2007年专升本高数答案

2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷题号一二三四五六总分核分人分数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分. 1.集合}5,4,3{的所有子集共有（）A. 5B. 6C. 7D. 8 2.函数x x x f 3)1arcsin()(的定义域为（）A. ]3,0[B. ]2,0[C.]3,2[ D. ]3,1[3. 当0x 时，与x不等价的无穷小量是( )A.x 2B.x sinC.1xeD.)1ln(x 4.当x是函数xx f 1arctan)(的（）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5. 设)(x f 在1x处可导，且1)1(f ，则hh f h f h)1()21(lim的值为（）A.-1B. -2C. -3D.-46.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形（）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的7.曲线31x y 的拐点是（）A.)1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(xxx f 的水平渐近线是（）A. 32yB. 32yC. 31yD. 31y9. 42tan lim xtdt x x （）A. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是（）A.C x g dx x f )()(B. C x f dx x g )()(C.C x f dxx g )()( D.Cx g dxx f )()( 11.dx x)31cos(（）A.C x)31sin(31B. C x)31sin(31C. C x)31sin( D. Cx)31sin(312. 设x dt tt y)3)(1(，则)0(y （）A.-3B.-1C.1D.3 13. 下列广义积分收敛的是（）A.1x dxB. 1x dxC.1xx dxD.10xx dx 14. 对不定积分dx xx 22cos sin 1，下列计算结果错误是（） A.C xxcot tan B.Cxxtan 1tan C. C x x tan cot D.C x2cot 15. 函数2x y 在区间]3,1[的平均值为（）A.326 B.313 C. 8 D. 416. 过Oz 轴及点)4,2,3(的平面方程为（）A. 023y xB. 02zyC. 032yx D.2z x 17. 双曲线014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为（）A. 143222zy xB.143222z yxC. 143)(22z y x D.14)(322z yx18.xy xy yx 93lim（）A. 61 B.61 C.0 D. 极限不存在19.若yx z，则)1,(e yz （）A.e1 B. 1 C.e D. 0 20. 方程132xzyz 所确定的隐函数为),(y x f z，则x z （）A.xzyz 322B.yxzz 232C. xzyz 32 D.yxzz 2321. 设C 为抛物线2x y上从)0,0(到)1,1(的一段弧，则Cdyx xydx 22（） A.-1 B.0 C.1 D.2 22.下列正项级数收敛的是（）A.2131n n B. 2ln 1n n n C.22)(ln 1n n n D.21n nnn 23.幂级数1)1(31n nn x的收敛区间为（）A.)1,1(B.)3,3(C.)4,2( D.)2,4(24. 微分x eyy y xcos 23特解形式应设为y（）A. x Ce xcos B.)sin cos (21x C xC e xC.)sin cos (21x C xC xe xD.)sin cos (212x C xC e x x25.设函数)(x f y 是微分方程xe yy2的解，且0)(0x f ，则)(x f 在0x 处（）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D.取最大值二、填空题（每题2分，共30分）26.设52)(xx f ，则]1)([x f f _________.27.!2limn nn____________.28.若函数02203)(4xa xx ex f x，，在0x 处连续，则a ____________.29.已知曲线22x x y 上点M 处的切线平行于直线15x y，则点M的坐标为 ________30.设12)(x e x f ，则)0()2007(f _________31.设12132t tyt x ，则1t dxdy __________ 32. 若函数bx axx f 2)(在1x处取得极值2，则a______，b _____得分评卷人33. dxx f x f )()( _________34．1021dx x _________35.向量k ji a 43的模||a ________ 36. 已知平面1：0752zyx与平面2：01334mz y x垂直，则m ______37.设22),(y xxy y x f ，则),(y x f ________38.已知I 2122),(yydx y x f dy ，交换积分次序后，则I_______39.若级数11n nu 收敛，则级数1111n nnu u 的和为 _______40.微分方程02yy y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列n x 单调，则n x 必收敛.( )42.若函数)(x f 在区间b a,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ，则一定不存在),(b a ，使)(f . ( )43.1sin sin limcos 1cos 1limsin sin limxx xx xxx x xxx由洛比达法则.( )44.2ln 23102ln 02dxe x. ( )45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( ) 四、计算题（每小题5分，共40分）46．求xxxsin 0lim .47.求函数3211xx xy 的导数dxdy .48.求不定积分dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x 02cos 22.50.设)3,sin (2y x y e f zx，且),(v u f 为可微函数，求dz.得分评卷人得分评卷人51．计算Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122yx.52．将242xx 展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22dxx xy y dy x 的通解.五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？55. 设平面图形D 由曲线xe y ,直线e y 及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积;(2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分）56.若)(x f 在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m .2007年河南省普通高等学校选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试(答案)一1解：子集个数D n 8223。

绝密★安徽省2007年普通高等学校专升本招生考试高等数学注意事项：1．本试卷共8页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，满分30分。

每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。

1．下列各结函数中表示同一函数的是 （ ） A ． )tan(arctan )()(x x g x x f ==与 B ．)1lg(2)()1lg()(2+=+=x x g x x f 与C ．11)(1)(2--=+=x x x g x x f 与 D ．22)(22)(+-=+-=x x x g x x x f 与2．设均存在，则及)]()([lim )]()([lim x g x f x g x f ax ax -+→→ ( ) A ．不存在存在，)(lim )([lim x g x f ax ax →→ B ．存在不存在，)(lim )(lim x g x f ax ax →→C ．存在存在，)(lim )(lim x g x f ax ax →→ D ．不存在不存在，)(lim )(lim x g x f ax a x →→ 3．当的是无穷小量时，无穷小量x x x x -→320 ( )A ．高阶无穷小B ．等价无穷小C ．低阶无穷小D ．同阶无穷小 4．=+)(2xxe d ( )A ．dx x )12(+B ．dx e x xx++2)12( C ．dx e xx+2D ．)()12(2xxe d x ++5．若函数)(,0)(0)(,)(x f y x f x f b a x f y =>''>'=则曲线且）内有在区间（在此区间内是( ) A ．单减且是凹的 B ．单减且是凸的 C ．单增且是凹的 D ．单增且是凸的6．设⎰=++=)(,11)(x f C xdx x xf 则 ( ) A ．x x +1 B ．2)1(1x x +- C ．2)1(1x +- D ．2)1(x x + 7．由直线x y x x x y 轴围成的图形绕轴及,1,1=+=轴旋转一周所得的旋转体积 为 ( )A ．π37B ．3π C ．π34D ．π388．设进行的是矩阵，由下列运算可以为矩阵，为43B 34⨯⨯A （ ）A ．B A + B ．T BAC ．ABD ．TAB9．四阶行列式第二行的元素依次为1,-2,5,3，对应的余子式的值依次为4，3，2，9，则该行列式的值为 （ ） A ．35 B ．7 C ．-7 D ．-3510．设则有，若概率为互不相容的两个事件,0)(,0)(,>>B P A P B A （ ） A ．0)|(>A B P B ．)()|(A P B A P = C ．)()()(B P A P AB P ⋅= D ．0)|(=B A P二、填空题：本题共10小题，每小题3分，满分30分，把答案填在题中横线上。

2007年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 （ ） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。

3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( )A.x 2B.x sinC.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。

应选A 。

4.当0=x 是函数xx f 1arctan )(= 的 （ ）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D. 第二类间断点解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则h h f h f h )1()21(lim 0+--→的值为（ ）A.-1B. -2C. -3D.-4解：C f h f h f h h f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim 00 。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。

2007年数二 一、选择题 1、A法一：由题意：042>-x 及01>-x ，解得：21<<x ，所以选A法二：排除法 由分母不为0可得2≠x ，迅速排除B 、C 。

且根式中式子必须大于0可排除D (通过分析可不用计算得出正确答案) 2、D因为111sin 1sinlim lim==∞→∞→xx x x x x ，所以选D （重点考察第一个重要极限 关键在于看趋向灵活应用） 3、C根据函数连续的定义：)0()(limf x f x =→，即k e x xx ==--→110)1(lim ，所以选C 4、D关于极值点，我们有如下结论：极值点可能在驻点或者不可导点处取得；如果函数可导，则极值点一定为驻点；驻点、不可导点都不一定是极值点，我们需要根据驻点（或者是不可导点）左右两侧导数的符号来进一步判断驻点（不可导点）是否是极值点，所以选D （考察驻点、不可导点和极值点的关系） 5、A由需求弹性定义：,315)31(1533P eP e Q P dP dQ pp=⋅--=⋅-=--η 所以39==p η，所以选A6、C 因为⎰=xx dt t f 02)(，利用对积分上限函数的求导公式，等式左右两侧同时关于x 求导，便得到x x f 2)(=，所以6)3(=f 选C （看到变上限积分第一反映要求导 极个别例外） 7、CA 选项中，被积函数为x 4sin ，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上恒大于等于零，所以⎰->2240sin ππxdx ，不可能为零；B 选项中，被积函数133++x x 在积分区间)1,0(上恒大于零，所以⎰++13)13(dx x x 必定大于零，不可能为零；C 选项中，被积函数12cos 24++x x xx 为奇函数，且积分区间[]1,1-为，利用“奇函数在对称区间上的定积分为0”这个性质，可判断出⎰-=++1124012cos dx x x xxD 选项中，被积函数为x x e e -+，在积分区间[]1,1-上恒大于零，所以011>+⎰--dx e e x x所以选C （该题部分选项是考察被积函数的奇偶性，上下限互为相反数，被积函数为奇函数，其值为0。

2007年高职高专升本科入学考试试卷答案一、 单项选择题1. 设)21ln(2)(x x f +=，则)(x f 的定义域是 （ ）A ．),(+∞-∞B ．),21(+∞- C ．),21[+∞- D ．)21,(--∞ ［答案］B【解析】)21ln(2)(x x f +=∴要使)(x f 有意义，必须使：021>+x ， 求解得，函数的定义域为：21->x ，即),21(+∞-，故答案为B 2. 设xe x g x x x xf =⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=)(1||,11||,01||,1)(，，则 （ ）A ．⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1||,11||,)]([x e x e x f g B ．⎩⎨⎧<≥-=1,10,1)(x x x f C ．⎪⎩⎪⎨⎧>=-<=-1||,1||,11||,)]([1x e x x e x g f D ．⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||,1||,11||,)]([x e x x e x f g ［答案］D【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||,11||,01||,1)(x x x x f ，而x e x g =)(，⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=∴,10,00,1)]([x x x x g f ，于是选项B 、C 皆不对 又⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1||,1||,11||,)]([x e x x e x f g ， 所以，判断可知选项D 正确 3. 当0→x ，下列函数中能称为2x 的等价无穷小的是 （ ）A ．1cos -xB ．2cos 1x - C ．112-+x D ．x e xsin )1(- [答案] D【解析】因为0→x 时，,sin 21cos 12x x =-又1sin lim 0=→x x x ，因此221~cos 1x x -，所以对于选项A ：221~1cos x x --，故不是正确选项；对于选项B ：同理可得241~2cos 1x x -，故也不是正确选项；对于选项C ：1111111122222++=++-+=-+x x x x x ，又2lim 11lim 2022x x x x x →→=++，因此2221~11x x -+，也不是正确选项；而选项D ：由于x x x e x ~sin ,~1-，所以2~sin )1(x x e x -，即选项D 正确4. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x xx x f n在其定义域上每一点可导，则 （ ）A ．1-=nB ．0>nC ．1>nD ．1=n[答案] C【解析】⎪⎩⎪⎨⎧=≠⋅=0,00,1sin )(x x xx x f n∴当0≠x 时，)(x f 总可导；又 )(x f 在其定义域上每一点处可导，知)(x f 在点0=x 处可导，而 xf x f f x ∆-∆+='→∆)0()0(lim)0(0xx x n x ∆∆∆=→∆1s i n)(lim0 xx n x ∆⋅∆=-→∆1s i n )(lim 1∴ 要使)0(f '存在，须01>-n ，即1>n ，故选项C 正确5. 设)(),(),(x x g x f ϕ和都是奇函数，下列函数中为偶函数的是 （ ） A ．)()()(x x g x f ϕ⋅⋅ B ．)()()(x x g x f ϕ++ C ．)()()(x x g x f ϕ⋅+ D ．)]()([)(x x g x f ϕ+⋅ [答案] D【解析】令)()()()(),()()()(21x x g x f x F x x g x f x F ϕϕ++=⋅⋅=)]()([)()(),()()()(43x x g x f x F x x g x f x F ϕϕ+⋅=⋅+=因)()()()()()()()(11x F x x g x f x x g x f x F -=-=-⋅-⋅-=-ϕϕ，所以)(1x F 为奇函数；因)()]()()([)()()()(22x F x x g x f x x g x f x F -=++-=-+-+-=-ϕϕ，所以)(2x F 也为奇函数；对于选项C ：因)()()()()()()(3x x g x f x x g x f x F ϕϕ⋅+-=-⋅-+-=-，所以)(3x F 是非奇非偶函数；对于选项D ：因)]()([)()(4x x g x f x F -+-⋅-=-ϕ)()]()([)(4x F x x g x f =+⋅=ϕ.所以)(4x F 为偶数函数，综上所述，选项D 正确6. 在闭区间]1,1[-上，下列函数中满足罗尔（Rolle ）定理全部条件的是 （ ） A ．||)(x x f = B ．2)(x x f = C ．x x f =)( D ．32)(x x f = [答案] B【解析】对于选项A ：因||)(x x f =在0=x 处不可导，所以不能满足罗尔定理的全部条件；对于选项B ：因2)(x x f =，于是)(x f 在]1,1[-上连续，且x x f 2)(='在)1,1(- 内存在，又)1(1)1(f f ==-，所以选项B 正确；选项C 中：x x f =)(，于是1)1(-=-f ，而1)1(=f ，二者不等；对于选项D ：因32)(x x f =，所以3132)(xx f ='，于是)(x f 在0=x 处不可导.综上所述，选项B 正确.7. 设)(x f 的一个原函数是2x e ，则=')(x f （ ） A ．2x xe B ．222x e x C ．2)21(22x e x + D ．2)1(22x e x + [答案] C【解析】)(x f 有原函数2x e ，则222)()(x x xe e x f ='= 于是，2222)21(242)2()(22x x x x e x e x e xe x f +=+='='8. 设⎩⎨⎧≤≤<≤=21,210,1)(x x x f ，当]2,1[∈x 时，⎰==xdt t f x 0)()(ϕ （ ）A ．x 2B ．221x + C ．12+x D ．12-x [答案] D【解析】⎩⎨⎧≤≤<≤=21,210,1)(x x x f]2,1[∈∴x 时，⎰⎰⎰+==xxdt t f dt t f dt t f x 011)()()()(ϕ⎰⎰+=xdt dt 112112|211-=+=x t x9. 直线31-==z y x 与平面012=+-+z y x 的位置关系是 （ ） A ．垂直 B ．平行但不相交 C ．直线在平面上 D ．相交但不平行 [答案] C 【解析】 直线31-==z y x 的方向向量为}3,1,1{=s 又平面012=+-+z y x 的法向量为}1,2,1{-=n 0)1(32111=-⨯+⨯+⨯=⋅∴n s ，也是n s ⊥又直线过点)1,0,0(，经判断知该点在已知平面内，故直线在平面内10. 下列微分方程中为一阶线性非齐次方程的是 （ ） A ．122=+'y y B ．1)(222=+'y y C ．0=+'y e y x x D ．2x y e y x x =+' [答案] D【解析】首先选项A 、B 中的微分方程不是线性微分方程，应排除；又选项C 可化为： 0=+'y x e y x，是一阶线性齐次方程，不符合要求；选项D 可化为：x y xe y x=+'， 是一阶线性非齐次方程，故选项D 符合要求二、 填空题11. 设x x x f +-=11)(，则函数=+-)11(1x f [答案] 2+x x【解析】 因为已知函数为：xxy +-=11∴ 求其反函数：yyx y y x x x y +-=⇒-=+⇒-=+111)1(1)1( 所以其反函数为：xxx f +-=-11)(1则x x xx x f +=+++-=+-2111111)11(112. =+→xx x 20)31(lim[答案] 6e【解析】6631020])31[(lim )31(lim e x x x x x x =+=+→→ （其中e x xx =+→10)1(lim ）13. 设函数2111)(xxe xf +-=，则)(x f 的间断点=x[答案] 0 【解析】2111)(xxe xf +-=，令211x xe +-=0，得0=x则)(x f 在0=x 处无意义，即在该点间断。

安徽专升本2007年高数答案2007参考答案一、 单项选择题（每题3分，满分30分）1.A2.C3.D4.B5.C6.B7.A8.C9.B 10.D二、 填空题（每题3分，满分30分） 11. 2t 12.1 13.y=(x+2)e x14. 10(,)y dy f x y dx ⎰ 15. 12 16. 5317. 1)] 18. -219. 9710897-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ 20. 35三、计算题（共65分）21.【精析】原式= 0lim x →3·2(sin )x x x x x -=0lim x →32sin x x x- =0lim x →361cos x x- =0lim x →22612x x =12.22. 【精析】由题意可得，'y =-''211,,1(1)y x x =-- '''(4)3412123,,(1)(1)y y x x ⋅⋅⋅==--一般地，可得 ()'(1)!(1)(1)n nn n y x •-=-- 23. 【精析】ln )x x dx ⎰=ln x xdx +⎰=21ln ()2xd x +⎰=211(1)ln 22x x x xdx -+⋅-⎰ =2211arcsin(1)ln .24x x x x C -+-+ 24.【精析】121(x dx -+⎰=121(212x dx -++⎰=11211(21)2x dx dx --++⎰⎰ =103+0 =103. 25. 【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为 (21)!!,3!n n n a n -=⋅ 则 11(21)!!3!lim lim 3(1)!(21)!!n n n n n na n n a n n ++→∞→∞+⋅=⋅⋅+- =21lim 3(1)n n n →∞++ =23由比值审敛法可知，23ρ=＜1，所以此无穷级数收敛. 26. 【精析】由题意可得，2'01sin (0)lim x x x c x f x ++→+-==01lim(1sin )x c x x x+→+- =1,则C=0. 2'00(0)lim lim()x x ax bx c c f ax b b x ---→→++-==+= 因为''(0)(0)1f f b +-===c=0, b=1, a 为任意常数.27. 【精析】令cos ,x r θ=sin ,y r θ=则其积分区域为1≤r ≤2,0≤θ≤2π, 故2222010r D d e rdr e d ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰=22e π.28. 【精析】由题意可知其增广矩阵312~112111121122573225733378400000r r r A ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2121121100151,00000r r ---⎛⎫ ⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭从而有{12343421,5 1.x x x x x x -+-=-= 令2142,,x c x c ==则原方程的全部解为{191,12,2115,32.42x C C x C x C x C =--==+=()12,C C 为任意常数29. 【精析】（1）由密度函数为p(x)= x Ae-,则()1p x dx +∞-∞=⎰， 即 0121,;2x xAe dx Ae dx A +∞+∞---∞===⎰⎰则 （2）由（1）可知A=12，则p(x)= 12x e -,有 {}11111()(1)22x P x F F e dx e +∞--<<+∞=+∞-==⎰； （3）1()0,2x E x e dx ξ+∞--∞=⋅=⎰ 21()()2x D x o e dx ξ+∞--∞=-⋅⎰ =20x x e dx +∞-⋅⎰=2四、 证明与应用题（共25分）30. 【证明】令函数22()(1)ln (1)f x x x x =++-，则 '21()(1)2ln(1)ln (1)21f x x x x x x=+⋅+⋅++-+ =22ln(1)ln (1)2x x x +++-=2[ln(1)1]12x x ++--则当x (0,1)∈时，'()0f x <，而(0)0f =，所以()0f x <，即22(1)ln (1)x x x ++<.31. 【证明】 由0k A =（k 为正整数），则21212()()k k k E A E A A A E A A A A A A ---++++=++++----=k E A -因为0,k A =则21()(),k E A E A A A E --++++=所以 E A -可逆，且121().k E A E A A A ---=++++ 32. 【精析】等式2244x y +=两边同时对x 求导，有'820x y y +⋅=，得斜率'4,x k y y==-切设（x,y ）为曲线上任意一点，切线方程为 4()x Y y X x y -=--； 上式中令Y=0，得切线在x 轴上的截距1A X x=，令X=0，得切线在y 轴上的截距4B Y y =（其中注意到2244x y +=）. 故所求面积为 1122(01);242A B S X Y x xy ππ⋅⋅=-=-<< 故2'223/212()(1)x S x x x -=--，令'()S x =0，解得()22x x ==-.由S （x ）的可导性及驻点唯一性可知，2x =是S （x ）的最小值点，所以所求的最小面积为)222S π=-.），此面积为22π-.。

2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、若2)2(lim=→x x f x ，则=∞→)21(lim xxf x （ ）A 、41 B 、21C 、2D 、42、已知当0→x 时，)1ln(22x x +是x n sin 的高阶无穷小，而x n sin 又是x cos 1-的高阶无穷小，则正整数=n （ ） A 、1B 、2C 、3D 、43、设函数)3)(2)(1()(---=x x x x x f ，则方程0)('=x f 的实根个数为 （ ） A 、1B 、2C 、3D 、44、设函数)(x f 的一个原函数为x 2sin ，则=⎰dx x f)2('（ ）A 、C x +4cosB 、C x +4cos 21C 、C x +4cos 2D 、C x +4sin5、设dt t x f x ⎰=212sin )(，则=)('x f （ ）A 、4sin x B 、2sin 2x x C 、2cos 2x x D 、4sin 2x x 6、下列级数收敛的是（ ）A 、∑∞=122n nnB 、∑∞=+11n n nC 、∑∞=-+1)1(1n nnD 、∑∞=-1)1(n nn二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）7、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=020)1()(1x x kx x f x ，在点0=x 处连续，则常数=k8、若直线m x y +=5是曲线232++=x x y 的一条切线，则常数=m9、定积分dx x x x )cos 1(43222+-⎰-的值为10、已知→a ，→b 均为单位向量，且21=⋅→→b a ，则以向量→→⋅b a 为邻边的平行四边形的面积为11、设yxz =，则全微分=dz 12、设x x e C e C y 3221+=为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分）13、求极限xx x e x x tan 1lim 0--→.14、设函数)(x y y =由方程xy e e yx=-确定，求0=x dx dy 、022=x dx yd . 15、求不定积分dxe x x⎰-2.16、计算定积分dx xx ⎰-122221. 17、设),32(xy y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2.18、求微分方程2'2007x y xy =-满足初始条件20081==x y 的特解.19、求过点)3,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=++-=+++01202z y x z y x 的平面方程.20、计算二重积分dxdy y x D⎰⎰+22，其中{}0,2|),(22≥≤+=y x y x y x D .四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）21、设平面图形由曲线21x y -=（0≥x ）及两坐标轴围成.（1）求该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体的体积；（2）求常数a 的值，使直线a y =将该平面图形分成面积相等的两部分. 22、设函数9)(23-++=cx bx ax x f 具有如下性质： （1）在点1-=x 的左侧临近单调减少；（2）在点1-=x 的右侧临近单调增加； （3）其图形在点)2,1(的两侧凹凸性发生改变. 试确定a ，b ，c 的值.五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分）23、设0>>a b ，证明：dx x f e e dx e x f dy baa x x byy x ba⎰⎰⎰++-=)()()(232.24、求证：当0>x 时，22)1(ln )1(-≥-x x x .2007年江苏省普通高校“专转本”统一考试高等数学参考答案1、B2、C3、C4、A5、D6、D7、2ln8、19、π2 10、2311、dy yxdx y 21- 12、06'5''=+-y y y 13、解：212lim 21lim 1lim tan 1lim00200==-=--=--→→→→x x x x x x x x e x e x x e x x x e . 14、解：方程xy e e yx=-，两边对x 求导数得''xy y y e e yx+=⋅-，故xe ye y dx dy y x +-=='. 又当0=x 时，0=y ，故10==x dx dy 、2022-==x dx yd .15、解：)(22)(2222xx x x x x e d x e x dx xe e x e d x dx e x ------⎰⎰⎰⎰--=+-=-=C e xe e x x x x +---=---222.16、解：令t x sin =，则41sin cos 1242212222πππ-==-⎰⎰dt t t dx x x . 17、解：'2'12yf f x z +=∂∂，)3()3(2''22''21'2''12''112x f f y f x f f yx z ⋅+⋅++⋅+⋅=∂∂∂ '2''22''12''11)32(6f xyf f y x f ++++=18、解：原方程可化为x y x y 20071'=⋅-，相应的齐次方程01'=⋅-y xy 的通解为Cx y =.可设原方程的通解为x x C y )(=.将其代入方程得x x C x C x x C 2007)()()('=-+，所以2007)('=x C ，从而C x x C +=2007)(，故原方程的通解为x C x y )2007(+=. 又2008)1(=y ，所以1=C ，于是所求特解为x x y )12007(+=.（本题有多种解法，大家不妨尝试一下） 19、解：由题意，所求平面的法向量可取为)3,1,2(112111)1,1,2()1,1,1(-=-=-⨯=→kj i n .故所求平面方程为0)3(3)2()1(2=---+-x y x ，即0532=+-+z y x .20、解：916cos 38203cos 20220222====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰πθπθθρρθθρρd d d d d dxdy y x DD.21、解：（1）⎰=-=122158)1(ππdx x V ； （2）由题意得⎰⎰-=-aady y dy y 012121)1()1(. 由此得2323)1(1)1(a a --=--. 解得31)41(1-=a .22、解：c bx ax x f ++=23)(2'，b ax x f 26)(''+=.由题意得0)1('=-f 、0)1(''=f 、2)1(=f ，解得1-=a 、3=b 、9=c23、证明：积分域D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤b x y b y a ，积分域又可表示成D ：⎩⎨⎧≤≤≤≤x y a bx ady e dx e x f dy e x f dx e x f dx e x f dy xay b ax x ay x b aDy x b yy x ba⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰===+++22222)()()()(dx x f e e dx e e e x f baa x xb aa x x ⎰⎰+-=-=)()()()(232.24、证明：令11ln )(+--=x x x x F ，显然，)(x F 在()+∞,0上连续. 由于0)1(1)(22'>++=x x x x F ，故)(x F 在()+∞,0上单调递增，于是，当10<<x 时，0)1()(=<F x F ，即11ln +-<x x x ，又012<-x ，故22)1(ln )1(->-x x x ；当1≥x 时，0)1()(=≥F x F ，即11ln +-≥x x x ，又012≥-x ，故22)1(ln )1(-≥-x x x . 综上所述，当0>x 时，总有22)1(ln )1(-≥-x x x .。

2007年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：0023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.函数f(x)=cos2x +sin 4x 的周期为（ ） A.2π B.πC.2πD.4π 2.极限=+∞→arctgx lim x （ ） A.-2π B.0 C.2π D.+∞ 3. 极限=---+++∞→)1x 2x 1x 3x (lim 22x （ ）A.0B.21C. 25D.∞4.函数f(x)= x x 1x 1lim n2n2n +-+∞→的间断点个数是（ ） A.1B.2C.3D.4 5.设函数f(x)=x 1x 1+-，则=')0(f （ ） A.-2B.0C.1D.26.曲线y=ctgx 在点（1,4π）处的法线方程为（ ） A.y-1=-2(x-4π) B.y-1=21(x-4π) C. y-1=-21(x-4π) D. y-1=2 (x-4π)7.下列结论正确的是（ ）A.点（0，0）不是曲线y=3x 3的拐点B.点（0，0）是曲线y=3x 3的拐点C.x=0是函数y=3x 3的极大值点D. x=0是函数y=3x 3的极小值点8.函数f(x)=cos πx2的一个原函数是（ ） A.ππ-x2sin 2 B.ππ-x2sin 2 C.ππx2sin 2 D.ππx2sin 29.已知f(x)=dt t 13x 32⎰+,则)2(f '=（ ） A.-62 B.-3C.3D.6210.下列广义积分发散的是（ ） A.⎰+∞∞-+dx x 112 B.⎰+∞∞-dx x 1C. ⎰-a 022dx x a 1D. ⎰+∞12dx x 111.过点(3,-2,-1)并且平行于xoz 坐标面的平面方程为（ ）A.x-3=0B.z-1=0C.y+2=0D.y-2=012.设有平面p:x-2y+z-1=0和直线L:26z 11y 11x --=+=-,则p 与L 的夹角为（） A.6πB.4πC.3πD.2π13.设函数f(x-y,x+y)=x 2-y 2，则=∂∂)y ,x (f y （ ）A.-2yB.x-yC.x+yD.x14.设函数u=(z y)x ，则du|(1,1,1)=（ ）A.dx+dy+dzB.dx+dyC.dx-dy+dzD.dy-dz15.设积分区域B ：x 2+y 2≤4，则二重积分⎰⎰σ+B 22d )y x (f 在极坐标下的累积分为（ ）A.⎰⎰πρρρθ20202d )(f d B.⎰⎰πρρθ20202d )(f d C.⎰⎰πρρρθ20402d )(f d D.⎰⎰πρρθ20402d )(f d 16.设积分区域G 是由坐标面和平面x+2y+3z=6所围成的，则三重积分⎰⎰⎰=Gdv （ ） A.6B.12C.18D.36 17.微分方程0x 3y )y (y y 2=-+''+'''的阶数是（ ）A.1B.2C.3D.418.微分方程x sin y =''的通解为y=（ ）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 19.下列绝对收敛的级数是（ ） A.∑∞=--1n n n 1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1( C.∑∞=--1n 51n n )1( D.∑∞=--1n n 21)1( 20.幂级数1+x++++n 2x !n 1x !21的收敛半径R=（ ） A.0B.1C.2D.+∞二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。

一、选择题(本大题共17小题，每小题5分，共85分.在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的)第1题函数y=lg(x-1)的定义域为【】A. RB. {x|x>0}C. {x|x>2}D. {x|x>1}【正确答案】D第2题【正确答案】C第3题【正确答案】C第4题【正确答案】C第5题【正确答案】A 第6题【正确答案】A 第7题【正确答案】B 第8题【正确答案】D 第9题【正确答案】D第10题【正确答案】B第11题【正确答案】A第12题【正确答案】C第13题设等比数列{an}的各项都为正数，若a3=1,a5=9,则公比q=【】A. 3B. 2C. -2D. -3【正确答案】A第14题已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴一个端点的距离为【】A. 8B. 6C. 4D. 2【正确答案】C第15题【正确答案】B第16题在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每两人握手一次，那么这次聚会共握手【】A. 400次B. 380次C. 240次D. 190次【正确答案】D第17题已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9.两人各独立打靶一次，则两人都打不中靶心的概率为【】A. 0.01B. 0.02C. 0.28D. 0.72【正确答案】B二、填空题(本大题共4小题。

每小题4分，共16分)第18题【正确答案】y=3x-1第19题sin(45°-α)cosα+cos(45°-α)sinα的值为___.【正确答案】第20题经验表明,某种药物的固定剂量会使心率增加,现有8个病人服用同一剂量的这种药,心率增加的次数分别为13，15，14，10，8，12，13，11,则该样本的样本方差为___.【正确答案】4.5第21题【正确答案】三、解答题(本大题共4小题。

共49分.解答应写出推理、演算步骤)第22题已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,1),B(1,0),C(3,0).求:(Ⅰ) ∠B的正弦值;(Ⅱ) △ABC的面积.第23题已知数列{an}的前n项和Sn=n(2n+1).(Ⅰ)求该数列的通项公式;(Ⅱ)判断39是该数列的第几项.第24题已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于3,并且经过点(-3,8).求: (Ⅰ)双曲线的标准方程;(Ⅱ)双曲线的焦点坐标和准线方程.第25题。

2007参考答案一、单项选择题（每题3分，满分30分） 1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.D二、填空题（每题3分，满分30分） 11.2t12.1 13.y=(x+2)e x14. 10(,)ydy f x y dx ⎰15.12 16. 5317. 1)] 18. -219. 9710897-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭20. 35三、计算题（共65分）21.【精析】原式= 0lim x →3·2(sin )x x x x x -=0lim x →32sin x x x-=0lim x →361cos x x-=0lim x →22612x x=12.22. 【精析】由题意可得， 'y =-''211,,1(1)y x x =--'''(4)3412123,,(1)(1)y y x x ⋅⋅⋅==--一般地，可得()'(1)!(1)(1)n nn n yx •-=--23. 【精析】ln )x x dx +⎰=ln dx x xdx +⎰=21ln ()2xd x +⎰=211(1)ln 22x x x xdx -+⋅-⎰=2211arcsin(1)ln .24x x x x C -+-+ 24.【精析】121(x dx -⎰=121(212x dx -++⎰=11211(21)2x dx dx --++⎰⎰=103+0 =103.25. 【精析】由题意可知，此无穷级数的通项公式为 (21)!!,3!n n n a n -=⋅则11(21)!!3!lim lim 3(1)!(21)!!n n n n n na n n a n n ++→∞→∞+⋅=⋅⋅+- =21lim3(1)n n n →∞++=23由比值审敛法可知，23ρ=＜1，所以此无穷级数收敛. 26. 【精析】由题意可得，2'01sin (0)lim x x x cx f x++→+-= =01lim(1sin )x c x x x+→+- =1,则C=0.2'00(0)limlim()x x ax bx c cf ax b b x---→→++-==+=因为''(0)(0)1f f b +-===c=0, b=1, a 为任意常数.27. 【精析】令cos ,x r θ=sin ,y r θ=则其积分区域为1≤r ≤2,0≤θ≤2π,故222201rDd e rdr e d ππθθ=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰=22e π. 28. 【精析】由题意可知其增广矩阵312~112111121122573225733378400000r r r A ------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭2121121100151,00000r r ---⎛⎫⎪−−−→- ⎪ ⎪⎝⎭从而有{12343421,5 1.x x x x x x -+-=-=令2142,,x c x c ==则原方程的全部解为{191,12,2115,32.42x C C x C x C x C =--==+=()12,C C 为任意常数29. 【精析】（1）由密度函数为p(x)= xAe-,则()1p x dx +∞-∞=⎰，即121,;2xx Aedx Ae dx A +∞+∞---∞===⎰⎰则 （2）由（1）可知A=12，则p(x)= 12xe -,有 {}11111()(1)22x P x F F e dx e +∞--<<+∞=+∞-==⎰；（3）1()0,2x E x e dx ξ+∞--∞=⋅=⎰ 21()()2xD x o e dx ξ+∞--∞=-⋅⎰=20x x e dx +∞-⋅⎰=2四、证明与应用题（共25分）30. 【证明】令函数22()(1)ln (1)f x x x x =++-，则'21()(1)2ln(1)ln (1)21f x x x x x x=+⋅+⋅++-+ =22ln(1)ln (1)2x x x +++- =2[ln(1)1]12x x ++--则当x (0,1)∈时，'()0f x <，而(0)0f =，所以()0f x <， 即22(1)ln (1)x x x ++<. 31. 【证明】 由0kA =（k 为正整数），则21212()()k k k E A E A A A E A A A A A A ---++++=++++----=kE A -因为0,kA = 则21()(),k E A E A A A E --++++=所以 E A -可逆， 且121().k E A E A A A ---=++++32. 【精析】等式2244x y +=两边同时对x 求导，有'820x y y +⋅=，得斜率'4,xk y y==-切设（x,y ）为曲线上任意一点，切线方程为 4()xY y X x y-=--；上式中令Y=0，得切线在x 轴上的截距1A X x=，令X=0，得切线在y 轴上的截距4B Y y =（其中注意到2244x y +=）. 故所求面积为 1122(01);242A B S X Y x xy ππ⋅⋅=-=-<< 故2'223/212()(1)x S x x x -=--，令'()S x =0，解得)x x ==.由S （x ）的可导性及驻点唯一性可知，x =是S （x ）的最小值点，所以所求的最小面积为(222S π=-.综上所述，所求切点为（2），此面积为22π-.。

2007年河南省专升本高数一. 单项选择题（每题2分，共计50分）1.集合}5,4,3{的所有子集共有 A. 5 B. 6 C. 7 D. 82.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[3. 当0→x时，与x 不等价的无穷小量是A.x 2B.x sinC.1-x eD.)1ln(x +4.当0=x是函数xx f 1arctan)(= 的 A.连续点 B. 可去间断点 C.跳跃间断点 D. 第二类间断点 5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则hh f h f h )1()21(lim+--→的值为A.-1B. -2C. -3D.-4 6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 7.曲线31x y +=的拐点是 A. )1,0( B. )0,1( C. )0,0( D. )1,1(8.曲线2232)(x x x f -=的水平渐近线是 A.32=y B 32-=y C. 31=y D. 31-=y 9. =⎰→42tan limx tdt x xA. 0B. 21C.2D. 110.若函数)(x f 是)(x g 的原函数，则下列等式正确的是A.⎰+=C x g dx x f )()( B.⎰+=C x f dx x g )()( C.⎰+='C x f dx x g )()( D.⎰+='C x g dx x f )()(11.⎰=-dx x )31cos(A.C x +--)31sin(31 B. C x +-)31sin(31C. C x +--)31sin(D. C x +-)31sin(3 12. 设⎰--=x dt t t y 0)3)(1(，则=')0(y A.-3 B.-1 C.1 D.313. 下列广义积分收敛的是 A.⎰+∞1xdx B.⎰+∞1xdxC.⎰+∞1xx dx D.⎰1xx dx14. 对不定积分⎰dx x x 22cos sin 1，下列计算结果错误是A.C x x +-cot tanB. C xx +-tan 1tan C.C x x +-tan cot D.C x +-2cot 15. 函数2x y =在区间]3,1[的平均值为 A.326 B.313C. 8D. 4 16. 过Oz 轴及点)4,2,3(-的平面方程为 A. 023=+yx B. 02=+z y C. 032=+y x D. 02=+z x17. 双曲线⎪⎩⎪⎨⎧==-014322y z x 绕z 轴旋转所成的曲面方程为 A.143222=-+z y x B.143222=+-z y x C.143)(22=-+z y x D.14)(322=+-z y x 18.=+-→→xy xy y x 93limA.61 B. 61-C.0D. 极限不存在 19.若y x z=，则=∂∂)1,(e yz A.e1B. 1C. eD. 0 20. 方程 132=-xz y z所确定的隐函数为),(y x f z =，则=∂∂xzA.xzy z 322- B.yxz z 232- C.xzy z 32- D.yxz z 23-21. 设C 为抛物线2x y =上从)0,0(到)1,1( 的一段弧，则⎰=+Cdy x xydx 22A.-1B.0C.1D.2 22.下列正项级数收敛的是A. ∑∞=+2131n n B. ∑∞=2ln 1n n n C. ∑∞=22)(ln 1n n n D.∑∞=21n nnn23.幂级数∑∞=++01)1(31n nn x 的收敛区间为A.)1,1(-B.)3,3(-C. )4,2(-D.)2,4(-24. 微分x e y y y x cos 23-=+'+''特解形式应设为=*y （ ）A. x Ce xcos B. )sin cos (21x C x C e x +-C. )sin cos (21x C x C xex+- D. )sin cos (212x C x C e x x +-25.设函数)(x f y =是微分方程x e y y 2='+''的解，且0)(0='x f ，则)(x f 在0x 处（ ）A.取极小值B. 取极大值C.不取极值D. 取最大值 二、填空题（每题2分，共30分） 26.设52)(+=x x f ，则=-]1)([x f f _________.27.=∞→!2lim n nn ____________. 28.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=02203)(4x ax x e x f x ，，在0=x 处连续，则=a ____________. 29.已知曲线22-+=x x y 上点M处的切线平行于直线15-=x y ，则点M的坐标为 ________30.设12)(-=x e x f ，则 =)0()2007(f _________31.设⎩⎨⎧+-=+=12132t t y t x ，则==1t dx dy__________32. 若函数bx ax x f +=2)(在1=x 处取得极值2，则=a ______，=b _____33.='⎰dx x f x f )()( _________ 34．⎰=-121dx x _________ 35.向量k j i a-+=43的模=||a ________36. 已知平面1π：0752=+-+z y x 与平面2π：01334=+++mz y x 垂直，则=m ______37.设22),(y x xy y x f +=+，则=),(y x f ________38.已知=I⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，交换积分次序后，则=I _______39.若级数∑∞=11n nu 收敛，则级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1111n n nu u 的和为 _______ 40.微分方程02=+'-''y y y 的通解为________三、判断题（每小题2分，共10分）你认为正确的在题后括号内划“√”，反之划“×”.41.若数列{}n x 单调，则{}n x 必收敛.42.若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f ≠，则一定不存在),(b a ∈ξ，使0)(=ξ'f .43.1sin sin lim cos 1cos 1lim sin sin lim-=-=+-======+-∞→∞→∞→xxx x x x x x x x x 由洛比达法则 44.2ln 23102ln 02≤-≤⎰-dx e x .45.函数),(y x f 在点),(y x P 处可微是),(y x f 在),(y x P 处连续的充分条件.( )四、计算题（每小题5分，共40分） 46．求xx x sin 0lim +→.47.求函数3211xxx y +-⋅=的导数dxdy .48.求不定积分⎰++dx x ex)]1ln([2.49.计算定积分dx x ⎰π+02cos 22 .50.设)3,sin (2y x y e f z x =，且),(v u f 为可微函数，求dz .51．计算⎰⎰Ddxdy x 2，其中D 为圆环区域：4122≤+≤y x . 52．将242x x -展开为x 的幂级数，并写出收敛区间.53．求微分方程0)2(22=--+dx x xy y dy x 的通解五、应用题（每题7分，共计14分）54. 某工厂欲建造一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容积为V 立方米，底面造价每平方米a 元，侧面造价每平方米b 元,问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？xy图07-155. 设平面图形D 由曲线x e y =,直线e y =及y 轴所围成.求：（1）平面图形D 的面积; (2) 平面图形D 绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.六、证明题（6分 56.若)(x f '在],[b a 上连续，则存在两个常数m 与M ，对于满足b x x a≤<≤21的任意两点21,x x ，证明恒有)()()()(121212x x M x f x f x x m -≤-≤-答案一. 单项选择题（每题2分，共计50分） 1.子集个数D n⇒==8223。

山东省二〇〇七年专升本统一考试高等数学真题一、填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．函数21arcsin 3x y -=的定义域为 ．2．21lim ()x x x x →∞-= ．3．曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为 ．4．积分1e dx⎰的值等于 ． 5．微分方程(1)x xe dy ye dx +=的通解为 ． 二、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分）（要求将选中的项标添在括号内）1．下列选项中可作为函数()f x 在点0x 处的导数定义的选项是（ ）需要答案的联系我 152******** QQ 86174269（A ）001lim [()()]n n f x f x n →∞+-（B ）000()()lim x x f x f x x x →-- （C ）000()()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆∆（D ）000(3)()lim x f x x f x x x ∆→+∆-+∆∆2．当0x →时，tan 2x 是（ ）（A ）比sin 3x 高阶的无穷小 （B ）比sin 3x 低阶的无穷小（C ）与sin 3x 同阶的无穷小 （D ）与sin 3x 等价的无穷小3. 曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为（ ）（A ）(1,4)-- （B ）(2,2) （C ）(0,0) （D ）(1,2)-4. 若在区间(,)a b 内，导数()0f x '>，二阶导数()0f x ''<，则函数()f x 在该区间内（ ）（A ）单调增加，曲线为凸的 （B ）单调增加，曲线为凹的（C ）单调减少，曲线为凸的 （D ）单调减少，曲线为凹的5. 若()f u 可导，且(2)x y f =，则dy =（ ）（A ）(2)x f dx ' （B ）(2)2x x f d '（C ）[(2)]2x x f d ' （D ）(2)2x x f dx '6. 设21()f x x '=（0x >），则()f x =（ ）（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （D1C +7. 设22x y z e+=，则dz =（ ） （A ）222()x y exdx ydy ++ （B ）222()x y e xdy ydx ++ （C ）22()x y exdx ydy ++ （D ）22222()x y e dx dy ++ 8. 直线221314x y z -+-==-与平面62870x y z -+-=的位置关系是（ ）（A ）平行但不共面 （B ）直线垂直于平面 （C ）直线在平面上 （D ）两者斜交9. 数项级数1(1)[1cos ]n n a n ∞=--∑（其中a 为常数）是（ ）（A ）发散的 （B ）条件收敛 （C ）收敛性根据a 确定 （D ）绝对收敛10. 微分方程20y y y '''++=的通解为（ ）（A ）12x C C e -+ （B ）12cos sin C x C x +（C ）12()x C C x e -+ （D ）x C e -三、计算题一（本题共4小题，每小题5分，满分20分）1．求极限 011lim ()1x x x e →-- ．2．求定积分0xdx ．3．设222(,,)u f x y z x y z ==++，2sin z x y =，求ux ∂∂，uy ∂∂．4．计算2cos D y dxdy ⎰⎰，其中D 是由直线1x =，2y = 与 1y x =- 所围成的闭区域． 四、计算题二（本题共2小题，每小题7分，满分14分）1．求幂级数1(1)nn n x ∞=-∑的收敛区间与和函数． 2．求微分方程(sin )0y x x dx xdy -+=的通解．五、综合题（本题共2小题，每小题8分，共16分）1．求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．2．在周长为定值l 的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大？。

2007年江苏专转本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．若，则( )A．B．C．2D．4正确答案：B解析：2．已知当x→0时，x2ln(1+x2)是sinnx的高阶无穷小，而sinnx又是1—cosx 的高阶无穷小，则正整数n等于( )A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由已知，则n＜4；又sinnx是1-cosx的高阶无穷小，即，则n＞2，所以n=3，选C3．设函数f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)，则方程f’(x)=0的实根个数为( ) A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：由于f(x)是四次多项式，故f’(x)=0是三次方程，有3个实根．4．设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则∫f’(2x)dx= ( )A．cos4x+CB．C．2cos4x+CD．sin4x+C正确答案：A解析：根据原函数的定义，f(x)=F’(x)=(sin2x)’=2cos2x，f’(x)=-4sin2x，f’(2x)=-4sin2x，所以∫f’(2x)dx=∫-4sin4xdx=cos4x+C5．设f(x)=∫1x2sint2dt，则f’(x)= ( )A．sinx4B．2xsinx2C．2xcosx2D．2xsinx4正确答案：D解析：利用变上限积分求导法则，f’(x)=sinx4(x2)’=2xsinx4．6．下列级数收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：选项A，很明显是一个发散级数(指数函数的增长速度高于幂函数增长速度).B项用比较法通项发散．对于C，由于不存在，根据定义可知该级数发散，可排除．D项，根据莱布尼兹判别法，ab=，an≥0，an单调下降，且，收敛，故此级数条件收敛．填空题7．设函数在点x=0处连续，则常数k=_______正确答案：ln2解析：由连续的定义，所以k=ln2．8．若直线y=5x+m是曲线y=x2+3x+2的一条切线，则常数m=_______正确答案：1解析：由已知，切线斜率k=y’=2x+3=5，解得x=1，代入曲线方程得y=6，即切点坐标为(1，6)，代入切线方程y=5x+m，解得m=1．9．定积分的值为_______正确答案：2π解析：根据定积分的对称性，原积分变为：【注】定积分利用定积分几何意义求，表示所围图形的面积．10．已知a，b均为单位向量，且a.b=，则以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为_______正确答案：解析：根据向量叉积，以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为S=｜a｜.｜b｜sinθ=a.b，由已知，｜a｜=1，｜b｜=1，a.b=｜a｜.｜b｜cosθ=，所以cos θ=，可得sinθ=，可得平行四边形面积为a.b=｜a｜.｜b｜sinθ=．11．设z=，则全微分dz=_______正确答案：解析：12．设y=C1e2x+C2e3x为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为______正确答案：y”-5y’+6y=0解析：由二阶常系数齐次线性微分方程通解y=C1e2x+C2e3y，可知特征根为λ1=2，λ2=3，对应特征方程为：(λ-2)(λ-3)=0，即λ2-5λ+6=0，所以对应微分方程为y”-5y’+6y=0．解答题解答时应写出推理、演算步骤。

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（一）》参考答案一．填空题： 1．()()∞+⋃.33,2 2．5ln 5cos sin 33sin 2'xx x y =3．0 4．C x x++sin 1sin ln5．()()651!52x y-⨯=6．94 7．()()()()dy e y x dx e y x du y x y x 3332cos 2cos 2+++--++-=(超纲,去掉) 8．()C y y x =++222ln二．选择题：1。

A ， 2。

D ， 3。

C ， 4。

D 。

三．计算题：1．解。

()x x y 4ln 1ln 21cos ln 2+-= ()xx x x x x x x y 4343'ln 1ln 2tan 2ln 11ln 421tan 2+--=+⋅--= 2。

解：方程两边对x 求导数，得''22'22'222'222211yy x y xy y x yy x y x y xy y x y x x y xy x y +=-⇒++=+-⇒++=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+）（ ()yx yx y y x y y x -+=⇒+=-⇒''。

3．解:令x t =，212sin lim cos 1lim cos 1lim 2==-=-+++→→→t t t t x x o t o t x 4．解：原式＝()⎰+=+++C e x d e x x 2sin 32sin 3312sin 3315．解：()⎰+dx e xe x x21＝()⎰⎰⎰+++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++dx e e x e xd e e xd x xx x x 111111)1(2＝()()()1ln 1ln 11111x x x x x x x d e x x xe C x e C e e e e ---+--=--++=-+-++++++⎰6．解：()⎰+4221tan πdx x e x ＝()=+=+⎰⎰⎰42442222tan 2sec tan 2secπππxdx e xdx e dx x x ex xx＝＝24024242402tan tan 2tan 2tan πππππe x e xdx e xdx e xexxxx==+-⎰⎰7．解：平行于直线⎩⎨⎧=--=--152032z y x z y x 的直线的方向向量应是→→→→→→→-+-=----=k j i kj iS 37521312所求直线方程为317111--=-=--z y x 8. 解：ay x D dxdy x y I D222:≤+-=⎰⎰(超纲,去掉)令a y x y x 2222sin ,cos ≤=+==ρθρθρ()()()()()[]aaa ad d d d d I a 334542454034024545432203242221123sin cos cos sin cos sin 3sin cos cos sin )sin (cos 3sin cos =+++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=-=⎰⎰⎰⎰⎰πππππππππππθθθθθθθθθθθθθθθρθθθρ9．解：原方程两边对x 求导数得()()()()()()()()()()()ia f f f x x f x f x f x f x a a f x a f x f x a f x f ±==+='===+''∴-=---=-'-=''-='λλ即对应的特征方程为方程由得由原方程令满足01)2(0)1(100)2(0)()()1(2()()()()()()()xaax x f aac a c a a f c f x c x x f x c x x f c f xc x c x f sin sin 1cos cos sin 1cos sin cos 0cos sin sin cos 110sin cos )2(22222121-+=∴-=∴+==='+-='+===+=∴即得有通解10．解：()()()()31 12121212121111211211100<<-<-⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=+∞=∞=∑∑x x x x x x x x x x f n n n n即收敛区间为四、综合题： 1．解：()()()()()()()()()()()()()()6222121S 1 3122312262622-2 310S 0,0.0 0212312623132 ),()0,0( 0 62221 10 02210 21312323132 S S ),((0,0) 10 min min 2333210202122min 23333321202122-=⎪⎭⎫ ⎝⎛==<∴<+=+===≤≤<--='+--=-++-=-+-=+===≤-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=<<∴>=''=='-='+-=---+-=-+-=+===<<⎰⎰⎰⎰S S a a S a S S a a a S a a S a a a a a dxax x dx x ax S S S a a x y ax y a S S a a a S a a S a a S a a a a a a a axx dx x ax S a a x y ax y a a a a 时取到的最小值在时在又的最小值为时故在时单调减小在和的交点坐标是与时当时在令和的交点坐标是与时当2．解法一：用二重积分交换积分次序即可证得。

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》参考答案 1 考试说明：21. 考试时间为150分钟； 32. 满分为150分43. 答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否5 则无效；64. 密封线左边各项要求填写清楚完整。

7一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8 8个空格，每一空格5分，共40分）91. 设)1ln(1-+=x y ，其反函数为11+=-x ey .102. 设23ln 2+-=x x xy ，函数y 的可去间断点为1=x . 113. 设x e x x y =)(，则曲线)(x y 与直线1=x 及x 轴所围图形绕x 轴旋转12 所得旋转体的体积为 )1(412e +π.134. 级数1nn u∞=∑收敛的必要条件为lim 0n n u →∞=.145. 确定曲线12-=x x y 的垂直渐近线为1=x ，斜渐近线为1+=x y .156. 广义积分21ln edx x x+∞=⎰1 .167. 对于x xe x y x y x y xsin )(2)(2)(=+'+''，其特解可以假设为17]sin )(cos )[(*x D Cx x B Ax e y x +++=.18二、选择题： （本题共有5个小题，每小题4分，共20分，每个小题给出19 的选项中，只有一项符合要求.） 201. 曲线13-=x y 的拐点为 （ A ）21（A ）)1,0(- (B) (1,0) (C) )2,1(-- (D) 无拐点222. 当0x →时，2(1cos )x - 是 2sin x 的（ C ）.23()A 同阶但不是等价无穷小 ()B 等价无穷小24()C 高阶无穷小 ()D 低阶无穷小253. 若2)1(='f ，则0(1)(1)limsin x f x f x→+-=（ A ）26（A ） 2 (B) 2- (C) 1 (D) 0274. 对于幂级数∑∞=-11)1(n p nn，下列说法中正确的为（ D ） 28(A ）当1<p 时，发散 (B) 当1<p 时，条件收敛29(C) 当1>p 时，条件收敛 (D) 当1>p 时，绝对收敛305. 若x x y sin =，x y sin =分别为非齐次线性方程)(x f qy y p y =+'+''的解，31 则x x y sin )1(+=为下列方程中（ B ）的解：32(A ）0=+'+''qy y p y （B ）)(2x f qy y p y =+'+''33(C) )(x f qy y p y =+'+'' (D) )(x xf qy y p y =+'+''34三、计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分，本题35 共10个小题，每小题6分，共60分）361.求曲线12+=x xe y 在点)1,0(的切线方程和法线方程.37解：x x xe e x y 22)(+='， （1分）382)0(='y （1分）39切线方程：12+=x y （2分）40法线方程：121+-=x y （2分）412. 12+=x e y x, 求)(x y '. 42解：)1ln(2121ln 2+-=x x y （3分） 43)121(12122+-+='x xx e y x （3分）443. 求微分方程xe y y y 252=+'+''的通解.45解：1）052=+'+''y y y46特征方程为 0522=++r r ，解为 i r 21±-= （2分） 47通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=- （2分） 482）设特解为 x Ae y =*，代入 求得 41=A （1分） 49故原方程通解为 x x e x C x C e y 41)2sin 2cos (21++=- （1分）504. 设函数()y y x =由方程2022=-⎰-y t dt e xy 确定，求微分dy .51解：2220y y xyy y e -''+-= （4分）52dx xyey dy y 222-=- （2分）535. 求极限)cot 11(lim 2x x xx -→. 54解： )cot 11(lim 2x x xx -→ 55xx xx x x sin cos sin lim20-=→ （2分）5630cos sin limx xx x x -=→ （2分）57313sin lim2==→xx x x （2分） 586. 确定级数∑∞=13!sin n n nn 的收敛性.59解： !!sin 33n n n n n ≤， （1分） 60由比值判别法判断，级数∑∞=13!n n n 收敛 （3分）61由比较判别法判断原级数绝对收敛 （2分）627.计算定积分20x ⎰.63解： 设t x sin 2=，2cos dx tdt = （1分）642sin 2222204sin 2cos x txt tdt π==⋅⎰⎰（1分）652204sin 2tdt π=⎰ （2分）66202(1cos4)t dt ππ=-=⎰ （2分）67688. 确定幂级数111n n n x na ∞-=∑收敛半径及收敛域，其中a 为正常数. 69解： a a a nn n 1lim1==+∞→λ （2分）70收敛半径为 a R = （1分）71当a x =时，级数发散 （1分）72当a x -=时，级数收敛 （1分）73故收敛域为 ),[a a - （1分）749. 求⎰++-dx x x x x )1(322. 75解：1123)1(3222++-=++-x x x x x x x （3分） 76C x x x dx x x x x +-+-=++-⎰arctan )1ln(ln 3)1(3222 （3分） 7710. 求解微分方程xex y y sin cos -=+'.78解： 1) 0cos =+'x y y79xdx ydycos -= （1分） 80C x y ~sin ln +-= （1分） 81x Ce y sin -= （1分） 822) x e x u y sin )(-= （1分）83x xxe x u ex u y sin sin cos )()(---'='84x x e e x u x y y sin sin )(cos --='=+', 解得，()u x x C =+ （1分） 85故 x e C x y sin )(-+= （1分）86四、综合题：（本题共4个小题，总分30分）871. (本题7分) 将函数x y arctan =展开为麦克劳林级数.88解：∑∞=-=+='022)1(11n nn x x y （3分） 89∑∞=++-==01212)1(arctan n n n x n x y （3分）90]1,1[-∈x （1分）912. (本题7分)计算2n n →∞++++92解：2214121222222+≤++++++≤+n nnn n n nn n （3分）93 由 limlim1n n→→==（3分）94可得 21n n →∞+++=+ （1分）953. (本题8分)设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>-=0,0,cos )()(x a e x xxx x f xϕ，其中()x ϕ具有二阶导数，且961)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，97(1) 确定a 的值，使)(x f 在0=x 处连续；98(2) 求)(x f '.99解：（1）0lim ()1x f x a -→=+ （1100 分）101()11cos lim ()lim x x x xf x xϕ++→→-+-=1020()(0)1cos lim (0)00x x x x x ϕϕϕ+→--⎡⎤'=+=+=⎢⎥⎣⎦， （1分） 103于是，当1-=a 时，)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f （1104 分）105（2） 当0x >时，2(()sin )(()cos )'()x x x x x f x xϕϕ'+--=， （1 分） 106当0x <时， '()x f x e = （1107 分）108当 0x =时，已知()x ϕ具有二阶导数，且1)0(=ϕ，0)0(='ϕ，1)0(=''ϕ，109110由2()cos (0)()cos (0)lim lim x x x xf x xx f xx ϕϕ+++→→---'==1110()sin ()(0)sin (0)1lim lim 22222x x x xx x xx x ϕϕϕϕ++→→'''''+-⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦=1 （1112分）11311lim )0(0=-='-→-xe f x x 114 （1分）115因为(0)(0)1f f -+''==，所以'(0)1f =.116由此得2(()sin )(()cos ),0()1,0,0x x x x x x x x f x x e x ϕϕ'+--⎧>⎪⎪'==⎨⎪<⎪⎩117（1分）1184.(本题8分)设)(x f 在),1[+∞具有连续导数，且满足方程119 ⎰=+-xdt t f t x f x 1221)()1()(， 求)(x f .120解： 0)()1()()(222=+-'+x f x x f x x xf （1分）121记 )(x f y =，易见 1)1(=y （1分）122y x x y x )12(22+-='123dx xx x y dy 2212+-= （2124 分）125C xx x y ~1ln 2ln +--= （1126 分）127xx xx x e xC Ce y 121ln 2---== （1128 分）129由1)1(=y 可知，1=C （1130 分）131综合可得 xx e xy 121-= （1132 分）133。

2007年浙江省普通高校“专升本”联考《高等数学（二）》参考答案一、填空题: 本大题共8个空格，每一空格5分，共40分。

1. 11+=-x e y 解析:恒等变形可得：)1ln(1-=-x y 11-=⇒-x e y 11+=⇒-y e x ，故反函数为：11+=-x e y 2. 1=x解析:根据函数可列出不等式⎩⎨⎧≠+->02302x x x ，因此定义域为：),2()2,1()1,0(+∞ ，又因为1321lim 23ln lim 121-=-===+-→→x x x x xx x 洛，所以1=x 是函数的可去间断点，因为∞=+-→23ln lim 22x x xx ，所以2=x 是函数的无穷间断点，故应填：1=x3. )1(42+e π解析: 依题意可得：⎰⎰⎰===102102102)(2)(x xx x e xd dx xe dx e x V πππ)1(4)212(2)212(2)]21[(2])([22222122102102+=+=+-=-=-=⎰e e e e e e dx e xe x xx πππππ4. 0lim =∞→n n u 解析: 根据收敛级数的性质：级数∑∞=1n n u 收敛的必要条件为0lim =∞→n n u5.1=x ，1+=x y 解析:函数的定义域为：{}1≠x x 因为∞=-→1lim21x x x ，所以1=x 是函数的垂直渐近线 因为1)1(lim )(lim2=-==∞→∞→x x x xx f k x x ，1)1(1lim 1lim ])([lim 22----=--=-=∞→∞→∞→x x x x x x x x kx x f b x x x 11lim =-=∞→x x x ，所以1+=x y 是函数的斜渐近线6. 1 解析:1)1()ln 1(lim )ln 1()(ln ln 1ln 122=---=-==+∞→+∞∞+∞+⎰⎰xx x d x dx x x x e e e7. ]cos )(sin )[(x d cx x b ax e x +++ 解析:特征方程为：0222=++r r ，解得特征根为：i r ±-=1，自由项为：x xe x f x sin )(=，所构造出来的根2,11r i i ≠+=+ωλ，故0=k ，所以特解可以设为：]cos )(sin )[(x d cx x b ax e x +++二、选择题: 本大题共5小题,每小题4分,共 20分。