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．
2.垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
∵CD是圆O的直
径,CD⊥AB
A
．
P
B ∴︵︵AADP=B=P,︵︵BD
AC = BC
D
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它 所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角 相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧 相等,所对的圆心角相等.
时针方向转动一次,使它转到 ABC的位置。若
BC=1,∠A=300。求点A运动到A′位置时，点A经过 的路线长。
A′ C
A
B C′
l
4.如下图，所示的三角形铁皮余料，剪下扇形制 成圆锥形玩具，已知∠C=90度，AC=BC=4cm， 使剪下的扇形边缘半径在三角形边上，弧与其
求半径OC的长。
D
A
B
C
C
O
反思：在⊙ O中，若⊙ O的半径r、 A
B
圆心到弦的距离d、弦长a中，
任意知道两个量，可根据 垂径 定理D求出第三个量：
3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝ AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。
关于弦的问题，常常需 B
MA
要过圆心作弦的垂线段，
P
这是一条非常重要的辅
2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这
个正多边形的半径．
EG
3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角．
4.边心距：中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距．
C
D
3 正多边形和圆
E
D
（1）.有关概念
（2）.常用的方法
F
中心角
O.
半径R
C
（3）.正多边形的作图
边心距r 边
则此三角形的周长是__2_2_c_m__. 3.⊙O边长为2cm的正方形ABCD的内切圆,E、F切⊙O
于P点，交AB、BC于E、F，则△BEF的周长是_2_c_m__.
G E
FH
4.如图， ⊙O为△ABC的内切圆，切点分 别为D，E，F，P是弧FDE上的一点，若 ∠A+ ∠C=110度，则∠FPE=_____度
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
．
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
三角形的外心在三角形__外__。
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
三角形叫做圆的内接三角形。
A AA
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
B
OOO C
B B
问在三题角2：形三内角吗形？的外心一定▲▲AABAB∠CC是C是＝钝锐9角角0三°三O角角形形
圆与圆的位置关系:
.
外离
.
外切
.
相交
.
内切
.
内含
．．
O1
O2
．．
O1 O2
．．
O1 O2
．．
OO1 2
．．
OO2 1
两圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
数量关系及识别方法 d＞R+r
d=R+r R-r＜d＜R+r
d=R-r d＜R-r
1.如图， ⊙O1和⊙O2内切于点T， ⊙O2的弦TA，TB分别交⊙O1于C， D，连接AB，CD
的都在_连__结__着__两_点__的__线__段_ 的垂直平分线 上.
3.过三点的圆有___0_或__1________个
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等）
5.锐角三角形的外心在三角形__内__，直角三角
形的外心在三角形__在_斜边的中点上 _，钝角
圆和圆的位置关系
等分圆
有关圆的计算
弧长 扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
学习要求：
1、圆是如何定义的？
2、同圆或等圆中的弧、弦、圆心角有什么关 系？垂直于弦的直径有什么性质？一条弧所对 的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？
3、点和圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？ 圆和圆呢？怎样判断这些位置关系呢？
4、圆的切线有什么性质？如何判断一条直线 是圆的切线？
B
3.如图,是某机械厂的一种零件平面图.
(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的 圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).
(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是 20cm,求该零件所在的半径长.
基础题：
1.既有外接圆,又内切圆的平行四边形是正__方__形__. 2.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为1cm,
过D点作DF ^AC
于F点，然后证明
F
DF等于圆D的半
径BD
如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长 线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.
(1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
只要连接OC， 而后证明OC A 垂直CD
C
O
B
2.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是 ⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D, OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并
第24章圆知识体系复习
学习目标：
1、系统熟悉圆的有关概念。 2、巩固有关圆的一些性质和定理。 3、进一步掌握应用圆的有关知识解决某 些数学问题。
本章知识结构图
圆的基本性质
与圆有关的位置关系
圆
正多边形和圆
圆的对称性 弧、弦圆心角之间的关系
同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系
三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 切线 三角形内切圆
2.如图,正方形ABCD的边长为2,P是线段 BC上的一个动点.以AB为直径作圆O,过点 P作圆O的切线交AD于点F,切点为E.
D
．E
F
A．
O
C (1)求四边形CDFP的周长. P (2)设BP=x,AF=y,求y关 Q 于x的函数解析式. B
三.正多边形:
A
B
１叫.做中这心个：正一多个边正形多的边中形心外．接圆的圆心F O
∟
O．
∴ OA⊥ l
A
l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
．A
． O ． B
∵PA、PB为⊙O的切线
P
∴PA=PB, ∠APO= ∠BPO
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交 BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
D
E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB
C 是同弧所对的圆周角
O
∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
A B
圆周角的性质:
性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
15
3.6
作圆的直径与找90度的圆周 角也是圆里常用的辅助线
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系 d与r的关系
．A． 点在圆内
d＜r
．
点在圆上 d＝r
C
． 点在圆外
d＞r
B
7.在Rt△ ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D 为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为 半径作⊙B， 问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？
标
y
Байду номын сангаас
C .M
AB
x
O
6.小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的 直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm 的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方 法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴 墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说 明她这样做的道理.
O
R
A
1 2
a
d C
(1 a)2 d 2 R2 a2
B
四.圆中的有关计算:
1.圆的周长和面积公式
周长C=2πr 面积s=πr2
2.弧长的计算公式
L=
nπr 180
3.扇形的面积公式
．r
O
S = nπr2
360
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫
做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
r．
r．
r．
∟
∟ ∟
O d
dO
dO
l
l
l
设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则:
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
