最新人教版高中数学必修4第一章《同角三角函数的基本关系式》预习导航

所以 sin θcos θ＝m2 ， ② Δ＝4＋2 3－8m≥0. ③
sin θ (1)1－tan1
＋ cos θ 1－tan
θ
＝ θ sin
sin2θ θ－cos
＋ cos2θ θ cos θ－sin
sin2θ－cos2θ
＝
＝sin
θ sin θ－cos θ
θ＋cos
θ＝
3＋1 2.
2＋ 3 (2)对①式两边平方，得 1＋2sin θcos θ＝ 2 ，
3 D.5
3、已知 cos = 4 , (0, ) ，则 tan 的值等于
。
5
4、化简： cos tan =
。
§1.2.2 同角三角函数的基本关系 导学案
2 / 11
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
编制人：曹树建 审核人：黎木礼、巴明凰 课时安排：1 使用班级：高一（2）
班别：
θ＋cos θ－cos
θθ的值是(
)
1 A.3
B．3
C．－13
D．－3
5 / 11
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
3．若ssiinn
θ＋cos θ－cos
θθ＝2，则
sin
θcos
θ
的值是(
)
A．－130
3 B.10
C．±130
3 D.4
4、已知 0 , sinαcosα = − 12 ,则 cosα－sinα的值等于
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
【当堂训练】(独立完成，限时 8 分钟)
1、已知 tan α＝43，且 α 是第三象限角，则 sin α ＝______ , cos α=________. 2、化简：(1)sintaθn－θ－co1s θ=__________；

《同角三角函数的基本关系式》说课稿尊敬的各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《同角三角函数的基本关系式》。

下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程以及教学反思这几个方面来展开我的说课。

一、教材分析本节课选自人教版高中数学必修 4 第一章第三节，同角三角函数的基本关系式是三角函数中的重要内容，它是三角函数恒等变形的基础，也是解决三角函数问题的重要工具。

通过本节课的学习，学生将进一步理解三角函数的定义，掌握三角函数之间的内在联系，为后续学习三角函数的化简、求值以及证明等内容奠定基础。

二、学情分析在学习本节课之前，学生已经掌握了任意角的三角函数的定义，具备了一定的函数知识和代数运算能力。

但对于三角函数之间的关系，学生还缺乏系统的认识和理解。

此外，由于三角函数的概念较为抽象，学生在学习过程中可能会遇到一些困难，需要教师通过引导和启发，帮助学生逐步掌握。

三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解同角三角函数的基本关系式：平方关系和商数关系。

（2）能够运用基本关系式进行三角函数的化简、求值和证明。

2、过程与方法目标（1）通过对关系式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。

（2）通过例题和练习，让学生体会从特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法。

3、情感态度与价值观目标（1）激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

（2）通过合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

四、教学重难点1、教学重点同角三角函数的基本关系式及其应用。

2、教学难点（1）关系式的推导和证明。

（2）灵活运用关系式解决三角函数的化简、求值和证明问题。

五、教法与学法1、教法（1）讲授法：讲解同角三角函数的基本关系式及其推导过程，使学生掌握基本概念和方法。

（2）启发式教学法：通过设置问题，引导学生思考和探索，培养学生的思维能力。

（3）练习法：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高应用能力。

基本关系 平方关系 关系式 语言叙述 同一个角 α 的正弦、余弦 的 平方和 等于 1 同一个角 α 的正弦、余弦 的商等于角 α 的正切
sin2α＋cos2α＝1
sin α tan α＝ cos α
商数关系
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[小问题·大思维] 1．同角三角函数基本关系式对任意角α都成立吗？ sin α 2 2 提示： α＋cos α＝1 对任意角 α∈R 都成立； sin ＝tan cos α
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1 法三：∵sin x＋cos x＝ ， 5 1 ∴sin x＋2sin xcos x＋cos x＝ . 25 12 ∴sin xcos x＝－ . 25 sin xcos x tan x 12 又 sin xcos x＝ 2 ， 2 ＝ 2 ＝－ 25 sin x＋cos x 1＋tan x ∴12tan2x＋25tan x＋12＝0. 4 3 ∴tan x＝－ 或 tan x＝－ . 3 4 π 1 又∵－ <x<0，sin x＋cos x＝ >0， 2 5 ∴|sin x|<|cos x|，即|tan x|<1. 3 ∴tan x＝－ . 4
来解 sin α 和 cos α，再由 α 所在象限决定取舍． 3．公式的常见变形有： (1)1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. (2)sin α＝tan αcos α.
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[通一类] 5 1．已知 sin α＝ ，则 sin4α－cos4α 的值为 5 1 3 A．－ B．－ 5 5 1 3 C. D. 5 5
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π α，只有当 α≠kπ＋ (k∈Z)时成立． 2 2．sin210°＋cos220°＝1成立吗？

班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒温馨寄语在年轻人的颈项上，没有什么东西能比事业心这颗灿烂的宝珠更迷人的了。

——哈菲兹学习目标1．理解同角三角函数的基本关系.2．会利用同角三角函数的基本关系化简、求值、证明恒等式.学习重点同角三角函数的基本关系式的推导，会利用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明学习难点会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明自主学习同角三角函数的基本关系平方关系： .商的关系：.tanα=预习评价1．已知θ是第一象限角且，则cosθ＝.2．化简：= .3．已知3sinα+cosα=0，则t a n = .♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒合作探究1．同角三角函数基本关系设角是一个任意象限角，点P(x，y)为角α终边上任意一点，它与原点的距离为r(r= >0)，那么：，请根据三角函数的定义思考下面问题：(1)从以上三角函数的定义，试计算sin2α+cos2α与的值，并根据你计算的结果，写出sin ,cos ,t a n 之间的关系式.(2)同角三角函数的两个基本关系成立的条件各是什么？2．利用同角三角函数关系可以解决哪些问题？教师点拨对同角三角函数基本关系的三点说明(1)关系式中的角一定是同角，否则公式可能不成立，如sin230°+cos260°≠1.(2)同角不要拘泥于形式，将换成或2α也成立，如.(3)商的关系中要注意公式中的隐含条件，cos ≠0，即交流展示——利用基本关系求值1．已知( )A. B. C. D.2．已知，则等于A. B. C. D.3．______．4．已知是第二象限角,,则变式训练1．(2011·山东省潍坊市月考)已知cos α-sin α=-,则sin αcos α的值为()A. B.± C. D.±2．已知tan α=-2,且<α<π,则cos α+sin α=.交流展示——三角函数式的化简5．若，则sinαcosα=A. B. C. D.6．当角α的终边在直线3x+4y=0上时,sin α+cos α=B. C. D.±7．(2012·聊城测试)已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α=.变式训练已知，求(1)；(2)的值.交流展示——三角恒等式的证明8．求证：.9．证明:(1-tan4A)cos2A+tan2A=1.变式训练求证：学习小结1．三角函数求值的常用方法若已知tan =m，求其他三角函数值，其方法是解方程组求出sin a和cos a的值.若已知tan =m，求形如的值，其方法是将分子、分母同除以co s a(或cos2a)转化为tan 的代数式，再求值.形如a sin2 +bsin •cos +c•cos2 通常把分母看作1，然后用sin2 +cos2 代换，分子分母同除以cos2 再求解.提醒：在应用平方关系求sin 或cos 时，函数值的正、负是由角的终边所在的象限决定的，切不可不加分析，凭想象乱写结果.2．三角函数式化简的本质及关注点(1)本质：三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变形，体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.(2)关注点：不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式，还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形，如sin2α=1－cos2α，cos2α=1－sin2α，1=sin2α+cos2α，sinα=tanα•cosα，cosα= .3．对三角函数式化简的原则(1)使三角函数式的次数尽量低.(2)使式中的项数尽量少.(3)使三角函数的种类尽量少.(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.(6)能求值的要求出具体的值，否则就用三角函数式来表示.4．证明三角恒等式的常用方法证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则.(2)证明左右两边等于同一个式子.(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立.当堂检测1．已知A为三角形的一个内角，且，则cos A−sin A的值为A. B. C. D.2．化简(1+tan2α)·cos2α=__________.3．已知在△ABC中，.(1)求sin A·cos A的值.(2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形.(3)求tan A的值.知识拓展在中，，求的值．详细答案♒♒♒♒♒♒♒课前预习·预习案♒♒♒♒♒♒♒【自主学习】(1)sin2α+cos2α＝1(2)【预习评价】1．2．cos20°3．♒♒♒♒♒♒♒知识拓展·探究案♒♒♒♒♒♒♒【合作探究】1．(1)sin2α+co s2α= + = =1，由以上计算结果可得出以下结论；sin2α+cos2α=1及tanα= .(2)对于平方关系只需同角即可；对于商的关系第一保证是同角，第二保证α≠kπ+ (k∈Z).2．(1)求值：已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数的值；(2)化简三角函数式；(3)证明三角恒等式.【交流展示——利用基本关系求值】1．C.【备注】对于与之间的关系，通过平方可以表达出来.2．A,结合可得,所以3．1【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系.原式．4．【解析】本题考查同角三角函数基本关系式的应用.利用同角三角函数基本关系式,已知一个角的一个三角函数值可求这个角的其它三角函数值.,又,∴【变式训练】1．A【解析】由已知得(cos α-sin α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α=,解得sin αcos α=,故选A.2．【解析】本题主要考查了三角函数的概念,意在考查考生对基本概念的理解和应用能力由tan α=-2,得=-2,又sin2α+cos2α=1,且<α<π,解得sin α=,cos α=-,则sin α+cos α==.【交流展示——三角函数式的化简】5．B【解析】由，得，即t a nα.故选B.6．D【解析】在角α的终边上取点P(4t,-3t)(t≠0),则|OP|=5|t|.根据任意角的三角函数的定义,当t>0时,sin α==-,cos α==,sin α+cos α=;当t<0时,sin α==,cos α==-,sin α+cos α=-. 7．-【解析】∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.【变式训练】(1)；(2).的一次或二次齐次式,所以可将分子和分母同除以或,然后将代入求解即可.【备注】注意到的应用.【交流展示——三角恒等式的证明】8．证明： 因为1cos sin sin 1cos x x x x+--(1cos )(1cos )sin sin sin (1cos )x x x x x x +--=- 22221cos sin sin sin 0sin (1cos )sin (1cos )x x x xx x x x ---===--，所以1cos sin =sin 1cos x x x x+-. 9．∵左边=·cos 2A+=+=+==1=右边,∴原等式成立. 【变式训练】右边左边.【解析】通过“切割化弦”将右边分子、分母中的正切化为再进行通分求解.【备注】在三角恒等式的证明中化异为同是基本思想，“1”的代换要灵活运用. 【当堂检测】 1．D【解析】由A 为三角形的内角且，可知，，∴cosA −，.故选D. 2．13．（1）由1sin cos 5A A +=，两边平方，得112sin cos 25A A +⋅=，所以12sin cos 25A A ⋅=-. （2）由（1）得12sin cos 025A A ⋅=-<.又0A π<<，所以cos 0A <， 所以A 为钝角.所以ABC ∆是钝角三角形.（3）因为12sin cos 25A A ⋅=-， 所以22449(sin cos )12sin cos 12525A A A A -=-⋅=+=， 又sin 0,cos 0A A ><，所以sin cos 0A A ->，所以7sin cos 5A A -=. 又1sin cos 5A A +=，所以43sin ,cos 55A A ==-. 所以4sin 45tan 3cos 35A A A ===--. 【知识拓展】解：∵，①∴，即，∴．∵，∴，．∴．∵，∴．②①+②，得．①−②，得．∴．【解析】本题主要考查同角三角函数基本关系以及三角形中函数符号的判定。