第五讲-平稳随机过程

平稳随机过程⏹严格平稳随机过程⏹广义平稳随机过程⏹平稳随机过程自相关函数性质⏹各态历经过程1. 严格平稳（Strict Sense Stationary, SSS)随机过程定义: 随机过程X (t )的任意N 维统计特性与时间起点无关。

1111(,,,,,)(,,,,,)X N N X N N p x x t t t t p x x t t +∆+∆=如果X (t ) 是严格平稳的,则与t 无关。

(,)()X X p x t p x =即X(t)与X(t+∆t)具有相同的统计特性。

二维概率密度只依赖于τ，与t 1和t 2的具体取值无关。

12121212121221212(,,,)(,,,)(,,,0)(,,)X X X X p x x t t p x x t t t t p x x t t t t p x x t t =+∆+∆=-∆=-=ττ=-如果X (t )是严格平稳随机过程, 则121212121212(,)(,,,)()X X X R t t x x p x x t t dx dx R t t ∞-∞==ττ=-⎰()()X X Xm t xp x dx m ∞-∞==⎰222()()()XX X Xt x m p x dx ∞-∞σ=-=σ⎰100200300400500-4-3-2-101234Stationay Gaussian Noise0100200300400500-4-3-2-101234Non-stationay Gaussian Noise可以证明：独立同分布(IID)的随机序列是严格平稳的。

IID: Independent and Identical Distribution即对于任意的n ，X [n ]具有相同的一维概率密度，且对任意n 1和n 2(n 1≠n 2 ), X [n 1]和X [n 2]相互独立。

121111(,,...,,,...,)(,)(,)()NX N N X i i i NX i i i NX i i p x x x n n n n p x n n p x n p x ===+∆+∆=+∆==∏∏∏利用同分布利用独立性与n 无关例1：随机幅度信号0()cos X t Y t=ω0ω是常数~(0,1)Y N 判断X (t )是否严平稳。

平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。

即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。

（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。

（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。

（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。

3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。

所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。

当均值为0时，有R(0)＝σ2。

4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。

第五讲 平稳随机过程与各态历经过程5．1 平稳随机过程在通信与信息领域，很多随机过程都是平稳的或近似平稳的，这是最简单的一类随机过程。

观察随机过程：)cos()(Φ+Ω=t A t X ：)cos()(Φ+=t a t X ω： )cos()(ϕω+=t A t X ： )cos()(ϕ+Ω=t a t X ：当（a）（d）中的Φ服从某种分布时，它们的数学期望和方差很可能2,0[π均匀分布不随时间而改变（平稳的概念）；当（a）中的Φ服从]时，任何一个样本都可代表这个过程（各态历经的概念）。

5.1.1严平稳过程性质：5.1.2宽（广义）平稳过程例题：3.1.3 各态历经过程例题：例2：5.2 平稳随机过程相关性分析5.2.1 自相关函数的性质性质1 实平稳过程X(t)的自相关函数是偶函数，即 )()(ττ-=X X R R 同样可得 )()(ττ-=X X C C性质2 平稳过程的均方值就是自相关函数在0=τ时的非负值0)]([)0(2≥=t X E R X性质3 平稳过程X(t)自相关函数的最大值在0=τ处 )()0(τX X R R ≥ 同理可证 )()0(τX X C C ≥性质4 周期平稳过程X(t)的自相关函数是周期函数，且与周期平稳过程的周期相同 )()(ττX X R T R =+注：若平稳过程X(t)满足X(t)=X(t+T)，则称它为周期平稳过程，其中T 为过程的周期。

性质5 非周期平稳过程X(t)的自相关函数满足)()0()()(lim 22∞-==∞=∞→X X X XX X R R m R R σττ从上面的讨论看出，对于一个平稳随机过程，自相关函数是它的最重要的数字特征，由它可得到其它的数字特征：数学期望 )(∞±=X X R m 均方值 )0()]([2X R t X E = 方差 )()0(2∞-=X X X R R σ 协方差 )()()(∞-=X X X R R C ττ例：已知非周期平稳随机过程X(t)的自相关函数为231916)(ττ++=X R求：X(t)的均值和方差。

平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。

具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。

平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。

弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。

对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。

具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。

2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。

强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。

这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。

平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。

由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。

平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。

一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。

简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。

平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。

它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。

通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。

以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。

二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。

设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。

“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。

因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。

注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。

三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。

例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。

试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。

证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。