角平分线的性质定理及其逆定理课件

结论
性质定理 逆命题
一个点在角的平分 线上
一个点到角两边的 距离相等
这个点到这个角两 边的距离相等
这个点在这个角的 平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明 吗？
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个
角的平分线上.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
3.如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE 平分∠ABC，交CD于点E，BC＝50，DE＝14， 则△BCE的面积等于________．
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°， AC ＝ BC，AD平分
∠CAB，DE⊥AB，垂足为E. 若AB＝8 cm，求△DEB
的周长．
解：在△ABC中，∠C=90°，∴DC⊥AC. ∵DE⊥AB，AD平分∠CAB，∴DC=DE. 在Rt△ACD和Rt△AED中， AD=AD， DC=DE， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（H.L.）. ∴AC=AE. ∵AC=BC，∴AE=BC. ∴ △ DEB 的 周长 =DE+DB+EB
2..如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E, F, DE =DF, ∠EDB= 60°, 则 ∠EBF= 60° ，BE= BF ．
A E
D B
FC
3.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=
∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC
的 角平分线 ，AE+DE= 6cm
角的平分线的性质与判定定理的关系：
点在角的平分线上
点到这个角两边的距离相等．
课堂小结
角平分线的性 质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边 的距离相等.

提示：过点 分别向 分别向△ 三边作垂线， 提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角 三边作垂线 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。 平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论。
2 .在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点， 边的中点， 在 中 ∠ ， 为 边的中点 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是 ，F。求证： ⊥ ， ⊥ ，垂足分别是E， 。求证： 的平分线上。 点D在∠A的平分线上。 在 的平分线上
A
B E
H
C G
P
图2
已知：如图3， ⊥ ， ⊥ ， ＝ 例3 已知：如图 ，PB⊥AB，PC⊥AC，PB＝ PC，D是AP上 一点 ， 是 上 求证： 求证：∠BDP＝∠CDP ＝
A
D B C
P 图3
尺规作角的平分线 步骤一：以点 为圆心 为圆心， 步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画 弧与角的两边分别交于A， 两点 两点。 弧，弧与角的两边分别交于 ，B两点。
步骤二：分别以点 ， 为圆心 以固定长(大 为圆心， 步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长 大 长的一半)为半径画弧 于AB长的一半 为半径画弧，两弧交于点 长的一半 为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线 就是∠ 步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的 ， 就是 的 平分线。 平分线。
练习 1 .已知：如图，△ABC的角平分线 已知： 的角平分线BM，CN相 已知 如图， 的角平分线 ， 相 交于点P。求证， 到三条边AB， ， 的 交于点 。求证，点P到三条边 ，BC，CA的 到三条边 距离相等。 距离相等。
已知：如图1， 的角平分线BM、CN 例1 已知：如图 ，△ABC的角平分线 的角平分线 、 相交于点P. 相交于点 求证： 到三边AB、 、 的距离相等 的距离相等. 求证：点P到三边 、BC、CA的距离相等 到三边

D,E. 求证:PD=PE.
A D
分析:要证明PD=PE,只要证明它们所在
的△OPD≌△OPB，
1
O
2
P C
而△OPD≌△OPB的条件由已知易知它 满足公理(AAS).
故结论可证.
E B
老师期望:你能写出规范的证明过程.
2
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开启 智慧 几何的三种语言
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
C● O
A
老师期望: 养成用数学解释生活的习惯.
12
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3 独立作业
习题1.4
3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
A
E
F
B
老师期望:
D
C
悟 做完题目后,一定要“ ”到点东
西,纳入到自己的3
1 独立作业
习题1.4
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
11
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2 独立作业
习题1.4
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB
的两边的距离相等.
B
D●
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A区
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8
小结 拓展
回味无穷
定理 角平分线上的点到这个角的两边
距离相等.
∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一
点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E(已
知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边

在三角形性质研究中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理研究三角形中的角平分线与中线、高线之间的关系，或者利用逆定理证明三角形中的角 平分线与边的关系。
在实际问题中的应用
• 应用举例：利用角平分线性质定理解决土地划分、道路规划 等实际问题，或者利用逆定理解决建筑结构、机械设计等实 际问题。
PART 05
习题与解答
REPORTING
WENKU DESIGN
习题部分
题目1
已知△ABC中，AD是∠BAC的角 平分线，AD交边BC于D，E、F
分别是AB、AC上的点，且 ∠DEF=∠BAD。求证：DE=DF。
题目2
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且BD=CD。求证： AB=AC。
题目3
在△ABC中，AD是∠BAC的角平 分线，且AB=AC，AD=CD。求
逆定理的证明
证明方法一
利用相似三角形的性质，通过相 似三角形的边长比例关系证明。
证明方法二
利用余弦定理，通过余弦值之比 等于边长之比的平方证明。
逆定理的应用
01
02
03
应用一
在几何证明中，可以利用 角平分线逆定理来证明一 些与角平分线相关的几何 性质。
应用二
在三角形中，可以利用角 平分线逆定理来找到角的 平分线，进而确定其他边 的长度或角度。
如果一条射线上的点到角的两边距离相等，那么该射线就是 该角的角平分线。
PART 02
角平分线逆定理
REPORTING
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逆定理的表述
• 角平分线逆定理：在三角形中，如果一条角的平分线与另两边 相交，则与平分线相对的两边之比等于这两边所夹的角平分线 形成的两个小三角形非夹角之比。