冲激函数取样性质的证明

《信号与系统》（⼀）信号与系统西安电⼦科技⼤学⼀、信号与系统概述信号的基本概念和分类1.信号的分类：确定与随机，连续与离散确定信号：可⽤确定时间函数表⽰的信号随机信号：信号不能⽤确切的函数描述，只可能知道它的统计特性⽐如概率连续时间信号：连续时间范围有定义的信号离散时间信号：仅在⼀些离散的瞬间才有定义的信号2.信号的分类：周期与⾮周期周期信号：每隔⼀定时间T 或整数N ，按相同规律重复变化的信号3.信号的分类：能量与功率信号，因果与反因果E =∫∞−∞|f (t )|2 d t ，P def =lim T →∞1T ∫T 2−T 2|f (t )|2 d t 能量有限信号：信号的能量E <∞,P =0功率有限信号：信号的功率P <∞,E =∞因果信号：t <0,f (t )=0的信号【即t =0时接⼊系统的信号,⽐如阶跃信号】反因果信号：Y >=0,f (t )=0的信号基本信号1.阶跃函数ε(t )=lim n →∞γn (t )=0,t <01,t >0积分∫f −∞ε(τ)d τ=t ε(t )2.冲激函数单位冲激函数：是奇异函数，它是对强度极⼤，作⽤时间极短的物理量的理想化模型δ(t )=0,t ≠0∫∞−∞δ(t )dt =1冲激函数与阶跃函数的关系：δ(t )=d ε(t )d t ε(t )=∫t −∞δ(τ)d τ3.冲激函数的取样性质 ：f (t )δ(t −a )=f (a )δ(t −a )∫∞−∞f (t )δ(t −a )d t =f (a )4.冲激函数的导数{{冲激偶δ′(t )的定义：∫∞−∞f (t )δ′(t )d t =−f ′(0)δn (t ) ：∫∞−∞f (t )δ(n )(t )d t =(−1)n f (n )(0)5.冲激函数的尺度变化δ(at )的定义 δn (at )=1|a |1a n δn (t )推⼴结论：(1) δat −t 0=δa t −t 0a =1|a |δt −t 0a(2) 当 a =−1 时 δ(n )(−t )=(−1)n δ(n )(t )δ(−t )=δ(t ) 为偶函数δ′(−t )=−δ′(t ) 为奇函数信号的运算1.单位脉冲序列与单位阶跃序列单位脉冲序列 δ(k )δ(k )=1k =00,k ≠0单位阶跃序列 ε(k )ε(k )=1,k ≥00,k <0关系：δ(k )=ε(k )−ε(k −1)ε(k )=∑k i =−∞δ(i )或 ε(k )=∑∞j =0δ(k −j )=δ(k )+δ(k −1)+…2.信号的加减乘运算：同⼀时刻两信号之值对应加减乘3.信号的反转：f (t )→f (−t ) 称为对信号的反转或反折。

单位冲激函数（图）上一回说到，单个矩形脉冲的时域波形如下图：图1 单个矩形脉冲信号根据傅里叶变换可求出其频谱函数（1）频谱函数的图像（频域分布曲线）如下图：图2 单个矩形脉冲的频谱函数一、特殊的单个矩形脉冲信号如果我们令单个矩形脉冲信号的脉幅在数值上取（2）则无论脉宽τ怎样变化，函数图象下面的面积恒等于1，即（3）如下图所示：图3 特殊的单个矩形脉冲这个特殊的单个矩形脉冲信号的数学表达式为（4）因而其傅立叶变换由式（1）得（5）这是一种最大幅值为1的抽样函数，其频域曲线如下图图4 特殊的单个矩形脉冲的频谱二、单位冲激函数的定义对图3和式（4）表示的特殊的单个矩形脉冲，如果我们令脉宽τ趋于0，取极限，则单个矩形脉冲变成在t＝0处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号（或广义函数）。

科学界把这个广义函数叫做单位冲激函数或狄拉克（Dirac）函数。

记为（6）单位冲激函数的图象如下图所示图5 单位冲激函数的图象单位冲激函数是一种广义函数，它的幅值为无穷大，图象只能用带箭头的射线表示。

但通常不标出其幅值∞，而是只用括号标出其冲激强度（S），即面积。

由式（3）和（6）可知其面积（冲激强度）为1，所以称之为“单位”冲激函数。

此外，单位冲激函数的自变量不仅仅限于时间t，可以是任何物理量x。

实际上还常用延迟的单位冲激函数，数学表达式如下：（7）其图象为图6 延迟的单位冲激函数的图象三、单位冲激函数的性质根据单位冲激函数的定义，它具有下列最基本的性质：1、广义积分归一性：（8）2、筛分性质：单位冲激函数与任意函数乘积，等于只筛选出t=t0时刻f（t）的值作为冲激强度。

（9）3、抽样性质：（10）更一般地，有（11）即通过与δ函数（或延时的δ函数）乘积的积分，把任意的连续函数f（t）抽样为t＝t0处的一个函数值。

4、微积分性质：δ函数的累计积分等于单位阶跃函数ε（t）。

（12）反过来单位阶跃函数的微商等于单位冲激函数：（13）其中单位阶跃函数为（14）其图象为图7 单位阶跃函数的图象四、单位冲激函数的频谱由单位冲激函数的定义和抽样性质，其频谱密度函数（傅里叶变换）为：（15）频谱如下图：图8 单位冲激函数的频谱实际上，由式（5）和图5可以看出，当特殊的单个矩形脉冲信号的持续时间τ趋于无穷小时，频谱图5中的零点趋于无穷远处，即（16）则很容易看出图5的频谱曲线就转化成图8的水平线。

单位冲激函数性质
冲激函数的性质有：1、筛选性质。

2、取样性质。

3、导数性质。

4、尺度变换性质。

冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大、作用时间极短暂且积分有限的一类理想化数学
模型。

冲激函数可用于对连续信号进行线性表达，也可用于求解线性非时变系统的零状态
响应。

冲激函数求导可得到冲激偶函数，单位冲激偶是这样的一种函数：当 t从负值趋于0时，它是一个强度为无限大的正的冲激函数，当t从正值趋于0时，它是一个强度为无限
大的负的冲激函数。

应用领域：
冲激函数可用于信号处理，通过冲激函数来表示复杂的信号，可以简化对复杂信号的
一些特性的研究。

冲激函数及其延时冲激函数的线性组合去则表示或迫近，再利用系统的vary原理，
可以通过直观的信号例如单位冲激函数的频谱，以及频域特性去探讨比较复杂信号的频谱。

从而增加排序繁杂信号频谱的难度。

冲激函数抽样性质证明冲激函数（impulse function）是一种特殊的函数，通常用符号δ(t)表示。

它在t = 0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零。

冲激函数在信号和系统理论中有着重要的应用，特别是在连续时间信号中的抽样过程中。

冲激函数的抽样性质可以通过对其进行合理的数学表示和推导来进行证明。

下面我们将介绍一种常见的方法，拉普拉斯变换证明冲激函数的抽样性质。

首先，我们定义一个信号x(t)和它的拉普拉斯变换X(s)：x(t) = ∫[0,∞) X(s) e^(st) ds假设x(t)是一个冲击响应函数，即x(t)在t=0时取值为无穷大，其他时刻取值为零。

那么我们可以将x(t)表示为冲激函数δ(t)的线性组合：x(t)=a*δ(t)其中，a是一个常数。

我们希望证明这个冲激函数的抽样性质。

现在我们将x(t)的拉普拉斯变换带入到等式中：X(s) = ∫[0,∞) (a * δ(t)) e^(st) dt由于δ(t)在t=0时的值为无穷大，其他时刻的值都为零，所以上式可以简化为：X(s) = a * ∫[0,∞) δ(t) e^(st) dt为了进一步简化计算，我们可以利用一个性质：对于任意的函数f(t)，有：∫[0,∞) f(t) δ(t) dt = f(0)将这个性质应用到上述等式中，我们可以得到：X(s)=a*e^(s*0)=a所以，我们得到了x(t)的拉普拉斯变换X(s)。

从这个等式可以看出，x(t)的拉普拉斯变换是一个常数，即与s无关。

根据拉普拉斯反变换的性质，我们知道a的拉普拉斯反变换是一个冲激函数δ(t)的线性组合，即：a = ∫[-∞,∞) X(s) e^(-st) ds将X(s)代入到上式中，我们可以得到：a = ∫[-∞,∞) a e^(-st) ds进行积分运算，可以得到：a = a * ∫[-∞,∞) e^(-st) ds积分运算得到的结果是一个常数，所以可以在等式两侧消去共同的常数a：1 = ∫[-∞,∞) e^(-st) ds这个等式的左侧是一个常数，不依赖于t。

冲激函数取样性质证明冲激函数是一种特殊的函数，也称为单位脉冲函数或Dirac函数。

它在数学分析和信号处理中有着重要的应用。

冲激函数取样性质是指冲激函数作为取样信号时，保持原信号的性质。

在这篇文章中，我将详细阐述冲激函数取样性质的证明。

首先，我们需要明确冲激函数的定义。

冲激函数通常用符号δ(t)表示，它满足以下条件：1.δ(t)在t=0时的取值为无穷大，其他时间点的取值为零：δ(0)=∞，δ(t)=0,t≠0。

2. δ(t)的面积等于1：∫δ(t)dt=1我们可以将冲激函数定义为一个函数序列的极限形式，即：δ(t) = lim(n→∞) gn(t)其中gn(t)是一系列脉冲函数。

例如，gn(t)可以是一个高度为n，宽度为1/n的矩形函数，使得gn(t)在0附近的面积为1，其他位置的面积为零。

假设我们有一个信号x(t)，我们用冲激函数对其进行取样。

取样信号可以表示为s(t)=x(t)δ(t-T)，其中T是取样时刻。

我们的目标是证明冲激函数取样信号的性质与原信号相同。

首先，我们可以推导冲激函数取样信号的时域表达式。

由于δ(t)在t=T时的取值为无穷大，假设在t=T时，x(T)的取值为X。

那么，我们可以得到：s(t)=x(t)δ(t-T)=x(t)δ(t-T)，t=T=x(T)δ(t-T)=Xδ(t-T)。

因此，冲激函数取样信号的时域表达式为s(t)=Xδ(t-T)。

这意味着取样信号在t=T时的取值为X，其他时间点的取值为零。

这与原信号在t=T时的取值相同，因此冲激函数取样信号在时域上保持了原信号的性质。

接下来，我们证明冲激函数取样信号的频域性质与原信号相同。

我们可以使用傅里叶变换来分析信号的频域特性。

假设原信号x(t)的傅里叶变换为X(ω)，即X(ω)=F{x(t)}，其中F表示傅里叶变换操作。

根据冲激函数的定义，我们可以得到取样信号的傅里叶变换为：S(ω)=F{s(t)}=F{Xδ(t-T)}。

我们可以利用傅里叶变换的性质，将傅里叶变换和冲激函数的性质结合起来。

绪论1.图像增强属于系统综合。

答案:对2.这门课程中研究的信号是确定性信号。

答案:对第一章1.ω0越大，离散时间序列sin（ω0n）的频率越高。

答案:错2.离散时间信号在n1≦n≦n2区间的平均功率为答案:错3.一切物理可实现的连续时间系统都是因果的。

答案:错4.对任意的线性系统，当输入为零时输出也一定为零。

答案:对5.已知信号x当n＜—2或n＞4时等于零，则x当（）时一定等于零。

答案:n＜-7和n＞-16.某系统的输入输出关系为y＝，则该系统是一个（）系统。

答案:因果不稳定7.离散时间信号的基波频率是（）。

答案:8.在信号与系统这门课程中，信号和系统的主要研究对象分别是（）。

答案:一维确定性信号，线性时不变系统9.关于单位冲激函数的取样性质，表达正确的是（）。

答案:10.下面关于和的表达式中，正确的有（）。

答案:;第二章1.由两个因果的LTI系统的级联构成的系统一定是因果系统。

答案:对2.一切连续时间线性系统都可以用它的单位脉冲响应来表征。

答案:错3.具有零附加条件的线性常系数微分方程所描述的系统是线性的。

答案:对4.两个单位冲激响应分别为，的LTI系统级联构成的系统，其总的单位冲激响应是。

答案:错5.若和，则。

答案:对6.线性时不变系统的单位脉冲响应为，该系统稳定的充要条件为（）。

答案:7.由离散时间差分方程所描述的系统为（）。

答案:FIR（有限长脉冲响应）系统8.LTI系统的单位脉冲响应为，输入为，求时系统的输出时，输入的加权系数是（）。

答案:9.信号通过单位冲激响应为的LTI系统，输出等于（）。

答案:10.离散时间LTI系统的单位脉冲响应，则该系统是。

答案:因果稳定系统第三章1.对一个信号进行尺度变换，其傅里叶级数系数及傅里叶级数表示均不会改变。

答案:错2.令是一个基波周期为T、傅里叶级数系数为的周期信号，则的傅里叶级数系数是：（）答案:3.令是一个基波周期为T、傅里叶级数系数为的实值周期信号，则下列说法正确的是：（）答案:若是偶信号，则它的傅里叶级数系数一定为实偶函数4.对于一个周期信号，如果一次谐波分量相移了，为了使合成后的波形只是原始信号的一个简单的时移，那么k次谐波应该相移。