向量(高三)

������1������2 +������1 ������2
√������1 2 +������1 2 √������22 +������2 2
， a 2 | a |2 x12 y12
（4）运算和运算律 （4.1） a 2 | a |2 （4.2） | a b | a 2a b b | a b | | a b | 4a b , | a b | | a b | 2(a b )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ������������1 +������������ 2 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ������������1 +������������������ 2 1+������
， P( x1 x2 , y1 y2 ) 2 2
（6）已知 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) ，其重心坐标 G ( x1 x2 x3 , y1 y2 y3 ) 3 3
1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 当 P 分有向线段������ 1 ������2 所成的比为 ，则点 P 分有向线段������2 ������1 所成的比为������
（3）公式 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 已知 P , 2 ( x2 , y2 ) , P( x, y ) ，������ 1 ������ = ������������������2 (λ ≠ −1)，则： 1 ( x1 , y1 ) P
2 , ] a b 0

2
x1x2 y1 y2 0 （例 2 第 12 题）
8.定比分点 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （1）概念：设点 P 是直线 PP 上异于 P , 2 的任意一点，若存在一个实数 ，使������ 1 ������ = ������������������2 ，则 叫 1 2 1 P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 做点 P 分有向线段 ������ 1 ������2 所成的比， P 点叫做有向线段������1 ������2 的以定比为 的定比分点 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （2）当 P 点在线段������ 1 ������2上时 0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 当 P 点在线段������ 1 ������2的延长线上时 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 当 P 点在线段������ 2 ������1的延长线上时 1 0
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ （1）平面上不同的三点 A , B , C 共线 ⃗⃗⃗⃗⃗ ������������//������������ ������������ = ������������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ 中三终点 A , B , C 共线 存在实数 , 使得������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ������������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ������������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立，且 1 （2）向量������������
a
它的方向：当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同，当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反， 当 0 时， a 0 （4）向量加减法的三角不等式 | a | | b | a b a b （对非零向量等号不可能同时成立） 当 a , b 同向或有 0 a b a b | a | | b | a b 当 a , b 反向或有 0 a b a b | a | | b | a b 当 a , b 不共线 | a | | b | a b a b （这些和实数比较类似）
的夹角 称为两个向量 a 和 b 的夹角， [0, ] 当θ = 时， a 和 b 垂直； （注意向量夹角和直线夹角的区别）
2 ������
⃗ |������������������������（实数）称为 a 和 b 的数量积 （2）数量积：如果两个非零向量 a 和 b 的夹角是 ，那么 a b |������||������
（3）平面上不同的三点 A , B , C 共线
kAB kAC
y1 y2 y3 1 1 0 1
x1 （4）平面上不同的三点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) 共线 x 2 x3
7.数量积（点乘）
⃗ ，那么射线 OA , OB ⃗⃗⃗⃗⃗ = ������，������������ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ������ （1）向量的夹角：对于两个非零向量 a 和 b ，如果以 O 为起点，作������������
特别地， a a | a | | a | cos 0 | a |2 a 2 ， a 0 0 （数量） ， a 0 0 （向量） （3）坐标形式： 已知 a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) ，则：
⃗ ∙������ ������ a b x1 x2 y1 y2 ，������������������������ = |������ = ⃗| ⃗ ||������ ⃗
1
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4.向量的运算 1（坐标运算） 已知 a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) ，则： （1）加法减法： a b ( x1 x2 , y1 y2 ) 向量的模： | a | √������1 2 + ������1 2， | a b | √(������1 ± ������2 )2 + (������1 ± ������2 )2 （2）数乘向量： a ( x1, y1 ) ( x1, y1 ) 5.平面向量基本定理 （1）给定平面内两个非零，不共线的向量 a 和 b ，则平面内对任一向量 c ,存在唯一确定的 , ，使 得 c a b 成立；称 a , b 为一组基底. （2）基底法 6.三点共线
（4.5）交换律 a b b a 分配率 a b c a c b c c a b （5）投影（射影）
⃗ ∙������ ⃗ ∙������ a 在 b 上的投影 | a | cos ������ ， b 在 a 上的投影 | b | cos ������ ⃗| |������ ⃗| |������ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
对实数的结合律 ( a) b (a b) a ( b)( R)




注意：向量不满足对向量的结合律
投影有正负，代表方向 （6）向量平行的充要条件
⃗ ������//������
0 或 a b a b | a | | b | x1 y2 x2 y1 0
a b 0 x x y y 0 1 2 1 2
2
（7）向量垂直的充要条件
⃗ ������ ⊥ ������

⃗ 为锐角（ , ） [0, ������, ������ ⃗ 为钝角（ , ） ( ������, ������
a b 0 x x y y 0 （例 2 第 6 题） ) 1 2 1 2
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让学习遇见美好向量Fra bibliotek知识清单 1.相关概念 （1）向量：既有（只有）大小和方向的量 向量的模：向量的大小，记成 a （ a 0, ） ，向量不能比较大小 （2）零向量： 模为 0 的向量，记做 0 ；零向量的方向是任意的（唯一向量） ，且与任意向量平行 单位向量：模为 1 的向量，非零向量 a 的单位向量是± |������ ⃗| （3）相等向量：大小和方向相同的向量 相反向量：大小相同，方向相反的向量 a a ， 0 的相反向量是 0 平行向量：又称共线向量， a / /b a , b 方向相同或相反 a , b 所在直线平行（或在同一直线上） 2.向量的表示方法 （1）符号表示：用小写字母来表示，如 a , b 等 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,起点在前，终点在后 用大写字母来表示，如������������ （简洁） （具体）
y1 1 y2 1 y3 1
（5） S 1 | a |2 | b |2 (a b ) 2 1 x1 y2 x2 y1 （其中， a ( x1 , y1 ) , b ( x2 , y2 ) ） 2 2 （6） S 1 | a b | 2 10.高中与面积相关的经典结论 （1）已知 I 是 ABC 的内心，则 SABC SAIB SBIC SCIA 1 (ab bc ca) r 2 （2）已知 G 是 ABC 的内心，则 SAGB SBGC SCGA （3）在 ABC 内取一点 O ，则 SBOC OA S AOC OB S AOB OC 0 11.向量处理技巧：去掉几何意义，转化出代数意义，即，向量板块转移到函数板块 （1）基底法 （2）建立直角坐标系 （3）形如 a b c 0 ， c ma nb 等式子，可以： 平方，等式左右两边同乘一个向量，画图（分解定理）
3
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9.三角形面积公式 （1） S 1 底 高 2 （2） S 1 ab sin C 1 bc sin A 1 ca sin B 2 2 2 （3） S 1 | AB | y1 y2 （韦达定理） 2
x1 （4）已知平面上不同的三点 A( x1, y1 ) , B( x2 , y2 ) , C( x3 , y3 ) ， S 1 x 2 2 x3
x
x1 x2 , y y2 y 1 1 1
具体计算时，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （4）若 P 分有向线段������ 1 ������2 所成的比为 ，点 M 为平面内的任一点，则������������ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = （5）特别地， 1 时， P 为 P , 2 的中点������������ 1 P
⃗ ������