x=45=1 024. 答案:1 024 三、解答题9．(10分)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．求函数y ＝f (x )的解析式．【解析】当x ∈[0，30]时，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝0，30k 1＋b 1＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝115，b 1＝0，即y ＝115x .当x ∈(30，40]时，y ＝2； 当x ∈(40，60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧40k 2＋b 2＝2，60k 2＋b 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝110，b 2＝－2，即y ＝110x －2.综上，f (x )＝⎩⎨⎧115x ，x ∈[0，30]，2，x ∈（30，40]，110x －2，x ∈（40，60].。

《实际问题的函数刻画》核心素养专练必备知识练必备知识 实际问题的函数刻画 一、选择题1.据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元.若自行车存车数为x 辆次，存车总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是（ ） A.0.1800(04000)y x x =+≤≤ B.0.11200(04000)y x x =+≤≤ C.0.1800(04000)y x x =-+≤≤ D.0.11200(04000)y x x =-+≤≤2.据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m ，则从2000年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是（ ） A.500.95xy m =⋅B.5010.05xy m ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭C.500.95x y m -=⋅D.()5010.05x y m -=-⋅3.今有一组实验数据如下表，现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）A.2log y t =B.12log y t =C.212t y -=D.22y t =- 二、填空题4.经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间t （单位：天）的函数.日销售量为()2100f t t =+，价格为()4g t t =+，则该种商品的日销售额S （单位：元）与时间t 的函数关系式为()S t =_____.5.如图表示某人的体重与年龄的关系： ①体重随年龄的增长而增加； ②25岁之后体重不变；③体重增加最快的是15岁至25岁； ④体重增加最快的是15岁之前. 上述判断正确的是_____.（填序号） 三、解答题6.某品牌茶壶的原售价为80元/个，今有甲、乙两家茶具店销售这种茶壶，甲店用如下方法促销：如果只购买一个茶壶，其价格为78元/个；如果一次购买两个茶壶，其价格为76元/个…一次购买的茶壶数每增加一个，那么茶壶的价格减少2元/个，但茶壶的售价不得低于44元/个；乙店一律按原价的75%销售.现某茶社要购买这种茶壶x 个，如果全部在甲店购买，则所需金额为1y 元；如果全部在乙店购买，则所需金额为2y 元.（1）分别求出12,y y 与x 之间的函数关系式；（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？关键能力练关键能力数据拟合一、解答题7.某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程.厂里也暂时不准备增加设备和工人.假如你是厂长，将会采取什么办法估算以后几个月的产量？参考答案 1. 答案：D解析：因为自行车存车数为x 辆次，所以电动车为(4000)x -辆次，则0.20.3(4000)0.11200y x x x =+-=-+.2. 答案：A解析：设北冰洋冬季冰雪覆盖面积每年为上一年的%q ，则50(%)0.95,q =150%0.95q ∴=，即x 年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积为500.95x y m =⋅. 3. 答案：C解析：当4t =时，221241log 42,log 42,7.5,24262y y y y -====-===⨯-=，所以212t y -=适合；当 1.99t =时，代入A ，B ，C ，D 四个选项，212t y -=的值与表中的1.5接近. 4.答案：(2100)(4)t t ++解析：日销售额()()(2100)(+4)S f t g t t t ==+. 5. 答案：④解析：由图象易知①在50岁之后体重在减轻.②25岁之后体重变化不大，但也有改变.在0至15岁间的线段比在15至25岁间的线段更加陡峭，故体重增加最快的是15岁之前，④正确. 6.答案：见解析解析：（1）对甲茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为802x -元，则1y 与x 之间的函数关系式为21(802)280,018,,44,18,.x x x x x x y x x x ++⎧-=-+≤≤∈=⎨>∈⎩N N对乙茶具店而言：茶社购买这种茶壶x 个时，每个售价为8075%60(),⨯=元则2y 与x 之间的函数关系式为)260(0,y x x x +=≥∈N .（2）2212280602200010y y x x x x x x -=-+-=-+≥⇒≤≤.答：茶社购买这种茶壶的数量小于10个时，到乙茶具店购买茶壶花费较少；茶社购买这种茶壶的数量等于10个时，到甲、乙两家茶具店购买茶壶花费一样多；茶社购买这种茶壶的数量大于10个时，到甲茶具店购买茶壶花费较少. 7.答案：见解析解析：估算一（一次函数模拟）：设模拟函数为y ax b =+，将(2,1.2),(3,1.3)代人函数式，有3 1.3,2 1.2,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得0.1,1.a b =⎧⎨=⎩ 所以得0.11y x =+.评价：此法的结论是：在不增加工人和设备的条件下，产量会月月上升1000双，这是不太可能的.估算二（二次函数模拟）：设2y ax bx c =++，将(1,1),(2,1.2),(3,1.3)代入函数式，有1,42 1.2,93 1.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得0.05,0.35,0.7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以20.050.350.7y x x =-++.评价：由此法计算4月产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且，由二次函数性质可知，产量自4月份开始将月月下降（图象开口向下，对称轴为直线3.5x =），不合实际. 估算三（幂函数模拟）：设y b =，将(1,1),(2,1.2)代入函数式，有1,1.2,a b b +=⎧⎪+=解得0.48,0.52.a b =⎧⎨=⎩所以0.52y =.评价：将3x =和4代入，分别得到 1.35y =和1.48，与实际产量差距较大. 估算四（指数函数模拟）：设x y ab c =+，将(1,1),(2,1.2),(3,1.3)代入函数式，得231,1.2,1.3,ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解得0.8,0.5,1.4.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以0.8(0.5) 1.4x y =-⨯+.评价：将4x =代入，得40.80.5 1.4 1.35.y =-⋅+=比较上述四个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，比如增产的趋势和可能性.经过筛选，以指数函数模拟为最佳.一是误差小，二是由于新建厂，开始随工人技术、管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模拟恰好反映了这种趋势.因此，选用0.80.5 1.4x y =-⋅+模拟比较接近客观实际.。

第五章函数应用§2实际问题中的函数模型2.1实际问题的函数刻画2.2用函数模型解决实际问题课后篇巩固提升基础达标练1.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为()A.6升B.8升C.10升D.12升(即5月1日)把油加满,而第二次把油加满加了48升,35 600-35 000=600(千米),即汽车行驶600千米耗油48升,所以每100千米平均耗油量为8升.2.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%,要增长到原来的x倍,需经过y年,则函数y=f(x)的图象大致是()a,由题意知ax=a(1+0.104)y,即y=log1.104x(x≥1),所以y=f(x)的图象大致为D中图象.3.(多选题)某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少,则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)()A.6B.9C.8D.7解析设经过n次过滤,产品达到市场要求,则×n≤,即n≤,由n lg ≤-lg 20,即n(lg 2-lg 3)≤-(1+lg 2),得n≥≈7.4.4.已知某个病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且病毒的繁殖规律为y=e kt(其中k为常数,t表示时间,单位:小时,y表示病毒个数),则k=,经过5小时,1个病毒能繁殖个.t=0.5时,y=2,∴2=,∴k=2ln 2,∴y=e2t ln 2.当t=5时,y=e10ln 2=210=1 024.1 0245.在一场足球比赛中,一球员从球门正前方10 m处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6 m时,球到达最高点,此时球高3 m,已知球门高2.44 m并且球按抛物线飞行,踢进球门(填“能”或“不能”).建立如图所示的坐标系,拋物线经过点(0,0),顶点为(6,3).设其解析式为y=a(x-6)2+3,把x=0,y=0代入,得a=-,∴y=-(x-6)2+3.当x=10时,y=-(10-6)2+3=<2.44.∴球能射进球门.6.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?方案一)5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).(方案二)5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.7.某市电力公司在电力供不应求时期,为了让居民节约用电,采用“阶梯电价”方法计算电价,每月用电不超过100度时,按每度0.5元计费,每月用电超过100度时,超过部分按每度0.6元计费,每月用电超过150度时,超过部分按每度0.7元计费.(1)设每月用电x度,应交电费y元,写出y关于x的函数;(2)已知小王家第一季度缴费情况如下:问:小王家第一季度共用了多少度电?依题意,当0≤x≤100时,y=0.5x,当100<x≤150时,y=0.5×100+0.6(x-100)=0.6x-10,当x>150时,y=0.5×100+0.6×50+0.7(x-150)=0.7x-25,所以y关于x的函数为y=(2)小王家一月份缴费87元>80元,令0.7x-25=87,得x=160,二月份缴费62元>50元,且62元<80元,令0.6x-10=62,得x=120,三月份缴费45.8元<50元,令0.5x=45.8,得x=91.6,以上三个月相加得160+120+91.6=371.6(度),所以小王家第一季度共用了371.6度电.8.有关数据显示,中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨,2016年的年增长率为50%,有专家预测,如果不采取措施,未来包装垃圾还将以此增长率增长,从第几年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)y万吨,n表示从2015年开始增加的年份的数量,由题意可得y=400×(1+50%)n=400×n,当y=4 000时,有n=10,两边取对数可得n(lg 3-lg 2)=1,∴n(0.477 1-0.301 0)=1,0.176 1n=1,解得n≈6,∴从2015+6=2021年开始,快递行业产生的包装垃圾会超过4 000万吨.9.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5千美元~8千美元的地区销售该公司A饮料的情况的调查中发现:人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多,然后向两边递减.(1)下列几个模拟函数:y=ax2+bx,y=kx+b,y=log a x,y=a x+b(x表示人均GDP,单位:千美元,y表示A饮料的年人均销量,单位:升),用哪个模拟函数来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP关系更合适?说明理由.(2)若人均GDP为1千美元时,A饮料的年人均销量为2升;若人均GDP为4千美元时,A饮料的年人均销量为5升,把(1)中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,A饮料的年人均销量最多是多少?用函数y=ax2+bx来描述A饮料的年人均销量与地区的人均GDP的关系更合适.因为函数y=kx+b,y=log a x,y=a x+b在其定义域内都是单调函数,不具备先递增后递减的特征.(2)依题意知函数过点(1,2)和(4,5),则有解得a=-,b=,所以y=-x2+x(0.5≤x≤8).因为y=-x2+x=-,所以在各地区中,当x=时,A饮料的年人均销量最多是升.能力提升练1.(多选题)某市出租车收费标准如下:起步价为8元,起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时,超过部分按每千米2.15元收费:超过8 km时,超过部分按每千米2.85元收费,另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是()A.出租车行驶4 km,乘客需付费9.6元B.出租车行驶10 km,乘客需付费25.45元C.某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用D.某人乘坐一次出租车付费22.6元,则此次出租车行驶了9 kmA中,出租车行驶4 km,乘客需付费8+1×2.15+1=11.15元,A错误;在B中,出租车行驶10 km,乘客需付费8+2.15×5+2.85×(10-8)+1=25.45元,B正确;在C中,乘出租车行驶5 km,乘客需付费8+2×2.15+1=13.30元,乘坐两次需付费26.6元,26.6>25.45,C正确;在D中,设出租车行驶x km时,付费y元,由8+5×2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由y=8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6,解得x=9,D正确.2.某工厂生产A,B两种成本不同的产品,用于市场销售,A产品连续两次提价20%,同时B产品连续两次降价20%,结果都以每件23.04元售出,此时厂家同时出售A,B产品各一件,则盈亏情况为() A.亏5.20元 B.亏5.92元C.盈6元D.盈5元A,B的成本价分别为x元、y元,则(1+20%)2×x=23.04,(1-20%)2×y=23.04,所以x=16,y=36.成本价为x+y=52(元),实际销售额为2×23.04=46.08(元),显然亏损额为52-46.08=5.92(元).故选B.3.已知有A,B两个水桶,桶A中开始有a L水,桶A中的水不断流入桶B,t min后,桶A中剩余的水符合指数衰减曲线y1=a e-nt,那么桶B中的水就是y2=a-a e-nt(n为常数).假设5 min时,桶A和桶B中的水量相等,再过 min,桶A中的水只有 L.5 min时,桶A和桶B中的水量相等,所以a·e-5n=a-a·e-5n,所以e-5n=.令a·e-nt=,则e-nt==e-15n,故有t=15.所以再过10 min,桶A中的水只有 L.4.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:注:地震强度是指地震时释放的能量.地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y=a lg x+b(其中a,b为常数).利用散点图可知a的值等于.(取lg 2≈0.3进行计算)x=1.6×1019时,y=5.0,x=3.2×1019时,y=5.2.所以②-①,得0.2=a lg,0.2=a lg 2.所以a=.5.如图,是某受污染的湖泊在自然净化过程中,某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=a t(t≥0,a>0,且a≠1).有以下叙述:①第4个月时,剩留量会低于;②每月减少的有害物质量都相等;③若剩留量为所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.其中所有正确的叙述是.(填序号),当t=2时,y=,即a2=,解得a=.故y=.所以当t=4时,有害物质的剩余量为y=,所以①正确;第一个月的减少量为1-;第二个月的减少量为,显然两者不同,所以②错误;③由已知,所以,即,所以t1+t2=t3,故③正确.6.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2万元.(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x 的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,f(x)=即f(x)=(2)当0<x≤5时,f(x)=-x2+4.75x-0.5,所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.781 25.当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).故当年产量为475件时,当年所得利润最大.7.科学研究表明:人类对声音有不一样的感觉,这与声音的强度I(单位:瓦/平方米)有关.在实际测量时,常用L(单位:分贝)来表示声音强弱的等级,它与声音的强度I满足关系式:L=a·lg (a是常数),其中I0=1×10-12瓦/平方米.如风吹落叶沙沙声的强度I=1×10-11瓦/平方米,它的强弱等级L=10分贝. (1)已知生活中几种声音的强度如下表:风吹落叶轻声耳语很嘈杂求a和m的值;(2)为了不影响正常的休息和睡眠,声音的强弱等级一般不能超过50分贝,求此时声音强度I的最大值.将I0=1×10-12瓦/平方米,I=1×10-11瓦/平方米代入L=a·lg ,得10=a lg=a lg 10=a,即a=10,m=10lg=10lg 100=20.(2)由题意得L≤50,得10lg ≤50,得lg≤5,即≤105,即I≤105×10-12=10-7.所以此时声音强度I的最大值为10-7瓦/平方米.素养培优练为减轻手术给病人带来的痛苦,麻醉师要给病人注射一定量的麻醉剂,某医院决定在某小型手术中为病人采用一种新型的麻醉剂,已知这种麻醉剂释放过程中血液中的含量y(毫克)与时间t(小时)成正比,麻醉剂释放完毕后,y与t的函数解析式为y=(a为常数),如图所示.(1)试求从麻醉剂释放开始,血液中的麻醉剂含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式;(2)根据麻醉师的统计,当人体内血液中每升的麻醉剂含量降低到0.125毫克以下时,病人才能清醒过来,那么实施麻醉开始,至少需要经过多长时间,病人才能清醒过来?根据题中所述,由题图可知,血液中麻醉剂的含量y(毫克)是关于时间t(小时)的一个分段函数: 当0≤t≤0.1时,函数的图象是一条经过O(0,0)的线段,设其方程为y=kt(k为待定系数),又因为A(0.1,1)是这条线段的一个端点,代入点A的坐标得k=10,所以当0≤t≤0.1时,y=10t.当t>0.1时,函数解析式为y=,而A(0.1,1)在这段函数图象上,代入得:1=,所以有0.1-a=0,解得a=0.1.故当t>0.1时,y=.综上,血液中麻醉剂的含量y(毫克)与时间t(小时)之间的解析式为y=(2)要使手术后的病人能清醒过来,需要麻醉剂含量降低到0.125毫克以下,此时t>0.1,且y≤0.125=.当t>0.1时,由,得t-0.1≥1,解得t≥1.1.所以至少需要经过1.1小时后病人才能清醒.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。