力系简化为合力

第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。

试将此力系简化成最简形式。

解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。

将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。

用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。

用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。

因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。

合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。

2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。

距离c b a ,,为已知。

问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。

当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。

平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。

这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。

简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。

2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。

这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。

简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。

3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。

这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。

简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。

4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。

在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。

总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。

这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。

在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。

第2章　力系的等效与简化　作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。

这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。

同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。

在就是前一章中提到的力系等效的概念。

本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。

力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。

　§2-1 力系等效定理　２－１－１ 力系的主矢和主矩　２－１－２ 力系等效定理　§2-2 力偶与力偶系　２－２－１ 力偶与力偶系　２－２－２ 力偶的性质　２－２－３ 力偶系的合成　§2-3 力系的简化　２－３－１ 力向一点平移定理　２－３－２ 空间一般力系的简化　２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用　§2-4 结论和讨论　２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及　主矩矢的矢量性质　２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用　２－４－３ 关于力系简化的最后结果　２－４－４ 关于实际约束的简化模型　２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制　习 题　本章正文 返回总目录第2章　力系的等效与简化　§２－１ 力系等效定理　物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。

物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。

这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。

因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。

２－１－１　力系的主矢和主矩　主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。

16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和F F R ∑=或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即R R R 111,,nnnx xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和：∑==ni i1MM合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：∑∑∑======ni ziz ni yi y ni xi x MM MM MM 111,,或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑=平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：i M M ∑=2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。

该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。

其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。

用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。

kj i F z y x F F F ∑+∑+∑=R17力系向一点简化·主矢和主矩力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。

力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。

即F F ∑='R主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。

即)(F O O M M ∑=主矩与简化中心位置有关。

力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。

它们的解析表达式分别为R1111()nni i i i n nO i O i i i ====⎫''==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。

第2章 力系的等效简化2-1 一钢结构节点，在沿OC 、OB 、OA 的方向受到三个力的作用，已知F 1＝1kN ，F 2＝2kN ，F 3＝2kN 。

试求此力系的合力。

解答 此平面汇交力学简化为一合力，合力大小可由几何法，即力的多边形进行计算。

作力的多边形如图（a ），由图可得合力大小kN F R 1=，水平向右。

2-2 计算图中1F 、2F 、3F 三个力的合力。

已知1F ＝2kN ，2F ＝1kN ，3F ＝3kN 。

解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。

kN F F F F ix Rx 424.26.0126.0222221=´´+=´´+=S =kN F F F iy Ry 566.08.018.022222=´´=´´=S =kN F F F F iz Rz 707.313222223=´+=´+=S =kN F F F F Rz Ry Rx R 465.4222=++=合力方向的三个方向余弦值为830.0cos ,1267.0cos ,5428.0cos ======RRz R Ry R Rx F FF F F F g b a2-3已知 N F N F N F N F 24,1,32,624321====，F 5＝7N 。

求五个力合成的结果(提示：不必开根号，可使计算简化)。

解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。

N F F F F F ix Rx 0.460cos 45cos 537550043=´´++-=S =N F F F F F iy Ry 0.460sin 45cos 547550042=´´+-=S =N F F F F F iz Rz 0.445sin 7625041=´++-=S =N F F F F Rz Ry Rx R 93.634222==++=合力方向角：4454),(),(),(¢°=Ð=Ð=Ðz F y F x F R R R 。

静力学1.力是物体间的互相作用，其结果使物体的动向和形态发生变化（包括变形）。

2.力系就是作用在物体上的一群力。

3.在一般工程问题中，物体平衡是指相对地球处于静止或匀速直线运动状态。

4.力对物体作用的收效取决于力的三要素：力的大小、力的方向和力的作用点，力是个矢量。

5.作用力与反作用力的大小相等，方向相反，作用在两个不相同的物体上6.在任一力系中加上或减去一个平衡力系，其实不改变原力系对刚体的效应。

7.平面汇交力系能够合成为1个合力，其结果有2种可能情况，即合力等于零或合力不等于零。

8.物体的受力求是表示研究对象所受的主动力和拘束反力的简图。

9.平面汇交力系的合力其作用线经过力系的汇交点，其大小和方向可用力多边形的封闭边表示。

10.平面汇交力系，有两个独立的平衡方程，可求解两个未知量。

11.力在正交坐标轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小相等；力在不互相垂直的两个轴上的投影的大小与力沿这两个轴的分力的大小不相等。

12.作用在刚体上的两个力 F A、 F B，若满足 F A=－ F B的条件，则该两力可能是一对平衡力或一个力偶。

13.平面力偶系有 1 个独立的平衡方程；平面平行力系有2个独立的平衡方程。

14.力偶在任一轴上的投影恒等于零，力偶对其作用面内任一点的矩等于力偶矩，而与矩心的地址没关。

15.平面任意力系二力矩式平衡方程的限制条件是二矩心不能够与投影轴相垂直。

16.平面任意力系向作用平面内指定点简化的结果，可能有4种情况，这些情况是： 1）主矢等于零，主矩等于零，这是平衡情况；2）主矢等于零，主矩不等于零，这是力系简化为合力偶情况；3）主矢不等于零，主矩等于零，这是力系简化为合力情况； 4）主矢不等于零，主矩不等于零，这是力系能够再简化为合力情况。

17.平面任意力系向作用平面内指定点简化的结果，可能有4种情况，这些情况是： 1）主矢等于零，主矩等于零，这是平衡情况；2）主矢等于零，主矩不等于零，这是力系简化为合力偶情况；3）主矢不等于零，主矩等于零，这是力系简化为合力情况；4）主矢不等于零，主矩不等于零，这是力系能够再简化为合力情况。