2019中考数学试题分类汇编 考点36 相似三角形(含解析)

1. （2019年四川内江市）如图，将△ ABC 沿着过BC 的中点D 的直线折叠，使点 B 落在AC 边上的B i 处，称为第一次操作，折痕DE 到AC 的距离为h 仁还原纸片后，再将△ BDE沿着过BD 的中点D i 的直线折叠，使点 B 落在DE 边上的B 2处， 痕D i E i 到AC 的距离记为h 2；按上述方法不断操作下去……经过第 D n -i E n -i ,到AC 的距离记为h n .若h i = i ，则h n 的值为（h 4、h 5、……h n ,再对h n 进行计算变形即可.【解答】解：••• D 是BC 的中点，折痕 DE 到AC 的距离为 •••点B 到DE 的距离=h i = i ,•••D i 是BD 的中点，折痕 D i E i 到AC 的距离记为h 2, •••点 B 到 D i E i 的距离=h 2= i^h i = i+ ,22同理：h 3= h 2+—h i=i+ 1 + 丄,42 4h 4=h 3+ h i = i+-!-+—+—:: ::-:;.i+l +l +l + + 1 2 1 hn = i+_ —+ +__+••• + ------- = 2 — --------2 4 8211-1 2n_1故选：C .【点评】考查图形变化规律的问题，首先根据变化求出第一个、第二个、第三个……发 现规律得出一般性的结论.2. （20i9 年四川内江市）如图，在△ ABC 中，DE // BC , AD = 9, DB = 3, CE = 2,贝U AC 的 长为（）A . 6B . 7C . 8D . 9【分析】利用平行线分线段成比例定理得到二=「，利用比例性质求出AE ,然后计算 AE+EC 即可.【解答】解：• DE // BC ,称为第二次操作，折 n 次操作后得到折痕A . i+— 2n_1B . 1 + 2nC . 2 - 尹1【分析】根据相似三角形的性质，对应高的比对于相似比，得出 D . 2 -2nh 2 = -L ，依次得出h 3、 ::hiAD = AE 即9 = AEDB 丽’3~••• AE= 6,•. AC= AE+ EC= 6+2 = 8.故选：C.【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.3. （2019年广西玉林市）如图，AB // EF // DC , AD // BC, EF与AC交于点G,则是相似三角形共有（）A . 3对B . 5对C. 6对 D . 8对【分析】图中三角形有：△ AEG ,△ ADC , CFG , △ CBA，因为AB // EF // DC , AD // BC,所以△ AEGADC s CFGCBA，有 6 种组合【解答】解：图中三角形有：△ AEG,^ ADC , CFG , △ CBA ,T AB// EF // DC , AD // BC• △AEG s^ ADC s CFGCBA共有 6 个组合分别为：AEGADC , △ AEG s CFG , △ AEGCBA, △ ADC s CFG , △ ADC CBA , CFG CBA故选：C.【点评】本题主要考查相似三角形的判定.4. （2019年内蒙古赤峰市）如图，D、E分别是△ ABC边AB , AC上的点，/ ADE = /ACB , 若AD = 2 , AB= 6 , AC= 4,贝U AE 的长是（）A . 1B . 2 C. 3 D. 4【分析】证明△ ADE ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【解答】解：•••/ ADE = / ACB ,Z A=Z A,• △ ADEACB ,.AD AE 0n2 AE-- = ，即__= ,AC AB 4 6解得，AE = 3,故选：C.【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.5. （2019年海南省）如图，在Rt△ ABC中，/ C= 90°, AB= 5, BC = 4.点P是边AC上一动点，过点P作PQ // AB交BC于点Q, D为线段PQ的中点，当BD平分/ ABC时，PQ // AB ,• / ABD = Z BDQ ，又/ ABD = Z QBD , • / QBD = Z BDQ , -QB = QD , • QP =2QB , PQ / AB ,• △ CPQ s^ CAB ,CP^Q = PQ:=7T =7T 解得，CP ==,13AP = CA - CP = ,13故选：B .【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定 理是解题的关键.6. （2019年黑龙江省哈尔滨市）如图，在？ABCD 中，点E 在对角线AB 于点M , EN // AB ,交AD 于点N ,则下列式子一定正确的是（D【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质. 【解答】解：•••在？ABCD 中，EM // AD.易证四边形AMEN 为平行四边形15 13AC ,根据角平分线的定义、平行线的性质得到/C .13【分析】根据勾股定理求出BDQ ,得到QB = QD ，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可. 【解答】解：•••/ C = 90°, AB = 5, BC = 4,D .二13QBD = Z2QBBD 上，EM // AD ，交)Alt NE A ------- = ----- .-'i rir. Alt ANB =B .「’ MBC BEC . - r.riD .「厂BE EM)•••易证△ BEM s\ BAD S \ END、' =亠=-,A 项错误BM BN BE=—,B 项错误AD=丄_=二_, C 项错误ME BE=二_=上_, D 项正确ME ME故选：D .【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，本题关键是要懂得找相 似三角形，利用相似三角形的性质求解.7. （2019年黑龙江省鸡西市）如图，在平行四边形ABCD 中，/ BAC = 90°, AB = AC ,过点A 作边BC 的垂线AF 交DC 的延长线于点 E ,点F 是垂足，连接 BE 、DF , DF 交AC 于点O .则下列结论： ①四边形ABEC 是正方形；②CO : BE = 1: 3;③DE =「BC ; ④S 四边形OCEF = Ss OD ,正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4【分析】①先证明厶ABF ◎△ ECF ，得AB = EC ,再得四边形ABEC 为平行四边形，进而 由/BAC = 90。

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a那么ban f d b m e c a =++++++++ ．知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似．AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则∽＝＝＞AD 2=BD ·DC ，∽＝＝＞AB 2=BD ·BC ，∽＝＝＞AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形周长的比等于相似比．E BD DB C(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。

2019中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2019•重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．（2019•玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．：B．2：3 C．4：9 D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．3．（2019•重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．4．（2019•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．5．（2019•铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．6．（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．7．（2019•临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．8．（2019•广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：C．9．（2019•自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．10．（2019•崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．11．（2019•随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．12．（2019•哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=， =，∴==．故选：D．13．（2019•遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．14．（2019•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP•CM∵AC=AB∴2CB2=CP•CM所以③正确故选：A．15．（2019•贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．16．（2019•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP 和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠B AC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；故选：B．17．（2019•泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，故选：C．18．（2019•临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．19．（2019•恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．20．（2019•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2，∴若2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．21．（2019•永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD•AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD•AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．22．（2019•香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故选：C．23．（2019•荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S：S△ABG=（）△EFGA．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．24．（2019•达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=， =，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．25．（2019•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF•CF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=PC=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF•FC，故D正确，故选：D．26．（2019•临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求出CD即可．【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．27．（2019•长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．28．（2019•绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．二．填空题（共7小题）29．（2019•邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF ．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．（2019•北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．31．（2019•包头）如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．32．（2019•资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．（2019•泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．（2019•岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC•BC=AB•CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．35．（2019•吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= 100 m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．三．解答题（共15小题）36．（2019•张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB•OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．37．（2019•株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．（2019•大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE•CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE•CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM•PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．39．（2019•江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE 的长．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．（2019•上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．（2019•东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．（2019•南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠D GF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．（2019•滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD•AO．【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB•AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD•AO．44．（2019•十堰）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．45．（2019•杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD=•AB•DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵•AD•BD=•AB•DE，∴DE=．46．（2019•烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F 为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．47．（2019•陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．48．（2019•济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．49．（2019•聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．50．（2019•乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH 的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）。

（△S ABD ＝（ ） （（冲刺 2019 届中考：2019 年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦（含答案与解析）一．选择题1． 2019△?萧山区模拟）如图，已知在 ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与点 B ，点 C 重合），连结 AD ，点 E 、点 F 分别为 AB 、AC 上的点，且 EF ∥BC ，交 AD 于点 G ，连结 BG ，并延长BG 交 AC 于点 H ．已知＝2，①若 AD 为 BC 边上的中线， 的值为 ；②若 BH ⊥AC ，当 BC ＞2CD 时，＜2sin ∠DAC ．则（ ）A ．①正确；②不正确C ．①不正确；②正确B ．①正确；②正确D ．①不正确；②正确2． 2019 春△?北碚区校级月考）如图， ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：3D ．8：9 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或（△S BDF ；4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的 ，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）C ．（﹣4，﹣3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）D ．（3，2）或（﹣3，﹣2）5．（2019•平房区一模）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，射线 BF 交 AC 于点 G ，交 CD的延长线于点 E ，则下列等式正确的为（）A ．B ．C ． ＝D ． ＝6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，则 OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①②若 AF ＝；AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则 ＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）FA．①②B．①②④C．①②③D．①②③④8．（2019•杭州模拟）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为（）A．6B．8C．10D．12 9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DBC．AD•BC＝AC•CDB．AC•DB＝BC•ADD．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC，BD∥（CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题12．（2019△?沈阳模拟）如图，在ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是．13．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为．16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．20．（2019•简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为；22221第4个正方形的面积为．三．解答题21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE ，求BE的长．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，（垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．26．（2019宣州区一模）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．11/5727．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．12/5728．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．13/5729．（2019曹县一模）如图1，ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（△1）求证：ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG，交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，求的值．14/5730．（2019春江岸区校级月考）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，求证：＝．（△2）在ABC中，记tan B＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；②如图（3），m＝＝2AC，若CD＝3，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED，BC＝4△，直接写出BED的面积．15/5731．（2019春包河区校级月考）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．16/57（答案与解析一．选择题1．2019萧山区模拟）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知＝2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC．则（）A．①正确；②不正确C．①不正确；②正确B．①正确；②正确D．①不正确；②正确解：①过点B作BM∥AC，与AD的延长线相交于点M，∴∠C＝∠MBD，在△ACD和△MBD中，，∴△ACD≌△MBD（ASA），∴AD＝MD，∵EF∥BC，，∴∴，，∵BM∥AC，∴△MBG∽△AHG，∴∴，，17/57△S ABD ＝（ ） （故①正确；（2）过点 D 作 DN ⊥AC 于点 N ，则 DN ＝AD sin ∠DAC ，∵BH ⊥AC ，DN ⊥AC ，∴BH ∥DN ，∴，即 ，∵BC ＞2CD ，∴∴，．故②错误；故选：A ．2． 2019 春 北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：318 / 57D ．8：9△S ABC ， （解：∵AE ：EB ＝2：1，∴AE ：AB ＝2：3，∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，∵D 为 BC 的中点，∴BD ＝CD ，△S ABD∴ ＝∴＝ ，故选：D ． 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或解：①若∠AED 对应∠B 时，解得 AE ＝ ；＝ ，即＝ ，②当∠ADE 对应∠B 时，＝ ，即 ＝ ，解得 AE ＝2．故选：C ．4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的 ，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）19 / 57C．（﹣4，﹣3）D．（3，2）或（﹣3，﹣2）解：∵点A（7，5），B（4，3），先将线段AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点A，B平移后的对应点的坐标为A′（8，6），B（5，4），∵以原点O为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，∴则点A′的对应点C的坐标为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故选：B．5．（2019平房区一模）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD 的延长线于点E，则下列等式正确的为（）A．B．C．＝D．＝解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△ABG∽△CEG，∵△ABF∽△DEF，∴＝，故A错误；∵△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG，∴∴＝＝，＝，，故B正确；∵△AFG∽△CBG，∴＝，故C错误；∵△EFD∽△EBC，∴＝，故D错误；故选：B．20/57（△S BDF ；6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，则 OC 的长度是（ ）A ．1B ．2C ．D ．解：∵点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴于点 △B ．将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD ，∴C （2，1），则 OC 的长度＝．故选：C ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①；②若 AF ＝AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则 ＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．①②③④解：依题意可得 BC ∥AG ，∴△AFG ∽△BFC ，∴ ＝ ，又AB＝BC，∴＝．故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又BD＝AD，∴AG＝AD，在△AFG与△AFD中，∴△AFG≌△AFD（SAS），∵△ABC为等腰直角三角形，，，∴AC＝AB；∵△AFG≌△A FD，∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2＝∠ACB∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴∠2＝45°，∴∠CFD＝∠AFD＝90°，△S ABC ；△S ABF ，△S BDF ＝△S BDF ． ∴CD 是 B 、C 、F 、D 四点所在圆的直径，∵BG ⊥CD ，∴＝ ，∴DF ＝DB ，故③正确；∵∴＝ ，∵AG ＝BD ， ＝ ，＝ ，∴ ＝ ，AF ＝ AC ，△S ABF ∴ ＝△S BDF ∴ ＝△S ABC △S ABC ∴，即 ＝12故结论④错误．故选：B ．8．（2019 杭州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长，分别交对角线 BD 于点 F ，交 BC 边延长线于点 E ．若 FG ＝2，则 AE 的长度为（）A ．6解：∵AB ∥DG ，∴△ABF ∽△GDF ．∴＝2．B ．8C ．10D ．1223/57F，∴AG＝6．在△ADG和△ECG中，∴△ADG≌△ECG（AAS）．∴AG＝EG．∴AE＝2AG＝12．故选：D．9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，∴＝＝．故选：C．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•ADC．AD•BC＝AC•CD解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB，故A、D选项正确；∵△ACD∽△CBD，∴＝＝，∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误；AD•BC＝AC•CD，故C选项正确；故选：B．D．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为A B、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE 交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：如图，设AB交CD于点O．∵DG∥BC，∴△DOG∽△COB，∴＝，∵BD∥AC，∴△DOB∽△COA，∴＝，∵BD∥AC，DE∥BC，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝EC，∵GE∥BC，∴∴＝＝，，故选：D．二．填空题（共9小题）12．（2019沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是6．解：∵点H是AC的中点，∴AC＝2AH∵FG＝FD，EF⊥AD，∴EF为DG的中垂线∴GE＝DE∴∠EDG＝∠EGD∴∠AGH＝∠ADB∵AD平分∠BAC（∴∠BAD＝∠CAD，且∠AGH＝∠ADB∴△AGH∽△ADB∴∴＝＝＝，且AB：AC＝5：4，∴AD＝AG＝20∴DG＝AD﹣AG＝12，∴DF＝DG＝×12＝6故答案为：613．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴．故答案为：．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．△S DEC＝24﹣18＝6 △S ABC ＝ ＝3解：∵ ＝ BC ×BE ＝18，四边形 EBCD 的面积为 24，△S BEC ∴∵△EBC 与△DAC 是等腰直角三角形∴BE ＝BC ＝6，AC ＝DA ，∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠ECB ＝45°＝∠DCA ，∴EC ＝∵BC ，DC ＝ AC ，∠BCA ＝∠DCE ，，且∠BCA ＝∠DCE ，∴△ABC ∽△DEC∴∠DEC ＝∠ABC ，∴∵DE ∥BC∴∠DEC ＝∠ECB ＝45°∴∠ABC ＝45°如图，过点 A 作 AM ⊥BC 于 M∵ ＝ ×BC ×AM ＝3△S ABC∴AM ＝1∵∠ABC ＝45°，AM ⊥BC∴BM＝AM＝1，∴AB＝故答案为：15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为49：81．解：∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FDE＝∠FBA，∠FED＝∠FAB，＝，∴△DFE∽△BFA，∴＝（）2＝，故答案为：49：81．μ16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为2+．解：过D点作DF∥AB，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AF＝DF，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∴∠FDE＝∠2＝∠B ∴CD＝CF，∴BD＝AF，∵AD＝AF，∴∠3＝∠E，∴∠E＝∠1，在△ABD和EFD中，，△ABD≌△EFD（AAS）∴EF＝AB＝6，∵CE＝2，∴CF＝4，∵DF∥AB，∴△ABC∽FDC∴，∴，解得，（舍去）故答案为：2+．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是①②③解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∠BAC＝45°，同理，＝，∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，②正确；∵∠BEA＝∠CDA，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APM＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAM＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴＝，∴AC2＝CP•CM，∵AC2＝2CB2，∴2CB2＝CP•CM，③正确，故答案为：①②③．18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC 上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP+∠BPE＝90°∵E为AB的中点，∴BE＝3∵PQ⊥EP∴∠BPE+∠CPQ＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°∴△BEP∽△CPQ∴∴CQ＝∴CQ的最大值为＝∴点Q路程＝2×＝∴点Q运动的平均速度＝÷（8÷1）＝故答案为：19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．△S DFA＝△S BAF＝△S AFD＝+＝解：▱ABCD中，BE∥AD，∴△BFE∽△DFA而△BEF的面积是1，∴又∵△BFE∽△DFA∴利用＝，即可知△S ABD△S BAF△S DFA而＝+∴∴▱ABCD的面积＝×2＝故答案为．20．（2019简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为5；22221第4个正方形的面积为（）3×5．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．在△R t AOD中，AD＝∴正方形ABCD的面积为：（＝，）2＝5；∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA＝90°＝∠DOA，1∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA＝90°，1∴∠ADO＝∠BAA，1∵∠DOA＝∠ABA，1∴△DOA∽△ABA，1∴＝，即＝，解得：A B＝1，∴A C＝A B+BC＝11，∴正方形A B C C的面积为：（111）2＝；∵第1个正方形ABCD的面积为：5；第2个正方形A B C C的面积为：＝×5；111同理可得：第3个正方形A B C C的面积为：××5＝（）2×5；2221∴第4个正方形A B C C的面积为：（）3×5．3332故答案为：5，（）3×5．三．解答题（共11小题）21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∴＝，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE，求BE的长．（1）证明：∵AH⊥CG，EG⊥CG，AD⊥CE，∴∠AHD＝∠G＝∠AFC＝90°，∴∠A+∠ADC＝∠C+∠CDF＝90°，∴∠A＝∠C，∴△ADH∽△CEG，∴；（2）解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝2＝＝，∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM∴BE＝＝x，∵AF⊥EC，AM⊥CD∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，∴＝＝＝2，∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，∵AM＝2HC，AM＝2BM∴HC＝BM∴HC﹣HM＝BM﹣HM∴BH＝MC＝x∴DC＝DM+MC＝5x∴＝＝，故答案为：；（3）解：如图3，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝，∴∠B＝30°，∵∠BCF＝∠B＝30°，∴BF＝FC，且FH⊥BC，BC＝4，∴BH＝HC＝2，且∠B＝30°，FH⊥BC∴FH＝2，BF＝FC＝4，∵CD＝3∴BD＝7，BC＝4，，又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD，∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，∵∠BCA＝∠BDE+∠CMD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF，∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEM＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE，∴∠ACF＝∠AEM，且∠G＝∠AFC＝60°∴△GED∽△FCA（∴＝＝，且DE＝2AC，∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，∴AF＝，∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在△R t ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE＝＝，，∵AB＝2∴AE＝6，∴BE＝＝2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在△R t ABG和△R t BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH＝PD＝a．QH＝BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠PAC，∴△ACP∽△QCH，∴＝，即＝，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ＝＝a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴＝，即＝，解得，FC＝a，∴QF＝QC﹣FC＝a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴＝＝．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（△1）得ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．．∴BE＝∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为90°．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．解：（△1）在DEB和△AEC中，，∴△DEB≌△AEC（SAS）．∴∠EDB＝∠EAC．∵∠EFA+∠EAF＝90°，∠EFA＝∠DFG，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠AGB＝90°．故答案为90°；（2）①∵四边形AECD是平行四边形，∴∠AED＝∠EDC＝90°，AE＝AD．∵△ADE是等腰三角形，∴AE＝ED．∴ED＝EC，∠CED＝45°．∴∠BED＝90°+45°＝135°．∵∠AED＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．又EB＝EB，ED＝EA，∴△BAE≌△BDE（SAS），∴DB＝AB；∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BED＝∠CEA．∵EB＝EC，EA＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝CA，∴AC＝AB．②∵△BAE≌△BDE，∴△CAE≌△BAE．∴∠BAE＝∠CAE＝∠BDE．∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠BAE＝90°．∵∠GFD＝∠AFE，∠EDB＝∠EAB，∴∠EDB+∠GFD＝90°，即∠CGD＝90°．∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD∽△AEF，∴，∴AF•CG＝CD•AE＝4．故答案为90°．26．（2019△?宣州区一模）将ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．解：（△1）①∵ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∵∠EAC＝α＝60°．∴△AEC为等边三角形，∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴AB∥EC；②∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠ADE＝∠FDC，∴△ADE∽△FDC，∴＝，∴＝，又∵∠ADF＝∠EDC，∴△DAF∽△DEC；（△2）①∵ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠AGE＝∠FGC，∴△AGE∽△F G C；②∵△AGE∽△FGC，∴∴＝＝，，又∵∠AGF＝∠EGC，△AGF∽△EGC；综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；27．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为1；②∠AMB的度数为36°；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，∴∠COA＝∠DOB，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，故答案为：1；②设AO与BD交于点E，由①知，△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB+∠DBO＝∠DEO，∠AMB+∠CAO＝∠DEO，∴∠AOB＝∠AMB＝36°，故答案为：36°；（△2）在OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴tan30°＝＝＝，∵∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，即∠DOB＝∠COA，∴△DOB∽△COA，∴＝＝，∠DBO＝∠CAO，∵∠DBO+∠OEB＝90°，∠OEB＝∠MEA，∴∠CAO+∠MEA＝90°，∴∠AMB＝90°，∴＝，∠AMB＝90°；（3）①如图3﹣1，当点M在直线OB左侧时，在△R t OCD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，在△R t OAB中，∠OAB＝30°，OB＝∴AB＝2，，由（2）知，∠AMB＝90°，且＝，∴设BD＝x，则AC＝AM＝在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，x，∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，解得，x＝3，x＝﹣4（舍去），12∴AC＝AM＝3；②如图3﹣2，当点M在直线OB右侧时，在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，∴（x）2+（x﹣2）2＝（2）2，解得，x＝4，x＝﹣3（舍去），12∴AC＝AM＝4，综上所述，AC的长为3或4．28．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．（△1）证明：∵PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴CD＝PC，BC＝CE，∴∴＝＝＝，＝＝，（2）解：如图1中，作PH⊥BD于H，∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠BCE＝45°，∠PBC＝∠PDC＝45°，∴B、C、P、D四点共圆，∴∠DBP＝∠PCD＝45°，∴∠CBD＝∠DBP+∠PBC＝45°+45°＝△90°，PBH是等腰直角三角形，∵∠BCE＝∠DCP＝45°，∴∠BCD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠CBD＝90°，∴△CBD∽△CEP，∴＝＝，∵PE＝n，∴BD＝∵tan A＝∴BC＝4n，＝，AC＝6，，∴EC＝BE＝4，∴PB＝4+n，PH＝BH＝（4+n），。

相似三角形（2019，北京）如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于（ ）D (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

（2019，宁德）图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．（2019，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为 米. 9.6(2019,珠海)天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3（2019，梧州）如图(2)，在Y ABCD 中，E 是对角线BD 上的点，且EF ∥AB ，DE ：EB=2：3， EF=4，则CD 的长为_____________。

ABCD EFA E BCD（2019，桂林）如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（ ）． A ． 1：2 B ． 1：4C ． 2：1D ． 4：1（2019，黔东南）如图，若CD C ABC Rt ,90,0=∠∆为斜边上的高，ACD n AB m AC ∆==则,,的面积与BCD ∆的面积比SsACDBCD ∆∆的值是 （ ）A. 22mn B. 221m n -C. 122-m nD. 122+mn（2019，河南）如图，△ABC 中，点DE 分别是ABAC 的中点，则下列结论：①BC =2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③ACABAE AD =．其中正确的有【 】 （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个（2019，河南）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =DE ，则AD 的取值范EDCBA围是___________________．（2019，沈阳）如图，在□ ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ：EC =1：2， 连接AE 交BD 于点F ，则△BFE 的面积与△DF A 的面积之 比为 。

第九节 相似三角形课标呈现 指引方向1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割． 2．通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比．3．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 4．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.*了解相似三角形判定定理的证明．5．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 6．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小． 7．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题． 考点梳理 夯实基础1．比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a b ＝cd ，就称a ，b ，c ，d 四条线段是成比例线段，简称比例线段．2．比例线段的性质： ⑴基本性质： a b ＝c d ⇒ad ＝bc(bd ≠0)；a b ＝b d ⇒b 2＝ad ； ⑵合比性质：a b ＝c d ⇒a ±b b ＝c ±d d；⑶等比性质：若a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 4．相似三角形性质：__________⑴相似三角形的对应边__________，对应角__________．⑵相似三角形的对应高的比，_________________与__________都等于相似比 ⑶相似三角形周长的比等于_______，相似三角形面积的比等于__________．【答案】⑴成比例，相等；⑵对应角平分线的比，对应中线的比；⑶相似比，相似比的平方 5．相似三角形的判定：⑴平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似：(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应夹角相等，那么这两个三角形相似： (4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 6．相似三角形的几种典型图形7．位似图形的定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．(1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．(3)位似三角形的对应边的比、周长比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于位似比，但面积的比等于位似比的平方．考点一：比例线段【例l】下列四条线段中，不能成比例的是 (C)A．a=3，b=6，c=2，d=4B．a=1，b=2，c=6，d=3C．a= 4，b=6，c=5，d= 10D．a=2，b=5，c=15，d= 23解题点拨：本题考查了成比例线段的定义，注意成比例线段的顺序．考点二：平行线分线段成比例定理【例2】（2019杭州）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若12ABBC=，则DEEF=()答案：B解题点拨：本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例．考点三：相似三角形的性质和判定【例3】（2019河北）如图，△ABC中，∠A=78°．AB=4．AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（）答案：C解题点拨：本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．考点四：似三角形性质的实际运用【例4】（2019陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞，小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距Ⅳ点5块地砖长）时，其影长AD怡好为1块地砖长：当小军正好站在广场的B点（距Ⅳ点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长，已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，朋ⅣINQ，ACINQ，BEINQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）解题点拨：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，根据对应边列出方程，建立适当的模型来解决问题．解：由题意得：∠CAD= ∠MND= 90°,∠CDA=∠MDN,∴△CAD ∽△MND, ∴CA ADMN ND =∴1.610.8(51)0.8MN ⨯=+⨯ ∴MN= 9.6,又∵∠EBF=∠MNF=90°，∠EFB=∠MFN, ∴EFB MFN ~△△ ∴EB BFMN NF =∴()20.89.62+90.8EB ⨯=⨯ ∴EB ≈1.75,∴小军身高约为1.75米．考点五：位似图形【例5】（2019十堰）如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A ’B ’C ’，已知OB= 30B ’，则△A'B'C ’与△ABC 的面积比为 （）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：9 答案：D解题点拨：先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可． 1．（2019新疆）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（）A ．12DE BC =B ．AD AE AB AC= C.△ADE ∽△ABC D.S △ADE :S △ABC = 1:2 答案：D2．（2019盐城）如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ．在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个答案：C3．（2019乐山）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2:3，AD=4，则DB=_________，答案：24．（2019齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AD上BC．BE上AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD=1，AC=3时，求BF的长．解:（1）证明:∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF= ∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF= ∠DAC,∴△ACD∽△BFD(2)∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°。

4.3相似三角形一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形全等；二、相似三角形 在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k 就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”一、单选题 1．若ABC A B C '''，40A ∠=︒，110B ∠=︒，则'C ∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．70°D ．110°【解答】A【提示】若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C ',且对应角相等.【详解】因为ABC A B C '''∽△△，所以'C C ∠=∠.因为40A ∠=︒，110B ∠=︒，所以30C ∠=︒，所以'30C ∠=︒故选A.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等，是关键. 2．若ABCA B C ''''，3BC =，'' 1.8B C =，则A B C '''与ABC 的相似比为（ ）A ．5∶3B ．32∶C ．23∶D ．35∶ 【解答】D【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得：A B C '''与ABC 的相似比为1.83B C BC =''. 【详解】因为ABC A B C '''∽△△，3BC =，'' 1.8B C =，所以A B C '''与ABC 的相似比为1.8335B C BC ''==. 故选D.【点睛】考核知识点：相似比.熟记相似三角形性质是关键. 3．如图，已知ADEACB ，若AB=10，AC=8，AD=4，则AE 的长是（ ）A ．4B ．3.2C ．20D ．5【解答】D【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可． 【详解】由相似三角形的性质可得：AD AEAC AB=， 则·41058AD AB AE AC ⨯===， 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例是解题关键．4．如果ABC DEF ∆∆∽，A 、B 分别对应D 、E ，且:1:2AB DE =，那么下列等式一定成立的是（ ） A ．:1:2BC DE =B ．ABC ∆的面积：DEF ∆的面积1:2=C ．A ∠的度数：D ∠的度数1:2= D ．ABC ∆的周长：DEF ∆的周长1:2= 【解答】D【提示】相似三角形对应边的比等于相似比，面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得：A ：BC 和DE 不是对应边，故错；B ：面积比应该是1:4，故错；C:对应角相等，故错；D ：周长比等于相似比，故正确. 故选：D【点睛】考核知识点：相似三角形性质.理解基本性质是关键.5．如图所示，△ACB ∽△A′CB′，∠BCB′＝30°，则∠ACA′的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 【解答】B【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′，都减去∠A′CB 即可． 【详解】解：∵△ACB ∽△A′CB′，∴∠ACB=∠A′CB′，∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB ， ∴∠ACA′=∠BCB′， ∵∠BCB′=30°， ∴∠ACA′=30°， 故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝75°，AB ＝6，AC ＝8，将△ABC 沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误； C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误． D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确； 故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．在△ABC 中，已知AB ＝5，BC ＝4，AC ＝8.若△ABC ∽△A1B1C1，△A1B1C1的最长边的长为16，则其他两边的长分别为( )A ．A1B1＝8，B1C1＝10B ．A1B1＝10，B1C1＝8C ．A1B1＝5，B1C1＝8D ．A1B1＝10，B1C1＝4【解答】B【详解】分析：根据相似三角形对应边的比相等解答即可．详解：∵两个三角形中最长边和最长边是对应边，△ABC ∽△A1B1C1，∴111111AB BC ACA B B C AC == ，∴111154816A B B C ==，∴A1B1＝10，B1C1＝8． 故选B ．点睛：本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用．掌握相似三角形的性质是解题的关键．8．若ABC DEF △△，且ABC 与DEF 的相似比为m ，DEF 与ABC 的相似比为n ，则（.）： A ．m n = B ．0m n += C ．1⋅=m n D ．1m n ⋅=-【解答】C【提示】根据题意，可判定ABC 与DEF 的相似比为m ，则DEF 与ABC 的相似比为其倒数，所以两者积为1.【详解】解：∵ABC 与DEF 的相似比为m ， ∴DEF 与ABC 的相似比为1m ，即1n m=， ∴1⋅=m n 故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题.9．△ABC ∽△A′B′C′，已知AB ＝5，A′B′＝6，△ABC 面积为10，那么另一个三角形的面积为( ) A ．15B ．14.4C ．12D ．10.8【解答】B【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【详解】解：∵△ABC ∽△A′B′C′，AB ＝5，A′B′＝6， ∴A'B'C'2536ABC S S =， ∵△ABC 面积为10， ∴解得：S △A′B′C′＝14.4． 故选B ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，利用相似比与面积比的关系得出是解题关键．10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，那么在下列三角形中，与△EBD 相似的三角形是（ ）A ．ABCB ．ADEC ．DABD ．BDC 【解答】C【提示】由于∠A=36°，AB=AC ，易求∠ABC=∠C=72°，而BD 是角平分线，易求∠ABD=∠CBD=36°，又DE ∥BC ，那么有∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ，从而可证△ABD ∽△DBE ． 【详解】∵∠A=36°，AB=AC ， ∴∠ABC=∠C=72°， 又∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵DE ∥BC ，∴∠EDB=∠CBD=36°，即∠A=∠BDE ，∠ABD=∠DBE ， ∴△ABD ∽△DBE ， 故选C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．解题的关键是求出相关角的度数．二、填空题11．已知111ABC A B C △△，相似比为23，111222A B C A B C △△，相似比为54，则222ABC A B C △△，其相似比为________. 【解答】56【提示】根据相似三角形的性质可得1123AB A B =，112254A B A B =，故可得2256AB A B =. 【详解】因为111ABC A B C ∽△△，相似比为23，所以1123AB A B =，因为111222A B C A B C ∽△△，相似比为54，所以112254A B A B =，所以2256AB A B =，即所求相似比为56. 故答案为56【点睛】考核知识点：相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.12．ΔABC 与△DEF 中，65A ∠=︒，42B ∠=︒，65D ∠=︒，73F ∠=︒，3AB =，5AC =，6BC =，6DE =，10DF =，12EF =，则△DEF 与△ABC________【解答】相似【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可. 【详解】∵65A ∠=︒，42B ∠=︒， ∴∠C=180°-65°-42°=73°. ∵65D ∠=︒，73F ∠=︒， ∴∠A=∠D, ∠C=∠F, ∴△DEF 与△ABC 相似. 故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法有：①对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形；②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；③两角相等的两个三角形相似；④两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；⑤三边对应成比例的两个三角形相似.13．已知ABC 的三边分别是4，5，6，则与它相似'''A B C 的最长边为12，则'''A B C 的周长是________． 【解答】30【提示】由于A B C '''的最大边为12，所以边长12对应的边只能是ABC 中边长为6的边，进而再由对应边成比例即可求解．【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′，且其最大边为12，所以边长12对应的边只能是△ABC 中边长为6的边，∴△′B′C′的另两边的长为8，10， 故△′B′C′的周长为8+10+12=30. 故答案为:30.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键. 14．若ABC DEF ∽，50B ∠=，70C ∠=，则D ∠的度数为________． 【解答】60【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A ，再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A ． 【详解】∵50B ∠=，70C ∠=∴180180507060,A B C ∠=-∠-∠=--= ∵△ABC ∽△DEF ， ∴60.D A ∠=∠=故答案为60.【点睛】考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.15．如图，在△ ABC 中， DE ∥ BC ， AD ＝3cm ， BD ＝2cm ，则△ ADE 与△ ABC 相似比是_____；若 DE ＝4cm ，则 BC ＝________．【解答】 3：5203cm ； 【详解】∵AD=3cm ，BD=2cm ， ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，且相似比为：35AD AB =； ∴35DE AD BC AB ==，即435BC =， ∴BC=203. 故答案为（1）35；（2）203.点睛：本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边（或两边的延长线），所得新三角形与原三角形相似”由DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ，这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.16．在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点E 、F 分别在AB 、BC 边上，将BEF 沿直线EF 翻折后，点B 落在对边AC 的点为'B ，若'B FC 与ABC 相似，那么BF =________．【解答】3或3011【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC ∽△B ' FC;②△ABC ∽△F B 'C.【详解】①当△ABC ∽△B 'FC 时:根据△ABC 是等腰三角形,则△B 'FC 也是等腰三角形, 则B 'FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, B 'F=B 'C=x,根据△ABC ∽△B 'FC ,得到:B F CFAB BC'=,得到656x x -=,解得x=3011;②当△ABC ∽△F B 'C 则FC=B 'F=BF,则x=6-x,解得x=3. 因而BF=3或3011. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.17．如图，已知ADE ABC ∽，相似比为2:3，则:BC DE 的值为________．【解答】3:2【提示】由于△ADE ∽△ABC ，且已知了它们的相似比，因此两三角形的对应边的比等于相似比．由此可求出BC 、DE 的比例关系．【详解】∵△ADE ∽△ABC ，且相似比为2：3， ∴BC ：DE=3：2， 故答案为3：2．【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解． （1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．18．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在边BC 上，连接AD ，将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，连接DE 交AC 于F ，请写出图中一对相似的三角形：________（只要写出一对即可）．【解答】△ABD ∽△AEF(或△ABD ∽△DCF 或△DCF ∽△AEF 或△ADE ∽△ABC) 【详解】分析：先根据等腰三角形的性质，由AB=AC 得∠B=∠C ，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C ，且∠BAD=∠CAE ，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD ∽AEF ． 详解：∵AB=AC ， ∴∠B=∠C ，∵线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ，使得∠DAE=∠BAC ，∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽AEF．故答案为△ABD∽AEF．点睛：本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．三、解答题19．根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由（1）AB=12，BC=15，AC=24，A′B′=25，B′C′=40，C′A′=20（2）AB=3，BC=4，AC=5，A′B′=12，B′C′=16，C′A′=20【解答】(1)见解析;(2)见解析.【提示】（1）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．（2）通过计算得出两个三角形三边成比例，即可得出结论．【详解】解：（1）∵AB123BC153AC243C'A'205A'B'255B'C'405 ======，，，∴△ABC∽△C′A′B′（2）∵AB31BC41AC51 A'B'124B'C'164A'C'204 ======，，∴△ABC∽△A′B′C′．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，通过计算得出三边成比例是解题的关键．20．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AC、AB两边上，∠ABC=∠ADE，AB=7，AD=3，AE=2.7,求AC的长．【解答】6.3.【详解】试题分析：已知∠ABC=∠ADE，∠A=∠A，则可推出△ABC∽△ADE，根据相似三角形的相似比即可求得AC的长．试题解析：在△ABC和△ADE中，∵∠ABC=∠ADE，∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.∴AB ACAD AE=，即AB AE7 2.7AC 6.3AD3⋅⨯===.考点：相似三角形的判定和性质．21．如图，在正方形网格上有△ABC 和△DEF ．（1）这两个三角形相似吗？为什么？ （2）请直接写出∠A 的度数 ；（3）在上边的网格内再画一个三角形，使它与△ABC 相似，并求出其相似比． 【解答】（1）相似，理由见解析；（2）45º；（3）见解析【提示】（1）根据勾股定理列式求出AB 、AC 、BC 、DE 、DF 、EF 的长度，然后根据三边对应成比例，两三角形相似解答；（2）取AC 的中点O ，连接BO ，根据网格结构可以判断∠ABO=90°，△ABO 是等腰直角三角形，即可得解；（3）把△ABC 三边扩大2倍，然后利用网格结构作出即可． 【详解】（1）AB=22152=+， AC=22026=21+， BC=5， DE=1，DF=22152=+， EF=22222=2+， ∵5AB AC BCDE EF DF===， ∴△ABC ∽△DEF ；（2）如图，取AC 的中点O ，连接BO ， 则△ABO 是等腰直角三角形， ∴∠A=45°；（3）如图，△A′B′C′与△ABC 相似，它们的相似比是2．【点睛】本题考查了利用相似变换作图，熟练掌握相似三角形的判定与性质，网格结构的特点是解题的关键．22．已知：如图AB//CD//EF ，AC 、BD 相交于点O ，E 在AC 上，F 在BD 上，且AE:EC=2:3，BD=10.（1）求BF 的长；（2）当AB=12，CD=8时，求EF 的长.【解答】（1）4 （2）4【提示】（1）根据平行线分线段成比例定理得出BF ：FD 的值，从而得出BF 与FD 的数量关系，再再结合BF+DF=BD=10求出BF 的值.（2）先证明~,~OEF OAB OEF OCD 从而得出两组关于EF 的比例式，再根据和比的性质对比例式进行变形得出23AB EF AE CD EF EC -==+，代入AB 和CD 的值即可求出EF. 【详解】解：（1）∵AB//CD//EFAE BF EC DF∴= :2:3AE EC =23BF DF ∴= 23DF BF ∴= 10BD = 10DF BD BF BF ∴=-=-2(10)3BF BF ∴-=4BF ∴=（2）AB CD EF ‖‖~,~OEF OAB OEF OCD ∴,AB OA CD OC EF OE EF OE ∴== ,AB EF OA OE CD EF OC OE EF OE EF OE--++∴== ,AB EF AE CD EF EC EF OE EF OE-+==23AB EF AE CD EF EC -∴==+ 3()2()AB EF CD EF ∴-=+12,8AB CD ==3(12)2(8)EF EF ∴-=+4EF ∴=【点睛】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，比例的性质.（1）中能根据平行线分线段成比例得出BF 与FD 的数量关系是解决此问的关键；（2）中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形，建立EF 有关的比例式和AE:EC 之间的等量关系.23．如图，直线EF 分别交ABC 的边AB ，AC 于点F ，E ，交BC 的延长线于点D ，已知BF BA BC BD ⋅=⋅.求证：AE CE DE EF ⋅=⋅.【解答】见解析【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证ABC DBF ∽△△，根据两组对应角相等即证AEF DEC ∽△△，由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.【详解】证：BF BA BC BD ⋅=⋅，∴AB BC BD BF =， 又ABC DBF ∠=∠，∴ABC DBF ∽△△，∴A D ∠=∠.又AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC=，即AE CE DE EF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键. 24．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在BC ，AB 上，且∠BDE ＝∠CAD.求证：△ADE ∽△ABD.【解答】证明见解析.【详解】试题分析：由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C，因此∠B=∠ADE，再由公共角∠DAE=∠BAD，即可得出△ADE∽△ABD.试题解析：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠ADB＝∠C＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADE，∠BDE＝∠CAD，∴∠ADE＝∠C，∠B＝∠ADE.∵∠DAE＝∠BAD，∴△ADE∽△ABD.25．点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点，∠BDE＋∠ACB＝180°，DE＝AC，AD ＝2BD．(1) 如图1，当点D、E分别在AB、CB的延长线上时，求证：BE＝BD(2) 如图2，当点D、E分别在AB、BC边上时，BE与BD存在怎样的数量关系？请写出你的结论，并证明【解答】（1）证明见解析；（2）BE=3BD【提示】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.证明EMB ACB≅可得EB=AB，利用AD=2BD，AB=AD-BD即可得结论；（2）在AB上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图2.证明EBM ABC可得BE EMAB AC=由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入，即可得结论.【详解】（1）在BD上找一点M，连接EM，使EM=ED，如图1.则∠BDE=∠EMD.∵∠BDE+∠ACB=180°，∴∠EMB=∠ACB.∵DE=AC,∴EM=AC在△EMB 和△ACB 中，EBM ABC EMB ACB EM AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EMB ACB AAS ∴≅∴EB=AB∵AD=2BD ，∴AB=AD-BD=BD.∴BE=BD ；(2) BE=3BD ，理由如下：在AB 上找一点M ，连接EM ，使EM=ED ，如图 2.则∠MDE=∠EMD.∵DE=AC,∴EM=AC.∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180，∴∠EMD=∠ACB∵∠EBM=∠ABC,EBMABC ∴ BE EM AB AC∴= ∵AD=2BD,∴AB=AD+BD=3BD3BE AC BD AC∴=. ∴BE=3BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质，掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.。

相似三角形基本知识 知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。

注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的． ⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或n m b a =）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如d c b a =4、比例外项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例d c b a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为a b b a =（或a:b ＝b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8.比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dc b a =（或a ：b=c ：d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积）2.反比性质： c d a b dc b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)：4.合比性质：d d c b b a d c b a ±=±⇒=（分子加（减）分母,分母不变）．注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a ． 5.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．知识点三：黄金分割1）定义：在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBC AB AC =，即AC 2=AB×BC，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比。

2019年全国中考试题解析版分类汇编-相似三角形判定和性质（92页）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017湖北荆州，7，3分〕如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，那么图中相似三角形有〔〕A、1对B、2对C、3对D、4对考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据题目提供的相等的角和图形中隐含的相等的角，利用两对应角对应相等的两三角形相似找到相似三角形即可、解答：解：∵∠CPD=∠A=∠B，∴△PCF∽△BCP△APG∽△BFP△APD∽△GPD应选B、点评：此题考查相似三角形的判定、识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角、2.〔2017江苏无锡，7，3分〕如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形、假设OA：OC=0B：OD，那么以下结论中一定正确的选项是〔〕A、①与②相似B、①与③相似C、①与④相似D、②与③相似考点：相似三角形的判定。

分析：由OA：OC﹣=0B：OD，利用对顶角相等相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求、解答：证明：∵OA：OC=0B：OD，∠AOB=∠COD〔对顶角相等〕，∴①与③相似、应选B、点评：此题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题、3.〔2017山西，11，2分〕如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形、假设DE ＝2㎝，那么AC 的长为〔〕A、B 、4cm C、D、考点：三角形中位线，相似三角形的相似比专题：相似三角形分析：由题意知DE 是等腰△ABC 的中位线，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，因为DE ＝2㎝，所以BC ＝4㎝、又DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，且相似比为12、过点A 作AM ⊥BC 于点M 、那么MC ＝2㎝，由点E 是边AC 的中点，EF ∥AM ，所以FC ＝1㎝、在△EFC 中，因为正方形DEFG 的边长是2㎝，所以根据勾股定理得ECAC＝)cm ，应选D 、 解答：D点评：此题是三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的相似比等的综合应用、过点A 作AM ⊥BC 于点M ，构造等腰三角形的高学生不易想到、4.〔2017陕西，9，3分〕如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，那么图中的相似三角形共有〔〕A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。

2019年中考数学真题知识点分类汇总—相似三角形一、选择题1. （2019广西省贵港市，题号11，分值3分）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，//DE BC ，ACD B ∠=∠，若2AD BD =，6BC =，则线段CD 的长为( )A ．B ．C ．D ．5 【答案】C ．【思路分析】设2AD x =，BD x =，所以3AB x =，易证ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质可求出DE 的长度，以及23AE AC =，再证明ADE ACD ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出得出AD AE DE AC AD CD==，从而可求出CD 的长度．【解题过程】解：设2AD x =，BD x =，3AB x ∴=，//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽， ∴DE AD AE BC AB AC==， ∴263DE x x=， 4DE ∴=，23AE AC =， ACD B ∠=∠，ADE B ∠=∠，ADE ACD ∴∠=∠，A A ∠=∠，ADE ACD ∴∆∆∽，∴AD AE DE AC AD CD==， 设2AE y =，3AC y =， ∴23AD y y AD=，AD ∴=， ∴4CD=，CD ∴=，故选：C ．【知识点】相似三角形的判定与性质2. （2019贵州省毕节市，题号15，分值3分）如图，在一块斜边长30cm 的直角三角形木板（Rt △ACB ）上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC ＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF 后，剩余部分的面积为（ ）A ．100cm 2B ．150cm 2C ．170cm 2D ．200cm 2 【答案】A ．【思路分析】设AF ＝x ，根据正方形的性质用x 表示出EF 、CF ，证明△AEF ∽△ABC ，根据相似三角形的性质求出BC ，根据勾股定理列式求出x ，根据三角形的面积公式、正方形的面积公式计算即可．【解题过程】解：设AF ＝x ，则AC ＝3x ，∵四边形CDEF 为正方形，∴EF ＝CF ＝2x ，EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF BC ＝AF AC ＝13， ∴BC ＝6x ，在Rt △ABC 中，AB 2＝AC 2+BC 2，即302＝（3x ）2+（6x ）2，解得，x＝∴AC＝BC＝∴剩余部分的面积＝12100（cm2），故选：A．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用．3.（2019贵州黔西南州，10，4分）如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm2【答案】D【解析】解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴EFBC=AFAC=13，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB=√(3x)2+(6x)2=3√5x，∴3√5x＝30，解得x＝2√5，∴AC＝6√5，BC＝12√5，∴剩余部分的面积=12×6√5×12√5−（4√5）2＝100（cm2）．故选：D．【知识点】正方形的性质；相似三角形的应用4.．(2019海南,12题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,点P是边AC上一动点,过点P作PQ∥AB交BC于点Q,D为线段PQ的中点,当BD平分∠ABC时,AP的长度为( )A.813B.1513C.2513D.3213第12题图【答案】B【思路分析】根据平行和平分线得到等腰三角形,作DE⊥BC,得到相似三角形,结合中点和相似比,得到线段关系,列出方程,进而求得AP长度.【解题过程】在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5,BC＝4,∴AC＝3,过点D作DE⊥BC于点E,易证△ABC∽△DQE,∵BD平分∠ABC,PQ∥AB,∴BQ＝QD,设QD＝BQ＝4x,则AP＝3x,DP＝4x,∴PQ＝8x,CP＝245x,∴AC＝395x＝3,∴x＝513,AP＝3x＝1513,故选B.第12题答图【知识点】等腰三角形,相似三角形,一元一次方程5.（2019黑龙江哈尔滨，10，3分）如图,在平行四边形ABCD中,点E在对角线BD上,EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交AD于点N,则下列式子一定正确的是（）。

规律探索一.选择题1. （2019•山东省济宁市 •3分）已知有理数a ≠1，我们把称为a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a 1＝﹣2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数……依此类推，那么a 1+a 2+…+a 100的值是（ ） A ．﹣7.5B ．7.5C ．5.5D ．﹣5.5【考点】数字的变化【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案． 【解答】解：∵a 1＝﹣2， ∴a 2＝＝，a 3＝＝，a 4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣， ∵100÷3＝33…1，∴a 1+a 2+…+a 100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A ．【点评】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 2. （2019•广东深圳•3分）定义一种新运算：⎰-=⋅-abn n n b a dx x n 1，例如：⎰-=⋅khh k xdx 222，若⎰-=--m522mdx x ，则m =（ ）A. -2B. 52-C. 2D.52【答案】B 【解析】⎰-=-=-=----m51122511)5(mmm m m dx x ，则m =52-，故选B.3.（2019，山东枣庄，3分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据题意知原图形中各行、各列中点数之和为10，据此可得．【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有故选：D．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．4. （2019•湖北十堰•3分）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，，，，…，若第n个数为，则n＝（）A．50 B．60 C．62 D．71【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，（1，2），（1，2，3），…，分母变化是1，（2，1），（3，2，1），…，从而可以求得第n个数为时n的值，本题得意解决．【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为，∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，故选：B．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律．5. （2019•湖北武汉•3分）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一组数：250、251.252.…、299.2100．若250＝a，用含a的式子表示这组数的和是（）A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a【分析】由等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2，得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，那么250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+…+2100）﹣（2+22+23+…+249），将规律代入计算即可．【解答】解：∵2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…∴2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2，∴250+251+252+…+299+2100＝（2+22+23+...+2100）﹣（2+22+23+ (249)＝（2101﹣2）﹣（250﹣2）＝2101﹣250，∵250＝a，∴2101＝（250）2•2＝2a2，∴原式＝2a2﹣a．故选：C．【点评】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出规律：2+22+23+…+2n＝2n+1﹣2．二.填空题1. （2019•江苏连云港•3分）如图，将一等边三角形的三条边各8等分，按顺时针方向（图中箭头方向）标注各等分点的序号0、1.2.3.4.5.6.7.8，将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来，这样就建立了“三角形”坐标系．在建立的“三角形”坐标系内，每一点的坐标用过这一点且平行（或重合）于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示（水平方向开始，按顺时针方向），如点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3），按此方法，则点C的坐标可表示为（2，4，2）．【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．【解答】解：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），故答案为：（2，4，2）．【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．2.（2019•浙江衢州•4分）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法（1）定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

（2）平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（3）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

（4）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

（5）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

（6）判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： （1）（AD）2=BD·DC， （2）（AB）2=BD·BC ， （3）（AC）2=CD·BC 。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即（AB）2+（AC）2=（BC）2。

典型例题：例1 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ‖AB ，BG 分别交AD ，AC 于E 、 F ，求证：BE 2＝EF·EG证明：如图，连结EC ，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠ABC ＝∠ACB ，AD 垂直平分BC∴BE ＝EC ，∠1＝∠2，∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2，即∠3＝∠4，又CG ∥AB ，∴∠G ＝∠3，∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF ，∴△CEF ∽△GEC ，∴EG CE =CEEF∴EC 2＝EG· EF ，故EB 2=EF·EG 【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE ，EF ，EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

2019年中考数学试卷重难题专题【相似三角形】（含答案）知识点睛借助相似整合信息的通常思路：利用相似时，往往可以将_______________等信息组合搭配在一起进行研究，并能实现三类信息之间的转化，进而达到整合信息、解决问题的目的．为了借助相似实现_______________等条件的综合应用，往往会通过___________或作_________的方式来构造相似模型．构造相似模型是我们整合多个比例信息时常用的一种手段．一、单选题1．（2018·浙江初三期中）如图，在中， 是线段上的点，且， 是线段ABC D AB :1:2AD BD F 上的点， ， ．小亮同学随机在内部区域投针，则针扎到（阴影）BC DE BC FE BA ABC DEF 区域内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．1329518492．（2018·四川中考真题）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=AC ．连接14DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则的值为（ ）S △ADGS △BGHA ．B ．C ．D ．11223343．（2019·湖北沙市中学初二期末）彼此相似的矩形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y=kx+b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1、B 2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（ ）A ．（2n ﹣1，2n ）B ．（2n ﹣，2n ）12C ．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D ．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）124．（2014·浙江初三期末）如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ．设△BPQ ，△DKM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3＝20，则S 2的值为（ ）A ．6B ．8C ．10 D ．125．（2018·全国初一单元测试）如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°6．（2018·广东中考模拟）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则DE 的长是（ ）A ．5B ．C ．D ．32741547．（2018·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（，1），（3，1），12（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作交y 轴于点B ，当点A 从M 运动AB ⊥AC 到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．−14≤b ≤1−54≤b ≤1−94≤b ≤12−94≤b ≤18．（2018·江西初三期末）如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，高线AH 长8 cm ，底边BC 长10 cm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG 的一边EF 在BC 上，其余两个顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，则四边形DEFG 的最大面积为( )A ．40 cm 2B ．20 cm 2C ．25 cm 2D ．10 cm 29．（2017·江阴初级中学初三期中）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 4535566710．（2017·安徽初三期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，DC 上，AE 、AF 分别交BD于点M 、N ，连接CN 、EN ，且CN =EN ．下列结论：①AN =EN ，AN ⊥EN ；②BE+DF=EF ；③∠DFE =2∠AMN ；④；④图中有4对相似三角EF 2=2BM 2+2DN 2形．其中正确结论个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．211．（2018·全国初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下列结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③tan ∠CAD=．其中正确的结论有 （ ）2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．（2017·安徽中考模拟）如图，沿对角线AC 折叠正方形ABCD ，使得B 、D 重合，再折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，测得折痕AF 的长为3，则C 到AF 的距离CG 为：A ．B ．C ．D ．32235−113．（2019·全国初二单元测试）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点P 为BC 上任意一点，连接PA，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．2651255314．（2019·广东中考模拟）如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为（ ）AB ．C ．D1037215．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△EFD ，其中相似的为（ ）A．①④B．①②C．②③④D．①②③④二、填空题16．（2018·天津中考模拟）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D 的坐标为______．17．（2018·山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为_____．218．（2018·湖北中考真题）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，2连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．19．（2017·湖北中考模拟）赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=- x+ 上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小1 27 2正方形的面积为________．20．（2017·全国初三课时练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是______．21．（2018·安徽中考真题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.22．（2018·江苏中考真题）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．23．（2018·贵州中考模拟）如图，在△ABC 中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上，其余两个顶点G 、H 分别在边AC 、AB 上，则矩形EFGH 的面积最大值为_____．24．（2017·湖北中考真题）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，连接CF .若AC ＝8，AB ＝10，则CD 的长为__25．（2018·乌拉特前旗第六中学中考模拟）如图,点P 是矩形ABCD 内一点,连接PA 、PB 、PC 、PD,已知AB=3,BC=4,设△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,的面积分别为,,, ,以下判断: ① PA+PB+PC+PD 的最小S 1S 2S 3S 4值为10;②若△PAB ≌△PCD,则△PAD ≌△PBC ;③若=,则=；④若△PAB ∽△PDA,则PA=2.4.其中正S 1S 2S 3S 4确的是_____________(把所有正确的结论的序号都填在横线上)26．（2018·广西中考真题）如图，点 C 为 Rt △ACB 与 Rt △DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连 接 AD 、BE ，过点 C 作 CF ⊥AD 于点 F ，延长 FC 交 BE 于点 G ．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为___________．EG BG参考答案1．B【解析】解：∵， ，∴， ．DE BC 12AD BD =ADE ABC ∽13AD AE DE AB AC BC ===又∵，∴，∴， ．FE BA CFE CBA ∽23CE CF CA CB ==21CF BF =设的面积，则，∴梯形面积．ADE ADE S S = 9ABC S S = DECB 8DECB S S =梯∵，∴，∴．DE BC 1112EDBF EFC S BF S FC == 平行四边形4EFC EDBF S S S == 平行四边形在平行四边形中，，∴．故BDEF 122BOF DEF BDEF S S S === 平行四边形29DEF ABC S S = 选．B 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．2．C【解析】分析：首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得,，由此即可解决问题．S △ADCS △BGH =S △BAC S △BGH =（BA BG ）2=（32）2=94S △ADG S △ADC =13详解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，DC=AB ，∵AC=CA ，∴△ADC ≌△CBA ，∴S △ADC =S △ABC ，∵AE=CF=AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，14∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3，∴AG ：AB=CH ：BC=1：3，∴GH ∥AC ，∴△BGH ∽△BAC ，∴，S △ADCS △BGH=S △BAC S △BGH =（BA BG ）2=（32）2=94∵，S △ADG S △ADC =13∴.S △ADG S △BGH =94×13=34故选：C ．点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．A【解析】【分析】根据矩形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出，12A A 、k b 、从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出的坐标，然后求出3A 的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出的坐标即可.3B n B 【详解】，()11,2B 相似矩形的长是宽的倍，∴2点的坐标分别为， 12B B 、()()1,23,4，，∴()()120,21,4A A ，点在直线上，12A A 、y kx b =+，∴24b k b =⎧⎨+=⎩解得，22k b =⎧⎨=⎩，∴22y x =+点在直线上，3A 22y x =+，∴2328y =⨯+=点的坐标为，∴3A ()3,8点的横坐标为，∴3B 13872+⨯=点，∴()37,8B …,的坐标为.n B ()21,2n n -故选：.A 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的系列坐标判断A 出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点的系列坐标的变化规律是解题的关键.B 4．B【解析】试题分析：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD ，四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，∵△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ，∴，，AB AD =BQ MD =12BQ CH =AB AC =13∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH∴，BQ MD=12BQ CH =13∴S 1S 2=14，S 1S 3=19∴S 2=4S 1，S 3=9S 1，∵S 1+S 3=20，∴S 1=2，∴S 2=8．故选B ．考点：1.矩形的性质，2.三角形的面积，3.相似三角形的判定与性质．5．C【解析】【分析】容易看出∠3=45°,关键求出∠2与∠1的和是45°，根据证AI CI =IJ IA ∆AIJ~∆CIA,得∠2=∠CAI,再由∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°可推出结果.【详解】如图设三个小正方形的边长为1个单位．在正方形ABCD 中∠3=45°，则∠AIC=135°，且∠1=∠CAD ．∵∠AIJ=∠CIA ，,AI CI =22,IJ IA =22即，AI CI =IJ IA 所以∆AIJ~∆CIA,所以∠2=∠CAI,又∠1=∠CAD ，则∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°，∴∠1+∠2+∠3=90°．故正确选项为：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．6．C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC 的长，然后证明△AEO ∽△ACD ，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=AC=5，12∵EO ⊥AC ，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD ，∴△AEO ∽△ACD ，∴，AE AC=AO AD 即 ，AE 10=58解得，AE=，254∴DE=8﹣=，25474故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．7．A【解析】分析：分两种情形：当A 与点N 、M 重合时来确定b 的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A 与点N 重合时，CA ⊥AB ，∴MN 是直线AB 的一部分，∵N （3，1）∴OB=1，此时b=1；当点A 与点M 重合时，如图2，延长NM 交y 轴于点D ，易证△MCN ∽△BMD∴BD MN =DM NC ∵MN=3-=,DM=，CN=1125212∴BD=DM·MN CN =54∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，541414∴b 的取值范围是.-14≤b ≤1故选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..8．B【解析】【分析】设矩形DEFG 的宽DE=x ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG ，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】如图所示：设矩形DEFG 的宽DE=x ，则AM=AH-HM=8-x ，∵矩形的对边DG ∥EF ，∴△ADG ∽△ABC ，∴，AM AH =DG BC即，8−x 8=DG 10解得DG=（8-x ），54四边形DEFG 的面积=（8-x ）x=-（x 2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，545454所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG 最大面积为20cm 2．故选：B ．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG 的宽表示出长是解题的关键．9．A【解析】解：由折叠的性质可得，∠EDF =∠C =60º，CE =DE ，CF =DF ．∵∠BDF +∠ADE =∠BDF +∠BFD =120º，∴∠ADE =∠BFD ，又∵∠A =∠B =60º，∴△AED ∽△BDF ，∴ ，设DE AD AE DF BF BD==AD =a ，BD =2a ，AB =BC =CA =3a ，再设CE ==DE =x ，CF ==DF =y ，则AE =3a -x ，BF =3a -y ，所以，整理可得ay =3ax -xy ，2ax =3ay -xy ，即xy =3ax -ay ①，xy =3ay -332x a a x y a y a-==-2ax ②；把①代入②可得3ax -ay =3ay -2ax ，所以5ax =4ay ，，即，4455x a y a ==45CE CF =故选A ．点睛：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的性质分别求出CE 、CF 的长度（用含有k 的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．10．B【解析】【详解】将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADH ,因为四边形ABCD 是正方形,所以AB =BC =AD , ∠BAD ＝∠ABC =90°,∠ABD ＝∠CBD =45°,在△BNA 和△BNC 中,,{BN =BN∠NBA ＝∠BA =BC NBC所以△BNA ≌△BNC ,所以AN =CN ,∠NEC =∠NCE =∠BAN ,因为∠NEC +∠BEN =180°,所以∠BAN +∠BEN =180°,所以∠ABC +∠ANE =180°,所以∠ANE =90°,所以AN =NE ,AN ⊥NE ,故①正确,因为∠3=45°, ∠1=∠4,所以∠2+∠4=∠2+∠1=45°,所以∠3=∠FAH =45°,因为AF =AF ,AE =AH ,所以△AFE ≌△AFH ,所以EF =FH =DF +DH =DF +BE , ∠AFH =∠AFE ,故②正确,因为∠MAN =∠NDF =45°, ∠ANM =∠NDF ,所以∠AMN =∠AFD ,又因为∠AFE =∠AFD , ∠DFE=∠AFE +∠AFD所以∠DFE =2∠AMN ,故③正确,因为∠MAN =∠EAF , ∠AMN =∠AFE ,所以△AMN ∽△AFE ,所以,NMEF =AN AE =12所以MN ,EF =2如图2中,将△ABN 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADG ,易证△ANG ≌△ANM , △GDN 是直角三角形,所以MN =GN ,所以,MN 2=DN 2+DG 2=DN 2+BM 2所以,故④正确,EF 2=2DN 2+2BM 2图中相似三角形有△ANE ∽△BAD ∽△BCD , △ANM ∽△AEF , △ABN ∽△FDN ,△BEM ∽△DAM 等,故⑤错误,故选B.11．B【解析】【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°即可；②正确．由AD ∥BC ，推出△AEF ∽△CBF ，推出，由AE=AD=BC ，推出=，即AE BC =AF CF 1212AF CF 12CF=2AF ；④错误，设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有，即b=a ，可得ba =2ab 2tan ∠CAD==即可得.CD AD b 2a 【详解】如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴，AE BC =AF CF ∵AE=AD=BC ，1212∴=，AF CF 12∴CF=2AF ，故②正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有，即b=a ，b a =2a b 2∴tan ∠CAD===，故③错误，CD AD b 2a 22所以正确的有2个，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．12．A【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长=a ，根据勾股定理得到AC =a ，根据折叠的性质得到2AE =AD =a ，∠AEF =∠D =90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF =CE =a –a ，根据勾股定2理得到a =AC =，EF =（–1）×32+22322+22232+22到结论．试题解析：设正方形ABCD 的边长=a ，则AC =a ，2∵折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，∴AE =AD =a ，∠AEF =∠D =90°，∴CE =a –a ，2∵∠ECF =45°，∴EF =CE =a –a ，2∵AF 2=AE 2+EF 2，∴32=a 2+（a –a ）2，∴a =232+22∴AC =，EF =（ –1）×，322+22232+22∵∠EAF =∠CAG ∠AEF =∠G =90°，∴△AEF ∽△AGC ，∴，∴CG =．ACAF =CG EF 32故选A ．13．B【解析】【分析】记AC 与PQ 的交点为O ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短；过O 作BC 的垂线P′O ，则PO 最短为P′O ；接下来可证明△P′OC 和△ABC 相似，进而利用相似三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：记AC 与PQ 的交点为O.∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴=5.∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO=QO ，CO=AO ，∴PQ 最短也就是PO 最短.过O 作BC 的垂线OP′.∵∠ACB=∠P′CO ，∠CP′O=∠CAB=90°，∴△CAB ∽△CP′O ，∴，'CO OP BCAB ∴OP′=，65∴则PQ 的最小值为2OP′=，125故答案为：．125【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形.14．A【解析】【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH 的长，得出△EDM ∽△MCH ，进而求出MC 的长，依据△GPH ≌△BCM ，可得GH=BM ，再利用勾股定理得出BM ，即可得到GH 的长．【详解】设CM ＝x ，设HC ＝y ，则BH ＝HM ＝3﹣y ，故y 2+x 2＝（3﹣y ）2，整理得：y ＝，21362x -+即CH ＝，21362x -+∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由题意可得：ED ＝1.5，DM ＝3﹣x ，∠EMH ＝∠B ＝90°，故∠HMC +∠EMD ＝90°，∵∠HMC +∠MHC ＝90°，∴∠EMD ＝∠MHC ，∴△EDM ∽△MCH ，∴ ，ED DM MC CH =即，21.531362x x x -=-+解得：x 1＝1，x 2＝3（不合题意），∴CM ＝1，如图，连接BM ，过点G 作GP ⊥BC ，垂足为P ，则BM ⊥GH ，∴∠PGH ＝∠HBM ，在△GPH 和△B CM 中，HGP CBM GP BC GPH C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GPH ≌△BCM （SAS ），∴GH ＝BM ，∴GH ＝BM．=故选：A ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．15．D【解析】【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断.【详解】①根据题意得：，∠BAE =∠ADC =∠AFE =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°,∠DAC +∠ACD =90°，∴∠AEF =∠ACD ①中两三角形相似；∴②，∵∠AEB =∠FEA,∠AFE =∠EAB =90°，∴△AFE ∽△BAE ，∴AE EF =EB AE 又，∵AE =ED ，∴ED EF =EB ED 而，∠BED =∠BED ，∴△FED ∽△DEB 故②正确；③，∵AB‖CD ，∴∠BAC =∠GCD ，且，∵∠ABE =∠DAF,∠EBD =∠EDF ∠ABG =∠ABE +∠EBD ，∴∠ABG =∠DAF +∠EDF =∠DFC ，∵∠ABG =∠DFC,∠BAG =∠DCF ，∴△CFD ∽△ABG 故③正确；④，∵△FED ∽△DEB ，∴∠EFD =∠EDB，∵AG =DG ，∴∠DAF =∠ADG ，∴∠DAF =∠EFD ，∴△ADF ∽△EFD 故④正确；故选：.D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：（1）有两个对应角相等的三角形相似；（2）有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；（3）三组对应边的比相等，则两个三角形相似.16．（﹣，）45125【解析】【分析】首先过D 作DF ⊥AF 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE ，OA=CD=1，设OE=x ，那么CE=3﹣x ，DE=x ，利用勾股定理即可求出OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．【详解】解：如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE 和△AOE 中，，{∠CDE =∠AOE∠CED =∠AEOCD =AO ∴△CDE ≌△AOE ，∴OE=DE ，OA=CD=1，AE=CE ，设OE=x ，那么CE=3﹣x ，DE=x ，∴在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴（3﹣x ）2=x 2+12，∴x=，43∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，434353又∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF ，∴AE ：AD=EO ：DF=AO ：AF ，即：3=：DF=1：AF ，5343∴DF=，AF=，12595∴OF=﹣1= ，9545∴D 的坐标为：（﹣，）．45125故答案为：（﹣，）．45125【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．17．4103【解析】分析：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，则NF=x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ，利用相似三角形的性质：对2应边的比值相等可求出x 的值，在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长．详解：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x ，AN=4﹣x ，2∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，5∴BE=1，∴ME=，BM 2+BE 2=2∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF ，∴△AME ∽△FNA ，∴，AMFN=MEAN∴，12x =24-x 解得：x=43∴AF=AD 2+DF 2=4103故答案为：4103点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，18．1632【解析】【分析】设AB=a ，AD=b ，则ab=32，构建方程组求出a 、b 值即可解决问题.2【详解】设AB=a ，AD=b ，则ab=32，2由∽可得：，△ABE △DAB BEAB=ABAD∴，b =22a 2∴，a 3=64∴，，a =4b =82设PA 交BD 于O ，在中，，Rt △ABD BD =AB 2+AD 2=12∴OP =OA =AB ⋅AD BD=823∴，AP =1632故答案为：．1632【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.19．2223n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由已知可得△ A 1B 1M ≌△DA 1N 1，∴B 1M=A 1N ，A 1M=D 1N ，又A 1D 1//B 1C 1，∴OA 1：OE=OD 1：OF ，由直线y=﹣可得E （0， ），1722x +72F （7，0）,∴OD 1=2OA 1，由矩形OA 1ND 1，得A 1N =2D 1N ，∴可设B 1（b,3b ），代入y=﹣得b=1,∴A 1N=2，A 1M=1，∴S 1=1；1722x +由b=1,可得C 1（3，2），同理可知S 2=( )2= ；212-233⨯⨯223⎛⎫ ⎪⎝⎭同理可知C 2（ ， ），S 3=( )2== ；133434241-3333⨯⨯249⎛⎫ ⎪⎝⎭423⎛⎫ ⎪⎝⎭……∴S n = .2n-223⎛⎫⎪⎝⎭点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，一次函数、图形的变化规律等，能正确地识图是解题的关键.20．5×（）4030【解析】解：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC ，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA 1=180°﹣90°=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠ADO=∠BAA 1，在△AOD 和A1BA 中11AOD ABA ADO BAA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△AOD ∽△A 1BA ，∴，∴BC=2A 1B.121OD AB AO A B ==∴A 1C=BC ，则A 2C 1=A 1C ，A 3C 2=A 2C 1，323232即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍.32∴第2016个正方形的边长为BC.201532⎛⎫ ⎪⎝⎭∵A 的坐标为（1，0），D 点坐标为（0，2），∴.=∴第2011个正方形的面积为.22015403033522BC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为.4030352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭21．3或1.2【解析】【分析】由△PBE ∽△DBC ，可得∠PBE=∠DBC ，继而可确定点P 在BD 上，然后再根据△APD 是等腰三角形，分DP=DA 、AP=DP 两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，∵△PBE ∽△DBC ，∴∠PBE=∠DBC ，∴点P 在BD 上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=2：10，∴PE ：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP 时，此时P 为BD 中点，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=1：2，∴PE ：6=1：2，∴PE=3；综上，PE 的长为1.2或3，故答案为：1.2或3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD 上是解题的关键.22．或154307【解析】分析：分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ ，∠PQB=90°时；详解：①如图1中，当AQ=PQ ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x ，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，∴，BQBA=PQAC ∴，10−x 10=x6∴x=，154∴AQ=．154②当AQ=PQ ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y ．∵△BQP ∽△BCA ，∴，PQAC=BQBC ∴，y 6=10−y 8∴y=．307综上所述，满足条件的AQ 的值为或．154307点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．23．12【解析】【分析】设HG =x ，根据相似三角形的性质用x 表示出KD ，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．【详解】设HG =x ．∵四边形EFGH 是矩形，∴HG ∥BC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴=，即=，解得：HG BC AKAD x 86-KD6KD =6﹣x ，则矩形EFGH 的面积=x （6﹣x ）=﹣x 2+6x =（x ﹣4）2+12，则矩形EFGH 的343434﹣34面积最大值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．238【解析】分析：由对称性可知CF ⊥DE ，可得∠CDE=∠ECF=∠B ，得出CF=BF ，同理可得CF=AF ，由此可得F 是AB 的中点，求得CF=5，再判定△CDF ∽△CFA ，得到CF 2=CD×CA ，进而得出CD 的长．详解：由对称性可知CF ⊥DE ，又∵∠DCE=90°，∴∠CDE=∠ECF=∠B ，∴CF=BF ，同理可得CF=AF ，∴F 是AB 的中点，∴CF=AB=5，12又∵∠DFC=∠ACF=∠A ，∠DCF=∠FCA ，∴△CDF ∽△CFA ，∴CF 2=CD×CA ，即52=CD×8，∴CD=.258故答案是：.258点睛：考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F 是AB 的中点．25．①②③④【解析】分析：①当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD 的最小值，即可判断；②根据全等三角形的性质可得PA=PC ，PB=PD ，那么P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上，即P 是矩形ABCD 两对角线的交点，易证△PAD ≌△PBC ，即可判断；③易证S 1+S 3=S 2+S 4，所以若S 1=S 2，则S 3=S 4，即可判断；④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA ，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD ）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B 、P 、D 三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．详解：①当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA +PB +PC +PD 的值最小，根据勾股定理得，AC =BD =5，所以PA +PB +PC +PD 的最小值为10，故①正确；②若△PAB ≌△PCD ,则PA =PC ,PB =PD ,所以P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上,即P 是矩形ABCD 两对角线的交点,所以△PAD ≌△PBC ，故②正确；③若=,易证+=+,则=，故③正确；S 1S 2S 1S 3S 2S 4S 3S 4④若△PAB ∼△PDA ,则∠PAB =∠PDA ,∠PAB +∠PAD =∠PDA +∠PAD =90°,∠APD =180°−(∠PDA +∠PAD )=90°,同理可得∠APB =90°,那么∠BPD =180°，B.P 、D 三点共线，P 是直角△BAD 斜边上的高，根据面积公式可得PA =2.4，故④正确.故答案为①②③④.点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的性质.26．34【解析】【分析】过 E 作 EH ⊥GF 于 H ，过 B 作 BP ⊥GF 于 P ，依据△EHG ∽△BPG ，可得=，再根据EG BG EHBP △DCF ∽△CEH ，△ACF ∽△CBP ，即可得到 EH=CF ，BP=CF ，进 而得出=．34EG BG 34【详解】如图，过 E 作 EH ⊥GF 于 H ，过 B 作 BP ⊥GF 于P ，则∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP ，∴△EHG ∽△BPG ，∴=，EG BG EHBP ∵CF ⊥AD ，∴∠DFC=∠AFC=90°，∴∠DFC=∠CHF ，∠AFC=∠CPB ， 又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDF=∠ECH ，∠FAC=∠PCB ，∴△DCF ∽△CEH ，△ACF ∽△CBP ，∴，EHCF =CE DC ,BPCF =BCCA =1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

九年级数学相似三角形知识点总结及例题讲解相似三角形基本知识放缩与相似图形的放大或缩小称为图形的放缩运动。

当两个图形形状相同时，我们称它们为相似图形，或者简称相似性。

需要注意的是，相似图形强调形状相同，与它们的位置、颜色、大小等因素无关。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。

当两个图形形状和大小都相同时，这时是相似图形的一种特例——全等形。

相似多边形的性质如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

需要注意的是，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度比值为1.比例线段有关概念及性质比例线段的概念比指同一单位下两条线段的长度比较，若两线段的长度分别为m和n，则它们的比为a:b=m:n（或bn）。

比的前项为a，后项为b。

比例指两个比相等的式子，如比例线段的性质对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即比例线段的基本性质是两外项的积等于两内项积，即acbd=adbc。

比例线段还有反比性质、更比性质、合比性质等。

其中，反比性质指如果注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项、后项之间发生同样的和差变化比例仍成立。

例如：$\frac{b-ad-c}{ac}=\frac{bd}{a-b+c-d}=\frac{a+bc+d}{ac}$。

5.等比性质：若$\frac{a+c+e+\cdots+m}{a\cdot c\cdote\cdots m}=\frac{b+d+f+\cdots+n}{b\cdot d\cdot f\cdots n}$，其中$b+d+f+\cdots+n\neq 0$，则$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots=\frac{m}{n}$。

注意：(1)此性质的证明运用了“设$k$法”，这种方法是比例计算和变形中一种常用方法。

2019年浙江省中考数学分类汇编专题三角形部分（解析版）一、单选题1.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A. 3，4，8B. 5，6，10C. 5，5，11D. 5，6，11【答案】B【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：A.∵3+4＜8，故不能组成三角形，A不符合题意；B.∵5+6＞10，故能组成三角形，B符合题意；C.∵5+5＜11，故不能组成三角形，C不符合题意；D.∵5+6=11，故不能组成三角形，D不符合题意；故答案为：B.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，依此即可得出答案.2.已知直线m∥n，将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°，则∠2的度数为（）A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°【答案】C【考点】平行线的性质，三角形的外角性质【解析】【解答】解：设直线n与AB的交点为E。

∵∠AED是△BED的一个外角，∴∠AED=∠B+∠1，∵∠B=45°，∠1=25°，∴∠AED=45°+25°=70°∵m∥n，∴∠2=∠AED=70°。

故答案为：C。

【分析】设直线n与AB的交点为E。

由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠B+∠1，再根据两直线平行内错角相等可得∠2=∠AED可求解。

3.若长度分别为a，3，5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）A. 1B. 2C. 3D. 8【答案】C【考点】三角形三边关系【解析】【解答】解：∵三角形三边长分别为：a，3，5，∴a的取值范围为：2＜a＜8，∴a的所有可能取值为：3，4，5，6，7.故答案为：C.【分析】三角形三边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，由此得出a的取值范围，从而可得答案.4.如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（）A. 5°B. 10°C. 30°D. 70°【答案】B【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：如图，∵∠2=∠3=100°，∠1=70°∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°故答案为：B【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。

第27章：相似一、基础知识(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：（2）合比定理：（3）等比定理：3.黄金分割：如图，若，则点P为线段AB的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等.（2）相似三角形的周长比等于相似比.（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比.5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半.7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）；２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

(三)位似:位似:如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形。

这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为位似比.位似性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似位似比二、经典例题例1.如图在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在长为1的小正方形顶点上．（1）填空：∠ABC=______，BC=_______．（2）判定△ABC与△DEF是否相似？[考点透视]本例主要是考查相似的判定及从图中获取信息的能力.[参考答案] ①135°，2 ②能判断△ABC与△DEF相似，∵∠ABC=∠DEF=135°，=【点评】注意从图中提取有效信息，再用两对应边的比相等且它们两夹角相等来判断．例2. 如图所示，D、E两点分别在△ABC两条边上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE∽△ABC．[考点透视]本例主要是考查相似的判定[参考答案] ∠1=∠B或∠2=∠C，或点评：结合判定方法补充条件．例3. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走2米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（ ）A．4.5米 B．6米 C．7.2米 D．8米[考点透视]本例主要是考查相似的应用[参考答案] B【点评】在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中“”．例4. 如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？[考点透视]本例主要是考查相似的实际应用[参考答案] 48mm【点评】解决有关三角形的内接正方形（或矩形）的计算问题，一般运用相似三角形“对应高之比等于相似比”这一性质来解答．例5.如图所示，在△ABC中，AB=AC=1，点D、E在直线BC上运动，设BD=x，CE=y．（1）如果∠BAC=30°，∠DAE=105°，试确定y与x之间的函数关系式；（2）如果∠BAC的度数为α，∠DAE的度数为β，当α、β满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的函数关系式还成立，试说明理由．[考点透视]本例主要是考查相似与函数的综合运用.[参考答案]解:在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=30°，∠ABC=∠ACB=75°，∠ABD=∠ACE=105°．又∠DAE=105°，∴∠DAB+∠CAE=75°．又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°，∴∠CAE=∠ADB，∴△ADB∽△EAC，∴，∴y=．当α1β满足β- =90°，y=仍成立．此时∠DAB+∠CAE=β-α，∴∠DAB+∠ADB=β-α，∴∠CAE=∠ADB．又∵∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC，∴y=．【点评】确定两线段间的函数关系，可利用线段成比例、找相等关系转化为函数关系．例6. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm×3.5cm，放映的荧屏的规格为2m×2m，若放映机的光源距胶片20cm时，问荧屏应拉在离镜头多远的地方，放映的图象刚好布满整个荧屏？解析：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的，镜头就相当于位似中心，因此本题可以转化为位似问题解答．[考点透视]本例主要是考查位似的性质.[参考答案] m【点评】位似图形是特殊位置上的相似图形，因此位似图形具有相似图形的所有性质．三．适时训练（一）精心选一选1．梯形两底分别为m、n，过梯形的对角线的交点，引平行于底边的直线被两腰所截得的线段长为（ ）（A）　（B）　（C）　（D）2．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且＝，AE＝BE，则（　）（A）△AED∽△BED（B）△AED∽△CBD（C）△AED∽△ABD（D）△BAD∽△BCD题2 题4 题53．P是Rt△ABC斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）（A）1条 （B）2条 （C）3条 （D）4条4．如图，∠ABD＝∠ACD，图中相似三角形的对数是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是（ ）（A）∠APB＝∠EPC　（B）∠APE＝90°（C）P是BC的中点（D）BP ︰BC＝2︰36．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）＝；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（ ）（A）3个 （B）2个 （C）1个 （D）0个题6 题7 题87．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（ ）（A）AE⊥AF　（B）EF︰AF＝︰1（C）AF2＝FH·FE　（D）FB ︰FC＝HB︰EC8．如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（ ）（A）△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长（B）△ABE的面积＋△CDE的面积＝△BCE的面积（C）△ABE∽△DEC（D）△ABE∽△EBC9．如图，在□ABCD中，E为AD上一点，DE︰CE＝2︰3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF︰S△EBF︰S△ABF等于（ ）（A）4︰10︰25　（B）4︰9︰25　（C）2︰3︰5　（D）2︰5︰25题9 题10 题1110．如图，直线a∥b，AF︰FB＝3︰5，BC︰CD＝3︰1，则AE︰EC为（ ）．（A）5︰12 （B）9︰5 （C）12︰5 （D）3︰2 11．如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE＝AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC︰CD为（ ）（A）2︰1 （B）3︰2 （C）3︰1 （D）5︰212．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝9 cm，宽AB＝3 cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别为（ ）（A）4 cm、cm　（B）5 cm、cm（C）4 cm、2 cm　（D）5 cm、2 cm题12（二）细心填一填13．已知线段a＝6 cm，b＝2 cm，则a、b、a＋b的第四比例项是_____cm，a＋b与a－b的比例中项是_____cm．14．若＝＝＝－m2，则m＝______．15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______．16．如图，□ABCD中，E是AB中点，F在AD上，且AF＝FD，EF交AC于G，则AG︰AC＝______．题16 题17 题1817．如图，AB∥CD，图中共有____对相似三角形．18．如图，已知△ABC，P是AB上一点，连结CP，要使△ACP∽△ABC，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．19．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF ＝4，则DE的长等于________．题19 题20 题2120．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE ＝15，则△ABC的面积是______．21．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝8，BC＝10，则梯形ABCD面积是_________．22．如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝____________．(三)认真答一答23.方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．请你在图示的10×10的方格纸中，画出两个相似但不全等的格点三角形，并加以证明（要求所画三角形是钝角三角形，并标明相应字母）．24.如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证＝．25.如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使得CD＝BC，CE⊥BD交AD于E，连结BE交AC于F，求证AF＝FC．26.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD．求证：＋＝1．27.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH．28.如图，∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC＝b．（1）当BD与a、b之间满足怎样的关系时，△ABC∽△CDB？（2）过A作BD的垂线，与DB的延长线交于点E，若△ABC∽△CDB．求证四边形AEDC为矩形（自己完成图形）．29.如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，连结FC（AB＞AE）．（1）△AEF与△EFC是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；（2）设＝k，是否存在这样的k值，使得△AEF∽△BFC，若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由．30.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，CA＝8 cm，动点PC出发，以每秒2 cm的速度沿CA、AB运动到点B，则从C点出发多少秒时，可使S△BCP＝S△ABC31. 如图，小华家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平 行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．32. 某老师上完“三角形相似的判定”后，出了如下一道思考题：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，试问：△AOB和△DOC是否相似？某学生对上题作如下解答：答：△AOB∽△DOC．理由如下：在△AOB和△DOC中，∵AD∥BC，∴，∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB∽△DOC．请你回答，该学生的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据；如果不正确，请简要说明理由．33. 如图：四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，①过C作对角线BD的垂线交BD、AD于点E、F，求证：；②如图：若过BD上另一点E作BD的垂线交BA、BC延长线于F、G，又有什么结论呢？你会证明吗？34.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.35. （1）如图一，等边△ABC中，D是AB上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连结AE。

数学精品复习资料中考全国100份试卷分类汇编相似三角形1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）PE=EM=PMFP=FN=NPPE=EM=NP OA=2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）3、（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）=，=4、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（），AG=6、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..．故答案为：．7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）．．=，=，，，．11、（2013•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）12、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）．a∴小鸟在花圃上的概率为13、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=，DB14、（9-2图形的相似·2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x，故x的值可以为5.两种情况。