高级数理逻辑第四章

4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。

因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。

1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。

因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。

而这些原子命题之间无法建立关联关系。

因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。

所以用命题逻辑描述它不能进行推理。

然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。

2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。

●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。

个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。

P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。

这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。

F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。

这些有关个体性质的描述称为谓词。

Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。

有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。

为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。

2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。

它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。

没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。

谓词后面的空位个数为谓词的元数。

谓词是一个体域上的n元关系。

第四章命题演算的一致性﹑完全性与公理的独立性4.1 命题演算的一致性和完全性*命题演算是一公理系统. 公理系统的作用在于, 从一些公理和推演规则出发, 把某一范围的真命题推演出来.*一方面我们希望, 从它能推演出较多的真命题, 希望能够完全, 能够把某一范围里的真命题完全推演出来.*另一方面, 我们也要求, 从它不能推演出我们所不要的东西, 特别是逻辑矛盾.这是所谓的完全性和一致性问题. 是否完全和是否一致, 是公理系统的两个重要问题.*推演和证明: 推演一词含义较广, 而证明一词含义较狭. 在第三章里, 我们引入了一些推演规则, 在 3.7节也定义了什么是证明. 一般说来, 推演的前提可以是任何公式或任何命题(如3.10节), 证明的根据则是一公理系统的公理(如:3.6―3.9节). 只有从公理可推演的公式或命题才是可证的, 才是定理.一. 命题演算的一致性*一个理论里如果存在逻辑矛盾, 这个理论就是不正确的. 无矛盾性, 也就是一致性, 是公理系统首先要满足的条件. 1. 一致性的几种定义:(1) 一致性的古典定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当, 不存在任何公式A, A和┐A都在这系统里可证.(2) 一致性的语义定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当,在这系统里可证的公式都是真的.*由于A和┐A不能同真, 故该系统没有逻辑矛盾.(3) 一致性的语法定义: 一个公理系统是一致的, 当且仅当, 并非任一合式公式都在这系统里可证.*如果任一公式都在系统里可证, 当然A和┐A也都在系统里可证, 因之系统按古典意义是不一致的.2. 一致性定理一致性定理一: 命题演算是语义一致的. 命题演算的定理都是重言式.证明的主要论证是:(1) 命题演算的公理都是重言式.(2) 应用命题演算的推演规则, 从重言式只能得到重言式.因之可得结论: 命题演算的定理都是重言式.逐步说明如下:(1) 命题演算的公理都是重言式.由3.3节的真值表可证4个公理都是重言式.(2) 命题演算共有三个推演规则: 代入, 分离和定义置换. 现分别加以说明.(甲) 应用代入规则, 从重言式只能得到重言式.设φ(p)为一重言式, 其中含有命题变项p. 由于φ(p)为重言式, 故不论p取值真或假, φ(p)皆为真. 真值表如下: p φ(p)0 11 1再设A为任一公式, 根据代入规则, 以A代入p后得φ(A), 而φ不变. 由于不论A如何复杂, 其值不外乎真或假, 而φ(p)是重言式, 因之, φ(A)的值都是真的. 真值表如下:A φ(A)0 11 1可以看出, φ(A)也是一重言式.(乙) 应用分离规则, 从重言式只能得到重言式.设A和A→B皆为重言式, 则它们的值常真, 在→的真值表中A B A→B0 0 10 1 11 0 01 1 1只有在第4种情况下, A和A→B同时为真, 而在这情况下, B 也为真. 如果A和A→B为重言式, 则它们的值常真, 那么B 的值也必为常真. 因之, B也是重言式.(丙) 应用定义置换规则, 从重言式只能得到重言式.由2.1节例2.4的真值表(5), (6)及德•摩根律(自己验证), 可知定义A∧B⇔┐(┐A∨┐B), A→B⇔┐A∨B,A↔B⇔(A→B)∧(B→A)的左右两方真值相同. 置换不改变真值, 置换后所得的公式和原公式真值也相同. 所以, 如原公式为重言式, 置换后的结果还是一个重言式.根据以上结果, 可知命题演算的定理都是重言式.一致性定理二: 命题演算是语法一致的. 并非任一公式都是命题演算的定理.证明: 既然一切定理都是重言式, 那么, 非重言式, 例如:p∨q 就不是定理.一致性定理三: 命题演算在古典意义下是一致的. 对于任一公式A, A和┐A不能都是命题演算的定理.证明: 对任一公式A, 有时A和┐A都不是重言式, 例如:┐p∨q和┐(┐p∨q). 则A和┐A都不是命题演算的定理. 若A是重言式, 则┐A为矛盾式, 因而不是重言式, 则A是定理, 而┐A不是定理. 因而, 命题演算是古典意义下一致的.二. 命题演算的完全性*关于公理系统的另一个重要问题是, 它能不能包括某一范围里的一切真命题, 是不是完全的. 虽然有些公理系统是完全的, 很多公理系统却是不完全的. 但是即使不完全, 公理化方法和公理系统仍然是数学科学的有力工具, 有重要的价值.1. 完全性的几种定义:(1) 完全性的语义定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 一切属于某一特定范围内的真命题都是在这系统里可证的. (2) 完全性的语法定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 如果把一个推演不出的公式作为公理, 其结果, 所得的系统就是不一致的.(3) 完全性的古典定义: 一公理系统是完全的, 当且仅当, 对任一合式公式A而言, 或者A是可证的, 或者┐A是可证的. *这种意义下的完全性是针对着某种公理系统而言的, 在这种系统里, 合式公式中没有自由变项. 命题演算不是这种公理系数. 在这种意义下, 命题演算不是完全的. 例如:┐p∨q 和┐(┐p∨q) 都在命题演算中不可证.2. 完全性定理完全性定理一: 命题演算在语义意义下是完全的. 一切重言式在命题演算里都是可证的.证明: 设A为一重言式.A有一合取范式. 设A的合取范式为B, B也是一重言式, 并且B为B1∧B2∧…∧B nB i (1≤i≤n)是简单析取, B i必是重言式.因之, 每一B i里必有一变项π, 并且π和┐π都作为B i的支命题出现. 每一B i都具有形式π∨┐π∨C .由定理4, p∨┐p可证, 再由附加规则, p∨┐p∨q 可证.所以, 由代入规则可知, 每一B i都可证.根据定理├p→(q→p∧q), B1∧B2∧…∧B n可证. 所以, B可证.B是A的范式, 是从A根据置换规则得到的. 如果B可证, 则A也可证.可见, 如A是重言式, 则A可证.凡重言式皆可证, 故命题演算是完全的.*这个完全性定理也提供了一个有效的证明方法.完全性定理二: 命题演算在语法意义下是完全的. 如果把一不可证的公式作为公理, 其结果将是不一致的.证明: 设A在命题演算里不可证.因凡重言式皆可证, 所以A不是重言式.设B为A的合取范式, 则B不是重言式.设B = B1∧B2∧…∧B n , 则有一B i (1≤i≤n), B i不是重言式. 所以, 在B i里, 不可能有一变项π, π和┐π都作为B i 的支命题出现. B i的支命题中, 虽然有些是否定的, 有些是肯定的, 但是命题变项不相同. 例如: p∨┐q∨┐r∨s .假若把A作为公理, 因B是A的范式, 则B可证. 所以, 根据定理├p∧q→p, B i可证.如以p代入B i中的肯定支命题, 以┐p代入B i中前面带有否定符的命题变项, 例如: 在p∨┐q∨┐r∨s中进行这样的代入, 则可得p∨┐┐p∨┐┐p∨p销去双重否定, 则得一命题变项的析取, 例如:p∨p∨p∨p所以, 如果B i可证, 则p∨p∨…∨p可证.根据公理1, ├p∨p→p, 则p可证.如p可证, 则p为一定理. 即├p . 如果A代入p, 可得├A. 如再用┐A代入p, 又可得├┐A . 如p可证, 则A 和┐A皆可证. 这是逻辑矛盾.所以, 如将一不可证的公式作为公理, 则将导致逻辑矛盾. 可见命题演算具有语法意义下的完全性.4.2 公理的独立性1. 独立性的意义: 一公式集合M是独立的, 如果M中的任一公式A都不能根据给定的推演规则从M中其它公式推演出来.*对于一公理系统的诸公理, 我们希望它们是独立的. 作为出发点的诸公理最好是缺一不可, 任何一个公理都不能从其它公理推演出来.*独立性和一致性不同, 和完全性也有所不同, 一公理系统的诸公理, 其中即使有不独立的, 也不能算是很大的缺点. 2. 算术解释方法:为了证明独立性, 我们通常采用一种算术解释方法. 以下先说明什么是算术解释方法及其可以作独立性证明的理由.设给定一公式集合{A1, A2, A3, A4}和两个推演规则R1和R2. 求证: 根据R1和R2, A4对于{A1, A2, A3}是独立的.我们先从反面着想, 假若A4不独立, 它可以从{A1, A2, A3}根据R1和R2推出. 那么, 下面的断定必然成立: 对于任一性质φ而言, 如果(1) A1, A2, A3都有性质φ,(2) 应用R1和R2, 从有性质φ的公式只能得到有性质φ的公式, 那么,(3) A4必有性质φ.根据以下断定, 假若存在着一性质φ, 并且(1) A1, A2, A3都有性质φ,(2) 应用R1和R2, 从有性质φ的公式只能得到有性质φ的公式,但是(3) A4没有性质φ.那么, 这样一个φ的存在就充分说明了, 应用R1和R2从{A1, A2, A3}不可能推演出A4, A4是独立的.采用解释方法要求我们能够发现一种解释, 这种解释与A1, A2, A3, A4以及R1和R2里的符号以特定的意义, 从而产生独立性证明所需要的性质φ.由于通常采用的解释是赋予变项和公式以数值, 所以这种方法被称为算术解释方法.3. 独立性证明:(一) 独立性证明一: 命题演算的公理1不能从公理2, 3, 4用推演规则推演出来.算术解释: 给予命题演算的原始符号如下解释.(1) 命题变项p, q, r, s, p1, …等可以有三个值: 0, 1, 2 .(2) 初始联结词的数值表如下:A ┐A AB A∨B0 1 0 0 01 0 0 1 02 2 0 2 01 0 01 1 11 2 22 0 02 1 22 2 0根据这种解释, 可有以下结果:(1) 公理2, 3, 4的值常为0. 数值表从略.(2) 应用推演规则, 从数值常为0的公式只能得到数值常为0的公式. 关于代入和定义置换的说明如下.φ(p)中p被代以A,得φ(A). 无论A多复杂, 它只取值0, 1, 2, 相当于p取值0, 1, 2, φ(p)(公理2, 3, 4或它们的推论)取值始终为0, 故φ(A)取值常为0.定义置换也类似. 定义两边A B同时取值0或1或2.在φ(A)中用B置换A得φ(B), 由于在任一解释下B与A等值, 故φ(B)与φ(A)等值.以下证明分离规则:A B ┐A A→B(┐A∨B)0 0 1 00 1 1 10 2 1 21 0 0 01 1 0 01 2 0 02 0 2 02 1 2 22 2 2 0从表上可以看出, 当A和A→B的数值皆为0时, B的值也是0. 所以, 如A和A→B的值常为0, 则B的值也常为0. 应用分离规则, 从公理2, 3, 4只能得到其值常为0的公式.*此处的“数值常为0”,就是独立性证明所需要的性质φ.公理1如果不是独立的, 是可以推出的, 它的数值也必常为0. 但公理1的数值不常为0.(见下表).p p∨p ┐(p∨p) ┐(p∨p)∨p0 0 1 01 1 0 02 0 1 2可见公理1不能从其它公理推出.(二) 独立性证明二: 公理2不能从公理1, 3, 4用推演规则推出.算术解释:(1) 命题变项有四个值: 0, 1, 2, 3 .(2) ┐和∨的数值解释, 用等式表示为:(甲)┐0=1, ┐1=0, ┐2=3, ┐3=2 .(乙) 0∨0=0∨1=0∨2=0∨3=01∨1=1∨2=1∨3=12∨2=2∨3=23∨3=3交换律对∨适用.根据这种解释, 公理1, 3, 4的值常为0或2, 推演规则也传递“等于0或2”这性质, 但公理2并不常“等于0或2”. 当p取值2, q取值1时,p→p∨q的值为2→2∨1=┐2∨(2∨1)=3∨1=1 .所以公理2是独立的.(三)独立性证明三: 公理3不能从公理1, 2, 4用推演规则推出.此处算术解释是:(1) 命题变项有四个值: 0, 1, 2, 3 .(2) ┐和∨的数值解释, 用等式表示为:(甲) ┐0=1, ┐1=0, ┐2=0, ┐3=2(乙) 0∨0=0∨1=1∨0=0∨2=2∨0=0∨3=3∨0=01∨1=1,1∨2=2∨1=2,1∨3=3∨1=32∨3=0,3∨2=3,2∨2=2,3∨3=3根据这个解释, 公理1, 2, 4的值常为0, 推演规则传递“常为0”的性质. 但公理3的值不常为0.当p取值2, q取值3时, 公理3的值为3.(四) 独立性证明四: 公理4不能从公理1, 2, 3用推演规则推出.在此我们用以下的算术解释.(1) 命题变项有四个值: 0, 1, 2, 3 .(2) ┐和∨的数值解释为:(甲) ┐0=1, ┐1=0, ┐2=3, ┐3=0 .(乙) 0∨0=0∨1=1∨0=0∨2=2∨0=0∨3=3∨0=01∨1=1,1∨2=2∨1=2,1∨3=3∨1=32∨2=2,2∨3=3∨2=0,3∨3=3 .根据这个解释, 公理1, 2, 3以及从它们推演出来的公式, 其值都常为0, 而公理4的值不常为0. 当p取值2, q取值2,r取值2时, 公理4的值为2.作业:1. 在自然推理系统P中, 证明以下推理:今天下雨或明天后天都下雨, 明天不下雨或后天不下雨而今天下雨. 可以推出“今天下雨”.2. 在自然推理系统P中, 证明以下推理:如果李敏来通信工程学院, 若王军不生病, 则王军一定去看望李敏. 如果李敏出差到南京, 那么李敏一定来通信工程学院. 王军没有生病. 所以, 如果李敏出差到南京, 王军一定去看望李敏.3. 在自然推理系统P中, 证明以下推理:前提: B∧C, (B C)→(H∨G)结论: G∨H .4. 在自然推理系统P中, 证明以下推理:前提: P→Q, (┐Q∨R)∧┐R, ┐(┐P∧S)结论: ┐S .。

Solutions for Assignment♯41.Prove Theorem2.13.Solution:By Lemma2.11,it is enough to check the claim of uniqueness.(a)Suppose thatφ=P i(τ1...τn)andφ=P j(σ1...σn).P i and P j both occur as thefirst symbol inφand hence are equal.Consequently n=m=π(P i).Thenτ1andσ1must be equal,as neither can be a proper initial segment of the other.By induction on i less than or equal to n,for each i,τi is equal toσi,as required.(b)Suppose thatφ=(τ1ˆ=τ2)andφ=(σ1ˆ=σ2).Sinceτ1andσ1are terms,they must be equal,as neither can be a proper initial segment of the other.By the same reason,τ2=σ2.(c)Suppose thatφ=(¬ψ)andφ=(¬θ),ψandθare formulas.By Lemma2.12,ψmust be equaltoθ,as neither can be a proper initial segment of the other.(d)Suppose thatφ=(ψ1→ψ2)andφ=(θ1→θ2).Since bothψ1andθ1belong to L,by Lemma2.12,neither can be a proper initial segment of the other,they must be equal.As in the case ofnegation,it follows thatψ2andθ2are also equal.(e)Suppose thatφ=(∀x iψ)andφ=(∀x jθ).The occurrence of x i and x j withφhave the sameelement and therefore are equal.It follows thatφandθare also equal.2.Consider the set of sequences defined as in Definition2.6except that the last clause is changed toread,“Ifφ∈L and x i is a variable symbol,then∀x iφis an element of L”in which the parentheses are omitted.Is this set uniquely readable?Solution:The set is uniquely readable.It is enough to prove an analog of Lemma2.12:Ifφ∈L,then no proper initial segment ofφis an element of L.We just need to change a bit in thefinal part of the proof as follows: Consider the case whenφis∀x iφ1.Ifψis an initial segment ofφ,thenψmust be of the form ∀x iψ1,asφandψmust have the samefirst two symbols.But then induction applies toφ1,andψ1 must equalφ1.It follows thatφis equal toψ.3.Consider the set of sequences defined as in Definition2.6except that the fourth clause is changed to read,“Ifφ1andφ2are elements of L,thenφ1→φ2is an element of L”in which the parentheses are omitted.Is this set uniquely readable?Solution:The set is not uniquely readable.For example,φ1→φ2→φ3can be read asφ=((φ1→φ2)→φ3)andψ=(φ1→(φ2→φ3)).Butφ=ψ.4.Let A be a language with one binary relation symbol.Give an example of a sentenceφin this language and L A-structures M1and M2such that M1⊨φand M2⊭φ.Solution:Let R be a binary relation symbol,and letφ=∃x∀y¬(y<x).M1=(N,<)and M2=(R,<). Then M1⊨φif and only if x is the smallest number in N if and only if x=0.M2⊨φif and only if x is the smallest number in R.But this is impossible.Hence M2⊭φ.5.Do there exist an L A-structure M,an M-assignmentν,and an L A-formulaφsuch that(M,ν)⊨φand(M,ν)⊨(¬φ)?Do there exist such M andνsuch that(M,ν)⊭φand(M,ν)⊭(¬φ)?Solution:(a)There doesn’t exist such M,ν,φsuch that(M,ν)⊨φand(M,ν)⊨(¬φ).By definition,(M,ν)⊨(¬φ)if and only if(M,ν)⊭φ.By induction onϕ,φand(¬φ)can’t be satisfied by (M,ν)at the same time.(b)There doesn’t exist such M,ν,φsuch that(M,ν)⊭φand(M,ν)⊭(¬φ).By definition,(M,ν)⊭φif and only if(M,ν)⊨(¬φ).By induction onϕ,(M,ν)⊭φand(M,ν)⊭(¬φ)can’t happen at the same time.。

数理逻辑一、说明(一) 课程性质《数理逻辑》是数学与应用数学专业的方向选修课。

数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，它是采用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题是推理。

所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。

用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。

总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它是现代计算机技术的基础。

(二) 教学目的本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提高其数学解题能力。

(三) 教学内容及学时数本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理演算，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理理论等内容，共计30学时。

序号内容学时数（30 ）课堂学时数实践学时数1 命题逻辑的基本概念 6 02 命题逻辑的等值和推理演算7 33 谓词逻辑的基本概念 6 04 谓词逻辑的等值和推理理论 6 2合计25 5 (四) 教学方式数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。

(五) 考核要求1. 考核的方式及成绩评定本课程的考核方式一般采用笔试，成绩评定100分制，其中平时成绩占50%，期末考试成绩占50%，其中平时成按数学系课堂“五个环节”评分细则进行评定。

2. 考题设计(1) 考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。

(2) 考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确定中等难度知识点约50%，稍有难度知识点15%范围以内。

4一阶谓词逻辑4.1 一阶谓词逻辑的基本概念4.1.1命题逻辑的局限性命题逻辑中的原子命题是最小的研究单元，不再进行深入研究。

因此，命题逻辑对现实世界的描述能力是有限的。

1、例如：所有自然数都大于它的素数 A ∀x(A(x)→y∃(P(x,y) ∧Q(y)))A(2100)→y∃(P(2100,y) ∧Q(y))∀x(A(x)→y∃(P(y,x) ∧Q(y)))2100是自然数B A(2100)2100有大于它的素数C y∃(P(y, 2100) ∧Q(y))对于这个现实中的例子，用命题逻辑无法描述。

因为，用命题逻辑来描述，第一个句子是一个原子命题、二三句同样是原子命题。

而这些原子命题之间无法建立关联关系。

因此，每一个前题都是单一的命题，没有联结词。

所以用命题逻辑描述它不能进行推理。

然而上述推理是正确的，是现实中存在的现象。

2、再例如：所有实数的平方是非负的A-是实数B3-的平方是非负的C34.1.2一阶谓词逻辑1、概述一阶谓词逻辑解决了上述问题，能够对原子命题进行分割和更细致的研究工作。

●个体域：任何一门科学都有其研究对象，这些对象的集合称为个体域。

个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。

P(x)●函词：个体上可以进行运算，能够产生新的个体。

这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。

F(x,y)=x*y●谓词：我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。

这些有关个体性质的描述称为谓词。

Q(y), P(x,y) ::x<y●量词：关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。

有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。

为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。

2、谓词和函词●谓词定义：谓词表示个体性质和关系的语言成分。

它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。

没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；相反为谓词填式。

谓词后面的空位个数为谓词的元数。

谓词是一个体域上的n元关系。

马琦 2010.10.16 maqi08@非形式化命题演算基本要素 真值指派 逻辑推理 等价性 p,q,r,…~,∧,∨,→,↔, A,B,C,… 真值表 重言式：对任意变元真值都取T。

论证形式的有效性语句形式演算系统 L~,→,( , ) , p1, p2, p3,… 合式公式，公理，演绎规则 重言式：对每一赋值都取T。

定理和证明(推演和后承)论证形式是有效的当且仅当相应的命题形式是重言式。

重言式是定理，定理是重言式。

论证形式是有效一阶语言 L基本要素 真值指派 x1,x2,…,a1,a2,…, Ain, fin, (,),,,~,→,∀ 解释：变元域以及其他元素的指定。

赋值：对变元的指定。

重言式：L L中重言式的代换实例。

逻辑推理 等价性 逻辑有效：对每一解释都是真的。

逻辑有效的。

重言式是逻辑有效 逻辑有效形式系统KLL的合式公式，公理，规则定理和证明(推演和后承) 定理是逻辑有效的。

逻辑有效的是定理。

公理• 设A,B,C是L的任意wf.，下列为KL的公理。

• (K1) (A→(B→A)) • (K2) (A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) • (K3) (~A→~B)→(B→A)) • (K4) ((∀xi)A→A))，xi不在A中自由出现。

• (K5) ((∀xi)A(xi)→A(t)))，A(xi)是L的wf.，而 L的项 t 对A(xi)中的 xi 是自由的。

• (K6) ((∀xi)(A→B)→(A→(∀xi)B))，若A不包含变元xi的自由出现。

规则• (1) 分离规则，即由A和 (A→B)推出B，这里A和B是L的任意wf.。

• (2) 全称概括规则，即由 A推出 (∀xi)A，这里A是L的任意wf.，xi是任意变元。

全称概括规则证明和定理• KL中的一个证明是L的wf.序列 A1,…An，使对每一i(1≤i≤n)，或者Ai是KL的公理， 或者Ai是由序列中在前的wf.用MP规则或全称概括规则而推得。

第四章判断(二)[学习提示]本章介绍各种复合判断。

通过本章得学习,要了解什么就是复合判断、复合判断分类得根据;各种复合判断得逻辑形式及逻辑性质。

各种复合判断得逻辑形式与逻辑性质就是复合判断推理得基础,就是本章学习得重点内容,要牢固掌握。

其中还要注意把握联言判断与相容选言判断、相容选言判断与不相容选言判断、充分条件假言判断与必要条件假言判断之间得联系与区别;几种主要得负判断及其等值判断得逻辑形式;假言判断得等值转换形式等内容。

第一节复合判断概述一、什么就是复合判断？指本身含有其它判断得判断。

如:未来战争或者就是核战争,或者就是常规战争。

二、复合判断得构成及形式复合判断由联结词将支判断(命题变项)联结起来而构成。

形式:就是由联结词与命题变项组成得表达式。

三、复合判断得种类以联结词得逻辑性质为标准,分为联言判断、选言判断、假言判断与负判断四种。

第二节联言判断一、什么就是联言判断联言判断就是断定若干事物情况共同存在得复合判断。

例如:泰山既雄伟,又壮丽。

联言判断由联言支与联言联结项构成。

联言支可以有两个或三个以上,联言支通过联结项“并且”联结起来。

一个二支联言判断得逻辑形式就是:P并且q在现代逻辑中,“并且”也可用“”(读作“合取”)表示。

这样,联言判断得逻辑形式也可表示为:Pq在现代汉语中,联言判断用并列复句、递进复句、连贯复句、转折复句与某些单句表达。

在日常生活中,联言命题常用省略得语言形式表达,如:虚心使人进步,骄傲使人落后(省略连接词)二、联言判断得真假值联言判断得真假决定于联言支得真假。

一个联言判断,只有当它得联言支都真时,它才就是真得,只要有一个联言支假,它就就是假得。

两个联言支中如果有一个假或者两个都假时,那么,这个联言判断就就是假得。

联言判断得真假值与联言支得真假值得制约关系可以用下列真值表来表示:现代逻辑认为,一个合取式(Pq),只要支命题都真,即使支命题之间没有意义上得联系,也就是真得。