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平面力系简化

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平面一般力系向一点的简化

平面一般力系向一点的简化
理论力学
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）

平面力系的简化

平面力系的简化

分布力系合力的大小等 于力系分布图形的面积
解 ： 先求合力的大小。在梁上距左端为x处取一微段dx， 其上作用力大小为qxdx。将分布力系向合力作用点简化，分布 载荷的合力为
x 1 FR = ∫ q x d x = ∫ q d x = ql 0 0 l 2
l l
目录
再求合力作用线位置。设合力FR的作用线距左端的距离为h， 微段dx上的作用力对点A的矩为–(qxdx) x。由合力矩定理，
目录
五、合力矩定理 平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩，等于 力系中各力对同一点之矩的代数和。即： O ( FR ) = ∑ M O ( Fi ) M 证明：
平面汇交力系是平面一般力系的特例，对平面汇交力系， 合力矩定理成立。
目录
例2-2
三角形分布载荷作用在水平梁AB上，最大载荷
集度为q，梁长l。试求该力系的合力。
tan α =
′ FR y ′ FR x
α = 70 . 84 °
M O = ∑ M O ( F ) = −3F1 − 1.5W1 − 3.9W2 = −2355 kN⋅ m
目录
′ FR x = 232.9 kN
′ FR y = −670.1kN
M O = −2355 kN⋅ m
（2）求合力： FR= FR’ = 709.4 kN
点的矩为： 力F对B点的矩为： 对 点的矩为
M B ( F ) = M B ( Fx ) + M B ( Fy ) = − Fx b = − Fb cos α = − 3Fb 2
目录
实例
二、力偶 1、力偶的定义
大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系， 大小相等、方向相反但不共线的两个平行力组成的力系，称为 力偶。 力偶。记作(F，F ′)

建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.

建筑力学-第4章 平面力系的简化与平衡方程.

平面固定端约束
=
=
≠
=
3、 平面任意力系的简化结果分析
=
FR 0 M O 0
合力
合力作用线过简化中心
FR 0 M O 0
合力
合力作用线距简化中心M O
FR
其中
MO d FR
M o FRd
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
FR FR FR
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
A
M
解得
0
12 FBy 10 P 6 P 1 4P 2 2 P 5F 0
FBy 77.5kN
iy
F
解得
0 FAy FBy 2 P P 1P 2 0
FAy 72.5kN
取吊车梁,画受力图.
M
解得
D
0
8FE' 4P 1 2P 2 0
Fx 0
Fy 0
FAx FB 0
FAy P 1P 2 0
M
解得
A
0
FB 5 1.5 P 1 3.5 P 2 0
FAy 50kN
FB 31kN
FAx 31kN
例4-4 已知： P, q, a, M pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.

平面力系简化的四种结果

平面力系简化的四种结果

平面力系简化的四种结果
1. 平面力系简化为一个力
当一个平面力系的合力和力矩等于零时，可以简化为一个力。

这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。

简化为一个力后，可以用这个力来计算物体的平衡条件，减少计算的复杂性。

2. 平面力系简化为两个力
当平面力系中的合力不为零，但力矩等于零时，可以简化为两个力。

这两个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩为零的条件决定。

简化为两个力后，可以将平面力系分解为两个简单的力，便于计算物体的平衡条件。

3. 平面力系简化为一个力和一个力矩
当平面力系中的合力和力矩均不为零时，可以简化为一个力和一个力矩。

这个力的大小和方向由合力的大小和方向决定，作用点则由力矩不为零的条件决定。

简化为一个力和一个力矩后，可以通过力的作用点和力矩的大小和方向来计算物体的平衡条件。

4. 平面力系无法简化
当平面力系中的合力和力矩均不为零，且无法简化为一个力和一个力矩时，需要保持平面力系的复杂性进行计算。

在这种情况下，需要考虑力的合成、力矩的叠加等复杂计算方法，以求得物体的平衡
条件。

总结起来，平面力系简化的四种结果为：简化为一个力、简化为两个力、简化为一个力和一个力矩，以及无法简化。

这些简化结果的应用可以大大简化平面力系的计算过程，提高计算的效率和准确性。

在实际应用中，根据平面力系的特点和计算需求，选择合适的简化方法可以更好地解决力学问题。

平面任意力系的简化

平面任意力系的简化
F' F" F
作用在刚体上的力是滑移矢量。
定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后， 不改变其作用效应。
刚 体
变 形 体
作用于刚体上力的三要素:大小、方向、作用线.
2、力的平移
F
F
A
B
A
B
F
A
B
MB
A rBA
B
力的平移定理:作用在刚体上某一点的 力F可以平移到刚体内任一点，但必须 同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点的矩。
❖ 平移定理分析：平面内的一个力和一个力偶也可以合成一个 力。
2、平面任意力系向一点简化
Fn
o
据力的平移定理
An
A2
O
O
A1
F2
F1 O为简化中心
FR 为一个作用在O点上的力。 MO 为一个作用在刚体上的力偶。
•主矢
•主矩
（与简化中心O无关）
（与简化中心O有关）
结论：平面任意力系向作用面内任一点简化， 可得到一个力和一个力偶，该力的作用线通过 简化中心，其大小原力系的主矢，该力偶的力 偶矩等于原力系对简化中心的主矩。
机械设计基础
平面任意力系的简化
❖ 1、力的平移定理
加减平衡力系原理：
在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变 原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理
F
A
F
B
若 {P1, P2,, Pm} {0} 则 {F1, F2,, Fn}
{F1, F2,, Fn , P1, P2,, Pm}
力沿作用线移动 力的可传性： F
(F2
F3 )
j
n
MO ri Fi

理论力学平面力系的简化和平衡

理论力学平面力系的简化和平衡

原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0

2平面任意力系简化2-25

为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：

平面力系最终简化结果

平面力系最终简化结果
平面力系的简化结果可以包括以下几点：
1. 找出前后的冗余力：当前后同时存在多个外力，而其中部分是相互抵消的，可以通过相互抵消取消该力；
2. 找出同向的冗余力：当前后存在多个相同方向上的外力时，可以将其合并为一个总力；
3. 减少力的数量：当可以由多个外力合并为一个力时，可以减少拆解成基本力的数量；
4. 将三角形面力系拆解成两个把手：在三角形面受力系中，可以将三个外力组合为两个把手，并把其中一个把手的力合并成一个力；
5. 将外力组合为平行力系：在分析中，一般外力都是偏斜的，而只有当其方向一致时，才可以将多个外力合并为一个力；
6. 将冗余力组合成复杂力：冗余力可以通过将其组合成复杂力而减少其方向，从而显著减少冗余力的数量；
7. 将冗余力组合成把手力：将冗余力组合成一个把手力可以减少多个的冗余力，从而显著减少冗余力的数量。

8. 合并多个外力：当多个外力的方向正确时，就可以将多个外力合并为一个力，从而显著减少多个外力的数量；
9. 将外力组合成悬空力：当受力情况中满足悬垂条件或平衡条件时，可以将多个外力组合成一个悬空力，从而减少外力数量。

平面力系的简化

平面 力系 的简
化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx，Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足
下式要求。
Rx=F1x+F2x+…+Fnx=∑Fix Ry=F1y+F2y+…+Fny=∑Fiy
（2-12）
由合力的投影可以求出合力的大小和方向。
大小：
（2-13）
方向：
（2-14）
平面 力系 的简
化
力系的主矢是由原力系中的各分力的大小 和方向决定的，与简化中心的位置无关；而主 矩等于原力系中的各力对简化中心力矩的代数 和，当简化中心的位置不同时，得到的主矩的 大小和转向一般是不同的，即主矩与简化中心 的位置有关。
平面 力系 的简
化
2.平面任意力系简化结果的分析
平面任意力系向其作用面内的任意一点简化，得到 一个主矢R和一个主矩MO，但实际力系的作用情况不同 时，简化的结果也不一样，具体情况包括下面几种。
平面 力系 的简
化
1.几何法
如图2-4（a）所示，在刚体上作用一汇交力系，汇交点 为刚体上的O点。根据力的可传性原理，将各力沿作用线移 至汇交点，成为共点力系，然后根据平行四边形法则，依次 将各力两两合成，求出作用在O点的合力R。也可以连续应用 力的三角形法则，逐步合成求出合力R，如图2-4（b）所示。
平面汇交力系的简化的合力的大小和方向等于各分
力的矢量和，即R=F1+F2+…+Fn=∑Fi
（2-15）
平面 力系 的简
化
1.平面任意力系向一点的简化
平面任意力系向其作用面内任意一 点简化，可得到一个力和一个力偶。该 力作用于简化中心，其大小和方向等于 原力系的各力的矢量和；该力偶的力偶 矩等于原力系中各力对简化中心力矩的 代数和。

平面任意力系 简化与平衡


P
列平衡方程 MB Fi 0,
FA b W a b Ge Pl 0
解得
FA
1 b
W
a
b
G
e
P
l
A
B
FA b FB
将其代入条件 FA ≥ 0，即得满载时平衡块的重量应满足
W ≥ 1 Ge Pl
ab
W ≤ Geb
a
W ≥ 1 Ge Pl
ab
所以，要保证起重机在空载和 满载时都不翻倒，平衡块重应 满足不等式
y FT
FAx A
D
FAy
FB
Bx
P
2m 1m
3m
4）求解未知量
解得
FAx 2.4 kN
FAy 1.2 kN
FB 0.85 kN
杆 BC 所受的力与FB是作用力与反作用力的关系，即杆 BC 所受的 力为 0.85 kN，是拉力
[例5] 横梁 AB 用三根杆支撑，受图示载荷。已知 F = 10 kN， M = 50 kN·m，若不计构件自重，试求三杆 所受的力。
2. 分布载荷的合成结果 均布载荷
q Fq ql
A
B
l/2
l
线性分布载荷
Fq ql /2
q
A
B
2l /3
l
三、平面任意力系简化结果的讨论
4）FR 0 且 MO 0
FR Fi' Fi
FR 0
F
' Rx
Fix'
Fix
F
' Ry
Fiy'
Fiy
Fix 0 Fiy 0
MO Mi MO Fi
W a
eC
G P
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x
A
O的合力 R' ,且
R' = Fi = Yi
o
x
(2) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且
MO = mo(Fi) = F x
(3) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R
R = R' = Fi = Yi
y
3m
C
P1
1.5m
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
5.7m
22
解: (1)取O为简化中心
ACB arctan AB 16.70 CB
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin
670.1kN
y
3m
C
P1
1.5m
原力系对于简化中心O的主矩.
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
7
结论:平面任意力系简化为主矢和主矩
力系的主矢 R'只是原力系中各力的矢量和,所以 它的大小和方向与简化中心的位置无关 .
力系对于简化中心的主矩Mo ,一般与简化中心的 位置有关.
(c) R' 0 , Mo 0 力系可以简化为一个合力R ,其 大小和方向均与R'相同.而作用线位置与简化中
心点O的距离为: d M o
R
9
(d) R' = 0 , Mo = 0 原力系为平衡力系.其简化 结果与简化中心的位置无关.
(3)合力矩定理
R
当平面任意力系简化为一
个合力时,合力对力系所在平
FR
x 3.514
即： y 2.878x 10.114
F2
A
x
FR
24
再见
25
y
F1
x1
一个平面平行力系F1,F2,… R'
Fn
o
取坐标原点O为简化中心
xn x2 MO F2
Fn
x
将力系简化可得主矢R'和主
矩MO ,其中
R' = Fi = Yi
MO = mo(Fi) = F x
13
y
简化结果的讨论
R
(1) R' 0 , Mo = 0 原力系简
化为一个作用于简化中心
F1
3.9m P2
F2
O B
A
x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 709.4kN
5.7m
cos(FR ,i )
Fx 0.3283 FR
(FR,i ) 70.840
cos(FR , j )
Fy 0.9446 FR
23
MO MO (F )
1 3
qm
l2
AC 2 l
3
17
例题3-3.求图示按线性规律变化的线荷载的 合力 大小和合力作用点C的位置.
b
a q1
A l
q2 B
18
AC

q1 2q2
3 q1 q2
l
R
b
qdx
a
q2
q1
A
dx C
B
l
l
解:(1) R qdx
0

l 0
q1
q2

q1

x l
dx

1 2
q1
q2 l
R
AC

l 0
qxdx

l 0
q1
q2
q1
x l
xdx

1 6
2q2
q1 l 2
AC

q1 2q2
3 q1 q2

l
19
a q1 A
l
q1 A
l
A l
b
(2)应用叠加原理
q2B R1=q1lq1 NhomakorabeaB
A
lC1
B
q2 -q1 A
B
2l / 3
R2

1 2
q2

q1
l
q2 -q1
l
C2
B
20
R
R1
q1
3 q1
2q2 q2

l
R2
利用同向平
A
行力的合成得:
C1 C C2
B
l
R
=
R1
+
R2

1 2
q1

q2 l
AC

q1 2q2
3 q1 q2
l
21
例题2-4.重力坝受力情 形如图所示，已知： P1=450kN，P2=200kN， F1=300kN，F2=70kN。 求力系向点O简化的结 果，合力与基线OA的交 点到点O的距离x，以及 合力作用线方程。
平面力系简化
教案
1
内容提要
.平面任意力系
2-3.平面任意力系向一点的简化 平行分布的线荷载
2
.力线平移定理
作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体的 任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶 矩等于原来的力对此指定点的矩.
3
证明：设一力F作用于刚体 的A点上 ,且此力到指定点O 的距离为d.
F1+F2 = 0 F1 = F2 = F
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
R
42.01
11
R'
25kN
MA
d
A
1m
1m
20kN 60o
1m
B
30o
18kN
R
求力系的主矩
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o = 32.64 kN·m
d M A 32.64 0.777 m R 42.01
12
平面平行力系的简化
设在某一物体上作用有
F1= F1 , F2'= F2 ,…Fn'= Fn m1= mo(F1), m2= mo(F2),… mn= mo(Fn)
F1' m1 o
F2'
m2
Fn'
mn
6
将这两个力系分别进行合成.
原力系的主矢.
R' = F1' + F2' +…+ Fn' = F1 + F2 +…+ Fn R' = Fi
固定端支座: 既能限制物体移动又能限制物体转动的约束.
A
mA
XA A
YA
8
(2)简化结果的讨论.
(a) R' 0 , Mo = 0 原力系简化为一个作用于简化 中心O的合力 R' ,且
R' = Fi (b) R' = 0 , Mo 0 原力系简化为一个力偶.此力偶
即为原力系的合力偶,其力偶矩等于主矩Mo ,且 Mo = mo(Fi)
3F1 1.5P1 3.9P 2355kN
y
3m
C
(2)求合力作用线的位置
P1
1.5m
x M O 2355 3.514 m Fy 670 .1
F1
D3.9(mx,yP)2
(3)求合力作用线方程
O B
在合力作用线上任选一点D(x,y) MO
5.7m
x
y 0 tan(70.840 )
[F1 , ( F2 , F )]
F1 m od
F
AA
F2
[F1 , m = Fd] mo(F) = Fd = m
[F , m = Fd]
4
2-3.平面一般力系向一点的简化 平面一般力系向一点简化的实质是一个平面任
意力系变换为平面汇交力系和平面力偶系
(1)主矢和主矩
F2
F1
A2
A1
o
An Fn
5
根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力 系转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'以及相应的一个力偶矩分别为m1, m2,… mn的附 加平面力偶系.其中
O
面内任一点的矩,等于力系中
d
A
各力对同一点的矩的代数和.
mo(R) = ROA = R'OA = MO MO = mo(Fi) mo(R) = mo(Fi)
10
例题3-1.图示力系有合力.试求合力的大小,方向及
作用线到A点的距离. 25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
b R
R qxi
B
a
q
b
q
a
C
A
C
B
l/2
xi
A
l
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(3)按照线性规律变化的线荷载
R
b
合力大小:
qdx
R l qdx l qm xdx