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专题二 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．角的概念．(1)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同(填“一定”或“不一定”)． (2)确定角α所在的象限，只要把角α表示为α＝2k π＋α0[k ∈Z，α0∈[0，2π)]，判断出α0所在的象限，即为α所在象限．2．诱导公式．诱导公式是求三角函数值、化简三角函数的重要依据，其记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．1．三角函数的定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．同角三角函数的基本关系． (1)sin 2α＋cos 2α＝1. (2)tan α＝sin αcos α．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)角α终边上点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，那么sin α＝32，cos α＝－12；同理角α终边上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，那么sin α＝y 0，cos α＝x 0.(×)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(×) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√)(4)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．(√) (5)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．(×) (6)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．(×)1．(2015·某某卷)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于(D )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512解析：解法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－（－513）2＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512. 解法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512.故选D.2．已知α的终边经过点A (5a ，－12a )，其中a ＜0，则sin α的值为(B ) A ．－1213 B.1213 C.513 D ．－5133．(2014·新课标Ⅰ卷)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为(A ) A ．①②③ B ．①③④C ．②④D ．①③解析：①中函数是一个偶函数，其周期与y ＝cos 2x 相同，T ＝2π2＝π；②中函数y ＝|cos x |的周期是函数y ＝cos x 周期的一半，即T ＝π；③T ＝2π2＝π；④T ＝π2.故选A.4．(2015·某某卷)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(π6x ＋φ)＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(C )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k ＝2，k ＝5，最大值为3＋k ＝8.一、选择题1．若sin(α－π)＝35，α为第四象限角，则tan α＝(A )A ．－34B ．－43C.34D.43 解析：∵sin(α－π)＝35，∴－sin α＝35，sin α＝－35.又∵α为第四象限角， ∴cos α＝ 1－sin 2α＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45， tan α＝sin αcos α＝－3545＝－34.2. 定义在R 上的周期函数f (x )，周期T ＝2，直线x ＝2是它的图象的一条对称轴，且f (x )在[－3，－2]上是减函数，如果A ，B 是锐角三角形的两个内角，则(A )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (cos B )>f (sin A )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos B )>f (cos A )解析：由题意知：周期函数f (x )在[－1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数．又因为A ，B 是锐角三角形的两个内角，A ＋B >π2，得：sin A >cos B ，故f (sin A )>f (cos B )．综上知选A.3．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为(A )A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－ 3解析：用五点作图法画出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的图象，注意0≤x ≤9知，函数的最大值为2，最小值为－ 3.故选A.4. 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移 1个单位长度，得到的图象是(A )解析：y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的解析式为y ＝cos (x ＋1)．故选A.5．(2015·新课标Ⅰ卷)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则f (x )的单调递减区间为(D )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－14，k π＋34，k ∈ZB.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k －14，k ＋34，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 解析：由图象知周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫54－14＝2，∴2πω＝2，∴ω＝π.由π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，不妨取φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π4.由2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z.故选D.6．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象(部分)如图所示，则f (x )的解析式是(A )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(x ∈R)B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π6(x ∈R)C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3(x ∈R)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πx ＋π3(x ∈R) 解析：由图象可知其周期为：4⎝ ⎛⎭⎪⎫56－13＝2，∵2πω＝2，得ω＝π，故只可能在A ，C 中选一个，又因为x ＝13时达到最大值，用待定系数法知φ＝π6.二、填空题7．若sin θ＝－45，tan θ＞0，则cos θ＝－35．8．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝－45．解析：由题意可知x ＝－4，y ＝3，r ＝5，所以cos α＝x r ＝－45.三、解答题9. (2014·某某卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．分析：思路一 直接将5π4代入函数式，应用三角函数诱导公式计算．(2)应用和差倍半的三角函数公式，将函数化简2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 得到T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.思路二 先应用和差倍半的三角函数公式化简函数f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)将5π4代入函数式计算；(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z.解析：解法一 (1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2cos 5π4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1. 所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.解法二 因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2. (2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.10．函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3, 其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；word(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2，求α的值． 解析：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期为 T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋1＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝12， ∵0＜α＜π2，∴－π6＜α－π6＜π3. ∴α－π6＝π6，故α＝π3. 11．(2015·卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解析：(1)由题意得f (x )＝22sin x －22(1－cos x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝－1－22.。
对于协助角公式的一个定理及其应用定理 1设函数 f (x) a sin x b cos x(a 2b20) ，则sin xaa2b2a2b2；(1)当且仅当cosxb时， f (x)max a2b2sin xaa2b2(2)当且仅当时，f (x)min a2b2．cosxba2b2a2b2证法 1由于 1 ，因此可设a2 b 2 a 2 b 2acos,bsin，得a 2b2 a 2b2f (x) a sin x b cosx a2b2ab2sin x bb2cos x a2b2 sin( x) (1)a 2a2sin x cosaa2b2(1)当且仅当x2k(k Z )即时，2bcosx sina2b2f (x) max a2b2．sin x cosaa 2b2(2)当且仅当x2k(k Z )即2cos x sin b时，a 2b 2f (x) min a2b2．证法 2由于函数f ()asinx bcos(a2b20)可化成f ( x)a22sin( x) x x b的形式，因此x0是f (x)的最值点x0是 f ( x) 的极值点f( x0 )0 b sin x0 a cos x0又由于b sin x0 a cos x0b2 sin 2 x0 a2 cos2 x0 a 2 (1 sin 2 x0 ) sin x0aa2b2sin x0aa2b2(同时选“ +”或同时选“” )(2) bcos x0a2b2明显， (2)bsin x0 a cos x0．因此， x0是f( x) 的最值点(2) ．由此可得欲证．注由恒等式 (1)及sin2cos21简单记忆定理．推论 1设函数 f (x) a sin x b cos x(a 2b20) ，则(1)当且仅当b sin x a cosx 时， f ( x)取到最值；(2)当且仅当b sin a cos时，曲线 y f ( x) 对于直线x对称．推论 2若函数 f (x) a sin x b cos x(a0, b0) (定义域是D)，则(1)当D0,时， f ( x) max a 2b2；2(2)当D, 3时， f (x)min a2b2．2推论 3若函数 f (x) a sin x b cos x(a0, b0) (定义域是D)，则(1)当D2,时， f ( x)max a2b2；(2)当D,0时， f ( x)min a2b2．2题 1 (2013年高考全国卷新课标I 理科第 15 题 )设当x时，函数 f ( x) sin x2cos x 获得最大值，则 cos．答案255解由定理1(1)得cos 225 ．55题 2(2008 年高考浙江卷理科第8 题)若cos2sin5，则 tan()1B.2C.1D.-2A.22答案B解设 f (x)2sin x cos x ，由题意得，当x时 f ( x) 取最小值，因此由定理1(2)得sin 212．,cos，得 tan55题 3(2006 年高考湖南卷理科第14 题 )若f ( x) a sin x4b sin x4(ab0)是偶函数，则有序实数对(a,b) 能够是____．(写出你以为正确的一组数即可)答案(a, a)(a0)解得f (x)absin x abcos x( ab0) ， f (x) 是偶函数即曲线y f ( x) 对于直22线 x 0 对称，因此由推论1(2)，得a bnis0abcos0 即b a0 ，因此(a,a)(a0) 22是所求的全部答案．题 4若函数 f (x)sin 2x a cos2x 的图像对于直线x8对称，则 a()A.2B.2C.1D.1答案D解题设即函数 g ( x)sin x acos x 的图像对于直线x对称，因此由推论 1(2)，4得 a sin1cos, a 1 ．44题 5已知函数 f (x) 2 sin x 4 cosx x,3．6(1)求函数 f ( x) 的值域；(2)求函数 f ( x) 的最值点．解(1) 由于函数 f ( x) 的定义域包括了一个周期,2，因此该函数的值域是6 625,25．s ix n1(2) 由定理1(1)知，当且仅当5x3即s26c ox5x arcsin55时函数 f ( x) 取到最大值．,2arcsin55sin x15由定理1(2) 知，当且仅当x3即26cosx5x arcsin5,2arcsin5时 (由于可证arcsin5)函数f ( x)取到最小值．556555所以函数 f ( x) 的最大值点是x a r c s i n ,2 a r c s i n，最小值点是55x55a r c s i n ,2 a r c s i n ．55题 6 (1)求函数 f ( x)2sin x 4 cos x(x[0, )) 的值域及最值点；(2)求函数g (x)2sin x 4 cosx x,2的值域及最值点．23sin x15(01解(1) 由定理 1知当且仅当x ) 即x arcsin时函数 f ( x) 取cosx2551sin x到最大值 2 5 ；当且仅当5 (0 x) (但此时x?) 时函数 f (x) 取到最小值2cosx52 5 ．因此函数 g (x) 没有极小值点且有独一的极大值点，又由于 f (0) 4, lim f ( x) 4 ，所x以函数 g ( x) 的值域是 ( 4,25] ，最大值点是 x arcsin1，无最小值点．5sin x152(2) 由定理1 知当且仅当x( 但此时 x ?) 时函数 g( x) 取到最2 2 3cosx5sin x152大值2 5；当且仅当x(但此时 x?) 时函数 g( x) 取到最小值cosx2 2352 5 ．因此函数 g( x) 没有极值点，即 g(x) 是单一函数，从而可得g (x) 是减函数，因此其值域是 (3 2,2] ，最大值点是x，无最小值点．2题 7 求函数 z 2t4 6 t 的值域及最值点．解设2t 4x, 6 t y ， 得 x 22 y 216(x 0, y 0)，因此可设x4 cos , y2 2 sin，得 z xy 4 cos2 2 sin．22设函数 f ( )2 2 sin4 cos．2sin 13arcsin 1即 x时函数 f ( ) 取到最由定理 1 知当且仅当cos2 233sin13；由定理 1 知当且仅当大值2 62 (但此时?) 函数 f ( ) 取到cos23最小值2 6 ．因此函数 f ( ) 的最小值是min f (0), ff2 2 ，从而可得函数 z 的值22域是 [22,2 6 ] ，最大值点是t 10，最小值点是 t 2 ．3题 8(同济大学 2004 年自主招生优异考生文化测试数学试卷第9 题 )试利用三角函数求函数求函数 f ( x)42 x2x 1x2的最大值与最小值．解可设 x sin22，得 f (x)1sin2cos2 3 ．2sin 215 (1arcsin1由定理 1知当且仅当2) 即时函数 f ( x) 取cos22255s i 2n155到最大值3；由定理 1知当且仅当(2) 即22c o2s511时函数 f(x) 取到最小值35．arcsin5222x－ y－ 1≤0，题 9(2014 年高考山东卷理科第9 题即文科第10 题 )已知 x，y 知足拘束条件2x－ y－ 3≥0，当目标函数z＝ ax＋ by(a>0，b>0) 在该拘束条件下取到最小值 2 5时，a2＋ b2的最小值为 ()A ． 5B． 4 C. 5D． 2答案B解由题设，得 2a b 2 5(a0, b 0) .可设a2b2t 2 (t 0) ，因此还可设 a t cos, b t sin 0.2由 2a b25 ，可得 t 2 5.求a2b2的最小值即求 t 的最小值，即求正数sin2cossin2cos 0的最大值．2由定理 1(1)知，当且仅当(sin, cos) 1 ,2时， sin2cos (R )取最大值555.因此当且仅当(sin, cos )12时， sin2cos 0取最大值 5 ，,552即 t 的最小值是 2．因此当且仅当 (a, b)4 , 2 时， a 2＋b 2 取最小值 4．5 5注 用柯西不等式求解题 9 最快．题 10 (1)(2014年高考辽宁卷理科第 16 题 ) 对 于 c 0 ， 当 非 零 实数 a, b 满 足4a 22ab 4b 2c 0 ，且使 2a b 最大时， 34 5 的最小值为 ．ab c(2)(2014年高考辽宁卷文科第 16 题) 对 于 c 0 ， 当 非 零 实 数 a, b 满 足4a 22ab b 2c 0 ，且使 | 2a b | 最大时， 1 2 4 的最小值为．a b c答案(1)2 (2) 1bc c o s222a解(1)可得b 1 5bc (c，因此可设2即2a20 )15b2c sin22ac cos1sin15sincos .15，得 2a bcbc2 sin5156a 3 10csin20由定理1 得，当且仅当4(二者的正负号一致，下同 )即时1010cbcos1042a b 最大，从而可求得答案．(2)同上可求．题 11 (2014 年高考山东卷理科第 15 题 )已知函数 y ＝ f( x)(x ∈ R )，对函数 y ＝ g(x)(x ∈ I)，定义 g(x)对于 f(x)的 “对称函数 ”为函数 y ＝ h(x)( x ∈I )，y ＝ h(x)知足：对随意 x ∈ I ，两个点 (x ，h(x))，(x ， g(x)) 对于点 (x ， f(x))对称．若 h(x)是 g(x)＝ 4－ x 2对于 f( x)＝ 3x ＋b 的 “对称函数 ”，且 h(x)＞ g(x)恒建立，则实数 b 的取值范围是 ________．答案 (2 10，＋ ∞)解 可得题意即 b4 x 2 3x 恒建立．由于2 x 2 ，因此可设 x 2cos (0 ) ，得 b 2(sin 3cos )(0 )恒建立．1sin10由推论 3(1) 知，当且仅当时， (sin3 cos )max10 ．因此所求b的3cos x10取值范围是 (2 10，＋∞)．。
【2021届高考二轮精品资源-数学】专题二 三角函数、解三角形、平面向量与数列（文理）第2讲 解三角形（学生版）正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题．正弦定理、余弦定理、三角形面积公式． (1)正弦定理在△ABC 中，sin A a ＝sin B b ＝sin C c＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)； 变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝2R a， a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等． (2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝2bc b2＋c2－a2． (3)三角形面积公式S △ABC ＝21ab sin C ＝21bc sin A ＝21ac sin B ．热点一 利用正(余)弦定理进行边角计算【例1】(2018·株洲质检)在中，角、、的对边分别是、、，已知，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若角为锐角，求的值及的面积．解（Ⅰ）由得，因为，∴，由，，由正弦定理得．（Ⅱ）角为锐角，则， 由余弦定理得即，或（舍去），所以的面积．探究提高 1．高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形．2．关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【训练1】 (2017·全国Ⅱ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 22B． (1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b ．解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 22B，故sin B ＝4(1－cos B )． 上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1715． (2)由cos B ＝1715，得sin B ＝178，故S △ABC ＝21ac sin B ＝174ac ． 又S △ABC ＝2，则ac ＝217． 由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×217×1715＝4．所以b ＝2．热点二 应用正、余弦定理解决实际问题【例2】 (2017·衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处(点C 在水平地面下方，O 为CH 与水平地面ABO 的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A ，B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，其中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40米．A 地测得该仪器在C 处的俯角为∠OAC ＝15°，A 地测得最高点H 的仰角为∠HAO ＝30°，则该仪器的垂直弹射高度CH 为（ ）A ．210(＋)米B ．140米C ．210米D ．20(－)米解析 由题意，设AC ＝x 米，则BC ＝(x －40)米，在△ABC 内，由余弦定理：BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420米．在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°， 由正弦定理：sin ∠CAH CH ＝sin ∠AHC AC． 可得CH ＝AC ·sin ∠AHC sin ∠CAH＝140(米)． 答案 B探究提高 1．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．2．实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 【训练2】 (2018·衡水中学)如图，一山顶有一信号塔（所在的直线与地平面垂直），在山脚处测得塔尖的仰角为，沿倾斜角为的山坡向上前进米后到达处，测得的仰角为．（1）求的长； （2）若， ，， ，求信号塔的高度．解（1）在中，，，．由正弦定理， ．（2）由（1）及条件知，，，，．由正弦定理得．热点三 解三角形与三角函数的交汇问题【例3】 (2017·长沙质检)已知函数f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x －1，x ∈R ． (1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值．解 (1)f (x )＝sin 2x －2cos 2x －1＝sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝sin 2x －cos 2x －2＝2sin 6π－2， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝22π＝π，最小值为－4． (2)因为f (C )＝2sin 6π－2＝0， 所以sin 6π＝1，又C ∈(0，π)，知－6π<2C －6π<611π，所以2C －6π＝2π，得C ＝3π． 因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝，所以a ＝1，b ＝2． 探究提高 1．解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理． 2．求解该类问题，易忽视C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解． 【训练3】(2018·聊城一中)已知，其中向量，()．（1）求的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为、、，若，，，求边长的值．解 (1) f(x)=(sin2x ，2cosx)·(，cosx)-1=sin2x+cos2x=2sin （2x ＋），∴f(x)的最小正周期为π，最小值为-2．(2) f()=2sin （＋）=∴sin （＋）＝，∴＋＝∴ A ＝或 （舍去），由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，即13＝16＋c 2-4c ，即c 2-4c+3=0， 从而c =1或c=3．1．(2018·全国II 卷)在中，，BC=1，AC=5，则AB=（ ）A ．B ．C ．D ．2．(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝，则C ＝( ) A ．12π B ．6πC ．4πD ．3π3．(2018·全国III 卷)的内角的对边分别为，，，若的面积为，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．(2018·全国I 卷)△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________． 5．(2018·全国I 卷)在平面四边形中，，，，． （1）求； （2）若，求．1．(2019·郴州质检)在中，三内角的对边分别为，且，，则角的大小是（）A．或B．C．D．2．(2017·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是（）A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A3．(2017·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B＝a cos C＋c cos A，则B＝________．4．(2019·开封一模)在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）若，的周长为6，求的面积．1．(2019·昆明诊断)在平面四边形中，，，，，，则（ ） A ．B ．C ．D ．2．(2017·郑州二模)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －a c －b ＝sin B ＋sin C sin A，则角B ＝________． 3．(2018·重庆一中)已知函数．(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，求△ABC 面积．4．(2017·衡水中学调研)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若(a－c)sin A －b sin B＋(a＋b－c)sin C＝0．(1)求角A；(2)当sin B＋sin C取得最大值时，判断△ABC的形状．参考答案1．【解题思路】先根据二倍角余弦公式求cosC ，再根据余弦定理求AB ．【答案】因为所以，选A ．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的． 2．【解题思路】由消去角，再化简即可得到，再利用正弦定理求．【答案】 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝sin C sin 4π＝0， 因为sin C ≠0，所以sin 4π＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋4π＝π，所以A ＝43π． 由正弦定理sin A a ＝sin C c ，得43π＝sin C 2， 则sin C ＝21，得C ＝6π．故选B ．3．【解题思路】利用面积公式和余弦定理进行计算可得．【答案】由题可知，所以，由余弦定理，所以，，，故选C ．点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．4．【解题思路】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A 为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果．【答案】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以A为锐角，且，从而求得，所以△的面积为，故答案是．5．【解题思路】(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果．【答案】（1）在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．（2）由题设及（1）知，．在中，由余弦定理得．所以．1．【解题思路】由可得cosA，进而利用可得sinBsinC=结合内角和定理可得C值．【答案】∵，∴cosA，由0＜A＜π，可得A，∵，∴sinBsinC=，∴，即，解得tan2C=，又，∴2C=或，即C=或，故选A．2．【解题思路】注意等式两边的形式，利用和差角公式以及朝能约的方向进行化简．【答案】等式右边＝2sin A cos C＋cos A sin C＝sin A cos C＋sin(A＋C)＝sin A cos C＋sin B．等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0．所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b ．故选A ．3．【解题思路】边化角再利用和差角公式即可．【答案】由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ． ∴2sin B cos B ＝sin B ，又sin B ≠0，∴cos B ＝21，故B ＝3π．故填3π．4．【解题思路】（1）利用正弦定理将已知的边转化为角的形式，然后利用三角形内角和定理以及两角和的正弦公式化简，由此求得的大小．（2）根据周长列出一个方程，利用余弦定理列出第二方程，解方程组求得的值，并求得三角形的面积．【答案】（1）由已知及正弦定理得：， ∵，∴，∵∴，∵∴． （2）∵，的周长，∴，由余弦定理得，∴，， ∴的面积．1．【解题思路】在Rt中 ，由，，得 ，，所以， 由余弦定理得BC 的长度．【答案】在平面四边形中，如图．在Rt 中 ，，，，所以，，所以，在中 ，，由余弦定理得，所以BC=．故选C ．2．【解题思路】角化边即可得．【答案】由c －a c －b ＝sin B ＋sin C sin A 及正弦定理，得c －a c －b ＝b ＋c a ，则a 2＋c 2－b 2＝ac ，∴cos B ＝2ac a2＋c2－b2＝22，从而B ＝4π．故填4π．3．【解题思路】(1)利用二倍角公式和辅助角公式将函数f(x)进行化简，然后利用正弦函数图像的性质可得周期和单调区间；（2）由f(C)=1，得角C ，由正弦定理得b=2a ，然后利用余弦定理可得a 和b 的值，代入面积公式即可得到答案． 【答案】=2sin(2x+)(1)最小正周期为， 因为，所以，所以函数的单递减区间为．（2）因为，所以 ，所以，①又因为sinB=2sinA ，所以b=2a ②由①，②可得a=1，b=2，．4．【解题思路】(1)角化边．(2)由B ＋C ＝32π，消元留一个未知量，再化形式，进而根据角度范围确定其值域．【答案】解 (1)由正弦定理sin A a ＝sin B b ＝sin C c ＝2R ，可得sin A ＝2R a ，sin B ＝2R b ，sin C ＝2R c ．代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0化简整理得：b 2＋c 2－a 2＝bc ， 则2bc b2＋c2－a2＝21，所以cos A ＝21．又因为A 为三角形内角，所以A ＝3π．(2)由(1)得B ＋C ＝32π，所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin π－B 2＝sin B ＋sin 32πcos B －cos 32πsin B＝23sin B ＋23cos B ＝sin 6π．因为0<B <32π，所以6π<B ＋6π<65π，所以当B ＝3π时，B ＋6π＝2π，sin B ＋sin C 取得最大值，因此C ＝π－(A ＋B )＝3π，所以△ABC 为等边三角形．。
中档大题满分练2.三角函数与解三角形(B组)
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1.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且asinA+csinC-bsinB
=asinC.
(1)求角B的大小.
(2)设向量m=(cosA,cos2A),n=(12,-5),边长a=4,当m·n取最大值时,求b的长. 【解析】(1)由题意,asinA+csinC-bsinB=asinC,
所以a2+c2-b2=ac,
所以cos B===,B∈(0,π),所以B=.
(2)因为m·n=12cos A-5cos 2A
=-10+,
所以当cos A=时,m·n取最大值,
此时,sin A=.
由正弦定理得,b=a·= .
2.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=π,AB⊥AD,AB=1.
(1)若AC=,求△ABC的面积.
(2)若∠ADC=,CD=4,求sin∠CAD.
【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理得,
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,
即5=1+BC2+BC,解得BC=或-2(舍去),
所以△ABC的面积S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.
(2)设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得,=,即=, 所以AC=.
在△ABC中,∠BAC=-θ,∠BCA=θ-,
则=,即=,
即4=sin θ,
整理得sin θ=2cos θ.
又因为sin2θ+cos2θ=1,
解得sin θ=,即sin∠CAD=.。
