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大题专项练(一)三角函数
A组基础通关
1.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且c cos B+(b-2a)cos C=0.
(1)求角C的大小;
(2)若c=2,求△ABC的面积S的最大值.
因为c cos B+(b-2a)cos C=0,
所以sin C cos B+(sin B-2sin A)cos C=0,
所以sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos C,
所以sin(B+C)=2sin A cos C.
又因为A+B+C=π,
所以sin A=2sin A cos C.
又因为A∈(0,π),所以sin A≠0,
所以cos C=1
2
.
又C∈(0,π),所以C=π
3
.
(2)由(1)知,C=π
3
,
所以c2=a2+b2-2ab cos C=a2+b2-ab.
又c=2,所以4=a2+b2-ab.
又a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,
所以ab≤4.所以△ABC面积的最大值(S△ABC)max=(1
2absinC)
max
=1
2
×4×sinπ
3
=√3.
2.如图,在梯形ABCD中,∠A=∠D=90°,M为AD上一点,AM=2MD=2,∠BMC=60°.
(1)若∠AMB=60°,求BC ;
(2)设∠DCM=θ,若MB=4MC ,求tan θ.
由∠BMC=60°,∠AMB=60°,得∠CMD=60°.
在Rt △ABM 中,MB=2AM=4;在Rt △CDM 中,MC=2MD=2.
在△MBC 中,由余弦定理,得BC 2=BM 2+MC 2-2BM ·MC ·cos ∠BMC=12,BC=2√3. (2)因为∠DCM=θ,
所以∠ABM=60°-θ,0°<θ<60°.
在Rt △MCD 中,MC=
1; 在Rt △MAB 中,MB=
2
sin (60°-θ)
,
由MB=4MC ,得2sin(60°-θ)=sin θ, 所以√3cos θ-sin θ=sin θ, 即2sin θ=√3cos θ,
整理可得tan θ=√3
2.
3.已知向量m =(2a cos x ,sin x ),n =(cos x ,b cos x ),函数f (x )=m ·n -√3
2
,函数f (x )在y 轴上的截距为√3
2
,与y
轴最近的最高点的坐标是(π
12,1). (1)求函数f (x )的解析式;
(2)将函数f (x )的图象向左平移φ(φ>0)个单位,再将图象上各点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=sin x 的图象,求φ的最小值.
f (x )=m ·n -√32=2a cos 2x+b sin x cos x-√3
2,
由f (0)=2a-√3
2=√3
2,得a=√3
2,
此时,f (x )=√3
cos 2x+b
sin 2x ,
由f (x )≤√34
+b
2
4
=1,得b=1或b=-1,
当b=1时,f (x )=sin (2x +π3),经检验(π
12
,1)为最高点;
当b=-1时,f (x )=sin (2x +2π
3),经检验(π
12,1)不是最高点.
故函数的解析式为f (x )=sin (2x +π
3).
(2)函数f (x )的图象向左平移φ个单位后得到函数y=sin 2x+2φ+π
3的图象,横坐标伸长到原来的2倍后得到函数y=sin x+2φ+π
3的图象,
所以2φ+π3
=2k π(k ∈Z ),φ=-π6+k π(k ∈Z ),
因为φ>0,所以φ的最小值为5π
6
.
4.函数f (x )=A sin (ωx +π
6)(A>0,ω>0)的最大值为2,它的最小正周期为2π.
(1)求函数f (x )的解析式;
(2)若g (x )=cos x ·f (x ),求g (x )在区间[-π6,π
4]上的最大值和最小值.
由已知f (x )最小正周期为2π,
所以2π
ω=2π,解得ω=1. 因为f (x )的最大值为2,
所以A=2,
所以f (x )的解析式为f (x )=2sin (x +π
6).
(2)因为f (x )=2sin (x +π
6)=2sin x cos π
6+2cos x sin π
6=√3sin x+cos x ,
所以g (x )=cos x ·f (x )=√3sin x cos x+cos 2x=√3
2sin 2x+
1+cos2x
2
=sin (2x +π
6)+1
2
.
因为-π6
≤x ≤π4
,所以-π6
≤2x+π6
≤2π3
,
于是,当2x+π6=π2,即x=π6时,g (x )取得最大值32;当2x+π6=-π6,即x=-π
6时,g (x )取得最小值0. 5.已知函数f (x )=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的一系列对应值如表:
(1)求f (x )的解析式;
(2)若在△ABC 中,AC=2,BC=3,f (A )=-1
2(A 为锐角),求△ABC 的面积.
由题中表格给出的信息可知,函数f (x )的周期为T=3π
4−(-π
4)=π,
所以ω=2π
π=2.
注意到sin(2×0+φ)=1,也即φ=π
2+2k π(k ∈Z ), 由0<φ<π,所以φ=π
.
