人教版新课标A版选修2-2数学2.2直接证明与间接证明同步练习D卷

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥Ｃ．n 为正奇数Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -++++<≥ Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+≥答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS S m n +=+Ｃ．120m S n S S m n+=+Ｄ．120n S m S S m n+=+答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ） Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 232221则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006 Ｃ．20052006+ Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提 333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 答案：111121222kk k ++++++15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图：设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ．答案：122n n a a +=+三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BD BC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·． 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····．18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点． 求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，． N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =．EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大．证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫ ⎪⎝⎭·，正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l，得11π4>． 因此，只需证明4π>． ∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大．20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=， 所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac ac +≤≤，2b cbd bd +≤≤， 所以122a cb dac bd ++++=≤， 这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数．21．设()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··， 又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+， 于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论．解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>， 所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++． （1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++． 则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++ 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++， 所以a 的最大值等于25．高中新课标选修（2-2）推理与证明综合测试题一、选择题1．下面使用的类比推理中恰当的是（ ） Ａ．“若22m n =··，则m n =”类比得出“若00m n =··，则m n =” Ｂ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“()a b c ac bc =··” Ｃ．“()a b c ac bc +=+”类比得出“(0)a b a bc c c c+=+≠” Ｄ．“()n nn pq p q =·”类比得出“()n n n p q p q +=+”答案：Ｃ2．图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是（ ）Ａ．25 Ｂ．66Ｃ．91Ｄ．120答案：Ｃ3．推理“①正方形是平行四边形；②梯形不是平行四边形；③所以梯形不是正方形”中的小前提是（ ） Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．①和② 答案：Ｂ4．用数学归纳法证明等式(3)(4)123(3)()2n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是（ ） Ａ．1 Ｂ．12+ Ｃ．123++ Ｄ．1234+++答案：Ｄ5．在证明命题“对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=”的过程：“44222222cos sin (cos sin )(cos sin )cos sin cos 2θθθθθθθθθ-=+-=-=”中应用了（ ） Ａ．分析法 Ｂ．综合法 Ｃ．分析法和综合法综合使用 Ｄ．间接证法答案：Ｂ6．要使333a b a b -<-成立，则a b ，应满足的条件是（ ）Ａ．0ab <且a b > Ｂ．0ab >且a b > Ｃ．0ab <且a b < Ｄ．0ab >且a b >或0ab <且a b <答案：Ｄ7．下列给出的平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是（ ）Ａ．三角形 Ｂ．梯形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．矩形答案：Ｃ8．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ） Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角 Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角 答案：Ｃ9．用数学归纳法证明412135()n n n +++∈N 能被8整除时，当1n k =+时，对于4(1)12(1)135k k +++++可变形为（ ）Ａ．41412156325(35)k k k +++++· Ｂ．441223355k k ++·· Ｃ．412135k k +++Ｄ．412125(35)k k +++答案：Ａ10．已知扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，类比三角形的面积公式：12S =⨯底⨯高，可得扇形的面积公式为（ ） Ａ．212rＢ．212lＣ．12rlＤ．不可类比答案：Ｃ11．已知1m >，1a m m =+-，1b m m =--，则以下结论正确的是（ ） Ａ．a b > Ｂ．a b < Ｃ．a b = Ｄ．a ，b 大小不定答案：Ｂ12．观察下列各式：211=，22343++=，2345675++++=，2456789107++++++=，，可以得出的一般结论是（ ） Ａ．2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-= Ｂ．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=- Ｃ．2(1)(2)(31)n n n n n ++++++-= Ｄ．2(1)(2)(31)(21)n n n n n ++++++-=-答案：Ｂ二、填空题 13．已知21111()12f n n n n n =++++++，则()f n 中共有 项．答案：21n n -+14．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：317210+<，7.512.5210+<， 82122210++-<，根据以上不等式的规律，请写出对正实数m n ，成立的条件不等式 ．答案：当20m n +=时，有210m n +≤15．在数列{}n a 中，12a =，1()31nn n a a n a *+=∈+N ，可以猜测数列通项n a 的表达式为 ．答案：265n a n =-16．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．答案：12341()3R S S S S +++三、解答题17．已知a 是整数，2a 是偶数，求证：a 也是偶数．证明：（反证法）假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设21()a n n =+∈Z ，则22441a n n =++． 24()n n +∵是偶数，2441n n ++∴是奇数，这与已知2a 是偶数矛盾． 由上述矛盾可知，a 一定是偶数．18．已知命题：“若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列12()nn n b a a a n *=∈N 也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论．解：类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{}n a 是等差数列，则数列12nn a a a b n+++=也是等差数列．证明如下： 设等差数列{}n a 的公差为d ，则12nn a a a b n+++=11(1)2(1)2n n dna d a n n -+==+-，所以数列{}n b 是以1a 为首项，2d为公差的等差数列．19．已知a b c >>，且0a b c ++=，求证：23b aca-<．证明：因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，要证明原不等式成立，只需证明23b ac a -<r ， 即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<， 即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->， 所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．20．用三段论方法证明：2222222()a b b c c a a b c +++++++≥．证明：因为222a b ab +≥，所以22222()2a b a b ab +++≥（此处省略了大前提）， 所以2222()22a b a b a b +++≥≥（两次省略了大前提，小前提）， 同理，222()2b c b c ++≥，222()2c a c a +>+， 三式相加得2222222()a b b c c a a b c +++++++≥． （省略了大前提，小前提）21．由下列不等式：112>，111123++>，111312372++++>，111122315++++>，，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明．解：根据给出的几个不等式可以猜想第n 个不等式，即一般不等式为：1111()23212n n n *++++>∈-N ． 用数学归纳法证明如下： （1）当1n =时，112>，猜想成立； （2）假设当n k =时，猜想成立，即111123212k k++++>-， 则当1n k =+时， 111111111111211232122121222121222k k k k k k k k k k k k ++++++++++++>++++>+=-+-+-，即当1n k =+时，猜想也正确，所以对任意的n *∈N ，不等式成立．22．是否存在常数a b c ，，，使得等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c -+-++-=++对一切正整数n 都成立？若存在，求出a b c ，，的值；若不存在，说明理由．解：假设存在a b c ，，，使得所给等式成立． 令123n =，，代入等式得0164381918a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，，，解得14140a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，，，以下用数学归纳法证明等式22222242111(1)2(2)()44n n n n n n n -+-++-=+对一切正整数n 都成立．（1）当1n =时，由以上可知等式成立；（2）假设当n k =时，等式成立，即22222242111(1)2(2)()44k k k k k k k -+-++-=-，则当1n k =+时，222222221[(1)1]2[(1)2][(1)](1)[(1)(1)]k k k k k k k k +-++-+++-+++-+2222221(1)2(2)()(21)2(21)(21)k k k k k k k k k =-+-++-+++++++424211(1)11(21)(1)(1)44244k k k k k k k +=-++=+-+·． 由（1）（2）知，等式结一切正整数n 都成立．。

2.2.2 反证法[学习目标]1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题． [知识链接]1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 答 这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．2．反证法主要适用于什么情形？答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． [预习导引] 1．反证法定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例1 已知x ，y >0，且x ＋y >2. 求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2.证明 假设1＋x y ，1＋yx 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋yx≥2.∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误．跟踪演练1 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1.又∵(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， ∴ac ＋bd ≤1.这与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 要点二 用反证法证明不存在、唯一性命题例2 求证对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2＝1的交点A 、B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．证明 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有(1)直线l ：y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A 、B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22在直线y ＝ax 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧ka ＝－1 ①y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2②y 1＋y 22＝a x 1＋x 22 ③由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2－1，得(3－k 2)x 2－2kx －2＝0.④ 当k 2＝3时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2⑤ 由④知x 1＋x 2＝2k 3－k 2，代入⑤整理得：ak ＝3，这与①矛盾．所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．规律方法 证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便． 跟踪演练2 求证方程2x ＝3有且只有一个根．证明 ∵2x ＝3，∴x ＝log 23，这说明方程2x ＝3有根．下面用反证法证明方程2x ＝3的根是唯一的：假设方程2x ＝3至少有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2)， 则2b 1＝3,2b 2＝3， 两式相除得2b 1－b 2＝1.若b 1－b 2>0，则2b 1－b 2>1，这与2b 1－b 2＝1相矛盾． 若b 1－b 2<0，则2b 1－b 2<1，这也与2b 1－b 2＝1相矛盾． ∴b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2.∴假设不成立，从而原命题得证． 要点三 用反证法证明否定性命题例3 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn(n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S nn＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r， 即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0， ∴⎝⎛⎭⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 跟踪演练3 已知f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且ax 0＝－x 0－2x 0＋1，由0<ax 0<1⇒0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根．1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角 D ．三角形中三个角都是直角或钝角 答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60° 答案 B3．“a <b ”的反面应是( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b答案 D4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设( ) A ．a 不垂直于c B ．a ，b 都不垂直于c C ．a ⊥b D ．a 与b 相交答案 D5．已知a 是整数，a 2是偶数，求证a 也是偶数． 证明 (反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数． 设a ＝2n ＋1(n ∈Z )，则a 2＝4n 2＋4n ＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法证明的基本步骤(1)假设命题结论的反面是正确的；(反设)(2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；(推谬)(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．(结论)2．用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的.一、基础达标1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案 D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．7．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证f(x)＝0无整数根．证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c.①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．二、能力提升8．已知x1>0，x1≠1且x n＋1＝x n·(x2n＋3)3x2n＋1(n＝1,2，…)，试证“数列{x n}对任意的正整数n都满足x n>x n＋1”，当此题用反证法否定结论时应为() A．对任意的正整数n，有x n＝x n＋1B．存在正整数n，使x n＝x n＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1D ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1 答案 D解析 “任意”的反语是“存在一个”．9．设a ，b ，c 都是正数，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A ．都大于2B ．至少有一个大于2C ．至少有一个不小于2D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a <2，则⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a <6. 又⎝⎛⎭⎫a ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1c ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＋⎝⎛⎭⎫c ＋1c ≥2＋2＋2＝6，这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.10．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤－2或a ≥－1解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )2＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b ) ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab 即ab ＋bc ＋ca <－a 2－ab －b 2∵a 2>0，ab >0，b 2>0，∴－a 2－ab －b 2＝－(a 2＋ab ＋b 2)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，所以假设不成立． 因此a >0，b >0，c >0成立．12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于14.证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >14，三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >143，①又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝⎛⎭⎫a ＋1－a 22＝14.同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤14，所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 三、探究与创新13．已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题： (1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )； (2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0. 证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ， 又因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )＞f (－b )， f (b )＞f (－a )，由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )． (2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )， 所以f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )， 这与已知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )矛盾， 所以假设不正确，所以原命题成立.。

2.2 直接证明与间接证明1、设实数,,a b c 满足1a b c ++=,则,,a b c 中至少有一个数不小于( )A.0B.13C.12D.1 2、设,,0x y z >,则三个数y y x z +,z z x y +,x x z y +( ) A.都大于2 B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2 3、设,a b 是两个实数,给出下列条件:①1a b +>;②2a b +=;③2a b +>;④222a b +>;⑤1ab >.其中能推出:“中至少有一个大于1”的条件是( )A. ②③B. ①②③C. ③D. ③④⑤4、分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a b c >>,且0a b c ++=,求证”最终索的因应是( )A. 0a b ->B. 0a c -<C. ()()0a b a c -->D. ()()0a b a c --<5、已知()1,01x f x a a +=<<,若12,x x R ∈,且12x x ≠.则( )A. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭B. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D. ()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭6、用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c、、中至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（ ）A.假设a b c 、、都是偶数B.假设a b c 、、都不是偶数C.假设a b c 、、至多有一个偶数D.假设a b c 、、至多有两个偶数7、用反证法证明命题:“若,Z,a b ab ∈能被5整除,则,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是( )A. ,a b 都能被5整除B. ,a b 都不能被5整除C. ,a b 有一个能被5整除D. ,a b 有一个不能被5整除8、用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,下列假设正确的是( )A.假设,,a b c 都小于0B.假设,,a b c 都大于0C.假设,,a b c 中至多有一个大于0D.假设,,a b c 中都不大于09、用反证法证明命题“,,a b N ab ∈可被5整除,那么,?a b 中至少有一个是5的倍数”时,反设正确的是( )A. ,?a b 都是5的倍数B. ,?a b 都不是5的倍数C. a 不是5的倍数D. ,?a b 中有一个是5的倍数10、已知0,0x y >>,x y 4+≤,则有( )A. 114x y ≤+ B.111x y +≥C. 2≥D.11xy ≥ 11、将下面用分析法证明222a b ab +≥的步骤补充完整:要证222a b ab +≥,只需证22a b ab +≥,也就是证__________,即证__________,由于__________显然成立,因此原不等式成立.12、下面四个不等式:①222a b c ab bc ac ++≥++;②()114a a -≤; ③2b a a b+≥; ④()()()22222a b c d ac bd ++≥+; 其中恒成立的有__________个.13、在ABC ∆中,若AB AC =,P 是ABC ∆内一点, APB APC ∠>∠,求证:BAP CAP ∠<∠,用反证法证明时应分:假设__________和__________两类.14、用反证法证明命题“,N a b ∈,如果ab 可被5整除,那么,a b 中至少有一个能被5整除”,那么假设的内容是__________.15、已知R x ∈，212+=x a ，x b -=2，12+-=x x c ，试证明,,a b c 至少有一个不小于1答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：因为实数,,a b c 满足1a b c ++=则,,a b c 中至少有一个数不小于13假设都小于13,那么相加起来就小于1 与题意相互矛盾2答案及解析：答案：C解析：假设这三个数都小于2,则三个数之和小于6.又()()()2226y y z z x x y x y z z x x z x y z y x y z y x z+++++=+++++≥++=,当且仅当x y z ==时取等号,与假设矛盾,故这三个数至少有一个不小于2.故选C.3答案及解析：答案：C解析：若12a =,23b =,则1a b +>,但1a <,1b <,故①不能推出;若1a b ==,则2a b +=,故②不能推出;若2a =-,3b =-,则222a b +>,故④不能推出;若2a =-,3b =-,则1ab >,故⑤不能推出;对于③,即2a b +>,则,a b 中至少有一个大于1.可以使用反证法说名:假设1a ≤且1b ≤,则2a b +≤与2a b +>矛盾,因此假设不成立,,a b 中至少有一大于1.4答案及解析：答案：C解析：由a b c >>,且0a b c ++=可得b ac =--,0a >,0c <只要证()223a c ac a ---<即证2220a ac a c -+->即证()()()0a a c a c a c -++⋅->即证()()0a a c b a c --->即证()()0a c a b -⋅->”索的因应是()()0a c a b --> 故选C .5答案及解析：答案：D解析：()()121212*********f x f x ax ax x x x x a f ++++++⎛⎫=>=+= ⎪⎝⎭, ∴()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭6答案及解析：答案：B解析：：“至少有一个”的否定为“都不是”,故选B7答案及解析：答案：B解析：反证法中,假设的应该是原结论的对立面,故应该为,a b 都不能被5整除.8答案及解析：答案：D解析：用反证法证明“,,a b c 中至少有一个大于0”,应先假设要证命题的否定成立. 而要证命题的否定为:“假设,,a b c 中都不大于0”,故选D.9答案及解析：答案：B解析：“至少有一个”的反面为“一个也没有”,即“都不是”.10答案及解析：答案：B解析：由0,0,4x y x y >>+≤得114x y ≥+,A 错;x y +≥2≤,C 错; 4xy ≤,∴114xy ≥,D 错.11答案及解析：答案：2220a b ab +-≥;()20a b -≥;()20a b -≥解析：12答案及解析：答案：3解析：222a b c ++=222222222a b a c b c +++++ab ac bc ≥++,()211124a a a a +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭;()()222222222222a b c d a c a d b c b d +⋅+=+++22222a c abcd b d ≥++()2ac bd =+;当0b a <时, 2b a a b+≥不成立.13答案及解析：答案： BAP CAP ∠=∠;BAP CAP ∠>∠解析：反证法对结论的否定是全面的否定, BAP CAP ∠=∠的对立面就是BAP CAP ∠=∠,BAP CAP ∠>∠.14答案及解析：答案：,a b 都不能被5整除解析：反证法是“间接证明法”一类,是从反方向证明的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而得出矛盾。

人教版新课标A版选修2-2数学2.2直接证明与间接证明同步练习（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数（）A . 成等比数列而非等差数列B . 成等差数列而非等比数列C . 既成等差数列又成等比数列D . 既非等差数列又非等比数列2. （2分）设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有（）A . 1≤ab≤B . ab<1<C . ab< <1D . <ab<13. （2分）已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线（）A . 只有一条，不在平面α内B . 有无数条，不一定在平面α内C . 只有一条，且在平面α内D . 有无数条，一定在平面α内4. （2分）已知y>x>0，且x＋y＝1，那么（）A . x< <y<2xyB . 2xy<x< <yC . x< <2xy<yD . x<2xy< <y5. （2分）要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A . 综合法B . 分析法C . 反证法D . 归纳法6. （2分）已知角A、B为△ABC的内角，则A>B是sin A>sin B的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件7. （2分）已知是两个平面，直线 l 不在平面内， l 也不在平面内，设① ；② ；③ ．若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2018高二下·双鸭山月考) 要证成立，应满足的条件是（）A . 且B . 且C . 且D . ,或 ,9. （2分）已知函数f（x）＝，若f（a）＝b，则f（－a）等于（）A . bB . －bC .D .10. （2分）设a>0，b>0且ab-(a+b)≥1，则（）A . a+b≥2( +1)B . a+b≤ +1C . a+b≤( +1)2D . a+b>2( +1)11. （2分）设0<x<1，则a= ，b=1+x ， c= 中最大的一个是（）A . aB . bC . cD . 不能确定12. （2分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①，这与三角形内角和为相矛盾，不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角、、中有两个直角，不妨设，正确顺序的序号为（）A . ①②③B . ③①②C . ①③②D . ②③①13. （2分） (2018高二下·黑龙江月考) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的假设为（）A . 都是奇数B . 都是偶数C . 中至少有两个偶数D . 中至少有两个偶数或都是奇数14. （2分） (2018高二下·葫芦岛期末) 用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（）A . 假设、、都是偶数B . 假设、、都不是偶数C . 假设、、中至多有一个是偶数D . 加速、、中至多有两个是偶数15. （2分）用反证法证明结论：“曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有两个不同的交点”时，要做的假设是（）A . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有两个不同的交点B . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至多有一个交点C . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）恰有两个不同的交点D . 曲线y=f（x）与曲线y=g（x）至少有一个交点二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2016高一上·杭州期中) 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=________17. （1分）在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3 ，则a5与b5的大小关系为________．18. （1分）完成反证法证题的全过程.设a1,a2,…,a7是1,2,…,7的一个排列,求证:乘积p=(a1-1)(a2-2)…(a7-7)为偶数.证明:假设p为奇数,则a1-1,a2-2,…,a7-7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数,故有奇数=________=0.但0≠奇数,这一矛盾说明p为偶数.19. （1分）已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．20. （1分） (2016高一上·吉林期中) 若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=________．三、解答题 (共5题；共40分)21. （5分） (2018高一下·上虞期末) 设，数列满足， .（Ⅰ）当时，求证：数列为等差数列并求；（Ⅱ）证明：对于一切正整数，．22. （10分）(2020·河南模拟) 已知函数，记不等式的解集为 .（1）求；（2）设，证明： .23. （5分）已知函数f（x）=ln（1+ex）﹣x（x∈R）有下列性质：“若x∈[a，b]，则存在x0∈（a，b），使得”成立．利用这个性质证明x0唯一；24. （15分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设，对任意的恒成立，求整数的最大值；（3）求证：当时，25. （5分）已知a，b，c是互不相等的实数，求证：由y=ax2+2bx+c，y=bx2+2cx+a，y=cx2+2ax+b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分) 16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共5题；共40分) 21-1、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、24-3、25-1、。

人教版高中数学A版目录新课标A版必修1•第一章集合与函数概念•第二章基本初等函数（Ⅰ）•第三章函数的应用•单元测试•综合专栏第一章集合与函数概念• 1.1集合• 1.2函数及其表示• 1.3函数的基本性质•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合1.1集合• 1.1.1集合的含义与表示• 1.1.2集合间的基本关系• 1.1.3集合的基本运算•本节综合1.2函数及其表示• 1.2.1函数的概念• 1.2.2函数的表示法•本节综合1.3函数的基本性质• 1.3.1单调性与最大(小)值• 1.3.2奇偶性•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第二章基本初等函数（Ⅰ）• 2.1指数函数• 2.2对数函数• 2.3幂函数•同步练习•单元测试•本章综合2.1指数函数• 2.1.1指数与指数幂的运算• 2.1.2指数函数及其性质•本节综合2.2对数函数• 2.2.1对数与对数运算• 2.2.2对数函数及其性质•本节综合2.3幂函数同步练习单元测试本章综合第三章函数的应用• 3.1函数与方程• 3.2函数模型及其应用•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合3.1函数与方程• 3.1.1方程的根与函数的零点• 3.1.2用二分法求方程的近似解•本节综合3.2函数模型及其应用• 3.2.1几类不同增长的函数模型• 3.2.2函数模型的应用实例•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修2•第一章空间几何体•第二章点、直线、平面之间的位置关系•第三章直线与方程•第四章圆与方程•单元测试综合专栏第一章空间几何体• 1.1空间几何体的结构• 1.2空间几何体的三视图和直观图• 1.3空间几何体的表面积与体积•复习参考题•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合•第二章点、直线、平面之间的位置关系• 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系• 2.2直线、平面平行的判定及其性质• 2.3直线、平面垂直的判定及其性质•同步练习•单元测试•本章综合第三章直线与方程• 3.1直线的倾斜角与斜率• 3.2直线的方程• 3.3直线的交点坐标与距离公式•同步练习•单元测试•本章综合第四章圆与方程• 4.1圆的方程• 4.2直线、圆的位置关系• 4.3空间直角坐标系•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修3•第一章算法初步•第二章统计•第三章概率•单元测试•综合专栏第一章算法初步• 1.1算法与程序框图• 1.2基本算法语句• 1.3算法与案例•同步练习•单元测试•本章综合1.1算法与程序框图• 1.1.1算法的概念• 1.1.2程序框图和算法的逻辑结构•本节综合1.2基本算法语句• 1.2.1输入、输出、赋值语句• 1.2.2条件语句• 1.2.3循环语句•本节综合1.3算法与案例同步练习单元测试本章综合第二章统计• 2.1随机抽样• 2.2用样本估计总体• 2.3变量间的相关关系•实习作业•同步练习•单元测试•本章综合2.1随机抽样• 2.1.1简单随机抽样• 2.1.2系统抽样• 2.1.3分层抽样•本节综合2.2用样本估计总体• 2.2.1用样本的频率分布估计总体• 2.2.2用样本的数字特征估计总体•本节综合2.3变量间的相关关系• 2.3.1变量之间的相关关系• 2.3.2两个变量的线性相关•本节综合实习作业同步练习单元测试本章综合第三章概率• 3.1随机事件的概率• 3.2古典概型• 3.3几何概型•同步练习•单元测试•本章综合3.1随机事件的概率• 3.1.1随机事件的概率• 3.1.2概率的意义• 3.1.3概率的基本性质•本节综合3.2古典概型• 3.2.1古典概型• 3.2.2随机数的产生•本节综合3.3几何概型• 3.3.1几何概型• 3.3.2均匀随机数的产生•本节综合同步练习单元测试本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修4•第一章三角函数•第二章平面向量•第三章三角恒等变换•单元测试•综合专栏第一章三角函数• 1.1任意角和弧度制• 1.2任意的三角函数• 1.3三角函数的诱导公式• 1.4三角函数的图象与性质• 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）• 1.6三角函数模型的简单应用•同步练习•单元测试•本章综合第二章平面向量• 2.1平面向量的实际背景及基本概念• 2.2平面向量的线性运算• 2.3平面向量的基本定理及坐标表示• 2.4平面向量的数量积• 2.5平面向量应用举例•同步练习•单元测试•本章综合第三章三角恒等变换• 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式• 3.2简单的三角恒等变换•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版必修5•第一章解三角形•第二章数列•第三章不等式•单元测试•综合专栏第一章解三角形• 1.1正弦定理和余弦定理• 1.2应用举例• 1.3实习作业•探究与发现解三角形的进一步讨论•同步练习•单元测试•本章综合第二章数列• 2.1数列的概念与简单表示法• 2.1等差数列• 2.3等差数列的前n项和• 2.4等比数列• 2.5等比数列的前n项和•同步练习•单元测试•本章综合第三章不等式• 3.1不等关系与不等式• 3.2一元二次不等式及其解法• 3.3二元一次不等式（组）与简单的线性• 3.4基本不等式：•同步练习•单元测试•本章综合单元测试综合专栏新课标A版选修一•新课标A版选修1-1•新课标A版选修1-2新课标A版选修1-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章导数及其应用•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•综合专栏第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•单元测试•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1椭圆• 2.2双曲线• 2.3抛物线•同步练习•单元测试•本章综合第三章导数及其应用• 3.1变化率与导数• 3.2导数的计算• 3.3导数在研究函数中的应用• 3.4生活中的优化问题举例•同步练习•单元测试•本章综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试新课标A版选修1-2•第一章统计案例•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•第四章框图•月考专栏•期中专栏•期末专栏•单元测试•本章综合点击这里展开-- 查看子节点索引目录，更精确地筛选资料！第一章统计案例• 1.1回归分析的基本思想及其初步应用• 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用•实习作业•同步练习•综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明•同步练习•综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•综合第四章框图• 4.1流程图• 4.2结构图•同步练习•综合月考专栏期中专栏期末专栏单元测试本章综合新课标A版选修二•新课标人教A版选修2-1•新课标人教A版选修2-2•新课标人教A版选修2-3新课标人教A版选修2-1•第一章常用逻辑用语•第二章圆锥曲线与方程•第三章空间向量与立体几何•单元测试•本册综合第一章常用逻辑用语• 1.1命题及其关系• 1.2充分条件与必要条件• 1.3简单的逻辑联结词• 1.4全称量词与存在量词•同步练习•本章综合第二章圆锥曲线与方程• 2.1曲线与方程• 2.2椭圆• 2.3双曲线• 2.4抛物线•同步练习•本章综合第三章空间向量与立体几何• 3.1空间向量及其运算• 3.2立体几何中的向量方法•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-2•第一章导数及其应用•第二章推理与证明•第三章数系的扩充与复数的引入•单元测试•本册综合第一章导数及其应用• 1.1变化率与导数• 1.2导数的计算• 1.3导数在研究函数中的应用• 1.4生活中的优化问题举例• 1.5定积分的概念• 1.6微积分基本定理• 1.7定积分的简单应用•同步练习•本章综合第二章推理与证明• 2.1合情推理与演绎推理• 2.2直接证明与间接证明• 2.3数学归纳法•同步练习•本章综合第三章数系的扩充与复数的引入• 3.1数系的扩充和复数的概念• 3.2复数代数形式的四则运算•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标人教A版选修2-3•第一章计数原理•第二章随机变量及其分布•第三章统计案例•单元测试•本册综合第一章计数原理• 1.1分类加法计数原理与分步乘法计.• 1.2排列与组合• 1.3二项式定理•同步练习•本章综合第二章随机变量及其分布• 2.1离散型随机变量及其分布列• 2.2二项分布及其应用• 2.3离散型随机变量的均值与方差• 2.4正态分布•同步练习•本章综合第三章统计案例• 3.1回归分析的基本思想及其初步应用• 3.2独立性检验的基本思想及其初步•本章综合•同步练习单元测试本册综合新课标A版选修三•新课标A版选修3-1•新课标A版选修3-3•新课标A版选修3-4新课标A版选修3-1•第一讲早期的算术与几何•第二讲古希腊数学•第三讲中国古代数学瑰宝•第四讲平面解析几何的产生•第五讲微积分的诞生•第六讲近代数学两巨星•第七讲千古谜题•第八讲对无穷的深入思考•第九讲中国现代数学的开拓与发展•单元测试•本册综合第一讲早期的算术与几何•一古埃及的数学•二两河流域的数学•三丰富多彩的记数制度•同步练习•本章综合第二讲古希腊数学•一希腊数学的先行者•二毕达哥拉斯学派•三欧几里得与《原本》•四数学之神──阿基米德•同步练习•本章综合第三讲中国古代数学瑰宝•一《周髀算经》与赵爽弦图•二《九章算术》•三大衍求一术•四中国古代数学家•同步练习•本章综合第四讲平面解析几何的产生•一坐标思想的早期萌芽•二笛卡儿坐标系•三费马的解析几何思想•四解析几何的进一步发展•同步练习•本章综合第五讲微积分的诞生•一微积分产生的历史背景•二科学巨人牛顿的工作•三莱布尼茨的“微积分”•同步练习•本章综合第六讲近代数学两巨星•一分析的化身──欧拉•二数学王子──高斯•同步练习•本章综合第七讲千古谜题•一三次、四次方程求根公式的发现•二高次方程可解性问题的解决•三伽罗瓦与群论•四古希腊三大几何问题的解决•同步练习•本章综合第八讲对无穷的深入思考•一古代的无穷观念•二无穷集合论的创立•三集合论的进一步发展与完善•同步练习•本章综合第九讲中国现代数学的开拓与发展•一中国现代数学发展概观•二人民的数学家──华罗庚•三当代几何大师──陈省身•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-3•第一讲从欧氏几何看球面•第二讲球面上的距离和角•第三讲球面上的基本图形•第四讲球面三角形•第五讲球面三角形的全等•第六讲球面多边形与欧拉公式•第七讲球面三角形的边角关系•第八讲欧氏几何与非欧几何•单元测试•本册综合第一讲从欧氏几何看球面•一平面与球面的位置关系•二直线与球面的位置关系和球幂定理•三球面的对称性•同步练习•本章综合第二讲球面上的距离和角•一球面上的距离•二球面上的角•同步练习•本章综合第三讲球面上的基本图形•一极与赤道•二球面二角形•三球面三角形•同步练习•本章综合第四讲球面三角形•一球面三角形三边之间的关系•二、球面“等腰”三角形•三球面三角形的周长•四球面三角形的内角和•同步练习•本章综合第五讲球面三角形的全等•1．“边边边”(s.s.s)判定定理•2．“边角边”(s.a.s.)判定定理•3．“角边角”(a.s.a.)判定定理•4．“角角角”(a.a.a.)判定定理•同步练习•本章综合第六讲球面多边形与欧拉公式•一球面多边形及其内角和公式•二简单多面体的欧拉公式•三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式•同步练习•本章综合第七讲球面三角形的边角关系•一球面上的正弦定理和余弦定理•二用向量方法证明球面上的余弦定理•三从球面上的正弦定理看球面与平面•四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离•同步练习•本章综合第八讲欧氏几何与非欧几何•一平面几何与球面几何的比较•二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型•三欧氏几何与非欧几何的意义•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修3-4•第一讲平面图形的对称群•第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•第三讲对称与群的故事•综合专栏•单元测试第一讲平面图形的对称群•平面刚体运动•对称变换•平面图形的对称群•同步练习•本章综合第二讲代数学中的对称与抽象群的概念•n元对称群S•多项式的对称变换•抽象群的概念•同步练习•本章综合第三讲对称与群的故事•带饰和面饰•化学分子的对称群•晶体的分类•伽罗瓦理论•同步练习•本章综合综合专栏单元测试新课标A版选修四•新课标人教A版选修4-1•选修4-2•新课标A版选修4-4•新课标A版选修4-5新课标人教A版选修4-1•第一讲相似三角形的判定及有关性质•第二讲直线与圆的位置关系•第三讲圆锥曲线性质的探讨•单元测试•本册综合第一讲相似三角形的判定及有关性质•一平行线等分线段定理•二平行线分线段成比例定理•三相似三角形的判定及性质•四直角三角形的射影定理•同步练习•本章综合第二讲直线与圆的位置关系•一圆周角定理•二圆内接四边形的性质与判定定理•三圆的切线的性质及判定定理•四弦切角的性质•五与圆有关的比例线段•同步练习•本章综合第三讲圆锥曲线性质的探讨•一平行射影•二平面与圆柱面的截线•三平面与圆锥面的截线•同步练习•本章综合单元测试本册综合选修4-2•第一讲线性变换与二阶矩阵•第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•第三讲逆变换与逆矩阵•第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•单元测试•本册综合第一讲线性变换与二阶矩阵•一线性变换与二阶矩阵•二二阶矩阵与平面向量的乘法•三线性变换的基本性质•同步练习•本章综合第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法•一复合变换与二阶短阵的乘法•二矩阵乘法的性质•同步练习•本章综合第三讲逆变换与逆矩阵•一逆变换与逆矩阵•二二阶行列式与逆矩阵•三逆矩阵与二元一次方程组•同步练习•本章综合第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量•一变换的不变量---矩阵的特征向量•二特征向量的应用•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-4•第一章坐标系•第二章参数方程•单元测试•本册综合第一章坐标系• 1.1直角坐标系、平面上的伸缩变换• 1.2极坐标系• 1.3曲线的极坐标方程• 1.4圆的极坐标方程• 1.5柱坐标系与球坐标系•同步练习•本章综合第二章参数方程• 2.1曲线的参数方程• 2.2直线和圆的参数方程• 2.3圆锥曲线的参数方程• 2.4一些常见曲线的参数方程•同步练习•本章综合单元测试本册综合新课标A版选修4-5•第一讲不等式和绝对值不等式•第二讲讲明不等式的基本方法•第三讲柯西不等式与排序不等式•第四讲数学归纳法证明不等式•单元测试•本册综合第一讲不等式和绝对值不等式•一不等式•二绝对值不等式•单元测试•本章综合第二讲讲明不等式的基本方法•一比较法•二综合法与分析法•三反证法与放缩法•单元测试•本章综合第三讲柯西不等式与排序不等式•一二维形式的柯西不等式•二一般形式的柯西不等式•三排序不等式•单元测试•本章综合第四讲数学归纳法证明不等式•一数学归纳法•二用数学归纳法证明不等式•单元测试•本章综合单元测试本册综合。

2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法[学习目标]1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题． [知识链接]1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2．必修五中基本不等式a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？答 要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． [预习导引] 1．综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法． 2．分析法分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．要点一 综合法的应用例1 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 证明 由A 、B 、C 成等差数列，有2B ＝A ＋C . ① 因为A 、B 、C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π. ② 由①②，得B ＝π3.③由a 、b 、c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac . 再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即(a －c )2＝0，因此a ＝c ， 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形．规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路． (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．跟踪演练1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ≥4.证明 法一 ∵a ，b 是正数且a ＋b ＝1，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4.法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1b≥21ab>0， ∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b≥4.法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2b a ·ab＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号． 要点二 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )．证明 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立．综上所述，不等式得证． 规律方法 用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．跟踪演练2 已知a ，b 是正实数，求证：a b ＋ba≥a ＋b . 证明 要证a b ＋ba≥a ＋b ， 只要证a a ＋b b ≥ab ·(a ＋b )． 即证(a ＋b －ab )(a ＋b )≥ab (a ＋b )， 因为a ，b 是正实数， 即证a ＋b －ab ≥ab ， 也就是要证a ＋b ≥2ab ， 即(a －b )2≥0. 该式显然成立，所以a b ＋ba≥a ＋b . 要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1. 求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .证明 要证明：log xa ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c ， 只需要证明log x ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2<log x (abc )．由已知0<x <1，只需证明a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>abc .由公式a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，a ＋c2≥ac >0，又∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c2>a 2b 2c 2＝abc .即a ＋b 2·b ＋c 2·a ＋c 2>abc 成立．∴log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c 2<log x a ＋log x b ＋log x c 成立．规律方法 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P ；若由P 可推出Q ，即可得证．跟踪演练3 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy＝2.证明 由已知条件得b 2＝ac ， ① 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .②要证a x ＋cy ＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy .由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证．1．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <x ＋y 2<y <2xyB ．2xy <x <x ＋y2<yC ．x <x ＋y 2<2xy <yD ．x <2xy <x ＋y2<y答案 D解析 ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，则x ＋y 2＝12，2xy ＝38，∴x <2xy <x ＋y 2<y ，故选D.2．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)2 答案 C解析 根据不等式性质，a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证：2＋7<6＋3， 只需证：(2＋7)2<(3＋6)2. 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.证明 因为1log b a＝log a b ，所以左边 ＝log 195＋2log 193＋3log 192＝log 195＋log 1932＋log 1923＝log 19(5×32×23)＝log 19360. 因为log 19360<log 19361＝2， 所以1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．证明 要证cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)， 只需证cos α－sin αcos α＋sin α＝3，只需证1－tan α1＋tan α＝3，只需证1－tan α＝3(1＋tan α)，只需证tan α＝－12，∵1－tan α2＋tan α＝1，∴1－tan α＝2＋tan α， 即2tan α＝－1.∴tan α＝－12显然成立，∴结论得证．1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在实际证题过程中，分析法与综合法是统一运用的，把分析法和综合法孤立起来运用是脱离实际的．没有分析就没有综合；没有综合也没有分析．问题仅在于，在构建命题的证明路径时，有时分析法居主导地位，综合法伴随着它；有时却恰恰相反，是综合法居主导地位，而分析法伴随着它.一、基础达标1．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b答案 C解析 对于A ：若c ＝0，则A 不成立，故A 错；对于B ：若c <0，则B 不成立，B 错；对于C ：若a 3>b 3且ab <0，则⎩⎨⎧ a >0b <0，所以1a >1b ，故C 对；对于D ：若⎩⎨⎧a <0b <0，则D 不成立．2．A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案 C解析 由正弦定理a sin A ＝bsin B ，又A 、B 为三角形的内角，∴sin A >0，sin B >0，∴sin A >sin B⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .3．已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 若l ⊥α，m ⊂β，α∥β，则l ⊥β，所以l ⊥m ，①正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ⊥m ，α与β可能相交，②不正确；若l ⊥α，m ⊂β，α⊥β，l 与m 可能平行或异面，③不正确； 若l ⊥α，m ⊂β，l ∥m ，则m ⊥α，所以α⊥β，④正确． 4．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( ) A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <1答案 B解析 因为a ≠b ，故a 2＋b 22>ab .又因为a ＋b ＝2>2ab ，故ab <1，a 2＋b 22＝(a ＋b )2－2ab 2＝2－ab >1，即a 2＋b 22>1>ab .5．要证明3＋7<25，可选择的方法有很多，最合理的应为________． 答案 分析法6．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 答案 a >c >b解析 ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，∴a >c .∵cb ＝6－27－3＝7＋36＋2＞1，∴c ＞b .7．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.证明 法一 3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )＋2b 2(b －a )＝(3a 2－2b 2)(a －b )． 因为a ≥b >0，所以a －b ≥0,3a 2－2b 2>0，从而(3a 2－2b 2)(a －b )≥0， 所以3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2.法二 要证3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2，只需证3a 2(a －b )－2b 2(a －b )≥0， 只需证(3a 2－2b 2)(a －b )≥0，∵a ≥b >0.∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>2a 2－2b 2≥0， ∴上式成立． 二、能力提升8．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定答案 C解析 ∵b －c ＝(1＋x )－11－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 21－x <0，∴b <c .又∵b ＝1＋x >2x ＝a ，∴a <b <c .9．已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba ≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0答案 C解析 ∵a b 与b a 同号，由a b ＋b a ≤－2，知a b <0，ba <0，即ab <0.又若ab <0，则a b <0，ba <0.∴a b ＋b a ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－a b ＋⎝⎛⎭⎫－b a ≤ －2⎝⎛⎭⎫－a b ·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－2，综上，ab <0是a b ＋ba≤－2成立的充要条件，∴a >0，b <0是a b ＋ba ≤－2成立的一个充分而不必要条件．10．如图所示，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)． 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不唯一，要证A 1C ⊥B 1D 1，只需证B 1D 1垂直于A 1C 所在的平面A 1CC 1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B 1D 1⊥CC 1，故只需证B 1D 1⊥A 1C 1即可． 11．已知a ＞0，b ＞0，1b －1a ＞1.求证：1＋a ＞11－b .证明 要证1＋a ＞11－b成立， 只需证1＋a ＞11－b，只需证(1＋a )(1－b )＞1(1－b ＞0)，即1－b ＋a －ab ＞1， ∴a －b ＞ab ，只需证：a －b ab ＞1，即1b －1a ＞1.由已知a ＞0，1b －1a＞1成立，∴1＋a ＞11－b成立． 12．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．证明如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切．三、探究与创新13．(2013·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(1)解 当n ＝1时，2S 11＝2a 1＝a 2－13－1－23＝2，解得a 2＝4.(2)解 2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n① 当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)②①－②得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －n 2－n整理得na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，a n ＋1n ＋1－a n n ＝1，当n ＝1时，a 22－a 11＝2－1＝1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a nn＝n ，即a n ＝n 2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *. (3)证明 因为1a n ＝1n 2＜1(n －1)n ＝1n －1－1n(n ≥2)，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝112＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（ ） Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明 答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立， 即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2.2 直接证明与间接证明一、选择题（每小题5分，共20分）1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件2．下列给出一个分析法的片断：欲证θ成立只需证P 1成立，欲证P 1成立只需证P 2成立，则P 2是θ的一个（ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．必要不充分条件4． 3.设a b c d ，，，，m n +∈R ，，P ab cd =+，b dQ ma nc m n=++·，则有（ ） Ａ．P Q ≥ Ｂ．P Q ≤Ｃ．P Q >Ｄ．P Q <4.已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a b +∈R ，，2a b A f +⎛⎫= ⎪⎝⎭，()B f ab =，ab C f a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则A B C ，，的大小关系（ ）Ａ．A B C ≤≤Ｂ．A C B ≤≤Ｃ．B C A ≤≤Ｄ．C B A ≤≤二、填空题(每小题5分，共10分)5．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ．6．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ．三、解答题(共70分)7.（15分）设a 、b 是两个正实数，且a ≠b ，求证：3a ＋3b ＞22ab b a +8.（20分）设223≤≤x ，求证：83153212<-+-++x x x9．(20分) 设c b a ,,为任意三角形边长，ca bc ab S c b a I ++=++=,，试证：S I S 432<≤10.（15分）在ABC △中，已知()()a b c a b c a b+++-=，且2c A B C =．判断ABC △的形状．2.2 直接证明与间接证明答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 直接证明与间接证明 答案一、选择题1.A2.A 解析：∵欲证θ成立只需证P 1成立，∴P 1⇒θ.∵欲证P 1成立只需证P 2成立，∴P 2⇒P 1，∴P 2⇒θ.∴P 2是θ的一个充分条件.3. B4.A二、填空题5.满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论6.三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 三、计算题7. 解：证明一：(分析法)要证3a +3b ＞22ab b a +成立，只需证(a+b)(2a -ab+2b )＞ab(a+b)成立， 即需证2a -ab+2b ＞ab 成立。