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第四章一次函数知识点总结4.1.1 变量和函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y 是x的函数。
例如：y=±x，当x=1时，y有两个对应值，所以y=±x不是函数关系。
对于不同的自变量x的取值，y的值可以相同，例如，函数：y=|x|，当x=±1时，y的对应值都是13、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数取值范围的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义4.1.2 函数的表示法1、三种表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
公式法：即函数解析式，简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
2、列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值（即应变量的对应值）3、公式法：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一般情况下，等号右边的变量是自变量，等号左边的变量是因变量。
用函数解析式表示函数关系的方法就是公式法。
4、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．5、描点法画函数图形的一般步骤（通常选五点法）第一步：列表（根据自变量的取值范围从小到大或从中间向两边取值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
新北师大版 八年级数学上册第四章 一次函数一、函数1、函数的概念（重点）一般的，如果在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于变量x 的每一个值，变量y 都有一个唯一的值与它对应，那么我们就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。
理解函数的关键四点：（1）有两个变量；（2）一个变量变化，另一个随之变化；（3）对于自变量x 每一个确定的值，函数y 有且仅有一个值与之对应；（4）函数不是数，是过程中x 、y 的变量关系。
2、函数的三种表示方法（难点） （1）列表法 （2）关系式法 （3）图像法3、函数的值及自变量的取值范围（重点）（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值a ，函数有唯一确定的对应值，称为自变量等于a 时的函数值。
（2）使得函数有意义的自变量的全体取值，叫做自变量的取值范围。
确定自变量取值范围两点：一是必须使含有自变量的代数式有意义，二是必须满足实际问题的意义。
二、一次函数与正比例函数 1、一次函数的概念（重点）若两个变量x 、y 间的对应关系可以表示成y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的形式，则成y 是x 的一次函数。
2、正比例函数的概念（重点）对于一次函数y kx b =+（0k ≠），当0b =时，变为y kx =，这是把y 叫做x 的正比例函数。
3、根据条件列一次函数的关系式（难点）认真分析，探究实际问题中的有关信息，再次基础上建立数学模型，从而解决问题。
步骤：（1）认真分析，理解题意； （2）找出等量关系；（3）写出一次函数关系式；（4）确定自变量的取值范围，实际问题实际分析。
三、一次函数的图像 1、函数的图像（重点）把一个函数的自变量的值和与之对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出相应的点，所有这些点组成的图形就叫做函数的图象。
注：一次函数的图像是一条直线，所以只需描出两个点即可画出图象。
2、正比例函数,(0)y kx k =≠的图像和性质（重点）（1）正比例函数,(0)y kx k =≠的图像是经过(0,0)、(1,)k 两点的直线。
【函数与变量】在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2S r π=，S 与r 是变量，π是常量注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。
常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
（实际上，函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的，也可以管y 叫x 的变化规律）对函数概念的理解： （1）有两个变量（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2=y ）(4) 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y (5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ B ）A 、长方形的宽一定，其长与面积B 、正方形的周长与面积C 、等腰三角形的底边与面积D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。
优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律 （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。
优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质 缺点：有些函数关系，不能用解析式表示（3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【函数图像的意义】一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。
函数及其图像知识要点剖析一、理解函数概念“五”注意教材中是这样定义的：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量，y 是x 的函数.如果当x=a 时y=b ，那么b 叫做当自变量的值为a 时的函数值.正确理解函数这一概念必须注意如下五点：一、注意理解“在一个变化过程中，有两个变量”函数中的两个变量，一个是自变量，另一个是函数（即因变量），其中自变量的变化才能引起函数的变化.因此，函数关系是指两个变量之间的一种特殊的对应关系，即变量x 与变量y 之间存在的对应关系.例如，y = 2x - 1中的对应关系是指：因变量y 对应于自变量x 的2倍减去1的差 .二、注意理解“x 的每一个确定的值”这句话有两层含义：（1）自变量x 的取值不能使对应关系无意义，如y =11 x ，x 的取值不能为1；（2）自变量x 的取值不能使某个变化过程（实际问题）无意义.三、注意理解“x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应”值得注意的是“y 都有唯一确定的值”的含义，即有一个而且只有一个值.因此，自变量x 在取值X 围内的每一个确定的值，函数 y 都有一个而且只有一个值与它对应 .如 y = ±x ，这里y 不是 x 的函数，因为在自变量 x 每个值，y 有两个值与它对应 .或如图所示，皆不是函数关系：四、注意正确判断“谁是谁的函数”判断“谁是谁的函数”，即在某个函数关系中，谁是自变量，谁是函数. 在一个变化过程中，如果有两个变量，一个变量取其X 围内的每一个确定的值，另一个变量都有唯一确定的值与之对应，那么这两个变量“互为函数”，即谁都可作为对方的函数.通常，函数即因变量写在等号左边。
五、注意正确确定“自变量的取值X 围”1、自变量的取值必须使含自变量的代数式有意义（1）整式型：其自变量的取值X 围是全体实数.如函数y=3x+1，y=x 2+x －4中自变量x 的取值X 围是全体实数.（2）分式型：其自变量的取值X 围是使得分母不为零的实数.如函数y=12-x 中变量x 的取值X 围是x ≠1（由x －1≠0得）.（3）二次根式型：其自变量的取值X 围是使得被开方式为非负数的实数.如函数y=1-x 中自变量x 的取值X 围是x ≥1（由x －1≥0得）.（4）复合型：即自变量同时含有上述两种或三种情况时，自变量的取值X 围是它们的公共解.如函数y=32--x x 中自变量x 的取值X 围是x －2≥0与x －3≠0的公共解，即x ≥2且x ≠3.2、自变量的取值必须使实际问题有意义当函数关系式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.如一个正方形的边长为3cm，它的各边长减少xcm后，所得新正方形的周长为ycm.则y与x的关系式为y=12－4x, 自变量x的取值X围是0 < x < 3.2、函数的表示方法函数有三种表示方法：（1）列表法；（2）图象法；(3)表达式法（也称关系式或解析式）.二、一次函数的概念、图象及其图象的性质1、一次函数的概念课本首先列举两例，得出两个函数关系式，从而引导归纳出一次函数的定义：若两个变量x，y间的关系式可以表示成y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）.特别地，当b = 0时，称y是x的正比例函数.〖解读〗：（1）一次函数的表达式y = kx + b（k≠0）的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可为任意数.（2）正比例函数的表达式y = kx （k≠0）的结构特征：①k≠0；②自变量x的次数是1，这是识别一次函数的关键；③无常数项或常数项为0.（3）正比例函数是一次函数的特殊形式.针对训练：（1）已知函数y=(2m-1)x+1-3m ，m 为何值时，①这个函数为正比例函数？②这个函数是一次函数？析解：解题过程中要注意，一次项系数2m-1不等于0．解：①由正比例函数的定义，有1-3m=0且2m-1≠0，得21,31≠=m m ， ∴31=m 时，y=(2m-1)x+1-3m 为正比例函数． ②由一次函数的定义知，当21≠m 且31≠m 时，y=(2m-1)x+1-3m 为一次函数．（2）若函数()2322m y m x -=-+，则m=_______。
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一次函数一．知识回顾（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量.2、函数：一般的，在一个变化过程中,如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量,y是x的函数.*判断Y是否为X的函数,只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域:一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法:(1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值);第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
第1页（共40页） ()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10．待定系数法求函数解析式：⑴设函数解析式为一般式；（2）把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A ．±B．4 C ．±或4 D．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）第1页（共40页）A ．B ．C ．D ．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜07．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较8．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）第1页（共40页）A．10 B．16 C．18 D．2010．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）第1页（共40页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）第1页（共40页）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x 的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：第1页（共40页）①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．第1页（共40页）24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．第1页（共40页）。
()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10．待定系数法求函数解析式：⑴设函数解析式为一般式；（2）把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．3．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C．D．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜07．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较8．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）10．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．三．解答题28．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．29．如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标．（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．30．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．D．2．C．3．A．4．D．5．A．6．D．7．A．8．C．9．A．10．C．11．C．12．B．13．C．14．A．二．填空题（共13小题）15．x≥﹣且x≠1．16．﹣．17．一．18．﹣2＜b＜3．19．80．20．7≤a≤9．21．①③④．22．y=6+0.3x．23．224．PM=．25．（0，﹣3）．26．y=﹣x+1．27．S△ABC=S△ACD﹣S△BCD=CD•AO﹣CD•BE=×4×4﹣×4×2=4．三．解答题28．解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，代入表达式y=kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），=×3×|﹣3|=；∵AD=3，∴S△ADC（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，则P到AD距离=3，∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y=1.5x﹣6，y=3，∴1.5x﹣6=3x=6，所以P（6，3）．【点评】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，难度中等．29．解：（1）符合条件的点D的坐标分别是D1（2，1），D2（﹣2，1），D3（0，﹣1）．（2）①选择点D1（2，1）时，设直线BD1的解析式为y=kx+b，由题意得，解得．∴直线BD1的解析式为．②选择点D2（﹣2，1）时，类似①的求法，可得直线BD2的解析式为y=﹣x﹣1．③选择点D3（0，﹣1）时，类似①的求法，可得直线BD3的解析式为y=﹣x﹣1．30．解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．当t=3时，b=4，故y=﹣x+4．（2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时，2=﹣3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4．当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时，4=﹣4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F 为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，﹣1）．∵M（3，2），F（0，﹣1），∴线段MF中点坐标为（，）．直线y=﹣x+b过点（，），则=﹣+b，解得：b=2，2=1+t，解得t=1．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3，3=1+t，解得t=2．故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．。
专题4.24一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数及相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.（4）自变量的取值范围：整式函数的自变量取值范围是全体实数；分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数；二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数5y x =-中自变量的取值范围是35x x ≥-≠且.（5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象.（6）画图象的步骤：取值、描点、连线.【知识点2】一次函数的概念一次函数：如果(0)y kx b k b k =+≠、是常数，，那么y 叫做x 的一次函数．正比例函数：当0b =时，一次函数y kx b =+变成称(0)y kx k k =≠为常数，，y 叫做x 的正比例函数．【知识点3】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)bk-的直线.正比例函数的图象：正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条恒经过原点(0,0)和(1,)k 直线.【知识点4】一次函数的性质（1）正比例函数的图象与性质y =kx图像经过象限升降趋势增减性k ＞0一、三源：学*科*网X从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＜0二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小（2）一次函数的图象与性质y =kx +b图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升[来源：学科网ZXXK]y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点5】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点6】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点7】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点8】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2)1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3)121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【知识点9】一次函数与方程（组）（1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应.（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解就是两个一次函数11y k x b =+和22y k x b =+图象的交点坐标.（3）一元一次方程0kx b +=的根就是一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图象与x 轴交点的横坐标.【知识点10】一次函数与不等式（1）一次函数y kx b =+的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +>的解集（2）一次函数y kx b =+的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +<的解集【考点一】函数的认识➼➻函数概念★自变量的取值范围★函数值【例1】（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x 小时后剩余油量y 升．（1）写出一次加满油后剩余油量y 与时间x 的函数关系式．（2）求出自变量的取值范围．【答案】(1)540y x =-+；(2)08x ≤≤；【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可；（2）根据一次加满油40升可得540x ≤，然后可求出自变量的取值范围．（1）解：由题意得：405540y x x =-=-+；（2）解：∵一次加满油40升，∴540x ≤，解得：8x ≤，∴自变量的取值范围为08x ≤≤．【点拨】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式．【举一反三】【变式1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．21y x =+【答案】B【分析】根据函数的定义，一个x 只能对应一个y ，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据定义判断即可．解：A 选项是列表法表示的函数，一个x 只对应了一个y ，所以y 是x 的函数，故本选项不符合题意；B 选项从图象上看，一个x 对应了两个y ，不符合函数定义，故本选项符合题意；C 选项从图象上看，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意；D 选项是关系式法表示的函数，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意．故选：B ．【点拨】本题考查了函数的定义，掌握函数的概念是解题关键．【变式2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）正方形边长为9，若边长增加x ，则面积增加y ．y 关于x 的函数解析式为．【答案】218y x x=+【分析】根据正方形的面积公式即可得．解：由题意得：()2229918y x x x =+-=+，故答案为：218y x x =+．【点拨】本题考查了函数解析式，利用正方形的面积公式正确列出式子是解题关键．【考点二】函数的认识➼➻从函数图象中读取信息【例2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到碧沙岗公园，他出发后0.8小时到郑州购书中心，逗留一段时间后继续坐公交车到碧沙岗公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往碧沙岗公园，如图是他们离家路程(km)s 与小明离家时间(h)t 的关系图，请根据图回答下列问题．（1）小明家到碧沙岗公园的路程为______km ，小明出发______小时后爸爸驾车出发；（2）图中A 点表示的实际意义是______；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为______km/h ，小明爸爸驾车的平均速度为______km/h ；（4）爸爸驾车经过______h 追上小明．【答案】(1)30，2.5；(2)2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；(3)12；30；(4)23【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论；（2）根据点A 的坐标即可得到点A 的实际意义；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；（4）设爸爸驾车经t 小时追上小明，根据爸爸的路程=小明的路程列出方程，解方程即可．（1）由图可得，小明家到碧沙岗公园的路程是30km ；小明出发2.5小时后爸爸驾车出发，故答案为：30，2.5；（2）由图可得，A 点表示2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园，故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为()301212km/h 4 2.5-=-，小明爸爸驾车的平均速度为()3030km/h 3.5 2.5=-，故答案为：12；30；（4）设爸爸驾车经x 小时追上小明，则121230x x +=，解得23x =，∴爸爸驾车经23小时追上小明，故答案为：23．【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图1，在ABC 中，90B Ð=°，动点P 从点A 出发，沿折线A B C --方向匀速运动，速度为1cm /s ，连接PC ，图2表示APC △的面积(y 单位：cm²)与运动时间(x 单位：)s 之间的关系图象，则图2中a 表示的数为．【答案】24【分析】先由函数的图象得6cm AB =，8cm BC =，当点P 到达点B 时面积为最大，最大面积为a 的值，从而可得出答案．解：由函数的图象可知：点P 从A B -的路程6cm ，从B C -的路程为8cm ，当点P 到达点B 时，面积为最大值，最大值为ABC 的面积．∴6cm AB =，8cm BC =，90B ∠=︒ ，()211682422ABC S AB BC cm ∴=⋅=⨯⨯= ，24a ∴=．故答案为：24．【点拨】此题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是理解题意，读懂函数的图象，准确的从函数的图象中提取解决问题的性质【变式2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】先根据点H 的运动，得出当点H 在不同边上时HAF △的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．解：当点H 在AB 上时，如图所示，(cm)AH xt =，()214cm 2HAF S AF AH xt =⨯⨯= ，此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H 在BC 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP AB =，∴12HAF S AF AB =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在CD 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，C ，D ，P 三点共线，12HAF S AF HP =⨯⨯ ，点H 从点C 点D 运动，HP 逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H 在DE 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP EF =，12HAF S AF EF =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在EF 时，如图所示，12HAF S AF HF =⨯⨯ ，点H 从点E 向点F 运动，HF 逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得05t ≤≤时，点H 在AB 上，∴2x =，2510(cm)AB ⨯==，∴动点H 的速度是2cm /s ，故①正确，58t ≤≤时，点H 在BC 上，此时三角形面积不变，∴动点H 由点B 运动到点C 共用时()853s -=，∴236(cm)BC ⨯==，故②错误，12t b ≤≤，点H 在DE 上，862(cm)DE AF BC =-=-=，∴动点H 由点D 运动到点E 共用时()221s ÷=，∴12113b =+=，故③错误．当HAF △的面积是230cm 时，点H 在AB 上或CD 上，点H 在AB 上时，()24830cm AAF S xt t === ，解得 3.75(s)t =，点H 在CD 上时，()211830cm 22HAF S AF HP HP =⨯⨯=⨯⨯= ，解得7.5(cm)HP =，∴107.5 2.5(cm)CH AB HP =-=-=，∴从点C 运动到点H 共用时2.52 1.25(s)=÷，由点A 到点C 共用时8s ，∴此时共用时8 1.259.25(s)+=，故④错误．故选：A ．【点拨】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．【考点三】一次函数定义➼➻正比例函数、一次函数的定义【例3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数()211y m x m =-+-．（1）当m 为何值时，y 是x 的一次函数？（2）当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？【答案】(1)1m ≠；(2)1m =-【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；（2）利用正比例函数定义进行解答．（1）解：由题意得：10m -≠，解得：1m ≠；（2）解：由题意得：210m -=且10m -≠，解得：1m =-．【点拨】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如(y kx k =是常数，且0)k ≠的函数叫做正比例函数；形如(y kx b k b =+、是常数，且0)k ≠的函数叫做一次例函数．【举一反三】【变式1】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点(),P a b 在直线21y x =+上，则代数式142a b -+的值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．0【答案】A【分析】把点(),P a b 代入21y x =+，得出21a b -=-，将其代入142a b -+进行计算即可．解：把点(),P a b 代入21y x =+得21b a =+，整理得：21a b -=-，∴()()1421221213a b a b -+=--=-⨯-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．【变式2】（2023春·河北承德·八年级统考期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据：摄氏温度值/x ℃010********华氏温度值/y F32506886104122（1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？（填“是”或“否”）（2）请你根据数据推算0F 时的摄氏温度为C【答案】是1609-【分析】（1）根据表格中的数据，判断y 与x 的函数关系是一次函数即可；（2）设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，最后代入求解即可．（1）由表格可知，x 每增加10，y 就增加18，则两种温标计量值的对应关系是一次函数，故答案为：是（2）设华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为y kx b =+，由表中的数据，得321050b k b =⎧⎨+=⎩，解得 1.832k b =⎧⎨=⎩，1.832y x ∴=+，∴华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为 1.832y x =+，当0y =时，0 1.832x =+，解得1609x =-，∴当华氏温度为0F 时，摄氏温度是1609-C ，故答案为：1609-【点拨】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键．【考点四】一次函数➼➻一次函数的图像与位置【例4】（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m ，n 为常数，且0mn ≠）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．【举一反三】【变式1】（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y kx =-与y x k =+的图象大致应为（）A.B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图象分别确定k 的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．解：根据图象知：A 、0k <，则0k ->，正比例函数的图象不对，不符合题意；B 、0k >，则0k -<．图象正确，符合题意；C 、当0k >，y x k =+过一、二、三象限，不符合题意；D 、正比例函数的图象不对，不符合题意；故选：B ．【点拨】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当0k >，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b=+的图象经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：一次函数()35y m x m =-+-．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m 的值；（2）当一次函数的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）当一次函数的图象不经过第一象限时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5m =；(2)5m >；(3)35m <≤【分析】（1）把()0,0代入()35y m x m =-+-可得50m -=，再解方程并检验即可；（2）由一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨->⎩求解即可；（3）由一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨-≤⎩求解即可．（1）解：∵一次函数()35y m x m =-+-的图象过原点，∴50m -=，解得：5m =，经检验符合题意；（2）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，∴3050m m -<⎧⎨->⎩，解得：5m >；（3）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，∴3050m m -<⎧⎨-≤⎩，解得：35m <≤．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象所经过的象限是解本题的关键．【考点五】一次函数图象➼➻一次函数的增减性【例5】（2021春·广东江门·八年级校考期中）已知正比例函数y kx =的图象经过点()4,8-．（1）求这个函数解析式；（2）判断点()2,5A -是否在这个函数图象上；（3）图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，比较1y ，2y 的大小．【答案】(1)2y x =-；（2）点()2,5A -不在这个函数图象上；(3)12y y >【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）将点A 横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A 是否在这个函数图象上；（3）根据正比例函数的增减性，即可比较1y ，2y 的大小．（1）解：将点()4,8-代入y kx =，得48k =-，解得2k =-，∴这个函数解析式为2y x =-；（2）解：当2x =-时，()()2245y =-⨯-=≠，∴点()2,5A -不在这个函数图象上；（3）解：∵20k =-<，∴y 随着x 增大而减小，∵图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，∴12y y >．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）已知点()14,y -，()22,y ，()32,y -都在直线2y x b =-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】B 【分析】根据比例系数，20k =>，根据一次函数的性质y 随x 的增大而增大即可判断．解：根据2y x b =-，20k ∴=>，y 随x 的增大而增大，由于1(4,)y -，2(2,)y ，3(2,)y -都在直线2y x b =-上，422-<-< ，231y y y ∴>>，故选：B ．【点拨】本题考查一次函数的增减性与k 的正负有关，进而判断即可．【考点六】一次函数➼➻待定系数法求一次函数的解析式【例6】（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)．（1）求出y 与x 的函数解析式；（2）设点(2,)a 在这个函数的图象上，求a 的值．【答案】(1)3y x =-+；(2)1a =【分析】（1）设一次函数解析式为(0)y kxb k =+≠，根据一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)得230k b k b +=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）将点(2,)a 代入函数解析式中即可得．（1）解：设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，∵一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)∴230k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数解析式为：3y x =-+；（2）解：∵点(2,)a 在函数3y x =-+的图象上，∴231a =-+=．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．【举一反三】【变式1】（2023春·新疆阿克苏·八年级校考阶段练习）设一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），图象过()()2,7,0,3A B ．（1）求该一次函数的解析式；（2）判断点()1,2P -是否在该一次函数图象上．【答案】(1)23y x =+；(2)不在【分析】（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+，利用待定系数法求解即可；（2）把=1x -代入解析式，求得1y =，即可判断．（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+得：273k b b +=⎧⎨=⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为23y x =+；（2）当=1x -时，231y =-+=，∴点()1,2P -不在该一次函数图象上．【点拨】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）已知y 是x 的一次函数，且当0x =时，3y =；当2x =时，1y =-．（1）求一次函数的解析式，（2）若3y <-，求自变量x 的取值范围．【答案】(1)23y x =-+；(2)3x >【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）根据3y <-即可列出不等式即可求解．（1）解：设()0y kx b k =+≠，根据题意得：312b k b =⎧⎨-=+⎩，解得：23k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是：23y x =-+；（2）解：3y <- ，233x ∴-+<-，解得：3x >，∴自变量x 的取值范围：3x >．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式和解一元一次不等式，正确解方程组求得k 和b 的值是解题的关键．【考点七】一次函数➼➻一次函数的平移【例7】（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）已知一次函数的图象过点()3,5与()4,9--．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若将这个一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x 轴的交点坐标．【答案】(1)一次函数解析式为21y x =-；(2)平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-【分析】（1）设出一次函数的解析式是y kx b =+，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k 、b 的值即可得解；（2）根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令0y =，即可求得x 的值，从而得到图象与x 轴的交点坐标．（1）解：设一次函数的解析式是y kx b =+，将点()3,5与()4,9--的坐标代入得：3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为21y x =-；（2）将21y x =-沿y 轴向上平移3个单位，所得直线的解析式为22y x =+，令0y =得；220x +=，所以=1x -．∴平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-．【点拨】本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求出一次函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线()40y kx k =+≠向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k 的值为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．1【答案】C【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，计算求解即可．解：由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，解得2k =，故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点()0,2P ，则这个一次函数的解析式为．【答案】22y x =+【分析】根据互相平行的两直线解析式的k 值相等，得到一次函数的解析式为2y x b =+，再把点()0,2P 代入解析式求解即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行，∴2k =，∴一次函数为2y x b =+，∵一次函数过点()0,2P ，∴20b =+，∴2b =，∴一次函数的解析式为：22y x =+，故答案为：22y x =+．【点拨】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟知：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．【考点八】一次函数➼➻一次函数图象与直线交点坐标【例8】（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，直线26y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线112y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，两直线交于点E．（1）求出A ，E 两点的坐标；（2）求四边形AODE 的面积．【答案】(1）点A 坐标为()3,0-，点E 坐标为()2,2-；(2)4【分析】（1）对于26y x =+，当0y =时求出x ，即可得到点A 的坐标，联立两个函数的解析式，求出方程组的解即可得出点E 的坐标；（2）先求出点D 、C 的坐标，再利用面积的和差解答即可．（1）对于26y x =+，当0y =时，260x +=，解得3x =-，∴点A 坐标为()3,0-，联立26112y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，∴点E 坐标为()2,2-；（2）对于112y x =-+，当0y =时，1102x -+=，解得2x =，∴点C 坐标为()2,0，∴235AC =+=，当0x =时，1y =，∴点D 坐标为()0,1，∴1OD =，∴115221422AEC ODC AODE S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 四边形．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两个函数的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．【举一反三】【变式】（2023春·江西新余·八年级统考期末）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =；④当3x <时，12y y <中．则正确的序号有（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当3x <时，一次函数1y kx b =+在直线2y x a =+的上方，则可对④进行判断．解：∵一次函数1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴00k b <>，，所以①正确；∵直线2y x a =+的图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴a<0，所以②错误；∵一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象的交点的横坐标为3，∴3x =时，kx b x a +=+，整理得kx x a b -=-，则关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =，所以③正确；当3x <时，1y kx b =+图像在2y x a =+图像的上方，∴12y y >，所以④错误．故选：B ．【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．【考点九】一次函数➼➻一次函数图象与二元一次不等式组【例9】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象．（1）方程0kx b +=的解为______，不等式4kx b +<的解集为______；（2）若正比例函数y mx =（m 为常数，且0m ≠）与一次函数y kx b =+相交于点P （如图2），则不等式组00mx kx b >⎧⎨+>⎩的解集为______；（3）比较mx 与+kx b 的大小（根据图象直接写出结果）．【答案】(1)2x =，0x >；(2)02x <<；(3)当1x <时，mx kx b <+；当1x =时，mx kx b =+；当1x >时，mx kx b >+【分析】（1）根据点A 的坐标即可方程0kx b +=的解，再根据点B 的坐标即可得不等式4kx b +<的解集；（2）根据函数图象分别求出不等式0mx >和不等式0kx b +>的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；（3）根据点P 的横坐标，分1x <、1x =、1x >三种情况，结合函数图象即可．（1）解：由函数图象可知，方程0kx b +=的解为2x =，不等式4kx b +<的解集为0x >，故答案为：2x =，0x >；（2）解：由函数图象可知，不等式0mx >的解集为0x >，不等式0kx b +>的解集为2x <，则这个不等式组的解集为02x <<，故答案为：02x <<；（3）解：由函数图像可知，当1x <时，mx kx b <+，当1x =时，mx kx b =+，当1x >时，mx kx b >+．【点拨】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b=+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【变式2】（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，直线11l y kx =+：与x 轴交于点D ，直线2l y x b =-+：与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，直线1l 与2l 交于点()2,C m ．（1）求的值；（2）求ADC 的面积；【答案】(1)12k =；(2)6【分析】（1）将点()1,5B -，代入直线2l ：y x b =-+得出4b =，进而得出直线2l ：4y x =-+，然后得出()2,2C ，代入1y kx =+，即可求解；（2）先求得A ，D 的坐标，进而根据三角形面积公式，即可求解．（1）解： 直线2l ：y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，51b ∴=+，4b ∴=，∴直线2l ：4y x =-+，直线2l ：4y x =-+经过点()2,C m ，242m ∴=-+=，()2,2C ∴，把()2,2C 代入1y kx =+，得12k =．∴12k =，4b =，2m =；（2）对于直线1l ：y =121x +，令0y =，得到2x =-，()2,0D ∴-，2OD ∴=，。
