最新人教版高中数学选修4-5证明不等式的基本方法整合2

∴假设不成立，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.
证法二：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2， 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ≥f(1)＋f(3)－2f(2) ＝(1＋b＋c)＋(9＋3b＋c)－2(4＋2b＋c)＝2. 两式显然矛盾，∴原假设不成立． ∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于21.
反证法
• 1．要证不等式M>N，先假设M≤N，由题设及其他性 质，推出矛盾，从而肯定M>N成立．凡涉及证明不 等式为否定性命题，唯一性命题或是含“至多”、 “至少”等字句时，可考虑使用反证法．
• 2．反证法证明不等式的步骤是：反设(假设不等式 的结论不成立)→归谬(从假设出发，经过推理论证， 得出矛盾)→断言(由矛盾得出反设不成立)．反证法
证法二：∵|x＋y|≤|x|＋|y|，∴|x|＋|y|－|x＋y|≥0. 由真分数性质ba<ab＋ ＋mm(0<a<b，m>0)知 1＋|x＋|x＋y|y|≤1＋|x＋|x＋y|＋y|＋|x||＋x|＋|y||－y|－|x＋|x＋y| y| ＝1＋|x||＋x|＋|y||y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|. 即1＋|x＋|x＋y| y|≤1＋|x||x|＋1＋|y||y|成立．
(7)利用常用结论：
①1＝ k
2 k＋
k>
2 k＋
k＋1＝2(
k＋1－
k)，
1＝ k
2 k＋
k<
2 k＋
k－1＝2(
k－
k－1)(k∈N＋，k&g－1 1－1k；k12>kk＋1 1＝1k－k＋1 1(程度大)；

x
()
(2)比较法最终要判断式子果的思维方法,它是从已知条件出发,经过逐步推理,
最后达到待证的结论. ( )
(4)分析法又叫逆推证法或执果索因法,是从待证结论出发,一步一步地寻求结论
成立的必要条件,最后达到题设的已知条件或已被证明的事实. ( )
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2.基本不等式 (1)基本不等式判断大小的基本原则:积定_和__最__小__,和定_积__最__大__. (2)基本不等式使用的基本原则:_一__正__二__定__三__相__等__.
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【知识点辨析】(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)已知x为实数,则1+x+ 1 ≥3.
提示:(1)×.不知道x的正负,不能直接用基本不等式. (2)×.作商比较法是商与1的大小比较. (3)√.综合法是从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等逐步推导出结论. (4)×.分析法是从结论出发,寻找结论成立的充分条件.
第二节 证明不等式的基本方法
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
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【教材·知识梳理】 1.不等式的证明方法 (1)综合法:又叫顺推证法或由因导果法,方法是从_已__知__条__件__出__发__,_利__用__定__义__、__公__ _理__、__定__理__、__性__质__等逐步推导出结论. (2)分析法:又叫执果索因法,方法是从_结__论__出发,逐步寻找结论成立的_充__分__条__ _件__,直至所需条件为_已__知__条__件__或__一__个__明__显__成__立__的__事__实__. (3)作差法与作商法:作差法是作差后与0比较,作商法是把两个_正__数__作商后与 _1_比较.

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第二讲证明不等式的基本方法一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知错误!〉错误!,则下列不等式一定成立的是( ）A．a2〉b2B．lg a>lg bC。

错误!>错误!D。

错误!b>错误!a解析：从已知不等式入手：错误!〉错误!⇔a〉b(c≠0)，其中a，b可异号或其中一个为0，由此否定A、B、C，应选D。

答案:D2．若错误!〈错误!<0,则下列结论不正确的是（)A．a2〈b2B．ab〈b2C。

错误!＋错误!>2 D．|a｜＋｜b｜〉|a＋b|解析：因为错误!〈错误!〈0⇔错误!⇔错误!⇔b<a〈0.由此判定A、B、C正确，应选D。

答案:D3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时,要做的假设是（）A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根解析：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x2＋ax＋b＝0没有实根．故应选A.答案：A4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( ）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°解析：至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°.所以，反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度．答案:B5．设x>0，y〉0,x＋y＝1,错误!＋错误!的最大值是( )A．1 B。

当要证的不等式不知如何入手时，可考虑用分析法去证
明，特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效．
数学 选修4-5
第二讲 证明不等式的基本方法
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由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一
步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，逐步推导出不
综合法证明不等式
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知的不 等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出所要 证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推证 的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点的几个重
要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑
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此时(a－b)(bn－an)＜0； 当a＝b＞0时，bn－an＝0，a－b＝0， 此时(a－b)·(bn－an)＝0. 综上所述：(a＋b)(an＋bn)－2(an＋1＋bn＋1)≤0.
即：(a＋b)(an＋bn)≤2(an＋1＋bn＋1)．
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解析： 设 a，b 两边的夹角为 θ，则由余弦定理： a2＋b2－c2 cos θ＝ 2ab 因为 0<θ<π a2＋b2－c2 ∴cos θ<1∴ <1 2ab