第十一篇 计数原理第3讲 二项式定理

计数原理的应用：二项式定理1. 介绍二项式定理是高中数学中的一个重要定理，也是概率论和组合数学中的基本工具之一。

它在数学和其他领域中有着广泛的应用。

本文将介绍二项式定理的基本概念，并讨论其在计算中的应用。

2. 二项式定理的表达式二项式定理可以表示为：$$(a + b)^n = C_0^n \\cdot a^n \\cdot b^0 + C_1^n \\cdot a^{n-1} \\cdot b^1 + C_2^n \\cdot a^{n-2} \\cdot b^2 + ... + C_n^n \\cdot a^0 \\cdot b^n$$ 其中，C k n表示从n个元素中选取k个元素的组合数，也等于n的阶乘除以k 的阶乘和(n−k)的阶乘的乘积。

3. 二项式定理的应用二项式定理在数学和其他领域中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用：3.1. 高阶多项式的展开二项式定理可以用来展开高阶多项式，例如：$$(a + b)^3 = C_0^3 \\cdot a^3 \\cdot b^0 + C_1^3 \\cdot a^2 \\cdot b^1 +C_2^3 \\cdot a^1 \\cdot b^2 + C_3^3 \\cdot a^0 \\cdot b^3$$展开后可以得到：a3+3a2b+3ab2+b3这对于计算复杂表达式的值非常有用。

3.2. 概率计算二项式定理在概率计算中有重要的应用。

例如，在抛硬币的实验中，抛 4 次硬币，出现正面 3 次及以上的概率可以使用二项式定理进行计算。

3.3. 组合数学二项式定理在组合数学中有着重要的地位。

组合数学主要研究从一组对象中选取若干对象构成子集的方法和性质，二项式定理正是其中的核心概念之一。

它可以用来计算组合数，并解决组合数学中的问题。

3.4. 统计学二项式定理也在统计学中有着重要应用。

例如，在二项分布中，可以通过二项式定理计算不同事件发生次数的概率分布。

二项式定理1.二项式定理n*(a + b) = _______________________________ (k , n € N )，这个公式所表示的规律叫做二项式定理.(a + b)n 的二项展开式共有 _______________ 项，其中各项的系数 ______________ (k € {0 , 1, 2,…，n})叫 做二项式系数，式中的 _____________ 叫做二项展开式的通项，用 T k +1表示，即 ____________________ •通项为展开式的第 ___________ 项.2.二项式系数的性质 (1) 对称性在二项展开式中，与首末两端等距离”的两个二项式系数相等，即 C n = C n , C n = C n , C n =,…，C n = C 0.(2) 增减性与最大值二项式系数c n ,当 _______________ 时，二项式系数是递增的；当 ______________ 时，二项式系数是递减 的.当n 是偶数时，中间的一项 _____________ 取得最大值.当n 是奇数时，中间的两项 _____________ 和 _____________ 相等，且同时取得最大值. ⑶各二项式系数的和(a + b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 ____________ ，即C 0 + C 1+ U+…+ ◎+••• + C ；； = _________ 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 c 1+ C 3+ ◎+•••=氏+ U+C 4+ …= __________ .【答案】1.++...+...+w+iCj C 制Ti 二C 紗乍护七+12.【基础自测】1在2x 2— 1 5的二项展开式中，x 的系数为( )A . 10B . — 10C . 40D .— 40解：二项展开式的通项为 T r +1= C 5(2x 2)5 'J — X / = C 525 r x 10 3r (一 1)r ，令 10— 3r = 1，解得 r = 3,所以w+_l 7T 4= C；22X （— 1）3=— 40x ,所以 x 的系数为一40•故选 D.2n *2 （1 + X ） （n € N ）的展开式中，系数最大的项是 （ ）A •第n + 1项B •第n 项C .第n + 1项D .第n 项与第n + 1项解：展开式共有2n + 1项，且各项系数与相应的二项式系数相同•故选 C.3使?x + 总］（n € N *）的展开式中含有常数项的最小的 n 为（ ）A . 4B . 5C . 6D . 74 设(X — 1)21 = a °+ a 1x + a 2X 2+…+ 玄2低21，贝V a® + a^= ________________ .解：T r + 1 = C 21X^ r (一 1)，，…a 10= C 21(一 1)" , a 11= C 21 ( 一 1)勺° •- a 10 + a 11 = 0.故填 0. 5 设「2+ X )10= a °+a 1x + a 2X 2+…+ a 10x 10,贝V (a °+ a 2 + a 4+…+ ag)2—⑻十 a 3 + a 5+…+ a g )2的值为解：设 f(x)=(”』2 + X )10，则(a °+ a ?+ a °+…+ ag)2—⑻十 a 3 + a §+…+ a g )2= [(a °+ a ?+ a °+…+ aw)+ ⑻ + a 3 + a 5+ …+ a 9)][( a o + a 2 + a 4 + …+ ag)—(a 1 + a 3 + a 5 + …+ a ?)] = f(1)f( — 1)=(岑2 + 1)10(p2 — 1)10 = 1.故填 1.【典例】 类型一求特定项例一 （1） x + a 2X — 1 5的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为 （ ）A . — 40B . — 20C . 20D . 40解：令"1,可得卄1=2, 口f的展幵式中+项的系数为C 辺（―卩工项的系数为€?2\.■.«+典肚一打的展开式中常数顷为C?2：. - 1 ］十匚工：=40一故选D.【评析】①令工=1可得所有项的系数和,②在求出口的值后，再分析常数项的构成，便可解得常数 项.广 1 帯（2）已知在 饭一 丁 '的展开式中，第6项为常数项，求含 X 2项的系数及展开式中所有的有理项.< 2钱丿 n —5 1 丨 r / 1 r n —2r解：通项 T r +1= C fi x 3 一 2 X 3= C n 一 2 X 3,•••第6项为常数项，••• r = 5时，有上器=0,得n = 10.令芝芦=2,得r = 2,二含x 2项的系数为C ?。

二项式定理知识点1•二项式定理：(a b)n C ：a n C ；a n 1b LC ：a n r b r L C ；b n (n N ),2. 基本概念：① 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b)n 的二项展开式。

② 二项式系数：展开式中各项的系数 C n r (r 0,1,2, ,n). ③ 项数：共(r 1)项，是关于a 与b 的齐次多项式④ 通项：展开式中的第 r 1项C ：a n r b r 叫做二项式展开式的通项。

用 T r 1 C ；a n r b r 表示。

3. 注意关键点：①项数：展开式中总共有 (n 1)项。

② 顺序：注意正确选择 a ,b ,其顺序不能更改。

(a b)n 与(b a)n 是不同的。

③ 指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幕排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幕排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数， 二项式系数依次是4. 常用的结论:④ 奇数项的系数和与偶数项的系数和:b 的系数 (包括二项式系数)。

C n , C n , C n ,, C n ,, C n-项的系数是a与令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ：x C ：x 2 L C ；x r L C ；x n (n N 令 a 1,b x, (1 x)n C 0 C ；x CnX 2 Lc ；x rLn n n(1) C nX (n5. 性质:①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 kk 1• • • C n②二项式系数和：令 a b 1,则二项式系数的和为Cn c nCn c n LC ： 2n,1变形式c n cL C ； LC ： 2n③奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和: 在二项式定理中，令 a 1,b 1，则 C° C 1 Cn C 31)n C ； (1 1)n从而得到：C0 CC ：Cn rc n c ； L2r 1C n大值。

第3讲二项式定理1．能用计数原理证明二项式定理．2．会用二项式定明白得决与二项展开式有关的简单问题．【温习指导】二项式定理的核心是其展开式的通项公式，温习时要熟练把握那个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用．基础梳理1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)那个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式．其中的系数C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n，C n n.3．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两头“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－rn. (2)增减性与最大值：二项式系数C k n，当k＜n＋12时，二项式系数慢慢增大．由对称性知它的后半部份是慢慢减小的；当n是偶数时，中间一项C n2n取得最大值；当n是奇数时，中间两项C n－12n，Cn＋12n取得最大值．(3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1.一个防范运用二项式定理必然要牢记通项T r＋1＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n尽管相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，必然要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部份．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可依照次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的进展和延续．两种应用(1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．(2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等．三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观看杨辉三角进行归纳总结．双基自测1．(2020·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()．A．80 B．40 C．20 D．10解析T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5x r，当r＝2时，T3＝40x2.答案 B2．假设(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，那么a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋29 2由已知条件a＝41，b＝29，那么a＋b＝70.答案 C3．(人教A版教材习题改编)假设(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，那么a0＋a2＋a4的值为()．A．9 B．8 C．7 D．6解析令x＝1，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0令x＝－1，那么a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案 B4．(2020·重庆)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，那么n＝()．A．6 B．7 C．8 D．9解析T r＋1＝C r n(3x)r＝3r C r n x r由已知条件35C5n＝36C6n即C5n＝3C6nn！5！(n－5)！＝3n！6！(n－6)！整理得n＝7答案 B5．(2020·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，那么a10＋a11＝________. 解析T r＋1＝C r21x21－r(－1)r＝(－1)r C r21x21－r由题意知a 10，a 11别离是含x 10和x 11项的系数，因此a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021，∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0.答案考向一 二项展开式中的特定项或特定项的系数【例1】►已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．[审题视点] 准确记住二项展开式的通项公式是解此类题的关键．解 通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3(－3)r x －r 3＝(－3)r C r n x n －2r 3.(1)∵第6项为常数项，∴r ＝5时，有n －2r 3＝0，解得n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝2，∴x 2的项的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－2r 3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈Z .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，那么10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，∴k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8.∴第3项，第6项，第9项为有理项，它们别离为405x 2，－61 236,295 245x －2.求二项展开式中的指定项，一样是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可．【训练1】 (2020·山东)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，那么常数a 的值为________．解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 6x 6－r (－a )r x －2r ＝C r 6x 6－3r (－a )r ，当r ＝2时，T r ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，依照已知C 26a ＝60，解得a ＝4.答案 4考向二 二项式定理中的赋值【例2】►二项式(2x －3y )9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．[审题视点] 此类问题要认真观看，对二项式中的变量正确赋值．解 设(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9.(1)二项式系数之和为C 09＋C19＋C 29＋…＋C 99＝29.(2)各项系数之和为a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1(3)由(2)知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1，令x ＝1，y ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59，将两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．二项式定理给出的是一个恒等式，对a ，b 给予一些特定的值，是解决二项式问题的一种重要思想方式．赋值法是从函数的角度来应用二项式定理，即函数f (a ，b )＝(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n .对a ，b 给予必然的值，就能够取得一个等式．【训练2】 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.①令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②(1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.考向三 二项式的和与积【例3】►(1＋2x )3(1－x )4展开式中x 项的系数为________．[审题视点] 求多个二项式积的某项系数，要会转化成二项式定理的形式． 解析 (1＋2x )3(1－x )4展开式中的x 项的系数为两个因式相乘而取得，即第一个因式的常数项和一次项别离乘以第二个因式的一次项与常数项，它为C 03(2x )0·C 14(－x )1＋C 13(2x )1·C 0414(－x )0，其系数为C03·C 14(－1)＋C 13·2＝－4＋6＝2. 答案 2关于求多个二项式的和或积的展开式中某项的系数问题，要注意排列、组合知识的运用，还要注意有关指数的运算性质．二项式定理研究两项和的展开式，关于三项式问题，一样是通过归并其中的两项或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．【训练3】 (2020·广东)x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中，x 4的系数是________(用数字作答)． 解析 原问题等价于求⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 3的系数，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的通项T r ＋1＝C r 7x 7－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x r ＝(－2)r C r 7x 7－2r ，令7－2r ＝3得r ＝2，∴x 3的系数为(－2)2C 27＝84，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x 7的展开式中x 4的系数为84. 答案 84难点冲破23——排列组合在二项展开式中的应用(a＋b)n展开式能够由次数、项数和系数来确信．(1)次数的确信从n个相同的a＋b中各取一个(a或b)乘起来，能够组成展开式中的一项，展开式中项的形式是ma p b q，其中p∈N，q∈N，p＋q＝n.(2)项数的确信知足条件p＋q＝n，p∈N，q∈N的(p，q)共n＋1组．即将(a＋b)n展开共2n项，归并同类项后共n＋1项．(3)系数的确信展开式中含a p b q(p＋q＝n)项的系数为C q n(即p个a，q个b的排列数)因此(a＋b)n 展开式中的通项是T r＋1＝C r n a n－r b r(r＝0,1,2，…，n)(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C n n b n这种方式比数学归纳法推导二项式定理更具一样性和制造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．【例如】►假设多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，那么a9＝()．A．9 B．10 C．－9 D．－10。

计数原理及二项式定理概念公式总结计数原理和二项式定理是组合数学中的基本概念之一，被广泛应用于概率统计、离散数学、组合数学等领域。

下面将对这两个概念进行详细的解释和总结。

一、计数原理计数原理是组合数学中的一种基本原理，用于求解离散数学中的计数问题。

计数原理包括基本计数原理、乘法原理、加法原理和排列组合原理。

1.基本计数原理：基本计数原理是运用数学归纳法来解决计数问题的基本方法。

它的核心思想是将一个计数问题分解为若干个互相独立的子问题，再对子问题求解，最后将子问题的解累加得到原问题的解。

2.乘法原理：乘法原理是计数原理的一种特殊形式，用于解决多阶段决策类计数问题。

乘法原理的关键是将决策问题分解为多个阶段的决策子问题，然后通过求解每个子问题在相应阶段的可选项个数，再将各阶段的可选项个数相乘得到问题的解。

3.加法原理：加法原理是计数原理的另一种特殊形式，适用于解决分情况计数问题。

加法原理的核心思想是将计数问题分解为若干个情况，然后分别计算每种情况下的计数结果，最后将各种情况下计数结果相加得到问题的解。

4.排列组合原理：排列组合原理是计数原理的核心概念，描述了从给定元素集合中选取若干元素进行排列或组合的方法。

排列组合分为无重复元素的排列组合和有重复元素的排列组合两种情况。

-无重复元素的排列组合：若从n个不同元素中选取r个元素进行排列，称为排列数，用符号P(n,r)表示，排列数的计算公式为P(n,r)=n*(n-1)*...*(n-r+1)=n!/(n-r)。

若从n个不同元素中选取r个元素进行组合，称为组合数，用符号C(n,r)表示，组合数的计算公式为C(n,r)=P(n,r)/r!=n!/(r!*(n-r)。

-有重复元素的排列组合：若从n个相同元素中选取r个元素进行排列，称为重复排列，用符号P(n;r₁,r₂,...,r_k)表示，重复排列的计算公式为P(n;r₁,r₂,...,r_k)=n!/(r₁!*r₂!*...*r_k!)，其中r₁,r₂,...,r_k分别表示重复元素的个数。

计数原理与二项式定理一、计数原理计数原理是数学中的一种基本方法，用于计算事件发生的可能性和计数问题。

这一原理主要包括排列、组合和分配原理。

1.排列原理排列是指在一组元素中取出若干个元素按照一定顺序排列的方法。

排列原理是指，对于一个有n个元素的集合，从中取出m个元素进行排列时，可以得到的不同排列数为：P(n,m)=n!/(n-m)！其中n!表示n的阶乘，即n！=n*(n-1)*(n-2)*…*3*2*12.组合原理组合是指在一组元素中取出若干个元素，不考虑顺序的方法。

组合原理是指，对于一个有n个元素的集合，从中取出m个元素进行组合时，可以得到的不同组合数为：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)3.分配原理分配原理是指，将n个物体分配给r个不同的盒子中去，每个盒子中可以有0个或多个物体，要求所有物体都要分完的方法。

分配原理可以用斯特林数或简单的计算方法得到。

二项式定理是数学中的一个重要定理，描述了一个二项式的乘积的展开式。

具体表述如下：对于任意实数a和b，以及正整数n，有以下的等式成立：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+…+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n其中C(n,m)表示从n个元素中取出m个元素的组合数。

二项式定理的展开式被称为二项式展开式，展开后的每一项被称为二项式系数，可以由组合数的形式表示。

二项式定理的表述非常简洁，但具有广泛的应用。

它可以用于计算多项式的幂、二项式系数的求解、概率论等多个领域。

总结：计数原理是一种重要的数学方法，用于解决计数问题。

它包括排列原理、组合原理和分配原理。

排列原理用于计算在有限集合中从中取出若干元素进行排列的不同可能性。

组合原理用于计算在有限集合中从中取出若干元素进行组合的不同可能性。

分配原理用于将若干物体分配给一组盒子中，每个盒子可以为空或包含多个物体。