专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)

专题41 空间向量的应用一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，M ，N 分别为1A B 和AC 上的点，且13A M AN a ==，则MN 与平面11BBC C 的位置关系是（ ）．A ．斜交B ．平行C ．垂直D ．不能确定2．如图，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，平面ABC 的法向量为()2,1,2n =，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（ ）A ．43B C ．23 D ．23-3．过正方形ABCD 的顶点A 作线段PA ⊥平面ABCD ，若AB PA =，则平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角的余弦值为（ ）A ．13B 2C D 4．若正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则直线A 1C 1到平面ACD 1的距离为（ ）A ．1 BC D 5．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在堑堵ABC ﹣A1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，若AB AA 1＝2，当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角的余弦值为（ ）A B C ．13D 6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．A ．⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB CD O =，且AB CD ⊥，3SO OB ==，14SE SB =，异面直线SC 与OE 所成角的正切值为（ ）A ．2B C ．1316D 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，13CC =，90ACB ∠=︒，则1BC 与1A C 所成的角的余弦值为（ ）A ．10B C D二、多选题（本大题共4小题，每小题有多个各选项符合题意） 9．给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A ．若0a b ⋅<，则,a b <>是钝角B ．若a 为直线l 的方向向量，则λ()a R λ∈也是直线l 的方向向量C ．若1233AD AC AB =+，则可知2CD DB = D ．在四面体P ABC -中，若0PA BC ⋅=，0PC AB ⋅=，则0PB AC ⋅=10．如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB =，BC =4AC =，A 到平面PBC 的距离为）A ．4PA =B ．三棱锥P ABC -的外接球的表面积为32πC ．直线AB 与直线PCD ．AB 与平面PBC 11．如图，已知在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，点E 为1CC 上的一个动点，平面1BED 与棱1AA 交于点F ，则下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥11B BED F -的体积为20B ．存在唯一的点E ，使截面四边形1BED F 的周长取得最小值C ．当点E 为1CC 的中点时，在直线AD 上存在点G ，使得CG =D ．存在唯一一点E ，使得1B D ⊥平面1BED ，且3CE =12．如图，在长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，点P 为线段1A C 上的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．当112AC A P =时，1B ，P ，D 三点共线 B ．当1AP AC ⊥时，1APD P ⊥C ．当113AC AP =时，1//D P 平面1BDC D ．当115AC AP =时，1A C ⊥平面1D AP 三、填空题（本大题共4小题）13．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD AB ，G 为ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成角的正弦值为__________．14．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==,E F 分别是,BC 11A C 的中点．设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF BD 的长为_______．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，//AB DC ，2DCPD AB AD ===，Q 为PC 的中点，则直线PC 与平面BDQ 所成角的正弦值为__________．16．如图，在长方体中，12AD AA ==，3AB =，若E 为AB 中点，则点1B 到平面1D EC 的距离为________.四、解答题（本大题共6小题，答题过程应包括必要的公式、过程和文字说明）17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是边长为2的菱形，AB =160CBB ∠=︒，且1ABB ABC ∠=∠.（∠）证明：1AB CB ⊥；（∠）若二面角1A CB B --的平面角为60︒，求1CA 与平面1ACB 所成角的正弦值.18．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E ，M ，N 分别是BC ，1BB ，1A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.19．如图∠，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，2BAD π∠=，1AB BC ==，2AD =的E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE △沿BE 折起到1A BE 的位置，如图∠．（1）证明：CD ⊥平面1A OC ；（2）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 夹角的余弦值．20．如图，四边形ABCD 是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ∠平面ABCD ；（1）求证：AF∠平面BEG；，求直线EG与平面ABG所成的角的正弦值.（2）若AF FG参考答案1．B【解析】设1A A a =，11A B b =，11A D c =，由题意知：1A B AC =，又1A M AN ==， ()111133A M A B a b ∴==+，()1133AN AC b c ==+， 则()()1111213333MN A A AN A M a b c a b a c =+-=++-+=+， ∴MN 与1A A ，11A D 共面，//MN ∴平面11AA D D ，又平面11//AA D D 平面11BB C C ，//MN ∴平面11BB C C ．故选：B. 2．C【解析】分以下两种情况讨论：（1）点P 到其中两个点的距离相等，到另外两点的距离分别相等，且这两个距离不等，此时点P 位于正四面体各棱的中点，符合条件的有6个点；（2）点P 到其中三个点的距离相等，到另外一点的距离与它到其它三点的距离不相等，此时点P 在正四面体各侧面的中心点，符合条件的有4个点，故选C. 3．B【解析】解：设1AP AB ==，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0P ，0，1)，(0D ，1，0)，(1C ，1，0)， (1PC =，1，1)-，(0PD =，1，1)-，设平面PCD 的法向量(m x =，y ，)z ，则·0·0m PC x y z m PD y z ⎧=+-=⎨=-=⎩，取1y =，得(0m =，1，1)，平面ABP 的法向量(0n =，1，0)，设平面ABP 与平面CDP 所成的锐二面角为θ，则||1cos ||||21m n m n θ==⨯ 故选：B ．4．B【解析】因为11//,AC AC AC ⊂平面111,ACD AC ⊄平面1ACD ，所以A 1C 1//平面ACD 1， 则点A 1到平面ACD 1的距离即为直线A 1C 1到平面ACD 1的距离. 建立如图所示的空间直角坐标系，易知1AA →＝(0,0,1)， 由题得111,,,AC BD AC BB BDBB B BD BB ⊥⊥=⊂,平面1BDB ,所以AC ⊥平面1BDB ,所以1AC DB ⊥,同理1AD ⊥ 1DB , 因为11,,ACAD A AC AD =⊂平面1ACD ，所以1DB ⊥平面1ACD ，所以1DB →是平面1ACD 的一个法向量， 所以平面ACD 1的一个法向量为1DB →＝(1,1,1)，故所求的距离为1||||AA n n →→→⋅=故选：B5．A【解析】解：在堑堵ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，ABAA 1＝2，当鳖臑A 1﹣ABC 体积最大时，AC ＝BC ＝1，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1（0，1，2），C （0，0，0），A （1，0，0），B （0，1，0），11(0,1,2),(1,1,0),(0,0,2)BC BA BB =--=-= 设平面ABB 1A 1的法向量(,,)n x y z =， 则1020n BA x y n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取x ＝1，得(1,1,0)n =，设直线B 1C 与平面ABB 1A 1所成角为θ，则11sin 5B Cn B C nθ⋅=== 所以cos θ=∠直线B 1C 与平面ABB 1A 1 故选：A ．6．A【解析】如图，设正方体棱长为1，()11101A PAC λλ=≤≤，则111A P AC λ=，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则()()111,0,0,0,1,0,,,022A C O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()111,1,0AC AC ==-，()1,,0A P λλ=-，又()11,0,1A ，则()1,,1P λλ-，所以11,,122OP λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 在正方体1111ABCD A B C D -中，可知体对角线1B D ⊥平面11A BC ，所以()11,1,1DB =是平面11A BC 的一个法向量，所以1sin cos ,OP DB θ===所以当12λ=时，sin θ0λ=或1时，sin θ． 所以sin θ∈⎣⎦. 故选：A ． 7．D【解析】由题意以,,OD OB OS 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图， (0,3,0)A -，(0,3,0)B ，(3,0,0)C -，(0,0,3)S ，又14SE SB =， 1139(0,0,3)(0,3,3)(0,,)4444OE OS SE OS SB =+=+=+-=． (3,0,3)SC =--，则274cos ,3OE SCOE SC OE SC -⋅<>===设异面直线SC 与OE 所成角为θ，则3cos cos ,10OE SC θ=<>=θ为锐角，sin θ=sin tan cos θαθ== 故选：D ．8．A【解析】如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，1CC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()13,0,3A ，()0,4,0B ，()10,0,3C ，所以()13,0,3CA =，()10,4,3BC =-，所以111111cos ,3CA BCCA BC CA BC ⋅===⋅ 所以直线1BC 与1A C 所成角的余弦值为10． 故选：A.9．CD 【解析】对于A ，当a b =时，若0a b ⋅<，但a b π=，，不是钝角，所以A 错； 对于B ，当0λ=时，0a λ=，不是直线l 的方向向量，所以B 错；对于C ，12 3233AD AC AB AD AC AB =+⇒=+ ∠() 222ADAC AD AB CA AD DA AB -=-+⇒+=+∠ 2CD DB =，所以C 对；对于D ，如图，过P 作PO ⊥平面ABD 交平面于O 点，连CO 交AB 于M ，连AO 交BC 于N ，连BO 交AC 于T ，0PC BC PC BC AN BC ⋅=⇒⊥⇒⊥，同理CM AB O ⊥⇒为ABC 垂心，所以BT AC PB AC ⊥⇒⊥，从而 0PB AC ⋅=，所以D 对；故选：CD.10．ABD【解析】因为2AB =，BC =4AC =，所以222AB BC AC +=，即AB BC ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，所以,PA AB PA BC ⊥⊥，设AP a =，根据等体积法P ABC A PBC V V --=，即111123232a ⨯⨯⨯=⨯⨯， 解得4a =，所以4AP a ==，故A 选项正确；所以三棱锥P ABC -的外接球的半径与以,,BC BA AP 为邻边的长方体的外接球的半径相等， 所以三棱锥P ABC -的外接球的半径为所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积为32π，故B 选项正确；过点B 作PA 的平行线BD ，则BD ⊥平面ABC ，所以以点B 为坐标原点，,,BC BA BD 所在边分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0B，()C ，()0,2,0A ，()0,2,4P ，所以()()0,2,0,2,4AB PC →→=-=--，所以cos ,AB PCAB PC AB PC →→→→→→⋅== 所以直线AB 与直线PC，故C 选项错误；因为()BC →=，()0,2,4BP →=，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z →=，则=0=0m BP m BC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即02x y z =⎧⎨=-⎩，令1z =，所以()0,2,1m →=-，由于()0,2,0AB →=- 故设AB 与平面PBC 所成角为θ，则sin cos ,AB mm AB m AB θ→→→→→→⋅==== 所以AB 与平面PBC，故D 选项正确； 故选：ABD11．ABC【解析】长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4=AD ，15AA =，对于A ，111111B BED F E BB D F BB D V V V ---=+，11//CC BB ，1CC ⊄平面11BB D ，1BB ⊂平面11BB D ，故1//CC 平面11BB D ，所以E 到平面11BB D 的距离等于1C 到平面1BB 的距离，设点1C 到平面1BB 的距离为d ， 过点1C 在平面1111D C B A 内作111C P B D ⊥，如图1所示，1BB ⊥平面1111D C B A ，1C P ⊂平面1111D C B A ，则11C P BB ⊥，1111BB B D B =，1C P ∴⊥平面11BB D ，且1111111431255B C C D C P B D ⋅⨯===， 故111111111255103325E BB D BB D V S C P -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，同理可得1110F BB D V -=， 所以11111120B BED F E BB D F BB D V V V ---=+=，A 对；对于B 选项，因为平面11//AA D D 平面11BB C C ，平面1BED 平面111AA D D D F =，平面1BED 平面11BB C C BE =，所以，1//BE D F ，同理可得1//BF D E ，故四边形1BED F 为平行四边形，则四边形1BED F 的周长为()12BE D E +，将长方体的侧面11D DCC 和11B BCC 沿棱1CC 展开到同一平面内，如图2所示，则1D E EB +的最小值为展开面中1D B 的长度，此时E 点为1D B 与1CC 的交点，1BD =，所以四边形1BED F 的周长的最小值为B 对； 对于C ，AD CD ⊥，即CDDG ⊥，所以，CG = 解得8DG =，C 对；对于D 选项，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图1所示的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D 、()14,3,5B 、()4,3,0B 、()10,0,5D ，设()0,3,E z ，则()14,3,5DB =，()14,3,5BD =--，()4,0,BE z =-，因为1BD ⊥平面1BED ，则1111692501650B D BD B D BE z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得165z =，即165CE =，D 错.故选：ABC.12．ACD【解析】在长方体1111ABCD A B C D -中，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为1AB =，所以11AD AA ==，则()1,0,0A ，()1101A ,,，()C ，()10,0,1D ，()1C ，()0,0,0D ，()B ，则()11AC =--，()11,0,1D A =-．A 选项，当112AC A P =时，P 为线段1A C 的中点，根据长方体的结构特征，P 为体对角线的中点，因此P 也为1B D 的中点，所以1B ，P ，D 三点共线，故A 正确．B 选项，当1AP AC ⊥时，1AP A C ⊥，由题意可得1AC 2AC ．由1111122A AC S AA AC AC AP =⋅=⋅，解得AP =1A P =P 为线段1A C 上靠近点1A 的五等分点，所以4455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．则14155D P ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1455AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以1434102525255D P AP ⋅=-+-=-≠，所以AP 与1D P 不垂直，故B 错误．C 选项，当113AC AP =时，11111333A P AC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭．设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，由1300n DC y z n DB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1y =，可得(3,1,n =-．又11112133D P A P A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以10D P n ⋅=，因此1D P n ⊥，又点1D 不在平面1BDC 内，所以1//D P 平面1BDC ，故C 正确．D 选项，当115AC AP =时，11111555A P AC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，所以11114155D P A P A D ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以110AC D P ⋅=，110AC D A ⋅=，因此11AC D P ⊥，11AC D A ⊥． 又111D P D A D ⋂=，则1A C ⊥平面1D AP ，故D 正确．故选：ACD ．13【解析】如图，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由已知，得()0,0,0D ，()0,0,1P ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ， 则重心22,,033G ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因而()0,0,1DP =，22,,133GP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 设PG 与底面ABCD 所成的角为θ， 则317sin cos ,17DP GP DPGP DP GP θ⋅=<>==⋅ 14．【解析】解：如图以E 为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()10,0,0,,2,0,1,0,2E F B ⎫-⎪⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()31,,2,0,1,222EF BD t ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以cos||||5EF BD EF BD θ⋅===解得1t =，所以20BD ==故答案为：15【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设2DC =，则1PD AB AD ===，PC =()()()10,0,1,0,2,0,1,1,0,0,1,2P C B Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()()10,2,1,1,1,0,0,1,2PC DB DQ ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭ 设平面BDQ 的法向量为(),,n x y z =， 则00DB n DQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取1x =，则()1,1,2n =-， 直线PC 与平面BDQ 所成角为α，sin 2n PCn PCα⋅===⋅ 16【解析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接1CB ，由题意得0,3,0C （），1132,,0(0,0,2)(2,3,2)2E D B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，， ∠ 32,,02CE →⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(0,3,2)CD →=-，1(2,0,2)CB →=， 设平面1D EC 的法向角为(,,)n x y z =，则100CE n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3202320x y y z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，令6z =，得(3,4,6)n =，∠ 点1B 到平面1D EC 的距离11861n CB d n →⋅==17．（∠）证明见解析；（∠. 【解析】解：（∠）证明：因为1BC BB =，1ABB ABC ∠=∠， 所以1ABB △与ABC 全等，所以1AC AB =，11CB BC O ⋂=，连接AO ，BO ，O 为1BC 中点， 1CB AO ⊥，1CB BO ⊥，AO BO O =，,AO BO ⊂平面AOB ， 所以1CB ⊥平面AOB ，又AB平面AOB 所以1AB CB ⊥.（∠）由（∠）知，AOB ∠为二面角1A CB B --的平面角，所以60AOB ∠=︒，且AO BO AB === 如图建立空间直角坐标系，则3)2A ，B ，1(0,1,0)B ，(0,1,0)C -，33()22CA=，1(0,2,0)CB =，113()2OA OA BB =+=，13(2,)2CA =， 设平面1ACB 的法向量为()m x y z =，，，则100m CB m CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20302y x yz =⎧++=，令x =0y =，1z =-，所以(3,0,1)m =-所以111|cos ,|2m CA mCA m CA ⋅<>===⨯ 所以1CA 与平面1ACB18．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）证明：连接1B C ，ME .因为M ，E 分别为1BB ，BC 的中点，所以1//ME B C ，且112ME B C =. 又因为N 为1A D 的中点， 所以112ND A D =. 由题设知11//A B DC 且11A B DC =，可得11//B C A D 且11B C A D =， 故ME ∠ND 且ME ND =，因此四边形MNDE 为平行四边形， 所以//MN ED .又MN ⊄平面1C DE ，ED ⊂平面1C DE ，所以//MN 平面1C DE .（2）解：由已知可得DE DA ⊥，以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向， DE 的方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()2,0,0A ，()12,0,4A ，()2M ，()1,0,2N ，()10,0,4A A =-， ()12A M =--，()11,0,2A N =--，()0,MN =.设(),,m x y z =为平面1A MA 的一个法向量，则110,0,m A M m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以20,40,x z z ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩可取()3,1,0m =. 设(),,n p q r =为平面1A MN 的一个法向量，则10,0,n MN n A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩所以0,20,p r ⎧=⎪⎨--=⎪⎩可取()2,0,1n =-.则23cos ,2m nm n m n ⋅===⨯， 所以二面角1A MA N --. 19．（1）证明见解析；（2. 【解析】（1）在题图∠中，因为1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，2BAD π∠=， 所以BE AC ⊥，即在题图∠中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，又1OA OC O ⋂=， 所以BE ⊥平面1A OC ．又//,BC DE BC DE =，所以四边形BCDE 是平行四边形，所以//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，1BE OA ⊥，BE OC ⊥， 所以1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，所以12A OC π∠=．如图，以O 为原点，分别以OB ，OC ，1OA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为111A B A E BC ED ====，//BC ED ，所以2B ⎫⎪⎪⎝⎭，E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12A ⎛ ⎝⎭，0,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则BC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，122AC ⎛=- ⎝⎭，()CD BE ==-．设平面1A BC 的一个法向量为()1,,n x y z =，平面1A CD 的一个法向量为()2,,n x y z =，平面1A BC 与平面1A CD 的夹角为θ．则1110,0,n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11110,0,x y y z -+=⎧⎨-=⎩可取()11,1,1n =； 2210,0,n CD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2220,0,x y z =⎧⎨-=⎩可取()20,1,1n =．从而121212cos cos ,3n n n nn n θ⋅====⨯⋅即平面1A BC 与平面1A CD20．（1）证明见解析；（2 【解析】（1）因为AB AE BC AB ==且90EAB ABC ∠=∠=︒， 所以EAB ABC ，所以EBA ACB ∠=∠，又因为90EBA EBC ∠+∠=︒，所以90ACB EBC ∠+∠=︒，所以90BFC ∠=︒， 所以BF CF ⊥，所以AF BE ⊥，又因为GF ⊥平面ABCD ，AF ⊂平面ABCD ，所以GF AF ⊥，又GF BE F =，所以AF ⊥平面BEG ；（2）据题意，建立空间直角坐标系如下图所示：因为1,2AB AE ==，所以BE ==，所以AB AE AF FG BE ⋅===，所以BF ==EF ==所以,,,0,E G A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0,EG ⎛= ⎝⎭， 设平面ABG 的一个法向量为(),,n x y z =，366,,0,0,333BA BG ⎛⎫⎛== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由00BA n BG n ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得00x z ⎧=⎪+=，取1y =-，所以(2,n =-， 设直线EG 与平面ABG 所成角大小为θ，所以sincos ,EG n θ=<>==， 所以直线EG 与平面ABG。

空间向量的应用一、单选题1．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）已知两个异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a •12b =-，则两直线的夹角为（ ） A ．30B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】B 【解析】设两直线的夹角为θ，则由题意可得1×1×cos a ＜，12b =-＞，∴cos a ＜，12b =-＞， ∴a ＜，23b π=＞，∴θ3π=，故选：B ． 2．（2019·穆棱市第一中学高二期末）若平面,αβ的法向量分别为1,1,3,(1,2,6)2a b ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则（ ） A ．//αβ B ．α与β相交但不垂直 C ．αβ⊥ D ．//αβ或α与β重合【答案】D 【解析】因为12a b =-，所以平面,αβ的法向量共线，故//αβ或α与β重合.故选：D.3．（2020·北京高二期末）已知直线l 的方向向量为m ,平面α的法向量为n ,则“0m n ⋅=”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】0m n ⋅=，∴m n ⊥.0m n ⋅=,即m n ⊥,不一定有l ∥α,也可能l α⊂，∴“0m n ⋅=”是“l ∥α”的不充分条件l ∥α,可以推出m n ⊥,∴“0m n ⋅=”是“l ∥α”是必要条件,综上所述, “0m n ⋅=”是“l ∥α”必要不充分条件.故选:B.4．（2019·山东省济南一中高二期中）在平面ABCD 中，(0,1,1)A ，(1,2,1)B ，(1,0,1)C --，若(1,,)a y z =-，且a 为平面ABCD 的法向量，则2y 等于（ ） A ．2 B ．0C ．1D ．无意义【答案】C 【解析】由题得，(1,1,0)AB =，(1,1,2)AC =--，又a 为平面ABCD 的法向量，则有00a AB a AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即10120y y z -+=⎧⎨-+=⎩，则1y =，那么21y =. 故选：C 5．（2019·四川省双流中学高三月考）已知点P 是正方体1111ABCD A BC D -的棱CD 的中点，给出以下结论：①11A P C D ⊥； ②1A P BD ⊥； ③11A P BC ⊥；④1A P ⊥平面1BC D 其中正确命题的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】C 【解析】设正方体边长为2,建立如图空间直角坐标系.则()12,1,2A P =--.对①, ()10,2,2C D =--,因为110242A P C D ⋅=-+=,故①错误.对②, ()2,2,0BD =--,因为1422A P BD ⋅=-=,故②错误.对③, ()12,0,2BC =-,因为1440A P BD ⋅=-=,故③正确.对④,由②有1A P BD ⊥不成立,故1A P ⊥平面1BC D 不成立.故④错误.故选：C6．（2019·穆棱市第一中学高二期末）如图，在正方体ABCD-1111A B C D 中，以D 为原点建立空间直角坐标系，E 为B 1B 的中点，F 为11A D 的中点，则下列向量中，能作为平面AEF 的法向量的是( )A ．(1，－2，4)B ．(－4,1，－2)C ．(2，－2，1)D ．(1，2，－2)【答案】B 【解析】设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （2，2，1），F （1，0，2），∴AE =（0，2，1），AF =（﹣1，0，2）.设向量n =（x ，y ，z ）是平面AEF 的一个法向量，则2020n AE y z n AF x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2，∴n =（﹣4，1，﹣2）是平面AEF 的一个法向量 因此可得：只有B 选项的向量是平面AEF 的法向量. 故选：B ．7．（2019·包头市第四中学高二期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（ ）A ．3λB ．22C ．23λ D ．55【答案】D 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1）， 设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则1·20·20n ED x z n EF y ⎧=-+=⎨==⎩ ，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：||2255||5EM n d n ⋅===，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55，选D ．8．（2020·湖南省高二期末）已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B ．18C ．14D ．34【答案】C 【解析】建立空间坐标系如图，设边长为2，得到A （2，0，0），1B （1，3，2），B （1，3，0），1C （0，0，2）， 向量()()111,3,2,-1,3,2AB BC =-=- ，设异面直线夹角为θ，则1111cos =||||AB BC AB BC θ⋅=⋅14.故答案为C9．（2018·山西省山西大附中高二期中）过正方形ABCD 的顶点A ，作PA ⊥平面ABCD ，若PA BA =，则平面ABP 和平面CDP 所成的锐二面角的大小是A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】B 【解析】法一：建立如图(1)所示的空间直角坐标系，不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1＝(0,1,0)，n 2＝(0,1,1)，故平面ABP 与平面CDP 所成二面角的余弦值为1212n n n n ＝22，故所求的二面角的大小是45°.法二：将其补成正方体．如图(2)，不难发现平面ABP 和平面CDP 所成的二面角就是平面ABQP 和平面CDPQ 所成的二面角，其大小为45°. 10．（2020·山东省章丘四中高二月考）在正方形1111ABCD A BC D -中，棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为（ ）A ．55B ．255C ．66D ．306【答案】D 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则()2,1,0E ， ()1,0,2F ， ()1,1,2EF =--，平面11AA D D 的法向量()0,1,0n =， 设直线EF 与平面11AA D D 所成角为θ，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，则||16sin ||||6EF n EF n θ===，所以230cos 1sin θθ=-=.∴直线EF 与平面11AA D D 所成角的余弦值为306．故选：D ．二、多选题11．（2020·山东省高二期末）已知ν为直线l 的方向向量，1n ,2n 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（ ） A ．12////n n αβ⇔ B ．12n n αβ⊥⇔⊥ C ．1////n l να⇔ D ．1//n l να⊥⇔【答案】AB 【解析】A 选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量平行等价于平面α，β平行，正确；B 选项，平面α，β不重合，所以平面α，β的法向量垂直等价于平面α，β垂直，正确；C 选项，直线的方向向量平行于平面的法向量等价于直线垂直于平面，错误；D 选项，直线的方向向量垂直于平面的法向量等价于直线平行于平面或直线在平面内，错误. 故选：AB12．（2019·山东省高三）正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1AG 与平面AEF 平行 C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【解析】对选项A ：（方法一）以D 点为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)D 、(1,0,0)A 、1(1,0,1)A 、1,1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭、10,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭、11,1,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.从而1(0,0,1)DD =，11,1,2AF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而1102DD AF ⋅=≠，所以1DD 与直线AF 不垂直，选项A 错误；（方法二）取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取BC 的中点为M ，连接1A M 、GM ，则1A M AE ∥，GM EF ∥，易证1A MG AEF 平面∥平面，从而1AG AEF ∥平面，选项B 正确；对于选项C ，连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且15D H AH ==，12A D =，所以1221232(5)222AD HS ∆⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，而113948AD H AEFD S S ==四边形△，从而选项C 正确；对于选项D ：（方法一）由于111111112222224GEF EBG BEFG S S S ∆∆⎛⎫=-=+⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭梯形，而11112228ECF S ∆=⨯⨯=，而13A GEF EFG V S AB -∆=⋅，13A ECF ECF V S AB -∆=⋅，所以2A GEF A ECF V V --=，即2G AEFC AEF V V --=，点G 到平面AEF 的距离为点C 到平面AEF 的距离的二倍.从而D 错误.（方法二）假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误.13．（2020·福建省高二期末）正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF平面111AA D D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确； 连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ，则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅.得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC. 三、填空题14．（2019·山东省济南一中高二期中）若平面α的一个法向量为(3,1,1)n =-，直线l 的一个方向向量为(3,1,1)a =，则l 与α所成角的正弦值为________.【答案】15【解析】由题，设l 与α所成角为θ，可得22||1sin 5||||(3)11(3)11n a n a θ⋅===-++⋅++.故答案为：1515．（2019·陕西省西北大学附中高二期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12,AB AC AA === ,E F 分别是,BA 11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为104，则线段BD 的长为_______．【答案】22 【解析】以E 为原点，EA,EC 为x,y 轴建立空间直角坐标系，如下图．31(0,0,0),(,2),(0,1,0),(0,,2)(11)2E F B D t t --≤≤，31(,,2),(0,1,2)22EF BD t ==+ 2(1)4102cos 5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++，解得t=1，所以22BD =22 点睛：利用空间向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.16．（2019·浙江省宁波市鄞州中学高二期中）正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别是1,AA AB 的中点，则EF 与直线1AC 所成角的大小为______ ；EF 与对角面11BDD B 所成角的正弦值是 __________． 【答案】2π ； 12【解析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()2,0,1E ，()2,1,0F ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，故()0,1,1EF =-，()12,2,2AC =-.故10EF AC ⋅=，故EF 与直线1AC 所成角的大小为2π. 易知对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-，设EF 与对角面11BDD B 所成角为θ，故1sin cos ,2EF n EF n EF nθ⋅===⋅. 故答案为：2π；12.17．（2019·江西省会昌中学高二月考）已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，下列结论中，正确结论的序号是___________.①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11//B D 平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22； ⑤四面体11ACB D 的体积等于312a . 【答案】①③④ 【解析】延长EF 分别与1l B A ，1B B 的延长线交于N ，Q ，连接GN 交11A D 于H ，设HG 与11B C 的延长线交于P ，连接PQ 交1CC 于I ，交BC 于M ，连FH ，HG ，GI ，IM ，ME ,EF , 如图:则截面六边形EFHGIM 为正六边形，故①正确：因为11B D 与HG 相交，故11B D 与平面EFG 相交，所以②不正确：1,BD AC BD AC ⊥∴⊥(三垂线定理)，1111,BC B C BD B C ⊥∴⊥(三垂线定理)，且AC 与1BC 相交，所以1BD ⊥平面1ACB ，故③正确；以D 为原点,1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, 则1(0,0,0),(,,0),(,0,),(,,0),(0,0,)22a a D E a F a B a a D a ,则(0,,)22a aEF =-,1(,,)BD a a a =--, 所以111cos ,||||EF BD EF BD EF BD ⋅<>=222220()()()22044a aa a a a a a a a ⨯-+-⨯-+⨯=++++226362a a ==, 所以2116sin ,1cos ,19EF BD EF BD <>=-<>=-33=, 所以111sin ,tan ,cos ,EF BD EF BD EF BD <><>=<>323263==, 所以异面直线EF 与1BD 的夹角的正切值为22，故④正确；因为四面体11ACB D 的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，即为3331114323a a a -⨯⨯=，故⑤不正确．故答案为：①③④ 四、解答题18．（2019·广西壮族自治区田东中学高二期中）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，12AB AA ==，1AC =，M ，N 分别是11A B ，BC 的中点．（1）求证：1AB AC ⊥； （2）求证：//MN 平面11ACC A . 【答案】(1)证明见解析 (2) 证明见解析 【解析】三棱柱为直三棱柱 ，1AA ∴⊥平面ABC ，1AA AC ∴⊥，1AA AB ⊥.又90BAC ∠=，则1,,AB AC AA 两两互相垂直，可建立如下图所示的空间直角坐标系则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()1,0,0C -，()11,0,2C -，()0,1,2M ，1,1,02N ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）()0,2,0AB =，()11,0,2AC =-，()10120020AB AC ∴⋅=⨯-+⨯+⨯=.1AB AC ∴⊥.（2）由题意知：AB 是平面11ACC A 的一个法向量，()0,2,0AB =，1,0,22MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， ()10200202AB MN ⎛⎫∴⋅=⨯-+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，AB MN ∴⊥.MN ⊄平面11ACC A ，//MN ∴平面11ACC A .19．（2020·陕西省高二期末）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中E ，F 分别为AB ，1AC 的中点.（1）求EF ；（2）求证：//EF 平面11AA D D 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【解析】（1）由题知,(2,1,0)E ,(1,1,1)F ,∴(1,0,1)EF =-,∴222||(1)012EF =-++=（2）由题知,(2,0,0)A ,1(0,0,2)D ,∴1(2,0,2)AD =-,∴12AD EF =,故//AD EF , 又1AD ⊂平面11AA D D ,EF ⊄平面11AA D D ，∴EF ∥平面11AA D D .20.（2020·北京高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，4BC =，5AB =，14AA =，点D 是AB 的中点．（1）求异面直线AC 与1BC 所成的角； （2）求证：1//AC 平面1CDB ．【答案】（1）2π（2）证明见解析 【解析】（1）因为3AC =，4BC =，5AB =，所以222AC BC AB +=，所以ABC ∆是直角三角形， 所以2ACB π∠=，所以AC BC ⊥.因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1C C ⊥平面ABC ，所以1C C AC ⊥，1C C BC ⊥.以C 为原点，分别以CA 、CB 、1CC 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(3A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0C ，0，4)，所以直线AC 的方向向量为(3,0,0)CA =，直线1BC 的方向向量为1(0,4,4)BC =-，设异面直线AC 与1BC 所成的角为θ，因为10CA BC ⋅=，所以cos 0θ=，所以异面直线AC 与1BC 所成的角为2π． （2）由（1）可知3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1(0B ，4，4)，则3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1(0,4,4)CB =设平面1CDB 的法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 令4x =，则3y =-，3z =，所以(4,3,3)n =-.直线1AC 的方向向量为1(3,0,4)AC =-， 因为10AC n ⋅=，1AC ⊄平面1CDB ， 所以1//AC 平面1CDB ．21．（2020·银川三沙源上游学校高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，122AA =，D 为棱BC 的中点.（1）求直线1DB 与平面11AAC C 所成角的正弦值； （2）求平面11AAC C 与平面1ADB 所成二面角的余弦值.【答案】（110（2）10. 【解析】以A 为原点，分别以AC 、AB 、1AA 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图：则(0,0,0)A ，1(0,0,22)A ，(2,0,0)C ，(0,2,0)B ，(1,1,0)D ，1(0,2,22)B ，所以(2,0,0)AC =，1(0,0,22)AA =，(1,1,0)AD =，1(1,1,22)DB =-，（1）设平面11AAC C 的一个法向量为(,,)m x y z =，则100AC m AA m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，取(0,1,0)m =，所以111110cos ,10110DB m DB m DB m ⋅<>===⨯⋅， 所以直线1DB 与平面11AAC C 所成角的正弦值为1010； （2）设平面1ADB 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则100AD n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x y x y z +=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，取2(1,1,)2n =-，所以110cos ,5512m n m n m n⋅-<>===-⋅⨯，所以求平面11AAC C 与平面1ADB 所成二面角的余弦值105-. 22．（2019·江苏省苏州实验中学高一月考）直四棱柱1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=︒，E 、F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析（2）存在，223AG = 【解析】（1）如图所示：以1A 为原点，11A D ，11AB ，1A A 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系：则1(0,0,0)A ，1(0,2,0)B ，1(2,2,0)C ，设(0,0,)A a ，则4(0,,)3E a ，2(,2,0)3F ， 所以22(,,)33EF a =-，1(0,0,)A A a =，11(2,2,0)AC =， 因为11113EF A A AC =-+，所以EF ，1A A ，11AC 共面，又EF 不在平面11AAC C 内， 所以//EF 平面11AAC C（2）线段AC 上存在一点G ，使平面EFG ⊥平面11AAC C ，且22AG =， 证明如下：在三角形AGE 中，由余弦定理得222cos4EG AG AE AG AE π=+-⨯⨯⨯8162242299332=+-⨯⨯⨯82293==，所以222AG EG AE +=，即EG AG ⊥， 又1A A ⊥平面ABCD ，EG ⊂平面ABCD ，所以1A A EG ⊥，而1AG A A A ⋂=， 所以EG ⊥平面11AAC C ，因为EG ⊂平面EFG ，所以EFG ⊥面11AAC C .23．（2020·北京高二期末）如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，,,E F G 是,,BC PC CD 的中点.（1）求证：BG ⊥平面PAE ；（2）在线段BG 上是否存在点H ，使得//FH 平面PAE ？若存在，求出BHBG的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，35. 【解析】（1）证明：因为四棱锥P ABCD -底面是正方形，且PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),A B P (2,2,0),(0,2,0)C D ，因为,,E F G 是,,BC PC CD 的中点，所以(2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)E F G ，所以(1,2,0)BG =-，(0,0,2),(2,1,0),AP AE ==所以0BG AP ⋅=，且0BG AE ⋅=. 所以BG AP ⊥，BG AE ⊥，且AEAP A =.所以BG ⊥平面PAE .（2）假设在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .设BH BG λ=(01)λ≤≤，则(1,21,1)FH FB BH AB AF BG λλλ=+=-+=---.因为FH //平面PAE ，BG ⊥平面PAE ，所以(1)(12(21)0(1)530FH GB λλλ⋅=-⋅-+-+⨯-=-=. 所以35λ=. 所以，在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .其中35BH BG =.。

1.4 空间向量的应用（精练）【题组一 求平面的法向量】1．（2021·福建）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =．以A 为原点，建立如图所示空间直角坐标系．（1）求平面11BCC B 的一个法向量； （2）求平面1A BC 的一个法向量． 【答案】(1)()1,1,0n =； (2)()2,2,1m =.【解析】易知()1,0,0B ，()0,1,0C ，()11,0,2B ，()10,0,2A . (1)()1,1,0BC =-，()10,0,2BB =， 设面11BCC B 的法向量为()111,,n x y z =，则100n BC n BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即111020x y z -+=⎧⎨=⎩，取1111,0x y z === ，则 ()1,1,0n =，所以平面11BCC B 的一个法向量为()1,1,0n =； (2) ()1,1,0BC =-，()11,0,2BA =-，设面1A BC 的法向量为()222,,m x y z =，则100m BC m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 即2222020x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取2222,1x y z === ，则 ()2,2,1m =，所以平面1A BC 的一个法向量为()2,2,1m =2．（2021·全国高二课时练习）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -. （1）求平面ABC 的一个法向量；（2）证明:向量()3,4,1a =-与平面ABC 平行.【答案】（1）平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）；（2）证明见解析. 【解析】（1）因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -， 所以()2,1,3AB =--，()1,3,2AC =-， 设(),,n x y z =为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n =，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =； （2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+， 即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+，即向量()3,4,1a =-与平面ABC 平行. 3．（2021·浙江）如图所示，已知四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∥ABC =90，SA ∥平面ABCD ，SA =AB =BC =1，AD =12，试建立适当的坐标系.（1）求平面ABCD 的一个法向量；（2）求平面SAB的一个法向量；（3）求平面SCD的一个法向量.【答案】（1）(0，0，1)；（2）12，0，0；（3）(2，-1，1).【解析】以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D12，0，0，S(0，0，1).（1）∥SA∥平面ABCD，∥AS=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.（2）∥AD∥AB，AD∥SA，∥AD∥平面SAB，∥AD=12，0，0是平面SAB的一个法向量.（3）在平面SCD中，DC=12，1，0，SC=(1，1，-1).设平面SCD的法向量是n=(x，y，z)，则n∥DC，n∥SC，∥·0·0n DCn SC⎧=⎨=⎩，，得方程组122x yx yz yx y z⎧=-+=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪+-=⎩，，，，令1y=-，则1z=，2x=，∥n=(2，-1，1).所以n=(2，-1，1)是平面SCD的一个法向量.【题组二利用空间向量证空间位置】1．（2021·青海）若平面αβ⊥，且平面α的一个法向量为12,1,2n⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则平面β的法向量可以是（）A．111,,24⎛⎫- ⎪⎝⎭B．(2,1,0)-C．(1,2,0)D．1,1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】∥平面αβ⊥，∥平面α的一个法向量与平面β的法向量垂直，即它们的数量积为0. 对于A ：111111,,2,1,2024228⎛⎫⎛⎫--=++≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误； 对于B ：1(2,1,0)2,1,410502⎛⎫--=--+=-≠ ⎪⎝⎭，故B 错误； 对于C ：1(1,2,0)2,1,22002⎛⎫-=-++= ⎪⎝⎭，故C 正确； 对于D ：11,1,22,1,1111022⎛⎫⎛⎫-=-++=≠ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误.故选：C.2．（2021·浙江高二单元测试）若平面//αβ，则下面可以是这两个平面法向量的是（ ） A ． 12(1,2,3),(3,2,1)==-n n B ．12(1,2,2),(2,2,1)==-n nC ． 12(1,1,1),(2,2,1)==-n nD ． 12(1,1,1),(2,2,2)==---n n【答案】D【解析】因为平面//αβ，所以两个平面的法向量应该平行，只有D 项符合.故选：D.3．（2021·上海）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（ ） A ．两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =--，则12//l l B ．直线l 的方向向量()112a ,,=-，平面α的法向量是()6,4,1u =-，则l α⊥ C ．两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =-，则αβ⊥ D ．直线l 的方向向量()0,3,0a =，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l α 【答案】AC【解析】对于A ，两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =-，()2,3,1b =--,且b a →→=-，所以12//l l ，选项正确；对于B ，直线l 的方向向量()112a ,,=-，平面α的法向量是()6,4,1u =-且16142(1)0a u →→⋅=⨯-⨯+⨯-=，所以//l α或l α⊂，选项错误；对于C ，两个不同的平面α，β的法向量分别是()2,2,1u =-，()3,4,2v =-，且2(3)24120u v ⋅=⨯-+⨯-⨯=，所以αβ⊥，选项C 正确；对于D ，直线l 的方向向量()0,3,0a =，平面α的法向量是()0,5,0u =-且53u a =-， 所以l α⊥，选项D 错误. 故选：AC4．（2021·莆田第十五中学高二期末）如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，2AB =，PC 与平面ABCD 所成角是45，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点.求证：//DM 平面PFB .【答案】证明见解析【解析】证明：以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 由PC 与平面ABCD 所成的角为45，得45PCD ∠=，则2PD =，则()002P ,,，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()1,0,0F ，()0,0,0D ，()0,1,1M ， ()1,2,0FB ∴=，()1,0,2FP =-，()0,1,1DM =.设平面PFB 的法向量为(),,n x y z =，则00FB n FP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩. 令1y =，则2x =-，1z =-，故平面PFB 的一个法向量为()2,1,1n =--.0DM n ⋅=，DM n ⊥，又DM ⊄平面PFB ，则//DM 平面PFB .5．（2021·西藏）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点，F 是BC 的中点．求证：平面1EAD ⊥平面1EFD ．【答案】证明见解析【解析】如图建立空间直角坐标系，则()0,1,0E ，()1,0,0A ，()10,0,1D ，1,2,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,1,0AE =-，()10,1,1ED =-，1,1,02EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设面1EAD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n AE n ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y y z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y z ==，所以()1,1,1n =；设面1EFD 的法向量为(),,m x y z =，则1·0·0m EF m ED ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1020x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令2x =，则1y z ==-，所以()2,1,1m =--；因为()()2111110n m =⨯+⨯-+⨯-=，所以n m ⊥ 所以平面1EAD ⊥平面1EFD ．6．（2021·全国高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别在棱1A A ，11A B ，11A D 上，1111A E A F AG ===；点P ，Q ，R 分别在棱1CC ，CD ，CB 上，1CP CQ CR ===．求证：平面//EFG 平面PQR ．【答案】证明见解析【解析】构建以D 为原点，1,,DA DC DD 为x 、y 、z 轴正方向的空间直角坐标系，如下图示，设1,,AB a BC b BB c ===(,,1)a b c >，又1111A E A F AG ===，1CP CQ CR ===， ∥(,0,1)E b c -，(,1,)F b c ，(1,0,)G b c -，(0,,1)P a ，(0,1,0)Q a -，(1,,0)R a ， ∥(0,1,1)EF =，(1,0,1)EG =-，(0,1,1)PQ =--，(1,0,1)PR =-，设(,,)m x y z =是面EFG 的一个法向量，则00EF m y z EG m z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，(1,1,1)m =-，设(,,)n i j k =是面PQR 的一个法向量，则0PQ n j k PR n i k ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1i =，(1,1,1)n =-，∥面EFG 、面PQR 的法向量共线，故平面//EFG 平面PQR ，得证.7．（2021·安徽）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，11BC CC ==，E 是CD 的中点．求证：1B E ⊥平面1AED ．【答案】证明见解析【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0E ，()10,0,1D ，()11,2,1B 所以()11,1,1EB =，()10,1,1ED =-，()1,1,0EA =-所以()111011110EB ED =⨯+⨯-+⨯=，()11111100EB EA =⨯+⨯-+⨯=，所以11EB ED ⊥，1EB EA ⊥，因为1ED EA E =，1,ED EA ⊂平面1AED ．所以1B E ⊥平面1AED ．8．（2021·湖南）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是面1AB ，面11A C 的中心．求证：//EF 平面1ACD ．【答案】证明见解析【解析】如图，以D 为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则()()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,2,2,1,1,1,1,2A C D E F ， 则()()()12,2,0,2,0,2,1,0,1AC AD EF =-=-=-， 设平面1ACD 的一个法向量为(),,n x y z =， 则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则可得()1,1,1n =，0EF n ⋅=，EF n ∴⊥，EF ⊄平面1ACD ，∴//EF 平面1ACD .【题组三 利用空间向量求空间角】1．（2021·浙江）如图，已知PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，2PA AD AB ===，,M N 分别为,AB PC 的中点．（1）求证：MN ⊥平面PCD ；（2）求PD 与平面PMC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()1,0,0,0,0,2,2,2,0,1,1,1,0,2,0M P C N D . ()()()0,1,1,2,2,2,0,2,2MN PC PD ==-=-， 220220MN PC MN PD ⎧⋅=-=⎨⋅=-=⎩，所以,MN PC MN PD ⊥⊥,由于PC PD P ⋂=，所以MN ⊥平面PCD .（2）()0,2,2PD =-，()()1,0,2,1,2,0MP MC =-=，设平面PMC 的法向量为(),,n x y z =，则2020n MP x z n MC x y ⎧⋅=-+=⎨⋅=+=⎩，令1z =，则2,1x y ==-，所以()2,1,1n =-. 设直线PD 与平面PMC 所成角为θ，则sin 6n PDn PD θ⋅===⋅2．（2021·湖南高三其他模拟）如图，在三棱锥A BCD -中，BCD △与ABC 是全等的等边三角形，且平面ABC ⊥平面DBC .（1）证明：AD BC ⊥；（2）求AC 与平面ABD 所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）5【解析】（1）取BC 的中点O ，连接AO 、BO ，因为BCD △与ABC 是全等的等边三角形，所以BC AO ⊥，BC DO ⊥，因为AO DO O ⋂=，,AO DO ⊂面AOD ，所以BC ⊥面AOD ，因为AD ⊂面AOD ，所以BC AD ⊥（2）因为平面ABC ⊥平面DBC ，平面ABC 平面DBC BC =，AO BC ⊥，所以AO ⊥平面DBC ，如图以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，令2BC =，则(00A ,，)D ，()0,1,0C ，()0,1,0B -，所以(0,CA =-，()3,1,0BD =，(3,0,AD =，设面ABD 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0n BD n AD ⎧=⎨=⎩，所以00y +=-=，令1x =，则y =1z =，所以()1,3,1n =-，设AC 与平面ABD 所成的角为θ，则(sin51CAnCA n θ===- 3．（2021·浙江高二期末）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB BC AD ===，4CD =，E 为CD 中点，将BCE 沿着BE 折起，点C 变成点P ，此时PC =（1）求证：AD PC ⊥；（2）求直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）5【解析】（1）证明：取BE 中点记为H ,连结PH 、CH ，E 是CD 中点,4CD = ，2DE CE AB BC AD ∴=====，//AB DE 且AB DE =，∴四边形ABED 是平行四边形，//,2BE AD BE AD ∴==，BCE ∴△是边长为2等边三角形，由题意可知，2,2PE CE PB CB ====，PEB ∴是边长为2的等边三角形， CH 是BCE 中线，PH 是PBE △中线，CH BE ∴⊥，PH BE ⊥，又CH PH H ⋂=，BE ∴⊥平面PCH ，BE PC ∴⊥，AD PC ∴⊥；（2）解：由（1）可求得PH CH == 6PC =，222PH CH PC ∴+=，PH CH ∴⊥，又,PH BE CH BE H ⊥⋂=，PH ∴⊥平面BCE ，∴以H 为原点，HB ，HC ，HP 所在直线为x ，y ，z 轴，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),(2,B C P D -，(2,3,3),(1,3,0),(DP BC BP ∴==-=-，设平面BCP 的法向量为 (,,)n x y z =，∴00BPn BC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即((,,)0((,,)0x y z xy z ⎧-⋅=⎪⎨-⋅=⎪⎩，令x =则1,1y z ==， ∴平面BCP 的法向量为(3,1,1)n=，设直线PD 与平面PBC 所成角为θ，|||2sin 5||||DP n DP nθ⋅∴===⋅， 所以直线PD 与平面PBC 所成角的正弦值为5.4．（2021·浙江高二期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，3PD =，2PN ND =，底面ABCD 为直角梯形，90ADC ∠=︒，//AD BC ，22=3BC AD DC ==．（1）求证：//PB 平面ACN ；（2）求异面直线PA 与CN 所成角的余弦值．【答案】(1) 证明见解析; (2) 【解析】（1）连接,AC BD 相交于点E ，连接EN .//AD BC ,可得AED 与BCE 相似，则12ED AD BE BC == 又12ND PN =,则12ND AD PN BC ==，所以//EN PB 又PB ⊄平面ACN ，EN ⊂平面ACN ，所以//PB 平面ACN ；（2）由PD ⊥平面ABCD ，90ADC ∠=︒.以D 为原点，以,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图.由3PD =，2PN ND =，22=3BC AD DC ==则()0,0,1N ,33,0,0,0,,022A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()0,0,3P 则3,0,32AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,30,,12CN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以cos ,659AP CNAP CN AP CN⋅===所以异面直线PA 与CN 所成角的余弦值为655．（2021·北京高三其他模拟）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF .（∥）求证：//CD EF ；（∥）若EFCD =，求二面角A BC F --余弦值.【答案】（∥）证明见解析；（∥. 【解析】（∥）证明：因为//AB CD ，AB平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以//CD 平面ABE ，因为平面ABE平面CDE EF =，CD ⊂平面CDE ，所以//CD EF . （∥）取AD 的中点N ，连接BN ,EN .在等腰ADE 中，EN ∥AN .因为平面ADE ∥平面ABCD ，交线为AD ，又EN ∥AD ，所以EN ∥平面ABCD .所以EN ∥BN .由题意易得AN ∥BN .如图，建立空间直角坐标系N - xyz ，则N (0,0,0) ,A(2,0,0) , ()B, ()C -, ()()2,0,0,0,0,2D E -. 因为EF = CD，所以()F -. 设平面BCF 的法向量为(),,n x y z = ，()()1,3,2,3,BF BC =--=-， 则0,0,n BF n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,30.x z x ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩ 令y =1,1x z =-=，于是()1,3,1n =-. 又平面ABCD 的法向量为()0,0,2NE =，所以5cos ,5||||n NE n NE n NE ⋅〈〉== 由题知二面角A - BC - F 为锐角，所以二面角A - BC - F .【题组四 利用空间向量求空间距离】1．（2021·山东）如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 为棱AA 1的中点，AB ＝1，AA 1＝2．（1）求点B 到平面B 1C 1E 的距离；（2）求二面角B 1﹣EC 1﹣C 的正弦值．【答案】（1；（2【解析】（1）如图，以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则B (1，0，0），B 1(1，0，2），C 1(1，1，2），E (0，0，1）， ∥11BC =(0，1，0），1B E =(﹣1，0，﹣1），1BB =(0，0，2）， 设平面B 1C 1E 的法向量n =(u ，v ，w ），则11100n B C v n B E u w ⎧⋅==⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取u ＝1，得n =(1，0，﹣1），∥点B 到平面B 1C 1E 的距离为：d 1||2||2n BB n ⋅===． （2）∥C 1(1，1，2），E (0，0，1），C (1，1，0）， ∥1CC =(0，0，2），CE =(﹣1，﹣1，1）， 设平面CC 1E 的法向量m =(x ，y ，z ）， 则1.20.0m CC z m CE x y z ⎧==⎨=--+=⎩，取x ＝1，得m =(1，﹣1，0）， 设二面角B 1﹣EC 1﹣C 的平面角为θ，则cosθ11||||22m n m n ⋅===⋅⨯，∥sinθ==∥二面角B 1﹣EC 1﹣C 的正弦值为2．2．（2021·云南民族大学附属中学）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，122AB BB BC ===，1BC =E 为11A C 的中点.（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）求点A 到平面BCE 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面11BB C C ，1C B ⊂平面11BB C C ， 所以1AB C B ⊥.在1BCC 中，1BC =，1BC 12CC =，所以22211BC BC CC +=.所以1CB C B ⊥.因为AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ， 所以1C B ⊥平面ABC .（2）由（1）知，1AB C B ⊥，1BC C B ，AB BC ⊥， 如图，以B 为原点建立空间直角坐标系B xyz -.则(0,0,0)B ，(0,0,2)A，12E ⎛⎫-⎪⎝⎭，(1,0,0)C . (1,0,0)BC →=，12BE →⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即0,10.2x x z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令y =0x =，3z =-，所以()0,3n →=-. 又因为(1,0,2)AC →=-， 故点A 到平面BCE 的距离||||n d AC n →→→⋅===3．（2021·上海市控江中学）如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P 是圆锥的顶点，AB 是圆柱下底面的一条直径，AA 1、BB 1是圆柱的两条母线，C 是弧AB 的中点.（1）求异面直线P A 1与BC 所成的角的余弦值； （2）求点B 1到平面P AC 的距离. 【答案】（1（2. 【解析】（1）根据题意可得OP ⊥平面ABC , C 是弧AB 的中点,则OC AB ⊥ 则以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图则()0,0,4P ，()10,1,2A -， ()0,1,0B ，()1,0,0,C ， ()10,1,2PA =--， ()1,1,0BC =-，111cos ,||||5PA BC PA BC PA BC ⋅<>===⋅ （2）()10,1,2B ， ()0,10A --， ()10,1,2PB =-， ()0,1,4PA =--， ()1,0,4PC =-，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，则4040n PA y z n PC x z ⎧⋅=--=⎨⋅=-=⎩，取1z =，得()4,4,1n =-，∴点1B 到平面PAC 的距离为：1||6||33PB n d n ⋅===． 4．（2021·四川凉山彝族自治州）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知棱AB ，AD ，AP 两两垂直且长度分别为1，2，2，//AB CD ，12AB DC =．（1）若PC 中点为M ，证明：//BM 平面PAD ； （2）求点A 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）证明：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，因为AB ，AD ，AP 的长度分别为1，2，2，且12AB DC =， 则(0,0,1)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(2,2,0)C ， 又M 是PC 的中点，所以(1,1,1)M ，所以(0,1,1)BM =，由已知可得平面PAD 的一个法向量为(1,0,0)n =，则0110100BM n ⋅=⨯+⨯+⨯=， 所以BM n ⊥，又BM ⊄平面PAD ， 所以//BM 平面PAD ；（2）解：设平面PDC 的法向量为m (x,y,z)=， 因为(2,0,0)CD =-，(0,2,2)PD =-，则有00m CD m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20220x y z -=⎧⎨-=⎩，令1y =，则0x =，1z =，故(0,1,1)m =， 又(0,2,0)AD =，所以点A 到平面PCD 的距离0||AD m d m ⋅⨯=== 5．（2021·吉林吉林市）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面111,90,4,2,A B C BAC AB AC M ︒∠===是AB 中点，N 是11A B 中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1C N 上.（1）求证：PQ ∥平面1ACM（2）若二面角1A CM A --B 到平面1ACM 的距离【答案】（1）证明见解析；（2【解析】（1）证明:连结BN ，设11AC AC H ⋂=，连结MH .1,AH HC AM MB ==，1BC MH ∴∥又MH ⊆面1ACM ，1BC ⊄面1ACM ，1BC ∴∥面1ACM . 四边形1A NBM 是平行四边形，1BN A M ∴∥， 又BN ⊄面1ACM ，1A M ⊂面1ACM ，BN ∴面1ACM . 1,BC BN B BC ⋂=⊆面1BC N ，BN ⊆面1BC N ， ∴面1ACM 面1BC N .∥由PQ ⊆面1BC N ，∥PQ ∥平面1ACM . （2）以A 为原点，1,,AC AB AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系设()()()()()10,0,0,0,2,0,2,0,0,0,4,0A h h M C B >所以()()110,2,,2,0,A M h AC h =-=-设平面1ACM 的一个法向量(),,n x y z = 则112020n A M y hz n A C x hz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，不妨设2z =，解得(),,2n h h =. 显然平面ACM 的一个法向量()00,0,1n =. 由二面角1A CM A --则()()000,,20,0,1cos ,3h h n n nn n n n n ⋅⋅====， 又0h >，解得2h =()2,2,2n ∴=又()(0,2,00,2,0,3MB n MB d n⋅====即点B 到平面1ACM. 【题组五 求参数】1．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =．（1）求证：1BD A C ⊥；（2）求二面角11A A C D --的余弦值；（3）在线段1CC 上是否存在点P ，使得平面11A CD ⊥平面PBD ，若存在，求出1CPPC 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，113CP PC =． 【解析】（1）因为四棱柱1111ABCD A B C D -是正四棱柱， 所以1AA ⊥平面ABCD ，BD AC ⊥， 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥， 因为1AA AC A =，所以BD ⊥平面1A AC ，因为1AC ⊂平面1A AC ，所以1BD A C ⊥. （2）如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，则()12,0,4A ，()0,2,0C ，()10,0,4D ，()0,0,0D ，()2,2,0B ，()10,2,4C ，()112,0,0D A =，()10,2,4D C =-，()2,2,0DB =，因为BD ⊥平面1A AC ，所以()2,2,0DB =是平面1AA C 的法向量， 设平面11A D C 的法向量()111,,n x y z =，则11100n D A n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110240x y z =⎧⎨-=⎩，令11z =，则12y =，()0,2,1n =，故5cos ,n DB DB DB n n⋅===⋅因为二面角11A A C D --是钝二面角，所以二面角11A A C D --的余弦值为. （3）设222,,P x y z 为线段1CC 上一点，1λCP PC ，0λ≥，因为222,2,CPx y z ，1222,2,4PC x y z ，1λCP PC ，所以()()222222,2,,2,4x y z x y z λ-=---， 则20x =，22y =，24λ1λz ，40,2,1P λλ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，4λ0,2,1λDP， 设平面PBD 的法向量333,,mx y z ，则00m DP m DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即33334201220y z x y λλ⎧+⋅=⎪+⎨⎪+=⎩，令31y =，则11,1,2m λλ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若平面11A CD ⊥平面PBD ，则0m n ⋅=，即1202λλ+-=，解得13λ=，故当113CP PC =时，平面11A CD ⊥平面PBD . 2．（2021·正阳县高级中学）如图，三棱柱111ABC A B C -中，111AA B C =，11120BB C ∠=︒，1190AB C ∠=︒．（1）求证：ABC 为等腰三角形；（2）若11111AB C B AC ∠=∠，11B AB B BA ∠=∠，点M 在线段11B C 上，设111102B M BC λλ⎛⎫=<<⎪⎝⎭，若二面角11A CM C --的余弦值为4，求λ的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）14λ=． 【解析】（1）如图，取BC 的中点O ，连接AO ，1OB ，1CB ， ∥111AA B C =，∥1BC BB =；而160B BC ∠=︒，∥1BCB △为等边三角形，∥1B O BC ⊥． 又∥11//BC B C ，1190AB C ∠=︒，∥111B C AB ⊥，∥1BC AB ⊥， 又111B OAB B =，11,B O AB ⊂平面1AOB ，∥BC ⊥平面1AOB ，又AO ⊂平面1AOB ，∥BC AO ⊥，∥O 为BC 中点，∥AB AC =，即ABC 为等腰三角形． （2）设112AB BB ==，则12BC B C ==，∥1111190AB C B AC ∠=∠=︒，故AB AC ⊥，∥1AO =，又1OB =，12AB =，∥1OB AO ⊥，以O 为原点，OB ，1OB ，OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0C -，()1A -，()1B ．设111B M BC λ=，则()1CA =，()11112CM CB B C λλ=+=-，设平面1ACM 的法向量为(),,n x y z =，则由10CA n ⋅=，0CM n ⋅=，得()0120z x λ+=-=⎪⎩，取)()3,212n λλ=--，易知平面1CMC 的法向量为()0,0,1OA =，则(23cos ,16OA n OA n OA nλ⋅===，解得14λ=（34λ=舍去）．3．（2021·四川成都市·石室中学）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面四边形ABCD 是正方形，SD DB ⊥，SB AC ⊥.（1）证明：SD ⊥平面ABCD ；（2）已知2SD ==，点E 是棱SD 上的点，满足()01DE DS λλ=<<，若二面角C AE D --的余弦值为3，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）2. 【解析】（1）连接BD 交AC 于点O ，因为底面四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 由SB AC ⊥，且SB BD B ⋂=，所以AC ⊥平面SBD ， 又由SD ⊂平面SBD ，所以SD AC ⊥，又因为SD BD ⊥，且BD AC O ⋂=，,BD AC ⊂平面ABCD ，所以SD ⊥平面ABCD .（2）由已知及（1）可知SD AD ⊥，SD CD ⊥，AD CD ⊥，以D 为原点，以,,DA DC DS 分别作为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为2SD ==，且点E 是棱SD 上的点，满足()01DE DS λλ=<<，可得()0,0,0D，)A，)B，()C ，()0,0,2S ，()0,0,2E λ， 则()2,0,2EA λ=-，()2EC λ=-， 设平面ACE 的法向量为(),,n x y z =，则00n EA n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020z z λλ-=-=，取z =，可得2,2x yλλ==，即(2,2n λλ=， 又由DC ⊥平面ADE ，可得平面ADE 的一个法向量为()0,DC =，所以38s c o,n DCn DC n DC λ⋅====⋅λ=.4．（2021·江苏南京市·高三二模）如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，AC的中点为D .且1A D ⊥面ABC ，1A D =.（1）求证：11A B AC ⊥；（2）在线段1CC 上找一点M ，使得直线1A B 与平面11MA B . 【答案】（1）证明见解析；（2）13CM CC '=. 【解析】（1）作DE AC ⊥交AB 于点E ，分别以DE ，DC ，1DA 所在直线为x ，y ，z 轴建系()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，(1A ，(10,C所以，(12,1,A B =，(1AC = 110330A B AC ⋅=+-=，所以11A B AC ⊥（2）设()10,CM CC λλ==， ()112,2,0A B AB ==，(110,A M AC CM λ=+=设面11MA B 的一个法向量为(),,n x y z =有11100A B n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ∥()22010x y y z λ+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ∥1x y y z λ=-⎧⎪+⎨=⎪⎩∥1,1,n⎛=- ⎝ 因为(12,1,A B =若直线1A B 与平面11MA B 所成角的正弦值为20. 13cos ,20n A B=20=，解得13λ=. 所以当13CMCC '=时，直线1A B 与平面11MA B 所成角的正弦值为20. 5．（2021·江苏南通市）《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，11AA AB AC ===，M ，N 分别是1CC ，BC 的中点，点P 在线段11A B 上.（1）若P 为11A B 的中点，求证：//PN 平面11AAC C .（2）是否存在点P ，使得平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45︒？若存在，试确定点P 的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】（1）证明：取11A C 的中点H ，连接PH ，HC .在堑堵111ABC A B C -中，四边形11BCC B 为平行四边形，所以11//B C BC 且11B C BC =.在111A B C △中，P ，H 分别为11A B ，11A C 的中点，所以11//PH B C 且1112PH B C =. 因为N 为BC 的中点，所以12NC BC =， 从而NC PH =且//NC PH ，所以四边形PHCN 为平行四边形，于是//PN CH .因为CH ⊂平面11AC CA ，PN ⊄平面11AC CA ，所以//PN 平面11AACC .（2）以A 为原点，AB ，AC ，1AA 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，则1(0,0,1)A ，1(1,0,1)B ，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 易知平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)m =.假设满足条件的点P 存在，令111(,0,0)A P A B λλ==，则111,,222NM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,1,22PN λ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 设平面PMN 的一个法向量是(,,)n x y z =，则0,0,n NM n PN ⎧⋅=⎨⋅=⎩即1110,22211()0.22x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩ 令3x =，得12y λ=+，22z λ=-， 所以(3,12,22)n =+-λλ.由题意得|cos ,|2m n 〈〉==，解得12λ=-，故点P 不在线段11A B 上.。

空间向量的应用专题训练卷一、单选题1．（2020·江苏如东�高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．102C ．155D ．1052．（2020·河北新华�石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A 6B 26C 15D 10 4．（2020·黑龙江道里�哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A 3B 23C 5D 255．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25C ．35D ．456．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<8．（2020·浙江衢州�高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π二、多选题11．（2019·江苏徐州�高二期末）下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦512．（2020·山东平邑�高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60°D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为6313．（2020·福建厦门�高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 17．（2019·安徽埇桥�北大附宿州实验学校高二期末（理））若平面α，β的法向量分别为(4,0,3)u =，(1,1,0)v =-，则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为________.四、双空题18．（2020·浙江宁波�高二期末）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =______，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为______.19．（2018·北京海淀�高二期末（理））已知棱长为1的正四面体ABCD ，O 为A 在底面BCD 上的正射影，如图建立空间直角坐标系，M 为线段AB 的中点，则M 点坐标是__________，直线DM 与平面BCD 所成角的正弦值是__________．20．（2020·山东德州�高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.21. 如图，在三棱锥S ABC -中，SA SB SC ==，且2ASB BSC CSA π∠=∠=∠=，M 、N 分别是AB 和SC 的中点，则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为________，二面角A SC M --大小为________.五、解答题22．（2020·上海高三专题练习）如图，在棱长为1的立方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11A D 的中点，H 为平面11AA D D 内的点.（1）若1C H ⊥平面BDE ，确定点H 的位置； （2）求点1C 到平面BDE 的距离.23．（2020·全国高二课时练习）在直三棱柱中，13AA AB BC ===，2AC =，D 是AC 的中点.（1）求证：1//B C 平面1A BD ； （2）求直线1B C 到平面1A BD 的距离.24．（2019·天津南开�崇化中学高二期中）如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，且2PC PD ==，M ，N 分别为棱PC ，AD 的中点.（1）求证：BC PD ⊥；（2）求异面直线BM 与PN 所成角的余弦值； （3）求点N 到平面MBD 的距离.25．（2020·河南高三其他（理））《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早1000多年,在《九章算术》中,将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵(qian du );阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,鳖膈(bie nao )指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵111ABC A B C -中,AB AC ⊥.(1)求证:四棱锥11B A ACC -为阳马;(2)若12C C BC ==,当鳖膈1C ABC -体积最大时,求锐二面角11C A B C --的余弦值.26．（2019·浙江衢州�高二期中）四棱锥P ABCD -中，AP AC =，底面ABCD 为等腰梯形，//CD AB ，222AB CD BC ===，E 为线段PC 的中点，PC CB ⊥.（1）证明：AE ⊥平面PCB ；（2）若2PB =，求直线DP 与平面APC 所成角正弦值.27. （2020·武威第六中学高三其他（理））如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//BC AD ，90BAD ∠=︒，222AD PD AB BC ====，M 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：//BM 平面PCD（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面PAD ，异面直线BC 与PD 所成角为60°，且PAD △是钝角三角形，求二面角B PC D --的正弦值1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．102C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,58BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为105. 故选：D ．2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则11111cos ,666MN OD MN OD MN OD ⋅===⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2，AA 1=1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．63B ．65C ．155D ．105【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量．∴1410cos ,558BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为105 4．（2020·黑龙江道里 哈尔滨三中高三二模（理））已知四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，2BC BD ==，AB 与平面ACD 所成角的正切值为12，则点B 到平面ACD 的距离为（ ） A ．32B ．233C ．55D ．255【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C ，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA x tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，故21,1,n t ⎛= ⎝⎭.因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12， 所以直线AB 与平面ACD 5. 即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 故B 到平面ACD的距离为22551112AB n d n⋅===++.故选：D5．（2020·山东省济南市莱芜第一中学高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25C ．35D ．45【答案】B 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D ，11(0,1,)2=-D M ，11(1,0,)2=MB设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =则1110=01002x A D m y z D M m -=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=m 设直线1B M 与平面11A D M 所成角为θ，1112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：B6．（2018·浙江高三其他）如图，在长方体11112222A B C D A B C D -中，12111122A A A B B C ==，A ，B ，C 分别是12A A ，12B B ，12C C 的中点，记直线2D C 与1AD 所成的角为α，平面22A BCD 与平面11ABC D 所成二面角为β，则（ ）A ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．cos cos t αβ>D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ， 所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒， 所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=， 故选：B7．（2020·浙江镇海中学高三三模）在三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 上的点（不包括端点），记直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】D 【解析】设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,022D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC =，131,22B D ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0=A B ，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，1111cos 25B D AC BD ACθ⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，1212sin 5BD n BD nθ⋅∴==⋅2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，则11130312022m AB a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，332cos 57m n m nθ⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<故选：D8．（2020·浙江衢州 高二期末）在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ）A ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A 【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，()13,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，131,222B D →⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，)113,1,0A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos 25B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin 5B D nB D nθ→→→→⋅∴==⋅， 222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则11130312022m A B ab m B D a bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,2m →⎫=--⎪⎭， 二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 33cos m nm nθ→→→→⋅∴===⋅ 231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.9．（2020·浙江省杭州第二中学高三其他）空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥，且::1:3:1AC AB BD =，设CD 与AB 所成的角为α，CD 与面ABC 所成的角为β，二面角C AB D --的平面角为γ，则（ ） A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A 【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值229311cos α11113CD AB x CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β， 故110cos β11CD CB CD CB ， 1103112112， 所以2γβα≤≤，故选：A.10．（2020·四川高三三模（理））如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A 【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=. 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-， 由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以212212388BD AB h BD AB h h ⋅==⋅+⋅+， 即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A二、多选题11．（2019·江苏徐州 高二期末）下列命题中正确的是（ ）A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5【答案】ABD 【解析】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错； 对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022==⨯l 与平面α5，故D 对； 故选：ABD ．12．（2020·山东平邑 高二期末）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB13．（2020·福建厦门 高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即20x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为32 C ．1AC 与侧面11AA B B 3D ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为134【答案】BC 【解析】如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ， 则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设2AB =； 则123AA =； 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，23)，(0C ，1，23)；1(3B ，0，0)， ∴()10,2,23AC =-．底面ABC 的其中一个法向量为：()0,0,23m =，1AC ∴与底面ABC 的成角的正弦值为111123cos ,2423m AC m AC m AC -<>===⨯⨯，； A ∴错B 对．11A B 的中点K 的坐标为3(2，12-，0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：133,,022KC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭；1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：11111133cos 4,43AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯，； 故C 对D 错； 故选：BC ．三、单空题15．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））已知平面α的一个法向量10,,22n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，A α∈，P α∉，且31,,222PA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则直线PA 与平面α所成的角为______．【答案】π3【解析】设直线PA 与平面α所成的角为θ，则s 102342131022444in cos n PA n PAθθ===--⋅=⋅++++， ∴直线PA 与平面α所成的角为π3． 故答案为：π3． 16．（2019·河南高二竞赛）等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为33，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 ． 【答案】16【解析】设AB =2,作CO ⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，CH =OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM====+=-∴⋅=故EM ,AN 116=。

一、利用向量处理平行与垂直问题例1、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090=∠ACB , 030=∠BAC ,M A A BC ,6,11==是1CC 得中点。

求证：AM B A ⊥1练习：棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在点P 使B 1D ⊥面P AC ？例2 如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点N M ,分别在对角线AE BD ,上，且AE AN BD BM 31,31==,求证：//MN 平面CDE练习1、在正方体1111D C B A ABCD -中,E,F 分别是BB 1,,CD 中点，求证：D 1F ⊥平面ADE2、如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中, ︒=∠60ABC ，,2,a PD PB a AC PA ====点E 在PD 上,且PE :ED = 2: 1.在棱PC 上是否存在一点F, 使BF ∥平面AEC?证明你的结论.二、利用空间向量求空间的角的问题例1 在正方体1111D C B A ABCD -中,E 1，F 1分别在A 1B 1,,C 1D 1上，且E 1B 1=41A 1B 1，D 1F 1=41D 1C 1，求BE 1与DF 1所成的角的大小。

例2 在正方体1111D C B A ABCD -中, F 分别是BC 的中点，点E 在D 1C 1上,且=11E D 41D 1C 1,试求直线E 1F 与平面D 1AC例3 在正方体1111D C B A ABCD -中,求二面角1C BD A --的大小。

zx1CFD CBA例4 已知E,F分别是正方体1111DCBAABCD-的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角BBDC--11的大小。

三、利用空间向量求空间的距离的问题例1 直三棱柱AB C-A1B1C1的侧棱AA1，底面ΔAB C求点B1到平面A1B C的距离。

空间向量的应用学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若平面,的法向量分别取为=(2,3,5),=(-3,1,-4),则,的位置关系是（）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 重合2.已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，向量，，则（）A. 平面平面B. 平面平面C. 平面、平面相交但不垂直D. 以上均有可能3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是（）A. 平行B. 相交C. 异面垂直D. 异面不垂直二、填空题（本大题共8小题，共40.0分）4.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．5.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，＝，＝，＝.则VA与平面PMN的位置关系是．6.如图,在直四棱柱ABCD-中,底面四边形ABCD为菱形,E,F分别为,的三等分点(==),若AB==6,BAD=,则点E到平面BDF的距离为 .7.如图，正方体的棱长为4，M为底面ABCD两条对角线的交点，P为平面内的动点，设直线PM与平面所成的角为，直线PD与平面所成的角为若，则动点P的轨迹长度为．8.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，E为AB的中点，点F满足，动点M在侧面AA1D1D内运动，且MB∥平面D1EF，则|MD|的取值范围是 .9.如图，在正方体中，E为棱的中点，动点沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得；②的面积越来越小；③四面体的体积不变.所有正确的结论的序号是 .10.如图，在棱长为的正方体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：①；②；③.以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题： .11.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分。

空间向量专题：空间向量在动点探究中的应用一、与空间向量有关的探索性问题一类是探索线面位置关系的存在性问题，即线面的平行与垂直，另一类是探索线面的数量关系的存在性问题，即线面角或为面交满足特定要求是的存在性问题，二、利用空间向量解决立体几何的探索性问题思路：（1）根据题设条件的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。

（2）假设所成的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的位置关系、数量关系，构建方程（组）求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。

三、动点的设法（减少变量数量）在解决探索性问题中点的存在性四，经常需要设出点的坐标，而 庈ڮ預ڮ炔獶可表示空间中的任一点，使用三个变量设点需要列三个方程，导致运算量增大。

为了减少变量数量，用以下设法。

1、直线（一维）上的点：用一个变量可以表示出所求点的坐标；依据：根据平面向量共线定理—若⇒∃∈∥a b R λ，使得=a bλ【示例】已知(1,3,4)A ，(0,2,1)P ，那么直线AP 上的某点(,,)M x y z 坐标可用一个变量表示，方法如下：(1,3,4)=---AM x y z ，(1,1,3)=---AP 因为M 在AP 上，所以=⇒∥AM AP AM APλ∴11334343-=-=-⎧⎧⎪⎪-=-⇒=-⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩x x y y z z λλλλλλ，所以可设点(1,3,43)---M λλλ.2、平面（二维）上的点：用两个变量可以表示出所求点的坐标。

依据：平面向量基本定理—若a ，b 不共线，则平面上任意一个向量c ，均存在λ，∈R β，使得c =+a bλβ【示例】已知(1,3,4)A ，(0,2,1)P ，(2,4,0)Q ，则平面APQ 上某点(,,)M x y z 坐标可用两个变量表示，方法如下：(1,3,4)=---AM x y z ，(1,1,3)=---AP ，(2,2,1)=-PQ 故=+AM AP PQ λβ，即121232324343-=-+=-+⎧⎧⎪⎪-=-+⇒=-+⎨⎨⎪⎪-=--=--⎩⎩x x y y z z λβλβλβλβλβλβ所以可设点(12,32,43)-+-+--M λβλβλβ.题型一平行中的动点问题【例1】如图，在底面是正方形的四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP AB ==，,,E F G 是,,BC PC CD 的中点.（1）求证：BG ⊥平面PAE ；（2）在线段BG 上是否存在点H ，使得//FH 平面PAE ？若存在，求出BH BG的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，35.【解析】（1）证明：因为四棱锥P ABCD -底面是正方形，且PA ⊥平面ABCD ，以点A 为坐标原点，,,AB AD AP所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系.则(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),A B P (2,2,0),(0,2,0)C D ，因为,,E F G 是,,BC PC CD 的中点，所以(2,1,0),(1,1,1),(1,2,0)E F G ，所以(1,2,0)BG =-，(0,0,2),(2,1,0),AP AE ==所以0BG AP ⋅=，且0BG AE ⋅=.所以BG AP ⊥，BG AE ⊥，且AE AP A =I .所以BG ⊥平面PAE .（2）假设在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .设BH BG λ=(01)λ≤≤，则(1,21,1)FH FB BH AB AF BG λλλ=+=-+=---.因为FH //平面PAE ，BG ⊥平面PAE ，所以(1)(12(21)0(1)530FH GB λλλ⋅=-⋅-+-+⨯-=-=.所以35λ=.所以，在线段BG 上存在点H ，使得FH //平面PAE .其中35BH BG =.【变式1-1】如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90ABC ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，1AD =，AB =4BC =.（1）求证：BD PC ⊥.（2）设点E 在棱PC 上，,PE PC λ=若//DE 平面PAB ，求λ的值.【答案】（1）证明见解析；（2）14【解析】（1）在底面ABCD 内过D 作直线//DF AB ，交BC 于F ，在直角DFC △中，DF =，3=FC ,可知DC =，222BC BD DC ∴=+，BD DC ∴⊥，PD ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，BD PD ∴⊥，又PD CD D ⋂=，BD ∴⊥面PDC ，又PC ⊂面PDC ，BD PC ∴⊥.（2）以D 为坐标原点，,,DA DF DP 分别为,,x y z 轴，建立如图空间坐标系，则()1,0,0A ，()B ，()0,0,0D ，()C -设PD a =，则()0,0,P a ，则()AB =，()0,0,DP a =uu u r ，()1,0,PA a =-，()PC a=--uu u r因为PE PC λ=，所以()3,PE a λλ=--uur，则()()()0,0,3,3,DE DP PE a a a a λλλλ=+=+--=--uuu r uu u r uur 设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00AB n PA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x az ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，令1z =，则(),0,1n a =，因为//DE 平面PAB ，所以0DE n ⋅=，所以3(14)0a a a a λλλ-+-=-=，因为0a ≠，所以14λ=，故λ的值为14.【变式1-2】如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？【答案】当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .【解析】如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，在CC 1上任取一点Q ，连接BQ ，D 1Q .设正方体的棱长为1，则O 11022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，P 1002⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，A (1，0，0)，B (1，1，0)，D 1(0，0，1)，则Q (0，1，m ).(方法1)因为1111--222OP BD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，=(-1，-1，1)，所以1//OP BD ，于是OP ∥BD 1.1-102AP BQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，=(-1，0，m )，当m =12时，AP BQ =，即AP ∥BQ ，有平面PAO ∥平面D 1BQ ，故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .(方法2)11111-0--22222OA OP ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，.设平面PAO 的法向量为1n u r =(x ，y ，z )，则有1n u r ⊥OA ，1n u r ⊥OP ，因此11-022111--0222x y x y z ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，取x =1，则1n u r =(1，1，2).又因为1BD =(-1，-1，1)，1QD =(0，-1，1-m ).设平面D 1BQ 的法向量为2n u u r =(x ，y ，z )，则有2n u u r ⊥1BD ，2n u u r ⊥1QD ，因此--0-(1-)0x y z y m z +=⎧⎨+=⎩，，，取z =1，则2n u u r =(m ，1-m ，1).要使平面D 1BQ ∥平面PAO ，需满足1n u r ∥2n u u r ，因此1121-1m m ==，解得m =12，这时Q 1012⎛⎫ ⎪⎝⎭，，.故当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .【变式1-3】如图，正△ABC 的边长为4，CD 为AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B .(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？如果存在，求出BP BC的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）//AB 平面DEF ，理由见解析；（2）13.【解析】（1）AB∥平面DEF，理由如下：在△ABC 中，由E，F 分别是AC，BC 的中点，得EF∥AB.又因为AB ⊄平面DEF，EF ⊂平面DEF，所以AB∥平面DEF.（2）以点D 为坐标原点，直线DB，DC，DA 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(0，，1)，故DE 假设存在点P(x，y，0)满足条件，则AP ＝(x，y，－2)，AP ·DE 20-=，所以y =又BP ＝(x 2-，y，0)，PC ＝(－x，y ，0)，BP ∥PC ，所以(x 2-)(y )＝xy -y +=把y 3=代入上式得4x 3=，所以BP ＝1BC 3，所以在线段BC 上存在点P 使AP⊥DE，此时BP 1BC 3=.【变式1-4】已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AB DC ，90DAB ∠=，PD ⊥底面ABCD ，且22PD DA CD AB ====，M 点为PC 的中点．（1）求证：//BM 平面PAD ；（2）在平面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ．【答案】（1）证明见解析；（2）1,,12N ⎛⎫0 ⎪⎝⎭.【解析】（1）证明：PD ⊥底面ABCD ，//CD AB ，CD AD ⊥．以D 为原点，DA 、DC 、DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，由于22PD CD DA AB ====．所以()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，()002P ,,，()0,1,1M ，易知，平面PAD 的一个法向量为()0,2,0DC =，又()2,0,1BM =-，0DC BM ⋅=，则DC BM ⊥.又BM ⊄平面PAD ，//BM ∴平面PAD ；（2）设(),0,N x z 是平面PAD 内一点，则(),1,1MN x z =--，()0,0,2DP =，()2,1,0DB =，若MN ⊥平面PBD ，则00MN DP MN DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，()210210z x ⎧-=∴⎨-=⎩，即121x z ⎧=⎪⎨⎪=⎩.因此，在平面PAD 内存在点1,,12N ⎛⎫0 ⎪⎝⎭，使MN ⊥平面PBD ．【变式1-5】在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，2AB BC =，60ABC ∠=︒，AC FB ⊥.（1）求证：AC ⊥平面FBC ；（2）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC？证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ,证明见解析【解析】（1）证明：2AB BC =，60ABC ∠=︒，在ABC 中，由余弦定理可得22222cos 603AC AB BC AB BC BC =+-⋅︒=，22224AC BC BC AB ∴+==，90ACB ∴∠=︒.AC BC ∴⊥.又AC FB ⊥，FB BC B ⋂=，AC ∴⊥平面FBC .（2）线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC .证明如下：因为AC ⊥平面FBC ，所以AC FC ⊥.因为CD FC ⊥，所以FC ⊥平面ABCD .所以CA ，CF ，CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系C xyz -.在等腰梯形ABCD 中，可得CB CD =.设1BC =，所以()0,0,0C，)A ，()0,1,0B，1,02D ⎫-⎪⎝⎭，1,122E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.所以1,12CE ⎫=-⎪⎪⎝⎭，)CA =，()0,1,0CB =uur.设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =，则00n CE n CA ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以10220x y z -+=⎪=，取1z =，得()0,2,1n =.假设线段ED 上存在点Q，设()1,0122Q t t ⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1,2CQ t ⎫=-⎪⎪⎝⎭.设平面QBC 的法向量为(),,m a b c =，则00m CB m CQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以0102b b tc =⎧-+=，取1c =，得m ⎛⎫= ⎪⎝⎭.要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0m n ⋅=，即002110⨯+⨯+⨯=，此方程无解.所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC .【变式1-6】在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.（1）求证：EF ⊥CD ；（2）在平面PAD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB ？若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说明理由.【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直.如图以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ,,02a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P (0，0，a )，F ,,222a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,,0DC a =，因为0EF DC ⋅=，所以EF DC ⊥，从而得EF ⊥CD .（2）存在.理由如下：假设存在满足条件的点G ，设G (x ，0，z )，则,,222a a a x z FG ⎛⎫--- ⎪⎝⎭=，若使GF ⊥平面PCB ，则由(),,,0,0()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭，得x ＝2a ；由()2,,0,,022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得z ＝0，所以G 点坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点.题型二垂直中的动点探究问题【例2】如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,//AB AD BC AD ⊥，且2,1AD AB BC ===，侧面PAD 为等边三角形，且垂直于底面ABCD ，E 是PD 的中点，如图，（1）证明：//CE 平面ABP .（2）在棱PC 上是否存在一点M ，使得BM CE ⊥？若存在，请求出CM CP 的值．【答案】（1）证明见解析.；（2）在棱PC 上不存在点M ，使得BM CE ⊥.证明见解析.【解析】（1）连结CE .取PA 的中点F ，连结EF、BF .则EF 是三角形PAD 的中位线.所以EF =1.底面ABCD 是直角梯形，2,1AD AB BC ===.所以EF=BC ，又//BC EF ，所以BCEF 是平行四边形，所以//BF CE .又BF ⊆面PAB ，CE ⊄面PAB ，所以//CE 平面ABP .（2）连结PE .侧面PAD 为等边三角形，则有PE AD ⊥.侧面PAD ⊥底面ABCD ，所以PE ⊥面ABCD .底面ABCD 是直角梯形，,//AB AD AB CE ⊥，所以AB CE ^.设AD 的中点为O ，以O 为原点，OC OD OP 、、分别为x、y、z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0O ，()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，(P ，10,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.所以11,,22CE ⎛=- ⎝⎭，(CP =-，()0,1,0BC =假设棱PC 上存在一点M ，使得BM CE ⊥.设()01CM CP λλ=≤≤，则()CM CP λλ==-，所以()()()0,1,0BM BC CM λλ=+=-=+-.因为BM CE ⊥，所以0BM CE =，即13022λλ++=，解得：[]2015λ=-∉，，故在棱PC 上不存在点M ，使得BM CE ⊥.【变式2-1】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．（1）证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；（2）在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE ．【答案】（1）证明见解析；（2）25AM AE =时，A 1M ⊥平面DAE ．【解析】（1）证明:建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设正方体的棱长为2，则()2,0,0A ，()()()()112,2,1,0,1,0,2,0,2,0,0,2E F A D .设平面AED 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ，则11111111·(,,)(2,0,0)0·(,,)(2,2,1)0n DA x y z n DE x y z ⎧=⋅=⎪⎨=⋅=⎪⎩，即111120220x x y z =⎧⎨++=⎩，令11y =，得()10,1,2n =-.同理可得平面11A FD 的法向量()20,2,1n =.因为120n n ⋅=，所以平面AED ⊥平面11A FD .（2）因为点M 在直线AE 上，设(0,2,1)(0,2,)AM AE λλλλ===，可得()2,2,M λλ，于是1(0,2,2)A M λλ=-，要使1A M ⊥平面DAE ，需1AM AE ⊥，所以1(0,2,2)(0,2,1)520·A M AE λλλ=-⋅=-=，得25λ=.故当25AM AE =时，1A M ⊥平面DAE .【变式2-2】如图，在空间几何体ABCDFE 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，AF AB ⊥，//AF BE ，22BE AF ==.（1）求证：AC ∕∕平面DEF ；（2）已知DF 若在平面DEF 上存在点P ，使得BP ⊥平面DEF ，试确定点P的位置.【答案】（1）证明见解析；（2）P 是线段DE 上靠近E 的三等分点.【解析】（1）证明：连BD 交AC 于O ，取DE 中点K ，连结OK 、KF ，∵AC 、BD 是正方形ABCD 的对角线∴O 为BD 中点，∴12OK BE =且OK BE ∕∕，又因//AF BE ，22BE AF ==，∴AF OK ∕∕且AF OK =，∴四边形AOKF 为平行四边形，∴//AO FK ，又∵AO ⊄平面DEF ，FK ⊂平面DEF ，∴AC ∕∕平面DEF ；（2）在△DAF中，DF ，2AD =，1AF =，所以FA DA ⊥，又因为AF AB ⊥，DA AB A ⋂=，,DA AB ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD .以A 为原点，AD 、AB 、AF 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系（如图），则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()2,2,0C ，()2,0,0D ，()0,2,2E ，()0,0,1F 设DP DE DF λμ=+，因为()2,2,2DE =-，()2,0,1DF =-，又()2,2,0,BD =-，()()2,2,22,0,DP DE DF λμλλλμμ=+=-+-()22,2,2λμλλμ=--+，所以()222,22,2BP BD DP λμλλμ=+=---+，∵00BP DF BP DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()()()()2222202222222220λμλμλμλλμ⎧---++=⎪⎨---+-++=⎪⎩，解得023μλ=⎧⎪⎨=⎪⎩，即23DP DE =，所以P 是线段DE 上靠近E 的三等分点.【变式2-3】如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上（不含端点）.（1）是否存在点E ，使PC ⊥平面BDE ？（2）是否存在点E ，使平面PCD ⊥平面AED？【答案】（1）存在；（2）不存在.【解析】底面ABCD 为正方形，∴AB AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，∴以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,0,0AB a AP c a c ==>>，则(0,0,0),(,0,0),(,,0),(0,,0),(0,0,)A B a C a a D a P c .（1）设,01,(,,0)PE PC BD a a λλ=<<=-，(,,),(,0,)PC a a c PB a c =-=-，(,,)(,0,)(,,)BE PE PB PC PB a a c a c a a a c c λλλλλ=-=-=---=--，设(,,)n x y z =是平面BDE 的法向量，得0,()()0ax ay a a x ay c c z λλλ-+=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，则21,a a y z c cλλ-==-，∴21,1,a a n c c λλ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭是平面BDE 的一个法向量，若PC ⊥平面BDE ，则//PC n ，得21a ca a c cλλ-=--，解得22222c a a c λ+=+，即存在点E 满足22222c a PE PC a c +=+，使得PC ⊥平面BDE .（2）(,,),(,0,0),(0,0,)PC a a c DC a PA c =-==-，设()1111,,x n y z =是平面PCD 的法向量，则1111110,0,n PC ax ay cz n DC ax ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩令1y c =，则110,x z a ==，∴1(0,,)n c a =是平面PCD 的一个法向量，设,01PE PC μμ=<<，则(,,)AE PE PA PC PA a a c c μμμμ=-=-=-，(0,,0)AD a =.设()2222,,n x y z =是平面AED 的法向量，则222222200,n AE ax ay cz cz n AD ay μμμ⎧⋅=++-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令2x c =-，则220,1ay z μμ==-，∴2,0,1a n c μμ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭是平面AED 的一个法向量.平面AED ⊥平面PCD ，∴120n n ⋅=，即201a μμ=-，此方程无解，∴不存在点E ，使12n n ⊥，∴不存在点E ，使平面PCD ⊥平面AED .【变式2-4】如图，已知正方形ABCD 的边长为1，FD ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，1,FD BE M ==为BC 边上的动点．（1）证明：//ME 平面FAD ；（2）试探究点M 的位置，使平面AME ⊥平面AEF．【答案】（1）证明见解析；（2）当M 在BC 的中点时，平面AME ⊥平面AEF .【解析】（1）FD ⊥平面ABCD ，EB ⊥平面ABCD ，则//FD EB ，而FD ⊂平面FAD ，EB ⊄平面FAD ，则//EB 平面FAD ，//AD BC ，同理得//BC 平面FAD ，又BC EB B =I ，,BC EB ⊂平面EBC ，于是得平面//FAD 平面EBC ，而EM ⊂平面EBC ，所以//ME 平面FAD .（2）因FD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，则以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(),(),(),0,0,01,0,00,0,10,1,01,1,0(),(),(11),,1D A F C B E ，设(),11,00,M λλ≤≤，有0,1,11,0,1(),()1,1,0,()AF A A M E λ==-=-，设平面AEF 的法向量为111(,,)n x y z =，平面AEM 的法向量为222(,,)m x y z =，则111100n AE y z n AF z x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11z =，得(1,1,1)n =-，22220(1)0m AE y z m AM x y λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令21x =，得1,1,()1m λλ=--，要平面AME ⊥平面AEF ，当且仅当n m ⊥，因此，1(1)(1)0n m λλ⋅=--+-=，解得12λ=，此时M 为BC 的中点，所以当M 在BC 的中点时，平面AME ⊥平面AEF .题型三空间角中的动点探究问题【例3】如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5．（1）求证：AB ⊥A 1C ；（2）在棱AA 1上是否存在一点F ，使得异面直线AC 1与BF 所成角为60°，若存在，求出AF长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，3.【解析】（1）证明：因为AA 1C 1C 是边长为4的正方形，所以AC ＝4，又AB ＝3，BC ＝5，所以BC ²＝AB ²+AC ²，所以AB ⊥AC ，因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面AA 1C 1C ，因为A 1C ⊂面AA 1C 1C ，所以AB ⊥A 1C ．（2）如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），C 1（4，0，4），B （0，3，0），设F （0，0，a ），则1AC =（4，0，4），BF =（0，﹣3，a ），0＜a ≤4，因为异面直线AC 1与BF 所成角为60°，所以|cos 1AC ＜，BF ＞|1112AC BF AC BF⋅==，解得a ＝3，所以F （0，0，3），则AF ＝3，所以在棱AA 1上存在一点F ，使得异面直线AC 1与BF 所成角为60°，此时AF＝3．【变式3-1】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC =∠90BAD =︒，4AD AP ==，2AB BC ==，M ，N 分别为线段PC ，AD 上的点(不在端点)．当N 为AD中点时，是否存在M ，使得直线MN 与平面PBC所成角的正弦值为，若存在，求出MC的长，若不存在，说明理由．【答案】存在，263MC =【解析】PA ⊥平面ABCD ，∠90BAD =︒，则PA BA DA 、、两两垂直以P 为原点，分别以AB AD AP 、、为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系则(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,4)P ，(0,2,0)N 假设存在存在()M a b c ，，，使得直线MN 与平面PBC，设CM CP λ=，()01λ<<，则()()222,24a b c λ=-,-,--，，解得22a λ=-，22b λ=-，4c λ=，()22224M λλλ∴-，-，，则()2224MN λλλ=-，,-，()020BC =，，，()204BP =-，，，设平面PBC 的法向量(),,x y z =p ，则20240y x z =⎧⎨-+=⎩，取2x =，得()201p =，，，直线MN 与平面PBC，MN p MN p⋅∴⋅uuu r r uuu r r ，整理，得22480λλ=-，解之得13λ=或0λ=（舍），∴存在444(,,)333M 使得直线MN 与平面PBC由224(,,333MC =-，可得3MC =，即3MC =【变式3-2】如图，四边形ABCD 是菱形，ADC 60∠=，平面EAD ⊥平面ABCD ，EA AD ⊥，//EA BF ，2AB AE ==，1BF =．（1）证明：平面EAC ⊥平面EFC ；（2）在棱EC 上是否存在点M 使得平面MBD 与平面ACF若存在，求EMMC的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且4EMMC=【解析】（1）证明：连接BD ，因为平面EAD ⊥平面ABCD ，平面EAD 平面ABCD AD =，EA AD ⊥，EA ⊂平面EAD ，EA ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂Q 平面ABCD ，BD EA ∴⊥，因为四边形ABCD 为菱形，则BD AC ⊥，EA AC A =，BD ∴⊥平面EAC ，设AC BD O ⋂=，取线段CE 的中点N ，连接FN 、ON ，因为四边形ABCD 为菱形，则O 为AC 的中点，所以，//ON AE 且12ON AE =，由已知//BF AE 且12BF AE =，所以，//ON BF 且ON BF =，所以，四边形OBFN 为平行四边形，所以，//FN OB ，则FN ⊥平面EAC ，FN ⊂平面EFC ，故平面EAC ⊥平面EFC .（2）因为EA ⊥平面ABCD ，AC BD ⊥，以点O 为坐标原点，OD 、OC 、A E 的方向分别为x 、y 、z 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0A -、()B 、()0,1,0C 、)D 、()0,1,2E -、()F ，设平面ACF 的法向量为(),,m a b c =，()0,2,0AC =，()AF =，则20m ac b m AF b c ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，取1a =，则(m =，设()()0,2,20,2,2EM EC λλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()()()1,20,2,221,22DM DE EM λλλλ=+=-+-=--，()BD =，设平面MBD 的法向量为(),,n x y z =，则()()021220n BD n Dm y z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-+-=⎪⎩，取22y λ=-，可得()0,22,21n λλ=--，由已知可得339cos ,26m n m n m n⋅<>==⋅，整理可得251480λλ-+=，因为01λ≤≤，解得45λ=.∴在棱EC 上存在点M ，使得平面MBD 与平面ACF 4EM MC =.【变式3-3】如图，ABC 是边长为6的正三角形，点E ，F ，N 分别在边AB ，AC ，BC 上，且4AE AF BN ===，M 为BC 边的中点，AM 交EF 于点O ，沿EF 将三角形AEF 折到DEF 的位置，使DM =（1）证明：平面DEF ⊥平面BEFC ；（2）试探究在线段DM 上是否存在点P ，使二面角P EN B --的大小为60︒？若存在，求出DPPM的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）6DPPM=时二面角P EN B --的大小为60︒【解析】（1）在DOM △中，易得DO =OM =DM =由222DM DO OM =+，得DO OM ⊥，又4AE AF ==，6AB AC ==，//EF BC ∴，又M 为BC 中点，AM BC ∴⊥，DO EF ∴⊥，因为EFOM O =，,EF OM ⊂平面EBCF ，DO ∴⊥平面EBCF ，又DO ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面BEFC ；（2）由（1）DO ⊥平面EBCF ，以O 为原点，以,,OE OM OD 为,,x y z 的正方向建立空间直角坐标系,O xyz-D ，则M ，(2,0,0)E，(N-DM ∴=-，(2,0,ED =-，由（1）得平面ENB 的法向量为=(0,0,1)n →，设平面ENP 的法向量为(,,)m x y z →=，(01)DP DM λλ=≤≤，所以,)DP =-，所以(,)EP ED DP =+=-.由题得,所以(EN →=-，所以302)0m EN x m EP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，所以m →=，因为二面角P —EN —B 的大小为60°，所以122λ=（舍去）或67λ=.此时67DP DM =，所以6DP PM=.题型四距离中的动点探究问题【例4】如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D 是AC 的中点．（1）求平面1DBA 和平面1BAA 夹角的余弦值；（2）在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD理由．【答案】（2）存在，理由见解析．【解析】（1）取11AC 的中点O ，连接1B O ，OD ，则111OB A C ⊥，1//OD AA ，1AA ⊥平面ABC ，OD ∴⊥平面ABC ，1OA ∴，OD ，1OB 两两垂直，如图，以O 为原点，1OA ，OD ，1OB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(1A ，2，0)，(0B，(0D ，2，0)，1(1A ，0，0)，1(1A D =-，2，0)，1(1A B =-，1(0A A =，2，0)，设平面1A BD 的法向量(n x =，y ，)z ，则112020n A D x y n A B x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，取2x =，得(2n =，1，0)，设平面1A AB 的法向量(m a =，b ，)c ，则112020m A A b m A B a b ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1c =，得m =1)，设平面1DBA 和平面1BAA 的夹角为θ，由图知θ为锐角，则cos m n m nθ⋅===⋅，∴平面1DBA 和平面1BAA（2）假设在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD设(0M ，a，(02)a ，则(0BM =，2a -，0)，点M 到平面1A BD，BM n n ⋅==解得4a =（舍)或0a =，∴在线段1B B 上存在点M （端点处），使点M 到平面1A BD．【变式4-1】如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，2PA AD ==，点E 、F 、G 分别为线段PA 、PD 、CD 的中点．在线段CD 上是否存在一点Q ，使得点A 到平面EFQ 的距离恰为45？若存在，求出线段CQ 的长；若不存在，请说明理由．【答案】存在，且线段CQ 的长为23【解析】因为PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,0,1E 、()0,1,1F ，假设存在点(),2,0Q t 满足条件，其中02t ≤≤，()0,1,0EF =，(),2,1EQ t =-，设平面EFQ 的法向量为(),,n x y z =，则020n EF y n EQ tx y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，取1x =，可得()1,0,n t =，()0,0,1AE =，所以，点A 到平面EFQ的距离为45AE n n⋅==，因为02t ≤≤，解得43t =，此时42233CQ =-=.所以在线段CD 上存在一点Q 满足条件，且线段CQ 的长度为23．【变式4-2】图1是直角梯形ABCD ，//AB CD ，90D ∠=，2AB =，3DC =，AD =，2CE ED =，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C的位置，且1AC =2.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED ；（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得1C 到平面PBEP BE A --的大小；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）4π【解析】（1）在图1中取CE 中点F ，连接BF ，AE，2CE ED =，3CD =，2AB =，1CF ∴=，1EF =，2DF AB ==，//DF AB ，90D ∠=，∴四边形ABFD 为矩形，BF CD ∴⊥，2BE BC ∴==，又2CE =，BCE ∴△为等边三角形；又2AE ==，ABE ∴为等边三角形；在图2中，取BE 中点G ，连接1,AG C G，1,C BE ABE 为等边三角形，1C G BE ∴⊥，AG BE ⊥，1C G AG ∴==1AC =22211AG C G AC ∴+=，1C G AG ∴⊥，又AGBE G =，,AG BE ⊂平面ABED ，1C G ∴⊥平面ABED ，1C G ⊂平面1BC E ，∴平面1BC E ⊥平面ABED .（2）以G 为坐标原点，1,,GA GB GC 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,1,0B ，()0,1,0E -，)A，(1C，3,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，1322DC ⎛∴=- ⎝，()0,2,0EB =，(1EC =，设棱1DC 上存在点(),,P x y z 且()101DP DC λλ=≤≤满足题意，即3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：3322x y z λ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪⎪⎩，即33,22P λ⎫-⎪⎪⎝⎭，则31,2222EP λ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PBE 的法向量(),,n a b c =，则33310222220EP n a b c EB n b λλ⎧⎛⎫⎛⎫⋅=-+++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎨⎝⎭⎪⋅==⎩，令2a =，则01b c λλ=⎧⎪-⎨=⎪⎩，12,0,n λλ-⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，1C ∴到平面PBE的距离为162EC n d n⋅===，解得：13λ=，()2,0,2n ∴=，又平面ABE 的一个法向量()0,0,1m =，cos ,m n m n m n⋅∴<>=⋅又二面角P BE A --为锐二面角，∴二面角P BE A --的大小为4π.【变式4-3】在棱长2的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 、F 分别是BC 、CD 的中点．（1）证明：//BD 面1A EF ；（2）求面ABCD 与面1A EF 的所成角余弦值；（3）是否在棱11B C 上存在一点P ，使得三棱锥1P A EF -的体积为1，如果存在，并求出111B P B C的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）17；（3）存在；11112B P B C =【解析】（1）连接BD ，因为E 、F 分别是BC 、CD 的中点，所以EF 是△BCD 的中位线，所以EF ∥BD ，因为EF ⊂平面1A EF ，BD ⊄平面1A EF ，所以//BD 平面1A EF .（2）以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,1,0E ，()1,2,0F ，则()12,1,2A E =-，()11,2,2A F =-，设平面1A EF 的法向量为(),,m x y z =，则1100A E m A F m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩，令1z =，则23x y ==，所以22,,133m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意可知，面ABCD 的法向量为()0,0,1n =，所以()22,,10,0,133cos ,17m n m n m n ⎛⎫⋅ ⎪⋅==⋅，设面ABCD 与面1A EF 的所成角为θ，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以cos cos ,17m n θ==；（3）假设棱11B C 上存在一点()2,,2P λ（02λ≤≤），使得三棱锥1P A EF -的体积为1∵正方体棱长为2，∴EF =AE AF ==∴113A E A F ==，在1A EF 中，由余弦定理得：222111119928cos 22339A E A F EF EA F A E A F +-+-∠===⋅⨯⨯，所以1sin 9EA F ∠==，由面积公式得：111111sin 3322EA F S A E A F EA F =⋅⋅∠=⨯⨯=因为()12,,0A P λ=，由（2）知，平面1A EF 的法向量为22,,133m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以点()2,,2P λ到平面1A EF的距离为1A P m h m ⋅=由于三棱锥1P A EF -的体积为1，则1111332EA F S h ⋅=⨯=，解得：1λ=或5λ=-，因为02λ≤≤，所以1λ=，此时11112B P B C =.。

1.4空间向量的应用（精练）法向量的求法1．（2022·湖北·高二阶段练习）已知平面α内有两点()1,1,2M -，(),3,3N a ，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，则=a （）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】因为()1,1,2M -，(),3,3N a ，所以()1,4,1MN a =-，因为平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，所以n MN ⊥r uuu r ，则()613460n MN a ⋅=--⨯+=，解得2a =，故选：C.2．（2022·全国·高二课时练习）在直三棱柱111ABC A B C -中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是()A ．ABB ．11AC C ．1BCD ．1AA 【答案】D 【解析】如图，∵1CC 、1AA 、1BB 均垂直于平面ABC ，故选项D 中1AA 可以作为平面ABC 的法向量．故选：D ．3．（2022·全国·高二课时练习）已知正方体1111ABCD A B C D -，分别写出对角面11A ACC 和平面1ACB 的一个法向量．【答案】平面11A ACC 的一个法向量为()1,1,0m =，平面1ACB 的一个法向量为()1,1,1n =-；【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则()1,0,0A 、()0,1,0C 、()10,1,1C 、()11,1,1B 、()11,0,1A ，所以()1,1,0AC =-，()10,1,1AB =，()10,0,1AA =，设面11A ACC 的法向量为(),,m x y z =，所以100m AC x y m AA z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，则1y =，0z =，所以()1,1,0m =，即平面11A ACC 的一个法向量为()1,1,0m =，设平面1ACB 的法向量为(),,n a b c =，则100n AC a b n AB b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，则1b =，1c =-，所以()1,1,1n =-，所以平面1ACB 的一个法向量为()1,1,1n =-；4．（2022·全国·高二）已知()1,1,1A ，()0,2,0B ，()2,3,1C ．(1)写出直线BC 的一个方向向量；(2)写出平面ABC 的一个法向量．【答案】(1)()2,1,1BC =；(2)()2,1,3n =--.【解析】(1)因为()0,2,0B ，()2,3,1C ，所以()2,1,1BC =，所以直线BC 的一个方向向量为()2,1,1BC =.(2)因为()1,1,1A ，()0,2,0B ，()2,3,1C ，所以()1,2,0AC =，()2,1,1BC =，设平面ABC 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0n AC n BC ⋅=⋅=，即2020x y x y z +=⎧⎨++=⎩，令1y =-，则2x =，3z =-，所以()2,1,3n =--，所以平面ABC 的一个法向量为()2,1,3n =--.空间向量证平行1．（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量()1,1,2a =-，平面α的一个法向量为()0,2,1n =，则线面的位置关系是（）A ．平行B ．在平面内C ．垂直D ．平行或在平面内【答案】D 【解析】由题可知：()1012210a n ⋅=⨯+-⨯+⨯=，故直线平行或在平面内.故选：D.2．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体ABCD A B C D ''''-中，点E ，F ，G ，H ，M ，N 分别是该正方体六个面的中心，求证：平面EFG ∥平面HMN ．【答案】证明见解析.【解析】由题意知，建立如图空间直角坐标系D xyz -，设正方体的棱长为2，则()()()()()()1,1,01,0,12,1,11,1,21,2,10,1,1E F G H M N ，，，，，，得()()()()0,1,11,1,00,1,11,1,0EF FG HM NM =-==-=，，，，所以////EF HM FG NM ，，即////EF HM FG NM ，，又HM ⊂平面HMN ，NM ⊂平面HMN ，所以//EF 平面HMN ，//FG 平面HMN ，又EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，EF FG F ⋂=，所以平面EFG //平面HMN.3．（2021·全国·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2，M ，N 分别为1A B ，AC 的中点，证明：1MN B C ∥.【答案】证明见解析.【解析】连接1AB ,如图，由正方体知四边形11ABB A 是正方形，且M 是1A B 的中点，所以11AB A B M ⋂=，即M 是1AB 的中点，又N 是AC 的中点，所以1MN B C ∥.4．（2022·全国·高二）如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面相交于AD ，点M ，N分别在对角线BD ，AE 上，且13BM BD =，13AN AE =．求证：//MN 平面CDE ．【答案】证明见解析【解析】证明：因为M 在BD 上，且13BM BD =，所以111333MB DB DA AB ==+．同理1133AN AD DE =+．又CD BA AB ==-，所以MN MB BA AN =++11113333DA AB BA AD DE ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21213333BA DE CD DE =+=+.又CD 与DE 不共线，所以MN ，CD ，DE 共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以//MN 平面CDE ．5．（2022·全国·高二）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别在线段1A B ，11D B 上，且113BM BA =，11113B N B D =，P 为棱11BC 的中点．求证：//MN BP ．【答案】证明见解析【解析】证明：11MN MB BB B N =++．因为113BM BA =，11113B N B D =，所以11111133MN BA BB B D =-++，()()111111111133BB B A BB B A A D =-++++，11111121213333BB A D BB B C =+=+．又因为P 为11B C 中点，所以111111111321322332BP BB B P BB B C BB B C MN ⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭，从而BP 与MN 为共线向量．因为直线MN 与BP 不重合，所以//MN BP ．6．（2021·全国·高二课时练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ．2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，4BC =，点M 为PC 的中点，求证：//DM 平面PAB ．【答案】证明见解析【解析】证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥．又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直．以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示：则()002P ,,，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,4,0C ．因为点M 为PC 的中点，所以()1,2,1 M ，故()1,0,1DM =．又()0,0,2AP =，()2,0,0AB =，所以1122DM AP AP =+．所以DM ，AP ，AB 为共面向量．又DM ⊄平面PAB ，所以//DM 平面PAB ．7．（2022广东）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角.求证：CM ∥平面PAD .【答案】证明见解析.【解析】证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC⊥平面ABCD，所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以∠PBC＝30°.因为PC＝2，所以BC＝3PB＝4，所以D(0,1,0)，B30,0)，A34,0)，P(0,0,2)，M33 () 22，所以DP＝(0，－1,2)，DA＝33,0)，CM＝33 () 22.设n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由DP nDA n⎧⋅=⎨⋅=⎩得202330y zy-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩取y＝2，得x3z＝1，所以n＝(32,1)是平面PAD的一个法向量.因为333201022n CM⋅=⨯+⨯，所以n CM⊥，.又CM⊄平面PAD，所以CM∥平面PAD.8．（2022·吉林）如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C 的中点，利用向量法证明：（1）MN ∥平面CC 1D 1D ；（2）平面MNP ∥平面CC 1D 1D ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，0)，M (1，0，1)，N (1，1，0)，P (1，2，1).由正方体的性质，知AD ⊥平面CC 1D 1D ，所以DA ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量.由于MN ＝(0，1，－1)，则·MN DA ＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以MN ⊥DA .又MN ⊄平面CC 1D 1D ，所以MN ∥平面CC 1D 1D.（2）证明：因为DA ＝(2，0，0)为平面CC 1D 1D 的一个法向量，由于MP ＝(0，2，0)，MN ＝(0，1，－1)，则·0·0MP DA MN DA ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即DA ＝(2，0，0)也是平面MNP 的一个法向量，所以平面MNP ∥平面CC 1D 1D.9．（2021·全国·高二课时练习）四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，1//,2PD QA QA AB PD ==，.求证：//PC 平面BAQ .【答案】证明见解析.【解析】如图所示，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长度，DA 为x 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，可得(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)DA AB AQ ===，则0,0DA AB DA AQ ⋅=⋅=，所以DA 时平面BAQ 的一个法向量，又因为(0,2,1)PC =-，且0DA PC ⋅=，即DA PC ⊥且PC ⊄平面BAQ ，所以//PC 平面BAQ .10．（2022福建）如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，OA ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是边长为2的正方形，且OA ＝2，M ，N 分别为OA ，BC 的中点．求证：直线MN ∥平面OCD ；【答案】证明见解析【解析】分别以AB 、AD 、AO 为x 、y 、z 轴，建立如图坐标系可得B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），O （0，0，2），M （0，0，1），N （2，1，0）∴MN =（2，1，﹣1），DO =（0，﹣2，2），DC =（2，0，0），AB =uu u r （2，0，0），BN =（0，1，0）设平面OCD 的法向量为n =（x ，y ，z ），由00n DO n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020y z x -+=⎧⎨=⎩取y ＝1，得z ＝1，x ＝0，所以平面OCD 的法向量为n =（0，1，1），∴MN •n =2×0+1×1+（﹣1）×1＝0，可得MN ⊥n又∵MN ⊄平面OCD ，∴直线MN ∥平面OCD .11．（2021·青海）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段AC 的中点，点N 是线段1A B 上的点，若//MN 平面11B BCC ，试确定点N 的位置，并说明理由．【答案】点N 是线段1A B 的中点；理由见解析．【解析】设()101BN BA λλ=≤≤，因为//MN 平面11B BCC ，所以存在实数x ，y ，使得1MN xBC yBB =+．①又()()()111122MN BN BM BA BC BA BB BA BC BA λλ=-=-+=+-+11122BC BB BA λλ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-++-，②比较①②，可知102λ-=，即12λ=，即点N 是线段1A B 的中点．空间向量证垂直1．（2022·江苏·滨海县五汛中学高二期中）已知平面α的法向量为(342)n =-，，，(342)AB =--，，，则直线AB 与平面α的位置关系为（）A ．AB α∥B ．AB α⊥C ．AB α⊂D ．AB α⊂或AB α∥【答案】B【解析】因为AB n =-，即(342)n =-，，与(342)AB =--，，平行，所以直线AB 与平面α垂直.故选：B2．（2022·福建泉州）在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是111A A C D ，，11A D 的中点，则（）A ．//AC 平面EFGB ．1//AC 平面EFG C ．1B C ⊥平面EFGD ．BD ⊥平面EFG【答案】A【解析】取1CC 、BC 、AB 的中点分别记为H 、I 、J ，连接FH 、HI 、IJ 、EJ ，根据正方体的性质可得面EFG 即为平面EGFHIJ ，对于A ：如图1，//AC IJ ，AC ⊄平面EFG ，IJ ⊂平面EFG ，所以//AC 平面EFG ，故A 正确；对于B ：如图2，在平面11A D CB 中，1A C GI K =，则1A C平面EFG K =，所以B 错误；对于C 、D ：如图3，1B D ⊥平面EGFHIJ ，因为过平面EGFHIJ 外一点作1B （D ）仅能作一条垂线垂直该平面，故C 、D 错误；其中1B D ⊥平面EGFHIJ 可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,2,0D ，()12,0,2B ，()0,0,1E ，()0,1,2G ，()1,2,2F ，所以()12,2,2DB =-，()0,1,1EG =，()1,2,1EF =，所以10DB EG ⋅=，()12122210DB EF ⋅=⨯+⨯-+⨯=，即1DB EG ⊥，1DB EF ⊥，又EGEF E =，,EG EF ⊂平面EFG ，所以1B D ⊥平面EFG ；故选：A3．（2022·江苏·连云港高中高二期中）（多选）给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．若直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭r b ，则l 与m 垂直B ．若直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--r，则l α⊥C ．若平面α，β的法向量分别为()10,1,3=u r n ，()21,0,2=u u rn ，则αβ⊥D ．若存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面【答案】AD【解析】对于A ：因为直线l 的方向向量()1,1,2a =-，直线m 的方向向量12,1,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭r b ，且()12,1,21101,1,22a b ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭⋅=-⋅，所以a b ⊥，所以l 与m 垂直.故A 正确；对于B ：因为直线l 的方向向量()0,1,1a =-，平面α的法向量()1,1,1n =--r，且a n λ≠，所以l α⊥不成立.故B 不正确；对于C ：因为平面α，β的法向量分别为()10,1,3=u r n ，()21,0,2=u u rn ，且2100660n n =++≠⋅=，所以12,n n 不垂直，所以αβ⊥不成立.故C 不正确；对于D ：若,MA MB 不共线，则可以取,MA MB 为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 则点,,,P M A B 共面；若,MA MB 共线，则存在实数,,x y 使,=+MP xMA yMB 所以,,,P M A B 共线，则点,,,P M A B 共面也成立.综上所述：点,,,P M A B 共面.故D 正确.故选：AD4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）给定下列命题，其中正确的命题是（）A ．若1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥B ．若1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，则120n n αβ⇔⋅=∥C ．若n 是平面α的法向量，且向量a 是平面α内的直线l 的方向向量，则0a n ⋅=D ．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直【答案】ACD【解析】对A ，若1n u r ，2n u u r分别是平面α，β的法向量，则12n n αβ⇔∥∥，故A 正确B 错误；对C ，若n 是平面α的法向量，则n 与平面α的任意直线的方向向量均垂直，所以0a n ⋅=，故C 正确；对D ，若两个平面垂直时，它们的法向量垂直是真命题，所以它的逆否命题“若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直”也是真命题，故D 正确.故选：ACD.5．（2022·江苏·泗阳县实验高级中学高二阶段练习）（多选）已知12,v v 分别为直线的12,l l 方向向量（12,l l 不重合），12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），则下列说法中，正确的是（）A ．1212//v v l l ⇔⊥B ．1212v v l l ⊥⇔⊥C ．12//n n αβ⇔⊥D ．12n n αβ⊥⇔⊥【答案】BD【解析】因为1v ，2v 分别为直线1l ，2l 的方向向量1(l ，2l 不重合），则1212////v v l l ⇔，故选项A 错误；则1212v v l l ⊥⇔⊥，故选项B 正确；因为1n u r ，2n u u r分别为平面α，β的法向量(α，β不重合），则12////n n αβ⇔，故选项C 错误；则12n n αβ⊥⇔⊥，故选项D 正确．故选：BD ．6．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高二阶段练习）（多选）已知直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，则能使l α⊥的是（）A ．(1,2,1),(1,0,1)m n ==B ．(0,1,0),(0,3,0)m n ==C ．11(1,2,1),,1,22m n ⎛⎫=-=-- ⎝⎭D ．(1,2,3),(2,2,2)m n =-=-【答案】BC【解析】因为直线l 的方向向量为m ，平面α的法向量为n ，要使l α⊥，只需m ∥n .对于A ：(1,2,1),(1,0,1)m n ==.因为101121≠≠，所以m 、n 不平行.故A 错误；对于B ：(0,1,0),(0,3,0)m n ==.因为13n m =，所以m ∥n .故B 正确；对于C ：11(1,2,1),,1,22m n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭.因为2n m =-，所以m ∥n .故C 正确；对于D ：(1,2,3),(2,2,2)m n =-=-.因为123222-≠≠-，所以m 、n 不平行.故D 错误；故选：BC.7．（2022·全国·高二课时练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1CD 和1DC 相交于点O ，求证：1AO A B ⊥．【答案】证明见解析【解析】证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()2,0,0A 、()0,1,1O 、()12,0,2A 、()2,2,0B ，所以()2,1,1AO =-，()10,2,2A B =-，所以()12012120AO A B ⋅=-⨯+⨯+⨯-=，所以1AO A B ⊥，即1AO A B⊥8．（2022西安）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PA ＝AD ＝2，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．求证：平面MND ⊥平面PCD ；【答案】证明见解析【解析】∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，∴AB 、AD 、AP 两两互相垂直，如图所示，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），M （1，0，0），N （1，1，1），∴MN =（0，1，1），ND =（﹣1，1，﹣1），PD =（0，2，﹣2）设m =（x ，y ，z ）是平面MND 的一个法向量，可得00m MN y z m ND x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取y ＝﹣1，得x ＝﹣2，z ＝1，∴m =（﹣2，﹣1，1）是平面MND 的一个法向量，同理可得n =（0，1，1）是平面PCD 的一个法向量，∵m •n =-2×0+（﹣1）×1+1×1＝0，∴m n ⊥，即平面MND 的法向量与平面PCD 的法向量互相垂直，可得平面MND ⊥平面PCD .9．（2022·北京）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，113AB AA a ==，E ，F 分别是1BB ，1CC 上的点，且BE a =，2CF a =，求证：平面AEF ⊥平面ACF ．【答案】证明见解析.【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，不妨设2a =，则()0,0,0A ，)3,1,2E ，()0,2,4F ，∴)3,1,2AE =，()0,2,4AF =．∵x 轴⊥平面ACF ，∴可取平面ACF 的一个法向量为()1,0,0m =．设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则320240n AE x y z n AF y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得()0,2,1n =-为平面AEF 的一个法向量．∵0m n ⋅=，∴m n ⊥，∴平面AEF ⊥平面ACF ．10．（2022·全国·专题练习）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1上的动点．（1）求证：A 1E ⊥BD ；（2）若平面A 1BD ⊥平面EBD ，试确定E 点的位置．【答案】（1）证明见解析；（2）E 为CC 1的中点.【解析】以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体的棱长为a ，则A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )．设E (0，a ，e )(0≤e ≤a )．（1）1A E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a ，0)，1A E BD →→⋅＝a 2－a 2＋(e －a )·0＝0，∴1A E BD →→⊥，即A 1E ⊥BD ；（2）设平面A 1BD ，平面EBD 的法向量分别为1n →＝(x 1，y 1，z 1)，2n →＝(x 2，y 2，z 2)．∵DB →＝(a ，a ，0)，1DA →＝(a ，0，a )，DE →＝(0，a ，e )∴10n DB →→⋅=，110n DA →→⋅=，20n DB →→⋅=，10n DE →→⋅=.∴11110,0,ax ay ax az +=⎧⎨+=⎩,22220,0.ax ay ay ez +=⎧⎨+=⎩取x 1＝x 2＝1，得1n →＝(1，－1，－1)，2n →＝(1，－1，a e)．由平面A 1BD ⊥平面EBD 得1n →⊥2n →.∴2－a e＝0，即e ＝2a .∴当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .11．（2022·全国·高二专题练习）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒2PA AB BC ===，E 是PC的中点．求证：（1）CD AE ⊥；（2）PD ⊥平面ABE ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】方法一（1）以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B，()C，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()002P ,,，12E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1,3CD ⎛⎫⎪⎝⎭=-，1,122AE ⎛⎫ ⎪⎭=⎝，所以110102CD AE ⋅=-⨯++⨯=，所以CD AE ⊥．（2）由（1），得2PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()2,0,0AB =，12AE ⎛⎫ ⎪⎭=⎝．设向量(),,n x y z =是平面ABE 的法向量，则00n AB n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即201023x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取2y =，则(0,2,n =，所以3PD =，所以//PD n uu u r r，所以PD ⊥平面ABE ．方法二（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥．又AC CD ⊥，PA AC A =，∴CD ⊥平面PAC ．∵AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥．（2）∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A ⋂=，∴AB ⊥平面PAD ，∴AB PD ⊥．由题可得2PA AC ==，由E 是PC 的中点，∴AE PC ⊥．又CD AE ⊥，PCCD C =，∴AE ⊥平面PCD ，∴AE PD ⊥．∵AB PD ⊥，AE PD ⊥，AB AE A =，∴PD ⊥平面ABE ．12．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，已知ADB △和ADC 都是以D 为直角顶点的直角三角形，且AD BD CD ==，60BAC ∠=．求证：BD ⊥平面ADC ．【答案】证明见解析【解析】不妨设1AD BD CD ===，则2AB AC ==，由空间向量数量积的定义可得cos 601AB AC AB AC ⋅=⋅=，因为1AD CD ==且45CAD ∠=，所以，cos 451AD AC AD AC ⋅=⋅=，所以，()110BD AC AD AB AC AC AD AB AC ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=，BD AC ∴⊥，又因为BD AD ⊥，ACAD A =，因此，BD ⊥平面ACD .空间向量求空间角1．（2022·贵州·遵义市第五中学）在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A 3B 3C ．63D ．66【答案】B【解析】以点P 为坐标原点，以PA ，PB ，PC 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，令2PA =，则()0,0,0P ，()0,2,0B ，()1,0,0M ，()1,1,0N ，则(1,1,0)PN =，(1,2,1)BM =-，设异面直线PN 和BM 所成角为θ，则||3cos 6||||PN BM PN BM θ⋅==.故选：B.2．（2022·青海·海东市第一中学如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11222A C AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)64【解析】(1)设2AB =．在四边形11AA B B 中，∵12AA AB =，160BAA ∠=︒，连接1A B ，∴由余弦定理得2221112cos6012A B AA AB AA AB =+-⋅︒=，即13A B =∵22211A B AB AA +=，∴1A B AB ⊥．又∵22211A B BC A C +=，∴1A B BC ⊥，AB BC B ⋂=，∴1A B ⊥平面ABC ，∵1A B ⊂平面11AA B B ，∴平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)取AB 中点D ，连接CD ，∵AC BC =，∴CD AB ⊥，由（1）易知CD ⊥平面11AA B B ，且3CD =如图，以B 为原点，分别以射线BA ，1BA 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系B -xyz ，则(2,0,0)A ，13,0)A ，3)C ，1(2,23,0)B -，1(1,23,3)C -，3,3)P ．11(2,0,0)A B =-，1(0,3,3)A P =-，设平面11PA B 的法向量为(,,)n x y z =，则11100n A B n A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得20330x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1y =，则取(0,1,1)n =，(3)AC =-uuu r ，||36cos ,||||22AC n AC n AC n ⋅〈〉===AC 与平面11PA B 63．（2022·广西）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)1113【解析】(1)证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC(2)解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，43AB =所以12AC =，所以()23,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以333,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()43,0,0AB =，()0,12,0AC =，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z =，则33302430n AE y z n AB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c =，则33302120m AE b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令3a =6c =-，0b =，所以)3,0,6m =-；所以cos ,n m n m n m⋅===设二面角C AE B --为θ，由图可知二面角C AE B --为钝二面角，所以cos θ=11sin 13θ==故二面角C AE B --的正弦值为1113；4．（2022·江苏南京·高二期末）如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为正三角形，D 为棱AC 的中点，1A D ⊥平面ABC ．(1)证明：BD ⊥平面11ACC A ；(2)若12AA AB ==，求直线1AB 与平面1BB C 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析【解析】(1)在正ABC 中，因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC 所以1BD A D⊥因为1AC A D D ⋂=，AC ，1A D 均在平面11ACC A 内，所以BD ⊥平面11ACC A (2)因为1A D ⊥平面ABC ．所以1A D DC ⊥，1A D DB ⊥．即1DA ，DC ，DB 两两相互垂直．以{}1,,DB DC DA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．因为12AB AC AA ===，所以点()0,1,0A -，)B ，()0,1,0C，(1A所以(1AA =，)AB =，()BC =从而11AB AA AB =+=，(11BB AA ==设平面1BB C 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n BC ⋅=uu u rr ，10n BB ⋅=即00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令y =则()1n =-记直线1AB 与平面1BB C 所成角为θ．则111sin cos ,5AB n AB n AB nθ⋅=<>==⨯，所以，直线1AB 与平面1BB C．5．（2022·内蒙古）如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC上的动点．(1)证明：平面MND ⊥平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)点N 在线段BC 的中点【解析】(1)证明：因为PD ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以PD BC ⊥，因为CD BC ⊥，CDPD D =，所以BC ⊥平面PCD ，因为DM ⊂平面PCD ，所以BC DM ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，PD AD =，所以PD CD =，因为在PDC △中，PD CD =，M 为线段PC 的中点，所以DM PC ⊥，因为PC BC C ⋂=，所以DM ⊥平面PBC ，因为DM ⊂平面DMN ，所以平面MND ⊥平面PBC ，(2)当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，理由如下：因为PD ⊥底面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为DA DC ⊥，所以,,DA DC DP 两两垂直，所以以D 为原点，以,,DA DC DP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设1PD AD ==，则11(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),(0,1,0),0,,22D A B P C M ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,1,0)(01)N λλ<<，则11(1,0,1),(0,1,0),(,1,0),0,,22AP AB DN DM λ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，设(,,)m x y z =为平面PAB 的法向量，则m AP x z m AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩，令1x =，则=(1,0,1)m u r ，设(,,)n a b c =为平面MND 的法向量，则011022n DN a b n DM b c λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1a =，则(1,,)n λλ=-，因为平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°，所以cos ,2m n m n m n⋅===，化简得24410λλ-+=，得12λ=，所以当点N 在线段BC 的中点时，平面MND 与平面PAB 所成锐二面角的大小为30°6．（2022·四川·成都七中）如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --余弦值的绝对值为1010？若存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明见解析(2)3010(3)Q 存在且Q 为线段PA 的中点【解析】(1)在翻折过程中总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明如下：∵点M ，N 分别是边CD ，CB 的中点，又60DAB ∠=︒，∴BD MN ∥，且PMN 是等边三角形，∵G 是MN 的中点，∴MN PG ⊥，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴MN AC ⊥，∵AC PG G ⋂=，AC ⊂平面PAG ，PG ⊂平面PAG ，∴MN ⊥平面PAG ，∴BD ⊥平面PAG ，∵BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAG ．(2)由题意知，四边形MNDB 为等腰梯形，且4DB =，2MN =，1O G =，所以等腰梯形MNDB 的面积()242S +==要使得四棱锥P MNDB -体积最大，只要点P 到平面MNDB 的距离最大即可，∴当PG ⊥平面MNDB 时，点P 到平面MNDB此时四棱锥P MNDB -体积的最大值为133V =⨯=，直线PB 和平面MNDB 所成角的为PBG ∠，连接BG ，在直角三角形PBG 中，PG =BG =由勾股定理得：PB ==sin10PG PBG PB ∠==．(3)假设符合题意的点Q 存在．以G 为坐标原点，GA ，GM ，GP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则()A ，()0,1,0M ，()0,1,0N -，(P ，由（2）知，AG PG ⊥，又AG MN ⊥，且MN PG G ⋂=，MN ⊂平面PMN ，PG ⊂平面PMN ，AG ⊥平面PMN ，故平面PMN 的一个法向量为()11,0,0n =u r，设AQ AP λ=（01λ≤≤），∵()33,0,3AP =-，()33,0,3AQ λλ=-，故()()331,0,3λλ-，∴()0,2,0NM =，()()331,1,3QM λλ=--，平面QMN 的一个法向量为()2222,,n x y z =，则20n NM ⋅=，20n QM ⋅=，即()222220,33130,y x y z λλ=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令21z =，所以()220,31y x λλ=⎧⎪⎨=⎪-⎩()()()()211,0,1,0,313131n λλλλ⎛⎫==- ⎪ ⎪--⎝⎭，则平面QMN 的一个法向量()(),0,31n λλ=-，设二面角Q MN P --的平面角为θ，则()122110cos 1091n n n n λθλλ⋅===+-，解得：12λ=，故符合题意的点Q 存在且Q 为线段PA 的中点．空间向量求距离1．（2022·青海）如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC ⊥BCDE ，平面ACD ⊥平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．【答案】(1)证明见解析3【解析】(1)延长EG 交AB 于N ，连接NC ,因为G 为△ABE 的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EGGN=,因为//CM BE ,故CMF EBF ∽,所以2EF BECF CM==,故EF EGCF GN=，故//GF NC ,而NC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC,故//GF 平面ABC ；(2)由题意知，平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC平面BCDE=BC ，DC BC ⊥,DC ⊂平面BCDE ，故DC ⊥平面ABC,AC ⊂平面ABC,则DC AC ⊥,同理BC AC ⊥，又,,BCDC C BC DC =⊂平面BCDE,所以AC ⊥平面BCDE ，以C 为原点，以CB,CD,CA 所在直线分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t >，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ===-=,设平面GCE 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m CG m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11111220360x y tz x y ++=⎧⎨+=⎩，取11y =，则112,,2,z x t ==-即2(2,1,)m t=-，设平面ADE 的法向量为222(,,)n x y z =，则00n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22263030y tz x -=⎧⎨=⎩，取22z =，则2y t =，则(0,,2)n t =，所以4||||1cos 602||||t m n t m n ︒+⋅==⋅，解得212,t t ==，又(2,4,DG =-，故点G 到平面ADE的距离为||4||DG n d n ⋅===.2（2022·上海交大附中）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，其中13AB AA ==，．(1)若点P 是棱1AA 上的动点，求三棱锥1B PBC -的体积．(2)求点1D 到平面1ACB 的距离【答案】(1)【解析】(1)实际上需求三棱锥1P B BC -的体积．由正四棱柱，1113,3BB AA BC AB A B AB ======角形1B BC的面积为1111322B BC S BC BB =⋅⋅=⨯⨯=△因为P 是棱1AA 上的动点且1AA 与平面11BCC B 平行，则只需写出1AA 与平面11BCC B 间的距由于1A B ⊥平面11BCC B ，不妨记三棱锥的高为1A B则三棱锥1P B BC -的体积11111333P B BC B BC V S A B -=⋅⋅=⨯=△(2)以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则11(3,0,0),(0,3,0),A B C D可知111(3,3,0),(3,3,0),D B CA CB ==-=设平面1ACB 的法向量为(,,)n x y z =则13300030y xx y n CA n CB x z ⎧⎧=⎧-=⋅=⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⋅=+==⎪⎪⎪⎩⎩⎩不妨设(2,2,n =，同时设点1D 到平面1ACB 的距离为d则11||n D B d n ⋅=故点1D 到平面1ACB3．（2022·北京）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，D 为AB中点，且1A D =(1)求证：CD ⊥平面11ABB A ；(2)若点P 在线段1B C 上，且直线AP 与平面1A CD求点P 到平面1A CD【答案】(1)证明见解析【解析】(1)证明：由题知112,1,AA AD A D ===，因为222115AD A A A D +==，所以1⊥A A AD ，又111,B B BC B B A A ⊥∥，所以1A A BC ⊥，又ADBC B =，所以1A A ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，所以1CD AA ⊥，在正三角形ABC 中，D 为AB 中点，于是CD AB ⊥，又1AB AA A ⋂=，所以CD ⊥平面11ABB A (2)取BC 中点为11,O B C 中点为Q ，则,OA BC OQ BC ⊥⊥，由（1）知1A A ⊥平面ABC ，且OA ⊂平面ABC ，所以1OA AA ⊥，又11B B A A ∥，所以11,OA BB BB BC B ⊥⋂=，所以OA ⊥平面11BCC B ，于是,,OA OB OQ 两两垂直如图，以O 为坐标原点，,,OB OQ OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系则()((()()1110,0,0,,0,,1,0,0,,1,2,02O A A C D B ⎛- ⎝⎭所以(()(113,1,2,,2,2,0,1,0,2CD CA CB AC ⎛====-- ⎝⎭设平面1A CD 的法向量为(),,n x y z =r，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220x z x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，则1z y ==于是(1,1,n =设()[]12,2,0,0,1CP CB λλλλ==∈，则(121,2,AP AC CP CB λλλ=+==-由于直线AP 与平面1A CD于是25cos ,5AP n ==，即21λ+=，整理得24830λλ-+=，由于[]0,1λ∈，所以12λ=于是()11,1,0CP CB λ==设点P 到平面1A CD 的距离为d 则11255113CP n d n⋅+===++所以点P 到平面1A CD 的距离为2554．（2022·北京市第五中学三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面ABC ⊥平面11CC B B ，11CC B B 是矩形，已知132CC AC BC AC BC =⊥==，，，动点D 在棱1AA 上，点E 在棱1CC 上，且12CE EC =.(1)求证：BC ED ⊥;(2)若直线AB 与平面1DEB 31A D DA 的值;(3)在满足（2）的条件下，求点1A 到平面1DEB 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2)1=2A D DA ；(3)点1A 到平面1DEB 的距离为263.【解析】(1)因为四边形11CC B B 是矩形，所以1BC CC ⊥，又AC BC ⊥，1AC CC C =，1,AC CC ⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，又ED ⊂平面11ACC A ，所以BC ED ⊥，(2)因为平面ABC ⊥平面11CC B B ，平面ABC平面11CC B B BC =，AC ⊂平面ABC ，AC BC ⊥，所以AC ⊥平面11CC B B ，又1BC CC ⊥，所以1,,AC BC CC 两两相互垂直，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(0,2,3)B ，(0,0,2)E ,设1(01)ADAA λλ=≤≤，则(2,0,3)D λ，所以1(0,2,1)EB =，(2,0,32)ED λ=-，=(2,2,0)AB -设平面1DEB 的法向量为n ，=(,,)n x y z ，则100n EB n ED ⎧⋅=⎨⋅=⎩，202(32)0y z x z λ+=⎧⎨+-=⎩，取2z =，可得=(23,1,2)n λ--，设直线AB 与平面1DEB 的夹角为θ，则sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅===3，化简可得231030λλ-+=，又01λ≤≤，所以1=3λ，所以1=2A D DA；(3)由(2)平面1DEB 的法向量为n ，=(1,1,2)n -，又1(0,0,2)A D =-，设点1A 到平面1DEB 的距离为d ，则1263A D n d n⋅===.所以点1A 到平面1DEB 5．（2022·天津·耀华中学二模）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，4PA =，122AB AD BC ===，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =.(1)求证：DE ⊥平面PAC ；(2)求二面角A PC D --的余弦值；(3)求点E 到平面PCD 的距离.【答案】(1)证明过程见解析；；(3)2.【解析】(1)因为PA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，而AB AD ⊥，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,4),(2,0,0),(2,4,0),(0,2,0),(2,1,0)P B C D E ，(2,1,0)DE =-，(0,0,4)AP =，(2,4,0)AC =，因为20(1)0040,22(1)4000DE AP DE AC ⋅=⨯+-⨯+⨯=⋅=⨯+-⨯+⨯=，所以,DE PA DE AC ⊥⊥，而,PA AC ⊂平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC ；(2)设平面PDC 的法向量为(,,)m x y z =，(2,4,4),(0,2,4)PC PD =-=-，则有24400(2,2,1)2400x y z m PC m PC m y z m PD m PD ⎧⎧+-=⎧⊥⋅=⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨-=⊥⋅=⎩⎩⎩，由（1）可知平面PAC 的法向量为(2,1,0)DE =-，所以有222225cos ,5(2)212(1)m DE m DE m DE⋅〈〉===-⋅-++⨯+-，由图知二面角A PC D --为锐角，所以二面角A PC D --的余25；(3)由（2）可知：平面PDC 的法向量为(2,2,1)m =-，(2,1,4)PE =-，所以可得：222222222141cos ,21(2)2121(4)PE m PE m PE m⋅-⨯+⨯-⨯〈〉===⋅-++⨯++-所以点E 到平面PCD 的距离为2222cos ,21(4)221PE PE m ⋅〈〉++-=.6．（2022·山东临沂）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，过1AB E 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱1CC上的动点．(1)点H 在棱BC 上，当14CH CB =时，//FH 平面1AEB ，试确定动点F 在棱1CC 上的位置，并说明理由；(2)若2AB =，求点D 到平面AEF 的最大距离．【答案】(1)F 为1CC 中点，证明见解析(2)263【解析】(1)设平面11BCC B 与平面1AEB 的交线为l ，因为FH ∥平面1AEB ，平面11BCC B 平面1AEB l =，FH ⊂平面11BCC B 所以//FH l .由正方体1111ABCD A B C D -知，平面1ADD E ∥平面11BCC B ，又因为平面1ADD E平面1AEB AE =，平面11BCC B 平面1AEB l =，所以//AE l ，所以AE FH∥取BC 中点G ，连接1C G ，易知1AE GC ∥，所以1GC FH ∥，又因为H 为CG 中点，所以F 为1CC 中点.(2)以点D 为原点，1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有()()()()0,0,0,2,0,0,1,0,2,0,2,D A E F t ，其中[]0,2t ∈()()()1,0,2,2,2,,2,0,0AE AF t DA =-=-=设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =则有2002200x z n AE x y tz n AF ⎧-+=⎧⋅=⇒⎨⎨-++=⋅=⎩⎩，不妨取2x =，则2,2,12t n ⎛⎫=-⎪⎝⎭所以D AEFAD n dn-⋅=2t =，即点F 与点1C 重合时，取等..所以点D到平面AEF的最大距离为3。

1.4空间向量的应用（精讲）考点一直线的方向向量【例1-1】（2023春·江西）若)1,0(,2P -，()3,1,1Q 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（）A ．()1,2,3B ．()1,3,2C ．()2,1,3D ．()3,2,1【答案】C 【解析】依题意，直线l 的一个方向向量为3111( )( )( 0 21)23PQ -=-= ，，，，，，，其他三个均不合要求.故选：C ．【例1-2】（2022秋·高二单元测试）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，且直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，则a b +=（）A ．0B ．1C ．32D ．3【答案】D 【解析】因为直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，所以()1,2,3AB a b =--- ，又直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，所以//AB m ，所以AB m λ= ，所以()()1,2,32,,3a b λλλ---=-，所以21233a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得123232a b λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以3a b +=.故选：D 【一隅三反】1．（2023春·江苏常州·高二校联考期中）已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，且直线l 过A (0，y ，3)和B (－1，2，z )两点，则y －z 等于（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】由题知：()1,2,3AB y z =--- ，因为//m AB ，所以213123y z -==---，解得33,22y z ==，所以0y z -=.故选：A2（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知点()1,1,2M ---，()2,2,1N 都在直线l 上，写出一个直线l 的方向向量：a = .【答案】()3,3,3(答案不唯一)【解析】()3,3,3MN = ，因为点()1,1,2M ---，()2,2,1N 都在直线l 上，所以()()3,3,3R,0tMN t t t =∈≠ 都是直线l 的方向向量，则可取()3,3,3a = .故答案为：()3,3,3.3．（2022·高二课时练习）若向量(,2,1)a x =- ，(1,,2)b y =- 都是直线l 的方向向量，则x y +=．【答案】92-/ 4.5-【解析】因为a ，b 都是直线l 的方向向量，所以//a b ．因此2112x y -==-，解得142x y =-=-，，所以92x y +=-．故答案为：92-.考点二平面的法向量【例2-1】（2023广东湛江）已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A ．()1,1,1-B ．()1,1,1-C ．()1,1,1D ．()1,1,1-【答案】C【解析】因为()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1A B C ，所以()()1,1,0,1,0,1AB AC =-=- ，设平面ABC 的一个单位法向量为(),,n x y z = ，则00AB n x y AC n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，可得x y z ==，经检验，仅()1,1,1符合题意．故选：C ．【例2-2】（2022·高二课时练习）四边形ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠= ，SA ⊥平面ABCD ，2SA AB BC ===，1AD =，建立适当的空间直角坐标系，并求平面SAB 和平面SCD的法向量．【答案】作图见解析，(1,0,0)AD = 是平面SAB 的一个法向量，(2,1,1)n =- 是平面SCD 的一个法向量．【解析】因为，SA ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，所以,SA A S B A A D⊥⊥又90ABC ∠= ，//AD BC ，所以AB AD⊥所以以A 为原点，以AD ，AB ，AS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(1,0,0),(2,2,0),(0,0,2)A D C S ，所以(1,0,0)AD = 是平面SAB 的一个法向量．因为(2,2,2)SC =- ，(1,0,2)SD =- 设平面SCD 的一个法向量(,,)n x y z = ，则22202220n SC x y z x y x z n SD x z ⎧⋅=+-==-⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=-=⎩⎪⎩，取1z =，得2,1x y ==-，所以(2,1,1)n =- 是平面SCD 的一个法向量．【一隅三反】1．（2023云南）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ＝AP ＝1，ADPCD 的一个法向量.【答案】(01,【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A －xyz ，则P (0，0，1)，C (10)，所以PC ＝(11)即为直线PC 的一个方向向量.设平面PCD 的一个法向量为n＝(x ，y ，z ).因为D (00)，所以PD ＝(01).则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即00x z z ⎧-=⎪-=令y ＝1，则z0x =，则(n = 所以平面PCD的一个法向量为(n = .2．（2023春·高二课时练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，6AD =，13AA =，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：(1)平面ABCD ；(2)平面11ACC A ；(3)平面1ACD ．【答案】(1)1(0,0,3)DD = (2)(1,3,0)m = (3)(1,3,2)n = 【解析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(6,0,0),(0,2,0),(0,0,3),(6,0,3),(0,2,3)D A C D A C ，所以1(0,0,3)DD = ，因为1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD为平面ABCD 的一个法向量，所以平面ABCD 的一个法向量为1(0,0,3)DD = ，（2）设平面11ACC A 的法向量为(,,)m x y z = ，因为1(6,2,0),(0,0,3)AC AA =-= ，所以162030m AC x y m AA z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令1x =，则(1,3,0)m = ，所以平面11ACC A 的一个法向量为(1,3,0)m = ，（3）设平面1ACD 的法向量为(,,)n a b c =，因为1(6,2,0),(6,0,3)AC AD =-=- ，所以1620630n AC a b n AD a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，则(1,3,2)n = 所以平面1ACD 的一个法向量为(1,3,2)n = 3．（2023山东）如图，四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，PD ＝AD ＝DC ，底面ABCD 为正方形，E为PC 的中点，点F 在PB 上，问点F 在何位置时，PB 为平面DEF 的一个法向量?【答案】F 为线段PB 的一个三等分点（靠近P 点）．【解析】以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，设DA ＝2，则0,0,0,0,0,2,0,2),()(),001,1,2,,(),()2(0D P C E B ，∴(2,2,2)PB =- ，(0,1,1)DE = ,∵()2021210PB DE ⋅=⨯+⨯+-⨯= ，∴PB DE ⊥ ，设(,,)F x y z ，PF PB λ= ，∴(,,2)(2,2,2)x y z λ-=-，∴2222x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，，，∴(2,2,22)F λλλ-，∴2,2,22.()DF λλλ=- ∵PB DF ⋅ ＝0，∴()442220λλλ+--=，∴13λ=，∴F 为线段PB 的一个三等分点(靠近P 点)．考点三空间向量证平行【例3-1】（2023·北京）（多选）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（）A ．若两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，则12//l l B ．若直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=- ，则l //αC ．若两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =- ，则//αβD ．若平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，则1u t +=【答案】ACD【解析】因为两条不重合直线1l ，2l 的方向向量分别是()2,3,1a =- ，()2,3,1b =-- ，所以a b =- ，所以,a b 共线，又直线1l ，2l 不重合，所以12//l l ，故A 正确；因为直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0μ=- 且53a μ=- ，所以l α⊥，故B 不正确；两个不同平面α，β的法向量分别为()12,1,0n =- ，()24,2,0n =- ，则有212n n =- ，所以//αβ，故C 正确；平面α经过三点()1,0,1A -，()0,1,0B ，()1,2,0C -，所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --== 又向量()11,,n u t = 是平面α的法向量，所以1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩ 则1u t +=，故D 正确，故选：ACD.【例3-2】（2023·上海）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，线段AD 的中点为O 且PO ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，π2BAD ABC ∠==∠，E 是PD 的中点．证明：//CE 平面PAB.【答案】证明见解析【解析】】因为在底面ABCD 内，π2BAD ABC ∠==∠，所以//BC AD ，连接OC ，因为O 为AD 的中点，12BC AD =，所以BC AO =，所以四边形ABCO 是平行四边形，所以OC //AB ，又因为π2BAD ∠=，所以OC AD ⊥，因为PO ⊥底面ABCD ，,OC AD ⊂底面ABCD ，所以,PO OC PO AD ⊥⊥，所以以O 为原点，分别以,,OC OD OP 为,,x y z 轴建立如图空间直角坐标系，因为侧面PAD 为等边三角形，112AB BC AD ===，所以()0,1,0A -，()1,1,0B -，()1,0,0C，(P ，()0,1,0D ，因为E 是PD的中点，所以10,22E ⎛ ⎝⎭，所以11,22CE ⎛=- ⎝⎭ ，()1,0,0AB =，(AP = ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则·0·0AB n x AP n y ⎧==⎪⎨=+=⎪⎩ ，令1z =，得()0,n = ，因为0022CE n == ，所以CE n ⊥ ，又因为CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB .【例3-3】（2023·广西）如图所示，正四棱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F ．求证：平面//BDE 平面11B D F.【答案】证明见解析【解析】以A 为原点，AB ，AD ，1AA所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，(0E ,0,2)，1(1B ,0,4)，1(0D ,1,4)，(1F ,1,2)，1(0,1,2)DE FB ==- ，1//DE FB ∴，同理11//BD B D ，DE ⊄ 平面11B D F ，1FB ⊂平面11B D F ，//DE ∴平面11B D F ，BD ⊄ 平面11B D F ，11B D ⊂平面11B D F ，//BD ∴平面11B D F ，又,,DE BD D DE BD ⋂=⊂平面BDE∴平面BDE 与平面11B D F 平行．【一隅三反】1．（2023·福建福州）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//AD BC .,3,2,AD AB AD AB BC PA ⊥===⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上，点N 为BC 中点.若2DM MP =，证明：直线//MN 平面PAB .【答案】证明见解析【解析】如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,3),(2,0,0),(0,3,0),(2,2,0),(2,1,0)P B D C N ，若2DM MP =，则(0,1,2)M ，(2,0,2)MN =- ，因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD PA ⊥，又因为AD AB ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB平面PAB 的其中一个法向量为(0,3,0)AD = ，所以0MN AD ⋅= ，即AD MN ⊥，又因为MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .2．（2023春·高二课时练习）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，4AB =，2BC CD ==，12AA =，F 是棱AB 的中点．求证：平面11//AA D D 平面1FCC .【答案】证明见解析【解析】因为4,2AB BC CD ＝＝＝，F 是棱AB 的中点，所以BF BC CF ==，所以BCF △为正三角形.因为ABCD 为等腰梯形，4,2AB BC CD ＝＝＝，所以60BAD ABC ∠=∠= .取AF 的中点M ，连接DM ，则DM AB ⊥，所以DM CD ⊥.以D 为原点，1,,DM DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()112,,),,0,0,00,0,21,00),1,0,2,00,2,D D A F C C ，所以()1002D ,,D ＝，)1,0DA =- ，)1,0CF =- ，()10,0,2CC = ，所以11//DD CC ，//D C A F ，又11,DD CC 不重合，,DA CF 不重合，所以11//DD CC ，//DA CF ，因为1,CC CF ⊂平面1FCC ，1,DD DA ⊄平面1FCC ，所以1//DD 平面1FCC ，//DA 平面1FCC ，又1DD DA D ＝，1,DD DA ⊂平面11AA D D ，所以平面11//AA D D 平面1FCC 考点四空间向量证垂直【例4-1】（2023·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1DD BD 、的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：1EF B C ⊥．【答案】证明见详解【解析】证明：以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：因为正方体棱长为1，,E F 分别是1DD BD 、的中点，所以()()()()111,1,1,0,1,0,0,0,,1,1,0,0,0,02B C E B D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,,022F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()1111,,,1,0,1222EF B C ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭ ，由()()11111010222EF B C ⎛⎫⋅=⨯-+⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭ ，所以1EF B C ⊥ ，即1EF B C ⊥.【例4-2】（2023山西）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为AB ，1B C 的中点.证明：(1)平面1//A BD 平面11B CD ；(2)MN ⊥平面1A BD .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()0,0,0D ，()12,0,2A ，()2,2,0B ，()12,2,2B ，()0,2,0C ，()10,0,2D .设平面1A BD 的法向量为(),,m x y z = ，∵()12,0,2DA = ，()2,2,0DB = ，()112,2,0D B = ，()10,2,2D C =- ，∴1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，∴令=1x -，则()1,1,1m =- ，设平面11B CD 的法向量为(),,n a b c = ，∴111220220n D B a b n D C b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，∴令1a =-，则()1,1,1n =- ，∴//m n u r r ，∴平面1//A BD 平面11B CD.（2）∵M ，N 分别为AB ，1B C 的中点，∵()2,1,0M ，()1,2,1N ，∴()1,1,1MN =- ，∴//MN m ，∴MN ⊥平面1A BD .【例4-3】（2023新疆）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C 和侧面11AA B B 都是正方形且互相垂直，M 为1AA 的中点，N 为1BC 的中点.求证：(1)//MN 平面111A B C ；(2)平面1MBC ⊥平面11BB C C .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）由题意，知1,,AA AB AC 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以1,,AA AB AC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形11AA C C 的边长为2，则()000A ，，，1(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,2,0)B ，(0,0,2)C ，1(2,0,2)C ，(1,0,0)M ，(1,1,1)N .由题意知111AA A B ⊥，111AA A C ⊥，又因为11111A C A B A = ，1111,A C A B ⊂平面111A B C ，所以1AA ⊥平面111A B C .因为1(2,0,0)AA = ，(0,1,1)MN = ，所以10MN AA = ，即1MN AA ⊥.又因为MN ⊄平面111A B C ，故//MN 平面111A B C .（2）设平面1MBC 与平面11BB C C 的法向量分别为1111(,,)n x y z = ，1222(,,)n x y z = .因为(1,2,0)MB =- ，1(1,0,2)MC = ，所以111·0·0n MB n MC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即11112020x y x z -+=⎧⎨+=⎩，令12x =，则平面1MBC 的一个法向量为1(2,1,1)n =- .因为1(2,0,0)BB = ，11(0,2,2)B C =- 可得21211·0·0n BB n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即22220220x y z =⎧⎨-+=⎩，令21y =，则平面11BB C C 的一个法向量为2(0,1,1)n = .因为122011(1)10n n =⨯+⨯+-⨯= ，所以12n n ⊥ ，所以平面1MBC ⊥平面11BB C C .【一隅三反】1．（2023春·高二课时练习）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒.求证：1AB AC ⊥.【答案】证明见解析.【解析】因为1AA ⊥平面90ABC BAC ∠=︒，，AB ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥AB ，AB AC ⊥，因为11AC AA AC =+ ，所以()1110AC AA AC AB AB AB AC AB AA ⋅=+⋅=⋅+⋅= ，所以，1AB AC ⊥ ，即1AB AC ⊥.2．（2022·高二课时练习）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，224AB AD CD ===，AD CD ⊥，//AB CD ，M 为CE 的中点．(1)求证：//BM 平面ADEF ；(2)求证：BC ⊥平面BDE ．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）解法一：证明：取DE 中点N ，连结AN ，MN ，由三角形中位线性质可得//MN CD 且12MN CD =，又因为//AB CD 且12AB CD =，所以//MN AB 且MN AB =，所以ABMN 是平行四边形，所以//BM AN ，又AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．解法二：证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD ，所以DE DC ⊥．如图，以D 为原点，以DA ，DC ，DE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()2,2,00,4,00,0,00,0,20,2,1B C D E M ，，，，．因为(2,0,1)BM =- ，易知(0,1,0)n =' 为平面ADEF 的一个法向量．因此0BM n '⋅= ，所以BM n '⊥ ．又BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．（2）解法一：证明：因为BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥．因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以DE BC ⊥．又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ．解法二：由（1）可得(2,2,0)DB = ，(0,0,2)DE = ，(2,2,0)BC =- ．设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z =，则22020n DB x y n DE z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，取1x =，得10y z =-=，，所以(1,1,0)=- n 是平面BDE 的一个法向量．因此2BC n =- ，所以BC ⊥平面BDE ．考点五空间角【例5-1】（2023春·高二单元测试）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)见详解【解析】（1）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD所以PA BD ⊥，又PA AC A = ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（2）设AC BD O＝因为60,2BAD PA AB ∠=︒==，所以1,BO AO CO ==以O 为坐标原点,射线,OB OC 分别为x 轴,y 轴的正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图：则(0,2),(0,(1,0,0),P A B C ，所以2),(0,PB AC =-= ，设PB 与AC 所成角θ，所以cos ||PB AC PB AC θ⋅= ‖4=，即PB 与AC【例5-2】（2023黑龙江）如图所示，在直角梯形ABCD 中，,,2BC AD AD CD BC ⊥=∥，3,AD CD ==边AD 上一点E 满足1DE =.现将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，使平面1A BE ⊥平面BCDE ，如图所示.(1)求证：1A C BE ⊥；(2)求1A E 与平面1ACD所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)7【解析】（1）证明：在图1中，连接CE ，因为AD CD ⊥，故2CE ===，2BE ===,2AE AD DE =-=,2AB ===；∴四边形ABCE 为菱形，连接AC 交BE 于点O ，则AC BE⊥∴在图2中，111,,,,AO BE OC BE AO OC O AO OC ⊥⊥⋂=⊂平面1AOC ，BE ∴⊥平面1AOC ，1AC ⊂平面1AOC ，1BE A C ∴⊥，即1A C BE ⊥.（2） 平面1A BE ⊥平面BCDE ，面1A BE Ç面BCDE BE =，1AO ⊂平面1A BE 且1AO BE ⊥，1AO ∴⊥平面BCDE ，OC ⊂Q 平面BCDE ，1A O OC ∴⊥，即1,,OB OC OA 两两垂直，以1,,OB OC OA分别为x 轴､y 轴､z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(()()13,,,1,0,02A C D E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，((111,1,0,,2A C A E A E ==-=，3,2CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =r ，则103022n AC n CD x y ⎧⋅=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1x =-，则(n =-，n = 设1A E 与平面1ACD 所成的角为θ，π[0,2θ∈，故1117sin cos ,A E n A E n A E nθ⋅=〈〉=== ，cos 7θ∴=，1A E ∴与平面1ACD 所成角的余弦值为7.【例5-3】（2023春·江苏徐州·高二统考期中）如图，在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，正四棱锥P ABCD-的体积为83，点M 为PC 的中点，点N 为BD 的中点.(1)求证：//MN 平面PAD ；(2)求二面角P BM N --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)15【解析】（1）在正四棱锥P ABCD -中，连接AC ，四边形ABCD 为正方形∴AC BD N ⋂=N ∴为AC 的中点又 点M 为PC 的中点∴MN 为APC △的中位线∴//MN AP又 MN ⊄平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，∴//MN 平面PAD .（2）以N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -，如图所示，因为正四棱锥P ABCD -的体积为83，所以正四棱锥P ABCD -的体积182233PN =⨯⨯⨯=，所以2PN=()()(0,0,2),,,2P C B M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(),,0,2BM BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，(),,2BM NB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ ,设平面BMP 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则1100n BM n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x z z ⎧-+=⎪⎨⎪+=⎩，令11z =，则11x y ==所以1(n = .设平面BMN 的一个法向量为2222(,,)n x y z = ,则2200n BM n NB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222020x z ⎧-+=⎪=，令2z =222,0x y ==，所以2(2,n = .设二面角P BM N --的所成的角为θ，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==== 所以二面角P BM N --的余弦值为【一隅三反】1．（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）如图，圆锥的轴截面ABC 为等边三角形，D 为弧AB 的中点，E 为母线BC 的中点，则异面直线AB 和DE 所成角的余弦值为（）A ．23B ．3C ．4D ．14【答案】C 【解析】解法一：如图1，取AC 中点F ，连接,EF DF ，O 为AB 的中点，连接,,,OD CO OE OF ，易知CO ⊥底面OAB ，因为CO ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥底面OAB .又平面ABC ⋂底面OAB AB =，⊥DO AB ，所以DO ⊥平面ABC .因为EO ⊂平面ABC ，所以DO OE ⊥.同理可得，DO OF ⊥.设底面半径为r ，EF r =，DE DF ===.因为,E F 分别为,CB CA 的中点，所以//EF AB ，则在DEF 中，DEF ∠或其补角等于异面直线AB 和DE 所成的角.所以222cos24DE EF DF DEF DE EF +-∠==⋅.解法二：如图2，O 为AB 的中点，连接,OD CO ，易知CO ⊥底面OAB ，因为CO ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥底面OAB .又平面ABC ⋂底面OAB AB =，⊥DO AB ，所以DO ⊥平面ABC .以点O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()1,0,0D，10,,22E ⎛ ⎝⎭，所以()0,2,0AB =，11,2DE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，记所求角为θ，则cos 4AB DE AB DEθ⋅=⋅ .故选：C.2．（2023春·河南焦作·高二统考期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,8AB AA AD ===，1A D 交1AD 于点O．(1)证明：//BO 平面11B CD ；(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】（1）证明：如图所示，连接1,A B BD ，因为11//BC A D 且11BC A D =，所以四边形11BCD A 为平行四边形，所以11//A B CD ，又因为1CD ⊂平面11B CD ，1A B ⊂/平面11B CD ，所以1//A B 平面11B CD ，同理可证11//BD B D ，且BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，所以//BD 平面11B CD ，因为1A B BD B ⋂=，1,A B BD ⊂平面1A BD ，所以平面11//B CD 平面1A BD ，又因为BO ⊂平面1A BD ，所以//BO 平面11B CD ．（2）解：以A 为坐标原点，直线1,,AB AD AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()4,0,0B ，()14,0,4B ，()4,8,0C ，()10,8,4D ，所以()4,0,0AB = ，()10,8,4B C =- ，()114,8,0B D =- ．设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z = ，则111840480n B C y z n B D x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 取1y =，可得2,2x z ==，所以平面11B CD 的一个法向量为()2,1,2n = ，设直线AB 与平面11B CD 所成的角为θ，则4201022sin cos ,433AB n AB n AB nθ⋅⨯+⨯+⨯====⨯ ，故直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值为23．3．（2023春·江苏南通·高二统考阶段练习）如图，三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，线段BC 的中点为M ，AB AC =，且AB AC ⊥.(1)证明：BC ⊥平面PAM ；(2)若2AC =，4AP =，求二面角A PC B --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】（1）法一：在ABC 中，AB AC =，线段BC 的中点为M ，所以AM BC ⊥,因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥．因为AM ⊂平面AMP ，PA ⊂平面AMP ，AM PM M = ，所以BC ⊥平面PAM ．法二：如图，以{},,AB AC AP为基底建立空间直角坐标系．因为2AB AC ==，4AP =，线段BC 的中点为M ，所以()()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1,0,0,0,4A B C M P ，所以()()()()()2,2,,0,0,0,4,1,1,0,2,0,0,0,2,4BC AP AM AB PC =-====-．设平面PAM 的一个法向量为()1111,,n x y z = ，由1100n AP n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到11100z x y =⎧⎨+=⎩，解得10z =．令11x =，则11y =-，所以()11,1,0n =- ．易知，平面PAC 的一个法向量为()22,0,0n =，设平面PBC 的一个法向量为()3,,n x y z = ，则由3300n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得到220240x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取2,1x y z ===，所以()32,2,1n = ．又因为()()11,1,0,2,2,0n BC =-=-，所以1//n BC ，所以BC ⊥平面PAM（2）在APC △中，过点A 作AD PC ⊥，垂足为D ，连接BD，因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥,又因为AB AC ⊥，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，AC PA A ⋂=，所以BA ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以BA PC ⊥．又因为AD PC ⊥，AB ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，AB AD A ⋂=，所以PC ⊥平面ABD ，所以,PC AD PC BD ⊥⊥，所以ADB ∠为二面角A PC B --的平面角，在Rt PAC △中，2AC =，4AP =，所以PC =2PAC S PA AC AD PCPC ⨯== ．同理，在Rt BAD中，BD =所以2cos 3AD ADB BD ∠===．所以二面角A PC B --的余弦值23．法二，设二面角A PC B --的平面角为θ，则θ为锐角，则23232342cos cos ,233n n n n n n θ⋅=<>===⨯ ，所以二面角A PC B --的余弦值23．考点六空间距离【例6-1】（2023春·江苏淮安·高二统考期末）已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中点，则点E 到直线PD 的距离是（）ABC．2D．4【答案】D【解析】如图建立空间直角坐标系，则()()10,0,1,0,1,0,1,,02P D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()10,1,1,1,,02PD DE ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，所以12,24DE PD DE PD PD -⋅==-，所以点E 到直线PD.故选：D.【例6-2】（2023·上海）如图是一棱长为1的正方体，则异面直线1A B 与11B D 之间的距离为（）ABC ．12D【答案】B【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立如图空间直角坐标系，则11(1,1,0)D B = ，1(0,1,1)A B =- ，设(,,)n x y z = 与11D B 和1A B uuu r 都垂直，则11100D B n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即00x y y z +=⎧⎨-=⎩，取(1,1,1)n =--r ，又因为11(1,0,0)D A = ，所以异面直线11D B 和1A B间的距离为11D A n n⋅== 故选：B.【例6-3】（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考期中）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为1BB的中点．(1)求点D 到平面1AD E 的距离为d ；(2)求1BC 到平面1AD E 的距离．【答案】(1)43(2)23【解析】（1）以D 为原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴如图建立空间直角坐标系，则()()()()()1200,220,000,002,2,2,1A B D D E ，，，，，，，，，所以()()1021202AE AD ==- ，，，，，，设平面1AD E 的一个法向量为()n x y z = ，，，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令22,1z x y =⇒==-，所以平面1AD E 所的法向量为()212n =- ，，，又()1002DD = ，，，所以点D 到平面1AD E的距离143n DD d n ⋅=== .（2）由（1）可得平面1AD E 的法向量为()212n =- ，，，∵()()1220022B C ，，，，，，∴()1202BC =- ，，，()()12210220BC n ∴⋅=⨯-+-⨯+⨯= ，1BC n ∴∴⊥ ，∴1//BC 平面1AD E ，所以1BC 到平面1AD E 的距离可以转化为点B 到平面1AD E 的距离，由()020AB = ，，，所以1BC 到平面1AD E的距离为123n AB d n ⋅=== .【例6-4】（2023秋·高二课时练习）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为（）A BC ．3D 【答案】D 【解析】由正方体的性质：1AB ∥1DC ,11D B ∥DB ，1111AB D B B = ，1DC DB D = ，且1AB ⊂平面11AB D ，11D B ⊂平面11AB D ，1DC ⊂平面1BDC ，DB ⊂平面1BDC ，所以平面11AB D ∥平面1BDC ，则两平面间的距离可转化为点B 到平面11AB D 的距离．以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：由正方体的棱长为1，所以()1,0,0A ，()1,1,0B ，()11,0,1A ，()0,1,0C ，()11,1,1B ，()10,0,1D 所以()11,1,1CA =- ，()0,1,0BA =- ，()10,1,1AB = ，()111,1,0B D =-- ．连接1AC ，由()()()1101,1,10,1,1101111C A A B =⨯⋅=-+⋅-⨯+⨯= ，()()()()()11111,1,011111001,,1CA D B --=⨯-⋅+-⨯-+⨯=⋅=- ，所以1111111111,C AB AB B A CA CA B D CA D ⊥⊥⊥⇒⊥⇒ ，且1111AB B D B =I ，可知1CA ⊥平面11AB D ，得平面11AB D 的一个法向量为()11,1,1C n A ==- ，则两平面间的距离：3BA n d n ⋅=== ．故选：D.【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是a ，且AB AD ⊥，1160A AB A AD ∠=∠=︒，E 为1CC 的中点，则点E 到直线1AC 的距离为（）ABCD 【答案】A【解析】 在平行六面体1111ABCD A B C D -中，不妨设AB d =，AD b =，1AA c =．11AC AB AD AA d b c =++=++,112C E c =-，d b c a ===，2110,22d b d c b c a a a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=，所以1AC d b c =++=，112C E a =，()()2111122AC d b c d C E c c a c b c c -=-⋅⋅⋅⋅=+++=-+⋅，所以E 到直线1AC的距离为d ===，故选：A2．（2023·湖南）在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中．平面1AB C 与平面11A DC 之间的距离为（）AB ．1CD 【答案】A【解析】建立如图所示的直角坐标系，则1(1,0,0)A ，1(0,1,0)C ，(0,0,1)D ，(1,0,1)A ，所以1(1,0,1)DA =- ，1(0,1,1)DC =- ，(1,0,0)AD =- ，设平面11AC D 的一个法向量(,,)m x y z = ，则1100m DA x z m DC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1z =得11x y =⎧⎨=⎩，故(1,1,1)m = ，显然平面1//AB C 平面11A DC ，所以平面1AB C 与平面11A DC之间的距离AD m d m⋅===故选：A3．（2023春·云南楚雄·高二统考期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是线段1BC 上靠近点B 的一个三等分点，D 是1AC的中点．(1)证明：1A D //平面1AB E ；(2)若16AA AB ==，求点1A 到平面1AB E 的距离．【答案】(1)证明见解析【解析】（1）取线段1C E 的中点G ，连接11,,AG DG A B ，记11A B AB F ⋂=，连接EF ，因为D ，G 分别是1AC ，1EC 的中点，所以//DG AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，DG ⊂/平面1AB E ，所以DG //平面1AB E ，由题意可知四边形11ABB A 是矩形，则F 是1A B 的中点，因为E 是BG 的中点，所以1//EF AG ，因为EF ⊂平面1AB E ，1AG ⊂/平面1AB E ，所以1AG //平面1AB E ，因为1,DG A G ⊂平面1A DG ，且1DG A G G ⋂=，所以平面1A DG //平面1AB E ，因为1A D ⊂平面1A DG ，所以1A D //平面1AB E ；（2）取棱BC 的中点O ，以O 为原点，分别以OB ，AO 的方向为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，因为16AA AB ==，所以1(0,A -，(0,A -，1(3,0,6)B ，(1,0,2)E ，则1(0,0,6)A A =-，1AB = ，1(2,0,4)B E =-- ，设平面1AB E 的法向量为(,,)n x y z =，则11360240n AB x z n B E x z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令2x =，则0,1y z ==-，所以(2,0,1)n =- ，故点1A 到平面1AB E的距离15A A n d n ⋅===．。

1.4 空间向量的应用一、选择题1．已知平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是（）A．()4,22-，B．()2,0,4C．()215--，，D．()42,2-，【答案】D【解析】平面α的一个法向量是(2,1,1)-，//αβ，设平面β的法向量为(),,x y z，则()(2,1,1),,,0x y zλλ=≠-，对比四个选项可知，只有D符合要求，故选：D.2．如图，在正方体ABCD­1111A B C D中，以D为原点建立空间直角坐标系，E 为B1B的中点，F为11A D的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )A．(1，－2，4) B．(－4,1，－2)C．(2，－2，1) D．(1，2，－2)【答案】B【解析】设正方体棱长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），F（1，0，2），∴AE=（0，2，1），AF=（﹣1，0，2）,设向量n=（x，y，z）是平面AEF的一个法向量则2020n AE y zn AF x z⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取y=1，得x=﹣4，z=﹣2,∴n=（﹣4，1，﹣2）是平面AEF的一个法向量,因此可得：只有B选项的向量是平面AEF的法向量,故选：B．3．空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定【答案】A【解析】∵空间直角坐标系中，A （1，2，3），B （﹣1，0，5），C （3，0，4），D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1），∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行．故选：A ．4.如图所示,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E ,F 分别在A 1D ,AC 上,且A 1E=A 1D ,AF=AC ,则( )A.EF 至多与A 1D ,AC 之一垂直B.EF ⊥A 1D ,EF ⊥ACC.EF 与BD 1相交D.EF 与BD 1异面 【答案】B【解析】建立分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则=(1,0,1),=(-1,1,0),E(,0, ) ,F(,0 ) ,=( ,- ),∴=0,=0,∴EF ⊥A 1D ,EF ⊥AC.又=(-1,-1,1),∴=-3,即EF 与BD 1平行.5.在底面为锐角三角形的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱BC 的中点，记直线1B D 与直线AC 所成角为1θ，直线1B D 与平面111A B C 所成角为2θ，二面角111C A B D --的平面角为3θ，则（ ） A ．2123,θθθθ<< B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，)13,1,2B ，()0,2,0C ，33,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，131,22B D →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，)113,1,0A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos 25B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅，直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin 5B D nB D n θ→→→→⋅∴==⋅222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则1113031202m A B a b m B D a b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取3a =得33,3,2m →⎫=--⎪⎭，二面角111C A B D --的平面角为3θ，由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，332cos 575749m nm nθ→→→→⋅∴===⋅，231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.6.（多选题）（2020苏州大学附中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P M ，分别为棱1CD,CC 的中点.Q 为面对角线1A B 上任一点，则下列说法正确的是（ ）A ．平面APM 内存在直线与11A D 平行B ．平面APM 截正方体1111ABCD A BCD -所得截面面积为98C ．直线AP 和DQ 所成角可能为60°D ．直线AP 和DQ 所成角可能为30° 【答案】BC【解析】对于选项A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BC A D ，在平面ABCD 中，直线,AP BC 相交，所以直线BC 与平面APM 相交，故直线11A D 与平面APM 相交，则平面APM 不存在直线与11A D 平行，所以选项A 错误；对于选项B ，连接11,,,C D AB P M 分别为棱1,CD CC 的中点， 所以111//,2PM C D PM C D =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB CD ，所以1//PM AB ，连1B M ，则梯形1AB MP 为所求的截面，115142AP B M ==+=，所以等腰梯形1AB MP 22215232()()2444CD PM AP --=-=，所以梯形1AB MP 的面积为1323292248⨯=，选项B 正确；对于选项C,D ，以D 为坐标原点，1,,DA AC DD所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，11(1,0,0),(0,,0),(1,1,0),(1,0,1)2A PB A ，设11(0,1,1)(0,,),01AQ A B λλλλλ==-=-≤≤， 11(1,,1)DQ DA AQ λλ∴=+=-，1(1,,0)2PA =-， 2221|1|2|cos ,|51011(1)2PA DQ λλλλλ-<>==-+⨯++-2210[(2)2](2)110(2)3(2)3λλλλ==--+-----+2331012(2)λλ=-+--，令11[,1]22t λ=∈-，221113313(),1244y t t t y =-+=-+∴≤≤， 210331011022(2)λλ∴≤-+≤--，1010|cos ,|PA DQ ∴≤<>≤，而1011032<<<，∴直线AP 和DQ 所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.二、填空题7．给出下列命题：①若,a b 为共面向量，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在直线是异面直线，则,a b 一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________. 8.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F ⋂=，11BC B C E ⋂=，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为______．【答案】322【解析】建立如图所示空间直角坐标系，设1DD h =，又4AB BC ==，则()4,0,0A ，2,4,2h E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()4,4,0B ，()2,2,F h ， 2,4,2h AE ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，()2,2,BF h =--，AE BF ⊥，24802h ∴-+=，即22h =． ∴此棱柱的体积为4422322⨯⨯=．9.已知正四棱锥P-ABCD 的侧棱与底面所成角为60°，M 为PA 中点，连接DM ，则DM 与平面PAC 所成角的大小是________．【答案】45°【解析】设底面正方形的边长为a 6， 建立如图所示空间直角坐标系，则平面PAC 的法向量为()1,0,0n =，D 2,0,02a ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，20,,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭A ， P 60,0,a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，M 260,,a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，DM ＝226,,a a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以cos ,DM n ＝⋅⋅DM DMn n ＝2，所以DM 与平面PAC 所成角为45°. 三、解答题10.如图所示,四边形ABCD 是直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,SA ⊥平面ABCD ,SA=AB=BC=2,AD=1.(1)求SC 与平面ASD 所成角的余弦值; (2)求平面SAB 和平面SCD 夹角的余弦值.【解析】 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,S (0,0,2),C (2,2,0),D (1,0,0),=(2,2,-2),∵AB ⊥平面SAD ,故平面ASD 的一个法向量为=(0,2,0),设SC 与平面ASD 所成的角为θ,则sin θ=|cos <>|=,故cos θ=,即SC 与平面ASD 所成角的余弦值为.(2)平面SAB 的一个法向量为m =(1,0,0),∵=(2,2,-2),=(1,0,-2),设平面SCD 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由令z=1可得平面SCD 的一个法向量为n =(2,-1,1),设平面SAB 和平面SCD 的夹角为α,则cos α=,即平面SAB和平面SCD夹角的余弦值为.11.如图，在圆锥SO中，A，B是上的动点，是的直径，M，N是SB的两个三等分点，，记二面角，的平面角分别为，，若，则的最大值为?【分析】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用，涉及空间向量的数量积及及其坐标表示，平面的法向量、空间向量的夹角等，属于中档题．根据题意，设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设平面NOA的法向量为，平面的法向量为，根据，求得平面的法向量，结合可得，即可求解．【解答】解：设底面圆的半径为r，，以所在直线为x轴，以垂直于所在直线为y轴，以OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系如下图所示：则由，可得0，，0，，0，，，0，，M，N是SB的两个三等分点，则0，，0，，所以，0，，设平面NOA的法向量为，则代入可得，化简可得，令，解得，，所以，平面OAB的法向量为0，，由图可知，二面角的平面角为锐二面角，所以二面角的平面角满足，，设平面的法向量为，，，则代入可得，化简可得，令，解得，，所以，平面的法向量为0，，由图可知，二面角的平面角为锐二面角，所以二面角的平面角满足，，由二面角的范围可知，结合余弦函数的图象与性质可知，即，化简可得，且，所以，所以的最大值是，。

第4讲空间向量的应用新课标要求①能用向量语言指述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量。

②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。

③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。

④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

知识梳理1．空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点以及一个向量确定，这个向量叫做直线的方向向量．2．若直线l垂直于平面α，取直线l的方向向量a，则a⊥α，则a叫做平面α的法向量．3.(1)线线垂直：设直线l，m的方向向量分别为a，b，则l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0.(2)线面垂直：设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔a∥u⇔a＝k u，k∈R.(3)面面垂直：若平面α的法向量为u，平面β的法向量为ν，则α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0..4．设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝|a·b||a||b|5．设直线l与平面α所成的角为θ，直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉.|＝|a·n||a||n|6．设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则|cosθ|＝|n1·n2|.|n1||n2|名师导学【例1-1】（焦作期末）若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为A. B. C. D.【分析】本题考查直线的方向向量，向量的共线定理，属于基础题．先由题意求出2，，再由选项判断与共线的向量即可．【解答】解：因为2，，而2，，所以是直线l的一个方向向量．故选A．【例1-2】（广州期末）（武侯区校级期末）设是直线l的方向向量，是平面的法向量，则A. B. C.或 D.或【分析】本题考查空间线面位置关系、法向量的性质，属于基础题．利用空间线面位置关系、法向量的性质即可判断出结论．【解答】解：，，或，故选D．【变式训练1-1】（沙坪坝区校级模拟）若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是A. B.C. D.【分析】本题考查了运用空间向量判断线面平行，属于基础题．根据时，，分别判断A、B、C、D是否满足条件即可．【解答】解：若，则，而A中，不满足条件；B中，不满足条件；C中，不满足条件；D中，满足条件．故选D．【变式训练1-2】（东阳市模拟）已知，，分别是平面，，的法向量，则，，三个平面中互相垂直的有A.3对B.2对C.1对D.0对【分析】本题考查利用空间向量研究平面垂直问题，属基础题．依题意，分别求出，，即可求得结果．【解答】解：，，，，所以与不垂直，，所以与不垂直，，所以与不垂直，故选D．【例2-1】（浙江模拟）已知在正四棱柱中，，，点E为的中点，点F为的中点．求证：．【分析】本题考查利用空间向量法判定线性垂直及平行，属于基础题．建立空间直角坐标系，写出坐标，得，EF与AC不共线，故．【解答】证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，0，，1，．，由于，显然，故．又EF与AC不共线，故．【例2-2】（柯城区校级模拟）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面ABCD，且，点E是PD的中点．求证：平面AEC．【解答】证明如图，以A为坐标原点，AC，AB，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，设，，则有0，，b，，0，，0，，0，，b，，由已知得，，，设平面AEC的一个法向量为，则且，可得1，，，，又平面AEC，平面AEC．【例2-3】（金华期末）如图，已知棱长为4的正方体中，M，N，E，F分别是棱，，，的中点，求证：平面平面EFBD．【分析】本题考查的知识点是平面与平面平行的判断，利用向量证明面面平行，难度中档．建立空间直角坐标系，利用向量法，可证得：平面EFBD，平面EFBD，进而得到平面平面EFBD．【解答】证明：由题意，正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，0，，2，，4，，2，，4，．取MN的中点K，EF的中点G，BD的中点O，则2，，1，，3，．2，，2，，1，，1，，，，，，平面EFBD，平面EFBD，平面平面EFBD．【变式训练2-1】（宿迁期末）如图，在长方体中，，，，点P在棱上，且，点S在棱上，且，点Q、R分别是棱、AE的中点．求证：．【分析】本题考查了利用空间向量平行的判断，是容易题．建立空间直角坐标系，根据向量的共线关系进行证明．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，4，，0，，0，，4，．，，Q，R分别是棱，AE的中点，，2，，2，，．于是．．，．【变式训练2-2】（朝阳区期末）已知正方体的棱长为2，E ，F 分别是，的中点，求证：平面ADE ；平面平面F .【分析】本题考查利用空间向量证明线性、线面平行．如图，建立空间直角坐标系，求出和平面ADE 的法向量，由，又平面ADE ，推证结果；进一步求出平面的法向量，由两个平面的法向量平行推证结果．【解答】证明：如图，建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，2，，0，，所以，，．设，分别是平面ADE 、平面的法向量，则，，取，则．同理可求．，，又平面ADE，平面ADE．，平面平面F.【例3-1】（扬州期末）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，底面ABCD，且，M为PC的中点．求证：【分析】本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量证明直线垂直，属于中档题．由可得【解答】证明：结合图形，知，，则，所以，即．【例3-2】（上城区校级模拟）如图所示，在正方体中，E，F分别是，DC的中点，求证：平面F.【分析】本题考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面F.【解答】证明：设正方体的棱长为1，如图所示，建立空间直角坐标系，则0，，，0，，0，，．，，，，，，．即，，又，平面F.（点军区校级月考）如图，在五面体ABCDEF中，平面ABCD，，，【例3-3】M为EC的中点，求证：平面平面CDE．【分析】本题主要考查利用空间向量证明面面垂直．首先利用空间向量证明线面垂直，即可得面面垂直．【解答】证明：如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设，依题意得0，，1，，2，，1，，0，，．则，，，，，又，，又，平面AMD．而平面CDE，平面平面AMD．【变式训练3-1】（三明模拟）已知空间四边形ABCD中，，，求证：．【分析】本题主要考查了利用空间向量证明线线垂直，是基础题．将用、表示；用、表示；利用向量数量积的运算律求出；最后根据数量积为0判断出垂直．【解答】证明：，，，，．，从而．【变式训练3-2】（镇海区校级模拟）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形且，，底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上．F在何处时，平面PBC？【分析】本题考查空间直线与平面垂直的判定以及线线垂直的判定，属基础题目．以A为坐标原点建立空间直角坐标系，写出各点坐标，用向量判断线线垂直和线面垂直．【解答】解：如图，以A为坐标原点，射线AD，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则，0，，，，0，，0，．，，设y，，则．平面PBC，，，即，，在PC上，可令，则，将，代入可得，，则，此时F为PC的中点．【变式训练3-3】（未央区校级月考）在四面体ABCD中，平面BCD，，，，E，F分别是AC，AD的中点，求证：平面平面ABC．【分析】本题主要考查了空间向量在立体几何中证明垂直的应用．建立空间直角坐标系，设，得出相关点坐标，进而得出向量的坐标，计算，，可得平面ABC，由面面垂直的判定定理证得结论．【解析】证明：建系如图，取0，，则易得0，，，，，，则有，，，，，，．又，平面ABC．又平面BEF，平面平面ABC．【例4-1】（海淀区校级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1，平面ABCD，且，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离；求直线AC到平面PEF的距离．【分析】本题目主要考查空间两点的距离公式，空间直角坐标系，属于一般题．（1）通过建立空间直角坐标系，求出平面PEF的法向量，再得点D到平面PEF的距离．（2）通过E，F分别为AB，AC的中点，，平面PEF，所以平面PEF，再得直线AC 到平面PEF的距离．【解答】建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，0，，0，，1，，，．，，0，．设平面PEF的法向量为y，，则即解得，令，得2，，因此，点D到平面PEF的距离为．由知0，，因为E，F分别为AB，AC的中点，所以，又平面PEF，所以平面PEF，所以AC到平面PEF的距离为．（房山区期末）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，【变式训练4-1】，，．求点D到平面PBC的距离；求点A到平面PBC的距离．【分析】本题考查利用空间距离的求法，属基础题．依题意，建立空间坐标系，求出平面PBC的法向量，根据D到平面PBC的距离，计算即可．根据中的数值，利用点A到平面PBC的距离，计算即可．【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，2，，2，，0，．0，，2，，0，．设平面PBC 的法向量为y ，，则令，则，，．点D 到平面PBC 的距离．由知，平面PBC 的法向量为，则点A 到平面PBC 的距离．知识点5用空间向量研究空间中的夹角问题【例5-1】（宝山区校级期末）如图，ABCD 为矩形，AB ＝2，AD ＝4，PA ⊥面ABCD ，PA ＝3，求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值．【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求解．【解】以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,3)，B (2,0,0)，C (2,4,0)，则PB →＝(2,0，－3)，AC →＝(2,4,0)．设PB 与AC 所成的角为θ，则cos θ＝|PB →·AC →||PB →||AC →|＝422＋(－3)2×22＋42＝413×25＝26565.【例5-2】（常州期末）已知在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长与底面边长相等，求AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值．【分析】解决此类问题的关键是建立空间直角坐标系，利用公式求解．【解】建立如图所示的空间直角坐标系E －xyz ，其中坐标原点E 为A 1C 1的中点，设棱长为1，则0，B ，32，AB 1→－12，32，－显然平面ACC 1A 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，设AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AB →，n 〉|＝|AB 1→·n ||AB 1→||n |＝322＝64.∴AB 1与面ACC 1A 1所成的角的正弦值为64.【例5-3】（漳州三模）已知，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，PA ＝AC ＝1，BC ＝ 2.求二面角A －PB －C 的余弦值．【分析】解答本题可建立适当的空间直角坐标系，利用平面的法向量求解；也可在二面角的两个面内分别作棱的垂线，利用两线的方向向量所成的角求解．【解】解法一：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2，1,0)，C (0,1,0)，P (0,0,1)，∴AP →＝(0,0,1)，AB →＝(2，1,0)．设平面PAB 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，1·AP →＝0，1·AB →＝0，0，1＋y 1＝0.令x 1＝1，则n 1＝(1，－2，0)．又CP →＝(0，－1,1)，CB →＝(2，0,0)．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，2·CP →＝0，2·CB →＝0，2＋z 2＝0，2＝0.令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－23×2＝－33.∵所求二面角为锐角，∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.解法二：如图所示，取PB 的中点D ，连接CD .∵PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥AC .∴PC ＝PA 2＋AC 2＝ 2.∵PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB .作AE ⊥PB 于E ，那么二面角A －PB －C 平面角的大小就等于DC →与EA →的夹角θ.∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊥AC ，∴PC ⊥BC .∴PB ＝PC 2＋BC 2＝2.∴PD ＝1，PE ＝PA 2PB ＝12.∴DE ＝PD －PE ＝12.又∵AE ＝AP ·AB PB ＝32，CD ＝1，AC ＝1，AC →＝AE →＋ED →＋DC →，且AE →⊥ED →，ED →⊥DC →，∴|AC →|2＝|AE →|2＋|ED →|2＋|DC →|2＋2|AE →|·|DC →|·cos(π－θ)，即1＝34＋14＋1－2×32×1×cos θ，解得cos θ＝33，故二面角A－PB－C的余弦值为3 3 .【变式训练5-1】（沭阳县期中）如图，在正四棱柱中，，，点M是BC 的中点．求异面直线与DM所成角的余弦值求直线与平面所成角的正弦值求平面与平面ABCD所成角的正弦值．【分析】本题主要考查了利用空间向量求线线、线面、面面的夹角，是中档题．在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．由以及即可求得；先求出平面的法向量，再利用夹角公式求解即可；先求出平面ABCD的法向量以及平面与平面ABCD所成角的余弦值，在用求解即可．【解答】解：在正四棱柱中，以点D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，因为，，所以，则．由题意得，则，异面直线与DM所成角的余弦值为；由题意知，设平面的法向量为，则，解得，，直线与平面所成角的正弦值为；在正四棱柱中，，平面ABCD的法向量为，，平面与平面ABCD所成角的余弦值为，则，平面与平面ABCD所成角的正弦值为．名师导练A组-[应知应会]1.（杨浦区校级期中）若直线l的方向向量为0，，平面的法向量为0，，则A. B. C. D.l与斜交【分析】本题考查利用空间向量判断线面的位置关系属基础题．由直线l的方向向量与平面的法向量共线，判断结论即可．【解答】解：，，，．故选B．2.（安徽模拟）已知，，，则向量与向量的夹角为A. B. C. D.【分析】本题考查利用空间向量的数量积求向量夹角，属于基础题．根据空间向量夹角公式求解即可．【解答】解：，，，向量与的夹角为．故选C．3.（闵行区校级模拟）已知四边形ABCD是直角梯形，，平面ABCD，，则SC与平面ABCD所成的角的余弦值为A. B. C. D.【分析】本题主要考查利用空间向量求直线与平面的所成角，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题。

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典1.4空间向量的综合应用（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．（2020·全国课时练习）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B ，)13,0,2B ，()0,1,0C ， 向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11cos ,A B B C <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯2222=⨯14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2020·全国课时练习）如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A 3B．23C．12D3【答案】B【解析】【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出E在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.【详解】在正四面体A BCD-中，设棱长为a，E为棱AD的中点，如下图所示过A做AO⊥平面BCD，则O为平面BCD的中心，延长DO交BC于G，过E做EF GD⊥，连接FC，所以ECF∠就是所求的CE与平面BCD的夹角．所以222GD CD CG =-，求得32GD a =， 所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =， 所以66EF a =，32CE a =， 在Rt EFC 中，2sin 3EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题． 3．（2020·全国课时练习）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．74【答案】C【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03，M （0，03，P （x ，y ，0）．于是有AM =（0，1，32），MP =（x ，y ，32-）． 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，32）•（x ，y ，32-0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在四面体P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，那么二面角B AP C --的余弦值为（ ）A ．22B ．33C 7D ．57【答案】C【解析】【分析】本题首先可作BD AP ⊥于点D 以及作CE AP ⊥于点E ，然后通过BC BD DE EC =++求出14EC BD ⋅=-，最后根据cos ,EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉=⋅以及二面角B AP C --为锐二面角即可得出结果.【详解】如图所示，作BD AP ⊥于点D ，作CE AP ⊥于点E ，设1AB =，则易得22CE =，22EP =，2PA PB ==可以求得144BD =，24ED =.因为BC BD DE EC =++，所以2222222BC BD DE EC BD DE DE EC EC BD =+++⋅+⋅+⋅， 则14EC BD ⋅=-，7cos ,7EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉==-⋅， 因为二面角B AP C --为锐二面角，所以二面角B AP C --的余弦值为77， 故答案为：C .【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.6．（2020·全国高二课时练习）如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于点E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A DE B --为45︒，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为（ ）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．180︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为90︒，进而得到异面直线所成角的大小.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：由题意知ABE △为等腰直角三角形.设1CD =，则1BE =，1AB =，2AE =设2BC DE a ==，则(0,0,0)E ，(1,0,1)A ，(1,,0)N a ，(0,2,0)D a ，11,,22M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)AE =--， 所以11,0,(1,0,1)022MN AE ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭.故AE MN ⊥，从而MN 与AE 所成的角为90︒.故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目.7．（2020·全国高二课时练习）已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是255⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BC 55D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-【答案】D【解析】【分析】根据向量的相关性质判断.【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB 的单位向量为255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以55cos ,11AB BC AB BC AB BC ⋅==-⋅，所以C 项错误； 对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确.故选:D.【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.8．（2020·浙江余杭·高三学业考试）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π 【答案】B【解析】【分析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点 则22,0,,,0,3333r a r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin r y z a θθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m nm n α⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33r a B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ 则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 令21x =,解得221cos 2,sin r y z a θθ--==- 所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足 cos 1k hk h β⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥即≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<< 所以203πθ<≤ 所以θ的最大值是23π 故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．（2020·全国单元测试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】 【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=,显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.10．（2020·全国单元测试）（多选题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】找到AF 在平面11ADD A 内的射影，由三垂线定理可知AF 与1DD 不垂直，故A 错误；易证：平面1//A MG 平面AEF ，由面面平行的性质可得1//AG 平面AEF ，故B 正确；通过延展平面AEF 可得截面四边形1AEFD ，经过计算可知，C 正确；通过反证法，假设成立，推出矛盾，从而证明D 不正确. 【详解】取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取11B C 的中点为M ，连接1,A M GM ，则1//,//A M AE GM EF ，易证：平面1//A MG 平面AEF ，从而1//AG 平面AEF ，选项B 正确； 连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且15D H AH ==，12A D =，所以1221232(5)()222∆=⨯⨯-=AD H S ， 而113948∆==AEFD AD H S S ，从而选项C 正确； 假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 故选：BC 【点睛】本题以正方体为载体，考查了空间中线线、线面的位置关系、点到面的距离、截面面积等立体几何基本知识，考查了运算求解能力和空间想象能力，属于中档题目.11．（2020·山东高三其他）在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．（2018·上海市控江中学）写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．【答案】()21，【解析】 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，） 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题． 13．（2020·全国高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________.25【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，找到1D E 、1CC 法向量，用异面直线1D E 与1CC 的距离公式求得即可. 【详解】点P 到直线1CC 距离的最小值就是异面直线1D E 与1CC 的距离，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，(1,2,0)E ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，1(1,2,2)D E ∴=-，1(0,0,2)CC =，设1n D E ⊥，1n CC ⊥，(,,)n x y z =， 则12D x y E =+20z -=，120n CC z ⋅==，0z ∴=，取1y =-，则2x =，∴(2,1,0)n ∴=-，又(1,0,0)CE ∴=，异面直线1D E 与1CC 的距离22|||2100|255||2(1)0n CE d n ⋅⨯++===+-+即点P 到直线1CC 距离的最小值为255. 故答案为：255【点睛】求异面直线之间的距离，关键是建立空间直角坐标系，找到法向量，正确运用公式. 14．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，则顶点D 到平面α的距离是______.5【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，利用空间点到平面距离公式，求出平面α的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为1222|||3|2||BA n x d n x y z ⋅===++，①点C 到平面α距离为1222|||3|2||CA n y d n x y z⋅===++，②由①②可得5||||,||||2y x z x ==， 所以D 到平面α的距离为22253|||||3|253||||2x AD n z n x y z x ⋅===++. 故答案为:5.【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（2020·安徽高三其他（理））如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AD CD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，若沿着EF 折叠使得2AD AE =如图2所示，连结BC ．（1）求证：平面CDEF ⊥平面ABFE ； （2）求二面角C -BF -D 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2121. 【解析】 【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直.（2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可. 【详解】 （1）E ，F 分别为AD ，BC 的中点，////EF AB CD ∴AB AD ⊥．EF AE ∴⊥，EF DE ⊥2AD =，AE DE =∴222AE DE AD +=DE EF ∴⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面CDEF∴平面CDEF ⊥平面ABFE ．（2）由（1）知，AE ，DE ，EF 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，令1AE =则()0,0,1D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，30,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2,1C ．()1,1,1DB =-，30,,12DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,02FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面BDF 的法向量为(),,m x y z =，则0m DB m DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令2y =，则3z =，1x =，∴平面BDF 的一个法向量为()1,2,3m =． 设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =，则0n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则2y =，1x =，∴平面BCF 的一个法向量为()1,2,1n =-． ∴221cos ,21146m n m n m n⋅===⋅⋅ ∵二面角C BF D --为锐二面角设为θ， ∴21cos 21θ=． 【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题.16．（2020·湖南月考）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动. （1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，平面AEF ⊥平面PAD ； （2）若点F 为PC 的中点，求二面角C AF E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】 【分析】（1）本小题先证明ABC 是正三角形，从而证明AE AD ⊥，再证明PA AE ⊥，接着证明AE ⊥平面PAD ，最后平面AEF ⊥平面PAD .（2）本小题先建立空间直角坐标系，再明确AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角，求得2AM =、2AP =，并标点，接着求平面AEF 的一个法向量()0,2,1n =-，平面ACF 的一个法向量()3,3,0BD =-，最后求出二面角C AF E --的余弦值为155. 【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， 又E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.因为AEF ⊥平面PAD .，所以AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME △中，由15sin AME ∠=6tan AE AME AM ∠==， 由已知2AB =，则3AE =2AM =所以222PD AM AD AP ==+，即()222222AP =+， 从而2AP =，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭F ， 所以()3,0,0AE =，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ， 设(),,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则30,310.22n AE x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1z =，得()0,2,1n =-.又BD ⊥平面ACF ，∴()3,3,0=-BD 是平面ACF 的一个法向量， 所以()()03231015cos ,5523n BDn BD n BD ⨯-+-⨯+⨯⋅===-⨯， 由图可知C AF E --为锐二面角，所以二面角C AF E --的余弦值为155. 【点睛】 本题考查利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，是偏难题.17．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模（理））已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --的余弦值为55？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析【解析】【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MN PQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可. 【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE , 则AE ND =,且AE ND所以四边形ADNE 为矩形,故AD NE ,同理,FM BC AD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EFMN ,所以EF PQ 故,,,E F P Q 四点共面又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EF PQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+. 若()1212225cos ,5216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.18．（2020·全国高三其他（理））某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为2的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为2时，证明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．【答案】（1）见解析，（2）32623[,]27+-- 【解析】【分析】 （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ； （2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a b n --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围. 【详解】（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上，因为2211PB PH HB =+，所以当1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232-=，所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),2,1),(4,4,1)D D E F B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-+=，所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =, 所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B ,设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥， 设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈ 所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 令11x =，则4(1,1,)3a b n --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角， 则243cos cos ,42()3a b m n m n a b m n θ+-⋅=-=-=+-+， 220,sin 0,sin 1co 242()s 3a b θπθθθ≤≤∴>+-+=-=则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.。

空间几何与向量的应用练习题及解析题一：已知平面α的一般式方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D为实数，且A² + B² + C² ≠ 0。

现有直线l，其方程为{x = x₁ + la,{y = y₁ + lb,{z = z₁ + lc，其中l为参数，(x₁, y₁, z₁)为直线上一点，求证：如果直线l与平面α垂直，则向量(A, B, C)与向量(a, b, c)的数量积为零。

解析：直线l与平面α垂直，意味着直线l上的任意向量与平面α的法向量垂直。

设直线l上一点坐标为(x, y, z)，则直线l上任一向量为(a, b, c)，平面α的法向量为(A, B, C)。

由于直线l与平面α垂直，所以任意向量(a, b, c)与法向量(A, B, C)的数量积为零：(a, b, c)·(A, B, C) = aA + bB + cC = 0即证明了结论。

题二：已知四面体ABCD，其中AB = 4, AC = 5, AD = 6, BC = 7, BD = 8, CD = 9。

问题1：求四面体ABCD的体积。

问题2：求四面体ABCD的重心坐标。

解析：问题1的解答：利用四面体的体积公式V = (1/6) * |(AB·AC) × (AB·AD)|，其中|...|表示求模，×表示向量叉乘。

由已知四面体的边长关系，可以求得向量AB、AC、AD的坐标表示：AB = (4, 0, 0)，AC = (0, 5, 0)，AD = (0, 0, 6)。

然后计算向量AB与向量AC的数量积AB·AC和向量AB与向量AD的数量积AB·AD：AB·AC = 4 * 0 + 0 * 5 + 0 * 0 = 0，AB·AD = 4 * 0 + 0 * 0 + 0 * 6 = 0。

再计算向量AB与向量AC的叉积和向量AB与向量AD的叉积：(AB·AC) × (AB·AD) = (0, 0, 0)。

空间向量的应用一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=12．如图：在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，空间四边形OABC 中，=a ，=b ，=c ，点M 在OA 上，且OM=MA ，N 为BC 中点，则等于（ ）A ．﹣a+b+ c B ．a ﹣b+ cC ．a+b ﹣ cD ．a+b ﹣ c4．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG=3GG 1，若=x+y+z，则（x ，y ，z ）为（ ） A ．（，，） B ．（，，）C ．（，，）D ．（，，）5．在平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，向量、、、是（ ）A ． 有相同起点的向量B ． 等长的向量C ． 共面向量D ． 不共面向量6．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③7．（2011•重庆）高为的四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，点S，A，B，C，D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为（）A．B．C．D．8．（2004•黑龙江）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为（）A．B．C．D．9．（2007•湖北）设，在上的投影为，在x轴上的投影为2，且，则为（）A．（2，14）B．C．D．（2，8）10．（2004•贵州）已知球的表面积为20π，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心到平面ABC 的距离为（）A．1B．C．D．211．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（）A．B．1C．D．12．在四面体P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是面ABC内一点，M到三个面PAB，PBC，PCA的距离分别是2，3，6，则M到P的距离是（）A．7B．8C．9D．1013．一个n棱锥的所有侧面与底面所成二面角都为30°，若此棱锥的底面积为S，则它的侧面积为（）A．B．C．D．14．正四棱锥的底面边长等于2，侧面与底面成60°的二面角，此四棱锥体积为（）A．9B．12 C．15 D．1815．将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D﹣AC﹣B的大小为α（0°＜α＜180°），则三棱锥D ﹣ABC的外接球的体积的最小值是（）A．B．C．D．与α的值有关的数16．下列四个图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图的个数为（）A．1B．2C．3D．417．在矩形ABCD中，AB=1，BC=，PA⊥面ABCD，PA=1，则PC与面ABCD所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°18．如图，直线l是平面α的斜线，AB⊥α，B为垂足，如果θ=45°，∠AOC=60°，则∠BOC=（）A．45°B．30°C．60°D．15°19．PA，PB，PC是从点P引出的三条射线，每两条的夹角均为60°，则直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．20．如图，∠C=90°，AC=BC，M，N分别为BC和AB的中点，沿直线MN将△BMN折起，使二面角B′﹣MN﹣B 为60°，则斜线B'A与平面ABC所成角的正切值为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）21．（2007•安徽）在四面体O﹣ABC中，，，，D为BC的中点，E为AD的中点，则=_________（用a，b，c表示）22．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N，设，，，则向量=_________（用表示）23．已知G是△ABC的重心，O是平面ABC外的一点，若λ，则λ=_________．24．已知点M在平面ABC内，对空间任意一点O，有2A=X M﹣B+4C，则x=_________．25．A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_________26．已知向量=（2，﹣1，2），=（1，0，3），则cos∠OAB=_________．三．解答题（共4小题）27．（2012•浙江）如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=．AD=2，BC=4，AA1=2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．（1）证明：（i）EF∥A1D1；（ii）BA1⊥平面B1C1EF；（2）求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．28．（2012•西山区）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，PA=PB=2，E、F分别为CD、PB的中点，AE=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PAB．（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成的锐二面角的余弦值．29．（2012•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．（1）证明：PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．30．（2012•四川）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB=90°，∠PAB=60°，AB=BC=CA，平面PAB⊥平面ABC．（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．2012年10月胡金朋的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若+，则x 、y 的值分别为（ ）A ． x =1，y=1B ．x=1，y=C ．x=，y=D ．x=，y=1考点： 棱柱的结构特征；空间向量的加减法。

专题1.4 空间向量的应用要点一 法向量及其应用1.直线的方向向量：若A 、B 是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

2. 平面的法向量定义：已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量。

3.平面的法向量确定通常有两种方法：（1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；（2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：（i ）设出平面的法向量为n=（x ，y ，z ）；（ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）；（iii ）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程；（iv ）解方程组，取其中的一个解，即得法向量．由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．要点二、用向量方法判定空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。

（1）线线平行设直线，的方向向量分别是，，则要证明，只需证明，即。

（2）线面平行AB l AB l αl α⊥l a α⊥a a α00n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩1l 2l a b 12//l l //a b ()k k =∈R a b线面平行的判定方法一般有三种：①设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即。

①根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量。

①根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可。

（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。

①若能求出平面，的法向量，，则要证明，只需证明。

专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷）一、单选题 A ．6 B ．10 C ．15 D ．10 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1),1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110cos ,558BC AC ∴<>==⋅． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10. 故选：D ． A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A 【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，， ∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--． 则1111cos,666MN OD MN OD MN OD ⋅===⋅． ∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A ．A 6B 26C 15D 10 【答案】D 【解析】以D 点为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系则A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），1C （0，2，1）∴1BC =（-2，0，1），AC =（-2，2，0），AC 且为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴110cos ,58BC AC 〈〉==⋅．∴BC 1与平面BB 1D 1D 10A ．3B ．23C ．5 D ．25【答案】D 【解析】以B 为原点，BC ，BD ，BA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：设BAt ，0t >，()0,0,0B ，)2,0,0C ，()2,0D ，0,0,A t .0,0,AB t ，2,0,CAt ，2,2,0CD.设平面ACD 的法向量(),,n x y z =，则20220n CA tz n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，得1y =，2z t =，故21,1,n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 因为直线AB 与平面ACD 所成角的正切值为12， 所以直线AB 与平面ACD 5. 即2255211AB nAB nt t ⋅==⋅⋅++，解得2t =.所以平面ACD 的法向量21,1,2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故B到平面ACD的距离为22551112AB ndn⋅===++.故选：DA．215B ．25C．35D．45【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D M B11(1,0,0)=-A D，11(0,1,)2=-D M，11(1,0,)2=MB设平面11A D M的法向量为(,,)m x y z=则111=012xA D my zD M m-=⎧⎧⋅⎪⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎪⎩⎪⎩令1y=可得2z=，所以(0,1,2)=m设直线1B M与平面11A D M所成角为θ，112sin 5552θ⋅===⋅⨯m MB m MB故选：BA ．cos cos αβ=B ．sin sin αβ=C ．coscos t αβ> D ．sin sin αβ<【答案】B 【解析】连接111,AB B D ,如图，在长方体内知12//AB D C ,所以11B AD ∠为异面直线2D C 与1AD 所成的角为α， 易知11AB D 为等边三角形， 所以60α︒=，因为22A D ⊥平面22ABB A ,2AB ⊂平面22ABB A ，所以22A D ⊥2AB 又22AB A B ⊥，2222A D A B A =所以2AB ⊥平面22A BCD ， 同理可得1B C ⊥平面11ABC D ，则2AB →，1B C →可分别视为平面22A BCD ，平面11ABC D 的一个法向量，又因为在长方体内易知21//AD B C ，而2260D AB ∠=︒ 故2AB →与1B C →的夹角为60︒， 所以60β︒=或120β︒=，即sin sin αβ=， 故选：BA ．123θθθ<<B ．213θθθ<<C ．321θθθ<<D ．231θθθ<<【答案】D 【解析】设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，D 是棱BC 的中点， 以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，)13,1,2B ，()0,2,0C ，33,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC =，131,222B D ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()113,1,0=A B ，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，111cos 25B D AC BD ACθ⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n =，121sin 5BD n BD nθ⋅∴==⋅ 222cos 155θ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭设平面11A B D 的法向量(),,m a b c =，则1113031202m A B a b m B D b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，取3a =33,3,2m ⎛⎫=-- ⎪⎭， 二面角111C A B D --的平面角为3θ，332cos 575749m n m nθ⋅∴===⋅，231cos cos cos θθθ>>， ∴231θθθ<<故选：DA ．2123,θθθθ<<B ．2123,θθθθ><C ．2123,θθθθ<>D ．2123,θθθθ>>【答案】A 【解析】由题可知，直三棱柱111ABC A B C -的底面为锐角三角形，D 是棱BC 的中点， 设三棱柱111ABC A B C -是棱长为2的正三棱柱，以A 为原点，在平面ABC 中，过A 作AC 的垂线为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2A ，)13,1,2B ，()0,2,0C ，33,,022D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,2,0AC →=，11,22B D →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，)11A B →=，直线1B D 与直线AC 所成的角为1θ，10,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，111cos B D ACB D ACθ→→→→⋅∴==⋅直线1B D 与平面111A B C 所成的角为2θ，20,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 平面111A B C 的法向量()0,0,1n →=，121sin B D nB D nθ→→→→⋅∴==⋅，2cos θ∴== 设平面11A B D 的法向量(),,m a b c →=，则11130312022m A B ab m B D a bc ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 取a =33,2m →⎫=--⎪⎭， 二面角111C A B D --的平面角为3θ， 由图可知，3θ为锐角，即30,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 33cos m nm nθ→→→→⋅∴===⋅231cos cos cos θθθ>>，由于cos y θ=在区间()0,π上单调递减，∴231θθθ<<，则2123,θθθθ<<.故选：A.A ．2γβα≤≤B ．2γβα≤≤ C ．2γαβ≤≤D ．2γαβ≤≤【答案】A 【解析】因为空间线段AC AB ⊥，BD AB ⊥， 所以可将其放在矩形中进行研究，如图，绘出一个矩形，并以A 点为原点构建空间直角坐标系：因为::1:3:1AC AB BD =，所以可设AC x =，3AB x =，BD x =，则()0,0,0A ，0,3,0B x ，0,0,C x ，,3,0D x x ，,3,CD x x x ，0,3,0AB x ，0,3,CB x x ，故CD 与AB 所成的角α的余弦值22311cos α113CD AB CD ABx x， 因为根据矩形的性质易知平面ABD ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ， 所以二面角C AB D --的平面角为γ90，γ452，γ2cos22， 所以BCD ∠即CD 与面ABC 所成的角β，故110 cosβ11CD CBCDCB，因为110311211112，所以2γβα≤≤，故选：A.A．16+8πB．32+16πC．32+8πD．16+16π【答案】A【解析】设D在底面半圆上的射影为1D，连接1AD交BC于O，设1111A DBC O⋂=.依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC==∠=︒，D为半圆弧的中点，所以1111,AD BC A D B C⊥⊥且1,O O分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接1OO，则1OO与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO为,,x y z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h>，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h-，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h=--=-，由于异面直线BD和1AB所成的角的余弦值为23，所以212212388BD AB hBD AB h h⋅==⋅+⋅+，即2222,16,483h h h h ===+. 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：A二、多选题A ．,,,AB M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,,A B M N 共面 B ．已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底 C ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为2(2,0,)3n =-，则直线//l αD ．若直线l 的方向向量为(1,0,3)e =，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的正弦5【答案】ABD 【解析】对于A ，,,,A B M N 是空间中的四点，若,,BA BM BN 不能构成空间基底，则,,BA BM BN 共面，则,,,A B M N 共面，故A 对；对于B ，已知{},,a b c 为空间的一个基底，则,,a b c 不共面，若m a c =+，则,,a b m 也不共面，则{},,a b m 也是空间的基底，故B 对；对于C ，因为21(2)+00+3=03e n ⋅=⨯-⨯⨯，则e n ⊥，若l α⊄，则//l α，但选项中没有条件l α⊄，有可能会出现l α⊂，故C 错；对于D ，∵cos ,e n e n e n =51022==⨯，则则直线l 与平面α所成角的正弦值为5，故D 对； 故选：ABD ．A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB ADAB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=, 显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以1116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：ABA ．1B G BC ⊥ B ．平面AEF 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEFD ．二面角E AF C --的大小为4π【答案】BC 【解析】由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ， 则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点， 可知11////EF BC AD ，所以AEF ∆⊂平面1AD EF ， 则平面AEF平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴， 则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则00n AF n EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =，所以10A H n ⋅=，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确； 由图可知，1AA ⊥平面AFC ，所以1AA 是平面AFC 的法向量， 则1112cos ,3AA n AA n AA n⋅<>===⋅. 得知二面角E AF C --的大小不是4π，所以D 不正确. 故选：BC.14．正三棱柱111ABC A B C -中，13AA =，则（ ） A ．1AC 与底面ABC 的成角的正弦值为12 B ．1AC 与底面ABC 3C ．1AC 与侧面11AA B B 的成角的正弦值为34D ．1AC 与侧面11AA B B【答案】BC 【解析】如图，取11A C 中点E ，AC 中点F ，并连接EF ， 则1EB ，1EC ，EF 三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系； 设2AB =；则1AA = 1(0A ∴，1-，0)，1(0C ，1，0)，(0A ，1-，，(0C ，1，；1B 0，0)，∴(10,2,AC =-．底面ABC的其中一个法向量为：(m =，1AC ∴与底面ABC的成角的正弦值为11112cos ,4m AC m AC m AC -<>===⨯⨯，； A ∴错B 对．11A B 的中点K 的坐标为12-，0)；∴侧面11AA B B 的其中一个法向量为：13,02KC ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭； 1AC ∴与侧面11AA B B 的成角的正弦值为：111111cos 4,4AC KC AC KC AC KC <>===⨯⨯，； 故C 对D 错； 故选：BC ．三、单空题【答案】π3【解析】设直线PA与平面α所成的角为θ，则s102342 131022444in cos n PA n PAθθ===--⋅=⋅++++，∴直线PA与平面α所成的角为π3．故答案为：π3．【答案】1 6【解析】设AB=2,作CO⊥面ABDEOH ⊥AB ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C −AB −D 的平面角，3CH =OH =CH cos ∠CHO =1，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，3,11(),2212AN EM CH AN AC AB EM AC AE AN EM ====+=-∴⋅=故EM ,AN 112633=⋅。