高级数理逻辑

4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。

因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。

1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。

因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。

而这些原子命题之间无法建立关联关系。

因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。

所以用命题逻辑描述它不能进行推理。

然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。

2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。

●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。

个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。

P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。

这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。

F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。

这些有关个体性质的描述称为谓词。

Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。

有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。

为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。

2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。

它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。

没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。

谓词后面的空位个数为谓词的元数。

谓词是一个体域上的n元关系。

数理逻辑中的二阶逻辑与高阶逻辑二阶逻辑和高阶逻辑是数理逻辑中的重要概念。

它们在逻辑学和计算机科学中有广泛应用，并对推理和形式证明的研究产生了深远影响。

本文将介绍二阶逻辑和高阶逻辑的基本概念、特点以及在实际应用中的一些重要作用。

一、二阶逻辑的基本概念和特点二阶逻辑是指在逻辑系统中引入了量化二阶变量和二阶量词的逻辑体系。

相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。

在二阶逻辑中，可以量化一阶谓词变量，即可以描述关于一阶谓词的性质和关系。

这为解决一些复杂问题提供了便利。

二阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.二阶量词：二阶逻辑中引入了二阶量词，它可以量化一阶谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。

2.表达能力：相对于一阶逻辑，二阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。

3.形式化语义：二阶逻辑的形式化语义研究更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如拟态逻辑、模型论等。

二、高阶逻辑的基本概念和特点高阶逻辑是指在逻辑系统中引入了更高阶的量词和变量的逻辑体系。

相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力和描述能力。

在高阶逻辑中，可以量化谓词变量的谓词变量，即可以描述关于谓词的性质和关系。

高阶逻辑的特点包括以下几个方面：1.高阶量词：高阶逻辑中引入了高阶量词，它可以量化谓词变量，从而表达更复杂的命题和关系。

2.表达能力：相对于二阶逻辑，高阶逻辑具有更强的表达能力，可以描述更复杂的关系和性质。

3.形式化语义：高阶逻辑的形式化语义更加复杂，需要引入更多的概念和方法，如模型论、类型论等。

三、二阶逻辑与高阶逻辑在实际应用中的作用二阶逻辑和高阶逻辑在逻辑学和计算机科学中有着广泛应用。

它们对于推理、形式化验证和智能系统的研究产生了重要影响。

1.推理和证明：二阶逻辑和高阶逻辑可以用于形式化推理和证明的过程。

通过引入量化变量和量词，可以更准确地描述和推理关于谓词的性质和关系，从而提高推理和证明的精确性和效率。

2.形式化验证：在计算机科学中，二阶逻辑和高阶逻辑在形式化验证中发挥着重要作用。

数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则数理逻辑是研究形式系统的一门学科，其中包括一阶逻辑和高阶逻辑两种推理规则。

本文将分别介绍一阶逻辑和高阶逻辑的定义、基本概念以及推理规则。

一、一阶逻辑一阶逻辑是形式逻辑中的一种基本逻辑形式，也被称为一阶谓词逻辑或一阶一周理论。

它的推理规则包括以下几个方面：1. 命题逻辑命题逻辑是一阶逻辑的基础，它研究命题之间的逻辑关系以及对命题进行推理的规则。

命题逻辑中的推理规则主要涉及命题的合取、析取、否定等逻辑操作。

2. 量化一阶逻辑引入了变量和量词的概念，通过引入全称量词和存在量词，可以对一阶逻辑中的命题进行更加精确的描述。

量化的推理规则包括全称推广、全称规约、存在引入和存在消解等。

3. 假言推理假言推理是一阶逻辑中常见的一种推理形式，它通过条件语句的前提和结论之间的逻辑关系进行推理。

常用的假言推理规则有蕴涵引入、蕴涵消解、假言推广和假言规约等。

4. 等价推理等价推理是一阶逻辑中常用的一种推理形式，它通过等价命题之间的逻辑关系进行推理。

等价推理的规则包括等价引入、等价消解、双重否定引入和双重否定消解等。

二、高阶逻辑高阶逻辑是一种在一阶逻辑的基础上进行扩展的逻辑形式，它涉及到更高级别的量词和谓词的运用。

高阶逻辑中的推理规则包括以下几个方面：1. 高阶量词高阶逻辑引入了更高级别的量词，如二阶量词、三阶量词等，通过这些量词可以对更复杂的命题进行描述和推理。

高阶量词的推理规则包括量词引入和量词消解等。

2. 谓词高阶逻辑中的谓词可以是一阶逻辑中的命题或者函数，通过对谓词的运用可以进行更加精确的推理。

谓词的推理规则包括谓词引入、谓词消解等。

3. 广义命题高阶逻辑中的广义命题是指一个命题包含了其他命题作为子命题，通过对广义命题的推理可以对复杂的逻辑关系进行推理。

广义命题的推理规则包括广义命题引入和广义命题消解等。

总结：数理逻辑中的一阶逻辑和高阶逻辑是逻辑推理的重要分支，它们通过不同的推理规则对不同级别的命题进行推理和描述。

总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。

在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。

数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。

这些理论都是以数理逻辑学为基础的。

针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。

数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。

这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。

●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。

如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。

●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。

数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。

认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。

2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。

3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。

4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。

经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。

体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。

逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。

类似于形式语言系统。

2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。

3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。

从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。

4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。

以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。

形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。

3命题逻辑形式系统（FSPC）3.1 命题逻辑与命题演算Leibniz提出逻辑推理变成符号演算不久，英国数学家BOOL提出了布尔代数。

布尔代数把逻辑命题与逻辑推理归结为代数计算。

把命题看作是计算对象；把联结词看作算子；讨论计算的性质。

1、命题（Propositions）：可以判断真假的陈述句。

不涉及任何联结词的命题称为原子命题。

2、联结词：⌝, →, ↔, ∨, ∧为联结词，用于联结一个或者多个命题。

~A=1-A→如果A成立则B成立，<->如果A成立则B成立，并且如果B成立则A成立；A→BA∨B，或者A成立或者B成立；A∧B，A成立并且B成立。

3、真值表：命题的真假称为命题的真值，用0表示假；用1表示真。

A←→BT(~A)=1-T(A) A=1, ~A=0, 1-ATrue(⌝A)＝1- True(A)，如果True(A)＝0，True(⌝A)=1：True(A)=1, True(⌝A)＝0T(A→B)=1 或者A不成立，或者B成立；A=1, B=1, A→B =1A=0, B=1, A→B=1A=0, B=0, A→B=1A=1,B=0 A→B=0或者A=0, 或者B＝1 ~AvB=A→BA<=B;;;;A<=BA=0,B=1A=0时，B=?,1;A=1,B=1,1;A=1,B=0,0;A=0,B=0,T(A→B)=1;A=0,B=1,T(A→B)=1;A=1,B=0,T(A→B)=1;A=1,B=1,T(A→B)=1;A=0;T(A→B)=1B=1;T(A→B)=1A→B是或者A=0,或者B=1；=～AvBA<=BA∨B=MAX(A,B) A=1, B=0, 1;A=1,B=1, 1, A=0,B=1;1, A=0,B=0, 0A∧B=MIN(A,B) =~(~A v ~B) DEMORGAN~A ∨BTrue(A->B)：True（A）《＝True（B）A ＝0,1；如果True(A)=1,则 True （B ）=1,True(A->B)=1:或者True(A)=0或者True(B)=1：或者A 不成立，或者B 成立=⌝A ∨B ；如果True(A)=0,则 True （B ）=0，1；True(A)=<True （B ）；True(A) =True(B)，True(A<->B)=1； True(A ∨B);A=1,B=0,1,A=1,B=1, 1;A=0,B=0,0,A=0,B=1,1. True(A ∧B),A=1,B=0,0,A=1,B=1,1;1=0,B=0,0; A=0,B=1,0True(A ∨B)=max(True(A), True(B)); True(A ∧B)= min(True(A), True(B)); 4、 命题变元：以真值为值域的变量称为命题变元。

4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。

因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。

1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。

因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。

而这些原子命题之间无法建立关联关系。

因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。

所以用命题逻辑描述它不能进行推理。

然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。

2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。

●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。

个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。

P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。

这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。

F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。

这些有关个体性质的描述称为谓词。

Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。

有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。

为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。

2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。

它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。

没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。

谓词后面的空位个数为谓词的元数。

谓词是一个体域上的n元关系。

4.5 一阶谓词语义系统 4.5.1 什么是形式系统语义抽象公理系统或者形式系统，具有较高的抽象性。

因此，已经脱离了任何一个具体的系统，但是我们可以对形式系统作出各种解释。

通过这种解释将形式系统对应到各种具体的系统中取。

例如可以将一阶谓词逻辑系统，解释到平面几何系统中。

怎样将形式系统解释成具体系统呢？我们先看下面的例子：如果我们要知道)),1((x f xP ∀的具体的真值=1，我们至少要知道以下事情： 1、 x 在什么范围之内，x 范围是实数。

2、 f 是什么？ (X+1)3、 P 是什么？P 代表的是大于＝04、 a=？a=15、 x=?，x ＝5，－4例如，我们可以作出以下解释： 1、解释1：● x 在实数中取值 ● P 表示等于0●),(a x f 表示x-a● a=5因此，公式解释为05==-x 。

令x=5, 则1))),(((=x a f P v s(x) ->5s(f(a,x) ->I(f)(I(a),s(x)) 令x=6，则0))),(((=x a f P u 2、解释2：● x 在实数中取值 ● P 表示大于等于0●),(a x f 表示2)(a x -因此，公式解释为0)(2>=-a x 。

这个公式不必对a 和x 作出具体解释，就可以确定公式的真值。

即对于任何实数x ，和赋值映射v ，1)))(((2=-a x P v 。

由上面的例子可以看出，要对形式系统作出解释，我们要了解以下问题：✓x取值于哪里？即规定讨论问题的领域。

✓给出谓词的含义和谓词的真值✓给出函数的解释✓给出变量和常量的值✓根据连接词的赋值规则，赋值这就是我们要研究的语义系统－指称语义的主要内容。

现代逻辑语义学理论的创始人是美籍波兰逻辑学家、哲学家A. Tarski，其奠基性文章是他在1933年发表的《形式语言中的真实概念》。

后来被称为模型论—标准语义学理论。

进一步的发展由维特根斯坦最早提出设想，卡尔纳普最早把它展开为系统。

模态逻辑汉语中“模态”是英语词Modal的音译。

英语词modality(模态性)源出于拉丁文modalitas，含形态、样式和形式的意思。

现代模态逻辑是现代逻辑的重要分支，它在科学和技术领域的应用越来越广泛，它的许多课题不仅受到逻辑学家的注意，而且也受到计算机科学家和计算机工程技术人员以及其他工程技术人员的关注。

因此，深入研究和发展这门科学，已成为逻辑工作者的一项重要任务。

逻辑学中在两种意义上，即在狭义和广义上使用“模态”这个术语。

涉及必然性，或然性（偶然性），遗传性和相容性等模态属于狭义模态。

从某种观点来看，它们表达的是命题的真假强度。

因此，也称为真值模态。

例如：“物体间存在着引力是必然的”；“到本世纪末我国国民生产总值翻两翻是可能的”等都属于这类模态命题。

我们这章的模态系统主要研究这类狭义模态性。

广义模态性是指命题本身所具有的非真值函项的（或非外延的）种种性质。

广义模态词较多，除了必然、可能之外，尚有必须（应该）、允许、禁止；知道、相信、可接受、可疑、可证；曾经、总是、将是、优先、中立等。

这些模态词分别是道义逻辑，认识逻辑，时态逻辑，和价值逻辑研究的对象。

还有希望、需要等尚未深入研究的模态词。

其例子为：“宇宙间存在着黑洞是可信的”；“在商品生产的社会中价值规律起着重要作用是众所周知的”；“子女赡养扶助父母是应该的”；“世界上还存在着野人是可疑的”等。

在这章，我们将讨论一些模态命题逻辑的系统，但首先将给出现代模态系统所要表达的某些模态概念的一般叙述。

6.1 模态逻辑介绍本章主要来介绍模态逻辑系统基本概念，然后，具体介绍命题模态逻辑和一阶谓词模态逻辑。

Modal logic6.1.1模态逻辑引入逻辑系统的发展从命题逻辑发展到了一阶谓词逻辑，主要是因为命题逻辑系统的描述能力有限。

模态逻辑的出现同样是为了扩充一阶谓词逻辑和命题逻辑的描述能力。

1、命题逻辑的缺陷：命题逻辑的原子命题不能细化，层次太高，而不能完全描述世界；例：所有实数的平方是非负的；-3是实数；-3的平方是非负的；一阶谓词逻辑，利用谓词，函词和量词来解决这样的问题；成立))3(()3())(()(--→∀f P R x f P x xR2、命题逻辑和一阶谓词逻辑的缺陷：这两种逻辑都不能描述有时间概念的变化。