广义似然比检验

第４６卷　第１期２０２４年１月系统工程与电子技术ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓＶｏｌ．４６　Ｎｏ．１Ｊａｎｕａｒｙ ２０２４文章编号：１００１ ５０６Ｘ（２０２４）０１ ０１０５ ０８　网址：ｗｗｗ．ｓｙｓ ｅｌｅ．ｃｏｍ收稿日期：２０２２０９２０；修回日期：２０２２１１２２；网络优先出版日期：２０２３０２０１。

网络优先出版地址：ｈｔｔｐ：∥ｋｎｓ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ／ｋｃｍｓ／ｄｅｔａｉｌ／１１．２４２２．ＴＮ．２０２３０２０１．１５１０．００１．ｈｔｍｌ基金项目：深圳市科技计划（ＫＱＴＤ２０１９０９２９１７２７０４９１１）资助课题 通讯作者．引用格式：黄广佳，程旭，饶彬，等．基于广义Ｒａｏ检验的单／多比特ＭＩＭＯ雷达运动目标检测方法［Ｊ］．系统工程与电子技术，２０２４，４６（１）：１０５ １１２．犚犲犳犲狉犲狀犮犲犳狅狉犿犪狋：ＨＵＡＮＧＧＪ，ＣＨＥＮＧＸ，ＲＡＯＢ，ｅｔａｌ．Ｏｎｅ／ｍｕｌｔｉ ｂｉｔＭＩＭＯｒａｄａｒｄｅｔｅｃｔｉｏｎｏｆａｍｏｖｉｎｇｔａｒｇｅｔｂａｓｅｄｏｎｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＲａｏｔｅｓｔ［Ｊ］．ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０２４，４６（１）：１０５ １１２．基于广义犚犪狅检验的单／多比特犕犐犕犗雷达运动目标检测方法黄广佳，程　旭 ，饶　彬，王　伟（中山大学电子与通信工程学院，广东深圳５１８１０７） 摘　要：通道数的增加在提高多输入多输出（ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｉｎｐｕｔｍｕｌｔｉｐｌｅ ｏｕｔｐｕｔ，ＭＩＭＯ）雷达目标检测性能的同时，也显著增加了数据的传输量和处理负担。

针对运动目标的集中式ＭＩＭＯ雷达检测问题，首先对雷达回波数据进行比特量化，然后再进行融合检测处理。

由于广义似然比检验（ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｒａｔｉｏｔｅｓｔ，ＧＬＲＴ）需要对未知参数进行最大似然估计（ｍａｘｉｍｕｍｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ，ＭＬＥ），而上述问题中未知参数的ＭＬＥ没有闭合解，导致相应的检验统计量的计算量较大。

2012年第32期(总第47期)科技视界Science &Technology VisionSCIENCE &TECHNOLOGY VISION 科技视界0引言假设检验作为数理统计中的一种重要的统计推断方法,在实际中有着广泛的应用。

广义似然比检验法是求解假设检验问题的一般性方法,它对总体的概率分布没有太多的限制,因而其使用范围较广,并且通常总能得到较满意的否定域。

由于正态总体在实际中最常见,所以目前国内的教材主要讨论正态总体中的假设检验,但大多都是直接给出检验的否定域或是只考虑单个正态总体的假设检验,对如何得到两个正态总体方差的假设检验很少涉及,本文主要利用广义似然比检验法得出两个正态总体方差是否相等的假设检验。

1广义似然比检验法的基本原理设总体X~f (x ,θ),f (x ,θ)是密度函数或概率函数,θ=(θ1,…,θm )∈Θ设Θ0是Θ的非空真子集,考虑假设问题:H 0:θ∈Θ0↔H 1:θ∈Θ-Θ0设x =(x 1,x 2,…,x n )为样本X =(X 1,…,X n )的观察值。

令L (x ;θ)=ni=1∏f (x i ;θ),对于给定的点x ,L (x ;θ)为变量θ的函数,称为似然函数,简记为L (θ)。

令L (Θ^0)=^sup θ∈Θ0L (x ;θ)=L (x ;θ^0)L (Θ^)=^sup θ∈ΘL (x ;θ)=L (x ;θ^)其中θ^0,θ^分别为θ在参数空间Θ0和Θ中的最大似然估计。

称λ=λ(x )=L (Θ^)L (Θ^0)为样本值x =(x 1,x 2,…,x n)的广义似然比,显然λ≥1,直观上看,若H 0是真的,则θ的最大似然估计应该很大可能属于Θ0,从而λ应该接近1;反之,若λ的值太大就应该否定H 0,这时应该取否定域W ={x :λ(x )>λ0},其中λ0满足sup θ∈Θ0P (X ∈W |θ)=α,这里α是预先给定的检验水平(0<α<1)。

不同惯导系统零速检测算法的性能分析石波;李耀宗;程敏;杨伟彬【摘要】分别使用四种零速检测算法,检验了不同精度两种惯性导航系统的检测性能,通过绘制载体速度时间图像、检测的零速折线图以及检测统计量变化曲线图,分析了车载实验下不同惯导系统相同零速检测算法之间、不同零速检测算法相同惯导系统之间各曲线变化.结果表明,相同的零速检测算法对性能较好的惯导系统检测的零速时段精度更高;而对于相同的惯导系统使用不同的零速检测算法,通过对比广义似然比检测结果和角速度量测能量检测结果发现,零速检测过程中提供最可靠信息的是陀螺信号.【期刊名称】《山东科技大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(035)002【总页数】7页(P57-63)【关键词】惯性导航系统;阈值;Neyman-Pearson准则;零速检测;零速折线图【作者】石波;李耀宗;程敏;杨伟彬【作者单位】山东科技大学测绘科学与工程学院,山东青岛266590;山东科技大学测绘科学与工程学院,山东青岛266590;山东科技大学测绘科学与工程学院,山东青岛266590;山东科技大学测绘科学与工程学院,山东青岛266590【正文语种】中文【中图分类】V249.322惯性导航是根据惯性传感器(陀螺仪、加速度计)提供的载体相对于惯性空间的线速度和角速度信息，来确定运载体位置的过程[1]。

不同于其他类型的导航系统，惯性导航系统是一个完全自主的，不依赖于任何外部信息的系统，具有隐蔽性好、精度高、全天候作业、不易被电子干扰的优点，但同时也具有一些弊端，最明显的就是导航误差随时间积累问题，因而长时间工作后会产生不同程度的积累误差，此误差可以通过与一个或多个辅助传感器组合来使它达到有界，提高系统性能。

相对来讲，零速修正技术(zero velocity update，ZUPT)是进行误差控制的一种简单而且有效的手段[2]，是利用载体停止时惯性导航系统的速度输出作为系统速度误差的观测量，进而对其他各项误差进行修正。

0:[][]H z n w n=1:[][]H z n A w n=+0,1,...,1 n N =-2 [](0,) w n N σ例1：考虑一个复合假设检验问题：若A为未知参数且-∞<A < ∞，噪声方差σ2已知，试求解GLRT 判决式。

解:1100ˆ(|,)()(|)H p A H p H H >Λ=η<z z z 判决式：ˆA z=易得MLE ：22ln ()2NzΛ=σz 10||'H z H >γ<检验统计量：判决式：双边检验0:[][]H z n w n=1:[][]H z n A w n=+0,1,...,1 n N =-2 [](0,) w n N σ例2：考虑一个复合假设检验问题：若A为未知参数且-∞<A < ∞，噪声方差σ2未知，试求解GLRT 检验统计量并分析。

解:211200ˆˆ(|,,)()ˆ(|,)p A H p H σΛ=σz z z 检验统计量：ˆAz =()12211ˆ[]N n z n z N -=σ=-∑1221ˆ[]N n z n N -=σ=∑易得各MLE ：2112/211ˆˆ(|,,)exp ˆ(2)2N N p A H ⎛⎫σ=- ⎪πσ⎝⎭z 202/201ˆ(|,)exp ˆ(2)2N N p H ⎛⎫σ=- ⎪πσ⎝⎭z 可得：/22021ˆ()ˆN ⎛⎫σΛ= ⎪σ⎝⎭z 222201222111ˆˆln ln ln 1ˆˆˆz z N N N ⎛⎫⎛⎫⎛⎫σσ+==+ ⎪ ⎪ ⎪σσσ⎝⎭⎝⎭⎝⎭221()ˆz T =σz 2021ˆ2ln ()ln ˆN ⎛⎫σΛ= ⎪σ⎝⎭z 22()zT =σz σ2已知时的等效检验统计量：等效检验统计量：221100011220011[][]()|11([])([])N N n n N N n n u n u n N N T H u n u u n u N N --==--==⎛⎫⎛⎫σ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==σ-σ-∑∑∑∑z [][]w n u n =σ221()ˆzT =σz 等效检验统计量分析：与无关σ小结：1、复合假设检验基本概念介绍了复合假设检验的概念及基本方法，包括贝叶斯方法、一致最大势方法及广义似然比方法，分析了当一致最大势不存在时检测性能差异。

第45卷第1期吉林大学学报（理学版）VoI.45 No.1 2007年1月JOURNAL OF JILIN UNIVERSITY（SCIENCE EDITION）Jan 2007部分线性回归模型中的广义似然比检验施三支1，2，宋立新3（1.吉林大学数学学院，长春130012；2.长春理工大学理学院，长春130022；3.大连理工大学应用数学系，辽宁省大连116024）摘要：检验了部分线性回归模型中的函数部分是否为常数，在备择假设下，先用局部多项式方法估计出函数部分，在估计中忽略了参数部分，将其并入误差项，再使用二阶段估计法，直接应用最小二乘方法，估计出参数部分，并讨论了它们的渐近性质.计算了零假设下广义似然比检验统计量的表达式，并给出其渐近分布.关键词：部分线性回归模型；局部多项式估计；两阶段估计法；广义似然比检验中图分类号：O212.1 文献标识码：A 文章编号：1671-5489（2007）01-0056-07Generalized Likelihood Ratio Test in Partially Linear ModelsSHI San-zhi1，2，SONG Li-xin3（1.College of Mathematics，Jilin Uniuersity，Changchun130012，China；2.School of Science，Changchun Uniuersity of Science and Technology，Changchun130022，China；3.Department of Applied Mathematica，Dalian Uniuersity of Technology，Dalian116024，Liaoning Prouince，China）Abstract：We proposed the test statistic to check whether the nonparametric function in partiaIIy Iinear modeIs is a const or not.We estimated the nonparametric function by the IocaI poIynomiaI method，where we ignored the parametric component，and estimated the parameters by the two stage method.The test statistic under the nuII hypothesis was caIcuIated，and it was shown to be asymptoticaIIy normaI.Key words：partiaIIy Iinear modeI；IocaI poIynomiaI estimation；two stage estimation；generaIized IikeIihood ratio test1 引言由于部分线性回归模型既含有参数分量，又含有非参数分量，所以可以概括和描述许多实际问题，如EngIe等人［1］用此模型讨论了气象条件对供电量的影响，Heckman［2］，Speckman［3］，H a rdIe等人［4］对此模型进行了更深入的研究；张萌等人［5］讨论了此模型中参数与非参数部分的强相和性；Fan 等人［6，7］在非参数模型的研究中提出了局部多项式方法，并用局部多项式方法给出非参数模型中的广义似然比检验统计量，揭示了一种新的WiIks现象.本文研究函数部分对模型的影响，检验函数部分是否存在.为便于讨论，假设模型Y=X!+g（T）+"（1.1）中p维非退化随机变量X的数学期望为0，即EX=0，T为（0，1）区间上的均匀分布，X与T相互独立，收稿日期：2006-04-04.作者简介：施三支（1968~），女，汉族，博士研究生，副教授，从事数理统计的研究，E-maiI：shisanzhi@.联系人：宋立新（1966~），男，汉族，博士，教授，博士生导师，从事数理统计的研究，E-maiI：Ixsong@.基金项目：国家自然科学基金（批准号：10271049；10571073）.S 服从标准正态分布，S 与X ，T 独立.于是，本文中检验假设H 0：g （T ）=O ， v.S. H l ：g （T ） O ，这里O 是未知参数.在零假设下，由于没有非参数分量，可用传统的参数估计方法（最小二乘法）进行估计；在备择假设下，采用局部多项式估计方法［6］，先将带参数的部分看作误差项，对函数部分进行估计，再用两阶段估计方法，对参数部分进行估计，讨论了它们的渐近性质，提出了两阶段式广义似然比检验方法，并计算了广义似然比检验统计量的表达式，证明了它在H 0下是渐进正态的.!"估"计设（X l ，T l ，Y l ），（X 2，T 2，Y 2），…，（X I ，T I ，Y I ）为观察数据，B =（B l ，B 2，…，B p ）T为未知参数，g （·）为未知函数.在零假设H 0下，将模型（l .l ）改写成如下形式：Y = X G +S ，（2.l ）其中，Y =（Y l ，Y 2，…，Y I ）T， X =l l …l XTlXT 2…XT ()IT（l X ），这里X =（X T l ，X T 2，…，X T I ）T，S =（S l ，S 2，…，S I ）T ，G =（O B T ）T为参数.易得G 的估计量为^G=^O ^B ()=（ X T X ）-l X T Y ，此时，对数似然为l ^H 0=-I 2Iog （2!）-l 2Y T （I I - X （ X T X ）-l X T）Y .记A =（ a ij ）=I I - X （ X T X ）-l X T ，显然， A 为随机的对称幂等阵，且 A X =0.在H l 下，由于g （T ） O ，因此可考虑用局部多项式方法求估计量^B和^g （T ）.选择两阶段估计方法，首先对半参数模型中的函数项g（I ），采用局部线性估计方法，给出估计^g （I ）.其次，再利用函数项部分的估计，给出系数B 的估计^B.为了更进一步地看出这种估计的便利性，将模型改写为Y =g （T ）+W ，W =V +S ，V =X B {.显然，E ［Y T =I ］=g （I ）.若假设g （I ）有连续的二阶导数，则在I 0附近，有g （I ） g （I 0）+g'（I 0）（I -I 0），其中I 0在T 的支撑内.根据局部线性方法的思想，求解下式：min O l ，O 2 Ii =l［Y i -O l -O 2（T i -I 0）］2K h （T i -I 0），（2.2）其中K h（·）=K （·/h ）/h ，K （·）是一个核函数，h 为窗宽，满足当I 时，h 0，Ih .设^O l ，^O 2为式（2.2）的解，则^g （I 0）=^O l ，^g'（I 0）=^O 2.记S I ，/=l I Ii =l K h （T i -I 0）T i -I 0()h/（/=0，l ，2）.为避免分母为零，给出g （I 0）的估计^g （I 0）如下，记W I =S I ，0S I ，2-S 2I ，l +I-2，则有^g （I 0）=l W I S I ，2·l I I i =l K h （T i -I 0）Y i -S I ，l ·l I Ii =l T i -I 0()hK h （T i -I 0）Y []i . 假设条件：（H l ）函数g （·）有连续的二阶导数；（H 2）核函数K （·）是有界对称的［-l ，l ］上的概率密度函数；（H 3）当I 时，h 0，Ih ，且Ih 5=0（l ），0<h <l /2；（H 4）X 的四阶矩存在，且E （X ）=0，E （X T X ）=!，!为正定矩阵.记S /=l-lU /K （U ）d U ，w /=l-lU /K 2（U ）d U ，/ 0为整数.则有如下定理（证明与文献［8］类似）：75 第l 期 施三支，等：部分线性回归模型中的广义似然比检验定理!." 在假设（H 1）~（H 4）成立的条件下，^g （t 0）-g （t 0）=01（h 2），从而有^g （t 0）-g （t 0） P 0.定理!.! 在假设（H 1）~（H 4）成立的条件下，当H 0成立时，有!Ih （^g （t 0）-g （t 0）） CN （0，（!T !!+1）"0）.参数!的估计^!是下式的解：min !Ii =1［Y i -^g （T i ）-X i !］2.若令 Y =（Y 1-^g （T 1），Y 2-^g （T 2），…，Y I -^g （T I ））T Y -^G，其中^G =（^g （T 1），^g （T 2），…，^g （T I ））T ，X =（X T 1，X T 2，…，X T I ）T ，G =（g （T 1），g （T 2），…，g （T I ））T ，可以求出^!=（X T X ）-1X T Y ， ^!-!=（X T X ）-1X T #+（X T X ）-1X T （G -^G ），则容易证明，在假设（H 1）~（H 4）成立的条件下，^!-! P 0，且当H 0成立时，有!I （^!-!） CN （0，!-1），其中!为随机变量X 的协方差阵.#$广义似然比检验统计量设广义似然比检验统计量为$I ，则有log $I =l ^H 1-l ^H 0，其中l ^H 1=-I 2log （2!）-12Y T （I I -X （X T X ）-1X T） Y .记A =（a ij ）=I I -X （X T X ）-1X T，I I 是I X I 单位阵.显然A 是随机的对称幂等阵，并且有AX =0.记RSS 0=Y TA Y ，RSS 1= Y TA Y ，则有2log $I =RSS 0-RSS 1=#T （ A -A ）#+2（^G -G ）T A #-（^G -G ）T A （^G -G ）.记R I =#T （ A -A ）#，H I =（^G -G ）T A #，S I =（^G -G ）T A （^G -G ），则有2log $I =R I +2H I -S I .引用在文献［6］中的记号，设Z I 是一列随机变量，a I 是一列非负实数，记Z I =0r （a I ），如果E Z Ir=0（a r I ），对O r （a I ）也有类似的定义.则当U ，1，r 均是不小于1的数，a I 与6I 是两列非负实数时，下式成立：0r （a I ）0r （6I ）=0r /2（a I 6I ），（3.1）0U （a I ）+01（6I ）=0U /1（a I +6I ）.（3.2）定理#." 在假设（H 1）~（H 4）成立的条件下，当H 0成立时，有R I =02（1）.将H I 展开，得H I =（^G -G ）T A #=i ，ja ij （^g（T i ）-g （T i ））#j ，这里^g （T i ）-g （T i ）=1W （i ）I S （i ）I ，2·1I II =1K h （T I -T i ）（g （T I ）-g （T i ）+X I !+#I ）[-S （i ）I ，1·1I II =1T I -T i()h K h （T I -T i ）（g （T I ）-g （T i ）+X I !+#I ]）-g （T i ）I -2W （i ）I ，其中S（i ）I ，$=1I II =1K h （T I -T i ）T I -T i()h$，$=0，1，2，W （i ）I =S （i ）I ，0S （i ）I ，2-S （i ）2I ，1+I-2.与定理2.1的证明中类似，可以证明，当W =S 0S 2-S 21=S 2时，S （i ）I ，$=S $+0r （h ）， 1W（i ）I=1W+024（h ），这里r 为任意整数.记6（i ）$=S （i ）I ，$W （i ）I，$=1，2，则易知6（i ）1=012（h ），6（i ）2=1+012（h ），i =1，2，…，I ，并且6（1）$，6（2）$，…，6（I ）$是同分布的，$=1，2.在H 0下，85 吉林大学学报（理学版） 第45卷^g（Ti ）-g（Ti）=lI6（i）2II=lKh（TI-Ti）（XIB+8I）-lI6（i）lII=lTI-Ti()hKh（TI-Ti）（XIB+8I）-I-2W（i）I，则有如下定理成立：定理3.2在假设（H l）~（H4）成立的条件下，当H0成立时，有HI =K（0）h+lIIi=l I iKh（TI-Ti）（XIB+8I）8i+02（l）.（3.3）同样，由S I的分解式S I =i，ai（^g（Ti）-g（Ti））（^g（T）-g（T））可得如下定理：定理3.3在假设（H l）~（H4）成立的条件下，当H0成立时，有S I =00h（B T!B+l）+lII iKh*K（T i-T）（X i B+8i）（X I B+8I）+O2（h-l/2），（3.4）其中K h*K（·）=K*K（·/h）/h，K*K（·）为核函数K（·）的卷积.为方便，记}I=2K（0）h-00h（B T!B+l），O2I=00hB T!B+2h+-K（U）-l2K*K（U）（B T!B+l()）2d U，则可得到对数似然比2log/I的渐近性质：定理3.4在假设（H l）~（H4）成立的条件下，当H0成立时，并当h0时，有2log/I -}I2OId N（0，l）.（3.5）由定理3.4的结论可以看出，当B=0时，}I和O I只与核密度有关.这时定理3.4的结果与文献［9］中的结果完全相同.当B0时，由于在H0下，}I=lh（2K（0）-0（B T!B+l））可能小于0，其中00=l-lK2（U）d Ul2，若已知B T!B s M，则可取K（0）0（l+M）.当H成立时，}I0，这时拒绝域形如2log/I-}I2OI{}C.为得出临界值C，可将参数B与!的估计代入}I与O2I的表达式，得^} I =lh（2K（0）-0（^B T!!^B+l）），^O2I=lh00^B T!!^B+2+-K（U）-l2K*K（U）（^B T!!^B+l()）2d[]U，其中^B是文中给出的B的估计，由于!是随机变量"的协方差阵，故可取!!为"的样本协方差.这时，临界值C可用标准正态分布去求，也可考虑用X2分布去近似，若记r I log/I~a X2（rI ^}I）/2，可以算出r I =2K（0）-0（^B T!!^B+l）00^B T!!^B+2+-K（U）-l2K*K（U）（^B T!!^B+l()）2d U.4 主要结果的证明为了证明定理3.l，给出如下两个引理（引理的证明是直接的）：引理4.1上面定义的随机矩阵#=（a i ）满足如下性质：（l）rank（#）=I-；（2）II=l aiIaI=ai；（3）对V i，有0s aii s l，a i s l；95第l期施三支，等：部分线性回归模型中的广义似然比检验（4） Ii =1a ii =I -p ，i ja ij s Ip +p ；（5）I -p()I2s 1I Ii =1a 2ii sI -p I.引理4.2 !与!的定义如上，则有 !!= !，从而有tr （ !!）=I -p -1.4.1 定理3.1的证明由R I 的定义，可知ER I =tr （E ［!!T（ !"!）］）=E ［tr （ !"!）］=I -p -1-（I -p ）=-1，ER I 2=E i ，j （ a ij -a ij ）!i ![]j 2=E 3 Ii =1（ a ii -a ii ）2+i j （ a ii -a ii ）（ a jj -a jj []）+2E i j（ a ij -a ij ）[]2=E Ii =1（ a ii -a ii ） Ij =1（ a jj -a jj ）+2 Ii =1 Ij =1（ a ij -a ij ）[]2=1+2E I i =1a ()ii +2E Ii =1a ()ii -4E i ，ja ij a ()ij =1+2（I -p -1）+2（I -p ）-4E ［tr （ !!）］=3，故Var R I =ER 2I -（ER I ）2=3-1=2， R I =ER I +02（Var R !I ）=02（1）.证毕.在证明定理3.2与定理3.3之前，先给出以下引理：引理4.3 在假设（H 1）~（H 4）成立的条件下，当T 1，T 2，T 3相互独立时，有（1）EK h （T 2-T 1）=1-h ·21UK （U ）c U ；（2）EK 2h（T 2-T 1）="0h- 1UK 2（U ）c U ；（3）EK ph （T 2-T 1）=01h p -()1，p 2；（4）EK h （T 2-T 1）K h （T 3-T 1）=1+0（h ）；（5）EK 2h（T 2-T 1）K 2h（T 3-T 1）="20h2+01()h ；（6）EK h （T 3-T 1）K h （T 4-T 1）K h （T 3-T 2）K h （T 4-T 2）=01()h .引理4.4 在假设（H 1）~（H 4）成立的条件下，有（1）E6（1）2=1+0（h ）；（2）Var 6（1）2=0（h 2）；（3）E ［（6（1）2-1）K h （T 2-T 1）］=0（h 1 2）；（4）E ［（6（1）26（2）2-1）K h （T 3-T 1）K h （T 3-T 2）］=0（1）；（5）E ［（（6（1）2）2-1）K 2h （T 2-T 1）］=O （h -1 2）；（6）E ［（（6（1）2）2-1）（（6（2）2）2-1）K h （T 3-T 1）K h （T 4-T 1）K h （T 3-T 2）K h （T 4-T 2）］=0（1）.以上引理的证明是直接的.4.2 定理3.2的证明记H I =H I 1+H I 2-#I 2 Ii =1 Ij =1a ij 1W （i ）I!j ，其中H I 1=1I Ii =1 Ij =1a ij II =16（i ）2K h （T I-T i ）（X I $+!I ）!j ，06吉林大学学报（理学版） 第45卷HI2=-lIIi=lI=laiII=l6（i）lKh（TI-Ti）TI-Ti()h（XIB+S I）S.HI l的分解式为HI l =lIi，ai6（i）2K（0）h（XiB+S i）S+lIi，aiI i6（i）2Kh（TI-Ti）（XIB+S I）S=K（0）IhIi=laii6（i）2XiBS i+Ii=laii6（i）2S2i+iai6（i）2（XiB+S i）S[]+lIiai6（i）2Kh（T-Ti）（X B+S）S+lIi，aiI i，6（i）2Kh（TI-Ti）（XIB+S I）SH（l）I l+H（2）I l+H（3）I l+H（4）I l+H（5）I l.由均值方差分解，可以推出下面各式：H（l）I l =K（0）Ihi=laii6（i）2XiBS i=02l!()Ih；H（2）I l =K（0）IhIi=laii6（i）2S2i=K（0）h+02（l）；H（3）I l =K（0）Ihiai6（i）2（XiB+S i）S=02l!()Ih；H（4）I l =lIiai6（i）2Kh（T-Ti）（X B+S）S=02（l）；H（5）I l =lIi，aiI i，6（i）2Kh（TI-Ti）（XIB+S I）S=lIi，aiI i，Kh（TI-Ti）（XIB+S I）S+lIi，aiI i，（6（i）2-l）Kh（TI-Ti）（XIB+S I）S=lIIi=l I iKh（TI-Ti）（XIB+S I）S i+02（l）.类似的方法可得H I2=02（l）.故有HI =K（0）h+lIIi=l I iKh（TI-Ti）（XIB+S I）S i+02（l）.证毕.定理3.3的证明与定理3.2的证明类似.!."#定理".!的证明由定理3.l~3.3可知，2log/I=.I+2G I h-l/2+2（h-l/2），其中GI =!hIIi=l I iKh（TI-Ti）（XIB+S I）S i-l2Kh*K（T I-T i）（X I B+S I）（X i B+S i []）.令O2=h O2I，下面只要证明G I c N（0，O2）即可.定义Wi =!h2IKh（T-Ti）（（X B+S）Si+（XiB+S i）S）+!h2IKh*K（T-T i）（X B+S）（X i B+S i），显然W i 是对称型的，并且G I=i Wi.应用De Jong［l0］的结论，只需验证以下各式成立即可.（l）GI 是清晰的（见De Jong的定义）；（2）Var G I h O2I；（3）G!的阶比Var G I低；（4）G"的阶比Var G I低；（5）G#的阶比Var G I低，l6第l期施三支，等：部分线性回归模型中的广义似然比检验其中C!=1s i<j s nE（W4ij），C"=1s i<j<k s n｛E（W2ijW2ik）+E（W2jiW2jk）+E（W2kiW2kj）｝，C#=1s i<j<k<l s n｛E（WijWikWljWlk）+E（WijWilWkjWkl）+E（WikWilWjkWjl）｝.条件（1）可由定义直接得出：令Y i（X i，T i，!i），则E（W ij Y i）0.为验证条件（2），直接求C n的方差即可：ar Cn =hn2Ek iKh（Tk-Ti）（Xk"+!k）!i-12Kh*K（T k-T i）（X k"+!k）（X i"+!i []）2{+ k iKh（Tk-Ti）（Xk"+!k）!i-12Kh*K（T k-T i）（X k"+!k）（X i"+!i []）XKh（Ti-Tk）（Xi"+!i）!k-12Kh*K（T i-T k）（X i"+!i）（X k"+!k[]}）=#0（"!"+1）-+-K（U）K*K（U）d U（"!"+1）+14+-（K*K（U））2d U（"!"+1）2+ #0-+-K（U）K*K（U）d U（"!"+1）+14+-（K*K（U））2d U（"!"+1）2+0（h）=#0"!"+2+-K（U）-12K*K（U）（"!"+1()）2d U+0（h）.由EW412=h216n4E［Kh（T2-T1）（（X2"+!2）!1+（X1"+!1）!2）-Kh*K（T2-T1）（X2"+!2）（X1"+!1）］4=01n4()h知C!01n2()h O（1），因此条件（3）成立.类似地，条件（4）与（5）可直接验证.证毕.参考文献［1］EngIe R，Granger C，Rice J，et aI.Nonparametric Estimates of the ReIation between Weather and EIectricity SaIes［J］.J Amer Staist Ass，1986，81：310-320.［2］Heckman N E.SpIine Smoothing in PartIy Linear ModeIs［J］.J R Stat Soc，1986，B48：244-248.［3］Speckman P.KerneI Smoothing in PartiaI Linear ModeIs［J］.JournaI of the RoyaI StatisticaI Society，1988，B50：413-436.［4］H a rdIe W，Liang H，Gao J.PartiaIIy Linear ModeIs［M］.HeideIberg：Springer Physica- erIag，2000.［5］ZHANG Meng，SONG Li-xin，WANG De-hui. he Strong Consistence of Least Sguare Estimator for PartIy Linear ModeI ［J］.JournaI of JiIin University（Science Edition），2004，42（3）：327-332.（张萌，宋立新，王德辉.部分线性模型最小二乘估计的强相合性［J］.吉林大学学报（理学版），2004，42（3）：327-332.）［6］Fan J O.LocaI Linear Regression Smoothers and heir Minimax Efficiency［J］.Ann Statist，1993，21：196-216.［7］Fan J O，Zhang C M，Zhang J.GeneraIized LikeIihood Ratio Statistics and WiIks Phenomenon［J］. he AnnaIs of Statistics，2001，29：153-193.［8］张H权，卢一强.变系数模型［M］.北京：科学出版社，2001：24-30.［9］Fan J O，Huang .ProfiIe LikeIihood Inferences on Semiparametric arying-coefficient PartiaIIy Linear ModeIs［J］.BernouIIi，2005，11：1031-1057.［10］De Jong P.A CentraI Limit heorem for GeneraIized Ouadratic Forms［J］.Probab heory ReIated FieIds，1987，75：261-277.（责任编辑：赵立芹）26吉林大学学报（理学版）第45卷部分线性回归模型中的广义似然比检验作者：施三支， 宋立新， SHI San-zhi， SONG Li-xin作者单位：施三支,SHI San-zhi(吉林大学,数学学院,长春,130012;长春理工大学,理学院,长春,130022)， 宋立新,SONG Li-xin(大连理工大学,应用数学系,辽宁省,大连,116024)刊名：吉林大学学报（理学版）英文刊名：JOURNAL OF JILIN UNIVERSITY(SCIENCE EDITION)年，卷(期)：2007,45(1)1.Engle R;Granger C;Rice J Nonparametric Estimates of the Relation between Weather andElectricity Sales 19862.Heckman N E Spline Smoothing in Partly Linear Models 19863.Speckman P Kernel Smoothing in Partial Linear Models 19884.Hrdle W;Liang H;Gao J Partially Linear Models 20005.张萌;宋立新;王德辉部分线性模型最小二乘估计的强相合性[期刊论文]-吉林大学学报(理学版) 2004(03)6.Fan J Q Local Linear Regression Smoothers and Their Minimax Efficiency[外文期刊] 19937.Fan J Q;Zhang C M;Zhang J Generalized Likelihood Ratio Statistics and Wilks Phenomenon[外文期刊] 2001(1)8.张日权;卢一强变系数模型 20019.Fan J Q;Huang T Profile Likelihood Inferences on Semiparametric Varying-coefficient Partially Linear Models[外文期刊] 2005(6)10.De Jong P A Central Limit Theorem for Generalized Quadratic Forms[外文期刊] 1987引用本文格式：施三支.宋立新.SHI San-zhi.SONG Li-xin部分线性回归模型中的广义似然比检验[期刊论文] -吉林大学学报（理学版） 2007(1)。