扭摆法测钢丝的切变模量(新)
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实验5-3 扭摆法测钢丝的切变模量
材料受外力作用时必然会发生形变，弹性模量是描述金属材料抵抗形变能力的物理量。
在切向外力作用下，材料切向发生形变，根据胡克定律，切向应力与应变之比称为剪切弹性模量，也称切变膜量。
本实验用扭摆法测量钢丝的切变膜量。
实验中将涉及较多的长度量的测量，应根据不同的测量对象，选择不同精度的测量仪器。
本实验还将涉及振动周期测量，要求周期的测量须有较高的准确度。
【实验目的】
1．学会用扭摆法测钢丝的切变模量。
2．学会用MUJ-5B 计时计数测速仪测量周期的方法。
【实验器材】
钢丝、扭摆、MUJ-5B 计时计数测速仪、游标卡尺、千分尺、钢卷尺等。
【实验原理】
取一长方形弹性体如图5-3-1所示，使其下平面固定，在它的上表面（面积为S ）施加一个外力F ，物体将发生形变成为斜的平行六面体，这种形变称为切变。
形变后距底面不同距离处的形变量不同，但相对性变量相等，即：
tan AA BB OA OB
γ''
== 式中γ称为切变角，单位：弧度。
当γ值较小时，tan γγ≈。
实验表明，在弹性限度内，切应力S F /与切变角γ成正比，即
F S
G γ= （5-3-1）
式中比例系数G 为切变模量，单位：N ·m -2。
G 是描述物体切变弹性的物理量，即：切变模量，是由具体的材料所确定的常数。
如G 值大，表明该材料在受外力作用时，其切应变小。
实验中将一金属钢丝上端固定，下端与一水平金属圆盘中心相连，这就构成一扭摆，如图5-3-2所示。
可把扭摆的悬丝看作长度为L 、直径为d 的圆柱形弹性固体，上端固定，下端可以绕轴扭转。
在切向外力F 作用下，下端绕过θ角，切向发生形变，悬丝侧面转过γ，此时悬丝受一弹性恢复力矩M 。
弹性恢复力矩M 与转角θ的关系为
θK M -= （5-3-2）
式中的K 称为扭转系数。
悬丝发生形变后，在它内部就会引起一个弹性力F '，促使物体恢复原状，并与迫使它形变的那个外力维持平衡，则
F F GS γ'=-=- （5-3-3）
假定在悬丝中切出一个半径为r 、厚度为dr 、长度为L 的圆筒形体积元，如图5-3-3b
图5-3-1 长方形弹性体
图5-3-2 扭摆结构示意
a) b)
图5-3-3 圆筒形体积元示意图
所示。
因发生切向形变，底周上的p 点转至p '位置，其侧面转过γ角，该体积元下端面的恢复力矩即为
2dM rG rdr γπ'=-⋅ （5-3-4）
设圆弧PP ＇的弧长为l 。
如果1γ<<（即L l <<），则l L γ≈。
另一方面，又有θr l =，因此r L θγ=，即
r L
θ
γ=
（5-3-5）
故
r rdr r L G M d )2(πθ⎪⎭
⎫
⎝⎛-=' （5-3-6） 将上式积分，得悬丝下端产生的总的恢复力矩为 θππθL d G dr r L G M d 32242
/0
3-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='⎰
（5-3-7） 因θK M -=，故
L
d G
K 324
π= （5-3-8）
先在扭摆的圆盘上施加一外力矩，使其绕中心轴扭转一角度
θ，由于悬丝上端固定，所以悬
丝因扭转产生弹性恢复力矩。
外力撤去后，在弹性恢复力矩M 作用下圆盘绕中心轴线作往复扭动。
忽略空气阻力矩的作用，根据刚体转动定律有
d M J dt
θ
=202 （5-3-9）
式中J 0为刚体对悬线轴的转动惯量。
由式（5-3-2）和式（5-3-9）可得扭摆的运动方程为
d K
dt J θθ+=22
0 （5-3-10） 可见圆盘作简谐振动，其振动周期为
J T K
=0
02 （5-3-11）
如果测得0T 、d 、L 和J 0的值，可由式（5-3-8）和式（5-3-11）求得切变模量G 。
由于扭摆的圆盘带有夹具，这给测量J 0带来困难，故在测出0T 后，可利用一个对其质心轴的转动惯量为已知的物体将它附加到圆盘上，并使其质心位于扭摆悬线上，组成复合体。
本实验的附加物体为一圆环。
设圆环对其质心轴的转动惯量为J 1，则J 1的大小为
()J m D D =
+22
11218
（5-3-12） 式中m 为圆环质量，1D 和2D 分别为圆环的内、外直径。
在圆盘上放置圆环后，总的转动惯量为J 0+J 1，其振动周期为
T =12 （5-3-13） 由式（5-3-11）和式（5-3-13）消去J 0得
K J T T π=-2
122
104 （5-3-14）
由式（5-3-8）和式（5-3-14）得
22
12422
1016()
()
Lm D D G d T T π+=- （5-3-15） 【实验内容】
1．用物理天平称出圆环质量m 。
2．用游标卡尺测出圆环的内、外直径1D 和2D ，分别测量5次。
3．用千分尺测出钢丝直径d ，在钢丝的不同部位进行测量，共测量5次。
4．装配扭摆，使钢丝与作为扭摆的圆盘面垂直，圆环能方便地置于圆盘上。
5．用米尺测出钢丝的有效长度L 。
6．测量底盘的振动周期0T 。
首先调整底盘水平，然后扭动圆盘使圆盘绕竖直轴扭动（注意：扭摆的中心不能晃动），用MUJ-5B 计时计数测速仪（使用方法参见实验5-1仪器介绍）测量其振动周期0T 。
30个周期记一次时间，共测量5次。
7．在底盘上加上圆环，重复以上操作，测出其振动周期1T 。
30个周期记一次时间，共测量5次。
8．将多次测量数据记录在数据表内。
实验数据表见表5-3-1。
表5-3-1 多次测量实验数据记录表
【数据处理】
1．计算各直接测量量的平均值及不确定度。
2．将各测量值代入式（5-3-15），求出钢丝的切变模量G。
3．根据不确定度传递公式计算切变模量G的不确定度，并正确表示测量结果。
【思考题】
γ<<的条1．如果扭摆的幅角为π，结合钢丝长度L和直径d，分析一下测试是否满足1件？
2．为什么要选用转动惯量J
较大的钢环附加在扭摆底盘上？
1。
