第5章 数学推理

5．2.1 直接证明：分析法与综合法[读教材·填要点]综合法和分析法综合法分析法定义 从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求的问题，称为综合法从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件，称为分析法特点从“已知”看“可知”，由因导果，寻找必要条件从“未知”看“需知”，执果索因，寻找充分条件[小问题·大思维]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件．综合法的应用已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b≥4.[自主解答] 法一：∵a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤12.∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．法二：∵a ，b ∈R ＋， ∴a ＋b ≥2ab ＞0，1a ＋1b ≥21ab＞0.∴(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4.又因为a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b≥4.当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．法三：∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b＝1＋b a ＋ab ＋1≥2＋2a b ·ba＝4. 当且仅当a ＝b ＝12时，取“＝”号．保持例题条件不变，求证：4a ＋1b≥9.证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b＝4a ＋b a ＋a ＋b b ＝4＋4b a ＋ab＋1 ≥5＋24b a ·ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．法二：∵a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1. ∴4a ＋1b＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝4＋4b a ＋a b＋1≥5＋24b a ·ab＝5＋4＝9.当且仅当4b a ＝a b ，即a ＝2b ＝23时等号成立．综合法证明问题的步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等． (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a 2＝b (b ＋c )，求证：A ＝2B . 证明：∵a 2＝b (b ＋c )，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2＋bc 2bc ＝c －b 2b，cos 2B ＝2cos 2B －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2－1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 2a 2－1＝b ＋c 2－2b b ＋c 2b b ＋c ＝c －b 2b ， ∴cos A ＝cos 2B .又A ，B 是三角形的内角，∴A ＝2B .分析法的应用当a ＋b >0时，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [自主解答] 要证 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22a ＋b 2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .因为a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， 所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证．分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证…，只需证…，即证…，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．2．已知a>6，求证：a－3－a－4<a－5－a－6.证明：法一：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证a－3＋a－6<a－5＋a－4⇐(a－3＋a－6)2<(a－5＋a－4)2⇐2a－9＋2a－3a－6<2a－9＋2a－5a－4⇐a－3a－6<a－5a－4⇐(a－3)(a－6)<(a－5)(a－4)⇐18<20，因为18<20显然成立，所以原不等式a－3－a－4<a－5－a－6成立．法二：要证a－3－a－4<a－5－a－6，只需证1a－3＋a－4<1a－5＋a－6，只需证a－3＋a－4>a－5＋a－6.∵a>6，∴a－3>0，a－4>0，a－5>0，a－6>0.又∵a－3>a－5，∴a－3>a－5，同理有a－4>a－6，则a－3＋a－4>a－5＋a－6.∴a－3－a－4<a－5－a－6.综合法与分析法的综合应用已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[自主解答] 法一：要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 只需证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 即证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )． 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以原式成立．法二：因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°.由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°， 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2. 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3. 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.综合法与分析法的适用X 围 (1)综合法适用的X 围：①定义明确的题型，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式问题等； ②已知条件明确，且容易通过找已知条件的必要条件逼近欲得结论的题型．(2)分析法适用的X围：已知条件不明确，或已知条件简便而结论式子较复杂的问题．3．(1)设x≥1，y≥1，证明：x＋y＋1xy ≤1x＋1y＋xy；(2)设1<a≤b≤c，证明：log a b＋log b c＋log c a≤log b a＋log c b＋log a c. 证明：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．又x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设log a b＝x，log b c＝y，由对数的换底公式得log c a＝1xy ，log b a＝1x，log c b＝1y，log a c＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，其中x＝log a b≥1，y＝log b c≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．已知a，b，c∈R且不全相等，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca. [证明] 法一：(分析法)要证a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca，只需证2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ca)，只需证(a2＋b2－2ab)＋(b2＋c2－2bc)＋(c2＋a2－2ca)>0，只需证(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0， 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0. 所以原不等式a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca 成立． 法二：(综合法) 因为a ，b ，c ∈R ，所以(a －b )2≥0，(b －c )2≥0，(c －a )2≥0. 又因为a ，b ，c 不全相等， 所以(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2>0.所以(a 2＋b 2－2ab )＋(b 2＋c 2－2bc )＋(c 2＋a 2－2ca )>0. 所以2(a 2＋b 2＋c 2)>2(ab ＋bc ＋ca )． 所以a 2＋b 2＋c 2>ab ＋bc ＋ca .1．命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”，此过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：结合推理及分析法和综合法的定义可知，B 正确． 答案：B2．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下列等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C解析：∵sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A 2＝1－cos B ＋C 2， ∴cos(B ＋C )＝1－2sin B sin C ，∴cos B cos C －sin B sin C ＝1－2sin B sin C ， ∴cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1.又0<B <π，0<C <π，∴－π<B －C <π，∴B ＝C . 答案：C3．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a ”索的因应是( )A ．a －b >0B ．a －c >0C ．(a －b )(a －c )>0D ．(a －b )(a －c )<0解析：b 2－ac <3a ⇔b 2－ac <3a 2⇔(a ＋c )2－ac <3a 2⇔a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2<0⇔－2a 2＋ac ＋c 2<0⇔2a 2－ac －c 2>0⇔(a －c )(2a ＋c )>0⇔(a －c )(a －b )>0. 答案：C4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：由证明过程可知，该证明方法为综合法． 答案：综合法5．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证______，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．答案：a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥06．已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，试分别用综合法与分析法证明：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9.证明：法一：(综合法) 左边＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x ＋y y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x y ＝4＋2⎝⎛⎭⎪⎫y x ＋xy＋1≥5＋4＝9. 当且仅当x ＝y ＝12时等号成立．法二：(分析法)要证⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y ≥9成立，∵x ，y ∈R ＋且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x . 只需证明⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11－x ≥9成立，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立， 所以原不等式成立．一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >b c，则a >b C ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错； 对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错； 对于C ：若a 3>b 3且ab <0， 则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0，所以1a >1b，故C 对；对于D ：若⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则D 不成立．答案：C2．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b＝3⇒a ＋b ＝1，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4.答案：B3．已知△ABC 中，cos A ＋cos B >0，则必有( ) A ．0<A ＋B <πB ．0<A ＋B <π2C.π2<A ＋B <π D.π2≤A ＋B <π 解析：由cos A ＋cos B >0，得cos A >－cos B ， ∴cos A >cos(π－B )．∵0<A <π，0<B <π，且y ＝cos x 在x ∈(0，π)上单调递减． ∴A <π－B .∴A ＋B <π，即0<A ＋B <π. 答案：A4．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，abc ＞0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是零D ．正、负不能确定解析：∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0. ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0. ∴ab ＋bc ＋ac ＝－12(a 2＋b 2＋c 2)＜0.又abc ＞0，∴1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋acabc＜0.答案：B 二、填空题5．如果a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是________________． 解析：a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔a a －a b ＞b a －b b ⇔a (a －b )＞b (a －b )⇔(a －b )(a －b )＞0 ⇔(a ＋b )(a －b )2＞0， 故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可．答案：a ≥0，b ≥0且a ≠b6．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则a ，b ，c 的大小关系为____________． 解析：利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x2， ∴0＜x ＜e 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ＞e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b ＞a ＞c . 答案：c ＜a ＜b7．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 与q 的大小关系是________． 解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2a －2·1a －2＋2＝4，当且仅当a ＝3时等号成立． －a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <22＝4≤p .答案：p >q8．若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值X 围是________． 解析：∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立， 设μ＝x ＋1x＋3(x >0)． ∴只需a ≥1μ恒成立即可． 又∵μ＝x ＋1x＋3≥5，当且仅当x ＝1时“＝”成立． ∴0<1μ≤15.∴a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ 三、解答题9．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，(n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列． (2)求a n .解：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)①又S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＋1＝2. 又n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5，且a 1＝5，所以a 2＝11，所以a 2＋1a 1＋1＝11＋15＋1＝2， 所以数列{a n ＋1}是以2为公比的等比数列．(2)因为a 1＋1＝6，所以a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n ， 所以a n ＝3×2n －1.10．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b2＋1－2m ＝0. (1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2； (2)求证：m ≥72. 证明：(1)(分析法)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b2成立， 只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9， 即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，即证b 2a 2＋4a 2b2≥4. 根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b2≥2 b 2a 2·4a 2b 2＝4成立， 所以原不等式成立．(2)(综合法)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b2＝2m －1， 由(1)，知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72. 因为a 2＋b 2＝m －2>0，1a 2＋4b 2＝2m －1>0， 所以m ≥72.。

第5章一阶逻辑等值演算与推理主要内容1. 等值式与基本的等值式①在有限个体域中消去量词等值式②量词否定等值式③量词辖域收缩与扩张等值式④量词分配等值式2. 基本规则①置换规则②换名规则③代替规则3. 前束范式4. 推理理论①推理的形式结构②推理正确③构造证明④新的推理规则全称量词消去规则，记为UI全称量词引入规则，记为UG存在量词消去规则，记为EI存在量词引入规则，记为EG学习要求1. 深刻理解重要的等值式，并能熟练地使用它们。

2. 熟练地使用置换规则、换名规则和代替规则。

3. 准确地求出给定公式的前束范式（形式可不唯一）。

4. 正确地使用UI、UG、EI、EG规则，特别地要注意它们之间的关系。

5. 对于给定的推理，正确地构造出它的证明。

5.1 一阶逻辑等值式与置换规则定义5.1设A，B是一阶逻辑中任意两个公式，若A B是永真式，则称A与B是等值的。

记做A B，称A B是等值式。

谓词逻辑中关于联结词的等值式与命题逻辑中相关等值式类似。

下面主要讨论关于量词的等值式。

一、基本等值式第一组代换实例由于命题逻辑中的重言式的代换实例都是一阶逻辑中的永真式，因而第二章的16组等值式给出的代换实例都是一阶逻辑的等值式的模式。

例如：xF(x)┐┐xF(x)x y(F(x,y)→G(x,y))┐┐x y(F(x,y)→G(x,y))等都是(2.1)式的代换实例。

又如：F(x)→G(y)┐F(x)∨G(y)x(F(x)→G(y))→zH(z)┐x(F(x)→G(y))∨zH(z))等都是(2.1)式的代换实例。

第二组消去量词等值式设个体域为有限域D={a1,a2,…,a n}，则有(1)xA(x)A(a1)∧A(a2)∧…∧A(a n)(2)xA(x)A(a1)∨A(a2)∨…∨A(a n) (5.1)第三组量词否定等值式设A(x)是任意的含有自由出现个体变项x的公式，则(1)┐xA(x)x┐A(x)(2)┐xA(x)x┐A(x) (5.2)(5.2)式的直观解释是容易的。

《几何证明初步》知识回顾“平行线的有关证明”一章是证明的初步，主要涉及命题、公理、定理的有关概念，以及与平行线、三角形的内角和等有关的简单的证明.通过本章的复习，要掌握证明的格式，能利用学过的公理、定理等进行简单问题的证明或计算.一、定义与命题1.定义：对术语和名称的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义.如“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离的定义.2.命题：判断一件事情的句子叫做命题，每个命题都是由条件和结论两部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项.命题一般写成“如果……，那么……”的形式，“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.3.真命题、假命题与反例真命题：正确的命题称为真命题.假命题：不正确的命题称为假命题.反例：要说明一个命题是假命题，通常可以举出一二例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这个例子称为反例.4.公理、定理、证明公理：人们公认的真命题称为公理.定理：经过证明了的真命题称为定理.证明：推理的过程称为证明.例1在下列命题中，真命题是（）.A.两个钝角三角形一定相似B.两个等腰三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等边三角形一定相似析解：本题是和三角形相似的有关命题的识别，真命题就是条件成立，结论正确的命题.两个三角形是否相似，主要看是否满足下列相似的条件之一：①有两组对应角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边对应成比例的两个三角形相似.所给的选项中只有两个等边三角形满足以上条件.所以选（D ）.说明：和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断真假命题类型题为主要形式.二、平行线的判定和性质1.平行线的判定公理：同位角相等，两直线平行.2.平行线的判定定理1：同旁内角互补，两直线平行.3.平行线的判定定理2：内错角相等，两直线平行.平行线的性质公理：两直线平行，同位角相等.4.平行线的性质定理1：两直线平行，内错角相等.平行线的性质定理2：两直线平行，同旁内角互补.注意：对于平行线的判定与性质，一定不要混淆它们的条件和结论，平行线的条件是由角的数量关系来确定直线的位置关系，平行线的性质是由平行线的位置关系来确定角的数量关系.对平行线的判定而言，“两直线平行”是结论，对平行线的性质而言，“两直线平行”是条件.因此，不能随便说“同位角相等”“同旁内角互补”.例2 如图1，AB CD ∥，EF 分别交AB CD ，于M N ，，50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠，MG 交CD 于G .求∠1的度数.分析：要求∠1的度数，根据两直线平行可得1BMG =∠∠，所以只要根据已知条件求出BMG ∠的度数即可.解：因为AB CD ∥，所以1BMG =∠∠（两直线平行，内错角相等）.又50EMB =o ∠，MG 平分BMF ∠， 所以11(18050)6522BMG FMB ==-=o o o ∠∠. 所以165=o ∠.说明：根据平行条件求角的度数，一般借助平行线的性质（两直线平行，同位角相等，内错角相等或同旁内角互补）解决问题，有时还要用到三角形的外角性质等.三、三角形内角和定理探究三角形内角和定理时，将三角形的三个内角“凑”在一起，拼成一个平角，从而得到三角形的内角和等于180°，这里体现了一种重要的数学思想——转化思想.三角形内角和定理的证明方法较多，除了转化为平角证明外，还可以利用“构造周角”的方法以及“两直线平行，同旁内角互补”的方法解析证明.例3 如图2，已知ABC △中，90BAC =o ∠，AD BC ⊥于D ，E 是AD 上一点.求证：BED C >∠∠.分析：BED ∠与C ∠没有直接的联系，但BED ∠、C ∠都与BAC ∠有关，因此可以用BAC ∠作中间量进行过渡.证明：在ABC △中，90ABC C +=o ∠∠，因为AD BC ⊥，所以90ADB =o ∠，在ABD △中，90ADB =o ∠，所以90ABC BAD +=o ∠∠，所以C BAD =∠∠.因为BED BAD >∠∠（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）， 所以BED C >∠∠.说明：证明角的不等关系式时一般用到三角形的外角与三角形的内角的关系：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.四、三角形的外角三角形内角和定理的两个推论是：推论1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2 三角形的一个外角等于任何一个和它不相邻的内角.关于三角形外角的重要结论是三角形内角和定理的推论.第一个推论反映了一个外角与它不相邻的两个的相等关系，应用在证明或计算内角与外角的大小问题中；第二个推论反映了一个外角与它不相邻的内角的不等关系，用于证明和三角形有关的角的不等关系问题中.例4 如图3，点P 是△ABC 内的一点，连接BP 、CP.求证：∠BPC>∠BAC.分析：要求证明∠BPC>∠BAC ，通常有两种方法：一是找到第三个角，利用不等式的传递性得证；二是将∠BPC 和∠BAC 都分成两个角，利用同向不等式的和所得不等式仍然成立来证明.证法一：如图3（1）所示，延长BP 交AC 于点D.由于∠BPC 是△DPC 的外角，所以∠BPC>∠CDP.由于∠CDP 是△ABD 的外角，所以∠CDP>∠BAC.所以∠BPC>BAC.证法二：如图3（2）所示，连接AP 并延长AP.因为∠1是△ABP 的外角，所以∠1>∠3.因为∠2是△APC 的外角，所以∠2>∠4.所以∠1+∠2>∠3+∠4.又因为∠1+∠2=∠BPC ，∠3+∠4=∠BAC ，所以∠BPC>∠BAC.点评：要证角的不等关系，一般地将大角转化为某三角形的外角，将小角转化为某三角形的内角.解决本题的关键是通过添加辅助线以达到此目的.练习1、写出下列命题的条件和结论.（1）如果一个三角形中有两条边相等，那么这个三角形是等腰三角形.（2）对顶角相等.2、如图，在△AFD 和△BEC 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，有下面4个论断：①AD=CB ；②BE=DF ；③∠B=∠D ；④AD//BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，写出一个真命题，并证明.AC P D（1）（2） 图3 B4 1 323、在△ABC 中，∠B-∠C=40°，∠A=80°，求∠A 、∠B 、∠C 的度数，并判断△ABC 的形状？4、如图，已知∠1=100°，∠2=140°，那么∠3=______.参考答案1、解析：（1）命题一般写成“如果A，那么B”的形式，A部分为条件，B部分为结论，所以（1）中的条件“一个三角形中有两条边相等”，结论为“这个三角形是等腰三角形”.（2）对于命题本身不含“如果”，“那么”词语，此时需将其改写成“如果……，那么……”的形式，再找条件和结论，便不易错，所以（2）中可改成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，故条件为“两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”.2、分析：本题是一道开放性问题，在写命题时，要根据题意找一个比较简单的，这样解答起来也较容易.解：如，已知：BE=DF，∠B=∠D，AD=CB.求证：AD//BC.证明：因为AD=CB，∠B=∠D，BE=DF，所以△ADF≌△CBE.所以∠A=∠C，所以AD//BC.3、分析：利用隐含条件：三角形的三个内角和等于180°.构造方程求解.解：因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B+∠C=100°，又∠B-∠C=40°，所以∠B=70°，∠C=30°，所以△ABC为锐角三角形.4、分析：观察图形可知，欲求∠3的度数，可先求∠4的度数，这只要利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可.解：因为∠1=100°，所以∠4=1800°-∠1=70°.又∠2=∠3+∠4.所以∠3=∠2-∠4=140°-70°=70°.。

形式逻辑逻辑导论第五章模态判断及其推理模态逻辑是形式逻辑的一个分支，研究的是将语句中的可能性、必然性等范畴引入到推理中。

在模态逻辑中，我们使用不同的符号来表示可能性和必然性，并利用这些符号来进行推理。

在模态逻辑中，我们引入了两个主要的符号：可能性符号“◇”和必然性符号“□”。

这两个符号可以用来修改命题，从而表示这个命题是可能的或者是必然的。

对于可能性符号，当我们在一个命题前加上“◇”，表示这个命题是可能发生的，即存在一些条件能够满足它。

例如，原命题P表示“今天会下雨”，那么“◇P”表示“今天可能会下雨”。

对于必然性符号，当我们在一个命题前加上“□”，表示这个命题是必然的，即在任何条件下都成立。

例如，原命题P表示“2+2=4”，那么“□P”表示“2+2一定等于4”。

在模态逻辑中，我们也可以使用这些符号来进行推理。

常见的推理模式有：可可能性、必然性蕴涵和反演等。

可可能性是指当一个命题可可能导致另一个命题成立时，我们可以得出这个命题是可能的结论。

例如，如果我们知道“今天下雨”，那么我们可以推断“今天天气阴沉”，即“◇P”可以推出“◇Q”。

必然性蕴涵是指当一个命题必然导致另一个命题成立时，我们可以得出这个命题是必然的结论。

例如，如果我们知道“2+2=4”，那么我们可以推断“3+3=6”，即“□P”可以推出“□Q”。

反演是指当一个命题是必然的时，我们可以推断它的否定也是必然的。

例如，如果我们知道“2+2=4”，那么我们可以推断“2+2≠5”，即“□P”可以推出“□¬P”。

除了这些常见的推理模式外，模态逻辑还有许多其他的推理规则和定理，用于推导模态逻辑中的命题。

这些规则和定理可以帮助我们更准确地理解和应用模态逻辑。

总之，模态逻辑研究的是在推理中引入可能性和必然性等概念，并利用模态符号进行推理。

通过研究模态逻辑，我们可以更深入地理解和分析命题之间的关系，从而进行更准确的推理和论证。

模态逻辑的应用范围非常广泛，不仅在逻辑学中有重要的地位，还涉及到哲学、数学、计算机科学等领域的研究。

数学人教三年级上册数字黑洞“495”教案一、教学内容本节课选自数学人教三年级上册，主要讲解数字黑洞“495”的相关知识。

具体章节为第五章《趣味数学》，内容涉及数字谜题、数字规律及简单的数学推理。

二、教学目标1. 让学生掌握数字黑洞“495”的解法，理解其中的数学规律。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维和推理能力。

三、教学难点与重点难点：理解数字黑洞“495”的规律，将其应用于实际问题。

重点：掌握数字黑洞“495”的解法，培养逻辑思维和推理能力。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、PPT课件。

学具：练习本、铅笔、橡皮。

五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）利用PPT展示数字黑洞“495”的谜题，引导学生思考如何求解。

2. 例题讲解（15分钟）讲解数字黑洞“495”的解法，引导学生发现其中的数学规律。

3. 随堂练习（10分钟）出示类似的数字黑洞题目，让学生独立完成，巩固所学知识。

4. 互动讨论（10分钟）组织学生进行小组讨论，分享解题思路和心得体会。

6. 课堂小结（5分钟）对本节课所学内容进行回顾，巩固重点知识。

六、板书设计1. 数字黑洞“495”谜题2. 解题步骤3. 数学规律4. 课堂练习题目七、作业设计1. 作业题目：（1）求解数字黑洞“123”；（2）找出数字黑洞“789”的规律；（3）思考：如何求解任意三位数的数字黑洞？2. 答案：（1）数字黑洞“123”的解为：321；（2）数字黑洞“789”的规律：个位与百位互换，十位数字取相反数；（3）任意三位数的数字黑洞解法：将个位、十位、百位数字分别进行运算，得到一个新的三位数，重复此过程，直至得到一个三位数的数字黑洞。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对于数字黑洞“495”的解法掌握程度，以及课堂氛围和教学效果。

2. 拓展延伸：（1）研究更多数字黑洞的解法；（2）探索数字黑洞在其他领域的应用；重点和难点解析1. 教学内容的选取与组织；2. 教学目标的设定；3. 教学难点与重点的区分；4. 教学过程的安排；5. 板书设计；6. 作业设计；7. 课后反思及拓展延伸。