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亚纯函数关于特征函数的一个不等式

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证 明因 为 （ ， ） ＝ ， ， （ ］ ＋ Ⅳ （ ］ ＋ ・ ｏ ｓ Ｉ ｓ （ 。 ）
Ⅳ
＝
ｆ ｒ ，
１
・
（ ｒ ， 钭 （ ， ， ， （ ， ， 等 ］ 厶 ［ １ ＋ ｌ ０ ｓ ｓ 六 ｓ ｓ ＋ ｌ ｏ ｇ ＋ Ｔ （ ｐ ， ｆ ］ 于 是 砷 ． ， ） 厶 ［ １ ＋ ｌ ｏ ｇ ． １ 击 ｓ ｌ ｏ ｇ ＿ ７ １
又 因 为 ｒ ７ ｒ （ ） ＋ ｚ ｓ
ｒ
引理１ 设函数， （ ｚ ） 于Ｉ ｚ Ｉ 内亚纯， 不蜕化为常数。 又设ｑ（ Ｖ ＝ １ ， ２ ， …， ｑ ）
为ｑ （ ２ ） 个有穷 复数， 并 且 ｍ ｉ ｎ 一 Ｉ ＞ ｏ ． 若ｓ （ ｏ ） ≠ ｏ ， ｏ ｏ ； ｆ （ ０ ） ≠ ０ ，
＋ １ ） ｒ 【 ， ｌ ， ） ＋ ｍ 等 ］
则 对 于 ｏ ＜ ＜ 有 （ ， ， ＿ 厂 ） ＋ ∑ｍ （ ｒ ， ａ ｖ ） ２ Ｔ （ ｒ ， ＿ 厂 ） 一 Ⅳ （ ， ） ＋ （ ｒ ） ．
ｖ ＝ｌ
（ ｒ ， 志］ ， （ ＾ ） ｍ ｓ
１引 理 及定 理 由Ｃ ｏ ｌ ｌ ｉ ｎ ｇ ｗｏ ｏ ｄ ［ ２ ， ３ ］ 和Ｌ ｉ ｔ ｔ ｌ ｅ ｗｏ ｏ ｄ 推广 Ｎｅ ｖ ａ ｎ ｌ ｉ ｎ ｎ ａ 第二 基本 定 理 的简 单 形 式的结 果得 到
］ （ ） ＋ ｋ 丁 ＋ ｌ ｒ ］ ＜ ］ ＋ － ｋ ， ＋ ｌ Ｉ ， ） ＋ 。 ｓ 取 ｆ ＞ ， 贿 １ ｊ ＜ 叫 ， 高 １ ［ ， ， ｊ ． 走 １ 走 ］ ＿
， Ｍ， ］
， （ 。 ， ， （ ¨ （ ｏ ） 。 ， 则 对 于 ０ ＜ ＜ 有 ｒ （ ｒ － ， ） ｃ ｃ ［ １ 。 ｇ ＋ ｌ 。 ｇ ＋ ＋ ｌ ＋ 。 （ ， ）
２定理 的证 明
＋ ｌ ０ ｓ ） Ｉ （ ｏ ） Ｉ ｌ ０ ｇ （ ｏ ） 一 ２
教 育 时 空
ｌ ■
， ，●● ●●
Ⅳ ＼／ ， Ⅳ ＼
亚 纯 函 数 关 于 特 征 函 数 的 一 个 不 等 式
黄 雕 蹇 敏 金 瑾
（ １ ． 贵州 民族 大学 研究 生 院理 学 院 贵州 ５ ５ ０ ０ ２ ５ ； ２ ． 毕 节工 程应 用 技术 学 院理学 院 贵州 ５ ５ １ ７ ０ ０ ） ［ 摘 要］ 本 文研 究 了亚纯 函数 中特 征 函数的性 质 ， 根 据值 分布 理论 知识 ， 利 用估 计 的方法 ， 得 出了一 个更 一般 形式 的特 征函数 不 等式 。 ［ 关键 词］ 亚 纯 函数 ， 不 等式 ； 特 征 函数 中图分 类号 ： ０１ ７ ４ ． ５ ２ 文献 标识码 ： Ａ 文章 编号 ： １ ０ ０ ９ — ９ １ ４ Ｘ （ ２ ０ １ ５ ） １ ４ — ０ ０ ２ ２ — ０ ２
钭 １ 。 ｓ
ｏ 从 而
１ 。 ｓ 南 ＋ （ 删．
ｍ
ｓ ， （ ０ ） ＋ ｃ
由 于 ［ １ ＿ 一 一 ） ＞ 。 ， 且 ， ， ， ） ， （ ＾ ） 一 ２ 的 零 点 的 重 级 分 别 大 于
） ４ （ ） （ ｇ ｇ 埘 （ ＋ １ ） ＋ ｚ ｃ ．
故 有 （ — Ｔ ｋ ＋ ｌ 一 ｋ 了 ＋ ｌ 一 ］ ｓ （ 一 小南］ ＋ （ ｒ ， 南］
） ＜ ａ ｌ ｏ ｇ ＋ ｕ （ ６ 【 ｌ ｏ ｇ 击¨ 。 ｇ ｐ ＋ ｌ 。 ｇ ’ ｃ ．
定 理 设， （ ｚ ） 为复平面上的亚纯函数 ， ， （ ０ ） ≠ ０， ， （ ０ ） ≠ ０ ， ｆ （ （ ０ ） ≠
引理２ 设ｇ （ ｒ ） 为一非负且非减的函数 ， 定义在 ０ ＜ ｒ ＜Ｒ区间内， 又设 ， ｂ
及 Ｃ均为 正 数 ， 如果 于 ０＜ｒ ＜Ｐ＜Ｒ区间 内 ， 不等 式
＋
所 以 南 （ ｒ ， 南］ ＋ ｍ ， ｒ ＇ 竽 １ ＋ １ － ， ｚ （ ７ ） 字 （ ， ， ７ ］ ＋ ＋ １ ｍ ＋ １ ｔ ｏ ｓ ＋ ；
＋ ｌ ｏ ｇ ｒ （ ｐ ， ， ） ＋ Ｉ 。 ｇ （ ｐ ， ， ） ＋ Ｉ 。 ｇ ｒ （ ｐ ， ， 一 １ ） ＋ Ｉ 。 ｇ （ ｐ ， ， ‘ 一 ２ ） ）
十 Ｉ ］ ｌ ， 】 ＋ ＋ ２ ｏ ｇ ２ ＋ ｏ ｇ 南
／
・、
其 中 Ⅳ ｌ （ ｒ ） ＝ （ ２ Ⅳ （ ， ， ， ） 一 Ⅳ （ ｒ ， ｆ ） ） ＋ Ｎ 【 ｒ ， １ Ｉ ．
砉 ］ ＋ ｇ ｌ ０ ＋ ｌ ｏ ｇ ２ ＋ ｌ ｏ ｇ ｉ ／ ， ｝ ｏ ） Ｉ ．
由 于 Ⅳ
㈦ ］ 南］ ＿ Ⅳ ［ ， ，
㈤ ） ， Ⅳ ］ ＋ Ⅳ （ ） 。 ．
（ ｒ ， 加 １ ］ ］
（ ， ， 厂 ） ＝ １ ｌ ｏ ｇ ｌ ， （ ） Ｉ 却．
Ⅳ （ ） ： ＋ （ ｏ ， ， ） ｌ ｏ ｇ ｒ ．
ｊ ￣ ｊ ｚ ｒ （ ， ， ／ ） ： （ ， ， Ｓ ） ＋ ｌ Ｖ （ ｒ ， ｆ ） ， 称 （ ， ／ ） 为 函 数／ （ ） 的 特征函 数。
、 ● ● 一 厂 ／ 一 ¨
＋
一
Ⅳ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
、 ， ， 卜 、一 ／ 、 ● ＿ ● ／
０ 引言
本文 使用 №ｖ ａ ｎ Ⅱ ｎ ｎ ａ ［ １ 理论的 标准 记号， 用 （ ｒ ， ， ） 表示ｌ ， （ ｚ ） Ｉ 的 正 对数
在上 ＝ ｒ 的平均值 ， Ⅳ（ ， ， ， ） 表示， （ ｚ ） 极点的密指量。 分别定义如下：

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关于亚纯函数的两个性质

关于亚纯函数的两个性质


按 照 它在
z )一 b ( (
z
) 内的 重 级 计算
一 1一
证
于n 一 2
。
记
f ,
甲
二:
f
一 b( f ( z )
:
,
z
.
)
则 当甲
,
() z 的零 点由 f ( z ) 的极 点生 成 时
,
,
其 重 级不 低
,
(: ) 一 b (
) 的 零 点且非 f ( 么 ) 的 零 点
亦必生 成
’
W:
,
r
,
f
,Hale Waihona Puke )、+
o
毛T ( r
,
,
f) }
、 ,
,
_
f
,
,
l
,
,
、
、
_
、
乓 将 (4 )
、
m
(
f
一
丈少 十
m
气r
一
厂
1
少 +
0
t
\
(
r
一
I
少少 (
勺
少
( 5 )代 入 ( 3 )得
n
m (
,
f )、 T (
,
二)一 N (
,
备
r
,
)
+
m (
,
`)
+
m (
,
导
,
)
+
O
{T
(:
,
` )
结合
(2 )式
,
就有
(
某类亚纯函数的例外集

某类亚纯函数的例外集


０ 引言及 主要结 果
本 文使 用 Ｎｅａ ｌ ｎ 值 分布 理论 中的常用记 号 ｖ ｎｉ ａ ｎ 及基 本结 果［引 设 厂 开平 面 Ｃ上非 常数 亚纯 函数 ， ． 为 Ｔ ｒｆ （， ）为 亚 纯 函 数 厂 的 特 征 函 数 ， Ｓ ｒ厂 （， ）为
定理 １ 若 Ｐ ｑ 正整数且 Ｐ＞ｑ≥１ ，为 ，ｆ为开平 面内非 常数亚 纯 函数 ，满 足
数学的实践与认识， ０ ０ ４ （ ： ８ ．８ ． ２ １ ， Ｏ ） １３１ ８ ６
【］郑建华．区域常数 以及 它们在 亚纯函数动力系统 中的应用（ ７ 英
文）Ｊ＿ 【 江西师范大学学报： 】 自然科学版， ０ ０ ３ （ ： ４ —４ ． ２ １， ４５ ４ ｌ ７ ） ４
由（） ８式，有 Ｔｒ （
［１Ｙ ｎ ｈ ｎ ｃｕ ， ｉ ｎ ｘ ｎ Ｕｎｑ ｅｅｓｔｅ ｒ ｆ ｒｍｏ－ ３ ａ ｇＣ ｕ ｇｈ ｎ Ｙ ｇ ｕ ． ｉｕｎ ｓ ｏ ｏ ｏ ｒ Ｈｏ ｈ ｙ ｍｅ
’
ｐ ｉ ｕ ｃｉｎ 【 ．Ｄｏｄｅｈ：Ｋｌｗｅ ａｅ ｃ Ｐ ｂｉ ｅｓ ｈｃｆｎ ｔ ｓ Ｍ】 ｏ ｒｒｃｔ ｕ ｒＡｃｄ ｍｉ ｕ ｌｈ ｒ， ｓ
由（） 知 ，存 在 常 数 Ｃ 以 及 ｒ ，当 ， 时 ， ７式 ｏ ． ＞
Ｍ ）
（ 满足（ 式， ｒ ） ４ 则引理 １ ） 成立．
由（） ，对于 任意实 数 ，有 ３式
ｌ 训 ， 一 ｒ ｏ （， ） ｇ ｒ厂 ． ㈣ 一
【 ６ ］徐洪焱， 易才凤， 崔永琴 ． 纯函数 结合 其导数的值分布 ［． 亚 Ｊ 】
ｌ ｉ ｍ
，’ ∞ — ｌｇ ０ ｇ，
（） ３
那 么（） 成立 至多 除去集 满足 ２式
两类p叶亚纯函数的性质

两类p叶亚纯函数的性质

＋ ＝
∑ （） （，， ｃ 卢 ）
｛ ，， ｝ ， ｌ２ … ）
（） １
用 （ ）－ ｋ ，） Ｓ ｐ （ ， 卢 表示满足下面条件 的式 。 （） ２ 中的函数 （） 所成的函数族
（） ：１ 十
。 ”
ａ ≥０ ， （ ） ｓ ） ２
；
ｉ ｚ ） ＜ ｆ （／ ２Ｐ ） （ ｚ ） ＋一 （ ａｌ
（ ） （ ， ｓ ｔ ， 卢）及
（） ， ， 这２ 数 的系 不等 ， 定 函 族∑Ｇ（唧） 利 数 （ （ 卢 ｃ （，ｆ 得到 个函 族 数 式 并 义了 数 １ ） ｃ ． 用函 族 ｓ ， ） ， ）
和∑（） ， 的 数 征 到 论： 个∑（）。 ，， 中 数与 个∑（） ， 中函 ｃ （，卢 系 特 得 结 有限 ） （ 卢 函 有限 ） ｃ （，卢 ） 数
可类似定义多个亚纯 函数 的卷积． 对式 （ ） １ 中函数 ） 定义算子 如下 ：
ｚ＝ （ ， ） ， ） ｚ ｚ ）＝ｆ （）＋ ，
（） （）。 ，， ＝ （）。 ， 为Ｐ ２ ∑ ．０（ 卢 ∑ ｓ （ ｓ ０ ） ）
叶 （ ＜Ｐ ０≤ ）阶 卢 （ ＜卢 ≤ １ ０ ）型 亚纯 函数 ，
２ …，） 那么卷积（ ａ ａ 乘积） ， ｑ， Ｈｍ ｒ ｄ
； ｌ ＝
１ ２
引理 １ 设 （ ） Ｕ ｚ 是 中的正则且单 叶的 函
：… ： ｌ ｝ ＝ ：
ｇｌ ｇ２Ｉ 。：… ｇ。 ） ｃ ∈ （
数 由 ２给 ￣ｆ ｚ∈ ｜ 后 ／ ） （ 式（） 出， ｓ ） ∑（） ，， ） ｌ（ Ｓ （ Ｏ３ ／
收 稿 日期 ： ０ ０—０ ２１ ６一ｏ ４
基金项 目： 教育部博士点基金项 目（ ０ ５５ ４ ０ ） ２０ ０ ７ ０ ２ ｝ 通讯作 者 ，ｕ ｓ＠ｓ ｕ ｅ ｕ ｃ ｌ ｍ ｈ ｃ ．ｄ ．ａ ｉ ｎ
关于黎曼zeta-函数及一类偏微分方程整函数解的值分布

关于黎曼zeta-函数及一类偏微分方程整函数解的值分布

关于黎曼zeta-函数及一类偏微分方程整函数解的值分布二十世纪二十年代,芬兰数学家R. Nevanlinna引进了亚纯函数的特征函数,并以此创立了Nevanlinna理论,成为二十世纪最伟大的数学成就之一.它不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础,并且对其他许多数学分支的交叉和融合产生了重要的影响.R. Nevanlinna利用他所创立的亚纯函数值分布理论,研究了确定一个亚纯函数所需要得条件,得到著名的Nevanlinna五值定理和Nevanlinna四值定理,从此拉开了亚纯函数唯一性理论研究的序幕.半个多世纪以来,国外数学家 F. Gross, M. Ozawa, G. Frank, E. Mues, N. Steinmetz, H. Ueda, G. Gundersen 及我国数学家熊庆来,杨乐等在唯一性理论方面取得了一系列令人瞩目的成果.近二十年来,仪洪勋教授一直致力于这方面的研究,做出了一系列富有创造性的研究成果,引起了国内外许多知名数学家的关注,有力地推动了亚纯函数唯一性理论的发展.本文主要包括作者得到的关于Riemann zeta-函数的唯一性问题及一类偏微分方程的整函数解的值分布性质研究的几个结果.论文的结构如下安排.第一章,我们简单介绍Nevanlinna唯一性理论的主要概念、基本结果和一些常用的符号.第二章,我们研究了相关Riemann zeta-函数的唯一性问题,应用ζ的值分布性质得到了一个唯一性定理,改进了Bao Qin Li[8]的结果,回答了C杨重骏教授在[41]中所提的问题,并指出定理中的条件是严格的.定理主要结果有：定理1.设a,b,c∈C∪{∞}为扩充复平面上两两互异的点,若C上的亚纯函数f与黎曼zeta-函数ζ分担a,bCM和cIM(除去有穷多个例外值),那么f=ζ.定理2.设a,b ∈C∪{∞}为扩充复平面上非零的点,若C上的亚纯函数f与黎曼zeta-函数(分担a,bCM和0IM(除去可能存在的例外值,且例外值集合的增长级小于1),那么f=ζ.第三章,我们研究了下述的偏微分方程给出了此方程具有整函数解的充分必要条件,并研究了此整函数解得增长性与其Taylor系数之间的关系,得到了一个Lindelof-Pringsheim平行定理,推广了扈培础与杨重骏教授在[51]中的结果.主要定理有：定理3.偏微分方程(1)在C2上有一个整函数解u=f(t,z),当且仅当u=f(t,z)具有如下的级数展开且满足其中Tn(t)=cos(n arccost)为第一类Chebyshev多项式.定理4.设f(t,z)为偏微分方程(1)的整函数解,或由(2)(3)式所定义的整函数,则f(t,z)的增长级有进一步,若0<λ=ord(f)<∞,则f的增长型σ=typ(f)满足第四章,我们定义了方程(1)整函数解的极大项μ(r)和中心指标v(r),建立了此类两个变量的整函数上的Wiman-valiron理论.主要定理有：定理5.设f(t,z)为方程(1)的整函数解,或由(2)(3)式所定义的整函数,则其增长级ord(f)满足进一步,若ord(f)<∞,则第五章,对方程(1)的整函数解,我们给出了其无Picard例外值的条件,并得到了两个唯一性定理.主要定理有：定理6.设f(t,z)为偏微分方程(1)的整函数解,或由(2)(3)式所定义的整函数,且其增长级ord(f)<∞,若满足下列条件之一(i)ord(f)=0或者ord(f)为非整数；(ii)ord(‘f)为正整数λ,且存在整数j≥0满足则f：C2→C为满映射.定理7.设f(t,z),g(t,z)为偏微分方程(1)的超越整函数解,且增长级ord(f)<∞,ord(g)<∞.若f,9满足其中q=max{[ord(f)],[ord(g)]】,且存在一个复数a≠f(0,0)使得f与g分担a CM,则f=g.定理8.设f(t,z)为偏微分方程(1)的非常数亚纯解且ord(f)<∞,g(t,z)为C2上的有穷级非常数亚纯函数.若f与g分担0,1,∞CM,那么g必定为f的分式线性变换,满足下列四种情形之一：(a)g=f;(b)gf=1;(c)gf=f+g;(d)存在一个常数b≠1和一个多项式β使得。