九年级数学期末试卷测试卷(解析版)

人教版九年级上学期期末数学试卷（含答案）一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．22．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（）A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×1084．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a25．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．6．sin60°＝（）A．B．C．D．7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2＝5000B．3000（1+x）2＝5000C．3000（1+x%）2＝5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝50008．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：29．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小雨中途休息用了4分钟B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：2a2﹣8a＝．12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是．13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是．14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为．15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C 恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝，FP＝．三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．18．（6分）计算： 19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC 沿x 轴翻折得到△AB 1C 1，在图中画出△AB 1C 1．（2）将△ABC 以点A 为位似中心放大2倍．（3）求△ABC 的面积．20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：社团名称 A ．酵素制作社团B ．回收材料小制作社团C ．垃圾分类社团D ．环保义工社团E ．绿植养护社团 人数 10 15 5 10 5（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 ；（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．（1）求证：AB＝AC．（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（在下列四个选项中，只有-项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣的绝对值是（）A．﹣B．﹣2C．D．2【分析】根据绝对值的定义直接计算即可解答．【解答】解：﹣的绝对值为．故选：C．【点评】本题主要考查绝对值的性质．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．绿色饮品B．绿色食品C．有机食品D．速冻食品【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图形重合．3．电影《长津湖》票房突破58亿元，5800000000用科学记数法表示为（）A．5.8×108B．5.8×109C．0.58×109D．58×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：5800000000＝5.8×109．故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．4．下列运算结果正确的是（）A．3a﹣a＝2B．a2•a4＝a8C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（﹣a）2＝﹣a2【分析】根据合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则正确计算即可求出正确答案．【解答】解：3a和a属于同类项，所以3a﹣a＝2a，故A项不符合题意，根据同底数幂的乘法运算法则可得a2•a4＝a6，故B项不符合题意，根据平方差公式（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故C项符合题意，（﹣a）2＝a2，故D项不符合题意，故选：C．【点评】本题主要考查合并同类项原则、同底数幂的乘法运算法则、平方差公式以及幂的乘方运算法则，熟练运用运算法则是解题的关键．5．在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．B．C．D．【分析】直接利用概率公式计算可得．【解答】解：在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为＝．故选：C．【点评】本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．6．sin60°＝（）A．B．C．D．【分析】利用特殊角的三角函数值解答即可．【解答】解：sin60°＝．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°＝；cos30°＝；tan30°＝；sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；sin60°＝；cos60°＝；tan60°＝．7．某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．3000x2＝5000B．3000（1+x）2＝5000C．3000（1+x%）2＝5000D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000【分析】增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2012年投入3000万元，预计2014年投入5000万元”，可以分别用x表示2012以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，则2013的教育经费为：3000×（1+x）万元，2014的教育经费为：3000×（1+x）2万元，那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的运用，解此类题一般是根据题意分别列出不同时间按增长率所得教育经费与预计投入的教育经费相等的方程．8．如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、AC边上，DE∥BC．若DE：BC＝2：3，则S△ADE：S△ABC为（）A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2【分析】根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比．【解答】解：∵△ADE∽△ABC，DE：BC＝2：3∴S△ADE：S△ABC＝4：9故选：A．【点评】熟练掌握三角形的性质．9．今年“五一”节，小雨骑自行车从家出发去图书馆学习，她从家到图书馆过程中，中途休息了一段时间，设她从家出发后所用的时间为t（分钟），所走的路程为S（米），S与t之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是（）A．小雨中途休息用了4分钟B．小雨休息前骑车的速度为每分钟400米C．小雨在上述过程中所走的路程为6600米D．小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度【分析】根据函数图象可知，小雨6分钟所走的路程为2400米，6～10分钟休息，10～16分钟所走的路程为（4200﹣2400）米，所走的总路程为4200米，根据路程、速度、时间之间的关系进行解答即可．【解答】解：A、小雨中途休息用了10﹣6＝4（分钟），正确，不符合题意；B、小雨休息前骑车的速度为每分钟＝400（米），正确，不符合题意；C、小雨在上述过程中所走的路程为4200米，错误，符合题意；D、小雨休息后骑车的速度为每分钟＝300（米）＜400米，∴小雨休息前骑车的平均速度大于休息后骑车的平均速度，正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键．10．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30cm，斜坡的倾角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（）A．75cm B．50cm C．30cm D．45cm【分析】根据正切的定义计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，tan A＝，则＝，解得：AC＝75，则斜坡的水平距离AC为75cm，故选：A．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握正切的定义是解题的关键．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．分解因式：2a2﹣8a＝2a（a﹣4）．【分析】原式提取2a即可得到结果．【解答】解：原式＝2a（a﹣4），故答案为：2a（a﹣4）【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．12．在函数y＝﹣中，自变量x的取值范围是x≥5．【分析】根据二次根式的性质被开方数大于等于0，列不等式求解．【解答】解：依题意，得x﹣5≥0，解得x≥5．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．13．某市在一次空气污染指数抽查中，收集到6天的数据如下：61，74，70，56，80，91．该组数据的中位数是72．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解答】解：从小到大排列此数据为：56，61，70，74，80，91，处在第3和第4位两个数的平均数为中位数，故中位数是（70+74）÷2＝72．故答案为：72．【点评】本题考查了中位数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）．14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则m的值为1．【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，则有Δ＝0，得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即22﹣4×1×[﹣（m﹣2）]＝0，解得m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．15．扇形的半径为5，圆心角等于120°，则扇形的面积等于π．【分析】根据扇形面积公式S＝进行计算即可．【解答】解：S扇形＝＝π．故答案为π．【点评】本题考查了扇形的面积的计算．解答该题的关键是熟记扇形的面积公式．16．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且DC＝3DE＝3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C 恰好落在AD边上的点P处，则∠EFC＝30°，FP＝2．【分析】先求出DE＝a，CE＝2a，再根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE ＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF，利用勾股定理列式求出FC，从而得解．【解答】解：∵DC＝3DE＝3a，∴DE＝a，CE＝2a，由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，∴在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，∴∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，∴∠CFE＝∠CFP＝×60°＝30°，∴EF＝2CE＝2×2a＝4a，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FP＝FC＝＝＝2a，故答案为：30°，2a．【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并确定出直角三角形中30°的角是解题的关键．三、解答题（本大题共9个题，第17，18，19每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题9分，第24，25题每题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）计算：（﹣1）2021+|﹣2|+4sin30°﹣（﹣π）0．【分析】按照实数的运算法则依次展开计算即可得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+2+4×﹣1＝﹣1+2+2﹣1＝2．【点评】本题考查实数的混合运算，涉及绝对值、零指数幂、正整数幂，特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握其运算法则，细心运算是解题的关键．18．（6分）计算：【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝×﹣＝﹣＝＝﹣1【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．19．（6分）如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）将△ABC沿x轴翻折得到△AB1C1，在图中画出△AB1C1．（2）将△ABC以点A为位似中心放大2倍．（3）求△ABC的面积．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出B ，C 的对应点B 1，C 1即可；（2）利用位似变换的性质分别作出B ，C 的对应点E ，F 即可；（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．【解答】解：（1）如图，△AB 1C 1即为所求；（2）如图，△AEF 即为所求；（3）△ABC 的面积＝2×3﹣×1×2﹣×1×2﹣×1×3＝2.5．【点评】本题考查作图﹣位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握位似变换，轴对称变换的性质，属于中考常考题型．20．（8分）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类社团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：社团名称 A ．酵素制作社团B ．回收材料小制作社团C ．垃圾分类社团D ．环保义工社团E ．绿植养护社团 人数 10 15 5 10 5（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是 10 ；（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率．【分析】（1）根据中位数的定义即可判断；（2）求出没有选择的百分比，高度和E相同，即可画出图形；（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；（4）画出树状图即可解决问题；【解答】解：（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，故答案为10．（2）没有选择的占1﹣10%﹣30%﹣20%﹣10%﹣20%＝10%，条形图的高度和E相同；如图所示：（3）1400×20%＝280（名）答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率＝．【点评】此题考查了扇形统计图，条形统计图，列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．21．（8分）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求∠APB的度数；（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？【分析】（1）在△ABP中，求出∠P AB、∠PBA的度数即可解决问题；（2）作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；【解答】解：（1）∵∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°．（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝50，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝50×＝25，∵25＞25，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（9分）在建设美好乡村活动中，某村民委员会准备在乡村道路两旁种植柏树和杉树．经市场调查发现：购买2棵柏树和3棵杉树共需440元，购买3棵柏树和1棵杉树共需380元．（1）求柏树和杉树的单价；（2）若本次美化乡村道路购买柏树和杉树共150棵（两种树都必须购买），且柏树的棵数不少于杉树的3倍，设本次活动中购买柏树x棵，此次购树的费用为w元．①求w与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围？②要使此次购树费用最少，柏树和杉树各需购买多少棵？最少费用为多少元？【分析】（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，可得：，即可解得柏树每棵100元，杉树每棵80元；（2）①由柏树的棵数不少于杉树的3倍，有x≥3（150﹣x），而w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，即知w ＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；②由一次函数性质可得柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．【解答】解：（1）设柏树每棵m元，杉树每棵n元，根据题意得：，解得，∴柏树每棵100元，杉树每棵80元；（2）①∵柏树的棵数不少于杉树的3倍，∴x≥3（150﹣x），解得x≥112.5，根据题意得：w＝100x+80（150﹣x）＝20x+12000，∴w＝20x+12000（x≥112.5且x是整数）；②∵20＞0，∴w随x的增大而增大，∵x是整数，∴x最小取113，∴当x＝113时，w取最小值20×113+12000＝14260，此时150﹣x＝150﹣113＝37，答：要使此次购树费用最少，柏树购买113棵，杉树购买37棵，最少费用为14260元．【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．23．（9分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与CA的延长线交于点E，⊙O的切线DF与AC垂直，垂足为F．（1）求证：AB＝AC．（2）若CF＝2AF，AE＝4，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OD⊥DF，进而得出OD∥AC，根据平行线的性质、等腰三角形的判定和性质定理证明结论；（2）连接BE、AD，根据圆周角定理得到AD⊥BC，BE⊥EC，根据等腰三角形的性质得到BD＝DC，进而得到AC＝12，得到答案．【解答】（1）证明：如图，连接OD，∵DF是⊙O的切线，∴OD⊥DF，∵DF⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC；（2）解：如图，连接BE、AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC，BE⊥EC，∵AB＝AC，∴BD＝DC，∵DF⊥AC，BE⊥EC，∴DF∥BE，∵BD＝DC，∴CF＝FE，∵CF＝2AF，AE＝4，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12，∴⊙O的半径为6．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．24．（10分）定义：（一）如果两个函数y1，y2，存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2为“合作函数”，称对应x的值为y1，y2的“合作点”；（二）如果两个函数为y1，y2为“合作函数”，那么y1+y2的最大值称为y1，y2的“共赢值”．（1）判断函数y＝x+2m与y＝是否为“合作函数”，如果是，请求出m＝1时它们的合作点；如果不是，请说明理由；（2）判断函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是否为“合作函数”，如果是，请求出合作点；如果不是，请说明理由；（3）已知函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，且有唯一合作点．①求出m的取值范围；②若它们的“共赢值”为24，试求出m的值．【分析】（1）由于y＝x+2m与y＝都经过第一、第三象限，所以两个函数有公共点，可以判断两个函数是“合作函数”，再联立x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，即可求“合作点”；（2）假设是“合作函数”，可求“合作点”为x＝m+，再由|x|≤2，可得当﹣≤m≤时，是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，不是“合作函数”；（3）①由已知可得：x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），解得x＝m+3或x＝m﹣1，再由已知可得当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，因为只有一个“合作点”则﹣3≤m＜1或2＜m≤6；②y1+y2＝（x﹣m）2+6m﹣3，由①可分两种情况求m的值：当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22＝24，当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3＝24，分别求出符合条件的m值即可．【解答】解：（1）∵y＝x+2m是经过第一、第三象限的直线，y＝是经过第一、第三象限的双曲线，∴两函数有公共点，∴存在x取同一个值，使得y1＝y2，∴函数y＝x+2m与y＝是“合作函数”；当m＝1时，y＝x+2，∴x+2＝，解得x＝﹣4或x＝2，∴“合作点”为x＝2或x＝﹣4；（2）假设函数y＝x+2m与y＝3x﹣1是“合作函数”，∴x+2m＝3x﹣1，∴x＝m+，∵|x|≤2，∴﹣2≤m+≤2，∴﹣≤m≤，∴当﹣≤m≤时，函数y＝x+2m与y＝3x﹣1（|x|≤2）是“合作函数”；当m＞或m＜﹣时，函数y＝x+2m 与y＝3x﹣1（|x|≤2）不是“合作函数”；（3）①∵函数y＝x+2m与y＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）（0≤x≤5）是“合作函数”，∴x+2m＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3），∴x2﹣（2m+2）x+（m2+2m﹣3）＝0，∴x＝m+3或x＝m﹣1，∵0≤x≤5时有唯一合作点，当0≤m+3≤5时，﹣3≤m≤2，当0≤m﹣1≤5时，1≤m≤6，∴﹣3≤m＜1或2＜m≤6时，满足题意；②∵y1+y2＝x2﹣（2m+1）x+（m2+4m﹣3）+x+2m＝x2﹣2mx+m2+6m﹣3＝（x﹣m）2+6m﹣3，∴对称轴为x＝m，∵﹣3≤m＜1或2＜m≤6，当﹣3≤m＜1时，x＝5时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2﹣4m+22，∴m2﹣4m+22＝24，∴m＝2+或m＝2﹣，∴m＝2﹣；当2＜m≤6时，x＝0时，y1+y2在0≤x≤5的有最大值为m2+6m﹣3，∴m2+6m﹣3＝24，∴m＝3或m＝﹣9，∴m＝3；综上所述：m＝2﹣或m＝3．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；理解题意，熟练掌握一次函数、二次函数的图象及性质是解题的关键．25．（10分）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（3，0），D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），点E，P为抛物线的对称轴上的动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当BE+DE最小时，求此时点E的坐标；（3）若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由对称轴﹣＝1，可知b＝﹣2a，再将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，即可求函数的解析式；（2）连接BA交对称轴于点E，连接DE，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，又由∠OAB＝45°，可求CE＝2，则E（1，2）；（3）设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，PM＝P A，过M点作MG⊥PC交于G，证明△PGM≌△ACP（AAS），可求M（1+t，t+2），再将M代入函数解析式即可求M（2，3）；当∠P AM＝90°时，AM＝AP，过A点作AH⊥x 轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△P AC（AAS），求出M（3+t，2），再将M代入函数解析式即可求M（2+，2）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），求出M（2+t，1+t），再将M代入函数解析式即可求M（，）．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴与x轴交于点C（1，0），∴﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+3，将A（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+3，∴9a﹣6a+3＝0，解得a＝﹣1，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴D（﹣1，0），令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，连接BA交对称轴于点E，连接DE，∵A、D关于直线x＝1对称，∴DE＝AE，∴BE+DE＝AE+BE≥AB，当A、B、E三点共线时，BE+DE的值最小，∵OA＝OB＝3，∴∠OAB＝45°，∴AC＝CE，∵AC＝2，∴CE＝2，∴E（1，2）；（3）存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：设P（1，t），当AM为正方形的对角线时，如图2，PM＝P A，过M点作MG⊥PC交于G，∵∠MP A＝90°，∴∠GPM+∠CP A＝90°，∵∠GPM+∠GMP＝90°，∴∠CP A＝∠GMP，∵PM＝AP，∴△PGM≌△ACP（AAS），∴GM＝CP＝t，PG＝AC＝2，∴M（1+t，t+2），∴t+2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，解得t＝﹣2或t＝1，∵M点在x轴上方，∴t＝1，∴M（2，3）；当∠P AM＝90°时，AM＝AP，如图3，过A点作AH⊥x轴，过M点作MH⊥AH交于点H，同理可证△MAH≌△P AC（AAS），∴AH＝AC＝2，CP＝MH＝﹣t，∴M（3+t，2），∴2＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t＝﹣2+或t＝﹣2﹣，∴M（2+，2）或（2﹣，2）（舍去）；当∠PMA＝90°时，PM＝AM，如图4，过点M作TS∥x轴交对称轴于点T，过点A作AS⊥ST交于点S，同理可得△MPT≌△AMS（AAS），∴TP＝SM，SA＝MT，∴M（2+t，1+t），∴1+t＝﹣（2+t）2+2（2+t）+3，解得t＝﹣3+或t＝﹣3﹣（舍去），∴M（，）；综上所述：M点坐标为（2，3）或（2+，2）或（，）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．。

2023-2024学年湖北省武汉市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，不是中心对称图形的是( )A. B. C. D.2.盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个.小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是( )A. 一定是红球B. 摸出红球的可能性最大C. 不可能是黑球D. 摸出黄球的可能性最小3.方程x 2−6x−5=0经过配方后，所得的方程是( )A. (x−6)2=30B. (x−6)2=41C. (x−3)2=4D. (x−3)2=144.在平面直角坐标系中，以点(−3,4)为圆心，3为半径的圆( )A. 与x 轴相离，与y 轴相切B. 与x 轴相离，与y 轴相交C. 与x 轴相切，与y 轴相交D. 与x 轴相切，与y 轴相离5.已知x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax +b =0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是( )A. a =3，b =1B. a =3，b =−1C. a =−32，b =−1D. a =−32，b =16.二次函数y =−(x +1)2+2的图象大致是( )A. B.C. D.7.若A (−4,y 1)，B (−3,y 2)，C (1,y 3)为二次函数y =ax 2+4ax +a (a >0)的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 1<y 3C. y 3<y 1<y 2D. y 1<y 3<y 28.四张背面完全相同的卡片上分别写有1、2、3、4四个数字，把卡片背面朝上洗匀后，王明从这四张卡片中随机选两张，则王明选中的卡片中有偶数的概率是( )A. 56B. 34C. 12D. 239.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点O在原点上，OA边在x轴的正半轴上，AB⊥x轴，AB=1，∠AOB=30°，将△OAB绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点B的坐标为( )A. (1,3)B. (1,−3)C. (−3,1)D. (−1,3)10.定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”.现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为( )A. 22B. 2−2C. 2−1D. 22−2二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=153．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞16．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=427．三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+39．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（4，﹣2）B．（﹣4，2）C．（﹣2，﹣4）D．（2，4）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y轴是解题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x﹣4）2=17 C．（x+4）2=15 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程﹣配方法．【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1=0，∴x2﹣8x=1，∴x2﹣8x+16=1+16，即（x﹣4）2=17，故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3．随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4．如图，经过原点O的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（）A．80°B．90°C．100° D．无法确定【考点】圆周角定理；坐标与图形性质．【分析】根据圆周角定理即可得．【解答】解：∵∠ACB与∠AOB所对的弧是同一段弧，且∠AOB=90°，∴∠ACB=∠AOB=90°，故选：B．【点评】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．5．在二次函数y=x2﹣2x+3的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＜1 D．x＞1【考点】二次函数的性质．【分析】抛物线y=x2﹣2x+3中的对称轴是直线x=1，开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大．【解答】解：∵a=1＞0，∴二次函数图象开口向上，又∵对称轴是直线x=﹣=1，∴当x＞1时，函数图象在对称轴的右边，y随x的增大而增大．故选D．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质：当a＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．6．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=21 B．x（x+1）=21 C．x（x﹣1）=42 D．x（x+1）=42【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（2016•海南）三张外观相同的卡片分别标有数字1、2、3，从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（）A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于3的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率==．故选A．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8．如果将抛物线y=x2+2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2 B．y=（x+1）2C．y=x2+1 D．y=x2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，2），向左平移1个单位，向下平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+1）2．故选B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式9．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB'C'的位置，使得CC'∥AB，则∠BAB'=（）A．30°B．35°C．40°D．50°【考点】旋转的性质．【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC=AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠C′CA=∠CAB=65°．∵由旋转的性质可知；AC=AC′，∴∠ACC′=∠AC′C=65°．∴∠CAC′=180°﹣65°﹣65°=50°．∴∠BAB′=50°．故选D．【点评】本题主要考查的是旋转的性质，得到∠C′CA=65°以及AC=AC′是解题的关键．10．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是弧AB的中点，点D 在OB上，点E在OB的延长线上，若正方形CDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣2 B．2π﹣2 C．4π﹣4 D．4π﹣8【考点】扇形面积的计算；正方形的性质．【分析】连结OC，根据勾股定理可求OC的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积，依此列式计算即可求解．【解答】解：连接OC∵在扇形AOB中∠AOB=90°，正方形CDEF的顶点C是的中点，∴∠COD=45°，∴OC=CD=2，∴阴影部分的面积=扇形BOC的面积﹣三角形ODC的面积=×π×（2）2﹣×22=π﹣2．故选：A．【点评】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．点P（2，﹣3）关于原点的对称点P′的坐标为（﹣2，3）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【专题】常规题型．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，即可求出答案．【解答】解：因为关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，所以：点（2，﹣3）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，3）．故答案为：（﹣2，3）．【点评】考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．一元二次方程x2﹣16=0的解是x1=﹣4，x2=4．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【专题】计算题．【分析】方程变形后，开方即可求出解．【解答】解：方程变形得：x2=16，开方得：x=±4，解得：x1=﹣4，x2=4．故答案为：x1=﹣4，x2=4【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．13．抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标是（﹣1，0）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】把a、b、c的值直接代入顶点的公式中计算即可．【解答】解：∵a=1，b=2，c=1，∴﹣=﹣=﹣1，==0，故答案是（﹣1，0）．【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握顶点的计算公式．14．若⊙O是等边△ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边△ABC的边长为．【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．【分析】首先连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，由⊙O是等边△ABC的外接圆，即可求得∠OBC的度数，然后由三角函数的性质即可求得OD的长，又由垂径定理即可求得等边△ABC的边长．【解答】解：连接OB，OC，过点O作OD⊥BC于D，∴BC=2BD，∵⊙O是等边△ABC的外接圆，∴∠BOC=×360°=120°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB===30°，∵⊙O的半径为2，∴OB=2，∴BD=OB•cos∠OBD=2×cos30°=2×=，∴BC=2BD=2．∴等边△ABC的边长为2．故答案为：2．【点评】本题考查了垂径定理，圆的内接等边三角形，以及三角函数的性质等知识．此题难度不大，解题的关键是掌握数形结合思想的应用与辅助线的作法．15．用一根长为16cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是16cm2．【考点】二次函数的应用．【分析】先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可．【解答】解：设矩形的一边长为xcm，所以另一边长为（8﹣x）cm，其面积为s=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴周长为16cm的矩形的最大面积为16cm2．故答案为：16．【点评】此题考查的是二次函数在实际生活中的应用及求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出；第二种是配方法；第三种是公式法．常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=﹣x2﹣2x+5，y=3x2﹣6x+1等用配方法求解比较简单．16．已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=2，EC=1（如图所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为1或5．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC上的点”，所以有两种情况，即一个是逆时针旋转，一个顺时针旋转，根据旋转的性质可知．【解答】解：旋转得到F1点，∵AE=AF1，AD=AB，∠D=∠ABC=90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C=1；旋转得到F2点，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B=DE=2，F2C=F2B+BC=5．【点评】本题主要考查了旋转的性质．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）17．设二次函数的图象的顶点坐标为（﹣2，2），且过点（1，1），求这个函数的关系式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=a（x+2）2+2，然后把点（1，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设这个函数的关系式为y=a（x+2）2+2，把点（1，1）代入y=a（x+2）2+2得9a+2=1，解得a=﹣，所以这个函数的关系式为y=﹣（x+2）2+2．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得到关于a的一元二次方程1﹣2a+a2=0，然后解此一元二次方程即可．【解答】解：把x=﹣1代入x2+2ax+a2=0得1﹣2a+a2=0，解得a1=a2=1，所以a的值为1．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．19．在数学活动课中，同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知△ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中，以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．【考点】作图—应用与设计作图；等腰直角三角形；扇形面积的计算；圆锥的计算．【分析】（1）根据题意作出图形即可；（2根据勾股定理得到AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，根据等腰三角形的性质得到CD⊥AB，根据弧长的公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图所示：扇形CEF为所求作的图形；（2）∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，∴AB=，由（1）可知CD平分∠ACB，∴CD⊥AB，∴CD=，设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr=，∴r=，答：所制作圆锥底面的半径长为．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，等腰直角三角形的性质，弧长的计算，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）20．小明、小林是三河中学九年级的同班同学，在四月份举行的自主招生考试中，他俩都被同一所高中提前录取，并将被编入A、B、C三个班，他俩希望能再次成为同班同学．（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；（2）求两人再次成为同班同学的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）画树状图法或列举法，即可得到所有可能的结果；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率．【解答】解：（1）画树状图如下：由树形图可知所以可能的结果为AA，AB，AC，BA，BB，BC，CA，CB，CC；（2）由（1）可知两人再次成为同班同学的概率==．【点评】本题涉及列表法和树状图法以及相关概率知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．已知关于的方程x2+2x+m﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系即可得出关于m、x1的二元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）依题意得：△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（m﹣2）=12﹣4m＞0，解得：m＜3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为m＜3．（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，∴m的值为﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于m、x1的二元一次方程组．22．在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．（1）求每张门票的原定票价；（2）根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率．【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．【分析】（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据“按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元”建立方程，解方程即可；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程，解方程即可．【解答】解：（1）设每张门票的原定票价为x元，则现在每张门票的票价为（x﹣80）元，根据题意得=，解得x=400．经检验，x=400是原方程的根．答：每张门票的原定票价为400元；（2）设平均每次降价的百分率为y，根据题意得400（1﹣y）2=324，解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）．答：平均每次降价10%．【点评】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）23．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．（1）求证：BE=CF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．【考点】旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE 为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CF；（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE=AC=，∴BD=BE﹣DE=﹣1．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若AF=6，EF=2，求⊙O 的半径长．【考点】切线的性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥AD，而AD⊥DP，则肯定判断OC∥AD，根据平行线的性质得∠DAC=∠OCA，加上∠OAC=∠OCA，所以∠OAC=∠DAC；（2）根据圆周角定理由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，则∠BCE=45°，再利用圆周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°，则∠OFE+∠OEF=90°，易得∠CFP+∠OEF=90°，再根据切线的性质得到∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，根据等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP，于是可判断△PCF是等腰三角形；（3）连结OE．由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据角平分线的定义得到∠BCE=45°，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：∵PD为⊙O的切线，∴OC⊥DP，∵AD⊥DP，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠DAC，∴AC平分∠DAB；（2）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=2∠BCE=90°，∴∠OFE+∠OEF=90°，而∠OFE=∠CFP，∴∠CFP+∠OEF=90°，∵OC⊥PD，∴∠OCP=90°，即∠OCF+∠PCF=90°，而∠OCF=∠OEF，∴∠PCF=∠CFP，∴△PCF是等腰三角形；（3）解：连结OE．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=45°，∴∠BOE=90°，即OE⊥AB，设⊙O 的半径为r，则OF=6﹣r，在Rt△EOF中，∵OE2+OF2=EF2，∴r2+（6﹣r）2=（2）2，解得，r1=4，r2=2，当r1=4时，OF=6﹣r=2（符合题意），当r2=2时，OF=6﹣r=4（不合题意，舍去），∴⊙O的半径r=4．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）设P（x，y），PD的长度为l，求l与x的函数关系式，并求l的最大值；（3）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，求得方程方程的解，从而可得到点A、B的坐标，设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入可求得m、n的值，故此可得到AC的解析式为y=﹣x+3上，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），然后依据l=D y ﹣P y列出l与x的函数关系式，依据二次根式的性质可求得PD的最大值；（3）①当点P为直角顶点时，点P与点B重合，②当点A为直角顶点时，可证明∠DAO=∠PAO，然后可证明点D与P关于x轴对称，设D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），依据关于x轴对称点的纵坐标互为相反数可列出关于x的方程，从而可求得x的值，故此可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴设y=a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入上式得3=a（0﹣2）2﹣1，解得：a=1，∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3．（2）令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3，∵点A在点B的右边，∴A （3，0），B（1，0）设直线AC的函数关系式为y=mx+n，将A（3，0），C（0，3）代入上式得，，解得：，∴y=﹣x+3．∵D在y=﹣x+3上，P在y=x2﹣4x+3上，且PD∥y轴，∴D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴l=PD=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=∴当时，l取得最大值为．（3）分两种情况：①当点P为直角顶点时，如图1，点P与点B重合，由（2）可知B（1，0），∴P（1，0）．②当点A为直角顶点时，如图2，∵OA=OC，∠AOC=90°，∴∠OAD=45°，当∠DAP=90°时，∠OAP=45°，∴AO平分∠DAP，又∵PD∥y轴，∴PD⊥AO，∴P与D关于x轴对称，∵D（x，﹣x+3），P（x，x2﹣4x+3），∴（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，整理得x2﹣5x+6=0，∴x1=2，x2=3（舍去），当x=2时，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1，∴P的坐标为P（2，﹣1）．∴满足条件的P点坐标为P（1，0），P（2，﹣1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质、依据l=D y﹣P y列出l与x的函数关系式是解答问题（2）的关键，证得点D与P关于x轴对称，利用关于x轴对称点的特点列出关于x的方程是解答问题（3）的关键．。

浙江省杭州市余杭区2019-2019学年上学期期末考试九年级数学试卷一、选择题1．（3分）sin30°的值是（）A．B．C．D．【专题】常规题型．【分析】根据特殊角的三角函数值可得答案．【解答】解：sin30°=故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握30°、45°、60°角的各种三角函数值．2．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）A．打开电视机正在播放广告B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C．任意画一个三角形，其内角和为180°D．任意一个二次函数图象与x轴必有交点【专题】常规题型．【分析】直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次，是随机事件，故此选项错误；C、意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项正确；D、任意一个二次函数图象与x轴必有交点，是随机事件，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了随机事件，正确把握相关事件的定义是解题关键．3．（3分）函数y=x2+2x﹣4的顶点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【专题】常规题型；二次函数图象及其性质．【分析】把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．【解答】解：∵y=x2+2x-4=（x+1）2-5，∴抛物线顶点坐标为（-1，-5），∴顶点在第三象限，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．4．（3分）如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°【专题】圆的有关概念及性质．【分析】根据圆周角定理计算即可；【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=36°，∴∠AOB=72°，故选：D．【点评】本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．（3分）已知AB=2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A．B． C．D．【专题】几何图形．6．（3分）已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2【专题】常规题型．【分析】求出抛物线的对称轴为直线x=-2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】∵a=-2＜0，∴x=-2时，函数值最大，又∵1到-2的距离比-4到-2的距离大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．7．（3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．【专题】网格型．【分析】本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．【点评】此题考查三角形相似判定定理的应用．8．（3分）如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（）A．6 B．C．8 D．【专题】常规题型．【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE=BE，CF=DF，∠OFP=∠OEP=90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，∴∠FPE=90°，OB=10，BE=8，∴四边形OEPF是矩形，OE=6，同理可得，OF=6，∴EP=6，故选：B．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9．（3分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则的值为（）A．sin2α B．cos2α C．tan2α D．tan﹣2α【分析】首先连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=α，又由AB是半圆的直径，可得∠ADB=90°，然后根据同角的余角相等，求得∠ODB=∠BAD=α，再利用三角函数的定义，求得OB与OA，【解答】解：连接AD，BD，∴∠BAD=∠BCD=α，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠ODB+∠OBD=90°，∴∠ODB=∠BAD=α，【点评】此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．10．（3分）一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A．①②④B．①③④C．② D．①②③④【分析】画出图形分三种情形分别求解即可．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题11．（4分）若7x=3y，则=．【专题】计算题．【分析】等式两边都除以7y即可得解．【点评】本题考查了比例的性质，主要是两内项之积等于两外项之积的应用，比较简单．12．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanB=．【专题】计算题；解直角三角形及其应用．【点评】本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的定义．13．（4分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【解答】解得：n=20，故答案为：20．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．14．（4分）如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】首先证明∠D=∠CBD=30°，推出CD=CB=6，在Rt△ECB中，根据EC=BC•sin60°即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（4分）若函数y=（a﹣2）x2﹣4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．【专题】方程思想．【分析】直接利用抛物线与x轴相交，b2-4ac=0，进而解方程得出答案．【解答】解：∵函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a-2）（a+1）=0，解得：a1=-2，a2=3，当函数为一次函数时，a-2=0，解得：a=2．故答案为：-2或2或3．【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．16．（4分）如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC 为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC=．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD 垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题；【解答】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF=DC，OF=OC，∴OD垂直平分线段CF，【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三、解答题17．（6分）现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．【专题】常规题型；概率及其应用．【分析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．【解答】解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为=．【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．18．（8分）如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2019米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）【专题】三角形．【分析】易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCF中，利用正弦函数求出CF即可解决问题．．【解答】解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于F点，并交海面于H点．已知AB=2019（米），∠BAC=30°，∠FBC=60°，∵∠BCA=∠FBC﹣∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=2019（米）．在Rt△BFC中，FC=BC•sin60°=2019×=1000（米）．∴CH=CF+HF=100+600（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（1000+600）米．【点评】本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．19．（8分）如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD=h 为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】首先求得弦心距CO是6-3=3，则在直角三角形中，根据锐角三角函数，可以求得∠AOB=60°×2=120°．再根据弧长公式即可计算．【解答】解：由题意：CO=R﹣h=6﹣3=3（cm）在△BCO中，∵cos∠COB===，∴∠COB=60°，∴∠AOB=60°×2=120°，则==4π（cm）．S弓形ADB=S扇形AOB﹣S△AOB=﹣•6•3=12π﹣9．【点评】本题考查扇形的面积公式、弧长公式、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．（10分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y=x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．【专题】综合题．【分析】（1）设顶点式y=a（x-2）2，然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）①把B点坐标代入y=x+m中求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，14x2-x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），用Q点的纵坐标减去P点的纵坐标可得到h与x的关系式；②根据三角形面积公式，利用S△ABP=S△APQ+S△BPQ得到S△ABP=4（14x2-2x），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2，把B（8，9）代入得a（8﹣2）2=9，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2，即y=x2﹣x+1；（2）①把B（8，9）代入y=x+m得8+m=9，解得m=1，所以直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，x2﹣x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），∴h=x+1﹣（x2﹣x+1）=﹣x2+2x（0＜x＜8）；②S△ABP=S△APQ+S△BPQ=•PQ•8=﹣4（x2﹣2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，当x=4时，△ABP面积有最大值，最大值为16．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．21．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB 上的一个动点．（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．【专题】计算题．【分析】（1）分两种情形构建方程求解即可；整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，即可解决问题；【解答】解：（1）设AP=x．∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当=时，=，解得x=2或8．②当=时，=，解得x=2，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或8；（2）设PA=x，∵△ADP∽△BPC，整理得：x2﹣mx+ab=0，由题意△≥0，∴m2﹣4ab≥0．∴当a，b，m满足m2﹣4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．22．（12分）已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．【专题】常规题型；分类讨论．【分析】（1）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；（2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b＜2和-b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．【解答】解：（1）由y=1得x2+2bx+c=1，∴x2+2bx+c﹣1=0∵△=4b2﹣4b+4=（2b﹣1）2+3＞0，则存在两个实数，使得相应的y=1；（2）由b=c﹣2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=﹣b，①当x=﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，解得b=3；②当x=﹣b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2，解得b=﹣，不合题意，舍去，③当﹣2＜﹣b＜2时，则=﹣3，化简得：b2﹣b﹣5=0，解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．综上：b=3或．【点评】本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．23．（12分）已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF 交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．【专题】综合题．【分析】（1）先表示出OE=8-R，再求出CE=4，利用勾股定理求出R，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等，判断出∠ADG=∠F，即可得出结论；（3）先利用勾股定理求出AD，进而得出DF=AD，再利用勾股定理求出AG，即可得出DG，最后用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为R，∵AE=8，∴OE=8﹣R，∵直径AB⊥CD，∴∠CEO=90°，CE=CD=4，在Rt△CEO中，根据勾股定理得，R2﹣（8﹣R）2=16，∴R=5，即：⊙O的半径为5；（2）如图2，连接BG，∴∠ADG=∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ADG+∠BAG=90°，∵AB⊥CD，∴∠BAG+∠F=90°，∴∠ADG=∠F，∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD；（3）如图3，在Rt△ADE中，AE=8，DE=CD=4，根据勾股定理得，AD=4，连接OG交AD于H，∵点G是的中点，∴AH=AD=2，OG⊥AD，在Rt△AOH中，根据勾股定理得，OH=，在Rt△AHG中，HG=OG﹣OH=5﹣，根据勾股定理得，AG2=AH2+HG2=50﹣10，∵点G是的中点，∴DG=AG=50﹣10，∴∠DAG=∠ADG，由（2）知，∠ADG=∠F，∴∠DAG=∠F，∴DF=AD=4，由（2）知，△ADG∽△AFD，∴=（）2===．【点评】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是利用勾股定理建立方程，解（2）的关键是判断出∠ADG=∠F，解（3）的关键是求出DG．。

人教版九年级下册数学期末测试卷一、单选题(共15题，共计45分)1、一个矩形按如图1的方式分割成三个直角三角形，最小三角形的面积为S，把较大两个三角形纸片按图2方式放置，图2中的阴影部分面积为S2，1若S2＝2S1，则矩形的长宽之比（）A.2B.C.D.2、某物体三视图如图，则该物体形状可能是( ) .A.长方体．B.圆锥体．C.立方体．D.圆柱体．3、如图，夜晚路灯下有一排同样高的旗杆，离路灯越近，旗杆的影子（）A.越长B.越短C.一样长D.随时间变化而变化4、同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是（）A. B. C. D.5、如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（）．A.( ，0)B.( ，)C.( ，)D. (2，2)6、在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边上的高为h，sinA=，则AB的长等于（）A. hB. hC. hD. h7、太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是，则皮球的直径是（）A. B.15 C.10 D.8、如图几何体的主视图是（）A. B. C. D.9、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF ：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正确的结论有（）A.4个B.3个C.2个D.1个10、如图，在正方形中，对角线相交于点O，点E在BC边上，且，连接AE交BD于点G，过点B作于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作交DC于占N，，现给出下列结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确的结论有（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④11、函数y=- ，当x>0时的图象为（）A. B. C. D.12、如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，反比例函数y=，在第一象限内的图象经过点D，且与AB、BC 分别交于E、F两点．若四边形BEDF的面积为6，则k的值为（）A.3B.4C.5D.613、如图，某一时刻，小宁站在斜坡AC上的A处，小李在大楼FD的楼顶F 处，此时小宁望小李的仰角为18.43°.5秒后，小宁沿斜坡AC前进到达C处，小李从大楼F处下楼到大楼E处，此时小李望小宁的俯角为22.6°；然后小李继续下楼，小宁沿CD前往楼底D处，已知小宁的速度为5.2米/秒，大楼FD的高度为30米，斜坡AC的坡度为1：2.4，小李、小宁都保持匀速前进，若斜坡、大楼在同一平面内，小李、小宁的身高忽略不计，则当小李达到楼底D处时，小宁距离D处的距离为（）米.（已知：tan18.43°≈ ，sin18.43°≈ ，cos22.6°≈ ，tan22.6≈ ）A.10B.15.6C.20.4D.2614、如图1是一个手机的支架，由底座、连杆和托架组成（连杆始终在同一平面内），垂直于底座且长度为的长度为的长度可以伸缩调整．如图2，保持不变，转动，使得，假如时为最佳视线状态，则此时的长度为（参考数据：）（）A. B. C. D.15、如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形OAHC中，OC=8，OA=12，B为CH中点，连接AB，动点M从点O出发沿OA边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点B运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，连接CM、CN、MN，设运动时间为t （秒）（0＜t＜10）.则________时，△CMN为直角三角形.17、若是反比例函数，则m=________ ．18、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠A=α，AC=4，那么BD=________．（用锐角α的三角比表示）19、等腰三角形中，腰和底的长分别是10和13，则三角形底角的度数约为________．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）20、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，若AB=6，那么DE=________21、如图，下列图形都是几何体的平面展开图，你能说出这些几何体的名称吗？________ ________________ ________22、如图是六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是________．23、近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为________.24、已知y=是反比例函数，那么k的值是________ ．25、如图，点是函数图象上的一点，连接，交函数的图象于点，点是轴上的一点，且，则的面积为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、先化简，再求代数式的值，其中x＝4cos60°+3tan30°.27、如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面10米处有一建筑物HQ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC=30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：=1.414，=1.732）28、已知：y=y1+y2， y1与x成正比例，y2与x成反比例，当x=2时，y=﹣4；当x=﹣1时，y=5，求y与x的函数表达式．29、如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600m，α=75°，β=45°，求DE的长．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41）30、如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部处测得乙的顶部处的俯角为48°，测得底部处的俯角为53°，求甲、乙建筑物的高度和（结果用含非特珠角的三角函数表示即可）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、D3、B4、A5、C6、C7、B8、B9、B10、D11、B13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg 4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是 ．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数 ．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝ °．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程 ．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为 cm2．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为 环．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为 ．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为 ．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1 y2．（填“＞”“＜”或“＝”）19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为 ．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是 ；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是 ．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是 ．2023-2024学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．（2分）下列函数中，y与x之间的关系是二次函数的是（ ）A．y＝1﹣3x3B．y＝x2﹣5xC．y＝x4+2x2﹣1D．【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A、y＝1﹣3x3，x的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意；B、y＝x2﹣5x，是二次函数，符合题意；C、y＝x4+2x2﹣1，x的最高次数是4，不是二次函数，不符合题意；D、y＝，不是二次函数，不符合题意．故选：B．2．（2分）若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（ ）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定【分析】根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，∴点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O内，故选：C．3．（2分）某班5名学生的体重（单位：kg）分别为：51，53，47，51，60，则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A．60kg，51kg B．51kg，47kg C．60kg，47kg D．51kg，51kg【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，在这一组数据中51出现了1次，次数最多，故众数是51kg；将这组数据从小到大的顺序排列为：47，51，51，53，60，处于中间位置的那个数是51，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是51kg．4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A．等边三角形B．平行四边形C．正五边形D．正八边形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．（2分）一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0（a是常数，a≠0）的根的情况是（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定有没有实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【解答】解：一元二次方程﹣2（2x+1）2+a2＝0可化为﹣8x2﹣8x+a2﹣2＝0，∵a＝﹣8，b＝﹣8，c＝a2﹣2，a≠0，∴Δ＝（﹣8）2﹣4×（﹣8）×（a2﹣2）＝64+32a2﹣64＝32a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．6．（2分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为（2，0），（0，2），二次函数y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数）的图象的顶点在线段AB上，则b的最小值为（ ）A．0B．C．D．2【分析】先用a，b表示出二次函数图象的顶点坐标，再结合该顶点在线段AB上即可解【解答】解：∵二次函数解析式为y＝x2﹣2ax+b（a，b是常数），∴顶点坐标为（a，﹣a2+b）．又∵A（2，0），B（0，2），∴直线AB的函数解析式为y＝﹣x+2．∵二次函数图象的顶点在线段AB上，∴﹣a2+b＝﹣a+2，且0≤a≤2，则b＝a2﹣a+2＝（）2+，∴当a＝时，b有最小值为．故选：C．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请7．（2分）一元二次方程x2﹣x＝0的根是　x1＝0，x2＝1　．【分析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程变形得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝1．8．（2分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+5＝0的两根，则x1+x2的值是 ．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝﹣＝．故答案为：．9．（2分）若△ABC内接于⊙O，∠AOB＝120°，则圆周角∠ACB的度数　60°或120°　．【分析】分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB 是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB【解答】解：如图1，当点C在优弧上时，则∠ACB＝∠AOB＝60°；如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，则可得∠ADB＝∠AOB＝60°，又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ACB的度数是60°或120°；故答案为：60°或120°．10．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点，若∠A＝80°，则∠DCE ＝　80　°．【分析】利用圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质求解．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠DCB＝180°，又∵∠DCE+∠DCB＝180°∴∠DCE＝∠A＝80°故答案为：80．11．（2分）某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元．设平均每次降低成本的百分率为x，可得方程　36（1﹣x）2＝25　．【分析】根据某产品原来每件成本是36元，连续两次降低成本后，现在成本是25元，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，36（1﹣x）2＝25，故答案为：36（1﹣x）2＝25．12．（2分）圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的表面积为　15π　cm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）．故答案为：15π．13．（2分）杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是x1，x2，x3，x1+1，x2+2，x3+3．若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为　8　环．【分析】根据前3箭的平均成绩为7环，可以得到前三箭的总环数，从而可以得到这六箭的总环数，从而可以得到平均成绩．【解答】解：由题意可得，x1+x2+x3＝3×7＝21，∴（x1+x2+x3+x1+1+x2+2+x3+3）÷6＝48÷6＝8（环），即这6箭的平均成绩为8环，故答案为：8．14．（2分）如图，点B，C在⊙O上，D为的中点，直径AD交BC于点E，AD＝6，，则DE的长为　3﹣　．【分析】连接OB，根据圆心角、弦、弧的关系推出AD⊥BC，根据垂径定理求出BE＝BC＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OB，∵D为的中点，直径AD交BC于点E，∴AD⊥BC，∴BE＝BC＝，∵AD＝6，∴OB＝OD＝3，在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2，∴32＝OE2+，∴OE＝或OE＝﹣（舍去），∴DE＝OD﹣OE＝3﹣，故答案为：3﹣．15．（2分）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B，将函数y ＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移，平移后的图象与x轴交于点C，D．若AB＝2CD，则平移后的图象对应的函数表达式为　y＝x2﹣2x　．【分析】先解方程x2﹣2x﹣3＝0得到A（﹣1，0），B（3，0），则AB＝4，所以CD＝2，由于函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线x＝1，而C、D关于直线x＝1对称，所以C（0，0），D（2，0），然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，∵AB＝2CD，∴CD＝2，∵函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线x＝1，∴C（0，0），D（2，0），∴平移后抛物线的解析式为y＝x（x﹣2），即y＝x2﹣2x．故答案为：y＝x2﹣2x．16．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在BC，AC上，DE与△ABC 的内切圆O相切．若△ABC的面积是30，△CDE的周长是4，则AB的长为　13　．【分析】过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，根据切线长定理得到AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，ME＝HE，MD＝GD，由△CDE的周长是4求出CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，根据勾股定理得到xy＝2（x+y）+4①，根据三角形的面积公式得到xy＝60﹣2（x+y）②，①②求得x+y即可．【解答】解：过点分别作OF⊥AB于点F，OG⊥BC于点G，OH⊥AC于点H，∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH，∵DE与⊙O相切，设切点为M，∴ME＝HE，MD＝GD，∵△CDE的周长是4，CG+CH＝4，∴CG＝CH＝2，设BG＝BF＝x，AF＝AH＝y，则AB＝x+y，BC＝x+2，AC＝y+2，∵∠ACB＝90°，∴AB2＝BC2+AC2，∴（x+y）2＝（x+2）2+（y+2）2，化简得xy＝2（x+y）+4①，∵△ABC的面积是30，∴BC•AC＝30，∴（x+2）（y+2）＝60，∴xy＝60﹣2（x+y）②，由①②得x+y＝13，∴AB＝13．故答案为：13．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解下列方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）x（x﹣3）＝3﹣x．【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝5，（x+1）2＝5，x+1＝±，所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）x（x﹣3）＝3﹣x，x（x﹣3）+x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1．18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…5212…（1）求该二次函数的表达式；（2）若点A（﹣1，y1），B（4，y2）在这个函数的图象上，则y1　＞　y2．（填“＞”“＜”或“＝”）【分析】（1）用待定系数法即可解决问题．（2）分别求出y1和y2即可解决问题．【解答】解：（1）由题知，将点（0，5），（1，2），（2，1）分别代入函数表达式得，，解得，所以该二次函数表达式为y＝x2﹣4x+5．（2）当x＝﹣1时，；当x＝4时，；∴y1＞y2．故答案为：＞．19．（8分）如图，用篱笆围成一块矩形花圃，该花圃一侧靠墙，而且有一道隔栏（隔栏也用篱笆制作），已知所用篱笆的总长为24m，花圃的面积为45m2，墙的最大可用长度为10m，求边AB的长．【分析】设边AB边的长为x m，根据花圃的面积为45m2，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．【解答】解：设边AB边的长为x m，由题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3（不符合题意，舍去），x2＝5，答：边AB的长为5m．20．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，连接BD，CD，BC平分∠ABD．（1）求证∠CAD＝∠ABC；（2）若AD＝6，则AC的长为　3　．【分析】（1）由角平分线的性质和圆周角定理可得∠DBC＝∠ABC＝∠CAD；（2）由圆周角定理可得，由弧长公式可求解．【解答】（1）证明：∵BC平分∠ABD，∴∠DBC＝∠ABC，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠CAD＝∠ABC；（2）解：∵∠CAD＝∠ABC，∴＝，∴AC＝CD，∵AD是⊙O的直径，AD＝6，∴∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，2AC2＝AD2＝62，解得：AC＝3．故答案为：3．21．（8分）一只不透明的袋子中装有1个白球和a个红球，这些球除颜色外都相同．已知从袋中任意摸出1个球是白球的概率是．（1）a的值是　2　；（2）先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球颜色不同的概率．【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的结果数以及2次摸到的球颜色不同的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：∵从袋中任意摸出1个球是白球的概率是，∴，解得a＝2，经检验，a＝2是原方程的解且符合题意．故答案为：2．（2）列表如下：白红红白（白，白）（白，红）（白，红）红（红，白）（红，红）（红，红）红（红，（红，（红，白）红）红）共有9种等可能的结果，其中2次摸到的球颜色不同的结果有4种，∴2次摸到的球颜色不同的概率为．22．（8分）已知P是⊙O上一点，在⊙O上作两点A，B，使得∠APB分别满足以下条件：（1）在图①中，∠APB＝90°；（2）在图②中，∠APB＝30°．（说明：第（1）题只用无刻度的直尺作图，第（2）题只用圆规作图；保留作图痕迹，不写作法．）【分析】（1）过O点画直线交⊙O于点A、B，则根据圆周角定理得到∠APB满足条件；（2）任取点A，以A为圆心，AO为半径画弧交⊙O于点B，则△AOB为等边三角形，所以∠AOB＝60°，然后根据圆周角定理得到∠APB满足条件．【解答】解：（1）如图①，∠APB为所作；（2）如图②，∠APB为所作；23．（8分）已知关于x的方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．【分析】（1）先求出Δ的值，再判断出其符号即可；（2）把x＝1代入方程，求出m的值即可．【解答】（1）证明：方程x2﹣（2m+2）x+m2+2m＝0中，∵a＝1，b＝﹣（2m+2），c＝m2+2m，∴Δ＝[﹣（2m+2）]2﹣4×1×（m2+2m）＝4＞0，∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）∵方程有一个根为1，∴12﹣（2m+2）×1+m2+2m＝0，即m2﹣1＝0，∴m＝±1．24．（7分）2023年12月14日，一股冷空气开始影响我市，我市连续7天的天气情况如下：上述天气情况包括了每天的天气状况（如阴转小雨，小雨转多云等）、气温（如“5/17℃”指当天最低和最高气温分别是5℃和17℃）、风向和风级．（1）计算这7天最低气温的平均数和方差．（2）阅读冷空气等级标准表：序号等级冷空气来临的48小时内日最低气温变化情况①弱冷空气降温幅度小于6℃②中等强度冷空气降温幅度大于或等于6℃，但小于8℃③较强冷空气降温幅度大于或等于8℃且日最低气温超过8℃④强冷空气降温幅度大于或等于8℃，且日最低气温不超过8℃⑤寒潮降温幅度大于或等于10℃且日最低气温不超过4℃本次来临的冷空气的等级是　⑤　．（填序号）（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来哪些天气情况的变化？请写出一个结论．【分析】（1）根据平均数和方差的定义列式计算即可；（2）对照表格可得答案；（3）参照天气情况图可得答案．【解答】解：（1）这7天最低气温的平均数＝4（℃），方差为×[（17﹣4）2+（5﹣4）2+（0﹣4）2+（0﹣4）2+（2﹣4）2+（6﹣4）2+（﹣2﹣4）2]＝；（2）由题意知，本次来临的冷空气的等级是⑤，故答案为：⑤；（3）本次冷空气来临后，除导致气温下降外，还带来雨雪．25．（8分）2023年12月18日晚，甘肃省积石山县发生6.2级地震．“一方有难，八方支援”，某商家决定将后续一个月销售某商品获得的利润全部捐赠给灾区．已知购进该商品的成本为10元/件，当售价为12元时，平均每天可以卖出1200件．调查发现，该商品每涨价1元，平均每天少售出100件．当每件商品的售价是多少元时，该商家捐赠的金额最大？最大捐赠金额是多少？（一个月按30天计算）【分析】依据题意，设每件商品的售价是x元，先求出每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100（x﹣17）2+4900，再由二次函数的性质进行判断可以得解．【解答】解：由题意，设每件商品的售价是x元，∴每天的利润为w＝（x﹣10）[1200﹣100（x﹣12）]＝（x﹣10）（2400﹣100x）＝﹣100x2+3400x﹣24000＝﹣100（x﹣17）2+4900．∴当每件商品的售价是17元时，利润最大为4900元．∴每月最大利润为147000元．答：当每件商品的售价是17元时，该商家捐赠的金额最大，最大捐赠金额是147000元．26．（9分）阅读下列内容：如果点P（a，b）在一次函数y＝x+1的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径．所以点（2a，2b）一定在函数y＝x+2的图象上．根据阅读内容解决下列问题：（1）如果点P（a，b）在反比例函数的图象上，那么点（2a，2b）一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格．（2）如果点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，判断点（a+b，ab）一定在哪个函数的图象上？说明理由．【分析】（1）根据点P（a，b）在反比例函数的图象上，得ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，则xy＝4ab＝8，由此可得出答案；（2）根据点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，得b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，进而得得，由此可得出结论．【解答】解：（1）∵点P（a，b）在反比例函数的图象上，∴ab＝2，对于点（2a，2b），则x＝2a，y＝2b，∴xy＝4ab，将ab＝2代入xy＝4ab，得xy＝8，即，∴点（2a，2b）一定在这个函数的图象上；如下图所示：（2）点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上，理由如下：∵点P（a，b）在一次函数y＝2x的图象上，∴b＝2a，对于（a+b，ab），则x＝a+b＝3a，y＝ab＝2a2，∵x＝3a，∴，∴．∴点（a+b，ab）一定在这个函数的图象上．27．（10分）如图，已知A，B是⊙O的2个三等分点，C是优弧AB上的一个动点（点C不与A，B两点重合），连接AB，BC，AC．D，E分别是，的中点，连接DE，分别交AC，BC于点F，G．（1）当点C运动到优弧AB的中点时，直接写出DE与AB的关系．（2）求证FG+AB＝AF+BG．（说明：第（2）题共5分，如果你觉得困难，可以在（1）的条件下证明，证明正确得2分．）（3）若I是AE，BD的交点，点O与点I的距离记为d．当AB＝6时，d取值范围是　0≤d＜2　．【分析】（1）当点C运动到优弧AB的中点时，连接AD，AE，BE，利用同圆中等弧所对的圆周角相等可以推导出DE∥AB，再证明四边形ABED是矩形可以得出DE＝AB；（2）在条件（1）下，连接CE，根据圆周角相等和等腰三角形可以推导出BG＝2FG，最后推导出FG+AB＝AF+BG；（3）根据点C的运动轨迹就可以推导出d的取值范围．【解答】解：（1）当点C运动到优弧AB的中点时，DE∥AB且DE＝AB，连接AD，BE，AE，CE，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴＝＝，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形，又∵D，E分别是，的中点，∴＝＝＝，∴∠DEA＝∠EAB＝∠DEC＝∠CBE＝∠DAC＝∠CED＝∠ECB＝30°，∴DE∥AB，∴∠DAB＝∠EBA＝90°，∴DA⊥AB，EB⊥AB，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE；证明：（2）在（1）的条件下，∵∠ACB＝60°，FG∥AB，∴∠CFG＝∠CGF＝60°，∴△CFG为等边三角形，∴CF＝FG＝CG，又∵∠CED＝∠ECB＝30°，∴CG＝GE，∵在△GEB中，∠GBE＝30°，∠GEB＝90°，∴BG＝2GE＝2FG，∵AB＝AF+CF，∴AB+FG＝AF+CF+FG＝AF+BG；解：（3）连接OB，作OM⊥AB，∵当点C运动到优弧AB的中点时，此时AE，BD的交点I与圆心O重回，∴点O与点I的距离d为0，∵A，B是⊙O的2个三等分点，∴劣弧对的圆心角为120°，∴∠OBM＝30°，又∵AB＝6，∴OB＝2，∵OI≤OB+IB，∴当点C运动到点A或点B时，OI＝OB＝2，∵点C不与A，B两点重合，∴OI＜2，∴0≤d＜2，故答案为：0≤d＜2．。

人教版九年级第一学期期末数学试卷及答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．15．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.58．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．811．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+512．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．413．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．414．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜015．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为，m的值是．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？参考答案一、选择题（本大题共16小题，1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．解：选项A、B、D的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项C的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1），则A、B两点（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y＝﹣x对称【分析】直接利用关于原点对称点的性质可得答案．解：因为点A（2，﹣1）和点B（﹣2，1）的横坐标和纵坐标均互为相反数，所以A、B两点关于原点对称．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．3．抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，5）B．（﹣3，5）C．（﹣3，﹣5）D．（3，﹣5）【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可．解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．4．一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据几何概率的求法：最终停留在黑色的砖上的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．解：观察这个图可知：黑砖（4块）的面积占总面积（9块）的．故选：B．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．5．方程x2﹣3＝0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【分析】找出方程a，b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断．解：∵a＝1，b＝0，c＝﹣3，∴Δ＝02﹣4×1×（﹣3）＝12＞0，则方程x2﹣3＝0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．6．下列说法正确的是（）A．过圆心的线段是直径B．面积相等的圆是等圆C．两个半圆是等弧D．相等的圆心角所对的弧相等【分析】根据直径的定义，等圆的定义，等弧的定义，弧和圆心角的关系定理解答即可．解：A．过圆心且两个端点在圆上的线段是直径，故A选项说法错误；B．面积相等的圆，则半径相等，是等圆，故B选项说法正确；C．在同圆或等圆中，两个半圆是等弧，故C选项说法错误；D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项说法错误；故选：B．【点评】本题主要考查了对圆的认识和弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握相关定义和定理是解答本题的关键．7．2021年顺平县森林覆盖率为39.7%，被评为“河北省森林城市”．为进一步巩固成果，全县大力开展植树造林活动，计划到2023年森林覆盖率达到50%，如果这两年的森林覆盖年平均增长率相同，均为x，那么符合题意的方程是（）A．0.397（1+x）＝0.5B．0.397（1+2x）＝0.5C．0.397（1+x）2＝0.5D．0.397（1﹣x）2＝0.5【分析】利用2023年顺平县森林覆盖率＝2021年顺平县森林覆盖率×（1+这两年顺平县的森林覆盖年平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．解：根据题意得39.7%（1+x）2＝50%，即0.397（1+x）2＝0.5，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．矩形的面积是200，它的长y和宽x之间的关系表达式是（）A．y＝200x B．y＝200+x C．D．【分析】根据题意得到xy＝200（定值），故y与x之间的函数解析式，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限；于是得到结论．解：∵根据题意xy＝200，∴y＝（x＞0，y＞0）．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．9．对于二次函数y＝x2+4x+5的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向上B．对称轴是直线x＝2C．顶点坐标是（﹣2，1）D．与x轴没有交点【分析】把解析式化为顶点式，利用二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵y＝x2+4x+5＝（x+2）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，1），∴抛物线与x轴没有交点．故A，C，D正确；B不正确．故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．一个四边形ABCD各边长为2，3，4，5，另一个和它相似的四边形A1B1C1D1最长边为15，则四边形A1B1C1D1的最短边长为（）A．2B．4C．6D．8【分析】设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，然后利用相似多边形的性质可得＝，进行计算即可解答．解：设四边形A1B1C1D1的最短边长为x，∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，∴＝，解得：x＝6，故选：C．【点评】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．11．下列函数中，当x＜0时，y随x的增大而减小的是（）A．B．y＝2x﹣1C．y＝﹣3x2D．y＝x2+4x+5【分析】直接利用正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质分别判断得出答案．解：A、y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，符合题意；B、y＝2x﹣1，y随x的增大与增大，不合题意；C、y＝﹣3x2，当x＜0时，y随x的增大而增大，不合题意；D、y＝x2+4x+5，当x＜0时，y随x先减小，然后增大，不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．12．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的边心距是（）A．1B．C．2D．4【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等边三角形的性质求出OH即可．解：如图所示，连接OB、OA，过点O作OH⊥AB于点H，∵⊙O的直径为4cm，∴OB＝OA＝2cm，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵六边形ABCDEF是正六边形∴∠AOB＝360°÷6＝60°，∵OB＝OA，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝2cm，∵OH⊥AB，∴BH＝AB＝×2＝1（cm），∴OH＝＝（cm），∴正六边形纸片的边心距是cm，故选：B．【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．13．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．3B．2C．5D．4【分析】过O作OM′⊥AB，连接OA，由“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”的知识可知，当OM于OM′重合时OM最短，由垂径定理可得出AM′的长，再根据勾股定理可求出OM′的长，即线段OM 长的最小值．解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB＝8，OA＝5，∴AM′＝×8＝4，∴在Rt△OAM′中，OM′＝＝＝3，∴线段OM长的最小值为3．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．14．二次函数y＝a2+bx+c的图象如图所示，OP＝1，则下列判断正确的是（）A．a＞0B．b＞0C．c＜0D．a+b+c＜0【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴交点位置确定a、b、c的取值范围，结合函数图象，当x＝1时，函数值为负，求得a+b+c＜0，从而求解．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；故A错误；∵﹣＜0，∴b＜0，故B错误；∵与y轴的交点在正半轴，∴c＞0；故C错误；由图象观察知，当x＝1时，函数值为负，∴a+b+c＜0，故D正确；故选：D．【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．15．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'，则图中阴影部分面积为（）A．πB．C．D．【分析】解直角三角形得到AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′＝﹣﹣×1×＝﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．16．对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点（﹣2，3）；④若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确．解：∵反比例函数y＝﹣，∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x＝﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A．【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．二、填空题（本大题有3个小题，每小题各有2空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）17．已知关于x的一元二次方程x2﹣5x+m＝0的一个根是2，则另一个根为3，m的值是6．【分析】设另一个根为x1，则根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m，求出即可．解：设另一个根为x1，则x1+2＝5，2x1＝m，解得：x1＝3，m＝6．故答案为：3，6．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系的应用，解此题的关键是根据根与系数的关系得出x1+2＝5，2x1＝m．18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为1，则弦BC的长为，劣弧BC长为．【分析】先作OD⊥BC于D，由于∠BAC＝60°，根据圆周角定理可求∠BOC＝120°，又OD⊥BC，根据垂径定理可知∠BOD＝60°，BD＝BC，在Rt△BOD中，利用特殊三角函数值易求BD，进而可求BC．解：如右图所示，作OD⊥BC于D，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OD⊥BC，∴∠BOD＝60°，BD＝BC，∴BD＝sin60°×OB＝，∴BC＝2BD＝，劣弧BC＝＝．故答案为：，．【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、特殊三角函数计算，解题的关键是作辅助线OD⊥BC，并求出BD．19．二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象如图，对称轴为直线x＝﹣1．（1）b＝﹣2；（2）若直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，则t的取值范围是0≤t＜4．【分析】（1）通过抛物线对称轴为直线x＝﹣求解；（2）将抛物线解析式化为顶点式，通过﹣3≤x≤1时y的取值范围求解．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝﹣2．故答案为：﹣2．（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴函数最大值为y＝4，∵（﹣1）﹣（﹣3）＞1﹣（﹣1），∴x＝1时，y＝﹣1﹣2+3＝0为﹣3≤x≤1的函数最小值，∴0≤t＜4时，直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+bx+3在﹣3≤x≤1的范围内有两个交点，故答案为：0≤t＜4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握抛物线顶点坐标公式，掌握二次函数与方程的关系．三、解答题（本大题共7个小题，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．解方程：（1）x2+4x＝5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】（1）先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．解：（1）x2+4x＝5，x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x﹣1＝0或x+5＝0，x1＝1，x2＝﹣5；（2）x（2x﹣1）＝4x﹣2，x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，x﹣2＝0或2x﹣1＝0，x1＝2，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解法是解题的关键．21．一个黑箱子里装有红，白两种颜色的球4只，除颜色外完全相同．小明将球搅匀后从箱子中随机摸出一个球，记下颜色，形把它放回不斯重复实验，将多次实验结果列出如下频率统计表．摸球次数10018060010001500摸到白球次数2446149251371摸到白球频率0.240.2560.2480.2510.247（1）当揽球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25（精确到0.01），若从箱子中摸一次球，摸到红球的概率是．（2）从该箱子里随机摸出一个球，不放回，再摸出一个球．用树状图或列表法求出摸到一个红球一个白球的概率．【分析】（1）当试验次数达到1500次时，摸到白球的频率接近于0.25，据此可得答案；（2）用总数量乘以摸到白球的频率求出其个数，再列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得答案．解：（1）由频率统计表知，当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近0.25，从箱子中摸一次球，摸到红球的概率为1﹣0.25＝0.75＝，故答案为：0.25，；（2）由（1）知，袋中白球的个数约为4×0.25＝1，红球的个数为4﹣1＝3，列表如下：白红1红2红3白白红1白红2白红3红1红1白红1红2红1红3红2红2白红2红1红2红3红3红3白红3红1红3红2由表可知共有12种情况，其中一红一白的有6种，所以摸到一个红球一个白球的概率为＝．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．也考查了列表法与树状图法．22．G234国道顺平段改造工程于2021年10月顺利完工，花园式路景成为顺平一道美丽的风景线．工程队在路边改造中，计划建造一个面积为60m2的长方形花坛，花坛的一边靠墙（墙AB长为11m），另外三边用木栏围成，木栏总长22m，求花坛CD边和DE边的长分别是多少？设花坛CD边的长为xm．（1）填空：花坛DE边的长为（22﹣2x）m（用含x的代数式表示）；（2）请列出方程，求出问题的解．【分析】（1）由题意即可得出结论；（2）由题意：建造一个面积为60m2的长方形花坛，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．解：（1）由题意得：花坛DE边的长为（22﹣2x）m，故答案为：（22﹣2x），（2）根据题意得：x（22﹣2x）＝60，整理得：x2﹣11x+30＝0，解得：x1＝5，x2＝6，当x＝5时，DE＝22﹣2×5＝12＞11（不符合题意，舍去）；当x＝6时，DE＝22﹣2×6＝10＜11，符合题意；答：CD边的长为6m，DE边的长为10m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBF的位置，连接EF，EF的长为．（1）求BF的长；（2）若AE＝1，EC＝3，求∠AEB的度数．【分析】（1）由旋转的性质可得BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，由等腰直角三角形的性质可求解；（2）由勾股定理的逆定理可求∠EFC＝90°，即可求解．解：（1）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴BE＝BF，∠EBF＝∠ABC＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形，设BE＝BF＝x，则x2+x2＝（2）2，解得：x＝2，∴BF的长为2；（2）∵△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF，∴∠AEB＝∠BFC，AE＝CF＝1，在△CEF中，EF＝2，CF＝1，EC＝3，∵CF2+EF2＝12+（2）2＝9，CE2＝9，∴CF2+EF2＝CE2，∴△CEF为直角三角形，∴∠EFC＝90°，∴∠BFC＝∠BFE+∠CFE＝135°，∴∠AEB＝135°．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理的逆定理，掌握旋转的性质是解题的关键．24．如图，AB为⊙O直径，点C在⊙O上，AC平分∠EAB，AE⊥CD，垂足为E．（1）求证：DE为⊙O切线．（2）若AE＝2，AC＝3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，由AC平分∠EAB得到∠BAC＝∠EAC，加上∠OAC＝∠ACO，则∠EAC＝∠ACO，于是可判断OC∥AE，根据平行线的性质得OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．（2）通过证明△AEC∽△ACB，进而根据比例式求得半径．【解答】（1）连OC（如图），∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°，又∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠EAB，∴∠EAC＝∠OAC，∵∠EAC＝∠OCA，∴OC∥AE，∴OC⊥DE，∵点C在⊙O上，∴OC＝r，∴DE为⊙O的切线．（2）连BC（如上图），∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACB＝∠AEC，又∵∠EAC＝∠BAC，∴△AEC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝r＝，∴r＝．【点评】本题考查了切线的判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．25．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过A（2，6）点．（1）求反比例函数的解析式；（2）点B在该反比例函数图象上，过B点作y轴的垂线，垂足为C，当△ABC的面积为9时，求点B的坐标．（3）请直接写出y＜3时，自变量x的取值范围．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k＝6×2＝12，进而可得反比例函数解析式；（2）根据反比例函数图象上点的坐标特点可得mn＝12，再根据△ABC面积为9，可得×BC×（6﹣n）＝9，解可得m的值，进而可得n的值，从而可得点B的坐标；（3）根据函数图象即可得到结论．【解答】解；（1）把A点坐标为（2，6）代入反比例函数y＝得，k＝12，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）设点B坐标为（m，n），分三种情况：①当B点在第一象限且在A点的上方时，（y B﹣y A）×CB＝9 即（n﹣6）×m＝9，×（﹣6）×m＝9，解得m＝﹣1（不符合题意，舍去），②当B点在第一象限且在A点的下方时，（y A﹣y B）×CB＝9 即（6﹣n）×m＝9，（6﹣）×m＝9，解得m＝5，∴点B坐标为（5，）；③当B点在第三象限时，（y A﹣y B）×CB＝9，（6﹣n）×（﹣m）＝9 （6）×（﹣m）＝9，解得m＝﹣1，∴点B坐标为（﹣1，﹣12），所以点B的坐标为（5，）或（﹣1，﹣12）；（3）由图象知，当y＜3时，自变量x的取值范围为x＞4 或x＜0．【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．26．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800）；当30＜x≤40时，累计人数保持不变．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）①当0≤x≤30时由顶点坐标为（10，1800），可设y＝a（x﹣30）2+1800，再将（0，0）代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；②当30＜x≤40时，根据等候的人数不变得出函数解析式；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w＝y﹣40x及（1）中所得的y与x之间的函数解析式，可得w 关于x的二次函数和一次函数，按照二次函数和一次函数的性质可得答案；（3）设从一开始就应该增加m个监测点，根据在10分钟内让全部学生完成体温检测得到关于m的不等式解不等式即可．解：（1）①当0≤x≤30时，∴设y＝a（x﹣30）2+1800，将（0，0）代入，得：900a+1800＝0，解得a＝﹣2，∴y＝﹣2（x﹣30）2+1800＝﹣2x2+120x（0≤x≤30），②当30＜x≤40时，y＝1800（30＜x≤40），∴y与x之间的函数表达式为y＝；（2）设第x分钟时的排队等待人数为w人，由题意可得：w＝y﹣40x，①0≤x≤30时，w＝﹣2x2+120x﹣40x＝﹣2x2+80x＝﹣2（x﹣20）2+800，∵﹣2＜0，∴当x＝20时，w的最大值是800；②当30＜x≤40时，w＝1800﹣40x，∵﹣4＜0，∴w随x的增大而减小，∴200≤w＜600，∴排队人数最多是600人，要全部学生都完成体温检测：1800﹣40x＝0，解得：x＝45，∴要全部学生都完成体温检测需要45分钟，（3）设从一开始就应该增加m个监测点，由题意得：10×20（m+2）≥1800，解得：m≥7，∴从一开始就应该增加7个监测点．【点评】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．。

2021-2022学年湖北省鄂州市鄂城区九年级第一学期期末数学试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是3，则m的值是（）A．3B．﹣3C．9D．﹣92．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝23．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，1）关于原点的对称点的坐标为（）A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，4）4．不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（）A．B．C．D．5．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个反比例函数的解析式为（）A．B．C．D．6．下列说法正确的个数有（）①方程x2﹣x+1＝0的两个实数根的和等于1；②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；⑤如果反比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数图象位于第二、四象限．A．2个B．3个C．4个D．5个7．如图，⊙O中的半径为1，△ABC内接于⊙O．若∠A＝50°，∠B＝70°，则AB的长是（）A．B．C．D．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①ab＞0；②b﹣2a＞0；③4a+c＜2b；④（a+c）2＜b2；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2．以A为圆心，AB长为半径画，点P为菱形内一点，连PA，PB，PD．若PA＝PB，且∠APB＝120°，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD 为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为．12．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是．13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的函数关系式为：s ＝60t﹣2t2，则飞机着陆后滑行m才能停下来．14．圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的侧面积是cm2．15．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝﹣x2+1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的横坐标为．16．如图，已知点A（1，y1）、B（2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP的长度之差达到最大时，点P的坐标是．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．解下列方程：（1）3x2+6x﹣2＝0；（2）3x（2x﹣1）＝4x﹣2．18．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．（1）在图1中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的三角形，其中顶点A在旋转过程中经过的路径长为．（直接填结果）19．落实“双减”政策，丰富课后服务，为了发展学生兴趣特长，梁鄂中学七年级准备开设A（窗花剪纸）、B（书法绘画）、C（中华武术）、D（校园舞蹈）四门选修课程（每位学生必须且只选其中一门），甲、乙两位同学分别随机选择其中一门选修课程参加学习．用列表法或画树状图法求：（1）甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的概率；（2）甲、乙选择同一门课程的概率．20．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝|x1|+|x2|+x1x2，求m的值．21．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数y＝x2﹣2|x|+1的图象和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．请根据函数图象完成以下问题：（1）观察发现：①写出该函数的一条性质；②函数图象与x轴有个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|+1＝0有个实数根；（2）分析思考：③方程x2﹣2|x|+1＝1的解为；④关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有4个实数根时，m的取值范围是；（3）延伸探究：⑤将函数y＝x2﹣2|x|+1的图象经过怎样的平移可以得到函数y1＝（x﹣1）2﹣2|x﹣1|+3的图象，直接写出平移过程．22．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF ＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AF长为，求⊙O的半径及BD的长．23．绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果．经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数．其销售单价、周销售量及周销售利润w （元）的对应值如表．请根据相关信息，解答下列问题：（1）这种有机生态水果的成本为元/千克；（2）求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？销售单价x（元/千克）4050周销售量y（千克）180160周销售利润w（元）1800320024．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（﹣2，5），且与直线y ＝﹣x在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（﹣4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，PA．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOP的面积S的最大值；（3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．关于x的一元二次方程x2﹣m＝0的一个根是3，则m的值是（）A．3B．﹣3C．9D．﹣9【分析】将x＝3代入方程求解即可．解：将x＝3代入方程，得：32﹣m＝0，解得m＝9，故选：C．2．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是直线（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝2【分析】根据抛物线的顶点式，可直接得到它的对称轴x＝h．解：解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2，∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1，故选：B．3．在平面直角坐标系中，点A（﹣4，1）关于原点的对称点的坐标为（）A．（4，1）B．（4，﹣1）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣1，4）【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，可得答案．解：点A（﹣4，1）关于原点的对称点的坐标为（4，﹣1），故选：B．4．不透明袋中装有3个红球和5个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机摸出1个球是红球的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．解：∵不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个绿球，∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是，故选：A．5．已知反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个反比例函数的解析式为（）A．B．C．D．【分析】设反比例函数根据题意设该反比例函数为y＝（k≠0），然后把点（﹣2，3）代入该函数式来求k的值．解：设反比例函数的解析式y＝，把点（﹣2，3）代入得3＝，解得k＝﹣6，则反比例函数的解析式是y＝﹣，故选：D．6．下列说法正确的个数有（）①方程x2﹣x+1＝0的两个实数根的和等于1；②半圆是弧；③正八边形是中心对称图形；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；⑤如果反比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数图象位于第二、四象限．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】直接利用根与系数的关系以及正多边形的性质、半圆的定义、反比例函数图象上坐标特点分别分析得出答案．解：①方程x2﹣x+1＝0的两个实数根的和等于1，说法错误，此方程没有实数根，故此选项不合题意；②半圆是弧，故此选项符合题意；③正八边形是中心对称图形，故此选项符合题意；④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件，故此选项符合题意；⑤如果反比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数图象位于第一、三象限，故此选项不合题意．故选：B．7．如图，⊙O中的半径为1，△ABC内接于⊙O．若∠A＝50°，∠B＝70°，则AB的长是（）A．B．C．D．【分析】连接OA，OB，由三角形内角和可得出∠C＝60°，再根据圆周角定理可得∠AOB ＝120°，，可得出结论．解：如图，连接OA，OB，过O作OH⊥AB于H，则AB＝2AH，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝70°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠AOH＝60°，∴∠OAH＝30°，∵OA＝1，∴OH＝OA＝，∴AH＝＝，∴AB＝2AH＝，故选：B．8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1．下列结论：①ab＞0；②b﹣2a＞0；③4a+c＜2b；④（a+c）2＜b2；⑤m（am+b）+b＜a（m≠﹣1）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线开口方向和对称轴位置确定a，b符号及b＝2a可判断①②，由抛物线对称性可得x＝﹣2时y＞0可判断③，由a+b+c及a﹣b+c的符号可判断④，由函数最大值为y＝a﹣b+c可判断⑤．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴①正确，②错误．∵x＝0时y＞0，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣2时y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，即4a+c＞2b，③错误，∵a+b+c＜0，a﹣b+c＞0，∴（a+b+c）（a﹣b+c）＝（a+c）2﹣b2＜0，∴（a+c）2＜b2，④正确，∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴y＝a﹣b+c为函数最大值，∴am2+bm+c＜a﹣b+c（m≠﹣1），∴m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），⑤正确，故选：C．9．如图，菱形ABCD中，∠C＝60°，AB＝2．以A为圆心，AB长为半径画，点P为菱形内一点，连PA，PB，PD．若PA＝PB，且∠APB＝120°，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据菱形的性质，等腰三角形的性质以及扇形面积、三角形面积的计算方法进行计算即可．解：过点P作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为M、N，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠C＝60°，AB＝2，∴∠DAB＝∠C＝60°，AB＝AD＝2，∴△ABD是正三角形，∵PA＝PB，PM⊥AB，∴PM是AB的中垂线，且过点D，∵∠APB＝120°，∴∠PAB＝∠PBA＝30°，在Rt△APM中，AM＝1，∠PAM＝30°，∴PM＝AM•tan30°＝＝PN，∴S阴影部分＝S扇形ABD﹣2S△APB＝﹣2×＝﹣＝，故选：C．10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边AC上一动点，连接BD，以CD为直径的圆交BD于点E．若AB长为4，则线段AE长的最小值为（）A．B．C．D．【分析】如图，取BC的中点T，连接ET，CE，AT．解直角三角形求出AT，ET，根据AE≥AT﹣ET，可得结论．解：如图，取BC的中点T，连接ET，CE，AT．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝4，∴AC＝BC＝2，∵CT＝BT＝，∴AT＝＝＝，∵CD是直径，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴ET＝BC＝，∵AE≥AT﹣ET＝﹣，∴AE的最小值为﹣．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．如果a﹣b+c＝0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根有一个为﹣1．【分析】将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0中的左边，得到a﹣b+c，由a﹣b+c＝0得到方程左右两边相等，即x＝﹣1是方程的解．解：将x＝﹣1代入ax2+bx+c＝0的左边得：a×（﹣1）2+b×（﹣1）+c＝a﹣b+c，∵a﹣b+c＝0，∴x＝﹣1是方程ax2+bx+c＝0的根．故答案为：﹣1．12．若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是m＜9．【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，∴（﹣6）2﹣4m＞0，解得m＜9，故答案为：m＜9．13．飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）之间的函数关系式为：s ＝60t﹣2t2，则飞机着陆后滑行450m才能停下来．【分析】根据题意可以将s＝60t﹣2t2化为顶点式，飞机滑行的最远距离也就是s取得的最大值，本题得以解决．解：∵s＝60t﹣2t2＝﹣2（t2﹣30t）＝﹣2（t﹣15）2+450，∴当t＝15时，s取得最大值，此时，s＝450，即飞机着陆后滑行450m飞机才能停下来．故答案为：450．14．圆锥底面圆的半径为2cm，其侧面展开图的圆心角是180°，则圆锥的侧面积是8πcm2．【分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．解：∵底面圆的半径为2cm，∴底面周长为4πcm，∴侧面展开扇形的弧长为4πcm，设扇形的半径为r，∵圆锥的侧面展开图的圆心角是180°，∴＝4π，解得：r＝4，∴侧面积为×4π×4＝8π（cm2），故答案为：8π．15．如图，已知⊙P的半径为1，圆心P在抛物线y＝﹣x2+1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的横坐标为2或﹣2或0．【分析】根据题意得出圆心P的纵坐标为1或﹣1，再代入二次函数的关系式即可．解：由⊙P的半径为1，⊙P与x轴相切可知圆心P的纵坐标为1或﹣1，当圆心P的纵坐标为1时，即﹣x2+1＝1，解得x＝0，当圆心P的纵坐标为﹣1时，即﹣x2+1＝﹣1，解得x＝2或x＝﹣2，故答案为：2或﹣2或0．16．如图，已知点A（1，y1）、B（2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP的长度之差达到最大时，点P的坐标是（3，0）．【分析】求出A、B的坐标，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系定理得出在△ABP中，|AP﹣BP|＜AB，延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，此时线段AP与线段BP之差达到最大，求出直线AB于x轴的交点坐标即可．解：∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y＝得：y1＝2，y2＝1，∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，b＝3，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，即P（3，0）．故答案为（3，0）．三、解答题（本大题共8小题，共72分）17．解下列方程：（1）3x2+6x﹣2＝0；（2）3x（2x﹣1）＝4x﹣2．【分析】（1）将常数项移到方程的右边，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，开方即可得；（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．解：（1）∵3x2+6x﹣2＝0，∴3x2+6x＝2，则x2+2x＝，∴x2+2x+1＝+1，即（x+1）2＝，∴x+1＝±，∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；（2）∵3x（2x﹣1）＝4x﹣2，∴3x（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0，则（2x﹣1）（3x﹣2）＝0，∴2x﹣1＝0或3x﹣2＝0，解得x1＝，x2＝．18．如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，我们把这样的三角形叫做格点三角形（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空．（1）在图1中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）在图2中画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）在图3中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的三角形，其中顶点A在旋转过程中经过的路径长为．（直接填结果）【分析】（1）根据旋转的性质即可在图1中画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；（2）根据轴对称的性质即可在图2中画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；（3）根据旋转的性质即可在图3中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到的三角形，然后利用弧长公式即可得顶点A在旋转过程中经过的路径长．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示，∵AC＝＝2，∴顶点A在旋转过程中经过的路径长为＝．故答案为：．19．落实“双减”政策，丰富课后服务，为了发展学生兴趣特长，梁鄂中学七年级准备开设A（窗花剪纸）、B（书法绘画）、C（中华武术）、D（校园舞蹈）四门选修课程（每位学生必须且只选其中一门），甲、乙两位同学分别随机选择其中一门选修课程参加学习．用列表法或画树状图法求：（1）甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的概率；（2）甲、乙选择同一门课程的概率．【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的结果数，然后根据概率公式求解；（2）先找出甲、乙选择同一门课程的情况数，然后根据概率公式求解即可．解：（1）根据题意画图如下：共有16个等可能的结果数，其中甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的有1种，则甲、乙都选择A（窗花剪纸）课程的概率是；（2）共有16种等可能的情况数，其中甲、乙选择同一门课程的有4种，则甲、乙选择同一门课程的概率是＝．20．设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22＝|x1|+|x2|+x1x2，求m的值．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+3，结合m的取值范围即可得出x1＞0、x2＞0，再由x12+x22＝|x1|+|x2|+2x1x2即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值．解：（1）依题意可知：Δ≥0，即4（m+1）2﹣4（m2+3）≥0，∴m≥1．（2）依题意可知：x1+x2＝2（m+1），，∵m≥1，∴x1+x2＞0，x1x2＞0，∴x1＞0，x2＞0∵，∴∴4（m+1）2＝2（m+1）+3（m2+3），解得：m＝1或﹣7，又∵m≥1，∴m的值为1．21．学习完二次函数后，某班“数学兴趣小组”的同学对函数y＝x2﹣2|x|+1的图象和性质进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后得到其图象如图所示．请根据函数图象完成以下问题：（1）观察发现：①写出该函数的一条性质函数图象关于y轴对称；②函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|+1＝0有2个实数根；③方程x2﹣2|x|+1＝1的解为x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2；④关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有4个实数根时，m的取值范围是0＜m＜1；（3）延伸探究：⑤将函数y＝x2﹣2|x|+1的图象经过怎样的平移可以得到函数y1＝（x﹣1）2﹣2|x﹣1|+3的图象，直接写出平移过程．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据图形分析思考，得出结论即可；（3）根据“左加右减，上加下减”的平移规律，即可得到结论．解：（1）观察发现：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；故答案为：函数图象关于y轴对称；②函数图象与x轴有两个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|+1＝0有两个实数根；故答案为2.2；（2）分析思考：③方程x2﹣2|x|+1＝1的解为x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2；故答案为：x1＝﹣2，x2＝0，x3＝2；④关于x的方程x2﹣2|x|+1＝m有4个实数根时，m的取值范围是0＜m＜1；故答案为：0＜m＜1；⑤将函数y＝x2﹣2|x|+1的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到函数y1＝（x﹣1）2﹣2|x﹣1|+3的图象．22．如图，AB是⊙O的直径，弦AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF ＝CE，连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AF长为，求⊙O的半径及BD的长．【分析】（1）连接OC、OF，证明四边形OFBC是平行四边形，则BF∥OC，根据AC ＝BC，得到OC⊥AB，∠ABF＝∠BOC＝90°，可证明BF是⊙O的切线；（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB＝∠ACB＝90°，则∠CAB＝∠CBA＝45°，可证明FB＝OB＝OA＝AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC、OF，∵EF＝CE，OE＝BE，∴四边形OFBC是平行四边形，∴BF∥OC，∵AC＝BC，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠ABF＝∠BOC＝90°，∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，∴直线BF是⊙O的切线；（2）如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠BFO＝∠OCB＝45°，∵OF∥BC，∴∠BOF＝∠OBC＝45°，∴∠BFO＝∠BOF，∴FB＝OB＝OA＝AB，∵FB2+AB2＝AF2，且AF＝5，∴（AB）2+AB2＝（5）2，∴AB＝2，∴FB＝AB＝，∴⊙O的半径为，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BD，∴2×＝5BD，∴BD＝2．23．绿色生态农场生产并销售某种有机生态水果．经市场调查发现，该生态水果的周销售量y（千克）是销售单价x（元/千克）的一次函数．其销售单价、周销售量及周销售利润w （元）的对应值如表．请根据相关信息，解答下列问题：（1）这种有机生态水果的成本为30元/千克；（2）求该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（3）若农场按销售单价不低于成本价，且不高于60元/千克销售，则销售单价定为多少，才能使销售该生态水果每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？销售单价x（元/千克）4050周销售量y（千克）180160周销售利润w（元）18003200【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）根据表格中的数据代入一次函数解析式即可；（3）先根据y的范围得到x的取值范围，再利用二次函数的增减性确定最值即可．解：（1）这种有机生态水果的成本为（180×40﹣1800）÷180＝30（元），故答案为：30；（2）设y＝kx+b，依题意得：，解得，∴该生态水果的周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为：y＝﹣2x+260；（3）依题意得w＝（x﹣30）（﹣2x+260）＝﹣2x2+320x﹣7800＝﹣2（x﹣80）2+5000，∵30≤x≤60，∴当x＝60时，w最大＝4200；即单价定为60元/千克时获得最大利润4200元．24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点（﹣2，5），且与直线y ＝﹣x在第二象限交于点A，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B（﹣4，0）．若P是直线OA上方该抛物线上的一个动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交OA于点D，连接OP，PA．（1）求抛物线的解析式；（2）求△AOP的面积S的最大值；（3）连接PB交OA于点E，如图2，线段PB与AD能否互相平分？若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（1）由B（﹣4，0）可得A（﹣4，2），将A（﹣4，2）和（﹣2，5）代入y ＝ax2+bx用待定系数法即得抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x；（2）设P（x，﹣x2﹣x），则D（x，﹣x），即得PD＝﹣x2﹣4x，故S＝PD•|x A|＝﹣2（x+2）2+8，由二次函数性质即得△AOP的面积S的最大值是8；（3）根据线段PB与AD互相平分，知PB的中点即是AD的中点，设P（t，﹣t2﹣t），则D（t，﹣t），而A（﹣4，2），B（﹣4，0），可得﹣t2﹣t＝﹣t+1，即可解得t＝﹣2+或t＝﹣2﹣，从而可得答案．解：（1）∵B（﹣4，0），∴x A＝﹣4，在y＝﹣x中，令x＝﹣4得y＝2，∴A（﹣4，2），将A（﹣4，2）和（﹣2，5）代入y＝ax2+bx得：，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣x；（2）设P（x，﹣x2﹣x），则D（x，﹣x），∴PD＝﹣x2﹣x﹣（﹣x）＝﹣x2﹣4x，∴S＝PD•|x A|＝×（﹣x2﹣4x）×4＝﹣2（x+2）2+8，∵﹣2＜0，∴x＝﹣2时，S取得最大值8；∴△AOP的面积S的最大值是8；（3）线段PB与AD能互相平分，∵线段PB与AD互相平分，∴PB的中点即是AD的中点，设P（t，﹣t2﹣t），则D（t，﹣t），而A（﹣4，2），B（﹣4，0），∴PB的中点是（，﹣t2﹣t），AD的中点是（，﹣t+1），∴﹣t2﹣t＝﹣t+1，解得t＝﹣2+或t＝﹣2﹣，当t＝﹣2+时，PB的中点E的横坐标为，∴点E的坐标为当时，点E的横坐标为∴点E的坐标为∴点E的坐标为或．。

浙教版2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟测试卷（四）（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．将抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿x轴折得到的新抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2+2x+3B．y＝﹣x2﹣2x﹣3C．y＝x2+2x﹣3D．y＝x2﹣2x+3【答案】A【解析】抛物线y＝x2﹣2x﹣3关于x轴对称的抛物线的解析式为：﹣y＝x2﹣2x﹣3，即y＝﹣x2+2x+3，故答案为：A。

2．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AÊ的度数为60°，则∠B+∠D的度数是（）A．180°B．120°C．100°D．150°【答案】D【解析】如图，连接AB，⌢为60°∵AE∴∠ABE=30°∵点A，B，C，D在⊙O上∴四边形ABCD是圆内接四边形∴∠ABC+∠ADC=180°∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180°∴∠EBC+∠D=180°-∠ABE=180°-30°=150°故答案为：D.3．如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出ΔABP 与ΔECP相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90∘C．P是BC的中点D．BP:BC=2:3【答案】C【解析】A. ∠APB=∠EPC，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意；B. ∠APE=90∘，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到∠APB=∠PEC，可以得到 ΔABP ∽ ΔPCE ，不合题意；C. P 是 BC 的中点，无法判断 ΔABP 与 ΔECP 相似，符合题意；D. BP:BC =2:3 ，根据正方形性质得到 AB:BP =EC:PC =3:2 ，又∵∠B=∠C ，可以得到 ΔABP ∽ ΔECP ，不合题意. 故答案为：C.4A ．2700B ．2780C ．2880D ．2940 【答案】C【解析】∵96100×100%=96%，287300×100%≈96%，770800×100%≈96%，9581000×100%≈96%，19232000×100%≈96%， ∴3000×96%=2880， 故答案为：C ．5．如图，△ABC 内接于⊙O ，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，连结DE ．且DE ＝ 3√22，则弦BC 的长为（ ）A ．√2B ．2 √2C ．3 √2D ．√6 【答案】C【解析】∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AD ＝BD ，AE ＝CE ，∴BC ＝2DE ＝2× 3√22＝3 √2 故答案为：C ．6．已知二次函数y ＝﹣2ax 2+ax ﹣4（a ＞0）图象上三点A （﹣1，y 1）、B （1，y 2）、C （2，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＜y 3＜y 2 B ．y 3＜y 1＜y 2 C ．y 1＜y 2＜y 3 D ．y 2＜y 1＜y 3 【答案】B【解析】∵y ＝﹣2ax 2+ax ﹣4（a ＞0），∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x ＝﹣a 2×(−2a)=14， ∴当x ＞14时，y 随x 的增大而减小，∵点A （﹣1，y 1）关于对称轴的对称点是(32，y 1)，而1<32<2，∴y 3＜y 1＜y 2． 故答案为：B.7．如图，扇形AOB 圆心角为直角，OA ＝10，点C 在AB⌢上，以OA ，CA 为邻边构造▱ACDO ，边CD 交OB 于点E ，若OE ＝8，则图中两块阴影部分的面积和为（ ）A ．10π﹣8B ．5π﹣8C ．25π﹣64D ．50π﹣64【答案】C【解析】连接OC ．∵四边形OACD 是平行四边形， ∴OA ∥CD ，∴∠OEC+∠EOA ＝180°， ∵∠AOB ＝90°， ∴∠OEC ＝90°，∴EC =√OC 2−OE 2=√102−62 ＝8，∴S 阴＝S 扇形AOB ﹣S 梯形OECA ＝ 90π×102360−12×（6+10）×8＝25π﹣64. 故答案为：C.8．如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则sinB 的值为（ ）A ．45B ．35C ．43D ．23【答案】B【解析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，AB= √22+42= 2 √5 ，BC= √22+12=√5 ，∵S △ABC = 12 ×3×2= 12 ×2 √5 ×CD ， ∴CD= 3√55，∴sinB= CD BC =3√55√5=35 . 故答案为：B.9．已知二次函数y =ax 2+bx +c −2（a ≠0）的图像如图所示，顶点为(−1，0)则下列结论： ①abc <0；②b 2−4ac =0； ③a <−2；④4a −2b +c <0． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】∵二次函数y =ax 2+bx +c −2开口向下，顶点坐标(−1，0)∴a <0 ，−b2a=−1；∴b =2a <0当x =0时，由图像可知：y =c −2<−2 故c <0∴abc <0 ；①符合题意；∵该抛物线的图像与x 轴仅有一个交点(−1，0)∴关于x 的方程ax 2+bx +c −2=0有两个相等的实数根； ∴b 2−4a(c −2)=0；②不符合题意；由图像可知：关于x 的方程ax 2+bx +c −2=0的实数根为：x 1=x 2=−1 ∴a −b +c −2=0将b =2a 代入得：a =c −2<−2 ；③符合题意； 当x =−2时，y =4a −2b +c −2由图像对称性可知：4a −2b +c −2=c −2<−2 ∴4a −2b +c <0；④符合题意； 故答案为：C ． 10．如图，点 A 1、A 2、A 3、A 4 在射线 OA 上，点 B 1、B 2、B 3 在射线 OB 上，且 A 1B 1//A 2B 2//A 3B 3 ， A 2B 1//A 3B 2//A 4B 3 .若 △A 2B 1B 2、△A 3B 2B 3 的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 （ ）A ．8B ．9C ．10D ．10.5【答案】D【解析】由已知得： △B 1A 2B 2~△B 2A 3B 3，S △B 1A 2B 2S △B 2A 3B 3=14 ，∴B 1B 2B 2B 3=12，∴A 1B 1A 2B 2=A 1A 2A 2A 3=B 1B 2B 2B 3=12 ，设 A 1B 1,A 2B 2 之间的距离为h ，则： 12A 2B 2·ℎ=1 ，∴A 2B 2=2ℎ，∴A 1B 1=12A 2B 2=1ℎ，∴S △A 1B 1A 2=12A 1B 1·ℎ=12×1ℎ×ℎ=12，∴S △A 2B 2A 3=S △A 1B 1A 2÷(A 1A 2A 2A 3)2=12÷14=2 ，同理有 S △A 3B 3A 4=S △A 2B 2A 3÷14=2×4=8 ，∴图中三个阴影三角形面积之和为：S△A1B1A2+S△A2B2A3+S△A3B3A4=12+2+8=10.5，故答案为：D.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案. 11．若扇形的弧长为34π，圆心角为45°，则该扇形的半径为．【答案】3【解析】设扇形所对应圆的半径为R，由扇形的面积公式，有：12×34πR=45°πR2360°解得R=3．故答案为：3.12．如图，甲，乙两个转盘分别被三等分、四等分，各转动一次，停止转动后，将指针指向的数字分别记为a，b，使抛物线y=ax2−2x+b与x轴有公共点的概率为．【答案】112【解析】若抛物线y=ax2−2x+b与x轴有公共点，则令y=0，得到抛物线对应的一元二次方程ax2−2x+b=0有实根，∴Δ=(−2)2−4ab≥0，解得ab≤1，画树状图得：由树状图知：一共有12种等可能的结果，其中满足ab≤1的有1种结果，∴使抛物线y=ax2−2x+b与x轴有公共点的概率为：112，故答案为：112．13．如图，将三角形纸片ABC折叠，使点B、C都与点A重合，折痕分别为DE、FG.已知∠ACB=15°，AE=EF，DE=√3，则BC的长为.【答案】4+2√3【解析】∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG，∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°，∴∠AFE=30°，又AE=EF，∴∠EAF=∠AFE=30°，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°，∴∠BAE=60°，∵DE= √3，∴AE=BE=AB=DEcos30°=2，∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°，∴FC=AF= √BF 2−AB 2 = 2√3 ， ∴BC=BF+FC= 4+2√3 ， 故答案为： 4+2√3 .14．在半径为5的圆内放置正方形ABCD ，E 为AB 的中点，EF ⊥AB 交圆于点F ，直线DC 分别交圆于点G ，H ，如图所示．若AB ＝4，EF ＝DG ＝CH ，则GH 的长为 ．【答案】4√2+4【解析】∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ∥CD ，∠BCD ＝90°， ∴∠FBE ＝∠H ，∠BCH ＝180°﹣90°＝90°， ∵EF ⊥AB ， ∴∠FEB ＝90°， ∴∠FEB ＝∠BCH ， ∴△FEB ∽△BCH ， ∴EF BC =BE CH∵AB ＝4，E 为AB 的中点， ∴BE ＝2， ∴EF 4=2CH ∴EF•CH ＝8， ∵EF ＝CH ， ∴EF 2＝8，∴EF ＝2 √2 或EF ＝﹣2 √2 （舍去）， ∴EF ＝DG ＝CH ＝2 √2 ，∴GH ＝DG+DC+CH ＝2 √2 +4+2 √2 ＝4 √2 +4. 故答案为：4√2+4.15．如图1，一张矩形纸片ABCD ，点E 、F 分别在AB ，CD 上，点G ，H 分别在AF 、EC 上，现将该纸片沿AF ，GH ，EC 剪开，拼成如图2所示的矩形，已知DF ：AD =5：12，GH =6，则AD 的长是 ．【答案】10【解析】如图，设DF =5x ，依题意得AD =12x ，AF =√AD 2+DF 2=13x ，在图2中∵∠CHA =∠FDA =90°，∠CAH =∠FAD ∴△ADF ∽△AHC ∴AD AH =DF HC =AF AC ，∴12x 6+12x =5x HC =13xFC+13x， ∴HC =5x +52，FC =132，∴拼成如图2所示的矩形面积=AH ×HC =(12x +6)(5x +52)=60(x +12)2，在图1中CD =DF +FC =5x +132，原矩形面积=AD ×DC =12x(5x +132)∴60(x +12)2=12x(5x +132)解得x =56∴AD =12x =12×56=10 故答案为：10.16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC<BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，以DB 为直径作⊙O ，分别交CD ，BC 于点E ，F ，连结BE ，EF ．则∠EBF= 度；若DE=DC ， BC=8，则EF 的长为【答案】45；2√5【解析】连接DF ，过点E 作EG ⊥BC 于点G ，∵BD 是直径， ∴∠CEB=90°， ∵∠ACB=90°，CD 平分∠ACD ， ∴∠DCF=12∠ACB=45°，∴∠EBF=90°-∠DCF=90°-45°=45°；∵BD 是直径， ∴∠DFG=90°， ∴DF ⊥BC ， ∴DF ∥FG ， ∵DE=DC ， ∴CF=FG ，∵∠FCG=∠EBC=45°， ∴EC=BE ，在Rt △CEB 中，∠EBC=45°，BC=8，∴BE=CBsin ∠EBC=8sin45°=8×√22=4√2； 在Rt △EBG 中EG=CG=BEsin ∠EBC=4√2sin45°=4√2×√22=4，∴FG=CG-4， ∴FG=2在Rt △EFG 中EF =√FG 2+EG 2=√22+42=2√5. 故答案为：45，，2√5三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．一个袋中装有3个红球，5个白球，7个黑球，每个球除颜色外其余完全相同． （1）求从袋中随机摸出一个球是白球的概率；（2）从袋中摸出3个白球和a 个红球，再从剩下的球中摸出一个黑球的概率为710，求a 的值．【答案】（1）解：由题意，袋中球的总数为：3+5+7=15（个），其中5个白球，因此从袋中随机摸出一个球是白球的概率为：515=13．（2）解：摸出3个白球和a 个红球后，袋中球的总数为：15−a −3=12−a （个），其中7个黑球，∵从剩下的球中摸出一个黑球的概率为710，∴712−a =710，去分母，化为整式方程得 ：10=12−a ，解得a =2．经检验，a =2是原方程的解．故a 的值为2．18．如图， AB 是 ⊙O 的直径，点 C 为圆上一点，点 D 为 CAB ⌢ 的中点，连结 AD ，作 DE ⊥AB交 BC 的延长线于点 E .（1）求证： DE =EB .（2）连结 DO 并延长交 BC 于点 F ，若 CF =2CE ， BD =5 ，求 ⊙O 的半径.【答案】（1）证明：∵点D 为 CAB⌢ 的中点， ∴DC⌢=DB ⌢ ， ∴∠DBC=∠A ， ∵AB 为直径， ∴∠ADB=90°， ∵DE ⊥AB ，∴∠A+∠DBA=∠EDB+∠DBA=90°， ∴∠A=∠EDB ， ∴∠DBC=∠EDB ， ∴DE=EB ；（2）解：如图：∵D 为 CAB⌢ 的中点， ∴DF ⊥BC ，CF=BF ， ∵CF=2CE ，设CE=x ，CF=BF=2x ，则DE=EB=5x ，DF=4x ， 在Rt △DFB 中， DF 2+BF 2=BD 2，即16x 2+4x 2=52，解得：x= √52，∴BF= √5 ，DF=2 √5 ， DF BD =2√55，∵∠A=∠EDB=∠DBF ，∴sinA=sin ∠DBF =DF DB =2√55，∴DB 2r =2√55， ∴r =5√54.答：半径是 5√54.19．已知：如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，∠BCD=90º，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC ⊥BD ．（1）求证： ；（2）点F 是边BC 上一点，联结AF ，与BD 相交于点G ．如果∠BAF=∠DBF ，求证：．【答案】（1）证明：∵AD//BC ，∠BCD=90º，∴∠ADC=∠BCD=90º．又∵AC ⊥BD ，∴∠ACD+∠ACB=∠CBD+∠ACB=90º．∴∠ACD=∠CBD ．∴△ACD ∽△DBC ．∴AD CD =CD BC，即CD 2=BC ×AD （2）证明：∵AD//BC ，∴∠ADB=∠DBF ．∵∠BAF=∠DBF ，∴∠ADB=∠BAF ．∵∠ABG=∠DBA ，∴△ABG ∽△DBA ．∴AG AD =AB BD ．两边同时平方得： AG 2AD 2=AB 2BD2 ．又由于△ABG ∽△DBA ，∴BG AB =AB BD．∴AB 2=BG ×BD ．∴AG 2AD 2=AB 2BD 2=BG×BD BD2=BG BD 20．如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点 D 在书架底部，顶点 F 靠在书架右侧，顶点 C 靠在档案盒上，若书架内侧长为 60cm ， ∠CDE =53° ，档案盒长度 AB =35cm ．（参考数据：sin53°≈0.80 ， cos53°≈0.60 ， tan53°≈0.75 ）（1）求点 C 到书架底部距离 CE 的长度； （2）求 ED 长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】（1）解：∵∠CED=90°，∠CDE=53°，CD=AB=35cm ，∴sin53°=CE CD， ∴CE≈35×0.80=28cm ； （2）解：∵∠CED=90°，∠CDE=53°，CD=AB=35cm ，∴cos53°=DE CD， ∴DE≈35×0.60=21cm ； （3）解：如图，∵BG=60cm ，BE=AB=35cm ，DE=21cm ， ∴DG=4cm ， ∵∠CDE=53°， ∴∠FDG=37°， ∴∠DFG=53°，∴DF=DG sin53°≈40.8sin53°=5cm ， ∴60÷5=12， ∴该书架中最多能放12个这样的档案盒．21．如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0）和B （3，0）两点，交y 轴于点E ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线y ＝x ＋1与抛物线交于A ，D 两点，求点A ，D 的坐标； （3）请直接写出当一次函数值小于二次函数值时，x 的取值范围． 【答案】（1）解：∵ 抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A （－1，0）和B （3，0）两点，∴{1−b +c =09+3b +c =0，整理得{−b +c =−13b +c =−9 解得：{b =−2c =−3所以抛物线为：y =x 2−2x −3（2）解：由题意得：{y =x +1y =x 2−2x −3∴x 2−2x −3=x +1，整理得：x 2−3x −4=0， 解得：x 1=−1，x 2=4， 当x 1=−1， 则y 1=0，当x 2=4， 则y 2=5，所以方程组的解为：{x =−1y =0或{x =4y =5，所以两个函数的交点坐标为：A(−1，0)，D(4，5)， （3）x ＜−1或x ＞4 【解析】（3）当一次函数值小于二次函数值时， 则一次函数的图象在二次函数的图象的下方， 此时：x ＜−1或x ＞4. 22．问题探究（1）如图1，已知锐角△ABC 中，点D 在BC 边上，当线段AD 最短时，请你在图中画出点D 的位置．（2）若一个四边形的四个顶点分别在一个三角形的三条边上，则称这个四边形为该三角形的内接四边形．如图2，在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝90°．矩形BEFG 是△ABC 的内接矩形，若EF ＝2，则矩形BEFG 的面积为 . 如图3，在△ABC 中，AB ＝6 √2 ，BC ＝8，∠B ＝45°，矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形且D 、E 在边BC 上．若EF ＝2，求矩形DEFG 的面积； 问题解决：（3）如图4，△ABC 是一块三角形木板余料，AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝30°，木匠师傅想利用它裁下一块矩形DEFG 木块，矩形DEFG 是△ABC 的一个内接矩形且D 、E 在边BC 上，请在图4中画出对角线DF 最短的矩形DEFG ，请说明理由，并求出此时DF 的长度． 【答案】（1）解：在图1中，过点A 作AD ⊥BC 于点D（2）解：在图2中，∵四边形BEFG 为矩形， ∴EF ∥AB ， ∴△CEF ∽△CBA ， ∴ ＝ ，即＝， ∴CE ＝， ∴BE ＝BC ﹣CE ＝， ∴S 矩形BEFG ＝BE•EF ＝×2＝． 故答案为： ． 在图3中，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则AM ＝ AB ＝6， 同理可得出：△BDG ∽△BMA ，△CEF ∽△CMA ， ∴ ＝ ， ＝ ，即 ＝ ，＝， ∴BD ＝BM ，CE ＝CM ， ∴DE ＝BC ﹣BD ﹣CE ＝BC ＝，∴S 矩形BEFG ＝DE•EF ＝×2＝（3）解：在图4中，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，则AN ＝ 12AB ＝3．设EF ＝x （0＜x ＜3），由（2）可知：DE ＝BC ﹣ EF AN •BC ＝8﹣ 8x 3 ＝ 83（3﹣x），∴DF 2＝DE 2+EF 2， ＝ 649 （3﹣x ）2+x 2，＝ 739 x 2﹣ 1283x+64，＝ 739 （x ﹣ 19273 ）2+ 57673 ．∵739＞0， ∴当x ＝ 19273 时，DF 2取最小值，最小值为 57673，∴DF 的最小值为 24√7373．23．如图，已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，其中A （﹣1，0），顶点C （1，﹣1），点E 为对称轴上点，D 、F 为抛物线上点（点D 位于对称轴左侧），且四边形CDEF 为正方形．（1）求该抛物线的解析式； （2）求正方形CDEF 面积；（3）如图2、图3，连接DF ，且与CE 交于点M ，与y 轴交于点N ，点P 为抛物线上位于DF 下方的点，点Q 为直线BN 上点，当△MPQ 是以点M 为直角顶点的等腰直角三角形时，求点P 坐标． 【答案】（1）解：∵抛物线的顶点为C(1，−1)，设该抛物线的解析式为y =a(x −1)2−1，将A(−1，0)代入y =a(x −1)2−1中，解得a =14，∴该抛物线的解析式为y =14(x −1)2−1，即y =14x 2−12x −34．（2）解：如图1，过点F作FR⊥EC，垂足为R，设F点的坐标为(t，14t2−12t−34)，则R点的坐标为(1，14t2−12t−34)，∴RC=14t2−12t+14，RF= t−1．∵四边形CDEF是正方形，∴RF=RC，∴14t2−12t+14=t−1，解得t=1（舍去）或t=5，∴F(5，3)，RF=5−1=4，∴CF2=2RF2=32，∴正方形CDEF的面积是32．（3）解：由题可知，B（3，0），N（0，3），M（1，3），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+3，设Q点的坐标为（m，3﹣m），①如图2，当Q点在直线DF下方时，过点Q作QG⊥DF交于点G，作PT⊥DF交于点T，∴∠MTP=∠QGM= 90°．∵△PQM是等腰直角三角形，∴∠TMP+∠GMQ＝90°，∠TMP+∠MPT＝90°，∴∠MPT＝∠GMQ，∵MP＝MQ，∴△MTP≌△QGM（AAS），∴MG＝PT，MT＝GQ，∴PT＝MG＝m﹣1，MT＝GQ＝m，∴P（1﹣m，4﹣m），∵P点在抛物线上，∴4﹣m＝14（1﹣m）2﹣12（1﹣m）﹣34，解得m＝﹣2±2√6，∵m＞0，∴m＝﹣2+2√6，∴P（3﹣2√6，6﹣2√6）；②如图3，当Q点在直线DF上方时，过点Q作QS⊥ME交于S点，过点P作PK⊥ME交于K点，∴∠QSM=∠MKP=90°．∵△PQM是等腰直角三角形，∴∠QMS+∠MQS＝90°，∠QMS+∠PMK＝90°，∴∠MQS ＝∠PMK．∵MQ＝MP，∴△QMS≌△MPK（AAS），∴QS＝MK，MS＝PK，∵QS＝1﹣m＝MK，SM＝PK＝﹣m，∴P（m+1，m+2），∵P点在抛物线上，∴2+m＝14（1+m）2﹣12（1+m）﹣34，解得m＝﹣2或m＝6，∵m＜0，∴m＝﹣2，∴P（﹣1，0）；综上所述：当△MPQ是以点M为直角顶点的等腰直角三角形时，点P坐标为（﹣1，0）或（3﹣2√6，6﹣2√6）．24．如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）.过点P的弦CD⊥AB，Q为BC⌢上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H.连接AD、BQ.（1）若m＝3.①求证：∠OAD＝60°；②求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数.【答案】（1）解：①如图，连接OD，则OA=OD∵AB=PA+PB=1+3=4∴OA= 12AB=2∴OP=AP=1即点P是线段OA的中点∵CD⊥AB∴CD垂直平分线段OA∴OD=AD∴OA=OD=AD即△OAD是等边三角形∴∠OAD=60°②连接AQ∵AB是直径∴AQ⊥BQ根据圆周角定理得：∠ABQ=∠ADH，∴cos∠ABQ=cos∠ADH∵AH⊥DQ在Rt△ABQ和Rt△ADH中cos∠ABQ=BQAB=cos∠ADH=DHAD∴BQDH=ABAD∵AD=OA=2，AB=4∴BQDH=ABAD=42=2（2）解：连接AQ、BD与（1）中的②相同，有BQDH=ABAD∵AB是直径∴AD⊥BD∴∠DAB+∠ADP=∠DAB+∠ABD=90°∴∠ADP=∠ABD∴Rt△APD∽Rt△ADB∴PAAD=ADAB∵AB=PA+PB=1+m∴AD=√PA·AB=√1+m∴BQDH=ABAD=1+m√1+m=√1+m（3）解：由（2）知，BQDH=√1+m∴BQ= √1+m·DH即BQ2=(1+m)DH2∴BQ2﹣2DH2+PB2= (1+m)DH2−2DH2+m2=(m−1)DH2+m2当m=1时，BQ2﹣2DH2+PB2是一个定值，且这个定值为1，此时PA=PB=1，即点P与圆心O重合∵CD⊥AB，OA=OD=1∴△AOD是等腰直角三角形∴∠OAD=45°∵∠OAD与∠Q对着同一条弧∴∠Q=∠OAD=45°故存在半径为1的圆，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值1，此时∠Q的度数为45.。

2021-2022学年广东省深圳市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 深圳湾“春笋”大楼的顶部如图所示，则该几何体的主视图是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据简单几何体的三视图的意义，得出从正面看所得到的图形即可．【详解】解：从正面看深圳湾“春笋”大楼所得到的图形如下：故选：A ．【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．2. 若x ＝1是关于x 的一元二次方程x 2+mx ﹣3＝0的一个根，则m 的值是（ ）A. ﹣2B. ﹣1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】把x =1代入方程x 2+mx -3=0，得出一个关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：把x =1代入方程x 2+mx -3=0得：1+m -3=0，解得：m =2．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于m 的方程． 3. 如图，已知△ABC ∽△DEF ，若∠A ＝35°，∠B ＝65°，则∠F 的度数是（ ）A. 30°B. 35°C. 80°D. 100°【答案】C【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C 的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【详解】解：∵△ABC 中，∠A =35°，∠B =65°，∴∠C =180°-∠A -∠B =180°-35°-65°=80°，又∵△ABC ∽△DEF ，∴∠F =∠C =80°，故选：C ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也考查了三角形内角和定理．4. 一元二次方程x 2+x ﹣1＝0的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根D. 无法判断【答案】A【解析】【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式24b ac =− 的值的符号就可以了．【详解】解：1a =，1b =，1c =−， ()224141150b ac ∴=−=−××−=> ，∴方程有两个不相等的实数根．故选A【点睛】本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△的关系是解答此题的关键．总结：一元二次方程根的情况与判别式 的关系：()10>⇔ 方程有两个不相等的实数根；.()20=⇔ 方程有两个相等的实数根；()30<⇔ 方程没有实数根．5. 已知菱形两条对角线的长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为（ ）A. 202cmB. 242cmC. 262cmD. 248cm 【答案】B【解析】【分析】由菱形的面积公式对角线乘积的一半可求解．【详解】解：菱形的面积=12×6×8=24（cm 2），故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的面积公式是本题的关键．6. 为庆祝中国共产党成立100周年，某学校开展学习“四史”（《党史》、《新中国史》、《改革开放史》、《社会主义发展史》）交流活动，小亮从这四本书中随机选择1本进行学习心得体会分享，则他恰好选到《新中国史》这本书的概率为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 1【答案】A【解析】【分析】直接根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意得，他恰好选到《新中国史》这本书的概率为14， 故选：A ．【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7. 如图，已知△A ′B ′C ′与△ABC 是位似图形，点O 是位似中心，若A ′是OA 的中点，则△A ′B 'C ′与△ABC 的面积比是（ ）A. 1：4B. 1：2C. 2：1D. 4：1的【答案】A 【解析】【分析】根据位似图形的概念得到△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，根据△OA′B′∽△OAB，求出A BAB′′，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵△A′B′C′与△ABC是位似图形，∴△A′B′C′∽△ABC，A′B′∥AB，∴△OA′B′∽△OAB，∴12 A B OAAB OA ′′′==，∴△A′B'C′与△ABC的面积比为1：4，故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．8. 下列命题中，是真命题的是（）A. 一条线段上只有一个黄金分割点B. 各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似C. 两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例D. 若2x＝3y，则23 xy=【答案】B【解析】【分析】根据黄金分割的定义对A选项进行判断；根据相似多边形的定义对B选项进行判断；根据平行线分线段成比例定理对C选项进行判断；根据比例的性质对D选项进行判断．【详解】解：A．一条线段上有两个黄金分割点，所以A选项不符合题意；B．各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似，所以B选项符合题意；C．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以C选项不符合题意；D．若2x=3y，则32xy=，所以D选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9. 文博会期间，某公司调查一种工艺品的销售情况，下面是两位调查员和经理的对话．小张：该工艺品的进价是每个22元；小李：当销售价为每个38元时，每天可售出160个；当销售价降低3元时，平均每天将能多售出120个． 经理：为了实现平均每天3640元的销售利润，这种工艺品的销售价应降低多少元？设这种工艺品的销售价每个应降低x 元，由题意可列方程为（ ）A. （38﹣x ）（160+3x ×120）＝3640 B. （38﹣x ﹣22）（160+120x ）＝3640C. （38﹣x ﹣22）（160+3x ×120）＝3640D. （38﹣x ﹣22）（160+3x ×120）＝3640 【答案】D【解析】【分析】由这种工艺品销售价每个降低x 元，可得出每个工艺品的销售利润为（38-x -22）元，销售量为（160+3x ×120）个，利用销售总利润=每个的销售利润×销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：∵这种工艺品的销售价每个降低x 元，∴每个工艺品的销售利润为（38-x -22）元，销售量为（160+3x ×120）个． 依题意得：（38-x -22）（160+3x ×120）=3640． 故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10. 如图，矩形ABCD 中，点E ，点F 分别是BC ，CD 的中点，AE 交对角线BD 于点G ，BF 交AE 于点H ．则GH HE的值是（ ） A. 12 B. 23C.D.的【答案】B【解析】【分析】取BD 的中点M ，连接EM ，交BF 于点N ，则12EM DC =，//EM DC ，由BEN BCF ∆∆∽，得1124EN CF DC ==，由//EM AB ，得EMG ABG ∆∆∽，ENH ABH ∆∆∽，则13EG AE =，15EH AE =，从而解决问题．【详解】解： 矩形ABCD 中，点E ，点F 分别是BC ，CD 的中点，12BE BC ∴=，//AB CD ，1122CF DF DC AB ===，取BD 的中点M ，连接EM ，交BF 于点N ，如图，则EM 是BCD ∆的中位线，12EM DC ∴=，//EM DC ，12EM AB ∴=，//EM AB ，BEN BCF ∴∆∆∽， ∴12ENBECF BC ==，1124EN CF DC ∴==，14EN AB ∴=，//EM AB ，EMG ABG ∴∆∆∽，ENH ABH ∆∆∽， ∴12EG EMAG AB ==，14EHENAH AB ==，13EG AE ∴=，15EH AE =，1123515GH EG EH AE AE AE ∴=−=−=，∴2215135AE GHHE AE==，故选：B．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示出GH和HE的长是解题的关键．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11. 若12ab=，则a bb+=_______．【答案】3 2．【解析】【分析】先把分式化简成已知的形式，再把已知整体代入即可【详解】根据题意可得：原式=ab+1=13122+=．【点睛】本题考查了分式的化简以及代入求值，解题的关键是运用整体思想代入求值．12. 深圳某商场为吸引顾客，设置了一种游戏，其规则如下：在一个不透明的纸箱中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外都相同．凡参与游戏的顾客从纸箱中随机摸出一个球，如果摸到红球就可免费得到一个吉祥物，摸到白球没有吉祥物．据统计，参与这种游戏的顾客共有5000人，商场共发放了吉祥物1500个．则该纸箱中红球的数量约有_____个．【答案】3【解析】【分析】先求出得到吉祥物的频率，再设纸箱中红球的数量为x个，根据题意列出方程，解之即可．【详解】解：由题意可得：参与该游戏可免费得到吉祥物的频率为1500 5000=310，设纸箱中红球的数量为x个，则3 1010 x=，解得：x=3，所以估计纸箱中红球的数量约为3个，故答案为：3．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13. 如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°．【答案】40【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，根据矩形的性质得到∠DCA=∠EAC=20°，结合图形计算，得到答案．【详解】解：∵MN是AC的垂直平分线，∴EC=EA，∴∠ECA=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠D=90°，∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，故答案为：40．【点睛】本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14. 如图，已知一次函数y＝2x+4的图象与反比例函数kyx=的图象交于A，B两点，点B的横坐标是1，过点A作AC⊥y轴于点C，连接BC，则△ABC的面积是_____．【答案】12【解析】【分析】由一次函数解析式求得B 的坐标，代入k y x=求得k ，然后两个解析式联立成方程组，解方程组求得A 的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：∵一次函数y =2x +4的图象与反比例函数k y x=的图象交于A ，B 两点，点B 的横坐标是1， ∴把x =1代入y =2x +4得，y =6，∴B （1，6），∴6=1k ，解得k =6， ∴反比例函数的解析式为6y x=， 解624y x y x = =+ 得：16x y = = 或32x y =− =− ， ∴A （-3，-2），∵AC ⊥y 轴于点C ，∴AC =3，∴S △ABC =12×3×(6+2)=12． 故答案为：12．【点睛】此题是反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积等，数形结合是解本题的关键．15. 如图，已知△ABC 与△ADE 均是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠ADE ＝90°，AB ＝AC ＝1，AD ＝DE＝D在直线BC上，EA的延长线交直线BC于点F，则FB的长是_____．【答案】【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据等腰直角三角形的性质可得DH，CD，再证明△ABF∽△DCA，进而对应边成比例即可求出FB的长．【详解】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴BC，∵AH⊥BC，∴BH=CH，∴AH，∵AD=DE∴DH==，∴CD=DH-CH，∵∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABF=∠ACD=135°，∵∠DAE =45°，∴∠DAF =135°，∵∠BAC =90°，∴∠BAF +∠DAC =45°，∵∠BAF +∠F =45°，∴∠F =∠DAC ，∴△ABF ∽△DCA ， ∴AB BF CD AC=，1BF =，∴BF ，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解决本题的关键是得到△ABF ∽△DA C ． 三、解答题（本题共7小题，共55分）16. 解方程：2430x x −+=【答案】11x =，23x =【解析】【分析】利用配方法解答，即可求解．【详解】解：2430x x −+=，配方得∶()221x −=，解得∶21x −=±，即11x =，23x =．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法是解题的关键．17. 小明为探究反比例函数y ＝k x的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到．（1）他列出y与x的几组对应值如表：表格中，a＝，b＝；（2）结合表，在如图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时的函数y的图象；（3）①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，则m n（填“＞”，“＝”或“＜”）；的②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数图象上，且x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．【答案】（1）-2，2（2）见解析（3）①＞；②＞【解析】【分析】（1）把（-4，-1）代入y＝kx解方程得到反比例函数的解析式为y＝4x，把x=-2，把y=2时，分别代入反比例函数的解析式即可得到答案；（2）根据题意画出图象即可；（3）根据反比例函数的性质即可得到结论．【小问1详解】解：把（-4，-1）代入y＝kx得，-1＝4k−，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y＝4 x，当x=-2时，y=42−=-2，即a=-2；当y=2时，2=4x，则x=2，即b=2；故答案为：-2，2；【小问2详解】如图所示，【小问3详解】∵反比例函数的解析式为y＝4 x，∴k=4＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，①若（6，m），（10，n）在该函数的图象上，∵6＜10，∴m＞n；故答案为：＞；②若（x1，y1），（x2，y2）在该函数的图象上，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，反比例函数的图象，正确的作出图象是解题的关键．18. 深圳某地铁站入口有A，B，C三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．（1）张红选择A安全检查口通过的概率是；（2）请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．【答案】（1）1 3（2）1 3【解析】【分析】（1）根据概率公式求解即可；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【18题详解】解：（1）∵有A．B、C三个闸口，∴张红选择A安全检查口通过的概率是1 3，故答案为：1 3；【19题详解】根据题意画图如下：共有9种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有3种，则她俩选择相同安全检查口通过的概率是31 93=．【点睛】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．19. 如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB 于点F，DC＝DE．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．【答案】（1）见解析（2）4 3【解析】【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．【19题详解】解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∵CF∥ED，∴四边形CDEF是平行四边形，∵DC=DE．∴四边形CDEF是菱形；【20题详解】如图，连接GF，∵四边形CDEF 是菱形，∴CF =CD =5，∵BC =3，∴BF4，∴AF =AB -BF =5-4=1，在△CDG 和△CFG 中， CD CF DCG FCG CG CG = ∠=∠ =， ∴△CDG ≌△CFG （SAS ），∴FG =GD ，∴FG =GD =AD -AG =3-AG ，在Rt △FGA 中，根据勾股定理，得FG 2=AF 2+AG 2，∴（3-AG ）2=12+AG 2，解得AG =43． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．20. 如图①，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了4m ，另一边减少了5m ，剩余部分面积为650m 2．（1）求原正方形空地的边长；（2）在实际建造时，从校园美观和实用的角度考虑，按图②的方式进行改造，先在正方形空地一侧建成1m宽的画廊，再在余下地方建成宽度相等的两条小道后，其余地方栽种鲜花，如果栽种鲜花区域的面积为812m2，求小道的宽度．【答案】（1）30m（2）1m【解析】【分析】（1）设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，根据剩余部分面积为650m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，根据栽种鲜花区域的面积为812m2，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【20题详解】解：设原正方形空地的边长为x m，则剩余部分长（x-4）m，宽（x-5）m，依题意得：（x-4）（x-5）=650，整理得：x2-9x-630=0，解得：x1=30，x2=-21（不合题意，舍去）．答：原正方形空地的边长为30m．【21题详解】设小道的宽度为y m，则栽种鲜花的区域可合成长（30-y）m，宽（30-1-y）m的矩形，依题意得：（30-y）（30-1-y）=812，整理得：y2-59y+58=0，解得：y1=1，y2=58（不合题意，舍去）．答：小道的宽度为1m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21. 【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树CD，FG和灯柱AB如图①所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下：①根据光源确定榕树在地面上的影子；②测量出相关数据，如高度，影长等；③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据．根据上述内容，解答下列问题：（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出榕树FG在路灯下的影子GH；（2）如图①，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，两棵榕树的影长DE，GH均为4米，两棵树之间的距离DG为6米，求榕树FG的高度；（3）无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物CD高为50米，建筑物MF上有一个广告牌EM，合计总高度EF为70米，两座建筑物之间的直线距离FD为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌EM的底端M处，观测者沿着直线AF向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌EM的顶端E处．则广告牌EM 的高度为米．【答案】（1）见解析（2）9 4（3）5 4【解析】【分析】（1）根据题意画出图形；（2）证明△ECD∽△EPB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可；（3）根据△BCD∽△BEF求出BD，再根据△ACD∽△AMF求出MF，进而求出EM．【小问1详解】解：图①中GH即为所求；【小问2详解】∵CD∥PB，∴△ECD∽△EPB，∴CD EDPB EB=，即3.6446PB=+，解得：PB=9，∵FG∥PB，∴△HFG∽△HPB，∴FG HGPB HB=，即49466FG=++，解得：FG=9 4，答：榕树FG的高度为94米；【小问3详解】∵CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，∴CD BDEF BF=，即507030BDBD=+，解得：BD=75，∵CD∥EF，∴△ACD∽△AMF，∴CD ADMF AF=，即5057557530MF+=++，解得：MF=275 4，∴EM=EF-MF=70-2754=54（米），故答案为：5 4．【点睛】本题考查的相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．22. 【探究发现】（1）如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E．①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整．证明：延长BE交DF于点G．②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝°．【类比迁移】（2）如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长；【拓展应用】（3）如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长．【答案】（1）①见解析；②22.5°（2（3【解析】【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD=∠EGD'=90°，结合∠DEG=∠BEC得到∠EBC=∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE=∠DCF、BC=DC，从而证明△BCE≌△DCF；②当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBG=∠D'BG=22.5°，然后由①得到∠EDF=∠EBC=22.5°；（2）延长BE 交DF 于点G ，由对称可知点G 是DD '的中点、∠EGD =∠EGD '=90°，结合CD '⊥DF 得到CD '∥BG ，从而有EG 是△DCD '的中位线，得到点E 是CD 的中点，从而求得CE =DE =1，再由勾股定理求得BE 的长；由（1）①得∠EBC =∠FDC ，∠ECB =∠EGD =90°得到△ECB ∽△EGD ，进而借助相似三角形的性质求得EG 的长，然后由中位线的性质求得CD '的长；（3）以点A 为圆心，AD 的长为半径作圆弧，与CD 和BC 的交点即为点E ，然后分点E 在CD 上和点E 在BC 上讨论，延长AF 交DE 于点G ，然后借助（1）（2）的思路求解．【小问1详解】解：①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD =∠EGD '=90°，∵∠DEG =∠BEC ，∴∠EBC =∠EDF ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCE =∠DCF =90°，BC =DC ，在△BCE 和△DCF 中，EBC EDF BC CD BCE DCF ∠=∠ = ∠=∠， ∴△BCE ≌△DCF （ASA ）．②解：如图1，当点D '与点F 重合时，由对称可知∠DBE =∠D 'BE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DBC =45°，∴∠DBE =∠D 'BE =22.5°，由①得到∠CDF =∠EBD '，∴∠CDF =22.5°，故答案为：22.5°．【小问2详解】解：如图2，延长BE 交DF 于点G ，由对称可知，点G 是DD '的中点，∠EGD =∠EGD '=90°，∵CD '⊥DF ，∴CD '∥BG ，∴EG 是△DCD '的中位线，∴点E 是CD 的中点，∴CE =DE =12CD =12×2=1，∴BE ，由（1）①得，∠EBC =∠FDC ，∠ECB =∠EGD =90°，∴△ECB ∽△EGD ， ∴EC BC BE EG DG ED==，∴13EG DG ==，∴EG∴BG =BE +EG +∵EG 是△DCD '的中位线，∴CD '=2EG 【小问3详解】以点A 为圆心，AD 的长为半径作圆弧，与CD 和BC 的交点即为点E ，①如图3，当点E 在CD 上时，延长AF 交DE 于点G ，由（1）①可得，∠GDF =∠OAF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，AO =CO ，∠ODC =∠ODA ，∴∠OAF =∠ODA ，∵AC =2，∴OA =1，∵AD∴OD，∴tan ∠OAF =tan ∠ODA=OA OD =，∴1OF OF OA ==,∴OF； ②如图4，当点E BC 上时，延长AF 交DE 于点G ，则∠AGD =90°，∠DAG =∠EAG =12∠DAE ，∵AD =AB =AE ，∴∠AEB =∠ABE ，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABO =12∠ABE ，AD ∥∠BC ，∴∠DAE =∠AEB ，∴∠ABO =∠DAG ，在△AGD 和△BOA 中， AGD BOA DAG ABO AD AB ∠=∠ ∠=∠ =，在∴△AGD≌△BOA（AAS），∴DG=AO=1，AG=BO，∴DG=AO，∵∠F AO=∠FDG，∠FOA=∠FGD，∴△FOA≌△FGD（ASA），∴OF=FG，设OF=FG=x，则DF x，在Rt△DFG中，DF2=GF2+DG2，x）2=x2+12，解得：x，∴OF，综上所述，OF【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是通过菱形的性质和三角形的内角和定理得到∠EBC=∠EDF，从而得到相似三角形或全等三角形，难度较大，需要学生学会利用前面所学的知识解答后面的题目，具有很强的综合性，是中考常考题型．。

一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一元二次方程化成一般形式后，常数项是，一次项系数是( )A. 2B.C. 4D.2.已知点P 是线段AB 的黄金分割点，若，则AP 的长约为( )A.B.C.D.3.在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是( )A.B.C.D.4.将二次函数的图象向下平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为( )A. B.C.D.5.如图，若的半径为6，圆心O 到一条直线的距离为3，则这条直线可能是( )A. B. C. D. 6.如图，高的小淇晚上在路灯下散步，DE 为他到达D 处时的影子．继续向前走8m 到达点N ，影子为若测得，则路灯AH 的高度为( )A. 6m B. 7m C. 8m D. 9m二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共302023-2024学年江苏省南京市建邺区九年级（上）期末数学试卷分。

7.若，则为__________.8.一组数据7，，，6的极差为__________.9.若、是方程的两个实数根，则的值为__________.10.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为6，则该圆锥侧面展开图的圆心角是__________11.若方程的两根为，则方程的两根为__________.12.如图，在边长为2的正方形内有一边长为1的小正方形，一只青蛙在该图案内任意跳动，则这只青蛙跳入阴影部分的概率是__________.13.如图，AB是的直径，C是上一点，若，则__________14.如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为__________.15.如图，在中，半径OC与弦AB垂直于点D，M为AD的中点，N为上的点，且若，，则的半径为__________.16.如图，在中，P是斜边AB边上一点，且，分别过点A、B作、平行于CP，若，则与之间的最大距离为__________.三、计算题：本大题共1小题，共6分。

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．22．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A． B． C．D．9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A．B．C．D．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=，b=．13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：种子总数100 400 800 1000 3500 7000 9000 14000发芽种子数91 354 716 901 3164 5613 8094 12614发芽的频率0.91 0.885 0.895 0.901 0.904 0.902 0.899 0.901则该玉米种子发芽的概率估计值为（结果精确到0.1）．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门步而见木．15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．你认为小明的思考（填“正确”和“不正确”），理由是．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB 的长．20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）22．已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y …﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3 m …求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C （0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求一次函数y=x+n的表达式；（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．2017-2018学年北京市燕山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．二次函数y=（x﹣1）2+2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】根据二次函数的性质求解．【解答】解：∵y=（x﹣1）2+2，∴当x=1时，函数有最小值2．故选D．2．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可．【解答】解：A、B、C都不是中心对称图形，D是中心对称图形，故选：D．3．下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．【解答】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．4．若△ABC∽△DEF，相似比为1：3，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：9 B．1：3 C．1：2 D．1：【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3，∴△ABC与△DEF的面积比为1：9，故选：A．5．有一盒水彩笔除了颜色外无其他差别，其中各种颜色的数量统计如图所示．小腾在无法看到盒中水彩笔颜色的情形下随意抽出一支．小腾抽到蓝色水彩笔的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据统计图求出总的水彩笔和蓝色水彩笔的支数，再根据概率公式进行计算即可．【解答】解：图中共有水彩笔2+3+4+3+6+2=20支，其中蓝色水彩笔6支，则抽到蓝色水彩笔的概率为=；故选：C．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC=50°，则∠D等于（）A．25°B．30°C．40°D．50°【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC=50°，∴∠D=∠AOC=25°．故选A．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，则cosB的值为（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，由勾股定理，得BC===4．cosB==，故选：B．8．已知一块蓄电池的电压为定值，以此蓄电池为电源时，电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图，则电流I关于电阻R的函数解析式为（）A． B． C．D．【分析】首先设I=，再把点（4，8）代入可得k的值，进而可得函数解析式．【解答】解：设I=，∵图象经过点（4，8），∴8=，解得：k=32，∴电流I关于电阻R的函数解析式为I=．故选：C．9．某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=135°，AB=AE=1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4）（）A．B．C．D．【分析】过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠AEH=45°，则∠EAH=45°，然后在△EAH中，利用正弦函数的定义得出EH=AE•sin∠EAH，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．【解答】解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠EHG=∠HEF=90°，∵∠AEF=135°，∴∠AEH=∠AEF﹣∠HEF=45°，∠EAH=45°，在△EAH中，∠EHA=90°，∠EAH=45°，AE=1.3米，∴EH=AE•sin∠EAH≈1.3×0.7=0.91（米），∵AB=1.3米，∴AB+EH≈1.3+0.91=1.92≈2.2米．故选B．10．一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，四边形ABCD为矩形，且AB＞AD＞，为记录寻宝者的行进路线，在AB的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（）A．O→D→C→B B．A→B→C C．D→O→C→B D．B→C→O→A【分析】观察图2，发现寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，确定出寻宝者的行进路线即可．【解答】解：观察图2得：寻宝者与定位仪器之间的距离先越来越远，再先近后远，最后越来越近，结合图1得：寻宝者的行进路线可能为O→D→C→B，故选A．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．12．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2015=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=1，b=2014．【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到a+b﹣2015=0，于是a取1时，计算对应的b的值．【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2015=0得a+b﹣2015=0，当a=1时，b=2014．故答案为1，2014．13．某农科院在相同条件下做了某种玉米种子发芽率的试验，结果如下：种子总数100 400 800 1000 3500 7000 9000 14000发芽种子数91 354 716 901 3164 5613 8094 12614发芽的频率0.91 0.885 0.8950.901 0.904 0.902 0.899 0.901则该玉米种子发芽的概率估计值为0.9（结果精确到0.1）．【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论．【解答】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，∴该玉米种子发芽的概率为0.9，故答案为：0.9．14．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系．其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门．走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”（注：1里=300步）你的计算结果是：出南门315步而见木．【分析】根据题意写出AB、AC、CD的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：由题意得，AB=15里，AC=4.5里，CD=3.5里，△ACB∽△DEC，∴=，即=，解得，DE=1.05里=315步，∴走出南门315步恰好能望见这棵树，故答案为：315．15．老师在课堂上出了一个问题：若点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，比较y1，y2，y3的大小．小明是这样思考的：当k＜0时，反比例函数的图象是y随x的增大而增大的，并且﹣2＜1＜4，所以y1＜y2＜y3．你认为小明的思考不正确（填“正确”和“不正确”），理由是y2＜y3＜y1．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数中k=﹣8＜0，∴此函数图象的两个分支分别位于二四象限，并且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）和C（4，y3）都在反比例函数的图象上，∴A在第二象限，点B、C在第四象限，∴y1＞0，y2＜y3＜0，∴y2＜y3＜y1．故小明的思考不正确，故答案为：不正确，y2＜y3＜y1．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．【分析】根据圆周角定理的推论求解．【解答】解：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．故答案为直径所对的圆周角为直角．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题8分，第29题7分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．计算：cos45°﹣tan30°•sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案．【解答】解：原式=×﹣•=1﹣=．18．解方程：x2﹣3x﹣1=0．【分析】此题比较简单，采用公式法即可求得，首先确定a，b，c的值，然后检验方程是否有解，若有解代入公式即可求解．【解答】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）=13，∴x1=，x2=．19．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，交AB于点D，交⊙O于点C，CD=2，求弦AB 的长．【分析】求出OD，根据垂径定理得出AB=2AD，根据勾股定理求出AD，即可得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为5，∴OA=OC=5，∵CD=2，∴OD=5﹣2=3，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB=2AD，∠ODA=90°，在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD===4，∴AB=2AD=8．20．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且=．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．【分析】（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．【解答】（1）证明：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵=．∴△ACD∽△CBD；（2）解：∵△ACD∽△CBD，∴∠A=∠BCD，在△ACD中，∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．将△ABC绕点A 顺时针旋转90°得到△AB1C1．（1）在网格中画出△AB1C1；（2）计算点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．（结果保留π）【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点B、C的对应点B1、C1即可得到△AB1C1；（2）点B旋转到B1的过程中所经过的路径为以A为圆心，AB为半径，圆心角为90°的弧，于是根据弧长公式可计算出点B旋转到B1的过程中所经过的路径长．【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作；（2）AB==5，所以B旋转到B1的过程中所经过的路径长==π．22．已知二次函数y=2x2﹣8x．（1）用配方法将y=2x2﹣8x化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）求出该二次函数的图象与x轴的交点A，B的坐标（A在B的左侧）；（3）将该二次函数的图象沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位，请直接写出得到的新图象的函数表达式．【分析】（1）利用配方法即可直接求解；（2）在解析式中令y=0，求得x即可求得A和B的横坐标；（3）根据二次函数的平移法则即可直接写出平移后的解析式．【解答】解：（1）y=2x2﹣8x=2（x2﹣4x+4﹣4）=2（x﹣2）2﹣8；（2）在y=2x2﹣8x中令y=0，则2x2﹣8x=0，解得：x1=0，x2=4，则A的坐标是（0，0），B的坐标是（4，0）；（3）y=2（x﹣2）2﹣8沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单位后的解析式是：y=2x2﹣5．23．如图，一次函数y=x+2的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A，B两点，且点A的坐标为（1，m）．（1）求反比例函数y=（k≠0）的表达式；（2）若P是y轴上一点，且满足△ABP的面积为6，求点P的坐标．【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值；（2）联立方程，解方程组即可求得B的坐标，设直线与y轴的交点为C（0，2），根据△ABP的面积为6得出PC•|x B|+PC•|x A|=6，求出PC的长，即可求得P点的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数图象过A点，∴m=1+2，解得m=3，∴A点坐标为（1，3），又∵反比例函数图象过A点，∴k=1×3=3，∴反比例函数y=（k≠0）的表达式为y=．（2）∵，解得或∴B（﹣3，﹣1），设直线与y轴的交点为C（0，2），∵△ABP的面积为6，∴PC•|x B|+PC•|x A|=6，∴PC（1+3）=6，∴PC=3，∴P（0，5）或（0，﹣1）．24．北京联合张家口成功申办2022年冬奥会后，滑雪运动已成为人们喜爱的娱乐健身项目．如图是某滑雪场为初学者练习用的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将斜坡的倾角由45°降为30°，已知原斜坡坡面AB长为200米，点D，B，C在同一水平地面上，求改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD．（结果保留整数．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）【分析】根据题意和正切的概念分别求出CB、CD的长，计算即可．【解答】解：∵∠C=90°，∠ABC=45°，∴AC=BC=100≈141米，tan∠D=，∴CD==100≈245米，∴BD=CD﹣CB=104米，答：改善后的斜坡坡角向前推进的距离BD为104米．25．如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．（1）求证：∠DAC=∠DCE；（2）若AB=2，sin∠D=，求AE的长．【分析】（1）由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知∠DAC=∠B，然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB，由对顶角的性质可知∠DCE=∠OCB，故此可知∠DAC=∠DCE；（2）题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA，故此可得到DC2=DE•AD，故此可求得DE=，于是可求得AE=．【解答】解：（1）∵AD是圆O的切线，∴∠DAB=90°．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∵∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC=90°，∴∠DAC=∠B．∵OC=OB，∴∠B=∠OCB．又∵∠DCE=∠OCB．∴∠DAC=∠DCE．（2）∵AB=2，∴AO=1．∵sin∠D=，∴OD=3，DC=2．在Rt△DAO中，由勾股定理得AD==2．∵∠DAC=∠DCE，∠D=∠D，∴△DEC∽△DCA．∴，即．解得：DE=．∴AE=AD﹣DE=．26．有这样一个问题：探究函数y=+x的图象与性质．小东根据学习函数的经验，对函数y=+x的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y=+x的自变量x的取值范围是x≠1；（2）下表是y与x的几组对应值．x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 5 …y …﹣﹣﹣﹣1﹣﹣3 m …求m的值；（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；（4）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是（2，3），结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可）：该函数没有最大值，也没有最小值．【分析】（1）由图表可知x≠0；（2）根据图表可知当x=4时的函数值为m，把x=4代入解析式即可求得；（3）根据坐标系中的点，用平滑的直线连接即可；（4）观察图象即可得出该函数的其他性质．【解答】解：（1）x≠1，故答案为x≠1；（2）令x=4，∴y=+4=；∴m=；（3）如图（4）该函数的其它性质：该函数没有最大值，也没有最小值；故答案为该函数没有最大值，也没有最小值．27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，t），B（3，t），与y轴交于点C （0，﹣1）．一次函数y=x+n的图象经过抛物线的顶点D．（1）求抛物线的表达式；（2）求一次函数y=x+n的表达式；（3）将直线l：y=mx+n绕其与y轴的交点E旋转，使当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方，请结合函数图象，求m的取值范围．【分析】（1）根据A和B对称，可求得对称轴，则b的值即可求得，然后根据函数经过点（0，﹣1），代入即可求得c的值，则抛物线解析式即可求得；（2）首先求得抛物线的顶点，代入一次函数解析式即可求得n的值，求得一次函数的解析式；（3）首先求得抛物线上当x=﹣1和x=1时对应点的坐标，然后求得直线y=mx+n经过这两个点时对应的m的值，据此即可求解．【解答】解：（1）二次函数的对称轴是x==1，则﹣=1，解得：b=﹣2，∵抛物线与y轴交于点C（0，﹣1）．∴c=﹣1，则二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣1；（2）二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标是（1，﹣2），代入y=x+n得﹣2=1+n，解得：n=﹣3，则一次函数y=x+n的表达式是y=x﹣3；（3）如图所示：在y=x2﹣2x﹣1中，当x=﹣1时，y=2；当x=1时，y=﹣2．当直线y=mx﹣3经过点（﹣1，2）时，﹣m﹣3=2，解得：m=﹣5；当直线y=mx﹣3经过点（1，﹣2）时，m﹣3=﹣2，解得：m=1．则当﹣5＜m＜1时，当﹣1≤x≤1时，直线l总位于抛物线的下方．28．如图1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，将△CDE绕点C逆时针旋转一个角度α（0°＜α＜90°），使点A，D，E在同一直线上，连接AD，BE．（1）①依题意补全图2；②求证：AD=BE，且AD⊥BE；③作CM⊥DE，垂足为M，请用等式表示出线段CM，AE，BE之间的数量关系；（2）如图3，正方形ABCD边长为，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP 的距离．【分析】（1）①根据旋转的特性画出图象；②由∠ACD、∠BCE均与∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，结合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，从而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即证出AD⊥BE；③依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用AE，BE去表示CM；（2）根据题意画出图形，比照（1）③的结论，套入数据即可得出结论．【解答】解：（1）①依照题意补全图2，如下图（一）所示．②证明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ADC和△BEC中，有，∴△ADC≌△BEC（S AS），∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．∵点A，D，E在同一直线上，△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，∴AD⊥BE．③依照题意画出图形，如图（二）所示．∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，即AC•BC+BE•CM=AE（CM+BE），∴AC2﹣AE•BE=CM（AE﹣BE）．∵△CDE为等腰直角三角形，∴DE=2CM，∴AE﹣BE=2CM，∴CM=．（2）依照题意画出图形（三）．其中AB=，DP=1，BD=AB=由勾股定理得：BP==3．结合（1）③的结论可知：AM===1．故点A到BP的距离为1．29．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，点P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP上一点，满足CP•CP′=r2，则称点P′为点P关于⊙C的反演点．右图为点P及其关于⊙C的反演点P′的示意图．（1）如图1，当⊙O的半径为1时，分别求出点M（1，0），N（0，2），T（，）关于⊙O的反演点M′，N′，T′的坐标；（2）如图2，已知点A（1，4），B（3，0），以AB为直径的⊙G与y轴交于点C，D（点C位于点D下方），E为CD的中点．①若点O，E关于⊙G的反演点分别为O′，E′，求∠E′O′G的大小；②若点P在⊙G上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，点Q关于⊙G的反演点为Q′，请直接写出线段GQ′的长度．【分析】（1）利用反演点定义，先求出：ON′，OT′，OM′的长度，然后求出它们的坐标；（2）①求出：E′G，O′G，O′E′，利用勾股定理逆定理证明△E′O′G是RT△；②考虑两种情形，点P在直线AB左右都存在．【解答】解：（1）∵ON•ON′=1，ON=2，∴ON′=，∴反演点N′坐标（0，），∵OM•OM′=1，OM=1，∴OM′=1反演点M′坐标（1，0）∵，∴，∵T′在第一象限的角平分线上，∴反演点T′坐标（1，1）（2）①由题意：AB=2，r=，∵E（0，2），G（2，2），EG=2，E′G•EG=5，∴，∵OG•O′G=5，OG=2，∴O′G=，∵E′（﹣，2），O′（，），∴O′E′=，∴E′G2=E′O′2+O′G2，∴∠E′O′G=90°②如图：∵∠BAP1=∠OBC，∠CAP1+∠CBP1=∠CAB+∠BAP1+∠CBP1=180°，∠OBC+∠CBP1+∠P1BQ1=180°，∠CAB=45°，∴∠P1BQ1=45°，∵∠AP1B=∠BP1Q1=90°，∴△PBQ1是等腰直角三角形，由△AP1B∽△BOC得到：，∵，∴，BQ1=2，Q1（5，0），∵Q1′G•GQ1=5，∴Q1′G=，∵∠P2AB=∠BAP1，∴P1，P2关于直线AB对称，∵P1（4，1），易知：P2（，﹣），∴直线AP2：Y=﹣7X+11，∴Q2（），由：Q2′G•Q2G=5得到：Q2′G=．。

人教版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。

（每小题只有一个正确答案，每小题3分，共30分）1．下列属于一元二次方程的是（ ）A ．x 2-3x+y=0B ．x 2+2x= C ．2x 2=5x D ．x(x 2-4x)=32．抛物线的顶点坐标为（ ）A ．（3，0） B．（-3,0） C ．（0,3） D ．（0，－3）3．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（ ）A ． B ． C ． D ．4．若关于x 的方程x 2﹣2x ﹣k ＝0有实数根，则k 的值可能为（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．05．若△ABC ∽△DEF ，且S △ABC ：S △DEF =3：4，则△ABC 与△DEF 的周长比为A ．3：4B ．4：3C 2D ．26．如图，将就点C 按逆时针方向旋转75°后得到，若∠ACB ＝25°，则∠BCA′的度数为（ ）A ．50°B ．40°C ．25°D ．60°7．为了迎接春节，某厂10月份生产春联万幅，计划在12月份生产春联万幅，设11、12月份平均每月增长率为根据题意，可列出方程为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上．若∠ABD=55°，则∠BCD 的度数为（ ）1x 2y 2x 3=-（）()2019nCoV -ABC A B C ''△50120,x ()()2501501120x x +++=()()250501501120x x ++++=()2501120x +=()50160x +=A ．25°B ．30°C ．35°D ．40°9．若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．10．关于x 的方程k 2x 2＋(2k-1)x+1 =0有实数根，则下列结论正确的是（）A ．当k=时，方程的两根互为相反数B ．当k=0时，方程的根是x=-1C ．若方程有实数根，则k≠0且k≤D ．若方程有实数根，则k≤二、填空题。

浙教版2022-2023学年九年级上学期期末数学模拟测试卷（一）（解析版）一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.1．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，∠ABC ＝70°，则∠BAC ＝（ ）A ．50°B ．40°C ．30°D ．20° 【答案】D【解析】∵AB 为⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点， ∴∠ACB =90°， ∵∠ABC =70°，∴∠BAC =180°−(∠ACB +∠ABC)=180°−90°−70°=20°． 故答案为：D ．2．如图，AD ∥BE ∥CF ，AB ＝3，BC ＝6，DE ＝2，则DF 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】D【解析】∵AD//BE//CF ， ∴AB BC =DE EF ，∵AB =3 ， BC =6 ， DE =2 ，∴EF =6×23=4 ，则 DF =DE +EF =6 ， 故答案为：D.3．将拋物线y =(x −1)2−3先向左平移2个单位， 再向下平移1个单位， 得到的新拋物线必经过( )A ．(1，0)B ．(0，5)C ．(1，2)D ．(1，−2) 【答案】A【解析】 将拋物线y =(x −1)2−3先向左平移2个单位， 再向下平移1个单位，得到的函数解析式为y=（x-1+2） 2-3-1=（x+1）2-4， 当x=1时，y=4-4=0∴抛物线经过点（1，0），故A 符合题意；抛物线不经过（1，2）和（1，-2），故C ，D 不符合题意； 当x=0时，y=1-4=-3≠5 ∴抛物线不经过点（0，5），故B 不符合题意； 故答案为：A4．下列命题中，正确的个数是（ ） （1）三点确定一个圆；（2）等弧所对的圆周角相等；（3）相等的圆心角所对的弧相等；（4）直径所对的圆周角是直角． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】（1）B 【解析】（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；（2）等弧所对的圆周角相等，故正确；（3）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （4）直径所对的圆周角是直角，故正确； 故答案为：B ．5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin ∠A ＝23，则cosB ＝（ ）A ．23B ．√53C ．2√55 D ．√52【答案】A【解析】如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∵sinA ＝BC AB =23，cosB ＝BC AB ，∴cosB ＝23．故答案为：A ．6．将分别标有“中”“国”…“全”“面”“小”“康”汉字的六个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，然后放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“小”和“康”的概率是（ ） A ．14 B ．16 C ．19 D ．118【答案】D【解析】画树状图如下：共有36种等可能结果，其中，两次摸到的球上的汉字是“小”和“康”的结果有2种∴ 两次摸到的球上的汉字是“小”和“康”的概率为 P =236=118. 故答案为：D.7．如图，已知 D 、E 分别是 ΔABC 的边 AB 、AC 上的点，若 DE//BC ，且 DE 将 ΔABC 分成面积相等的两部分，则 ADAB的值为（ ）A ．12B ．√22C ．14D ．√2【答案】B【解析】∵DE ∥BC ，且 DE 将 ΔABC 分成面积相等的两部分， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC =(AD AB )2=12∴AD AB =√22故答案为：B ．8．已知二次函数 y =ax 2+bx −3(a >0) 的图象与 x 轴的交点 A 的坐标为 (n,0) ，顶点 D 的坐标为 (m,t) ，若 m +n =0 ，则 t 的值为（ ）A．−7B．−6C．−5D．−4【答案】D【解析】∵二次函数顶点D的坐标为(m,t)，且m+n=0，函数的对称轴为直线x=m=−n，∵二次函数y=ax2+bx−3(a>0)的图象与x轴的交点A的坐标为(n,0)，根据二次函数的对称性可得，函数与x轴另外一个交点的坐标为(−3n,0)，则设抛物线的表达式为y=a(x−n)(x+3n)=a(x2+2nx−3n2)=ax2+bx−3，即−3an2=−3，解得an2=1，当x=m=−n时，y=a(x2+2nx−3n2)=−4an2=−4=t，故答案为：D.9．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（）A．AB2＝AP2+BP2B．BP2＝AP•BAC．APBP=√5−12D．BPAP=√5−12【答案】D【解析】P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或BPAP=√5−12．故答案为：D．10．如图，点A的坐标为A（8，0），点B在y轴正半轴上，且AB＝10，点P是△AOB外接圆上一点，且∠BOP＝45°，则点P的坐标为（）A．（7，7）B．（7 √2，7 √2）C．（5 √2，5 √2）D．（5，5）【答案】A【解析】作PH⊥x轴于H，连接PA、PB，∵∠AOB＝90°，∴AB为△AOB外接圆的直径，∴∠BPA＝90°，∵AB＝10，∠BAP＝∠BOP＝45°，∴PA＝5 √2，设OH＝t，则PH＝t，AH＝8﹣t，在Rt△PHA中，∵PH2+AH2＝PA2，即t2+（8﹣t）2＝（5 √2）2，解得，t 1＝1（舍去），t 2＝7， ∴点P 的坐标为（7，7）， 故答案为：A.二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.11．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果，估计这名球员在罚球线投篮，一次投中的概率【解析】由频数分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率稳定在常数0.65附近，所以一次投中的概率时0.65． 故答案为：0.65．12．已知x ，y ，z 满足x+43=y+32=z+84，且x −2y +z =12，则x = ．【答案】14【解析】设x+43=y+32=z+84=t ，则x =3t −4，y =2t −3，z =4t −8，代入x −2y +z =12得：3t −4−2×(2t −3)+4t −8=12 解得：t =6， x =3t −4=14. 故答案为：14.13．如图是一个由三条等弧围成的莱洛三角形，其中 BC⌢ 的圆心为点 A ， ∠BAC =60° .若 AB =1cm ，则该三角形的周长是 cm .【答案】π【解析】图中 BC ⌢ 所在的圆的半径AB=1cm ，相应的圆心角的度数为60°，∴BC ⌢ 的长为 60π×1180=π3（cm ），∴该莱洛三角形的周长是 π3 ×3=π（cm ），故答案为：π.14．二次函数y =−x 2−(k −4)x +6，当x >−2时，y 随着x 的增大而减小，当x <−2时，y 随着x 的增大而增大，则k= ． 【答案】8【解析】依题意可知，抛物线对称轴为x =−2，即−b2a =−2，−k−42=−2， 解得k =8． 故答案为：8．15．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，连结AD ，若CD =2AD ，AB =BC =6，则⊙O 的半径 .【答案】2√3【解析】∵CD 是直径， ∴∠DAC=90°， ∵CD=2AD ， ∴∠ACD=30°，∠D=60°，∵AC ⏜=AC ⏜，∴∠D=∠B=60°， ∵AB=BC ，∴△ABC 是等边三角形， ∴BC=AC=6；∴AD 2+AC 2=CD 2即AD 2+36=4AD 2 解之：AD=2√3. ∴圆的半径为2√3. 故答案为：2√3 16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB =2√10，连结AB 并延长至C ，连结OC ，若满足OC 2=BC ⋅AC ，tanα=3，则点C 的坐标为 ．【答案】(−34，94)【解析】∵OC 2=BC ⋅AC ， ∴OC BC =AC OC， 又∵∠C =∠C ， ∴ΔOBC ∼ΔAOC ， ∴∠A =∠COB ，∵α+∠COB =90°，∠A +∠ABO =90°， ∴∠ABO =α， ∵tanα=3，∴tan∠ABO =OAOB =3， ∴OA =3OB ， ∵AB =2√10，由勾股定理可得：OA 2+OB 2=AB 2，即(3OB)2+OB 2=(2√10)2， 解得：OB =2， ∴OA =6．∴tan∠A =OB OA =13．如图，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，∵tanα=3，∴设C(−m ，3m)，m >0， ∴AD =6+m ，∵tan∠A =13， ∴CD AD =13， ∴3m 6+m =13， 解得：m =34，经检验，m =34是原方程的解．∴−m =−34，3m =94，∴点C 坐标为：(−34，94)．故答案为：(−34，94)．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.17．一个不透明的布袋里装有1个白球，2 个红球，它们除颜色外其余都相同。

九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=02．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A．B． C．D．3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）4．反比例函数y=经过（）象限．A．第一和第三B．第二和第四C．第一和第二D．第三和第四5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=236．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）A．B．C．D．7．成语“水中捞月”所描述的事件是（）事件．A．必然B．随机C．不可能D．无法确定8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（）A．100°B．70°C．40°D．30°9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A （3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜310．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向．12．方程x2﹣9=0的解是．13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是．14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是．15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A=度．16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为米．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．18．江门市统计局与国家统计局江门调查队联合发布2015年江门市国民经济和社会发展统计公报．公报显示，经初步核算，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，而2013年生产总值（GDP）为2000亿元，如果2014、2015年江门市GDP逐年增加，求这两年我市GDP的年平均增长率．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC 绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，求AA′的长．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．22．已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形；（2）求出此时菱形的边长．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限=．的交点，AB⊥x轴于点B且S△ABO（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标；（3）求△AOC的面积．24．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．25．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）1．下列方程中关于x的一元二次方程的是（）A．x2+=0 B．x3+x﹣1=0 C．x2﹣2xy+y2=0 D．x2+2x﹣3=0【考点】A1：一元二次方程的定义．【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【解答】解：A、x2+=0，不是一元二次方程，故此选项错误；B、x3+x﹣1=0，不是一元二次方程，故此选项错误；C、x2﹣2xy+y2=0，不是一元二次方程，故此选项错误；D、x2+2x﹣3=0，是一元二次方程，故此选项正确；故选：D．2．下列是电视台的台标，属于中心对称图形的是（）A．B． C．D．【考点】R5：中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故此选项正确；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．3．抛物线y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（）A．（﹣3，1）B．（3，1） C．（3，﹣1）D．（﹣3，﹣1）【考点】H3：二次函数的性质．【分析】利用抛物线顶点式y=a（x﹣h）2+k直接求出顶点坐标即可．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），∴y=2（x﹣3）2+1的顶点坐标是（3，1）．故选B．4．反比例函数y=经过（）象限．A．第一和第三B．第二和第四C．第一和第二D．第三和第四【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的比例系数判断即可．【解答】解：∵反比例函数y=中k=1＞0，∴图象在一三象限，故选A．5．用配方法解方程x2﹣4x﹣7=0时，原方程应变形为（）A．（x+2）2=11 B．（x﹣2）2=11 C．（x+4）2=23 D．（x﹣4）2=23【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．【分析】先把方程变形为x2﹣4x=7，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为（x﹣2）2=11即可．【解答】解：x2﹣4x=7，x2﹣4x+4=11，所以（x﹣2）2=11．故选B．6．小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6个，数学题5个，英语题9个，她从中随机抽取1个，抽中数学题的概率是（）A．B．C．D．【考点】X4：概率公式．【分析】由小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵小玲在一次班会中参与知识抢答活动，现有语文题6道，数学题5道，综合题9道，∴她从中随机抽取1道，抽中数学题的概率是：==，故选：C．7．成语“水中捞月”所描述的事件是（）事件．A．必然B．随机C．不可能D．无法确定【考点】X1：随机事件．【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．【解答】解：水中捞月是不可能事件，故选C．8．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°，得到△OA1B1，求∠A1OB的度数（）A．100°B．70°C．40°D．30°【考点】R2：旋转的性质．【分析】根据∠A1OB=∠BOB1﹣∠AOB即可求解．【解答】解：∠BOB1=100°，∠AOB=30°，则∠A1OB=∠BOB1﹣∠AOB=100°﹣30°=70°．故选B．9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A （3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A．0＜x＜2 B．x＜0或x＞3 C．2＜x＜3 D．0＜x＜3【考点】HC：二次函数与不等式（组）；HA：抛物线与x轴的交点．【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，此时x的取值范围是：0＜x＜3．故选：D．10．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D．若OA=4，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】连接OE，根据CE⊥OA且OA=4可知OC=2，求出cos∠EOC=，由此可得出∠COE的度数，进而得出∠BOE的度数，根据S阴影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE即可得出结论．【解答】解：连接OE，如图所示：∵C为OA的中点，CE⊥OA且OA=4，∴OC=2，∴cos∠EOC==，CE==2，∴∠COE=60°．∵∠AOB=90°，∴∠BOE=30°，∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形ACD﹣S扇形BOE﹣S△COE=﹣﹣﹣×2×2=﹣2．故选：D．二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）11．二次函数y=x2﹣2x﹣3的开口方向是向上．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的性质由a=1＞0即可得到抛物线的开口向上．【解答】解：∵a=1＞0，∴抛物线的开口向上．故答案为上．12．方程x2﹣9=0的解是x=±3．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】这个式子左边是一个平方差公式，直接分解因式即可，然后求出x．【解答】解：x2﹣9=0即（x+3）（x﹣3）=0，所以x=3或x=﹣3．故答案为：x=±3．13．平面直角坐标系中，点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3）．【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．【解答】解：点P（1，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣1，3），故答案为：（﹣1，3）．14．已知反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是k＜1．【考点】G4：反比例函数的性质．【分析】由反比例函数的性质，可得1﹣k＞0，解得即可．【解答】解：∵反比例函数图象的每一条曲线上，y随x的增大而减小，∴1﹣k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．15．如图，已知△ABC是圆内接三角形，若∠OCB=15°，则∠A=75度．【考点】MA：三角形的外接圆与外心．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠OBC=∠OCB=15°，求出∠AOB，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB=15°，∴∠AOB=150°，由圆周角定理得，∠A=∠AOB=75°，故答案为：75．16．如图，2016年里约奥运会上，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体（看成一点）在空中的运动路线是抛物线y=﹣x2+x（图中标出的数据为已知条件），运动员在空中运动的最大高度离水面为米．【考点】HE：二次函数的应用．【分析】直接利用配方法得出二次函数的最值，进而得出运动员在空中运动的最大高度离水面的距离．【解答】解：∵y=﹣x2+x=﹣（x2﹣x）=﹣（x﹣）2+，∴y的最大值为：，∴运动员在空中运动的最大高度离水面为：10+=10（m）．故答案为：10．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）17．解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】移项后提取公因式x﹣3后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．【解答】解：2（x﹣3）=3x（x﹣3），移项得：2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）=0，整理得：（x﹣3）（2﹣3x）=0，x﹣3=0或2﹣3x=0，解得：x1=3或x2=．18．江门市统计局与国家统计局江门调查队联合发布2015年江门市国民经济和社会发展统计公报．公报显示，经初步核算，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，而2013年生产总值（GDP）为2000亿元，如果2014、2015年江门市GDP逐年增加，求这两年我市GDP的年平均增长率．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】设这两年我市GDP的年平均增长率为x，根据2013年生产总值（GDP）为2000亿元，2015年江门全市实现地区生产总值（GDP）2420亿元，列出方程，求解即可．【解答】解：设这两年我市GDP的年平均增长率为x，依题意得：2000（1+x）2=2420，解得x1=0.1x2=﹣2.1（不合题意，舍去），答：这两年我市GDP的年平均增长率为10%．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，△A′B′C可以由△ABC 绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，求AA′的长．【考点】R2：旋转的性质；KO：含30度角的直角三角形．【分析】利用直角三角形的性质得出AB=4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出AB′=2，进而得出答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2∴∠CAB=30°，AB=4，∵由已知可得：AB=A′B′=4，AC=A′C，∴∠A′AC=∠A′=30°，又∵∠A′B′C=∠B=60°∴∠A′AC=∠B′CA=30°，∴AB′=B′C=2，∴AA′=2+4=6．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）20．有三张卡片（形状、大小、质地都相同），正面分别写上整式x+1，x，3．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张卡片，再从剩下的卡片中随机抽取另一张、第一次抽取的卡片上的整式作为分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母．（1）请写出抽取两张卡片的所有等可能结果（用树状图或列表法求解）；（2）试求抽取的两张卡片结果能组成分式的概率．【考点】X6：列表法与树状图法；61：分式的定义．【分析】（1）列举出不放回的2次实验的所有情况即可；（2）看抽取的两张卡片结果能组成分式的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）树状图：列表法：（2）共有6种情况，能组成的分式的有，，，4种情况，所以P 分式=．21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点A，B，C都在格点上，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB′C′．（1）在正方形网格中，画出△AB′C′；（2）计算线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积．【考点】R8：作图﹣旋转变换；MO：扇形面积的计算．【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点旋转后位置进而得出答案；（2）利用勾股定理得出AB=5，再利用扇形面积公式求出即可．【解答】解：（1）如图所示：△AB′C′即为所求；（2）∵AB==5，∴线段AB在变换到AB′的过程中扫过区域的面积为：=π．22．已知平行四边形ABCD的两邻边AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+﹣=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形；（2）求出此时菱形的边长．【考点】LA：菱形的判定与性质；AA：根的判别式．【分析】（1）根据题意△=0，构建方程，解方程即可．（2）把m=1代入方程，解方程即可解决问题．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形，则方程有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣m）2﹣4（﹣）=0，即m2﹣2m+1=0，解得m=1，所以当m=1时，四边形ABCD为菱形．（2）把m=1代入原方程得x2﹣x+=0，解得所以菱形的边长为．五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）23．如图，Rt△ABO的顶点A是双曲线y=与直线y=﹣x﹣（k+1）在第二象限=．的交点，AB⊥x轴于点B且S△ABO（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标；（3）求△AOC的面积．【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）设出A坐标（x，y），表示出OB与AB，进而表示出三角形ABO面积，由已知面积确定出反比例函数k的值，进而确定出一次函数；（2）联立反比例函数与一次函数解析式，求出A与C坐标即可；（3）由一次函数解析式求出D坐标，确定出OD的长，三角形AOC面积=三角形AOD面积+三角形COD面积，求出即可．【解答】解：（1）设A点坐标为（x，y），且x＜0，y＞0，=•|OB|•|AB|=•（﹣x）•y=，则S△ABO∴xy=﹣3，又∵y=，∴k=﹣3，∴所求的两个函数的解析式分别为y=﹣，y=﹣x+2；（2）A、C两点坐标满足，解得：，，∴交点A为（﹣1，3），C为（3，﹣1）；（3）由y=﹣x+2，令x=0，得y=2．∴直线y=﹣x+2与y轴的交点D的坐标为（0，2），=×2×1+×2×3=4．则S△AOC24．如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．【考点】MD：切线的判定．【分析】（1）由垂直定义得∠A+∠APO=90°，根据等腰三角形的性质由CP=CB得∠CBP=∠CPB，根据对顶角相等得∠CPB=∠APO，所以∠APO=∠CBP，而∠A=∠OBA，所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，然后根据切线的判定定理得到BC是⊙O的切线；（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，根据勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵OP⊥OA，∴∠AOP=90°，∴∠A+∠APO=90°，∵CP=CB，∴∠CBP=∠CPB，而∠CPB=∠APO，∴∠APO=∠CBP，∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，∵OB2+BC2=OC2，∴（）2+x2=（x+1）2，解得x=2，即BC的长为2．25．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c 过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．【解答】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0），将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2，将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=，∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）如答图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．∵tan∠ABO===，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．又N点在抛物线上，且x N=t，∴y N=﹣t2+t+2，∴MN=y N﹣ME=﹣t2+t+2﹣（2﹣t）=﹣t2+4t，∴当t=2时，MN有最大值4；（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形，如答图2所示．（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a）由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2），（ii）当D不在y轴上时，由图可知D3为D1N与D2M的交点，易得D1N的方程为y=x+6，D2M的方程为y=x﹣2，由两方程联立解得D为（4，4）故所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．。

2020-2021学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（）A．3B．9C．D．22．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sin B的值为（）A．B．C．D．3．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（）A．67500（1+2x）＝90000B．67500×2（1+x）＝90000C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000D．67500（1+x）2＝900004．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y16．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（）A．6B．7C．8D．97．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（）A．1B．C．D．8．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：①BF为∠ABE的角平分线；②DF＝2BF；③2AB2＝DF•DB；④sin∠BAE＝．其中正确的为（）A．①③B．①②④C．①④D．①③④9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．410．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连接BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2C．D．11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A 的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）二、填空题（本大题共5小题，共15分）13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为．14．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为．15．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA ＝2，则阴影部分的面积为．17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．三．解答题（共69分）18.（1）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+；（2）解方程：2x2﹣7x+6＝0．19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．20．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2018年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．（2）2021年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2021年该市能够帮助多少户建设保障性住房？21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．22.某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）（1）求出y与x之间的函数表达式．（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？23.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．24如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与P A的延长线交于点D．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．25 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．2020-2021学年山东省聊城市莘县九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则△BCF与△DEF的周长比为（）A．3B．9C．D．2【分析】由平行四边形的性质得出BC＝AD＝3ED，AD∥BC，证明△BCF∽△DEF，得出＝＝＝＝3，证出BF＝3DF，CF＝3EF，由相似三角形的性质即可得出答案．【解答】解：∵AE＝2ED，∴AD＝3ED，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝3ED，AD∥BC，∴△BCF∽△DEF，∴＝＝＝＝3，∴BF＝3DF，CF＝3EF，∴＝＝＝3，故选：A．2．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，则sin B的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据勾股定理求出斜边AB的值，再利用正弦函数的定义计算即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，∴AB＝＝，∴sin B＝＝＝，故选：A．3．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（）A．67500（1+2x）＝90000B．67500×2（1+x）＝90000C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000D．67500（1+x）2＝90000【分析】根据该工厂第一个月及第三个月生产口罩的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得67500（1+x）2＝90000，故选：D．4．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（）A．26°B．38°C．52°D．64°【分析】连接OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠A＝52°，再利用互余计算出∠OCD＝38°，然后利用等腰三角形的性质得到∠D的度数．【解答】解：连接OC，如图，∵∠A＝26°，∴∠BOC＝2∠A＝52°，∵AB⊥CD，∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，∵OC＝OD，∴∠D＝∠OCD＝38°．故选：B．5．若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y1＞y3＞y2D．y3＞y2＞y1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴y1＝﹣＝6，y2＝﹣＝﹣3，y3＝﹣＝﹣2，又∵﹣3＜﹣2＜6，∴y1＞y3＞y2．故选：C．6．在一个不透明的袋子中装有n个小球，这些球除颜色外均相同，其中红球有2个，如果从袋子中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，那么n的值是（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据概率公式得到＝，然后利用比例性质求出n即可．【解答】解：根据题意得＝，解得n＝6，所以口袋中小球共有6个．故选：A．7．将二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位，截x轴所得的线段长为4，则a＝（）A．1B．C．D．【分析】根据题意可以写出平移后的函数解析式，然后根据截x轴所得的线段长为4，可以求得a的值，本题得以解决．【解答】解：二次函数y＝ax2的图象先向下平移2个单位，再向右平移3个单位之后的函数解析式为y＝a（x﹣3）2﹣2，当y＝0时，ax2﹣6ax+9a﹣2＝0，设方程ax2﹣6ax+9a﹣2＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝6，x1x2＝，∵平移后的函数截x轴所得的线段长为4，∴|x1﹣x2|＝4，∴（x1﹣x2）2＝16，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝16，∴36﹣4×＝16，解得，a＝，故选：D．8．菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：①BF为∠ABE的角平分线；②DF＝2BF；③2AB2＝DF•DB；④sin∠BAE＝．其中正确的为（）A．①③B．①②④C．①④D．①③④【分析】由四边形ABCD是菱形，即可得BF为∠ABE的角平分线；可得①正确；由当∠ABC＝60°时，DF＝2BF，可得②错误；连接AC，易证得△AOD∽△F AD，由相似三角形的对应边成比例，可证得AD：DF＝OD：AD，继而可得2AB2＝DF•DB，即④正确；连接FC，易证得△ABF≌△CBF（SAS），可得∠BCF＝∠BAE，AF＝CF，然后由正弦函数的定义，可求得④正确．【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，∴BF为∠ABE的角平分线，故①正确；②连接AC交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD，∴当∠ABC＝60°时，△ABC是等边三角形，即AB＝AC，则DF＝2BF，∵∠ABC的度数不定，∴DF不一定等于2BF；故②错误；③∵AE⊥BC，AD∥BC，∴AE⊥AD，∴∠F AD＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB＝OD＝DB，AD＝AB，∴∠AOD＝∠F AD＝90°，∵∠ADO＝∠FDA，∴△AOD∽△F AD，∴AD：DF＝OD：AD，∴AD2＝DF•OD，∴AB2＝DF•DB，即2AB2＝DF•DB；故③正确；④连接CF，在△ABF和△CBF中，，∴△ABF≌△CBF（SAS），∴∠BCF＝∠BAE，AF＝CF，在Rt△EFC中，sin∠ECF＝＝，∴sin∠BAE＝．故④正确．故选：D．9．如图，在半径为的⊙O中，弦AB与CD交于点E，∠DEB＝75°，AB＝6，AE＝1，则CD的长是（）A．2B．2C．2D．4【分析】过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，由垂径定理得出DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，得出EG＝AG﹣AE＝2，由勾股定理得出OG＝＝2，证出△EOG是等腰直角三角形，得出∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，求出∠OEF＝30°，由直角三角形的性质得出OF＝OE＝，由勾股定理得出DF═，即可得出答案．【解答】解：过点O作OF⊥CD于点F，OG⊥AB于G，连接OB、OD、OE，如图所示：则DF＝CF，AG＝BG＝AB＝3，∴EG＝AG﹣AE＝2，在Rt△BOG中，OG＝＝＝2，∴EG＝OG，∴△EOG是等腰直角三角形，∴∠OEG＝45°，OE＝OG＝2，∵∠DEB＝75°，∴∠OEF＝30°，∴OF＝OE＝，在Rt△ODF中，DF＝＝＝，∴CD＝2DF＝2；故选：C．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，D为AB上一点，且AD：DB＝3：2，过点D作DE⊥AC于E，连接BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2C．D．【分析】在Rt△AED中，sin A＝＝，可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，利用平行线分线段成比例定理，求出BC，EC即可解决问题；【解答】解：在Rt△AED中，∵sin A＝＝，∴可以假设AD＝15k，DE＝9k，则AE＝12k，∵AD：DB＝3：2，∴DB＝10k，∵DE∥BC，∴＝＝，∴＝＝，∴BC＝15k，AC＝20k，∴EC＝AC﹣AE＝8k，∴tan∠CEB＝＝，故选：D．11．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，绕点O连续旋转2020次得到正方形OA2020B2020C2020，如果点A 的坐标为（1，0），那么点B2020的坐标为（）A．（﹣1，1）B．C．（﹣1，﹣1）D．【分析】根据图形可知：点B在以O为圆心，以OB为半径的圆上运动，由旋转可知：将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，可得对应点B的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论．【解答】解：∵四边形OABC是正方形，且OA＝1，∴B（1，1），连接OB，由勾股定理得：OB＝，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∵将正方形OABC绕点O逆时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1，相当于将线段OB绕点O逆时针旋转45°，依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），B4（﹣1，﹣1），…，发现是8次一循环，所以2020÷8＝252…4，∴点B2020的坐标为（﹣1，﹣1）故选：C．12．如图，抛物线y＝﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是（）A．（2，3）B．（，）C．（1，3）D．（3，2）【分析】由△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB，即可求解．【解答】解：对于y＝﹣x2+x+2，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1或4，令x＝0，则y＝2，故点A、B、C的坐标分别为（﹣1，0）、（4，0）、（0，2），过点P作y轴的平行线交BC于点H，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+2，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点H的坐标为（x，﹣x+2），则△BCP的面积＝S△PHB+S△BHC＝PH×OB＝×4×（﹣x2+x+2+x﹣2）＝﹣x2+4x，∵﹣1＜0，故△BCP的面积有最大值，当x＝2时，△BCP的面积有最大值，此时，点P的坐标为（2，3），故选：A．二．填空题（共5小题）13．如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠CBD＝21°，则∠A的度数为69°．【分析】直接利用圆周角定理得出∠BCD＝90°，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠CBD＝21°，∴∠A＝∠D＝90°﹣21°＝69°．故答案为：69°14．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（AE＜BE）的值为．【分析】由正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，不妨假设EF＝k，AB＝3k，证明△HAE≌△EBF（AAS），推出AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，在Rt△EFB中，根据EF2＝BE2+BF2，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，∴不妨假设EF＝k，AB＝3k，∵∠A＝∠B＝∠FEH＝90°，∴∠AEH+∠BEF＝90°，∠BEF+∠EFB＝90°，∴∠AEH＝∠EFB，∵EH＝EF，∴△HAE≌△EBF（AAS），∴AE＝BF，设AE＝BF＝x则EB＝3k﹣x，在Rt△EFB中，∵EF2＝BE2+BF2，∴（k）2＝（3k﹣x）2+x2，整理得x2﹣3kx+2k2＝0，解得x＝k或2k（舍弃），∴AE＝k，BE＝2k，∴＝，故答案为．15．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y＝（x＜0）图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为﹣2．【分析】根据已知条件得到三角形ABO的面积＝AB•OB，由于三角形ABC的面积＝AB•OB＝1，得到|k|＝2，即可得到结论．【解答】解：∵AB⊥y轴，∴AB∥CO，∴三角形AOB的面积＝AB•OB，∵S三角形ABC＝AB•OB＝1，∴|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣2，故答案为﹣2．16．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA ＝2，则阴影部分的面积为+π．【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．【解答】解：作OE⊥AB于点F，∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，∴∠AOD＝90°，∠BOC＝30°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，∴BD＝2，∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，故答案为：+π．17．有五张正面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，2的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．【分析】首先根据使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）确定a的值，然后利用概率公式求解．【解答】解：∵使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，∴[﹣2（a﹣1）]2﹣4×1×a（a﹣3）＞0，解得：a＞﹣1，∵以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0），∴12﹣（a2+1）﹣a+2≠0，∴a≠1且a≠﹣2，∴满足条件的a只有0和2，∴使关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a（a﹣3）＝0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y＝x2﹣（a2+1）x﹣a+2的图象不经过点（1，0）的概率是，故答案为：．三．解答题18.（1）计算：（）﹣2﹣|1﹣tan60°|+sin60°+；（2）解方程：2x2﹣7x+6＝0．【考点】实数的运算；负整数指数幂；解一元二次方程﹣因式分解法；特殊角的三角函数值．【专题】实数；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）7﹣；（2）x1＝2，x2＝1.5．【分析】（1）先计算负整数指数幂、代入三角函数值、计算算术平方根，再去绝对值符号，最后计算加减即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）原式＝4﹣|1﹣|++2＝4+1﹣++2＝7﹣；（2）∵2x2﹣7x+6＝0，∴（x﹣2）（2x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或2x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝1.5．19.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝12，AF＝6，求AE的长．【考点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）△ADF和△DEC中，易知∠ADF＝∠CED（平行线的内错角），而∠AFD 和∠C是等角的补角，由此可判定两个三角形相似；（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出＝，代入各线段长度可求出DE的长度，再在Rt△ADE中，利用勾股定理即可求出AE的长．．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴＝，即＝，∴DE＝16．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝16，AD＝12，∴AE＝＝＝＝4．20．“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2018年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2020年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．（1）求该市这两年投入资金的年平均增长率．（2）2021年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2021年该市能够帮助多少户建设保障性住房？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题；应用意识．【答案】（1）该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．（2）2021年能帮助28800户建设保障性住房．【分析】（1）今年年要投入资金是5（1+x）万元，在今年的基础上再增长x，就是明年的资金投入5（1+x）（1+x），由此可列出方程5（1+x）2＝7.2，求解即可；（2）将（1）中求得的增长率代入即可求得2021年能够帮助多少户建设保障性住房．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，依题意得：5（1+x）2＝7.2．解得x1＝﹣2.2（舍去），x2＝0.2．∴x＝0.2＝20%．答：该市这两年投入资金的年平均增长率为20%．（2）7.2×（1+20%）＝8.64（亿元）＝86400（万元）86400÷3＝28800（户）答：2021年能帮助28800户建设保障性住房．21.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，文化墙PM在天桥底部正前方8米处（PB的长），为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）若新坡面坡角为α，求坡角α度数；（2）有关部门规定，文化墙距天桥底部小于3米时应拆除，天桥改造后，该文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【专题】解直角三角形及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据新的坡度，可以求得坡角的正切值，从而可以解答本题；（2）根据题意和题目中的数据可以求得P A的长度，然后与3比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）∵新坡面坡角为α，新坡面的坡度为1：，∴tanα＝，∴α＝30°；（2）该文化墙PM不需要拆除，理由：作CD⊥AB于点D，则CD＝6米，∵新坡面的坡度为1：，∴tan∠CAD＝，解得，AD＝6米，∵坡面BC的坡度为1：1，CD＝6米，∴BD＝6米，∴AB＝AD﹣BD＝（﹣6）米，又∵PB＝8米，∴P A＝PB﹣AB＝8﹣（﹣6）＝14﹣6≈14﹣6×1.732≈3.6米＞3米，∴该文化墙PM不需要拆除．22.某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是y（件）与销售单价x（元）（50≤x≤90）之间的函数关系如图中的线段AB．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）（1）求出y与x之间的函数表达式．（2）该商品每月的总利润w（元），求w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w最大，该月进货数量应定为多少？（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？【考点】二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）y＝﹣10x+1000；（2）w＝﹣10（x﹣70）2+9000，70，300；（3）52．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以得到y与x之间的函数表达式；（2）根据题意，可以得到w关于x的函数表达式，并指出销售单价x为多少元时利润w 最大，该月进货数量应定为多少；（3）根据题意，可以得到利润与单价之间的函数关系式，然后即可得到销售单价定为多少，当月月利润最大．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，∵点（50，500），（90，100）在函数y＝kx+b上，∴，解得，即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+1000；（2）由题意可得，w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10（x﹣70）2+9000，∴当x＝70时，w取得最大值，此时﹣10x+1000＝300，即w关于x的函数表达式是w＝﹣10（x﹣70）2+9000，销售单价x为70元时利润w最大，该月进货数量应定为300件；（3）设销售利润为W元，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）﹣36[350﹣（﹣10x+1000）]＝﹣10（x﹣52）2+10440，∴当x＝52时，W取得最大值，即销售单价定为52元时，当月月利润最大．23.如图，一次函数y＝kx+b的图象与坐标轴分别交于A、B两点，与反比例函数y＝的图象在第一象限的交点为点C，CD⊥x轴，垂足为点D，若OB＝3，OD＝6，△AOB的面积为3．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）直接写出当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】反比例函数及其应用．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据三角形面积求出OA，得出A、B的坐标，代入一次函数的解析式即可求出解析式，把x＝6代入求出C的坐标，把C的坐标代入反比例函数的解析式求出即可；（2）根据图象即可得出kx+b﹣＞0的解集．【解答】解：（1）∵S△AOB＝3，OB＝3，∴OA＝2，∴B（3，0），A（0，﹣2），代入y＝kx+b得：，解得：k＝，b＝﹣2，∴一次函数y＝x﹣2，∵OD＝6，∴D（6，0），CD⊥x轴，当x＝6时，y＝×6﹣2＝2，∴C（6，2），∴n＝6×2＝12，∴反比例函数的解析式是y＝；（2）当x＞0时，kx+b﹣＞0的解集是x＞6．24如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过点A作AB⊥OP，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与P A的延长线交于点D．（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若OB＝3，OD＝5，求PB和AB的长．【考点】勾股定理；垂径定理；切线的判定与性质．【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，证明△OBP≌△OAP，根据全等三角形的性质得到∠OBP＝∠OAP＝90°，根据切线的判定定理证明结论；（2）先根据勾股定理求出AD，再求出PB，根据三角形的面积公式求出BC，根据垂径定理解答即可．【解答】（1）证明：连接OA，∴由垂径定理可知：∠BOC＝∠AOC，∵P A是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，在△OBP与△OAP中，，∴△OBP≌△OAP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP＝90°，∵OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：在Rt△AOD中，AD＝＝4，∵P A、PB为⊙O的切线，∴P A＝PB，在Rt△DBP中，PD2＝PB2+BD2，即（P A+4）2＝PB2+82，解得，PB＝P A＝6，在Rt△OBP中，OP＝＝3，∵S△OBP＝×OP×BC＝×OB×PB，∴×3×BC＝×3×6，解得，BC＝，∴AB＝2BC＝．25 如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM+BM最小时，求点M的坐标．（3）抛物线上是否存在点P，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】（1）先确定C（0，6），设交点式y＝a（x+1）（x﹣6），然后把C点坐标代入求出a的值即可；（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，先利用待定系数法求出AC所在直线解析式，再将二次函数解析式配方得到其对称轴方程，继而可得答案；（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），根据两点间的距离公式得到PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，P A2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝72，讨论：当∠P AC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2；当∠PCA＝90°，利用勾股定理得到72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2；当∠APC＝90°，利用勾股定理得到（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，然后分别解方程即可得到对应的P点坐标．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝ax2+bx+6＝6，则C（0，6），设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣6），把C（0，6）代入得a•1•（﹣6）＝6，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣6），即y＝﹣x2+5x+6；（2）连接AC，与对称轴交点即为所求点M，设AC所在直线的解析式为y＝mx+n，将A（6，0），C（0，6）代入，得：，解得：，则AC所在直线解析式为y＝﹣x+6，又y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝，在直线y＝﹣x+6中当x＝时，y＝，则M的坐标为（，）；（3）设P点坐标为（x，﹣x2+5x+6），存在4个点P，使△ACP为直角三角形．PC2＝x2+（﹣x2+5x）2，P A2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，AC2＝62+62＝72，当∠P AC＝90°，∵P A2+AC2＝PC2，∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+72＝x2+（﹣x2+5x）2，整理得x2﹣4x﹣12＝0，解得x1＝6（舍去），x2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，﹣8）；当∠PCA＝90°，∵PC2+AC2＝P A2，72+x2+（﹣x2+5x）2＝（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2，整理得x2﹣4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝4，此时P点坐标为（4，10）；当∠APC＝90°，∵P A2+AC2＝PC2，∴（x﹣6）2+（﹣x2+5x+6）2+x2+（﹣x2+5x）2＝72，整理得x3﹣10x2+20x+24＝0，x3﹣10x2+24x﹣4x+24＝0，x（x2﹣10x+24）﹣4（x﹣6）＝0，x（x﹣4）（x﹣6）﹣4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x2﹣4x﹣4）＝0，而x﹣6≠0，所以x2﹣4x﹣4＝0，解得x1＝2+2，x2＝2﹣2，此时P点坐标为（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）；综上所述，符合条件的点P的坐标为（﹣2，﹣8）或（4，10）或（2+2，4+2）或（2﹣2，4﹣2）．。