下载文档原格式
F(t) k i (z y)m ,z935.1已知机械系统如图 9-7所示，m 「m 2为质量块，m ,受外力F(t)作用。
弹簧的弹性系数如图示,如不计摩擦，自选一定数目的状态变量，建立系统的状态空间描述。
提示：设中间变量质量块mi 的位移为Z ，根据牛顿定律有同理对质量块m 2有k 1(z y)k 2y m 2y②设状态变量X 1z x 2 z X 1 X 3y X 4 y X 3由式①x 2 zk 1 X 1k 1 F(t) X 3m 1m 1m 1由式②X 4 yk 1X 1 k 1k 2 X 3m 2m 2因此有0 10 1X 1 k 1k1X 1 X 1 X 2 X 3 叶0 0 m10 k ? 1 X 2X 3 m 1 F(t) y 0 00 X 2 1 0 2X 3 k 1 0k 1 0 X 4m 2m2X 4X 49.3.5.2 已知系统结构图 如图 9-8 所示。
试写出系统的状态方程和输出方程 (要求与成矢量形式)X 2 1 X 1 y—a ------------------------ r * s 22 10 XX u提示： 2 1 11 Ox图 9-7 题 9.3.5.1(1) y 5y 7y 3y u 6u 8u (2) y 5y 7y3y u 3u 2u0 1 00 提示: (1) x0 0 1 x0 u，状态结构图略3751y 8 6 1 x935.3 已知系统的微分方程，试建立其相应的状态空间描述，并画出相应的状态结构图。
构图略。
0 1 0 0⑵x0 01 x 0 u，状态结3 7 5 1y145 x u9.3.5.4判断下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的 A 阵。
1 0 0 (1)①(t) 0 sin t cost 0 cost sin t 提示：(1)不是状态转移矩阵，因为①(0) I 。
(2) 1 2t-(1 e ) 22te9.3.5.5 9.3.5.6 (2)是。
第九章线性系统的状态空间分析与综合9-1 线性系统的状态空间描述9-2 线性系统的可控性与可观性9-3 线性定常系统的反馈结构及状态观测器9-4 李雅普诺夫稳定性分析9-5 控制系统状态空间设计9凯莱-哈密顿定理设n 阶矩阵A 的特征多项式：则A 满足其特征方程，即推论1 矩阵A 的次幂可表示为A 的n-1阶多项式：式中与A 阵的元素有关。
1110()n n n f I A a a a λλλλλ−−=−=++++ 1110()n n n f A A a A a A a I−−=++++ ()k k n ≥10 , n k mm m A A k n α−==≥∑m α9秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：其中，A 为n 维方阵；称为系统的可控性判别阵。
0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ 1n rank B AB A B n −⎡⎤=⎣⎦1 n S B AB A B −⎡⎤=⎣⎦9PBH 秩判据线性定常连续系统：其状态完全可控的充分必要条件是：式中，是矩阵A 的所有特征值。
另一种等价描述为：说明：因为这个判据是由波波夫(Popov ) 和贝尔维奇(Belevitch ) 首先提出，并由豪塔斯(Hautus ) 最先指出其可广泛应用性，故称为PBH 秩判据。
0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ (1,2,,)i i n λ= [] ; 1,2,,i rank I A B n i nλ−== [] ; rank sI A B n s C−=∀∈9对角线规范型判据线性定常连续系统：矩阵A 的特征值两两相异，变为对角线规范型：系统完全可控的充要条件不包含元素全为零的行12,,,n λλλ 12 0 0 n x x Bu λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0()()(), (0), 0xt Ax t Bu t x x t =+=≥ B4. 输出可控性如果系统需要控制的是输出量，而不是状态，则需要研究系统的输出可控性。
第9章 习题参考答案9-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x =-+试确定系统有几个平衡状态，分析各平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。
解 3x x x =-+由30x x -+=解得1230, 1, 1e e e x x x ===-。
作出系统的相轨迹图如下：平衡状态(0, 0)稳定，平衡状态(1, 0), (1, 0)-不稳定。
9-2 已知非线性系统的微分方程为(1) 320x x x ++= (2) 0x xx x ++= (3) 0x x x ++= (4) 2(1)0x x x x --+= 试确定系统的奇点及其类型，并概略绘制系统的相轨迹图。
解 (1) 奇点(0, 0)。
特征方程为2320λλ++=两个特征根为1,21, 2λ=--平衡点(0, 0)为稳定节点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(2) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为0x x +=其特征方程为210λ+=两个特征根为1,2j λ=±平衡点(0, 0)为中心点。
在奇点附近的概略相轨迹图：x(3) 奇点(0, 0)。
原方程可改写为0000x x x x x x x x ++=≥⎧⎨+-=<⎩其特征方程、特征根和类型为21,221,2100.50.866 10 1.618, 0.618 j λλλλλλ⎧++==-±⎪⎨+-==-⎪⎩稳定焦点鞍点 在奇点附近的概略相轨迹图：(4) 奇点(0, 0)。
在平衡点(0, 0)的邻域内线性化，得到的线性化模型为x x x-+=其特征方程为210λλ-+=两个特征根为1,20.50.866jλ=±平衡点(0, 0)为不稳定焦点。
在奇点附近的概略相轨迹图：xx9-3 非线性系统的结构图如图9-48所示。
系统开始是静止的，输入信号r(t)＝4·1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，在e-e平面上画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所示。
图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量12[,,...,]T p u u u u =和12[,,...,]T q y y y y =表示，它们均为系统的外部变量。
描述系统内部每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量12[,,...,]T n x x x x =表示。
系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。
系统的数学描述通常由两种基本类型。
一种是系统的外部描述，即输入-输出描述。
这种描述将系统看成为一个“黑箱”，只是反映系统外部变量间即输入-输出间的因果关系，而不去表征系统的内部结构和内部变量。
如第一章至第六章所研究的单输入-单输出线性定常连续系统，其外部数学描述就是一个n 阶微分方程及对应的传递函数。
系统描述的另一种类型是内部描述，即状态空间描述。
这种描述是基于系统内部结构分析的一类数学模型，通常由两个数学方程组成。
一个是反映系统内部变量12[,,...,]T n x x x x =和输入变量12[,,...,]T p u u u u =间因果关系的数学表达式，常具有微分方程或差分方程的形式，称为状态方程。
另一个是表征系统内部变量12[,,...,]T n x x x x =，及输入变量12[,,...,]T p u u u u =12[,,...,]T p u u u u =和输出变量12[,,...,]T q y y y y =间转换关系的数学表达式，具有代数方程的形式，称为输出方程。
在以后的研究中可以看到，外部描述仅描述系统的外部特性，不能反映系统的内部结构特性，而具有完全不同内部结构的两个系统也可能具有相同的外部特性，因而外部描述通常只是对系统的一种不完全的描述。
内部描述则是对系统的一种完全的描述，它能完全表征系统的所有动力学特征。
仅当在系统具有一定属性的条件下，两种描述才具有等价关系。
2. 系统描述中常用的基本概念无论是系统的外部描述还是系统的内部描述，下列的一些概念是常用的，现给出其定义，以便读者在学习本章和阅读国内外有关文献时更清楚地理解系统的性质和分类。
输入和输出 由外部施加到系统上的全部激励称为输入，能从外部量测到的来自系统的信息称为输出。
松弛性 若系统的输出y [t 0,∞]由输入u [t 0,∞]唯一确定，则称系统在t 0时刻是松弛的。
从能量的观点看，系统在t 0时刻是松弛的意味着系统在时刻不存贮能量。
例如一个RLC 网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在t 0时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在t 0时刻是松弛的。
若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定，而且与初始条件有关。
对于一个松弛系统，其输入—输出描述为y Hu = (9-1)式中H 为某一算子，例如传递函数就是一种算子。
因果性 若系统在t 时他刻的输出仅取决于在t 时刻和t 之前的输入，而与t 时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性或因果关系(Causal)。
本书中所研究的实际物理系统均具有因果性，并称为因果系统。
若系统在t 时刻的输出尚与t 时刻之后的输入有关，则称系统不具有因果性。
不具有因果性的系统能够预测t 时刻之后的输入并施加于系统而影响其输出。
线性 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u 1和u 2。
以及任何实数α均有1212()H u u Hu Hu +=+ (9-2)11()()H u H u αα= (9-3)则该系统称为线性的，否则称为非线性的。
式(9-2)称为可加性，式(9-3)称为齐次性。
若松弛系统具有这两种特性，则称该系统满足叠加原理。
时不变性（定常性） 一个松弛系统当且仅当对于任何输入u 和任何实数α，均有HQ u Q Hu αα= (9—4)则该系统称为时不变的或定常的，否则称为时变的。
式中Q α为位移算子，Q u α表示对于所有t 均有 ()()Q u t u t αα=- (9—5)式(9—4)又可写为HQ u Q y αα= (9—6)线性时不变(定常)系统数学方程中各项的系数必为常数，只要有一项的系数是时间的函数，则系统是时变的。
3. 系统状态空间描述常用的基本概念下面所介绍的是在系统状态空间描述中常用的一些基本概念。
状态和状态变量 系统在时间域中的行为或运动信息的集合称为状态。
确定系统状态的一组独立(数目最小)的变量称为状态变量。
一个用n 阶微分方程描述的系统，当n 个初始条件x(t 0)，ẋ(t 0)，…，x n−1(t 0)及t ≥t 0的输入u(t)给定时，可惟一确定方程的解，即系统将来的状态，故工x(t)，ẋ(t)，… ，x n−1(t)这n 个独立变量可选作状态变量。
状态变量对于确定系统的行为既是必要的，也是充分的。
n 阶系统状态变量所含独立变量的个数为n 。
显然，当变量个数小于n 时，便不能完全确定n 阶系统的状态，而当变量个数大于n 时，对于确定系统的状态有的变量则是多余的。
状态变量的选取不具有惟一性，同一个系统可能有多种不同的状态变量选取方法。
状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。
但在具体工程问题中，应尽可能选取容易量测的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反馈等设计要求。
例如，机械系统中常选取线(角)位移和线(角)速度作为变量，RLC 网络中则常选取流经电感的电流和电容的端电压作为状态变量。
状态变量常用符号12(),(),...,()n x t x t x t 表示。
状态向量 把描述系统状态的n 个状态变量12(),(),...,()n x t x t x t 看作向量x(t)的分量，即 12()[(),(),...,()]T n x t x t x t x t =则向量x(t)称为n 维状态向量。
给定t ＝t 0时的初始状态向量X(to)及t ≥t 0的输入向量u(t),t ≥t 0的状态由状态向量x(t 0)惟一确定。
状态空间 以n 个状态变量作为基底所组成的n 维空间称为状态空间。
状态轨迹 系统在任一时刻的状态，在状态空间中用一点来表示。
随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间中描绘出一条轨迹。
这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨迹或状态轨线。
状态方程 描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组(连续时间系统)或一阶差分方程组(离散时间系统)称为系统的状态方程。
状态方程表征了系统由输入所引起的内部状态变化，其一般形式为.()[(),(),]x t f x t u t t = （9-7）或1()[(),(),]k k k k x t f x t u t t += （9-8）输出方程 描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间函数关系的代数方程称为输出方程，其一般形式为()[(),(),]y t g x t u t t = （9-9）或()[(),(),]k k k k y t g x t u t t = （9-10）输出方程表征了系统内部状态变化和输入所引起的系统输出变化，它是一个变换过程。
状态空间表达式 状态方程与输出方程的组合称为状态空间表达式，又称动态方程，其一般形式为.()[(),(),]()[(),(),]==x t f x t u t t y t g x t u t t （9-11）或1()[(),(),]()[(),(),]k k k k k k k k x t f x t u t t y t g x t u t t +== （9-12）自治系统 若在系统的状态空间表达式中，函数f 和g 均不显含时间t 或k t 则称该系统为自治系统，其状态空间表达式的一般形式为.()[(),()]()[(),()]x t f x t u t y t g x t u t == (9-13)或1()[(),()]()[(),()]k k k k k k x t f x t u t y t g x t u t +== (9-14)线性系统 若在系统的状态空间表达式中，f 和g 均是线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。
线性系统的状态空间表达式 线性系统的状态方程是一阶向量线性微分方程或一阶向量线性差分方程，输出方程是向量代数方程。
线性连续时间系统状态空间表达式的一般形式为.()()()()()()()()()()x t A t x t B t u t y t C t x t D t u t =+=+ （9-15）对于线性离散时间系统，由于在实践中常取t k =kT (T 为采样周期)，其状态空间表达式的一般形式可写为(1)()()()()()()()()()x k G k x k H k u k y k C k x k D k u k +=+=+ （9-16） 通常，若状态x 、输入u 、输出y 的维数分别为n,p,q ,则称n n ⨯矩阵A(c)及G(k)为系统矩阵或状态矩阵或系数矩阵，称n ×p 矩阵B(t)及H(k)为控制矩阵或输入矩阵，称q ×n 矩阵C(t)及C(k)为观测矩阵或输出矩阵，称q ×p 矩阵D(t)及D(k)为前馈矩阵或输入输出矩阵。
