专题一 第1讲

第1讲 函数图象与性质高考定位 1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅲ卷)函数y ＝1＋x ＋sin xx 2的部分图象大致为( )解析 法一 易知g (x )＝x ＋sin xx 2为奇函数，其图象关于原点对称.所以y ＝1＋x ＋sin xx 2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，选项D 满足.法二 当x ＝1时，f (1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A ，C.又当x →＋∞时，y →＋∞，B 项不满足，D 满足. 答案 D2.(2017·山东卷)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A.2B.4C.6D.8解析 由已知得a >0，∴a ＋1>1，∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2(a ＋1－1)， 解得a ＝14，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2(4－1)＝6.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2]B.[－1，1]C.[0，4]D.[1，3]解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝1，于是－1≤f (x －2)≤1等价于f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3. 答案 D4.(2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑mi =1x i ＝( )A.0B.mC.2mD.4m解析 ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称， ∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称. 当m 为偶数时，∑m i =1x i ＝2×m2＝m ；当m 为奇数时，∑mi =1x i ＝2×m －12＋1＝m .答案 B考 点 整 合1.函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，则f (x )＝f (－x ). ②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0.③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x ＋2a )＝f (x )(a >0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数.②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数.③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数.④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数. 易错提醒 错用集合运算符号致误：函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接. 2.函数的图象(1)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换. (2)在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究. (3)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，0)对称.热点一 函数及其表示【例1】 (1)(2017·邯郸调研)函数y ＝lg （1－x 2）2x 2－3x －2的定义域为( )A.(－∞，1]B.[－1，1]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 (2)(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A.－74B.－54C.－34D.－14解析 (1)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，2x 2－3x －2≠0，即⎩⎨⎧－1<x <1，x ≠2且x ≠－12.所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1<x <1，且x ≠－12. (2)若a ≤1，则f (a )＝2a －1－2＝－3，2a －1＝－1，无解； 若a >1，则f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＝7， 故f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝14－2＝－74. 答案 (1)C (2)A探究提高 1.(1)给出解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式(组)求解即可.(2)抽象函数：根据f (g (x ))中g (x )的范围与f (x )中x 的范围相同求解.2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则.【训练1】 (1)(2017·郑州二模)函数y ＝a －a x (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A.1B.2C.3D.4(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x ，x ≥0，2－x ，x <0(a ∈R )，若f (f (－1))＝1，则a ＝( )A.14B.12C.1D.2解析 (1)当x ＝1时，y ＝0，则函数在[0，1]上为减函数，故a >1.∴当x ＝0时，y ＝1，则a －1＝1，∴a ＝2.则log a 56＋log a 485＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.(2)∵f (－1)＝2－(－1)＝2，∴f [f (－1)]＝f (2)＝4a ＝1，解得a ＝14. 答案 (1)C (2)A热点二 函数的图象及应用 命题角度1 函数图象的识别【例2－1】 (2017·汉中模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x 的图象大致形状为( )解析 ∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x－1·sin x ， ∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x－1·sin(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x1＋e x －1sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1·sin x ＝f (x ). ∴函数f (x )为偶函数，故排除C ，D ，当x ＝2时，f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e 2－1·sin 2<0，故排除B ，只有A 符合. 答案 A命题角度2 函数图象的应用【例2－2】 (1)(2017·历城冲刺)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( ) A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 (1)画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，它们交于A ，B 两点.由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|<g (x )，故h (x )＝－g (x ).综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值. (2)设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)＜h (x 0)，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，可知g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞上单调递增，作出g (x )与h (x )的大致图象如图所示，故⎩⎪⎨⎪⎧h （0）＞g （0），h （－1）≤g （－1），即⎩⎨⎧a ＜1，－2a ≤－3e ，所以32e ≤a <1. 答案 (1)C (2)D探究提高 1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究. 【训练2】 (1)(2017·长沙二模)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3x |的图象是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，0]B.(－∞，1]C.[－2，1]D.[－2，0]解析 (1)当x ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 3x ＝1x .当0<x <1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3x |＝3log 3x ＝x .∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|log 3x |＝⎩⎨⎧1x ，x ≥1，x ，0<x <1.图象为选项A.(2)函数y＝|f(x)|的图象如图.y＝ax为过原点的一条直线，当a>0时，与y＝|f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意；当a＝0时成立；当a<0时，找与y＝|－x2＋2x|(x≤0)相切的情况，即y′＝2x－2，切点为(0，0)，此时a＝2×0－2＝－2，即有－2≤a<0，综上，a∈[－2，0].答案(1)A(2)D热点三函数的性质与应用【例3】(1)(2017·山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(2)(2017·天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x).若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析(1)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)，又f(x)在R上是偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(919)＝6.(2)法一易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数.又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，∴g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，则c>a>b.法二(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，又3>log25.1>20.8，从而可得c>a>b.答案 (1)6 (2)C探究提高 1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.2.函数单调性应用：可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.【训练3】 (1)(2017·淄博诊断)已知奇函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －a （x ≥0），g （x ）（x <0），则f (－2)的值等于________.(2)(2017·西安质检)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1，则( ) A.f (－3)<f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)<f (2) C.f (2)<f (－3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52D.f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (－3)解析 (1)因为函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，则30－a ＝0，∴a ＝1. ∴当x ≥0时，f (x )＝3x －1，则f (2)＝32－1＝8， 因此f (－2)＝－f (2)＝－8.(2)∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2. 当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x －1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0).当0≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0，所以f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x＋1在区间[0，1]上是增函数. ∴f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (2).答案 (1)－8 (2)D1.解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x >0，忽视ln x ≠0的限制.2.如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；若f (x )为偶函数，则f (|x |)＝f (x ).3.三种作函数图象的基本思想方法(1)通过函数图象变换利用已知函数图象作图；(2)对函数解析式进行恒等变换，转化为已知方程对应的曲线； (3)通过研究函数的性质，明确函数图象的位置和形状.4.函数是中学数学的核心，函数思想是重要的思想方法，利用函数思想研究方程(不等式)才能抓住问题的本质，对于给定的函数若不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，数形结合直观求解.一、选择题1.(2017·唐山一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x >1，则f (f (2))＝( )A.1B.4C.0D.5－e 2解析 由题意知，f (2)＝5－4＝1，f (1)＝e 0＝1， 所以f (f (2))＝1. 答案 A2.(2017·衡阳二模)已知函数g (x )的定义域为{x |x ≠0}，且g (x )≠0，设p ：函数f (x )＝g (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫11－2x －12是偶函数；q ：函数g (x )是奇函数，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析令h(x)＝11－2x－12(x≠0)易得h(x)＋h(－x)＝0，h(x)为奇函数，g(x)是奇函数，f(x)为偶函数；反过来也成立.因此p是q的充要条件.答案 C3.(2017·全国Ⅰ卷)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为()解析令f(x)＝sin 2x1－cos x，定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B不正确.又f⎝⎛⎭⎪⎫π2＝0，f(π)＝0，f⎝⎛⎭⎪⎫34π＝－11＋22<0.∴选项A，D不正确，只有选项C满足.答案 C4.已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b ＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b＜cB.a＜c＜bC.c＜a＜bD.c＜b＜a解析由f(x)＝2|x－m|－1是偶函数可知m＝0，所以f(x)＝2|x|－1.所以a＝f(log0.53)＝2|log0.53|－1＝2log23－1＝2，b＝f(log25)＝2|log25|－1＝2log25－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b . 答案 C5.(2016·天津卷改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增.若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析 ∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)>f (2)，∴2|a －1|<2＝212，∴|a －1|<12，即－12<a －1<12，即12<a <32. 答案 A 二、填空题6.(2017·成都诊断)函数f (x )＝2x －12＋3x ＋1的定义域为________.解析由题意得：⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x >－1.答案 {x |x >－1}7.(2017·郴州二模)已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，且f (log 124)＝－3，则a 的值为________.解析 ∵奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 124＝－3，而log 124＝－2<0，∴f (－2)＝－3，即f (2)＝3，又∵当x >0时，f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，又2>0， ∴f (2)＝a 2＝3，解之得a ＝ 3.答案 38.(2015·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________. 解析 易知f (x )在R 上为偶函数， 则由f (x )>f (2x －1)，得f (|x |)>f (|2x －1|)， 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2在[0，＋∞)上是增函数，从而|x |>|2x －1|， 两边平方，得3x 2－4x ＋1<0，解之得13<x <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1三、解答题9.(2017·深圳中学调研)已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围. 解 (1)f (0)＝a －220＋1＝a －1. (2)∵f (x )的定义域为R ， ∴任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a －22x 1＋1－a ＋22x 2＋1＝2·（2x 1－2x 2）（1＋2x 1）（1＋2x 2）， ∵y ＝2x 在R 上单调递增且x 1<x 2，∴0<2x 1<2x 2，∴2x 1－2x 2<0，2x 1＋1>0，2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在R 上单调递增.(3)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即a －22－x ＋1＝－a ＋22x ＋1，解得a ＝1(或用f (0)＝0去解). ∴f (ax )<f (2)即为f (x )<f (2)， 又∵f (x )在R 上单调递增，∴x <2. ∴不等式的解集为(－∞，2).10.已知函数f (x )＝x 2－2ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a . (1)求函数f (x )的极值；(2)设函数k (x )＝f (x )－h (x )，若函数k (x )在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －2x ＝0，得x ＝1. 当x ∈(0，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 所以函数f (x )在x ＝1处取得极小值为1，无极大值. (2)k (x )＝f (x )－h (x )＝x －2ln x －a (x ＞0)， 所以k ′(x )＝1－2x ，令k ′(x )＞0，得x ＞2，所以k (x )在[1，2)上单调递减，在(2，3]上单调递增， 所以当x ＝2时，函数k (x )取得最小值k (2)＝2－2ln 2－a . 因为函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间[1，3]上恰有两个不同零点， 即有k (x )在[1，2)和(2，3]内各有一个零点，所以⎩⎨⎧k （1）≥0，k （2）<0，k （3）≥0，即有⎩⎨⎧1－a ≥0，2－2ln 2－a <0，3－2ln 3－a ≥0，解得2－2ln 2<a ≤3－2ln 3.所以实数a 的取值范围为(2－2ln 2，3－2ln 3]. 11.(2017·贵阳质检)已知函数f (x )＝ln(x ＋1)－ax1－x(a >0). (1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)若－1<x <1时，均有f (x )≤0成立，求正实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)， f ′(x )＝1x ＋1－1（1－x ）2＝x （x －3）（x －1）2（x ＋1），当－1<x<0或x>3时，f′(x)>0；当0<x<1或1<x<3，f′(x)<0.所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，0)和(3，＋∞)；单调递减区间为(0，1)和(1，3).(2)f′(x)＝x2－（a＋2）x＋1－a（x－1）2（x＋1），－1<x<1，当a>0时，令f′(x)＝0，得x1＝a＋2－a2＋8a2，x2＝a＋2＋a2＋8a2.若0<a<1，此时0<x1<1，对0<x<x1，有f′(x)>0，f(x)>f(0)＝0，不符合题意. 若a>1，此时－1<x1<0，对x1<x<0，有f′(x)<0，f(x)>f(0)＝0，不符合题意. 若a＝1，由(1)知，函数f(x)在x＝0处取得最大值0，符合题意，综上实数a的取值范围为{1}.。