高级数理逻辑第11讲全解

数理11详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数理11是指数学和物理两个学科的结合，通过运用数学的方法和原理来解决物理问题。

它涵盖了许多数学和物理的基本概念和应用，是理解和掌握数学和物理的重要基础。

在数理11中，学生将学习到一些基本的数学概念，如代数、几何、函数、微积分等。

这些数学概念在物理学中有广泛的应用，可以帮助我们分析和解释自然界中的各种现象和规律。

同时，数理11也会介绍一些物理学的基本概念，如力、能量、运动、电磁学等，通过数学的方法来描述和解决物理问题。

通过学习数理11，学生不仅可以理解数学和物理的基本原理，还可以培养一种科学思维和解决问题的能力。

数理11所学到的数学和物理的知识与技能也是许多其他高级学科和职业所必需的基础。

本篇文章将介绍数理11的概念、应用和挑战，旨在帮助读者更好地理解和应用数理11的知识。

在接下来的章节中，我们将分别对数理11的概念、应用和挑战进行详细的讨论，并对数理11的重要性和未来发展进行总结和展望。

希望通过本篇文章的阅读，读者能够加深对数理11的了解，并在实际学习和应用中更好地运用数理11的知识和方法。

数理11不仅是学习数学和物理的基础，也是培养科学素养和解决实际问题的重要途径。

1.2 文章结构文章结构的部分内容可以包括以下内容：本文将从三个方面对数理11进行详解，分别是数理11的概念、数理11的应用和数理11的挑战。

下面将对这三个方面进行具体介绍。

首先，在第二部分"2.正文"中，将详细阐述数理11的概念。

我们将探讨数理11的定义、发展历程以及其在数理领域的重要性。

通过对数理11的深入理解，读者将能够清晰地把握数理11的基本概念和相关知识。

接下来，在正文的第二个部分，即2.2 数理11的应用，我们将介绍数理11在实际应用中的重要性。

我们将通过实例和案例的分析，展示数理11在各个领域的应用情况，包括但不限于自然科学、工程技术和社会经济等。

通过这一部分的阐述，读者将能够深刻认识到数理11在现代社会中的广泛应用和重要性。

设R为A上的一个等价关系，则对于a∈A， [a]R={x|<a,x>∈R}称为a的关于R的等价类。 商集
设R为A上的一个等价关系，则 A/R={[a]R|a∈A}称为A关于R的商集。 等价类的性质
∪[a]R=A [a]R=[b]R iff aRb [a]R≠Ф
A/R是A的一个划分。
映射
复合关系
设R是由A到B的一个二元关系，S是由B到C的一个二元关 系，则
R◦S={<x,z>|存在y ∈B，使得<x,y>∈R且<y,z>∈S}称为R 与S的复合关系
逆关系
设R是由A到B的一个二元关系，则 R-1= {<y,x>|<x,y>∈R} 称为R的逆关系。
关系的性质
设R是A上的一个二元关系 自反
✓ 所有中学生打网球。 ✓ 王君不打网球。 ➢ 王君不是中学生。
可推导性关系的内因
表象：前提、结论的真值
语义范畴
内因：前提、结论的逻辑形式
语法范畴
两个例子的逻辑形式相同
✓ S中的所有元有R性质。 ✓ a没有R性质。 ➢ a不是S中的元。
数理逻辑的研究内容
形式语言
无二义性、精确的、普遍适用的符号语言 自然语言存在二义性、不精确 语义：涉及符号、表达式的具体涵义 语法：仅涉及表达式的形式结构
ZF公理体系
外延公理
S=T iff (x)(x S x T)为真
子集公理
S T iff (x)(x S x T)为真
空集存在公理幂集P(A) = {a | a为A的子集}
集合的运算
对于集S，T 并
SUT {x | x S x T}
交
SI T {x | x S x T}

.
4
数理逻辑
正如著名的计算机软件大师 戴克斯特拉 (E.W.Dijkstra)曾经说过：我 现在年纪大了，搞了这么多年软件，错误 不知犯了多少，现在觉悟了。我想，假如 我早在数理逻辑上好好下点功夫的话，我 就不会犯这么多错误。不少东西逻辑学家 早就说过了，可是我不知道。要是我能年 轻20岁的话，我就会回去学逻辑。
P∧Q的真值为真，当且 T T T
仅当P和Q的真值均为真。
.
11
命题逻辑
• 或者“∨”（析取）
表示“或者”，“或者”有二义性，看下面 两个例子：
例1. 灯泡或者线路有故障。 例2. 第一节课上数学或者上英语。
例1中的或者是可兼取的或。即或者“∨”
例2中的或者是不可兼取的或，也称之为异或、 排斥或。即“ ”.
.
12
命题逻辑
P：灯泡有故障。 Q：线路有故障。 例1中的复合命题可 表示为：P∨Q，读 成P或者Q，P∨Q的 真值为F，当且仅当 P与Q均为F。
P Q P∨Q FF F FT T TF T
TT T
.
13
命题逻辑
P：第一节上数学。
Q：第一节上英语。
P Q P Q
例2中的复合命题
可写成P Q，读 成P异或Q。
P Q的真值为F，
FF F FT T TF T
TT F
当且仅当P与Q的真值相同。
.
14
命题逻辑
• 蕴含(条件)“”
表示“如果… 则 …”，“当...则...”,“若... 那么...”，“假如...那么...”
例如： P表示：缺少水分。
Q表示：植物会死亡。
PQ：如果缺少水分，植物就会死亡。
PQ：也称之为蕴含式，读成“如果P则

A和B不相交<=>﹁(x)(xA^xB)． ▪ 若A和B不是不相交的，就称A和B是相交的．
例如
{1，2} {1，2，3}， {1，2} {1，2}， {1，2}和{3，4，5}不相交， {1，2}和{2，3，4}相交。
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9．2．2 特殊集合
空集和全集是两个特殊集合．它们的概念相 简单，但在集合论中的地位却很重要．下面 介绍这两个集合．
AB<=>(x)(xA→xB)．
当A不是B的子集合时，即AB不成立时，记作A B(子集合可简称为子 集)。
▪ 注意区分和．例如
{a} {{a},b} 但 {a} {{a}，b}，
{a，b}{a，b，{a}} 但 {a，b}{a，b，{a}}．
AB表示A是B的一个元素，AB表示A的每个元素都是B的元素．此外， 是集合论的原始符号，这是一个基本概念；但是是由定义出来的概 念．
▪ 这个定义也可以写成
A=B<=>(x)(xA←→xB)，
A≠B<=>(x)﹁(xA←→xB)．
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▪ 这个定义就是集合论中的外延公理，也叫外延原 理．它实质上是说“一个集合是由它的元素完全决 定的”．因此，可以用不同的表示方法(外延的或内 涵的)，用不同的性质、条件和内涵表示同一个集 合．例如
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9．3．2 广义并和广义交
▪ 广义并和广义交是一元运算，是对一个集合 的集合A进行的运算．它们分别求A中所有元 素的并和交，A中可以有任意多个元素，它们 就可以求任意个元素的并和交．A中若有无限 多个元素，它们就可以求无限多个元素的井 和交．广义并和广义交是并集和交集的推 广．
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介绍基于高级数理逻辑研究的智 能推理算法，让计算机更高效地 进行推理和判断。
多值逻辑及其应用
多值逻辑概述
介绍多值逻辑的概念、基本原理以及与二值逻 辑的区别。
多值逻辑在人工智能中的应用
深入研究多值逻辑在自然语言处理、机器学习 和智能系统中的应用，以提高其智能水平。
多值逻辑在计算机科学中的应用
探索多值逻辑在计算机编程、信息理论和密码 学等方面的应用。
模型检验方法
介绍基于多值逻辑的模型检验方法及其应用， 以确保系统或软件的正确性。
模态逻辑理论及扩展
1
经典模态逻辑
2
探讨经典模态逻辑的语法、语义、推理
规则及其应用。
3
非经典模态逻辑
4
介绍非经典模态逻辑，如增长逻辑、其 他模态逻辑和拓扑逻辑等，并探讨其应
用。
模态逻辑概述
介绍模态逻辑的基本概念、语言和语义。
二阶逻辑理论及应用
1 二阶逻辑概述
介绍二阶逻辑中的语法、 语义和推理规则。
Hale Waihona Puke 2 二阶逻辑的应用探讨二阶逻辑在模型论、 计算机科学和数学中的应 用。
3 高维逻辑
介绍高维逻辑的概念、语 言和语义，以及它在数学、 物理学和哲学中的应用。
可计算论概述及相关定理
可计算性理论
介绍可计算性理论和计算模型， 如图灵机、λ演算和递归函数等。
动态模态逻辑
研究模态逻辑中时间、知识和行动等概 念的语义和推理规则。
一阶逻辑及其扩展
概述
介绍一阶逻辑中的语法、语义和 推理规则。
一阶逻辑扩展
研究一阶逻辑的拓展，如高阶逻 辑、无限值逻辑和时态逻辑等， 并探讨其应用。
程序语言理论
介绍一阶逻辑在程序语言理论中 的应用，包括程序设计、程序分 析和验证等。

探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
反思感悟判断一个命题的真假通常有以下两种方法:
(1)分清该命题的条件与结论,直接根据我们已学过的定义、定理、公理、
法则、公式、事实等判断其真假,也可通过反例判断其真假.将命题改写成
“若p,则q”的形式后,判断此命题真假的方法如下:
①若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可确定“若p,则q”为真;而确定“若p,则
(1)“若x+y=0,则x,y互为相反数”的否命题;
(2)“对顶角相等”的逆命题;
(3)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题;
(4)若a≥0或b≥0,则a+b≥0.
分析可以先根据要求写出每个命题,再判断真假.也可以不写出命
题,而利用四种命题之间的等价关系进行判断.
第二十页，共30页。
探究
(tànjiū)一
三
思维辨析
变式训练1判断下列语句是否为命题,若是,则判断其真假;若不是,则说
明理由.
(1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d.
(2)对立事件一定是互斥事件.
(3)函数y=cos x的最小正周期是π吗?
(4)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列.
(5)求证:若x∈R,则x2-x+1>0.
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(3)(方法一)“直角三角形的两个锐角互为余角”的逆否命题是“若一个三角
形的两个锐角不互为余角,则这个三角形不是直角三角形”,是真命题.
(方法二)因为命题“直角三角形的两个锐角互为余角”是真命题,而原命

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1.2 数理逻辑的发展过程
第五阶段：公理集合论促进了数理逻辑形式 系统的产生 英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数 学家罗素在集合论的研究过程中，于1903 年提出了著名的罗素悖论（数学史上的第 三次危机）。罗素悖论动摇了集合论的基 础，促使人们去研究数学中的矛盾性。从 而提出了公理集合论。公理集合论的产生 和发展，促进了形式系统的产生。
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1.1 基本概念
语义 涉及符号和符号表达式的涵义。 语法 涉及符号表达式的形式结构，不考虑 任何对语言的解释。
两者既有区别又有联系。
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1.2 数理逻辑的发展过程
逻辑学→数理逻辑→形式逻辑→计算逻辑 第一阶段：逻辑学思想的提出 亚里士多德提出建立探索人类推理、 思维原则的学科，从而有了逻辑的概念。
14
1.2 数理逻辑的发展过程
第四阶段：发展为独立的学科 十九世纪末二十世纪初，数理逻辑有 了比较大的发展，1884年，德国数学家弗 雷格出版了《数论的基础》和《符号论》， 在书中引入量词的符号，使得数理逻辑的 符号系统更加完备。对建立这门学科做出 贡献的，还有美国人皮尔斯，他也在著作 中引入了逻辑符号。从而使现代数理逻辑 最基本的理论基础逐步形成，成为一门独 立的学科。
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1.2 数理逻辑的发展过程
第六阶段：形式推理自动化的产生 1965年Robinson提出了归结原理 （Principle of Resolution），归结原理提 出了基于形式描述的，利用计算机的推理 方法。从而使机器定理证明和计算机辅助 软件工程得到长足的发展。

> 0,
> 0,
从而 1- ≥ -2, 或 1- > -2, 解得 0<a≤3.故所求正实数 a 的取
1 + ≤ 10,
1 + < 10
值范围是(0,3].
答案:(0,3]
第十七页，共34页。
专题(zhuāntí)
归纳
专题三
专题
(zhuānt
í)一
高考(ɡāo kǎo)
体验
全称命题与特称命题
解(1)特称命题,否定:∀α∈R,sin2α+cos2α=1,真命题.
(2)全称命题,否定:∃直线l,l没有斜率,真命题.
(3)特称命题,否定:∀x∈R,
1
≠2,真命题.
2
-+1
第十八页，共34页。
专题(zhuāntí)
归纳
高考(ɡāo kǎo)
体验
专题
(zhuāntí)
一
专题二
专题三
专题四

+
2
1 =1,因为

1
1
m>n>0,所以 0< < ,因此
椭圆焦点在y轴上,反之亦成立.所以“m>n>0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点
在y轴上的椭圆”的充要条件.∴为假命题.
④∵p∨q为假命题,∴p与q均为假命题.∴ p, q为真命题,一定有
( p)∧( q)为真命题,故为真命题.
专题二
专题三
专题四
【例3】 判断下列命题是全称命题还是特称命题,用符号写出其否定
并判断命题的否定的真假性.
(1)有一个实数α,sin2α+cos2α≠1;

细说“命题及其关系“有关命题及其关系，已经在近来几年好多省市的试卷中出现，经常和其他知识结合起来进行综合观察，多以选择题和填空题形式出现，偶而也有解答题。

学习命题及其关系，应注意理解一个命题和其他三个命题之间的关系，注意正确区分否命题与命题的否认，理解互为逆否命题之间的等价性及其在证明中的应用。

一、知识点精讲1．命题一般地，，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。

其中判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题。

说明：〔 1〕其实不是任何语句都是命题，只有那些能判断真假的语句才是命题。

一般来说，疑问句、祈使句、感想句都不是命题；〔 2〕一个命题，一般可用一个小写英文字母表示，如：p 、 q 、r等。

2．命题的结构在数学中，拥有“假设 p 那么 q 〞这种形式的命题是常有的，我们把这种形式命题中的p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论。

数学中有一些命题诚然表面上不是“假设p 那么 q 〞的形式，但是把它的表述作合适改变，也可以写成“假设p 那么 q 〞的形式。

3．四种命题交换原命题的条件和结论，所得的命题是抗命题；同时否认原命题的条件和结论，所得的命题可否命题；交换原命题的条件和结论，并且同时否认，所得的命题是逆否命题。

这些结论用于写一个命题的抗命题、否命题与逆否命题十分方便。

4．四种命题的形式用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论，用p 、q 分别表示p 和 q 的否认，四种形式就是：原命题：假设p ，那么 q ，即 p q ；抗命题：假设 q ，那么 p ，即 q p ；否命题：假设p 那么q ，即 p q ；逆否命题：假设 q 那么 p ，即 qp 。

5．四种命题之间的关系6 ．四种命题间真假命题的判断一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题 抗命题 否命题 逆否命题 真 真 真 真 真 假 假 真 假 真 真 假 假假假假说明：〔 1〕两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；〔 2〕两个命题互为抗命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

幼儿园中班逻辑高第11课8月底弥漫着开学气息，9月1日就可大声说：“家有小学生一枚！”。

Booker的求学之路启程了，门打开了，请随意发挥吧。

作为家长莫名有点紧张感，毕竟素质（应试）教育开始了。

不过，对他们来说，一切都是好奇和兴奋，连教室的空气都是新鲜的，还有新书的清香味。

这次要做的火柴棒游戏，相对小朋友来说比较复杂和难懂。

但幼升小考试和小学阶段，火柴棒的题目又作为逻辑思维中必考的一道题目，因为它的复杂性导致很多孩子，甚至家长看到这类题目都头大，无从下手。

趁着小学开学之际，我对着市面上的资料和文章进行了全面、详细的研究，也一起学习了火柴棒的网课，理解透后整理的文章。

现在请跟着Smart一起，由易入难解开火柴棒的神秘面纱，让复杂的问题迎刃而解。

好了，先来一道火柴棒的题目来给家长热热身。

1.课程引入火柴棒有什么作用，一般什么情况下会使用他们？先给孩子们提这个问题，引导他们去想象。

比如它可以生火、搭建、玩游戏、点生日蛋糕、计数等等，火柴棒是靠摩擦起火的，就像远古时候燧人氏发明了砖木取火一样。

火柴棒虽然是小小的个子，但是可以做很多不可思议的事情，如果没有合理使用可能造成很大的破坏力。

对我们小朋友来说，火柴棒可以摆出很多好玩的图形和数字，里面有无穷的奥秘值得探索。

2.火柴棒的分堆计数孩子们可以使用火柴棒进行计数游戏，理解分组的概念，理解一个大数字分组后更加容易识别。

具体如下：给每个孩子50根火柴棒，让孩子分别以2、5、10三个一堆分别把50个火柴摆出来。

比如2根火柴棒一堆，那么就有25堆，5根火柴棒一堆，就有10堆，尤其是以5为堆，熟悉5、15、20、25、45等对认识时钟的刻度有很大的帮助。

从这个活动中，孩子们可以理解每组分的数量越大，总堆数就少，就越容易理解和计算。

比如5*10就是50，孩子无需了解乘法概念，只需要数一下每堆数量、总共几堆。

所以乘法背后其实就是加法的不断累加。

相反，均分其实就是除法的一种形式。

逻辑联结词的综合应用
已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2， ＋∞)上单调递增．q：关于x的不等式ax2－ax＋1＞0解集为R. 若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．
[思路导引] p真，求a的范围 ―→ q真，求a的范围 ―→
p，q一真一假，求a ―→ 结果
综合应用逻辑联结词求参数范围的一般步骤：
(3)此命题为“p 且 q”的形式，其中 p： 2∈Q，q： 2∈ R.因为 p 为假命题，q 为真命题，所以 p 且 q 为假命题，故原命 题为假命题.9 分
(4)此命题为“非 p”的形式，其中 p：A⊆(A∪B)，因为 p 为真命题，所以“非 p”为假命题，故原命题为假命题.12 分
判断含逻辑联结词的命题真假的步骤
解析： 命题 p 为真⇔0＜a＜1.命题 q 为真⇔ax2－x＋a＞0 恒成立⇔aΔ＞＝01－4a2＜0 ⇔a＞12.
如果“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题，那么 p、q
中一个为真，另一个为假．
若 p 为真 q 为假，则 0＜a＜1 且 a≤21，所以 0＜a≤21.
若 p 为假 q 为真，则 a≤0 或 a≥1，且 a＞12，所以 a≥1.
“¬p”
“非p”
(1)不含逻辑联结词“且”“或”“非”的命题是简单命
题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题是复合命题，因此就 有“p且q”“p或q”“非p”形式的复合命题，其中p、q是简单命题 ，由简单命题构成复合命题的关键是对逻辑联结词“且”“或”“ 非”的理解．
(2)用集合的观点理解“且”“或”“非”的含义 设集合A＝{x|x满足命题p}，集合B＝{x|x满足命题q}，U为 全集，则p且q对应于A∩B，p或q对应于A∪B，¬p对应于∁UA.

一、有穷集之间的构造
例 A=P({1,2,3}), B={0,1}{1,2,3} 解： A={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
B={ f0, f1, … , f7 }, 其中 f0={<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1={<1,0>,<2,0>,<3,1>}, f2={<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3={<1,0>,<2,1>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5={<1,1>,<2,0>,<3,1>}, f6={<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7={<1,1>,<2,1>,<3,1>}.
令 f：A→B,
f()=f0,
f({1})=f1, f({2})=f2, f({3})=f3,
f({1,2})=f4, f({1,3})=f5, f({2,3})=f6, f({1,2,3})=f7
构造从A到B的双射函数（续）
二、实数区间之间构造双射
构造方法：直线方程
例 A=[0,1]
B=[1/4,1/2] 构造双射 f :A→B
T(x) 1 0 1 0 0 1 1 1
自然映射
5. 设 R 是 A 上的等价关系, 令 g：A→A/R g(a) = [a], a∈A 称 g 是从 A 到商集 A/R 的自然映射.
➢ 恒等关系确定的自然映射是双射, 其他的自然映射一 般来说是满射.

集合归纳定义的一般情况
设M为集合，gi为ni元函数，i=1,2,…,k。 两种等价的定义：
(1)M⊆S (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈S，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈S (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的元素才是S 中元素
集合S是满足以下(1)和(2)的T中的最小集： (1)M⊆T (2)对于任何x1,x2,…,xni，若x1,x2,…,xni ∈T，则 gi (x1,x2,…,xni ) ∈T
课程的主要内容?经典逻辑?命题逻辑?谓词一阶逻辑?非经典逻辑?构造型逻辑?模态逻辑集合论?19世纪下半叶cantor提出朴素集合论?1903年russel提出集合论悖论产生数学的第三次危机?1908年zermelo提出公理化集合论zf体系集合论?集合论是数学的基石?基本概念?集合元素?序偶笛卡尔积?关系?映射?等价关系?相容关系?序关系集合元素?若干事物组成的整体被称为集合集合中的每个事物被称为元素
自然数集的归纳定义
后继 两种等价定义
(1)0∈N (2)对于任何n，若n∈N，则n’ ∈N（n’为n的后继） (3)只有由（有限次使用）(1)和(2)生成的n ∈N
N是满足以下(1)和(2)的S中的最小集： (1)0∈S (2)对于任何n，若n∈S，则n’ ∈S（n’为n的后继）
基于自然数集的归纳证明原理
笛卡尔积
ST { x, y | x S y T}
扩展(n>2)
有序n元组
<a1, a2, …, an>=<< a1, a2, …, an-1 >, an >
n阶笛卡尔积
S1 S2 ...Sn { x1, x2,..., xn | x1 S1 x2 S2 ... xn Sn}

[边听边记]
序号 结论
理由
(1) 是真命题 满足指数函数定义
(2) 不是命题 因为不能判断“x－2>0”的真假
因为集合{a，b，c}有∅，{a}，{b}，{c}， (3) 是假命题 {a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个
子集
(4) 不是命题 因为是感叹句
(5)
是假命题
因为当x，y为无理数，且互为相反数时，x ＋y＝0，x＋y是有理数，而x，y不是有理数.
【错解】 “若p，则q”的形式：若a＞0，则函数y＝ax ＋b的值随x的增大而增大；否命题；若a≤0，则函数y＝ax＋b 的值随x的不增大而不增大．
【错因】 原命题有两个条件：“a＞0”和“x增大”， 其中“a＞0”是前提条件，在写原命题、逆命题、否命题、逆 否 命 题 时 ， 都 要 把 “ a ＞ 0” 置 于 “ 若 ” 字 的 前 面 ， 把 “ x 增 大”作为原命题的条件．错解中对否命题的写法，把“a＞0” 和“x增大”都否定了，从而改变了一次函数的性质，特别是 当a＝0时，便失去了研究“增”与“不增”的意义了，应在不 改变函数性质的前提下完成解答．
第一章
常用逻辑用语
§1 命 题
学课前预习学案
分析下列语句： (1)两个全等的三角形的面积相等； (2)5能被3整除； (3)今天天气真好啊！ (4)请把门关上！ (5)2是质数吗？ (6)若x＝3，则x2＝9. 其中哪些语句能判断为真？哪些语句能判断为假？哪些语 句不能判断真假？ 提示： (1)与(6)为真，(2)为假，(3)(4)(5)无法判断真假．
表述形式 若p，则q _若__q_，__则__p__ 若__¬_p_，__则__¬__q 若__¬_q_，__则__¬__p

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章11.3 合情推理与演绎推理考纲要求1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．知识梳理1．合情推理主要包括__________和__________．合情推理的过程：(1)归纳推理：由某类事物的________具有某些特征，推出该类事物的__________都具有这些特征的推理，或者由________概括出__________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：__________________，结论：∀d∈M，d也具有某属性．(2)类比推理：由________具有某些类似特征和其中________的某些已知特征，推出________也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)，简言之，类比推理是由______到______的推理．类比推理的基本模式：A具有属性a，b，c，d；B______________；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′分别相似或相同)2．演绎推理：从______的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由______到______的推理．(1)三段论是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)“三段论”可以表示为①大前提：M是P.②小前提：S是M.③结论：S是P.用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.基础自测1．“金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电”．此推理方法是( )．A．演绎推理 B．归纳推理 C．类比推理 D．以上均不对2．某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )．A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )．A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为__________．思维拓展合情推理与演绎推理有什么联系与差异？提示：总体来说，从推理形式和推理所得结论的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的角度考虑，它们又是紧密联系、相辅相成的．合情推理得到的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的思路一般是通过合情推理获得的．一、归纳推理【例1】观察：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．方法提炼1．归纳推理的特点：(1)归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理；(2)归纳的前提是部分的、个别的事实，因此归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的．所以“前提真而结论假”的情况是可能发生的；(3)人们在进行归纳推理时，总是先收集一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的事实作为前提，然后才能进行归纳推理，因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行；(4)归纳推理能够发现新事实、获得新结论，是做出科学发现的重要手段．2．归纳推理的一般步骤：首先，对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；然后，在此基础上提出带有规律性的结论，即猜想；最后，检验这个猜想．请做[针对训练]2二、类比推理【例2－1】在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AE EB ＝AC BC，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中(如图所示)，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于点E ，则得到的类比的结论是__________．【例2－2】在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D .求证：1AD 2＝1AB2＋1AC2.那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．方法提炼1．类比推理的特点：(1)类比推理是由特殊到特殊的推理；(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠；(3)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能；(4)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．2．类比推理的步骤：首先，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；然后，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而获得一个猜想；最后，检验这个猜想．类比是科学研究最普遍的方法之一．在数学中，类比是发现概念、方法、定理和公式的重要手段，也是开拓新领域和创造新分支的重要手段．类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、相等与不等、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比法猜想，而后加以证明的．请做[针对训练]3三、演绎推理【例3】如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，E，F 分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1，CD＝DD1＝1，AB＝2，BC＝3.(1)证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；(2)当EC＝1时，求几何体A－EFD1D的体积．方法提炼1．演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式．2．演绎推理的一般模式是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理常用的一种格式，可以用以下公式来表示：如果b⇒c，a⇒b，则a⇒c.3．演绎推理是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的．错误的前提可能导致错误的结论．三段论推理也可用集合论的观点来解释：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素也都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般性的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．请做[针对训练]4考情分析从近几年的高考试题来看，合情推理、演绎推理等问题都是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力．在数学证明中，合情推理只能为我们证明问题提供思路和方向，通常由已知条件归纳出一个结论，或运用类比的形式给出某个结论，再运用演绎推理进行证明．针对训练1．(2011陕西高考，理13)观察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49……照此规律，第n个等式为__________．2．(2011山东高考，理15)设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝__________.3．设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)，P是该四边形内任意一点，P 点到第i 条边的距离记为h i ，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则 i ＝14(ih i )＝2Sk .类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为H i ，则相应的正确命题是：若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则__________．4．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．归纳推理 类比推理 (1)部分对象全部对象 个别事实 一般结论 a ，b ，c ∈M 且a ，b ，c 具有某种属性 (2)两类对象 一类对象 另一类对象 特殊 特殊 具有属性a ′，b ′，c ′ 2．一般性 一般 特殊 基础自测1．B 解析：由个别到一般的推理叫归纳推理．2．A 解析：由图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．3．D 解析：由已知的三个求导式可归纳推理得到偶函数的导函数是奇函数，又f(x )是偶函数，所以g (x )是奇函数，故g (－x )＝－g (x )．4．1∶8 解析：∵两个正三角形是相似的三角形， ∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方． ∴它们的体积比为1∶8. 考点探究突破【例1】解：猜想sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.证明：左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α]＝sin2α＋⎝⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α⎝ ⎛ 32cos α＋⎭⎪⎫12sin α ＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝34＝右边．所以，猜想是正确的． 【例2－1】BE EA ＝S △BCD S △ACD 解析：易知点E 到平面BCD 与平面ACD 的距离相等，故V E­BCD V E­ACD ＝BEEA＝S △BCDS △ACD. 【例2－2】证明：如图所示，由射影定理，得AD 2＝BD ·DC ，2AB ＝BD·BC ，AC 2＝BC·DC ，∴1AD2＝1BD ·DC＝BC 2BD ·BC ·DC ·BC ＝BC 2AB 2·AC 2. 又∵BC 2＝AB 2＋AC 2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. ∴1AD2＝1AB2＋1AC 2.猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，猜想四面体ABCD 中， AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2.下面证明上述猜想成立．如下图所示，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF .∵AB ⊥AC，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .而AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2.同理可得在Rt△ACD 中，AF ⊥CD ， ∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.故猜想正确．【例3】(1)证明：在直四棱柱ABCD －1111A B C D 中， 1DD ∥1CC ， ∵EF ∥1CC ，∴EF ∥1DD . 又∵平面ABCD ∥平面1111A B C D ， 平面ABCD ∩平面E F D1D ＝ED ，平面1111A B C D ∩平面1EFD D ＝1FD ， ∴ED ∥1FD .∴四边形1EFD D 为平行四边形． ∵侧棱1DD ⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ， ∴1DD ⊥DE.∴四边形1EFD D 为矩形． (2)解：连接AE ，∵四棱柱ABCD －1111A B C D 为直四棱柱， ∴侧棱1DD ⊥底面ABCD .又AE ⊂平面ABCD ，∴1DD ⊥AE . 在Rt△ABE 中，AB =2，BE =2，则AE =在Rt△CDE 中，EC =1，CD =1，则DE在直角梯形ABCD 中，AD =∴222AE DE AD +=，即AE ⊥ED .又∵ED ∩1DD =D ， ∴AE ⊥平面1EFD D .由(1)可知，四边形1EFD D 为矩形，且DE1DD =1， ∴矩形1EFD D 的面积为1EFD D S 矩形=DE ·1DD∴几何体A －1EFD D 的体积为1A EFD D V －＝113EFD D S 矩形·AE ＝13×2×22＝43.演练巩固提升针对训练1．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析：观察等式左侧：第一行有1个数是1；第二行是3个连续自然数的和，第一个数为2，第三行是5个连续自然数的和，第一个数为3，第四行是7个连续自然数的和，第一个数为4.依此规律，第n 行是2n －1个连续自然数的和，其中第一个数为n ，∴第n 行左侧为：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋[n ＋(2n －2)]＝n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)；等式右侧；第一行1＝12，第二行9＝32，第三行25＝52，第四行49＝72.依此规律，第n 行是(2n －1)2，∴第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.2．(21)2n n x x -+ 解析：由已知可归纳如下：()1f x ＝11(21)2xx -+， ()2f x ＝22(21)2x x -+，()3f x ＝33(21)2x x -+，()4f x ＝44(21)2xx -+，…，()n f x ＝(21)2n nxx -+. 3．∑i ＝14(iH i )＝3V k解析：由31241234S S S S ===＝k ， 得1S k ＝，2S k ＝2，3S k ＝3，4S k ＝4， ∴112233441111=3333V S H S H S H S H +++ ＝k3(1234234H H H H ＋＋＋)． ∴1234234H H H H ＋＋＋＝3Vk，即∑i ＝14(iH i )＝3Vk.4．解：()f x ＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2ax ＋2＋a . 任取1x ，2x ∈(－2，＋∞)，且1x ＜2x ， 则()1f x －()2f x ＝12121222a ax x ---++ ＝2112(12)()(2)(2)a x x x x --++.∵函数()f x ＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，∴()1f x －()2f x ＜0. ∵21x x －＞0，12x +＞0，22x +＞0，∴1－2a ＜0，a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。

其真假.
解：p∧q：0不是(bù shi)自然数且∏是无理数 假命题
p∨q ：0不是自然数或∏是无理数
真命题
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4.已知p：2 ∈{2，6}， q:{1}∈{1,2}，
由它们(tā
p”形
men)构成的“p或q”，“1 p且q”，“非
式的命题中，真命题有
个.
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5．
第十七页，共二十三页。
2.如果命题(mìng tí)p是假命题，命题q是真命题，
则下列错误的是（D ）
A．“p且q”是假命题 B．“p或q”是真命题 C．“非p”是真命题 D．“非q”是真命题
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3.已知命题(mìng tí)p:0不是自然数；q：∏是无理
数，写出命题“p∧q” 、 “p∨q”并判断
命题，记作
，读作“p且q”.
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例1 将下列命题用“且”联结成新命题 并判断其真假。
（1）p :平行四边形的对角线互相(hù xiāng)平分， 真
q :平行四边形的对角线相等；
假
（p2∧）qp:q平::菱行菱形四形的边的对形对角的角线对线互角互相线相垂互平直相分，平；分(píngfēn)且真相等.假
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假假真假假
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课外 拓展 (kèwài)
思考逻辑(luó jí)联结词“或”、“且”、 “非”与集合中那些知识有关，有怎 么样的关系？
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1.命题 “x=±3是方程 x =3的解”中 （ C） A.没有使用任何一种联结词 B.使用了逻辑联结词“非” C.使用了逻辑联结词 “或” D.使用了逻辑联结词“且”